2012年高考文科数学解析分类汇编：导数(逐题详解)

2012年高考文科数学解析分类汇编：函数一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））设函数2()43,()32,xf x x xg x =-+=-集合{|(())0M x R f g x =∈> {|()2},N x R g x =∈<则M N 为 （ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(-1,1)D ．(,1)-∞2 ．（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为（ ）A ．cos 2y x =B ．2log ||y x =C ．2xxee y --=D ．31y x =+3 ．（2012年高考（四川文））函数(0,1)xy a a a a =->≠的图象可能是4 ．（2012年高考（陕西文））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =5 ．（2012年高考（山东文））函数cos 622xxx y -=-的图象大致为6 ．（2012年高考（山东文））函数1()ln(1)f x x =++的定义域为 （ ）A ．[2,0)(0,2]-B ．(1,0)(0,2]-C ．[2,2]-D ．(1,2]-7 ．（2012年高考（江西文））如右图,OA=2(单位:m),OB=1(单位:m),OA 与OB 的夹角为6π,以A 为圆心,AB 为半径作圆弧 BD C 与线段OA 延长线交与点 C ．甲.乙两质点同时从点O 出发,甲先以速度1(单位:ms)沿线段OB 行至点B,再以速度3(单位:ms)沿圆弧 BD C 行至点C 后停止,乙以速率2(单位:m/s)沿线段OA 行至A 点后停止.设t 时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0),则函数y=S(t)的图像大致是8 ．（2012年高考（江西文））已知2()sin ()4f x x π=+若a =f (lg5),1(lg)5b f =则 （ ）A ．a+b=0B ．a-b=0C ．a+b=1D ．a-b=19 ．（2012年高考（江西文））设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则((3))f f =（ ）A ．15B ．3C ．23D ．13910．（2012年高考（湖南文））设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数,()f x '是()f x 的导函数,当[]0,x π∈时,0()1f x <<;当(0,)x π∈且2x π≠时 ,()()02x f x π'->,则函数()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为 （ ）A ．2B ．4C ．5D ．811．（2012年高考（湖北文））已知定义在区间(0,2)上的函数()y f x =的图像如图所示,则(2)y f x =--的图像为12．（2012年高考（湖北文））函数()cos 2f x x x =在区间[0,2]π上的零点个数为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．513．（2012年高考（广东文））(函数)下列函数为偶函数的是（ ）A ．sin y x =B ．3y x =C ．x y e =D．lny =14．（2012年高考（福建文））设1,()0,1,f x ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩0(0)(0)x x x >=<,1,()0,g x ⎧⎪=⎨⎪⎩()(x x 为有理数为无理数),则(())f g π的值为 （ ）A ．1B ．0C ．1-D ．π15．（2012年高考（大纲文））函数1)y x =≥-的反函数为（ ） A ．21(0)y x x =-≥ B ．21(1)y x x =-≥C ．21(0)y x x =+≥D ．21(1)y x x =+≥16．（2012年高考（北京文））函数121()()2xf x x =-的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．317．（2012年高考（安徽文））23log 9log 4⨯=（ ）A ．14B ．12C ．2D ．418．（2012年高考（安徽文））设集合{3213}A x x =-≤-≤,集合B 是函数lg(1)y x =-的定义域;则A B = （ ）A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[,)12D ．(,]12二、填空题19．（2012年高考（重庆文））函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数,则实数a =________ 20．（2012年高考（浙江文））设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则3f 2（）=_______________.21．（2012年高考（天津文））已知函数211x y x -=-的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点,则实数k 的取值范围是________.22．（2012年高考（四川文））函数()f x =____________.(用区间表示)23．（2012年高考（上海文））已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .,则=-)1(g _______ .24．（2012年高考（上海文））方程03241=--+x x的解是_________.25．（2012年高考（陕西文））设函数发0,()1(),0,2x x f x x ìï³ïï=íï<ïïïî,则((4))f f -=_____26．（2012年高考（山东文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数,则a =____.27．（2012年高考（课标文））设函数()f x =(x +1)2+sin xx 2+1的最大值为M,最小值为m ,则M+m =____28．（2012年高考（广东文））(函数)函数y x=__________.29．（2012年高考（福建文））已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立,则实数a的取值范围是_________.30．（2012年高考（北京文））已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22xg x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <,则m 的取值范围是________. 31．（2012年高考（北京文））已知函数()l g f x x =,若()1f ab =,则22()()f a f b +=_________.32．（2012年高考（安徽文））若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞,则_____a = 三、解答题33．（2012年高考（上海文））已知函数)1lg()(+=x x f .(1)若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.34．（2012年高考（福建文））某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据: 单阶x (元) 8 8.28.48.6 8.89 销量y (件)9084 83 80 7568(I)求回归直线方程ˆybx a =+,其中ˆ20,b a y b x =-=-; (II)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)35．（2012年高考（北京文））设A 是如下形式的2行3列的数表,满足:性质P:,,,,,[1,1]a b c d e f ∈-,且0++++=a b c d e f +.记()i r A 为A 的第i 行各数之和1,2=i （）,()j c A 为A 的第j 列各数之和1,2,3=j （）; 记()k A 为1|()|r A ,2|()|r A ,1|()|c A ,2|()|c A ,3|()|c A 中的最小值.(1)对如下数表A,求()k A 的值;1 1 -0.80.1-0.3-1(2)设数表A形如1 1 -1-2d-1其中0≤≤.求()-1dk A的最大值;(3)对所以满足性质P的2行3列的数表A,求()k A的最大值.2012年高考文科数学解析分类汇编：函数参考答案一、选择题 1. 【答案】:D【解析】:由(())0f g x >得2()4()30g x g x -+>则()1g x <或()3g x >即321x -<或323x ->所以1x <或3log 5x >;由()2g x <得322x -<即34x <所以3l o g 4x <故(,1)M N =-∞【考点定位】本题考查了利用直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式的解法.本题以函数为载体,考查复合函数,关键是函数解析式的确定.2. 【解析】函数x y 2log=为偶函数,且当0>x 时,函数x x y 22loglog==为增函数,所以在)2,1(上也为增函数,选B.3. [答案]C[解析]采用特殊值验证法. 函数(0,1)x y a a a a =->≠恒过(1,0),只有C 选项符合. [点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用.4. 解析:运用排除法,奇函数有1y x=和||y x x =,又是增函数的只有选项D 正确.5. 解析:函数xxx x f --=226cos )(,)(226cos )(x f x x f xx-=-=--为奇函数,当0→x ,且0>x 时+∞→)(x f ;当0→x ,且0<x 时-∞→)(x f ;当+∞→x ,+∞→--x x 22,0)(→x f ;当-∞→x ,-∞→--xx 22,0)(→x f .答案应选D.6. 解析:要使函数)(x f 有意义只需⎩⎨⎧≥-≠+040)1ln(2x x ,即⎩⎨⎧≤≤-≠->220,1x x x ,解得21≤<-x ,且0≠x .答案应选B.7. 【答案】A8. 【答案】C【解析】本题可采用降幂处理,则21cos(2lg 5)1sin(2lg 5)2(lg 5)sin (lg 5)422a f ππ-++==+==211cos(2lg )111sin(2lg 5)52(lg)sin (lg)55422b f ππ-+-==+==,则可得1a b +=.【考点定位】本题主要考查函数的概念,三角函数的恒等变化及对数,属综合应用题.9. 【答案】D【解析】考查分段函数,22213((3))()()1339f f f ==+=.10. 【答案】B【解析】由当x∈(0,π) 且x≠2π时 ,()()02x f x π'->,知0,()0,()2x f x f x π⎡⎫'∈<⎪⎢⎣⎭时,为减函数；()0,()2x f x f x ππ⎛⎤'∈> ⎥⎝⎦，时,为增函数 又[]0,x π∈时,0<f (x )<1,在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数,在同一坐标系中作出sin y x =和()y f x =草图像如下,由图知y=f(x)-sinx 在[-2π,2π] 上的零点个数为4个.【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.11. B 【解析】特殊值法:当2x =时,()()()22200y fx f f =--=--=-=,故可排除D项;当1x =时,()()()22111y f x f f =--=--=-=-,故可排除A,C 项;所以由排除法知选B.【点评】本题考查函数的图象的识别.有些函数图象题,从完整的性质并不好去判断,作为徐总你则提,可以利用特殊值法(特殊点),特性法(奇偶性,单调性,最值)结合排除法求解,既可以节约考试时间,又事半功倍.来年需注意含有xe 的指数型函数或含有ln x的对数型函数的图象的识别.12. D 【解析】由()c o s 20==f x x x ,得0=x 或cos 20=x ;其中,由cos 20=x ,得()22x k k ππ=+∈Z ,故()24k x k ππ=+∈Z .又因为[]0,2x ∈π,所以π3π5π7π,,,4444x =.所以零点的个数为145+=个.故选D.【点评】本题考查函数的零点,分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法.对于三角函数的零点问题,一般需要规定自变量的取值范围;否则,如果定义域是R ,则零点将会有无数个;来年需注意数形结合法求解函数的零点个数,所在的区间等问题.13.解析:D.()()ln lnf x f x -===.14. 【答案】B【解析】因为()0g π= 所以(())(0)0f g f π==. B 正确【考点定位】该题主要考查函数的概念,定义域和值域,考查求值计算能力.15.答案A【命题意图】本试题主要考查了反函数的求解,利用原函数反解x ,再互换,x y 得到结论,同时也考查了函数值域的求法.【解析】由2211y x y x y =+=⇒=-,而1x ≥-,故0y ≥互换,x y 得到21(0)y x x =-≥,故选答案A16. 【答案】B【解析】函数121()()2xf x x =-的零点,即令()0f x =,根据此题可得121()2xx =,在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像,可得交点只有一个,所以零点只有一个,故选答案B. 【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题,实质上考查的是函数图像问题,该题涉及到图像幂函数和指数函数.17. 【解析】选D 23lg 9lg 42lg 32lg 2log 9log 44lg 2lg 3lg 2lg 3⨯=⨯=⨯=18. 【解析】选D {3213}[1,2]A x x =-≤-≤=-,(1,)(1,2]B A B =+∞⇒= 二、填空题 19. 【答案】4【解析】由函数()f x 为偶函数得()()f a f a =-即()(4)()(4)a a a a a a +-=-+--4a ⇒=.【考点定位】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切a 都有()()f a f a =-成立.20. 【答案】32【命题意图】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性. 【解析】331113()(2)()()1222222f f f f =-=-==+=.21. 【解析】函数1)1)(1(112-+-=--=x x x x x y ,当1>x 时,11112+=+=--=x x x x y ,当1<x 时,⎩⎨⎧-<+<≤---=+-=--=1,111,11112x x x x x x x y ,综上函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+<≤---≥+=--=1,111,111112x x x x x x x x y ，,做出函数的图象,要使函数y 与kx y =有两个不同的交点,则直线kx y =必须在蓝色或黄色区域内,如图,则此时当直线经过黄色区域时)2,1(B ,k 满足21<<k ,当经过蓝色区域时,k 满足10<<k ,综上实数的取值范围是10<<k 或21<<k .22. [答案](21-，∞)[解析]由分母部分的1-2x>0,得到x∈(21-，∞).[点评]定义域问题属于低档题,只要保证式子有意义即可,相对容易得分.常见考点有:分母不为0;偶次根下的式子大于等于0;对数函数的真数大于0;0的0次方没有意义.23. [解析] )(x f y =是奇函数,则)1()1(f f -=-,44)1()1()1()1(=+-+=-+f f g g ,所以3)1(4)1(=-=-g g .24. [解析] 0322)2(2=-⋅-xx,0)32)(12(=-+xx,32=x,3log 2=x .25.解析:41(4)()162f --==,((4))(16)4f f f -===26.答案:14解析:当1a >时,有214,a a m -==,此时12,2a m ==,此时()g x =,不合题意.若01a <<,则124,a a m -==,故11,416a m ==,检验知符合题意.另解:由函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数可知41,041<>-m m ;当1>a 时()x f x a =在[-1,2]上的最大值为=2a 4,解得2=a ,最小值为211==-a m 不符合题意,舍去;当10<<a 时,()x f x a =在[-1,2]上的最大值为41=-a ,解得41=a ,此时最小值为411612<==a m ,符合题意,故a =41.27. 【命题意图】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题.【解析】()f x =22sin 11x x x +++,设()g x =()1f x -=22sin 1x x x ++,则()g x 是奇函数,∵()f x 最大值为M,最小值为m ,∴()g x 的最大值为M-1,最小值为m -1, ∴110M m -+-=,M m +=2.28.解析:[)()1,00,-+∞ .由100x x +≥⎧⎨≠⎩解得函数的定义域为[)()1,00,-+∞ .29. 【答案】(0,8)【解析】因为 不等式恒成立,所以0∆<,即 2420a a -⋅<,所以08a << 【考点定位】该题主要考查一元二次不等式的解法,解法的三种情况的理解和把握是根本.30. 【答案】(4,0)-【解析】首先看()22xg x =-没有参数,从()22x g x =-入手,显然1x <时,()0g x <,1x ≥时,()0g x ≥,而对,()0x R f x ∀∈<或()0g x <成立即可,故只要1x ∀≥时,()0f x <(*)恒成立即可.当0m =时,()0f x =,不符合(*),所以舍去;当0m >时,由()(2)(3)0f x m x m x m =-++<得32m x m --<<,并不对1x ∀≥成立,舍去;当0m <时,由()(2)(3)0f x m x m x m =-++<,注意20,1m x ->≥,故20x m ->,所以30x m ++>,即(3)m x >-+,又1x ≥,故(3)(,4]x -+∈-∞-,所以4m >-,又0m <,故(4,0)m ∈-,综上,m 的取值范围是(4,0)-.【考点定位】 本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小,涉及到指数函数,还涉及到简易逻辑中的“或”,还考查了分类讨论的思想,对m 进行讨论.31. 【答案】2【解析】()lg ,()1f x x f ab == ,lg()1ab ∴=2222()()lg lg 2lg()2f a f b a b ab ∴+=+==【考点定位】本小题考查的是对数函数,要求学生会利用对数的运算公式进行化简,同时也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉.32. 【解析】6- 由对称性:362a a -=⇔=-三、解答题33. [解](1)由⎩⎨⎧>+>-01022x x ,得11<<-x .由1lg)1lg()22lg(0122<=+--<+-x xx x 得101122<<+-x x 因为01>+x ,所以1010221+<-<+x x x ,3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x(2)当x ∈[1,2]时,2-x ∈[0,1],因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为y x 103-=,所以所求反函数是x y 103-=,]2lg ,0[∈x34. 【考点定点】本题主要考查回归分析,一元一次函数等基础知识,考查运算能力、应用意识、转化与化归思想、特殊与一般思想. 解:(1)1234561()8.56x x x x x x x =+++++=1234561()806y y y y y y y =+++++=80208.5250a y b x ∴=-=-⨯=,回归直线方程为:ˆ20250yx =-+ (2)设工厂获利润为L 元,依题意:22(20250)4(20250)2033010003320()361.254L x x x x x x =-+-+-+=-+-=--+当单价定为8.25x =时,工厂获利最大.35. 【考点定位】此题作为压轴题难度较大,考查学生分析问题解决问题的能力,考查学生严谨的逻辑思维能力.(1)因为1()r A =1.2,2() 1.2r A =-,1() 1.1c A =,2()0.7c A =,3() 1.8c A =-,所以()0.7k A = (2)1()12r A d =-,2()12r A d =-+,12()()1c A c A d ==+,3()22c A d =--.因为10d -≤≤,所以1|()|r A =2|()|r A 0d ≥≥,3|()|c A 0d ≥≥.所以()11k A d =+≤. 当0d =时,()k A 取得最大值1.(3)任给满足性质P 的数表A (如图所示)a bc def任意改变A 的行次序或列次序,或把A 中的每个数换成它的相反数,所得数表*A 仍满足性质P ,并且*()()k A k A =,因此,不妨设112()0,()0,()0r A c A c A ≥≥≥,由()k A 的定义知,112()(),()(),()()k A r A k A c A k A c A ≤≤≤,从而1123()()()()()kA rAcA c A abc ≤++=+++++ ()()3a b c d e f a b f a b f =+++++++-=+-≤因此()1k A ≤,由(2)知,存在满足性质P 的数表A ,使()1k A =,故()k A 的最大值为1.。

