偏微分方程数值解实践教学中C++语言算法的应用研究

微分方程数值解法C语言-课程设计微分方程数值解法C语言由于对matlab语言不熟悉，所以还是采用C。

前面几个都比较简单，最后一个需要解非其次方程组。

采用高斯—Jordan消元法（数值分析）求逆解方程组，也再一次体会到算法本身的重要性，而不是语言。

当然，矩阵求逆的算法也在100个经典的C语言算法之列。

不过偏微分方程数值解的内容的确比较高深，我只能停留在编这种低级的东西的自娱自乐中。

不过解决计算机、数学、信计专业的课程设计还是足够了。

由于篇幅所限，只把源代码粘贴在这。

一：预报矫正格式#include <math.h>#include<iostream>#include<stdlib.h>double count_0( double xn,double yn){//矫正格式double s;s=yn+0.1*(yn/xn*0.5+xn*xn/yn*0.5);return s;}double count_1(double xn,double yn,double y0){//预报格式double s;s=yn+0.05*((yn/xn*0.5+xn*xn/yn*0.5)+(y0/xn*0.5+xn*xn/y0*0.5));return s;}void main(){//计算,步长为0.1,进行10次计算,设初始值double xn=1,yn=1;int i=1;while(i<=10){printf("%16f ,%1.16f ,%1.16f\n",xn,yn,count_1(xn,yn,count_0(xn,yn)));xn=xn+0.1;yn=count_1(xn,yn,count_0(xn,yn));i++;}}二显示差分格式#include<iostream>#include<math.h>#include<stdlib.h>main(){double a[6][11];//初始化；for(int i=0;i<=5;i++){a[0]=0;a[10]=0;}for(int j=1;j<10;j++){double p=3.14*j*0.1;a[0][j]=sin(p);}//按显示格式计算for(i=1;i<=5;i++)for(j=1;j<10;j++)a[j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j+1]; //输出计算好的矩阵for(i=0;i<=5;i++){for(j=0;j<11;j++)printf("%1.10f ",a[j]);printf("\n");}}三龙阁库塔格式#include <math.h>#include<iostream>#include<stdlib.h>double count_k( double xn,double yn){ double s;s=yn/xn*0.5+xn*xn/yn*0.5;return s;}void main(){//步长为0.1double xn=1,yn=1;int i=1;while(i<=11){printf("%f ,%f\n",xn,yn);double k1=count_k(xn,yn);double k2=count_k(xn+0.05,yn+0.05*k1); double k3=count_k(xn+0.05,yn+0.05*k2); double k4=count_k(xn+0.01,yn+0.1*k3); yn=yn+0.1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);xn=xn+0.1;i++;}}四 CRANK--NICOLSON隐式格式#include<iostream>#include<math.h>#include<stdlib.h>double Surplus(double A[],int m,int n);double * MatrixInver(double A[],int m,int n);double * MatrixOpp(double A[],int m,int n) /*矩阵求逆*/ {int i,j,x,y,k;double *SP=NULL,*AB=NULL,*B=NULL,X,*C;SP=(double *)malloc(m*n*sizeof(double));AB=(double *)malloc(m*n*sizeof(double));B=(double *)malloc(m*n*sizeof(double));X=Surplus(A,m,n);X=1/X;for(i=0;i<m;i++)for(j=0;j<n;j++){for(k=0;k<m*n;k++)B[k]=A[k];{for(x=0;x<n;x++)B[i*n+x]=0;for(y=0;y<m;y++)B[m*y+j]=0;B[i*n+j]=1;SP[i*n+j]=Surplus(B,m,n);AB[i*n+j]=X*SP[i*n+j];}}C=MatrixInver(AB,m,n);return C;}double * MatrixInver(double A[],int m,int n) /*矩阵转置*/ {int i,j;double *B=NULL;B=(double *)malloc(m*n*sizeof(double));for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<m;j++)B[i*m+j]=A[j*n+i];return B;}double Surplus(double A[],int m,int n) /*求矩阵行列式*/ {int i,j,k,p,r;double X,temp=1,temp1=1,s=0,s1=0;if(n==2){for(i=0;i<m;i++)for(j=0;j<n;j++)if((i+j)%2) temp1*=A[i*n+j]; else temp*=A[i*n+j];X=temp-temp1;}else{for(k=0;k<n;k++){for(i=0,j=k;i<m,j<n;i++,j++) temp*=A[i*n+j];if(m-i){for(p=m-i,r=m-1;p>0;p--,r--) temp*=A[r*n+p-1];}s+=temp;temp=1;}for(k=n-1;k>=0;k--){for(i=0,j=k;i<m,j>=0;i++,j--) temp1*=A[i*n+j];if(m-i){for(p=m-1,r=i;r<m;p--,r++) temp1*=A[r*n+p];}s1+=temp1;temp1=1;}X=s-s1;}return X;}void initmat_A(double a[][9],double r){ for(int i=0;i<9;i++)for(int j=0;j<9;j++)a[j]=0;for(i=0;i<9;i++){a=1+r;if(i!=8) a[i+1]=-0.5*r;if(i!=0) a[i-1]=-0.5*r;}}void initmat_B(double b[][9],double r){ for(int i=0;i<9;i++)for(int j=0;j<9;j++)b[j]=0;for( i=0;i<9;i++){b=1-r;if(i!=8) b[i+1]=0.5*r;if(i!=0) b[i-1]=0.5*r;}}void initmat_C(double C[][9]){ for(int i=0;i<9;i++)for(int j=0;j<9;j++)C[j]=0;}void main(){double a[100][11];for(int i=0;i<100;i++)for(int j=0;j<11;j++)a[j]=0;//初始化；for(i=0;i<100;i++){a[0]=0;a[10]=0;}for(int j=1;j<10;j++){double p=4*3.14*j*0.1;a[0][j]=sin(p);}//取h=0.1*3.14,r=0.0005，t=0.0001*3.14*3.14; //得到矩阵a和矩阵bdouble A[9][9];initmat_A(A,0.005);double B[9][9];initmat_B(B,0.005);//B矩阵与Un相乘,en是0;double C[9][9];initmat_C(C);double *A_;A_=MatrixOpp(A[0],9,9);//A矩阵求逆；//A逆*Bfor(i=0;i<9;i++)for(j=0;j<9;j++)for(int s=0;s<9;s++)C[j]+=A_[i*9+s]*B[s][j];//填写a表格for(i=0;i<100;i++){for(j=1;j<10;j++)for(int s=0;s<9;s++)a[i+1][j]+=a[s+1]*C[j-1][s];}//输出表格for(i=0;i<100;i++){for(j=0;j<11;j++)printf("%1.8f ",a[j]);printf("\n");}printf("\n"); printf("\n");//利用精确解，求出表格for(i=0;i<100;i++){for(j=0;j<11;j++)printf("%1.8f",exp(-16*0.0001*0.0005*3.14*3.14*i)*sin(4*j*0.1*3.14));printf("\n");}}。

