第03讲 二项式定理 (精讲)(学生版)

8.2二项式定理（精讲）一．二项式定理1.二项式定理：（a ＋b ）n ＝C n 0a n ＋C n 1a n －1b 1＋…＋C n k an －k b k ＋…＋C n n b n（n ∈N *） ①项数为n ＋1②各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n③字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列， 从第一项起，次数由零逐项增1直到n .2.通项公式：T k ＋1＝C n k an －k b k =g （r ）·x h （r ）它表示第k ＋1项①h （r ）＝0∈T r ＋1是常数项； ②h （r ）是非负整数∈T r ＋1是整式项； ③h （r ）是负整数∈T r ＋1是分式项； ④h （r ）是整数∈T r ＋1是有理项.3.二项式系数：二项展开式中各项的系数为C n 0，C n 1，…，C n n .二.二项式系数的性质一．形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤①写出二项展开式的通项公式T k ＋1＝C n k an －k b k ，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)； ②根据题目中的相关条件列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；③把k 代入通项公式中，即可求出T k ＋1，有时还需要先求n ，再求k ，才能求出T k ＋1或者其他量． 二．求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 ①根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式；②根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到； ③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量． 三.求二项式系数最大项1.如果n 是偶数，那么中间一项(第n2+1项)的二项式系数最大； 2，如果n 是奇数，那么中间两项(第n+12项与第n+12+1项)的二项式系数相等且最大.四.求展开式系数最大项求（a ＋bx ）n （a ，b ∈R ）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用{A k ≥A k -1,A k ≥A k+1,解出k .五．求三项展开式中特定项（系数）的方法方法一：通过变形把三项式化为二项式，再用二项式定理求解 方法二：两次利用二项展开式的通项求解方法三：利用排列组合的基本原理去求，把三项式看作几个因式之积，得到特定项有多少种方法从这几个因式中取因式中的量 六．二项式定理应用1．用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．2．利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．考点一 二项式定理的展开式【例1】（2023广西柳州）化简2341632248x x x x -+-+=（ ） A ．4x B ．()42x -C ．()42x +D ．()412x -【一隅三反】1．（2022·高二课时练习）设A ＝37＋27C ·35＋47C ·33＋67C ·3，B ＝17C ·36＋37C ·34＋57C ·32＋1，则A －B 的值为( ) A ．128B ．129C ．47D ．02．（2023·重庆九龙坡）1231261823n n n n n n C C C C -+++⋯+⨯=A ．2123n + B ．()2413n- C ．123n -⨯ D ．()2313n- 考点二 二项式指定项的系数【例21】（2023·全国·高三专题练习）在二项式82x ⎫⎪⎭的展开式中，含x 的项的二项式系数为（ ）A ．28B ．56C ．70D ．112【例22】（2022·甘肃兰州·统考一模）6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（ ）A ．40B ．40C ．20D ．20【例23】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）6211(2)2x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ）A ．270B ．240C ．210D ．180【例24】（2023·四川绵阳·统考二模）()32+nx 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【一隅三反】1．（2023·北京·高三专题练习）在二项式x x - ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 项的二项式系数为（ ）A ．5B ．5-C ．10D ．10-2．（2023·河南驻马店·统考二模）51(1)2x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A ．－112B ．－48C ．48D ．1123．（2023·全国·高三对口高考）在12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）A ．7-B ．7C ．358-D ．358考点三 三项式指定项系数【例3】（2023·全国·高三专题练习）52212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（ ）A ．252B ．220C ．220D ．252【一隅三反】1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）()52x x y -+的展开式中52x y 的系数为（ ）A ．10-B ．10C ．30-D ．302．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）6(23)x y z +-的展开式中23xy z 的系数为 （用数字作答）．3．（2023秋·福建三明·高三统考期末）512x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中常数项是 .（答案用数字作答）4．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）已知二项式51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x y 的项的系数为40-，则=a ．考点四 二项式系数性质【例4】（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）()612x +的展开式中二项式系数最大的项是（ ）A ．160B ．240C ．3160xD ．4240x【一隅三反】1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）x x + ⎪⎝⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，且常数项是252-，则下列说法正确的是（ ）A ．10n =B ．各项的二项式系数之和为1024C ．1a =-D ．各项的系数之和为10242．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知(12)n x -的展开式中第四项和第八项的二项式系数相等，则展开式中x 的系数为3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，则展开式中的常数项为 ．考法五 系数最大项和系数和【例51】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）()82x +的二项展开式中系数最大的项为 . 【例52】．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）（多选）已知函数()()626012612f x x a a x a x a x =-=+++⋅⋅⋅+（i a ∈R ，0,1,2,3,,6i =⋅⋅⋅）的定义域为R ，则（ ）A ．01261a a a a +++⋅⋅⋅+=-B ．135364a a a ++=-C ．123623612a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．()5f 被8整除余数为1【一隅三反】1．（2023·全国·模拟预测）81x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项为（ ）A ．70B ．56C ．3556x y 或5356x yD ．4470x y2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知()13nx +的展开式中前三项的二项式系数和为79，则展开式中系数最大的项为第（ ）A ．7项B ．8项C ．9项D ．10项 3．（2023春·山东青岛）（多选）已知9290129(12)x a a x a x a x +=++++，则（ ）A ．2144a =B ．9012893a a a a a +++++=C ．81379024682a a a a a a a a a +++=++++= D ．(0,1,2,,8,9)i a i =的最大值为6a4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）若()()()()102100121021111x a a x a x a x -=+-+-++-，x ∈R ，则（ ）A ．01a =B ．1012103a a a +++=C ．2180a =D ．9123102310103a a a a ++++=⨯考法六 二项式定理的应用【例61】（2023春·课时练习）设n 为奇数，那么11221111111111n n n n n n n C C C ---+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-除以13的余数是（ ）A ．3-B ．2C ．10D ．11【例62】（2023北京）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过20212天后是（ ） A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六【例63】（2023·全国·高三专题练习）6(1.05) ． 【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）81.02≈ （小数点后保留三位小数）． 2．（2023·辽宁丹东·统考一模）282除以7所得余数为 ． 3．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++≈ （精确到0.01）。