2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1、答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3、第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

一、选择题（1）已知集合{|}{|}{|}{|}A x xB x xC x xD x x ==是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ）.()()()()A A B B C B C D C D A D⊆⊆⊆⊆【考点】集合【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系。

在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解。

（2）函数1(1)y x x =+-≥的反函数为（ ）. 2()1(0)A yx x =-≥ 2()1(1)B yx x =-≥ 2()1(0)C yx x =+≥ 2()1(1)D yx x =+≥ 【考点】反函数【难度】容易【点评】本题考查反函数的求解方法，注意反函数的定义域即为原函数的值域。

在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章《函数与初等函数》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。

（3）若函数()s i n [0,2]3x fx ϕϕ+=∈(π）是偶函数，则ϕ=（ ）.()2A π 2()3B π 3()2C π 5()3D π 【考点】三角函数与偶函数的结合【难度】中等【点评】本题考查三角函数变换，及偶函数的性质。

2012年高考文科数学试题解析（全国课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

合题目要求的。

（1）已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则，则（A ）A ̹B （B ）B ̹A （C ）A=B （D ）A ∩B=Æ【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法与集合间关系，是简单题. 【解析】A=（－1,2），故B ̹A ，故选B. （2）复数z ＝32ii-++的共轭复数是的共轭复数是 （A ）2i + （B ）2i - （C ）1i -+ （D ）1i --【命题意图】本题主要考查复数的除法运算与共轭复数的概念，是简单题. 【解析】∵z =32ii-++=1i -+，∴z 的共轭复数为1i --，故选D. （3）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线112y x =+y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）1 【命题意图】本题主要考查样本的相关系数，是简单题. 【解析】有题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D. （4）设1F ,2F 是椭圆E ：2222x y ab +=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，△21F PF 是底角为030的等腰三角形，则E 的离心率为A .12B .23C .34D .45【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形，的等腰三角形，∴0260PF A Ð=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，∴322c a =，∴e =34，故选C. （5）已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z x y =-+的取值范围是的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3) 【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法，是简单题. 【解析】有题设知C(1+3,2)，作出直线0l ：0x y -+=，平移直线0l ，有图像知，直线:l z x y =-+过B 点时，m a x z =2，过C 时，m i n z =13-，∴z x y =-+取值范围为(1－3，2)，故选A. （6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B，则A .A +B 为1a ，2a ，…，N a 的和的和B2A B+为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数的算术平均数C .A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最大数和最小数中的最大数和最小数D .A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最小数和最大数中的最小数和最大数【命题意图】本题主要考查框图表示算法的意义，是简单题. 【解析】由框图知其表示的算法是找N 个数中的最大值和最小值，A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最大数和最小数，故选C. （7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为体积为A .6 B .9 C .12 D .18 【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及体积计算，是简单题. 【解析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上高为3，棱锥的高为3，故其体积为1163332´´´´=9，故选B. (8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 【命题意图】【命题意图】 【解析】【解析】 （9）已知w >0，0j p <<，直线x =4p 和x =54p 是函数()sin()f x x w j =+图像的两条相邻的对称轴，则j = （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质，是中档题. 【解析】由题设知，p w =544p p -，∴w =1，∴4pj +=2k pp +（k Z Î）， ∴j =4k pp +（k Z Î），∵0j p <<，∴j =4p，故选A. （10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，||AB =43，则C 的实轴长为A .2B .22C .4 D .8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解得y =216a ±-，∵||AB =43，∴2216a -=43，解得a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. (11)当0<x ≤12时，4log xa x <，则a 的取值范围是的取值范围是 （A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 【命题意图】本题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质及数形结合思想，是中档题. 25+，则公比=0得，=01110|= . 1022322(+1)+sinx2的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1、答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3、第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

一、选择题（1）已知集合{|}{|}{|}{|}A x x B x x C x x D x x ==是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ）.()()()()A A B B C B C D C D A D ⊆⊆⊆⊆【考点】集合【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系。

在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解。

（2）函数1)y x =-≥的反函数为（ ）. 2()1(0)A y x x =-≥ 2()1(1)B y x x =-≥2()1(0)C y x x =+≥ 2()1(1)D y x x =+≥【考点】反函数【难度】容易【点评】本题考查反函数的求解方法，注意反函数的定义域即为原函数的值域。

在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章《函数与初等函数》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。

（3）若函数()sin[0,2]3x f x ϕϕ+=∈(π）是偶函数，则ϕ=（ ）. ()2A π 2()3B π 3()2C π 5()3D π 【考点】三角函数与偶函数的结合【难度】中等【点评】本题考查三角函数变换，及偶函数的性质。

第24课 月亮上的足迹 教学目标： 24、《》 目标（一）知识目标： 了解宇航和月球的科学知识，理解人类登月成功的伟大意义。

（二）能力目标： 学习本文按时间顺序，清楚明白地叙述事件发生过程的写作方法。

（三）德育目标： 培养学生对太空探索的兴趣和爱科学、学科学、用科学的精神。

教学过程一、导语激趣，引入课题。

二、快速阅读课文，完成下列各题。

请同学们带着两个问题速读课文①登月的全过程可分为几个阶段？②宇航员登上月球后做了哪几件事？速读时要注意速读的要求。

1．这是一篇记实报道，是记叙文的一种，请找出文章中所交代的时间、地点、人物、事情。

（引导学生回答。

） 2．本文所叙之事是登月，那它是分几个部分描述登月的全过程的呢？教师根据学生的回答，择其要点板书。

登月的全过程可分为四个部分： 3．宇航员登月，不仅开创了人类的首次载人探索外星球的新纪元，而且还肩负着特定的任务，那宇航员登上月球后做了做了些什么？： ①检查登月器的着陆情况。

②采集月壤和月岩。

③树立登月纪念碑。

④安装电视摄像机、太阳风测定装置、激光仪和月震仪进行科学探测。

⑤插上美国的星条旗。

⑥与美国总统尼克松通电话。

4．提问：从登月准备、飞向月球、成功登月到返回地面，文章是按什么顺序来报道这一过程的？ 明确：按事情发展的时间顺序，将有关表示时间的短语在书上圈点。

三．组织讨论： 1．我这里有一组数字，它们是从本文中节选出来的，请大家看一看，有关于时间的，有关于速度的，也有关于高度的。

（边展示解说）作者在文章中用了这么多数字，有什么作用呢？（学生回答后切换课件） 因为这是一篇太空探索的文章，而太空探索，对数字的精确度要求十分高，这些数字主要是体现本文的准确性、科学性、真实性，体现记实报道的特点。

2．文章最后写阿姆斯特朗谈到登月的意义时说：“这一小步，对于一个人来说，是小小的一步；对整个人类来说，是巨大的飞跃。

”你是怎样理解的？ “一小步”是指宇航员们从飞般跨到月球表面的一小步，对一个人来讲确实很容易，毫不费力。

2012年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2012•浙江）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，2．（5分）（2012•浙江）已知i是虚数单位，则=（）3．（5分）（2012•浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（）形，面积是×∴三棱锥的体积是4．（5分）（2012•浙江）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平6．（5分）（2012•浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵，（（，7．（5分）（2012•浙江）设，是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（）|+|=|||，则⊥⊥|+|=||||+|=|||，使得=λ=λ|+|=||||+|=|||||+||•=|+||2||||•|||与|+|||||+|=|||||+|•=|||2||||•=||||与反向，因此存在实数，使得λ，所以•=||||||=|，因此≠|||||+||||8．（5分）（2012•浙江）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）B转化成（=++≥+2当且仅当=≥二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2012•浙江）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为160．∴每个个体被抽到的概率是，×=16012．（4分）（2012•浙江）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是．的种数，=10其中两点间的距离为故该两点间的距离为的概率是=故答案为：13．（4分）（2012•浙江）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是．T=，，，．故答案为：．14．（4分）（2012•浙江）设z=x+2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是[0，]．可得]]15．（4分）（2012•浙江）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=﹣16．﹣﹣=﹣，=﹣﹣﹣）•﹣﹣•+16．（4分）（2012•浙江）设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x+1，则=．（）+2））（）+1=，．故答案为：．17．（4分）（2012•浙江）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=．，半径为的距离为，﹣．，，故切点为（，+a﹣（即+a=0的距离为或﹣．时直线故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2012•浙江）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．bsinA=及正弦定理=sinAcosBcosB，；及正弦定理，得：cosB=，∴由余弦定理，．19．（14分）（2012•浙江）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n在数列的通项公式求解中20．（15分）（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．B=，即AB=BH=，H=，所成的角的正弦值是21．（15分）（2012•浙江）已知a∈R，函数f（x）=4x3﹣2ax+a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|2﹣a|＞0．）x+（﹣）x+，﹣；单调递减区间为（﹣））（）上单调减，在（（﹣22．（14分）（2012•浙江）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：y2=2px （P＞0）的准线的距离为．点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．（1）求p，t的值．（2）求△ABP面积的最大值．）到抛物线）的准线的距离为．列出方程，，利用S=）|）由题意可知得，得，m=．==|1|．，，）面积的最大值为．。

