选修2-3《组合数的性质》辅导与练习(带答案)

第一章计数原理排列与组合组合第课时组合与组合数公式级基础巩固一、选择题．已知平面内、、、这个点中任何点均不共线，则由其中任意个点为顶点的所有三角形的个数为( )．．．．解析：＝＝.答案：．集合＝{＝，是非负整数}，集合＝{，，，}，则下列结论正确的是( )．∪＝{，，，，} ．．⊆．∩＝{，}解析：依题意，中，可取的值为，，，，所以＝{，，}，所以∩＝{，}．答案：．下列各式中与组合数(≠)相等的是( )！) 解析：因为＝·＝，所以选项正确.．解析：因为＝·＝，所以选项正确.答案：．＋＋＋…＋＝( )．．．．解析：原式＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝…＝＋＝.答案：．个代表分张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( )．种．种．种．种解析：由于张同样的参观券分给个代表，每人最多分一张，从个代表中选个即可满足，故有种．答案：二、填空题．名志愿者中安排人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排人，则不同的安排方案共有种(用数字作答)．解析：第一步安排周六有种方法，第二步安排周日有种方法，所以不同的安排方案共有＝(种)．答案：．按血型系统学说，每个人的血型为、、、四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是型时，子女一定不是型，若某人的血型为型，则父母血型所有可能情况有种．解析：父母应为、或，＝(种)．答案：．从一组学生中选出名学生当代表的选法种数为，从这组学生中选出人担任正、副组长的选法种数为，若＝，则这组学生共有人．解析：设有学生人，则)＝，解之得＝.答案： 三、解答题答案：三、解答题。

组合 同步练习2【复习填空】1. 试说明排列与组合定义的要点.2. mn C = = = . 3. 组合数的性质① ；② .4.①从8名乒乓球选手中选出3名打团体赛，共 有 种不同的选法；②平面内有12个点，任何3点不在同一条直 线上，以每3点为顶点画一个三角形，一共可画出 个；③10名学生，7人扫地，3人推车，那么不同 的分工方法有 种；④有10道试题，从中选答8道，共有 种选法、又若其中6道必答，共有 不同的种选法.【例题与练习】1.有13个队参加篮球赛，比赛时先分成两组，第一组7个队，第二组6个队.各组都进行单循环赛（即每队都要与本组其他各队比赛一场），然后由各组的前两名共4个队进行单循环赛决定冠、亚军，共需要比赛多少场？2.某班有54位同学，正、副班长各1名，现选派6名同学参加某科课外小组，在下列各种情况中 ，各有多少种不同的选法？①无任何限制条件；②正、副班长必须入选；③正、副班长只有一人入选；④正、副班长都不入选；⑤正、副班长至少有一人入选；⑥正、副班长至多有一人入选；小结：至多至少问题常用分类的或排除法.3.在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求，各有多少种不同的抽法？①无任何限制条件；②全是正品；③只有2件正品；④至少有1件次品；⑤至多有2件次品；⑥次品最多.【课后检测】1.9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ ）A.2524C C ⋅ B.443424C C C ++ C.2524C C + D.054415342524C C C C C C ⋅+⋅+⋅2.从8名男生和6名女生中挑选3人，最多选2名女生的选法种数为（ ）A.288B.344C.364D.6243.有4名男生和5名女生，从中选出5位代表：（1）要求男生2名，女生3名且某女生必须在内的选法有 种；（2）要求男生不少于2名的选法有 种.4.从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中，每次任取两个，和为偶数的取法有种.5.圆上有10个点：（1）过每2点可画一条弦，一共可画多少条弦？（2）过每3点可画一个圆内接三角形，一共可画多少个圆内接三角形？8.（1）凸五边形有多少条对角线？（2）凸n边形有多少条对角线？9.某校高中一年级有6个班，高二年级有5个班，高三年级有8个班.各年级分别进行班与班的排球单循环赛，一共需要比赛多少场？。

7．3组__合第一课时组合与组合数公式及其性质[读教材·填要点]1．组合从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素，不论次序地构成一组，称为一个组合，我们用符号C m n表示所有不同的组合个数，称C m n为从n个不同的元素中取m个元素的组合数．2．组合数有关公式(1)C m n＝A m nA m m＝n(n－1)…(n－m＋1)m！,0≤m≤n.(2)C m n＝n！m！(n－m)！,0≤m≤n.3．组合数的性质(1)C m n＝C n－mn，(2)如果C m n＝C k n，则m＝k或者m＝n－k，(3)C m n＋1＝C m n＋C m－1n.[小问题·大思维]1．“abc”和“acb”是相同的排列还是相同的组合？提示：由于“abc”与“acb”的元素相同，但排列的顺序不同，所以“abc”与“acb”是相同的组合，但不是相同的排列．2．如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？提示：区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素是否与顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．3．“组合”和“组合数”是同一个概念吗？有什么区别？提示：“组合”与“组合数”是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数.组合的概念[例1](1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？[解](1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．