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知识点：
基本知识点梳理一、定理内容
二、基本概念
①二项式展开式：
等式右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式
②二项式系数：
展开式中各项的系数中的
③项数：
展开式第r+1项，是关于a,b的齐次多项式.
④通项：
展开式的第r+1项，记作
三、几个提醒
①项数：
展开式共有n+1项.
②顺序：
注意正确选择a与b，其顺序不能更改，
即：(a+b)n和(b+a)n是不同的.
③指数：
a的指数从n到0, 降幂排列；
b的指数从0到n,升幂排列。

各项中a，b的指数之和始终为n.
④系数：
正确区分二项式系数与项的系数：
二项式系数指各项前面的组合数；
项的系数指各项中除去变量的部分（含二项式系数）。

⑤通项：
通项是指展开式的第r+1项.
四、常用结论
五、几个性质
①二项式系数对称性：
展开式中，与首末两项等距的任意两项二项式系数相等。

②二项式系数最大值：
展开式的二项式系数中，最中间那一项（或最中间两项）的二项式系数最大。

即：
③二项式系数和：
二项展开式中，所有二项式系数和等于，即：
奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即：
（注：凡系数和问题均用赋值法处理）④杨辉三角中的二项式系数：
教案：
教学研讨课件：
基本题型归纳一、求二项展开式
二、求展开式的指定项
三、求展开式中系数和
四、求系数最大（最小）项
五、多项展开式
六、整除性问题
七、近似计算
八、证明不等式
练习：。