2012年导数高考题汇编一、选择题：1.（2012年辽宁文）函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为 A .(1,1]- B .(0,1] C .[1,)+∞ D .(0,)+∞解：1(1)(1),0x x y x x x x+-'=-=>.当01x <<时，0y '<，函数单调递减；当1x >时，0y '>，函数单调递增.故函数单调递减区间为(0,1]. 答案：B2.（2012福建理）如图所示，在边长为1的正方形O ABC 中任取一 点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A .14 B .15 C .16 D .17解：设阴影面积为S，则312120021211)|32326S x dx x x ==-=-=⎰，又正方形面积1S '=，∴由几何 概型知，P 恰好取自阴影部分的概率为16. 答案：C3.（2012年陕西理）设函数()e x f x x =，则A .1x =为()f x 的极大值点B .1x =为()f x 的极小值点C .1x =-为()f x 的极大值点D .1x =-为()f x 的极小值点解：()e e e (1)x x x f x x x '=+=+，当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增.故当1x =-时，函数()f x 有极小值.答案：C4.（2012年江西理）计算定积分121(sin )d x x x -+=⎰ .解：∵321cos sin 3x x x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，∴11231112(sin )d cos 33x x x x x --⎛⎫+=-=⎪⎝⎭⎰. 答案：23. 5.（2012年江西文）设函数2()ln f x x x=+，则A .12x =为()f x 的极大值点 B .12x =为()f x 的极小值点 C .2x =为()f x 的极大值点 D .2x =为()f x 的极小值点6.已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c =A .2-或2B .9-或3C .1-或1D .3-或17.（2012重庆理）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A .函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB .函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC .函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D .函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f8.（2012重庆文）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是解：∵()f x 在2x =-处取得极小值，∴当2x <-时，()f x 单调递减，即()0f x '<；当2x >-时，()f x 单调递增，即()0f x '>. ∴当2x <-时，()0y xf x '=>；当2x =-时，()0y xf x '==；当20x -<<时，()0y xf x '=<；当0x =时，()0y xf x '==；当0x >时，()0y xf x '=>.答案：选C9.（2012年新课标理）设点P 在曲线1e 2x y =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为A .1ln2- Bln 2)- C .1ln2+ Dln 2)+解：函数1e 2x y =与ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称，故||PQ 的最小值就应是点P （或点）到直线y x =的最小距离的2倍.设函数1e 2x y =图象上点00(,)P x y 处的切线平行于直线y x =.则有0001|e 1ln212x x x k y x y ='===⇒=⇒=,因此，直线y x =与 曲线1e 2x y =ln 2)-ln 2)2ln 2)-⨯-. 答案：选B变式 设点P 在曲线e x y =上，点Q 在曲线11y x=-上，则||PQ 的最小值为 A1)- B1)- CD解：函数e x y =的反函数为ln y x =，考查函数ln y x =与图象11y x =-的公共点情况，即考查方程1ln 1x x=-的解的个数，即考查函数1()ln 1h x x x=+-的零点个数.1()ln 1h x x x =+-，22111()x h x x x x-'=-=，当01x <<时，()0h x '<，()h x 递减；当1x >时，()0h x '>，()h x 递增.故0x >时，()(1)0h x h ≥=，即1ln 1x x≥-，仅当1x =时，取等号.因此||PQ 最小值就是函数e x y =及其反函数ln y x =图象上两点距离最小值，易知A BC D此时(0,1)P ，(1,0)Q ，故||PQ .答案：选C10.（2012年湖南文）设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是()f x 的导数，当[0,]x π∈时，0()1f x <<；当(0,)x π∈且2x π≠时，()02x f x π⎛⎫'-> ⎪⎝⎭.则函数()sin y f x x=-在[2,2]ππ-上的零点个数为A .2B .4C .5D .8解：根据函数()f x 的性质，将()sin y f x x =-的零点个数转化为函数1()y f x =与2sin y x =图象的交点的个数. ∵()02πx f x ⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，当2πx π<<时，()0f x '>，∴()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数；当02πx <<时，()0f x '<，∴()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数.设2πx π≤≤，则02πx π≤-≤.由()f x 是以2π为最小正周期的偶函数知(2)()f πx f x -=.故2πx π≤≤时，0()1f x <<. 依题意作出草图可知，1()y f x =与2sin y x =在[2,2]ππ-上有四个交点. 答案：选B11.（2012年辽宁理）若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是 A .2e 1x x x ≤++ B 211124x x ≤-+ C .21cos 12x x ≥- D .21ln(1)8x x x +≥-解：对选项A ，在区间[0,)+∞上，函数e x y =和21y x x =++的增长速度不在同一个“档次”上，随着x 的增大，e x y =的增长速度越来越快，会超过并会远远大于21y x x =++的增长速度，故不等式2e 1x x x ≤++不能恒成立.对选项B ：令t ，则1t ≥，21x t =-.于是，原不等式对[0,)x ∈+∞是否恒成立534740t t t ⇔-+-≥对[1,)t ∈+∞是否恒成立.记53()4740,[1,)f t t t t t =-+-≥∈+∞，则42()51275(1)(1),[1,)f t t t t t t t t ⎛'=-+=+-∈+∞ ⎝，易知()f t 在⎛ ⎝内递减.当t ⎛∈ ⎝时，()(1)0f t f <=，故不等式534740t t t -+-≥对[1,)t ∈+∞不恒成立，从而排除选项B. 对选项C ：记21()c o s 1,[0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-≥在[0,)+∞上恒成立，故()f x 在[0,)+∞上递增，所以()(0)0f x f ≥=，即当[0,)x ∈+∞时，不等式21cos 12x x ≥-+恒成立.对选项D ：取4x =，则左边2ln5lne 2=<==右边，此时21ln(1)8x x x +<-，从而排除选项D. 答案：选C12.（2012年福建文）已知32()69,f x x x x abc a b c =-+-<<，且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论：①(0)(1)0f f >；②(0)(1)0f f <；③(0)(3)0f f >；④(0)(3)0f f <.其中正确结论的序号是A .①③B .①④C .②③D .②④13.（2012山东文）设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+，若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有两个不同的公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则下列判断正确的是A .120x x +>，120y y +>B .120x x +>，120y y +<C .120x x +<，120y y +>D .120x x +>，120y y +<解：设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只需(0)0F =或203F b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为(0)1F =，故必有203F b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由此得b 不妨设12x x <，则223x b =所以1()()(F x x x x =-，比较系数得1x -，故1x =120x x +，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<. 答案：B13.（2012全国大纲理）已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c = A .2-或2 B .9-或3 C .1-或1 D .3-或1解：∵2333(1)(1)y x x x '=-=+-，∴当1x <-时，0y '>，函数单调递增；当11x -<<时，0y '<，函数单调递减；当1x >时，0y '<，函数单调递增.因此，当1x =-时，函数取得极大值2c +；当1x =时，函数取得极小值2c -. 当函数图象与轴恰有两个公共点时，必有20c +=或20c -=，∴2c =-或2c =. 答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.（2012新课标文）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为 .提示：33ln 13ln 4y x x x x'=++⋅=+，故1|4x k y ='==，所求切线方程为14(1)y x -=-，即43y x =-. 答案：43y x =-.14.（2012年广东理）曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为 .15.（2012年山东理）设0a >，若曲线y =x a =，0y =所围成封闭图形的面积为2a ，则a = .提示：3322202233S x x a a ====⎰，故49a =.答案：49. 16.（2012年浙江理、文）定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线21:C y x a =+到直线:l y x =的距离等于曲线222:(4)2C x y ++=到直线:l y x =的距离，则实数a = .曲线2C 是圆心为(0,4)-，半径r 圆心到直线:l y x =的距离1d 所以曲线2C 到直线l 的距离为1d r -.设曲线1C 上的点00(,)x y 到直线:l y x =的距离最短为d ，则过00(,)x y 的切线平行于直线y x =.已知函数2y x a =+，则0|21x xy x ='==，即012x =，014y a =+，点00(,)x y 到直线:l y x =的距离111||||a a d ⎛⎫-+- ⎪，由题意1||a -74a =-或94a =.当74a =-时，直线l 与曲线1C 相交，不合题意，故舍去.答案：49. 16.（2012年江西理）计算定积分121(sin )d x x x -+=⎰ .解：111112231111112(sin )d d sin d cos 33x x x x x x x x x -----+=+=-=⎰⎰⎰. 答案：23. 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17.（2012年新课标文）设函数()e 2x f x ax =--.（1）求()f x 的单调区间；（2）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值.解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()e x f x a '=-. 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增.若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>.所以，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.故()f x 的递减区间为(,ln )a -∞，递增区间为(ln ,)a +∞. （2）由于1a =，所以()()1()(e 1)1x x k f x x x k x '-++=--++. 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0)e 1x x k x x +<+>-.① 令1()e 1x x g x x +=+-，则22e 1e (e 2)()1(e 1)(e 1)x x x x x x x g x ----'=+=--. 由（1）知，函数()e 2x h x x =--在(0,)+∞上单调递增.而(1)0h <，(2)0h >，所以()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点，故()g x '在(0,)+∞上存在唯一的零点.设此零点为α，则(1,2)α∈.当(0,)x α∈时，()0g x '<；当(,)x α∈+∞时，()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g α. 