(3)两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题．区分排列与组合的方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．1．判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)因为一种分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．组合数公式及其性质应用[例2](1)n n＋1(2)求证：C m n＝m＋1n－mC m＋1n.[解](1)⎩⎪⎨⎪⎧5－n≤n，5－n≥0，9－n≤n＋1，9－n≥0，解得4≤n≤5.又因为n∈N＋，所以n＝4或n＝5.当n＝4时，原式＝C14＋C55＝5，当n＝5时，原式＝C05＋C46＝16.(2)证明：因为C m n＝n！m！(n－m)！，m＋1n－mC m＋1n＝m＋1(m＋1)！·n！(n－m)(n－m－1)！＝n！m！(n－m)！，所以C m n＝m＋1n－mC m＋1n.关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用nn－mC m n－1＝nn－m·(n－1)！m！(n－1－m)！＝n！m！(n－m)！＝C m n进行计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C m n＝n！m！(n－m)！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C m n＝C n－mn简化运算．2．(1)计算C58＋C98100·C77；(2)计算C05＋C15＋C25＋C35＋C45＋C55；(3)解方程：C x2－x16＝C5x－516；(4)解不等式：C m－4m＞C m－6m－1＋C6m－1.解：(1)原式＝C38＋C2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32.(3)∵C x 2－x 16＝C 5x －516，∴x 2－x ＝5x －5 ① 或x 2－x ＋5x －5＝16. ② 解①得x ＝1或x ＝5. 解②得x ＝3或x ＝－7.经检验知，原方程的解是x ＝1或x ＝3.(4)原不等式可化为C 4m ＞C 5m －1＋C 6m －1，即C 4m ＞C 6m ，∴m ！4！(m －4)！＞m ！6！(m －6)！. ∴30＞(m －4)(m －5)． 即m 2－9m －10＜0， ∴－1＜m ＜10. 又∵m ≥7且m ∈N *， ∴m ＝7或8或9.组合的简单应用[例3] 5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加． [解] (1)C 512＝792种不同的选法；(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法； (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法，再从另外的9人中选4人有C 49种选法．共有C 13C 49＝378种不同的选法．解简单的组合应用题，只需按照组合的定义，直接列出组合数即可，注意分清元素的总个数及取出元素的个数，必要时，需要分清完成一件事情需要分类还是分步．在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．3．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素＝45.的组合数，即C210＝10×92×1(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C24种方法．根据分类加法计数原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21种不同的选法．(3)分步：首先从6名男教师中任选2名，有C26种选法，再从4名女教师中任选2名，有C24种选法，根据分步乘法计数原理，所以共有C26·C24＝90种不同的选法.解题高手妙解题345100[尝试][巧思]由于A2n＝C2n·A22(n≥2)，所以原式可变形为(C23＋C24＋C25＋…＋C2100)·A22，然后利用组合数性质C m n＋C m－1＝C m n＋1求解即可．n[妙解]原式＝C23A22＋C24A22＋…＋C2100A22＝(C23＋C24＋…＋C2100)·A22＝(C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C2100－C33)·A22＝(C34＋C24＋C25＋…＋C2100－C33)·A22＝(C35＋C25＋…＋C2100－C33)·A22…＝(C 3101－C 33)·A 22＝(C 3101－1)·A 22＝2C 3101－2＝333 298.1．以下四个问题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地 解析：选C 由组合的定义可知，选项C 属于组合问题． 2．已知C 2n ＝10，则n 的值为( ) A ．10 B ．5 C ．3D ．4解析：选B ∵C 2n ＝n (n －1)2×1＝10，∴n ＝5(n ＝－4舍去)． 3．异面直线a ，b 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( ) A ．20 B ．9C ．C 39D ．C 24C 15＋C 25C 14解析：选B 分两类：第一类，在直线a 上任取一点，与直线b 可确定C 14个平面；第二类，在直线b 上任取一点，与直线a 可确定C 15个平面．故可确定C 14＋C 15＝9个不同的平面．4．若C 4n ，C 5n ，C 6n成等差数列，则n ＝________. 解析：由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2·n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！.