偏微分方程数值解实践教学中C++语言算法的应用研究1. 引言1.1 背景介绍随着计算机科学和数学的发展，数值解实践教学也得到了越来越多的关注。

通过将C++语言算法应用于偏微分方程数值解实践教学中，不仅能够让学生更好地理解数值方法的原理和实现过程，还能够培养学生的编程能力和解决实际问题的能力。

研究偏微分方程数值解实践教学中C++语言算法的应用具有重要的意义，可以推动教学内容的更新和教学方法的改进，提高学生的学习效果和实践能力。

【背景介绍】1.2 研究意义偏微分方程数值解是应用数学中的重要领域，其在工程、物理学、生物学等领域有着广泛的应用。

通过数值解方法，可以较为准确地模拟和预测复杂系统的行为，为科学研究和工程应用提供重要支持。

本研究旨在探讨C++语言在偏微分方程数值解实践教学中的应用，并通过算法设计与实现，结合实际案例分析，探讨其在教学中的优缺点及改进方法。

通过这一研究，可以提高学生对数值计算方法的理解和能力，培养其解决实际问题的能力，为其未来的科研和工程实践打下良好基础。

本研究具有重要的理论和实践意义，有助于推动偏微分方程数值解在教学和科研中的应用，促进相关领域的发展和创新。

1.3 研究目的研究目的是通过对偏微分方程数值解实践教学中C++语言算法的应用进行深入研究，探讨如何提高学生对数值解算法的理解和掌握能力，促进其在实际工程问题中的应用能力。

具体目的包括：1. 分析C++语言在数值解中的优势和特点，探讨其在教学中的应用价值；2. 设计并实现针对偏微分方程的数值解算法，通过实践教学案例分析来验证算法的有效性和实用性；3. 总结C++语言算法在数值解实践教学中的优缺点，并提出改进方法，为教学实践提供参考和指导。