又由()0g α'=，可得e 2αα=+，所以()1(2,3)g αα=+∈. 由于①式等价于()k g α<，故整数k 的最大值为2.18.（2012年新课标理）已知函数121()(1)e (0)2x f x f f x x -'=-+.（1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值.解：（1）求导：1()(1)e (0)x f x f f x -''=-+，令1x =，则0(1)(1)e (0)1(0)1f f f f ''=-+⇒=. 在原函数中，令0x =，则01(0)(1)e 1(1)e f f f -''==⇒=，故21()e 2x f x x x =-+. 由于()e 1x f x x '=-+，故当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>. 从而，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，单调增区间为(0,)+∞.（2）由已知条件得e (1)x a x b -+≥.（*） ①若10a +<，则对任意实数b ，当0x <，且11bx a -<+时，可得e (1)x a x b -+<，因此（*）式不成立. ②若10a +=，则(1)0a b +=.③若10a +>，设()e (1)x g x a x =-+，则()e (1)x g x a '=-+.当(,ln(1))x a ∈-∞+时，()0g x '<；当(ln(1),)x a ∈++∞时，()0g x '>. 从而()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 故()g x 有最小值(ln(1))1(1)ln(1)g a a a a +=+-++.所以21()2f x x ax b ≥++等价于1(1)ln(1)b a a a ≤+-++.（**） 因此22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++.设22()(1)(1)ln(1)h a a a a =+-++，则()(1)[12l n (1)]ha a a '=+-+.所以()h a 在121,e 1⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在12e 1,⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，故()h a 在12e 1a =-处取得最大值.从而e ()2h a ≤，即e (1)2a b +≤.当12e 1a =-，12e 2b =时，（**）式成立，故21()2f x x ax b ≥++.综上，(1)a b +的最大值为e 2.19.（2012年江苏理）已知,a b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点. （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点； （3）设()(())h x f f x c =-，其中[2,2]c ∈-，求函数()y h x =的零点个数.解：（1）由题设知2()32f x x ax b '=++，且(1)320f a b '-=-+=，(1)320f a b '=++=，解得0a =，3b =-.（2）由（1）知3()3f x x x =-.因为2()2(1)(2)f x x x +=-+，所以()0g x '=的根为121x x ==，32x =-，于是函数()g x 的极值点只可能是1或2-.当2x <-时，()0g x '<；当21x -<<时，()0g x '>，故2-是()g x 的极值点. 当21x -<<或1x >时，()0g x '>，故1不是()g x 的极值点. 所以的极值点为2-.（3）令()f x t =，则()()h x f t c =-.先讨论关于x 的方程()f x d =根的情况，[2,2]d ∈-. 当||2d =时，由（2）可知，()2f x =-的两个不同的根为1和2-， 注意到()f x 是奇函数，所以()2f x =的两个不同的根为1-和2.当||2d <时，因为(1)(2)20f d f d d --=-=->，(1)(2)20f d f d d -=--=--<， 所以2-，1-，1，2都不是()f x d =的根. 由（1）知()3(1)(1)f x x x '=+-.①当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，于是()f x 是单调递增函数，从而()(2)2f x f >=， 此时()f x d =无实根.同理，()f x d =在(,2)-∞-上无实根.②当(1,2)x ∈时，()0f x '>，于是()f x 是单调递增函数.又(1)0f d -<，(2)0f d ->，()y f x d =-的图象不间断，所以()f x d =在(1,2)内有唯一实根.同理，()f x d =在(2,1)--内有唯一实根.③当(1,1)x ∈-时，()0f x '<，故()f x 是单调减函数.又(1)0f d -->，(1)0f d -<，()y f x d =-的图象不间断，所以()f x d =在(1,1)-内有唯一实根.由上可知：当||2d =时，()f x d =有两个不同的实根1x ，2x 满足1||1x =，2||2x =；当||2d <时，()f x d =有三个不同的实根345,,x x x 满足||2,3,4,5i x i <=.现考虑函数()y h x =的零点.（ⅰ）当||2c =时，()f t c =有两个根12,t t 满足1||1t =，2||2t =，而1()f x t =有三个不同的根，2()f x t =有两个不同的根，故()y h x =有5个零点.（ⅱ）当||2c <时，()f t c =有三个不同的根345,,t t t 满足||2(3,4,5)i t i <=，而()(3,4,5)i f x t i ==有三个不同的根，故()y h x =有9个零点.综上可知，当||2c =时，函数()y h x =有5个零点；当||2c <时，函数()y h x =有9个零点.20.（2012山东）已知函数ln ()e xx kf x +=（k 为常数，e 2.71828= 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.（1）求k 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）（理）设2()()()g x x x f x '=+，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，2()1e g x -<+.（文）设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，2()1e g x -<+.解：（1）由ln ()e x k f x +=，得1ln (),(0,)e kx x xf x x x --'=∈+∞. 因为曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行， 所以(1)0f '=，因此1k =. （2）由（1）得1ln (),(0,)e xx x xf x x x --'=∈+∞， 当(0,1)x ∈时，10x ->，ln 0x ->，()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时，10x -<，ln 0x x -<，()0f x '<. 所以()f x 的单调增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞. （3）（文）因为()()g x xf x '=，所以1()(1ln ),(0,)e xg x x x x x =--∈+∞. 令()1ln ,(0,)h x x x x x =--∈+∞，则2()ln 2(ln ln e ),(0,)h x x x x -'=--=--∈+∞.因此，当2(0,e )x -∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当2(e ,)x -∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减. 所以()h x 的最大值为22(e )1e h --=+，故2()1e h x -≤+. 又当(0,)x ∈+∞时，101e x<<， 故当(0,)x ∈+∞时，所以21()1e e h x -<+，即2()1e g x -<+. （理）证明：因为2()()()g x x x f x '=+，所以1()(1ln ),(0,)e xx g x x x x x +=--∈+∞. 因此，对任意0x >，2()1e g x -<+等价于2e 1ln (1e )1xx x x x ---<++.令()1ln ,(0,)h x x x x x =--∈+∞，则2()ln 2(ln ln e ),(0,)h x x x x -'=--=--∈+∞.因此，当2(0,e )x -∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当2(e ,)x -∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减. 所以()h x 的最大值为22(e )1e h --=+，故21ln 1e x x x ---≤+.设()e (1)x x x ϕ=-+.因为0()e 1e e x x x ϕ'=-=-，所以当(0,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，故当(0,)x ∈+∞时，()e (1)0x x x ϕ=-+>，即e 11xx >+. 所以22e 1ln 1e (1e )1x x x x x ----≤+<++.因此对任意0x >，2()1e g x -<+.21.（2012年安徽理）设函数1()e (0)e x xf x a b a a =++>. （1）求()f x 在[0,)+∞内的最小值；（2）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为32y x =，求,a b 的值. 解：（1）1()e e x f x a a '=-，当ln x a <-时，()0f x '<，()f x 在(,ln )a -∞-上递减；当ln x a >-时，()0f x '>，()f x 在(ln ,)a -+∞上递增.①若01a <<，ln 0a ->，()f x 在(0,ln )a -上递减，在(ln ,)a -+∞上递增，从而()f x 在[0,)+∞上的最小值为(ln )2f a b -=+； ②若1a ≥，ln 0a -≤，()f x 在(0,ln )a -上递增，从而()f x 在[0,)+∞上的最小值为1(0)f a b a=++.（2）依题意2213(2)e e 2f a a '=-=，解得2e 2a =或21e 2a =-（舍去）， 所以22e a =，代入原函数可得1232b ++=，即12b =，故22e a =，12b =. 变式 （2012年安徽文）设定义在(0,)+∞上的函数1()(0)f x ax b a ax=++>. （1）求()f x 的最小值；（2）设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =，求,a b 的值. 解：（1）2222211()()11()a x x a x a a f x a ax ax x +--'=-==，当10x a <<时，()0f x '<，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减；当1x a >时，()0f x '>，()f x 在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增. 所以当1x a=时，()f x 取最小值为2b +. 解法二：由题设和均值不等式可知，1()2f x ax b b ax =++≥+，其中等号成立当且仅当1ax =，即1x a=时，()f x 取最小值为2b +. （2）21()f x a ax '=-，依题意13(1)2f a a '=-=，解得2a =或12a =-（舍去）， 将2a =代入13(1)2f ab a =++=，解得1b =-，故2ea =，1b =-.22.（2012年浙江理）已知0a >，b ∈R ，函数3()42f x ax bx a b =--+.（1）证明：当01x ≤≤时，①函数()f x 的最大值为|2|a b a -+；②()|2|0f x a b a +-+≥. （2）若1()1f x -≤≤对[0,1]x ∈恒成立，求a b +的取值范围.解：（1）①22()122126b f x ax b a x a ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭.当0b ≤时，有()0f x '≥，此时()f x 在[0,)+∞上单调递增； 当0b >时，()12f x a x x ⎛'= ⎝，此时()f x在⎡⎢⎢⎣上单调递减，在⎫⎪⎪⎭上单调递增. 所以当01x ≤≤时，max 3,2,()max{(0),(1)}max{,3}|2|,2a b b a f x f f a b a b a b a a b b a-≤⎧==-+-==-+⎨-+>⎩.②由于01x ≤≤，故当2b a ≤时，333()|2|()34224222(221)f x a b a f x a b ax bx a ax ax a a x x +-+=+-=-+≥-+=-+. 当2b a >时，3333()|2|()42(1)244(1)244(1)22(221)f x a b a f x a b ax b x a ax a x a ax a x a a x x +-+=-+=+-->+-->+--=-+. 设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则2()626g x x x x ⎛'=-= ⎝⎭⎝⎭，于是()g x '，()g x 随x 的变化情况如下：所以，min ()10g x g ==.所以当01x ≤≤时，32210x x -+>.故3()|2|2(221)f x a b a a x x +-+≥-+. （2）由①知，当01x ≤≤时，m ax ()|2|f x a b a =-+，所以|2|1a b a -+≤.若|2|1a b a -+≤，则由②知()(|2|)1f x a b a ≥--+≥-.所以1()1f x -≤≤对任意01x ≤≤恒成立的充要条件是|2|1,0,a b a a -+≤⎧⎨>⎩即20,31,0a b a b a -≥⎧⎪-≤⎨⎪>⎩或20,1,0.a b b a a -<⎧⎪-≤⎨⎪>⎩（*）在直角坐标系aOb 中，（*）所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC . 做一组平行直线()a b t t +=∈R ，得13a b -<+≤，所以a b +的取值范围是(1,3]-.23.（2012年浙江文）已知a ∈R ，函数3()42f x ax ax a =-+. （1）求()f x 的单调区间；（2）证明：当01x ≤≤时，()|2|0f x a +->.解：（1）依题意得2()122f x x a '=-.当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞； 当0a >时，()12f x a x x ⎛'= ⎝，此时()f x的单调增区间为,⎛-∞ ⎝和⎫⎪⎪⎭，递减区间为⎛ ⎝. （2）证明：由于当01x ≤≤时，故当2a ≤时，33()|2|422442f x a x ax x x +-=-+≥-+； 当2a >时，333()|2|42(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+. 设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则2()626g x x x x ⎛'=-= ⎝⎭⎝⎭，于是()g x '，()g x 随x 的变化情况如下：所以，min ()10g x g ==.所以当01x ≤≤时，32210x x -+>.故3()|2|4420f x a x x +-≥-+>.24.（2012年辽宁理）设()ln(1)f x x ax b =++（,a b ∈R ，,a b 为常数），曲线()y f x =与直线32y x =在点(0,0)相切. （1）求,a b 的值；（2）证明：当02x <<时，9()6xf x x <+. 解：（1）由()y f x =过点(0,0)，得1b =-. 由()y f x =在(0,0)点的切线斜率为32，又0013||12x x y a x ==⎛'==+ +⎝，得0a =. （2）证法一：由均值不等式，当0x >时，112x x ++=+12x+.记9()()6x h x f x x =-+，则312(1)1545454(6)216(1)2()1(6)(6)2(1)(6)4(1)(6)x x x h x x x x x x x x +++-+'=<-=+++++++. 令3()(6)216(1)g x x x =+-+，则当02x <<时，2()3(6)2160g x x '=+-<. 因此()g x 在(0,2)内是递减函数.又(0)0g =，得()0g x <，所以()0h x '<. 因此()h x 在(0,2)内是递减函数.又(0)0h =，得()0h x <. 于是当02x <<时，9()6xf x x <+. （2）证法二：由（1）知()ln(1)1f x x =+.由均值不等式，当0x >时，112x x ++=+12x +.①记()ln(1)k x x x =+-，则(0)0k =，1()1011x k x x x -'=-=<++，故()0k x <，即ln(1)x x +<.② 由①②得，当0x >时，3()2f x x <. 记()(6)()9h x x f x x =+-，则当02x <<时，311()()(6)()9(6)(9[3(1)(6)(218(1)]212(1)h x f x x f x x x x x x x x x ''=++-<++-=+++-+++1[3(1)(6)(3)18(1)](718)02(1)24(1)x xx x x x x x x <++++-+=-<++. 因此()h x 在(0,2)内是递减函数.又(0)0h =，得()0h x <.即9()6xf x x <+. 25.（2012年辽宁文）设()ln 1f x x =.证明：（1）当1x >时，3()(1)2f x x <-；（2）当13x <<时，9(1)()5x f x x -<+.解：（1）证法一：记3()ln 1(1)2g x x x =--，则当1x >时，13()02g x x '=<.又(1)0g =，所以有()0g x <，即3()(1)2f x x <-.证法二：当1x >时，1x +122x+.① 令()ln 1k x x x =-+，则(1)0k =，1()10k x x'=-<，故()0k x <，即ln 1x x <-.②由①②得，当1x >时，3()(1)2f x x <-.（2）证法一：记9(1)()()5x h x f x x -=-+，由（1）得3112()1545454554(5)21622()(5)(5)2(5)4(5)4(1)(5)x x x x h x x x x x x x x x x ++++-'=<-=-=++++++. 令3()(5)216G x x x =+-，则当13x <<时，2()3(5)2160G x x '=+-<，因此()G x 在(1,3)上是减函数. 又由(1)0G =，得()0G x <，所以()0h x '<.因此()h x 在(1,3)内是递减函数.又(1)0h =，得()0h x <. 于是当13x <<时，9(1)()5x f x x -<+. （2）证法二：记()(5)()9(1)h x x f x x =+--，则当13x <<时，由（1）得231111()()(5)()9(1)(5)(9[3(1)(5)(2)18](73255)022224x h x f x x f x x x x x x x x x x x x''=++-<-++-=-++++-=-+<.因此()h x 在(1,3)内是递减函数.又(1)0h =，得()0h x <.即9(1)()5x f x x -<+. 26.（2012年福建理）已知函数2()e e ()x f x ax x a =+-∈R .（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间；（2）试确定a 的取值范围，使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .解：（1）由于()e 2e x f x ax '=+-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率20k a ==，所以0a =，即()e e x f x x =-. 此时()e e x f x '=-.当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>. 故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞.（2）设点00(,())P x f x ，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+，令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---，故曲线()y f x =在点P 处的切线与曲线只有一个公共点P 等价于函数()g x 有唯一零点.因为0()0g x =，且000()()()e e 2()x x g x f x f x a x x '''=-=-+-.①若0a ≥，当0x x >时，()0g x '>，则0()()0g x g x >=；当0x x <时，()0g x '<，则0()()0g x g x >=. 故()g x 只有唯一零点0x x =.由P 的任意性知，0a ≥不合题意. ②若0a <，令00()e e 2()x x h x a x x =-+-，则0()0h x =，()e 2x h x a '=+.当(,ln(2))x a ∈-∞-时，()0h x '<，从而()h x 在(,ln(2))a -∞-内单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0h x '>，从而()h x 在(ln(2),)a -+∞内单调递增.（ⅰ）若0ln(2)x a =-，当(,ln (2))x a ∈-∞-时，0()()()0g x h x h x '=>=；当(ln (2),)x a ∈-+∞时，0()()()0g x h x h x '=>=.所以()g x 在R 上单调递增.所以函数()g x 在R 上有且只有一个零点ln(2)x a =-.（ⅱ）若0ln(2)x a >-，由于()h x 在(ln(2),)a -+∞内单调递增，且0()0h x =，则当(ln(2),)x a ∈-+∞时有0()()()0g x h x h x '=<=，0()()0g x g x >=；任取10(ln(2),)x a x ∈-有1()0g x >.又当1(,)x x ∈-∞时，易知122200000000()e (e ())()()e (e ())()()x x g x ax f x x f x x f x ax f x x f x x f x ax bx c ''''=+-+-+<+-+-+=++，其中0(e ())b f x '=-+，1000e ()()x c f x x f x '=-+. 由于0a <，则必存在21x x <，使得2220ax bx c ++<. 所以2()0g x <，故()g x 在21(,)x x 内存在零点，即()g x 在R 上至少有两个零点. （ⅲ）若0ln(2)x a <-，仿（ⅱ）并利用3e 6x x >，可证函数()g x 在上R 至少有两个零点. 综上，当0a <时，曲线()y f x =上存在唯一的点(ln(2),(ln(2)))P a f a --，曲线在该点处的切线与曲线有且只有一个公共点P .27.（2012福建文）已知函数3()sin ()2f x ax x a =-∈R ，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-.（1）函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数，并加以证明.28.（2012天津理）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >.（1）求a 的值；（2）若对任意的[0,)x ∈+∞，有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值； （3）证明：12ln(21)2()21ni n n i *=-+<∈-∑N .解：(1)()f x 的定义域为(,)a -+∞. 由()ln()f x x x a =-+，得1(1)()1x a f x x a x a--'=-=++，显然导函数零点1(,)x a a =-∈-+∞. 当1a x a -<<-时，()0f x '<，()f x 递减；当1x a >-时，()0f x '>，()f x 递增.故1x a =-时，()f x 有极小值(1)1f a a -=-，因为()f x 是单峰函数，故m in ()(1)10f x f a a =-=-=，得1a =. （2）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥，则()0g x ≥对[0,)x ∈+∞恒成立当且仅当m in ()0(0)g x g ≥=，取1x =，则应有(1)1ln20g k =-+≥，从而0k >. 1[(12)]()2112(1)x x k g x kx x k x --'=-+=++. ①若120k -<，即12k >，则当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增. 这时有m in ()0(0)g x g ≥=，故12k >适合题意. ②若120k ->，即12k <，则当(0,12)x k ∈-时，()0g x '<，()g x 递减；当(12,)x k ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 递增. 取0(0,12)x k ∈-，有2000()(0)0()0g x g kx f x <=⇒-<，即200()f x kx ≤不成立.故102k <<不合题意.③若12k =，则2()01x g x x '=≥+在[0,)+∞上恒成立，仅当0x =时取等号，故()g x 递增. 综上，k 的最小值为12. （3）当1n =时，不等式左边2ln32=-<=右边，所以不等式成立. 当2n ≥时，1111122222ln 1[ln(21)ln(21)]ln(21)2121212121nn n n ni i i i i f i i n i i i i i =====⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+--=-+⎪ ⎪⎢⎥-----⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑. 在（2）中取12k =，得21()(0)2f x x x ≤≥，从而222(,2)21(21)(23)(21)f i i i i i i *⎛⎫≤<∈≥ ⎪----⎝⎭N ， 所以有112222221ln(21)(2)2ln32ln312212121(23)(21)21nn n ni i i i n f f f i i i i i n ====⎛⎫⎛⎫-+==+<-+=-+-< ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑. 综上，12ln(21)2()21ni n n i *=-+<∈-∑N . 29.（2012天津文）已知函数3211(),32a f x x x ax a x -=+--∈R ，其中0a >.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(2,0)-内恰有两个零点，求a 的取值范围；（3）当1a =时，设函数()f x 在区间[,3]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，记()()()g t M t m t =-，求函数()g t 在区间[3,1]--上的最小值.30.（2012陕西理）设函数()(,,)n n f x x bx c n b c *=++∈∈N R（1）设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点；（2）设2n =，若对任意12,[1,1]x x ∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围；（3）在（1）的条件下，设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的零点，判断数列23,,,,n x x x 的增减性.30.（2012陕西文）设函数()(,,)n f x x bx c n b c *=++∈∈N R（1）设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点；（2）设n 为偶数，|(1)|1f -≤，|(1)|1f ≤，求3b c +的最小值和最大值；（3）设2n =，若对任意12,[1,1]x x ∈-，有12|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围.31.