整理得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14.答案：7或145．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________.解析：∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝12. 答案：126．已知6C x －7x －3＝10A 2x －4，求x 的值．解：原方程变为6(x －3)！(x －7)！(x －3－x ＋7)！＝10(x －4)！(x －4－2)！(x ＞7)，即x 2－9x －22＝0.解得x 1＝11，x 2＝－2(舍去)， 所以x 的值为11.一、选择题1．计算：C 28＋C 38＋C 29＝( )A ．120B ．240C ．60D ．480解析：选A C 28＋C 38＋C 29＝7×82×1＋6×7×83×2×1＋8×92×1＝120. 2．已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为( )A ．3B ．4C ．12D ．24解析：选B 由于与顺序无关，所以是组合问题，共有C 34＝4个．3．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种解析：选A 先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有C 12C 24＝12种安排方案．4．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是( )A ．C 310C 35B ．C 410C 25 C ．C 515D ．A 410A 25解析：选B 按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有C 410C 25种抽法．二、填空题5．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n ＝________.解析：C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 答案：146．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有__________对．解析：三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C 46－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．答案：367．对所有满足1≤m ≤n ≤5的自然数m 、n ，方程x 2＋C m n y 2＝1所表示的不同椭圆的个数为________．解析：∵1≤m ≤n ≤5，∴C m n 有C 12，C 13，C 23，C 14，C 24，C 34，C 15，C 25，C 35，C 45共10个．其中C 13＝C 23，C 14＝C 34，C 15＝C 45，C 25＝C 35，所以x 2＋C m n y 2＝1能表示的不同椭圆有6个．答案：68．不等式C 2n －n <5的解集为________． 解析：由C 2n －n <5，得n (n －1)2－n <5， ∴n 2－3n －10<0.解得－2<n <5.由题设条件知n ≥2，且n ∈N ＋， ∴n ＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}． 答案：{2,3,4} 三、解答题9．(1)解方程：A 3m ＝6C 4m ； (2)解不等式：C x －18>3C x 8.解：(1)原方程等价于m (m －1)(m －2)＝6×m (m －1)(m －2)(m －3)4×3×2×1，∴4＝m －3，m ＝7.(2)由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤8，x ≤8，∴x ≤8，且x ∈N ＋，∵C x －18>3C x 8， ∴8！(x －1)！(9－x )！>3×8！x ！(8－x )！.即19－x >3x， ∴x >3(9－x )，解得x >274，∴x ＝7,8.∴原不等式的解集为{7,8}．10．袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球． (1)共有多少种不同结果？(2)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？ (3)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？解：(1)从4个白球，5个黑球中任取3个的所有结果有C 39＝84个不同结果． (2)设“取出3球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A ，A 所包含的种数为C 24C 15.所以共有C 24C 15＝30种不同的结果．(3)设“取出3球中至少有2个白球”的所有结果组成集合为B ，B 包含的结果数是C 34＋C 24C 15. 所以共有C 34＋C 24C 15＝34种不同的结果．第二课时 组合的综合应用有限制条件的组合问题[例1] 某医院从10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？[解] (1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C 24种选法，再从除去外科专家的6名专家中任选4名，有C 46种选法，所以共有C 24·C 46＝90(种)抽调方法． (2)“至少”的含义是“不低于”，有两种解答方法：法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24·C46种选法；②选3名外科专家，共有C34·C36种选法；③选4名外科专家，共有C44·C26种选法；根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185(种)抽调方法．