通过本研究，旨在提高学生的数学建模和编程能力，培养其解决实际问题的能力，促进教学和科研的深入发展，推动计算数学与工程学科的交叉融合，为学生的职业发展和学科建设做出贡献。

2. 正文2.1 偏微分方程数值解简介偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是描述自然界中许多现象的重要数学工具。

偏微分方程的数值解法研究偏微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是包含未知函数及其偏导数的方程。

这类方程在物理、工程、金融等领域中有着广泛的应用。

然而，由于偏微分方程的复杂性，往往难以找到解析解。

因此，数值解法成为解决偏微分方程的重要手段之一。

数值解法是通过离散化空间和时间，将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程组，从而求得近似解。

常用的数值解法有有限差分法、有限元法和谱方法等。

有限差分法是最常用的数值解法之一。

它将求解区域划分为有限个网格点，并通过差分近似来逼近偏微分方程中的导数。

例如，对于一维热传导方程，我们可以将求解区域划分为若干个等距的网格点，然后利用中心差分公式来近似一阶导数。

通过迭代计算，可以逐步求得方程的数值解。

有限元法是另一种常用的数值解法。

它将求解区域划分为若干个小区域，称为有限元。

每个有限元内部的解通过插值函数来逼近，然后通过加权残差法将偏微分方程转化为代数方程组。

有限元法在处理复杂的几何形状和边界条件时具有优势，因此在工程领域得到广泛应用。

谱方法是一种基于傅里叶级数展开的数值解法。

它利用傅里叶级数的收敛性和正交性质，将未知函数展开为一系列基函数的线性组合。

通过选取适当的基函数和展开系数，可以将偏微分方程转化为代数方程组。

谱方法在处理高精度问题时具有优势，但对几何形状和边界条件的要求较高。

除了以上三种常见的数值解法，还有很多其他方法可以用于求解偏微分方程。

例如，有限体积法、边界元法等。

每种数值解法都有其适用的范围和优势，选择合适的方法需要根据具体问题的特点和求解要求进行综合考虑。

在实际应用中，数值解法的稳定性和收敛性是非常重要的考虑因素。

稳定性保证了数值解的长期行为是合理的，而收敛性则保证了数值解能够逼近真实解。

为了提高数值解法的稳定性和收敛性，常常需要选择合适的网格划分、时间步长和插值函数等参数，并进行误差估计和收敛性分析。

总之，偏微分方程的数值解法在科学计算和工程实践中发挥着重要作用。

偏微分方程数值算法综述及应用案例分析偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学和工程学科领域中经常用到的基础概念。

偏微分方程的求解对于许多领域的研究和实践具有重要的作用，例如材料科学、地球物理学、计算机科学和机械工程学等。

然而，由于偏微分方程的求解难度较大，传统的解析方法无法处理更加复杂的情况。

为了解决这个问题，人们发展出了一些数值算法，使得偏微分方程的数值求解可以得以实现。

本文主要介绍偏微分方程数值算法的综述和应用案例分析。

一、偏微分方程数值算法综述偏微分方程的数值求解方法可以分为有限差分法、有限元法和谱方法等。

1. 有限差分法有限差分法是一种比较常见的偏微分方程数值求解方法。

其基本思想是用有限差分代替微分，将偏微分方程化为差分方程，并通过迭代求解差分方程得到数值解。

有限差分法的优点是实现简单，易于理解，缺点是精度较低，适用范围有限。

2. 有限元法有限元法是一种更为精确的偏微分方程数值求解方法。

在有限元法中，原问题被抽象成一组离散化的小问题，每一个小问题都在一个有限元形状中求解。

通过求解多个小问题的结果来近似求解原问题。

有限元法的优点是精度较高，适用范围广泛，缺点是计算量较大，实现难度也较大。

3. 谱方法谱方法是一种通过函数级数展开求解偏微分方程的方法。

谱方法基于傅里叶级数展开，将解表示为一组基函数的线性组合。

通过确定系数来求解偏微分方程，谱方法的优点是精度高，实现简单，缺点是需要求解傅里叶系数。

二、偏微分方程数值算法的应用案例分析偏微分方程的数值算法在科学计算和工程应用中有着广泛的应用。

本文简要介绍一些偏微分方程数值算法应用案例。

1. 热传导方程的数值求解偏微分方程中的热传导方程是一类广泛应用的模型。

通过对热传导方程的数值求解可以实现对一些热传导问题的模拟和实验研究。

其中，使用有限差分法可以求解热传导方程，并可以得到热传导的温度分布。

2. 构造三维曲面的谱方法谱方法在计算机辅助设计、建模和制造等领域中应用广泛。

数值解偏微分方程的方法和应用数值解偏微分方程（Numerical Methods for Partial Differential Equations）是一种通过离散化空间和时间域来近似解析解的方法。