（2012湖南理）已知函数()e ax f x x =-，其中0a ≠.（1）对一切x ∈R ，()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）在函数()f x 的图象上取定两点11(,())A x f x ，2212(,())()B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k .问：是否存在012(,)x x x ∈，使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.32.（2012湖南文）已知函数()e x f x ax =-，其中0a >.（1）对一切x ∈R ，()1f x ≥恒成立，求a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上取定两点11(,())A x f x ，2212(,())()B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k .证明：存在012(,)x x x ∈，使0()f x k '=成立.33.（2012北京理）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值； （2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.34.（2012北京文）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值； （2）当3a =，9b =-时，求函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围.35.（2012江西理）若函数()h x 满足①(0)1h =，(1)0h =；②对任意[0,1]a ∈，有(())h h a a =；③在(0,1)上单调递减.则称()h x 为补函数.已知函数11()(1,0)1ppp x h x λp λx ⎛⎫-=>-> ⎪+⎝⎭. （1）判断函数()h x 是否为补函数，并证明你的结论；（2）若存在[0,1]m ∈，使()h m m =，称m 是函数()h x 的中介元.记1()p n n*=∈N 时()h x 的中介元为n x ，且1nn i i S x ==∑对任意的n *∈N ，都有12n S <，求λ的取值范围； （3）当0λ=，(0,1)x ∈时，函数()y h x =的图象总在直线1y x =-的上方，求p 的取值范围.36.（2012江西文）已知函数2()()e x f x ax bx c =++在[0,1]上单调递减且满足(0)1f =，(1)0f =. （1）求a 的取值范围；（2）设()()()g x f x f x '=-，求()g x 在[0,1]上的最大值和最小值.37.（2012湖北理）（1）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<.()f x 求的最小值；（2）试用（1）的结果证明如下命题：设10a ≥，20a ≥，12,b b 为正有理数. 若121b b +=，则12121122b ba a ab a b ≤+； （3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题.注：当α为正有理数时，有求导公式1()ααx αx -'=. 解：（1）11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-.当01x <<时，()0f x '<，故()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，故()f x 单调递增. 故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =.（2）由（1）知，当(0,)x ∈+∞时，有()(1)0f x f ≥=，即(1)r x rx r ≤+-. ①若12,a a 中有一个为0，则12121122b ba a ab a b ≤+成立. 若12,a a 均不为0，由121b b +=，可得211b b =-，于是在①中令12a x a =，1r b =，可得1111122(1)b a a b b a a ⎛⎫≤⋅+- ⎪⎝⎭，即111121121(1)b b a a a b a b -≤+-，亦即111121122b ba a ab a b -≤+. 综上，对10a ≥，20a ≥，12,b b 为正有理数，且121b b +=，总有111121122b ba a ab a b -≤+. ② （3）（2）中的命题推广形式为：设12,,,n a a a 为非负实数，12,,,n b b b 为正有理数，若121n b b b +++= ，则12121122n b b b n n n a a a a b a b a b ≤+++ .③用数学归纳法证明如下：（ⅰ）当1n =时，11b =，有11a a ≤，③成立.（ⅱ）假设当n k =时，③成立，即若12,,,k a a a 为非负实数，12,,,k b b b 为正有理数，且121k b b b +++= ，则12121122kb b bk k k a a a a b a b a b ≤+++ .当1n k =+时，已知121,,,,k k a a a a + 为非负实数，121,,,,k k b b b b + 为正有理数，且1211k k b b b b +++++= ， 此时101k b +<<，即110k b +->，于是12111111112121111121121121()()kkk kk k k k k k b b b b b b b b b b b b b b b bk k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++----+++==⋅ . 因为121111111k k k k b b b b b b ++++++=--- ，由归纳假设可得 12111111112212121211111111k k k k b b b b b b k k k kk k k k k b a b a b a b b b a a aa a ab b b b +++---+++++++≤⋅+⋅++⋅=---- . 从而1111211122121111k kk k b b b b b bk k k k k k a b a b a b a a a a a b +++-+++⎛⎫+++≤⋅ ⎪-⎝⎭.又因为11(1)1k k b b ++-+=，由②得11111221122111111221111(1)11k k b b k k k kk k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b ++-++++++++⎛⎫++++++⋅≤⋅-+=++++ ⎪--⎝⎭，从而112121112211kk b b b bk k k k k k a a a a a b a b a b a b ++++≤++++ .故当1n k =+时，③成立.由（ⅰ）、（ⅱ）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立.38.（2012湖北文）设函数()(1)(0)n f x ax x b x =-+>，n 为正整数，,a b 为常数，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=.（1）求,a b 的值； （2）求函数()f x 的最大值； （3）证明：1()ef x n <. （1）解：因为(1)f b =，由点(1,)b 在直线1x y +=上，可得11b +=，即0b =. 因为1()(1)n n f x anx a n x -'=-+，所以(1)f a '=-.又因为切线1x y +=的斜率为1-，所以1a -=-，即1a =.故1a =，0b =.（2）解：有（1）知1()(1)n n n f x x x x x +=-=-，1()(1)1n n f x n x x n -⎛⎫'=+-⎪+⎝⎭.当0,1n x n ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，()0f x '>，故()f x 单调递增；当,1n x n ⎛⎫∈+∞⎪+⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 单调递减. 故()f x 在(0,)+∞上的最大值为1111(1)nn n nn n f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （3）证明：令1()ln 1(0)φt t t t =-+>，则22111()(0)t φt t t t t-'=-=>. 当(0,1)t ∈时，()0φt '<，故()φx 单调递减；当(1,)t ∈+∞时，()0φt '>，故()φt 单调递增. 故在(0,)+∞上()φt 的最小值为(1)0φ=，所以()0(1)φt t >>，即1ln 1(1)t t t>->.令11t n =+，得11ln 1n n n +>+，两边取对数得11ln ln e n n n ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以11e n n n ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，即11(1)en n n n n +<+. 由（2）知11()(1)en n n f x n n +≤<+.39.（2012大纲理）设函数()cos ,[0,]f x ax x x π=+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()1sin f x x ≤+，求a 的取值范围.解：（1）()sin f x a x '=-.①当1a ≥时，()0f x '≥，且仅当1a =，2x π=时，()0f x '=，所以()f x 在[0,]π上是增函数；②当0a ≤时，()0f x '≤，且仅当0a =，0x =，或x π=时，()0f x '=，所以()f x 在[0,]π上是减函数； 当01a <<时，方程()0f x '=有两实根1x ，2x . 当1[0,)x x ∈时，sin x a <，()0f x '>，()f x 是增函数； 当12(,)x x x ∈时，sin x a >，()0f x '<，()f x 是减函数； 当2(,]x x π∈时，sin x a <，()0f x '>，()f x 是增函数. （2）.40.（2012全国大纲文）已知函数321()3f x x x ax =++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 有两个极值点12,x x ，若过两点11(,())x f x ，22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上，求a 的值.41.（2012四川理）已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A .设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距.（1）用a 和n 表示()f n ；（2）求对所有n 都有33()1()11f n n f n n -≥++成立的a 的最小值；（3）当01a <<时，比较11()(2)nk f k f k =-∑与27(1)()4(0)(1)f f n f f -⋅-的大小，并说明理由.解：（1）由已知得，交点A 的坐标为⎫⎪⎪⎭，对212ny x a=-+求导得2y x '=-，则抛物线在A 处的切线方程为y x =，即n y a =+，则()n f n a =.（2）由（1）知()n f n a =，则33()1()11f n n f n n -≥++成立的充要条件是321n a n ≥+.即知321n a n ≥+对所有n 成立.特别地，取2n =，得到a当a 3n ≥时，122331223332314(13)1C 3C 3C 31C 3C 3C 312[5(2)(25)]212n n n n n n n n n a n n n n n >=+=+⋅+⋅+⋅+≥+⋅+⋅+⋅=++-+->+ .当0,1,2n =时，显然321n n ≥+.故当a 3()1()11f n n f n n -≥++对所有自然数n 都成立.所以满足条件的a . （3）由（1）知()k f k a =，则21111()(2)nnk kk k f k f k a a ===--∑∑，(1)()(0)(1)1nf f n a a f f a--=--. 下面证明：1127(1)()()(2)4(0)(1)nk f f n f k f k f f =->⋅--∑.首先证明：当01x <<时，21274x x x ≥-. 设函数227()()1,014g x x x x x =-+<<，则812()43g x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.当203x <<时，()0g x '<；当213x <<时，()0g x '>. 故()g x 在区间(0,1)上的最小值min 2()03g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以，当01x <<时，()0g x ≥，即得21274x x x ≥-. 由01a <<知01()k a k *<<∈N ，因此21274k kka a a ≥-，从而 121111127272727(1)()()(2)441414(0)(1)n n nnn k k k k k k a a a a f f n a f k f k a a a a f f +===---=≥=⋅>⋅=⋅-----∑∑∑. 42.（2012四川文）已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A .设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距.（1）用a 和n 表示()f n ； （2）求对所有n 都有()1()11f n nf n n -≥++成立的a 的最小值；（3）当01a <<时，比较111(1)(2)(2)(4)()(2)f f f f f n f n +++--- 与(1)(1)6(0)(1)f f n f f -+⋅-的大小，并说明理由.解：（1）由已知得，交点A 的坐标为⎫⎪⎪⎭，对212ny x a=-+求导得2y x '=-，则抛物线在A 处的切线方程为y x =，即n y a =+，则()n f n a =.。