法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C610种选法．考虑选取1名外科专家参加，有C14·C56种选法；考虑没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有C610－C14·C56－C66＝185(种)抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答：①没有外科专家参加，有C66种选法；②有1名外科专家参加，有C14·C56种选法．③有2名外科专家参加，有C24·C46种选法．所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115(种)抽调方法．保持例题条件不变，求恰有1名外科专家的抽调方法有多少种？解：恰有1名外科专家指：1名外科专家和5名非外科专家，故有C14·C56＝4×6＝24种不同的抽调方法．解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”，其中用直接法求解时，应依据“特殊元素优先安排”的原则，即优先安排特殊元素，再安排其他元素．而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面问题入手，试一试看是否简单些，特别是涉及“至多”、“至少”等组合问题时更是如此．此时正确理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．1．课外活动小组共13人，其中男生8名，女生5名，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两名队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．解：(1)一名女生，四名男生，故共有C15·C48＝350(种)选法．(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165(种)选法．(3)直接法：至少有一名队长当选含有两类情况：只有一名队长当选和两名队长都当选，故共有C12·C411＋C22·C311＝825(种)选法．间接法：共有C513－C511＝825(种)选法．(4)至多有两名女生当选含有三类情况：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选．故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966(种)选法．(5)分两类：第一类女队长当选：C412种；第二类女队长不当选：(C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44)种．故共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790(种)选法.几何问题中的组合问题[例2]平面上有(1)经过这9个点，可确定多少条直线？(2)以这9个点为顶点，可确定多少个三角形？(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？[解]法一：(直接法)(1)可确定直线C44＋C14C15＋C25＝31(条)．(2)可确定三角形C24C15＋C14C25＋C35＝80(个)．(3)可确定四边形C24C25＋C14C35＋C45＝105(个)．法二：(间接法)(1)可确定直线C29－C24＋1＝31(条)(2)可确定三角形C39－C34＝80(个)．(3)可确定四边形C49－C44－C34C15＝105(个)．解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形隐含的条件视为组合应用题的限制条件即可．计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．2．已知M，N是两个平行平面，在M内取4个点，在N内取5个点，这9个点中再无其他4点共面，则(1)这些点最多能确定几个平面？(2)以这些点为顶点，能作多少个三棱锥？解：法一：直接法：(1)在平面M内取2个点有C24种方法，在平面N内取1个点有C15种方法，这3个点肯定不共线，可构成C24C15个平面；在平面M内取1个点，在平面N内取2个点，可构成C14C25个平面，再有就是M、N这两个平面．共有C24C15＋C14C25＋2＝72个平面；(2)在平面M内取3个点有C34种方法，在平面N内取1个点有C15种方法，这4个点可构成C34 C15个三棱锥；在平面M内取2个点，在平面N内取2个点；还可以在平面M内取1个点，在平面N内取3个点．可构成C34C15＋C24C25＋C14C35＝120个三棱锥．法二：排除法：(1)从9个点中任取3个点的方法有C39种，其中从平面M内4个点中任取3个点，即C34种，从平面N内5个点中任取3个点，即C35种，这C34及C35表示的都仅仅是平面M及平面N.能构成C39－C34－C35＋2＝72个平面；(2)从9个点中任取4个点的方法C49中去掉从平面M内4个点取4个及从平面N内5个点任取4个点这两类构不成三棱锥(仅是平面M或平面N)的情况．能构成C49－C44－C45＝120个三棱锥．排列与组合的综合应用[例3]有5条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．[解](1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有C35C23＋C45C13种，后排有A55种，共(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400种．(2)除去该女生后，先选后排有C47·A44＝840种．(3)先选后排，但先安排该男生有C47·C14·A44＝3 360种．(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，其余3人全排有A33种，共C36·C13·A33＝360种．解决排列、组合综合问题要遵循两个原则：(1)按事情发生的过程进行分步；(2)按元素的性质进行分类．