它在科学、工程和计算机领域中得到广泛应用。

本文将介绍数值解偏微分方程的基本原理和一些常见的方法，并探讨其在实际问题中的应用。

一、求解偏微分方程的基本原理偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程，通常用于描述动力学、传热传质、流体力学等现象。

求解偏微分方程的解析解往往十分困难，因此需要借助数值方法来近似求解。

数值解偏微分方程的基本原理是将连续的空间和时间域划分为离散的网格，通过有限差分、有限元或谱方法等离散化技术，将偏微分方程转化为代数方程组。

通过求解这个方程组，可以得到偏微分方程的数值解。

二、常见的数值解偏微分方程方法1. 有限差分法（Finite Difference Method）：有限差分法是最常见也是最简单的数值方法之一。

它通过用中心差分逼近导数，将偏微分方程转化为代数方程组。

有限差分法易于理解和实现，广泛应用于求解各类偏微分方程。

2. 有限元法（Finite Element Method）：有限元法利用有限维空间的函数空间来逼近偏微分方程的解。

它将求解域分解为离散的有限元，将偏微分方程转化为一个求解未知函数系数的代数方程组。

有限元法适用于各种复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于结构力学、流体力学等领域。

3. 谱方法（Spectral Method）：谱方法使用一组基函数的线性组合来逼近偏微分方程的解。

它利用高阶多项式函数的收敛性质，能够获得高精度的数值解。

谱方法在求解计算流体动力学和传热传质方程等问题中具有重要的应用价值。

三、数值解偏微分方程的应用1. 流体力学：数值解偏微分方程在流体力学领域有着广泛的应用。

通过数值模拟流体的运动和变形过程，可以预测飞机、汽车等工程结构在空气或水中的流动性能，为工程设计和优化提供指导。

偏微分方程数值解法应用研究偏微分方程是数学中非常重要的一类方程，它描述了很多自然界和人类活动中的现象。

但是，这些方程很难精确地解析求解，需要借助计算机进行数值计算。

在现代科学技术中，偏微分方程数值解法是一个重要的研究领域，它在众多领域中发挥着重要作用。

在数值计算中，偏微分方程的求解主要有有限差分、有限元、谱方法等数值方法。

其中，有限差分方法是最基本的方法，也是最容易理解的方法。

它是基于Taylor级数展开中差分的思想而来的，将偏微分方程离散化，转化为代数方程组，然后使用迭代算法求解这些代数方程组。

这个方法的优点是易于实现、易于理解、计算速度快，但是精度较低，尤其对于高阶或非线性的方程。

有限元方法是一种广泛使用的方法，它将求解区域划分成许多小的区域（单元），用一个简单的代数式子来逼近偏微分方程。

这样做的好处是可以任意处理边界，对于曲线边界的定解问题可以灵活解决。

有限元方法的缺点是边界条件的提出较为复杂，求解复杂度比有限差分要高一些。

谱方法是一种高精度的数值方法。

它将解函数表示为某种基函数的展开式，通过选取适当的基函数和系数，将偏微分方程中的未知函数的求解转化为求解系数的问题。

它的优点是具有很高的精度、单元间计算相互独立等，但是它的缺点是时间耗费比较大。

根据不同的求解目标和模型特性，数值计算中的偏微分方程数值解法有很多种：数值模拟、优化计算和反问题研究等。

其中，数值模拟主要是研究物理现象和工程问题，优化计算主要是研究如何通过全局或局部的搜索方法来优化设计问题，反问题研究主要是通过测量数据来推导模型和参数的研究。

这些领域中，需要使用不同的计算方法和求解技巧，以达到求解最佳的数值解的目的。

偏微分方程数值解法在许多领域中都有应用。

例如，在材料科学中，偏微分方程可以用来研究材料的力学性质和热力学性质；在地球科学中，偏微分方程可以用来模拟地球的动力学特性和大气的运动；在医学中，偏微分方程可以用来模拟生物体内的物理过程和影响人体健康的因素；在金融中，偏微分方程还可以应用在金融衍生品的定价和风险管理中。