二项式定理内容要求层次重难点二项式定理 B1.理解二项式定理，能准确地写出二项式的展开式；2.会区分项的系数与项的二项式系数；3.掌握二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用；4.熟练掌握二项式定理的基本问题――通项公式及其应用二项展开式的特点与功能B二项式系数的性质B二项式定理的定义二项式定理的证明二项展开式的通项二项式系数的性质二项式定理高考要求知识框架二项式定理一、定义：n nn r r n rn n n n n n n n b b a b a b a a b a C C C C C ++++++=+---ΛΛ22211)( )(*N n ∈，这一公式表示的定理叫做二项式定理，其中公式右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式；上述二项展开式中各项的系数),,2,1,0(n r C rn Λ= 叫做二项式系数，第1+r 项叫做二项展开式的通项，用1+r T 表示；r r n rn r b a T C -+=1叫做二项展开式的通项公式． 二、二项展开式的特点与功能1. 二项展开式的特点项数：二项展开式共1+n （二项式的指数+1）项；指数：二项展开式各项的第一字母a 依次降幂（其幂指数等于相应二项式系数的下标与上标的差），第二字母b 依次升幂（其幂指数等于二项式系数的上标），并且每一项中两个字母的系数之和均等于二项式的指数n ；系数：各项的二项式系数下标等于二项式指数；上标等于该项的项数减去1（或等于第二字母b 的幂指数；2. 二项展开式的功能注意到二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a ，b 不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合恒等式．因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数”，它是解决组合多项式问题的原始依据．又注意到在b b a )(+的二项展开式中，若将各项中组合数以外的因子视为这一组合数的系数，则易见展开式中各组合数的系数依次成等比数列．因此，解决组合数的系数依次成等比数列的求值或证明问题，二项式公式也是不可或缺的理论依据． 三、二项式系数的性质1. 对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等．2. 单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得最大值．其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数C n n2最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数Cn n21-,Cn n21+ 相等，且最大．3. 组合总数公式：n nn n n n C C C C 221=++++Λ 即二项展开式中各项的二项式系数之和等于n 2． 4. “一分为二”的考察：二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛ．知识内容1. 二项式定理及其展开式【例1】 求5)1(x x +的展开式．【例2】 0．9915的近似值（精确到0.001）是【例3】 求证：（1）11--n n 能被2)1(-n 整除)3,(≥∈n N n ；2. 二项式系数【例4】 在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是（ ）A ． –14B ． 14C ． –28D ． 28【例5】 设1,2,3,4,5,k =则5)2(+x 的展开式中k x 的系数不可能是（ ）A ． 10B ． 40C ． 50D ． 80例题精讲【例6】 在8765)1()1()1()1(x x x x -+-+-+-的展开式中，3x 的项的系数为（ ）A ． 74B ． 121C ． –74D ． –121【例7】 已知n xx )21(3-)(*∈N n 的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，试求：（1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项； （3）系数最大的项．【例8】 设2002002210200)14(x a x a x a a x ++++=-Λ ，求 ①展开式中各二项式系数的和；②展开式中各项系数的和； ③19931a a a +++Λ的值 ④20042a a a +++Λ的值 ⑤20021a a a +++Λ 的值3. 二项式展开式的通项公式【例9】 求9)1(xx -的二项展开式中3x 的系数．【例10】 求7)21(x +的二项展开式中，第4项的系数和第4项的二项式系数．【例11】 求10)1(xx +的二项展开式的第6项．【例12】 二项式6)1(xx +的展开式中常数项的值为______．【例13】 103)1(xx -展开式中的常数项是______．【例14】 （2010江西卷理6）8)2(x -展开式中不含4x 项的系数的和为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．24. 二项式定理在解决整除性问题中的应用【例15】 今天是星期一，再过n 8天后的那一天是星期几？【例16】 9291除以100的余数是（ ）．5. 信息迁移【例17】 若)()21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-Λ，)()()(200402010a a a a a a ++++++Λ= _______．（用数字作答）【例18】 已知函数1212)(+-=x x x f ，求证：对于任意不小于3的自然数n ，都有1)(+>n n n f ．【例19】 求证：*12(1)3(2,)n n n N n <+<≥∈1. 在使用通项公式r r n rn r b a T C -+=1时，要注意：①通项公式是表示第r ＋1项，而不是第r 项②展开式中第r +1项的二项式系数C rn 与第r +1项的系数不同③通项公式中含有a ，b ，n ，r ，1+r T 五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n2. 证明组合恒等式常用赋值法3. 二项式定理应用通常有以下几类题型：①通项应用型：利用通项公式研究具体某一项系数的性质等问题②系数配对型：展开两因式乘积或可化为两因式乘积的三项式，求某项系数③系数性质型：灵活应用二项式系数性质或赋值求系数和④利用二项式定理求近似值，证明整除性或求余数问题，证明恒等式或不等式⑤在概率等方面的应用课堂总结【习题1】（2010全国Ⅰ卷理5）533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数是（ ）A ． -4B ． -2C ． 2D ． 4【习题2】4)2(x x +的展开式中3x 的系数是（ ）A 6B 12C 24D ． 48【习题3】73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A 14B -14C 42D -42【习题4】（2010陕西卷理4）)(5R x x a x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ）A ．-1B ．0．5C ．1D ．2【习题5】若n xxx )1(3+的展开式中的常数项为84，则n =_____________【习题6】已知n x x )1(lg +展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x 的值【习题7】(2010安徽卷理12）6)(xy y x -展开式中，3x 的系数等于________．课后检测。

(1)a x +
+-101021024
a ++
=·高二课时练习）计算：12C -·贵阳市白云区第二高级中学高二期末（理））若2727a x a x ++
+，则7a +
+=_________.赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理））已知式的各项二项式系数和与各项系数和均为求展开式中所有的有理项； (n a x ++-6，求r 的值
2
n n a x +（2n
n
a ++
的值： 33n a na ++的值.
江苏淮安·高二期末）（人，从中选择
选法．第二种：如果该组的组长参加活动，则从剩余的7人中选3人，有3
7C 种选法；如果该组的组长不参加活动，则从剩余的7人中选4人，有4
7C 种选法．因为这两种选法的效果
是一致的，所以我们可以得到一个等式：87434
7C C C =+．试将这种情形推广：从1n +个元素
中选择m 个元素的不同选法得到的等式是 ．并以此求解：
222
2342
8C C C C +++
+．（用数字作答）．。