2012年普通高等学校招生全国统一考试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1.答题前，考试在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

一、选择题1．已知集合{}|A x x =是平行四边形，{}|B x x =是矩形，{}|C x x =是正方形，{}|D x x =是菱形，则A ．AB ⊆ B ．C B ⊆ C ．D C ⊆ D ．A D ⊆2．函数1)y x =≥-的反函数为A ．21(0)y x x =-≥B ．21(1)y x x =-≥C ．21(0)y x x =+≥D ．21(1)y x x =+≥3．若函数[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则ϕ= A ．2πB ．23πC ．32πD ．53π4．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=A ．2425-B ．1225-C ．1225 D ．24255．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为A ．2211612x y += B ．221128x y += C ．22184x y += D ．221124x y +=6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =A ．12n -B ．132n -⎛⎫⎪⎝⎭C ．123n -⎛⎫⎪⎝⎭D ．112n - 7．6名选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种8．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为A ．2BCD ．19．ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ⋅=，||1a =，||2b =，则AD =A ．1133a b -B ．2233a b -C ．3355a b -D ．4455a b -10．已知12,F F 为双曲线222x y -=的左，右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= A ．14 B ．35 C ．34 D ．4511．已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则 A ．x y z << B ．z x y << C ．z y x << D ．y z x <<12．正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，13AB BF ==动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 A ．8 B ．6 C ．4 D ．3二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．81()2x x+的展开式中2x 的系数为 ．14．若函数1030330x y y x y x y -+≥⎧⎪=+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为 ．15．当函数sin (02)y x x x π=≤<取最大值时，x = ．16．已知正方形1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1BB ，1CC 的中点，那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为 ．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）ABC ∆中，内角A ．B ．C 成等差数列，其对边,,a b c 满足223b ac =，求A ．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和23n n n S a +=． （Ⅰ）求23,a a ；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD，AC =2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =． （Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；（Ⅱ）设二面角A PB C --为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．20．（本小题满分12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲．乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独DABPE立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲．乙的比分为1比2的概率； （Ⅱ）求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．21．（本小题满分12分）已知函数321()3f x x x ax =++．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()f x 有两个极值点12,x x ，若过两点11(,())x f x ，22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上，求a 的值。