偏微分方程数值解法的研究与应用偏微分方程是研究物理、化学、生物、地理等领域中一些基本规律的数学模型。

它们可以描述有关温度、电磁场、流体力学、生物物理学等的动态变化过程。

偏微分方程的解决对相关学科的发展和创新有着重要意义。

然而，解决偏微分方程的数值方法一直是一个难题。

本文将讨论偏微分方程数值解法的研究和应用。

一、偏微分方程及其解法简介偏微分方程是一种描述物理现象和系统行为的数学方程，在经济、生物学、物理学、化学等多个领域都有应用。

与普通微分方程不同，偏微分方程涉及多个变量之间的关系。

在实际应用中，常采用数值方法求解偏微分方程的解。

数值解法通常通过将偏微分方程转化为一个离散的方程组，然后用计算机求解。

目前，主要的偏微分方程数值解法包括有限元法、有限差分法和谱方法。

其原理是将偏微分方程化为一组代数方程，通过计算机模拟来求解它们的解。

有限元法利用三角剖分的方法将区域离散化，然后将偏微分方程转化为一个线性方程组。

在此基础上，采用逐步迭代的方法求解得到解。

有限差分法是在物理空间中选择一个离散网格，并利用差分运算将偏微分方程转化为离散的代数方程组。

谱方法是将解表示为基函数的线性组合，通过调整系数求得解的解析表达式。

二、偏微分方程数值解法的应用偏微分方程数值解法已广泛应用于工程领域、地球科学和数学等领域。

以下是几种典型的应用：1. 电力系统建模电力系统建模用偏微分方程数值解法来计算电气设备的功率和耗能。

这种方法的目的是增强对电力变量、设备能耗和设备状态的控制，进而优化电力系统的能源利用效率和稳定性。

2. 医学图像处理在医学图像处理应用中应用到偏微分方程数值解法，可用于三维CT扫描和磁共振成像，如肺纤维化、心脏和血管系统等。

基于偏微分方程的数据算法可提取图像的详细信息，同时保持感兴趣区域的特性。

3. 石油勘探在石油勘探领域，偏微分方程的数值方法可用于神经网络建模和预测天然气储量。

具体来说，通过解决相关偏微分方程，可以计算出不同位置的天然气和地下水的渗透率，并通过模拟模型来预测未发现的天然气储量。

偏微分方程数值解课程教学改革的探索与实践摘要本文分析了当前偏微分方程数值解课程教学存在的一些问题，结合多年的本科生和研究生的教学实践，给出了偏微分方程数值解课程教学改革的具体措施，总结了改革的效果。

关键词偏微分方程数值解；数值实验；数学教学中图分类号G420；O241.8 文献标识 C1. 引言科学计算在自然科学、技术科学和工程科学等各个领域中起着越来越重要的作用，成为很多领域中不可缺少的工具。

在自然科学和实际工程问题中的大量数学模型都可以用偏微分方程来描述，如渗流问题中的非局部反应流，流体中的反射性元素衰减等问题。

要通过偏微分方程模型来研究这些问题，就需要求解偏微分方程，但是绝大多数偏微分方程很难得到其解析形式的解，这就产生了理论和应用的矛盾。

随着科学技术的飞速发展，计算机得以广泛应用且计算速度和软硬件日新月异。

以计算机为基础的一门学科――偏微分方程数值解法，得到了前所未有的发展和应用，并成为了解决上述矛盾的一个重要工具。

因此，不仅数学工作者要学习和掌握偏微分方程数值解的知识，其它理工科专业的科技工作者也迫切需要学习和掌握偏微分方程数值解的知识，以便结合自身专业开展与科学工程计算相关的研究工作。

偏微分方程数值解课程是科学与工程计算领域的重要课程，国内外各大学均已普遍开设。

开设这门课程对提高研究生的科学创新能力和科学计算能力有着十分重要的意义，有利于培养和提高工科研究生的综合素质和应用数学方法从事创造性研究工作的能力。

在我校，偏微分方程数值解课程教学已具有扎实的基础，拥有教学经验丰富的教师队伍，数学系也为本课程提供了计算机实验室，并配有专门的实验课指导教师，这就为偏微分方程数值解课程教学改革方案的实施提供了有利的条件。

但是仅有硬件设施还远远不够，为了提高教学质量，激发学生学习兴趣，我们又提出了一系列的教改措施，经过两年的实践，我们觉得改革方案是成功的。

以下就课程的教学改革，谈谈我们的一些思考和尝试。

新镖叢教＜f2020耳第24期“偏微分方程数值解”课程教学实践湖南省长沙市国防科技大学文理学院数学系张弘钱旭宋松和【摘要】本文分析了理工科研究生偏微分方程数值解课程的教学特点和存在的若干问题，针对当前的教学形势，提出了精选教学内容、理论联系实践、完善实践考察的教学改革建议。

旨在提升教学质量,激发学生学习热情,提高学生的实践和思维能力，培养他们的应用意识和科研创新精神。

【关键词】偏微分方程数值解开源软件教学方法量子力学、分子动力学、天体力学、流体力学、生物化学、经济金融、航空航天工程以及人文社科领域的很多问题往往可以归结为偏微分方程模型,随时间的演化构成了复杂的动力系统，并逐渐成为现代数学领域里的研究热点。

绝大多数偏微分方程定解问题的解很难用简洁、实用的分析形式来表达，随着高性能计算的飞速发展，数值计算作为_门工具性的新学科得到了快速的发展,偏微分方程数值计算方法也得到了前所未有的重视。

随着科学与工程技术的深入发展，当前需要掌握和应用偏微分方程数值解法已不再局限于数学系的学生，大量从事于天文学、力学、物理学、化学、生物学的科研人员，以及航空、航天、电子、机械、油气勘探、地质工程等领域的专业技术从业者也把这门学科作为本领域的重要研究方法。

因此，为培养出理论基础扎实、工程应用能力强的理工科研究生,掌握此学科是十分必要的。

一、课程特点和存在的问题偏微分方程数值解是计算数学专业的重点必修课程,国内外各大学已普遍开设。

这门课程的设立对促进学生的科研创新以及提高其实践能力有着非常积极、重要的意义,有利于培养理工科研究生应用数学方法解决工程问题的能力，还可全面提高学生的综合素质。

偏微分方程数值解是本校理工科研究生的一门专业课，这门课程重点介绍了有限差分法和有限元方法O 对偏微分方程定解问题的数值方法，基本上按照①数值格式的建立,②格式的收敛性、稳定性和相容性分析，③算例与求解等3个方面展开。

通过参加本课程,学生能掌握偏微分方程数值解的基本理论和求解方法,并能使用软件针对偏微分方程进行分析和计算,用开源Octave 软件或基于Python的程序库FEniCS编写经典的有限差分或有限元程序。

偏微分方程的数值解法及应用研究偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中的一个重要分支，它与物理、工程、生命科学等领域都有着密切的联系。

由于大多数实际问题都无法通过解析方法得到精确的解，因此需要一种数值方法，来近似求解偏微分方程的解。

本文将介绍偏微分方程的数值解法及应用研究。

一、偏微分方程的类型偏微分方程可以分为三类：椭圆型、双曲型和抛物型。

其中椭圆型方程的解具有稳定性；双曲型方程的解描述的是波动；抛物型方程的解描述的是扩散。

二、数值解法1.有限差分法有限差分法是一种求解偏微分方程的数值方法。

其基本思想是将偏微分方程中涉及到的所有变量取离散值，在离散点上逐一计算，然后通过代数方法求解，得到偏微分方程的数值解。

以二维泊松方程为例，其一般形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=f(x,y)$$其中，$u$是未知函数，$f(x,y)$是已知函数。

对于该方程的数值解，可以通过将定义域在$x$和$y$方向上分别等距离散化，然后在离散点上采用中心差分公式得到。

2.有限元法有限元法是一种广泛应用的PDE数值解法。

其基本思想是将自由度分别对应于定义域的一个区域（单元），在单元内用一个简单的函数逼近未知函数的变化，用各单元中函数的拼接表示问题的整体行为。

以二维波动方程为例，其一般形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\nabla^2u+f(x,y,t)$$其中，$u$是波函数，$f(x,y,t)$是外力项，$c$是波速。

对于该方程的数值解，可以将定义域分解为若干三角形或四边形单元，然后在每个单元上通过插值法得到近似解，最后用所有单元的近似解拼接得到整个解。

三、应用研究偏微分方程的数值解法在数学、物理、工程、计算机等领域都有广泛的应用。