2012高考文科试题解析分类汇编：导数1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是【答案】C【解析】：由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-，()0f x '<，则()0xf x '>；2x >-，()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<，0x >时()0xf x '>【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题． 2.【2012高考浙江文10】设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞bB. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜bC. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞bD. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 【答案】A【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用，通过构造法技巧性方法确定函数的单调性. 【解析】若23abe a e b+=+，必有22a be a e b+>+．构造函数：()2xf x ex =+，则()20xf x e '=+>恒成立，故有函数()2x f x e x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．3.【2012高考陕西文9】设函数f （x ）=2x+lnx 则 （ ）A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点 【答案】D.【解析】()22212'x f x xxx-=-+=，令()'0f x =，则2x =．当2x <时，()22212'0x f x x x x -=-+=<； 当2x >时，()22212'0x f x xx x-=-+=>．即当2x <时，()f x 是单调递减的；当2x >时，()f x 是单调递增的． 所以2x =是()f x 的极小值点．故选D ． 4.【2012高考辽宁文8】函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为（A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞） 【答案】B【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。

2012年高考文科数学解析分类汇编：数列一、选择题1 ．（2012年高考（四川文））设函数3()(3)1f x x x =-+-,{}n a 是公差不为0的等差数列,127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=,则=++721a a a （ ）A ．0B ．7C ．14D ．212 ．（2012年高考（上海文））若)(sin sin sin 7727*∈+++=N n S n nπππ ,则在10021,,,S S S 中,正数的 个数是 （ ） A ．16.B ．72.C ．86.D ．100.3 ．（2012年高考（辽宁文））在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10=（ ）A ．12B ．16C ．20D ．244 ．（2012年高考（课标文））数列{n a }满足1(1)21nn n a a n ++-=-,则{n a }的前60项和为（ ）A ．3690B ．3660C ．1845D ．18305 ．（2012年高考（江西文））观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4 , |x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12 .则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为 （ ） A ．76 B ．80 C ．86 D ．926 ．（2012年高考（湖北文））定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}{},()n n a f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的如下函数:①2()f x x =;②()2xf x =;③()f x =④()ln ||f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 （ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④7 ．（2012年高考（福建文））数列{}n a 的通项公式cos2n n a n π=,其前n 项和为n S ,则2012S 等于（ ） A ．1006B ．2012C ．503D ．08 ．（2012年高考（大纲文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则n S =（ ）A ．12n -B ．132n -⎛⎫⎪⎝⎭C ．123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112n -9 ．（2012年高考（北京文））某棵果树前n 年得总产量n S 与n 之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 的值为 （ ）A ．5B ．7C ．9D ．1110．（2012年高考（北京文））已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ）A ．1322a a a +≥B ．2221322a a a +≥ C ．若13a a =,则12a a =D ．若31a a >,则42a a >11．（2012年高考（安徽文））公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数,且 3a 11a =16,则5a =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8二、填空题12．（2012年高考（重庆文））首项为1,公比为2的等比数列的前4项和4S =______13．（2012年高考（上海文））已知x f =1)(.各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ,)(2n n a f a =+.若20122010a a =,则1120a a +的值是_________.14．（2012年高考（辽宁文））已知等比数列{a n }为递增数列.若a 1>0,且2(a n +a n+2)=5a n+1 ,则数列{a n }的公比q = _____________________.15．（2012年高考（课标文））等比数列{n a }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q =_______ 16．（2012年高考（江西文））等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,公比不为1。