解决时通常从三个途径考虑；①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．3．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内．(1)共有几种放法？(2)恰有1个空盒，有几种放法？(3)恰有2个盒子不放球，有几种放法？解：(1)44＝256(种)．(2)先从4个小球中取2个放在一起，有C24种不同的取法，再把取出的两个小球与另外2个小球看作三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A34种不同的放法．根据分步乘法计数原理，不同的放法共有C24A34＝144(种)．(3)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C34种，再放到2个小盒中有A24种放法，共有C34A24种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有C24C24种放法，故恰有2个盒子不放球的方法共有C34A24＋C24C24＝84(种)．解题高手多解题少个？[解]法一：直接法把从5个偶数中任取2个分为两类：(1)不含0的：由3个奇数和2个偶数组成的五位数，可分两步进行：第1步，选出3奇2偶的数字，方法有C35C24种；第2步，对选出的5个数字全排列有A55种方法．故所有适合条件的五位数有C35C24A55个．(2)含有0的：这时0只能排在除首位(万位)以外的四个位置中的一个，有A14种排法；再从2,4,6,8中任取一个，有C14种取法，从5个奇数数字中任取3个，有C35种取法，再把取出的4个数全排列有A44种方法，故有A14C14C35A44种排法．根据分类加法计数原理，共有C35C24A55＋A14C14C35A44＝11 040个符合要求的数．法二：间接法如果对0不限制，共有C35C25A55种，其中0居首位的有C35C14A44种．故共有C35C25A55－C35C14A44＝11 040个符合条件的数．1．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有()A．36种B．48种C．96种D．192种解析：选C完成这件事情可用分步计数原理，有C24C34C34＝96种．2．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有()A．140种B．120种C．35种D．34种解析：选D若选1男3女有C14C33＝4种；若选2男2女有C24C23＝18种；若选3男1女有C34C13＝12种，所以共有4＋18＋12＝34种不同的选法．3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种B．35种C．42种D．48种解析：选A法一：选修1门A类，2门B类课程的选法有C13C24种；选修2门A类，1门B 类的课程的选法有C23C14种．故选法共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30(种)．法二：从7门选修课中选修3门的选法有C37种，其中3门课都为A类的选法有C33种，都为B类的选法有C34种，故选法共有C37－C33－C34＝30(种)．4．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．解析：第1步，从7名志愿者中选出3人在周六参加社区公益活动，有C37种不同的选法；第2步，从余下的4人中选出3人在周日参加社区公益活动，有C34种不同的选法．根据分步乘法计数原理，共有C37C34＝140种不同的安排方案．答案：1405．从4台甲型和5台乙型电视机中任选3台，其中至少有甲型和乙型电视各一台，则不同的取法有______种．解析：分为两类：第一类，选出的3台电视机有2台甲型1台乙型有C24C15种选法；第二类，选出的3台电视机有1台甲型2台乙型有C14C25种选法；根据分类加法计数原理共有C24C15＋C14C25＝70种．答案：706．某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选法？解：分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，此时选法有C45C46＝75(种)；第二类，选的4名钳工中有1名“多面手”，此时选法为C12C35C45＝100(种)；第三类，选的4名钳工中有2名“多面手”，此时选法为C22C25C44＝10(种)．由分类加法计数原理，得不同的选法共有75＋100＋10＝185(种)．一、选择题1．某班共有10名任课教师，其中4名男教师，6名女教师．教师节这天要表彰一位男教师和一位女教师，不同的表彰方法有()A．12种B．30种C．15种D．24种解析：选D分两步：第一步先选女教师，有C16种选法；第二步选男教师，有C14种选法，共有C16·C14＝24种选法．2．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有()A．6个B．12个C．18个D．30个解析：选B从6个顶点中任取4个有C46＝15种取法，其中四点共面的有3个，所以满足题意的四面体有15－3＝12个．3．将5名同学分成甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同分组方案的种数为()A．180 B．120C．80 D．60解析：选C由题意可得不同的组合方案种数为C25C23A22＋C35C12＝80.4．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有()A．140种B．120种C．35种D．34种解析：选D从7人中选4人，共有C47＝35种选法，4人全是男生的选法有C44＝1种．故4人中既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34.二、填空题5．从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有________种．解析：5人中选4人则有C45种，周五一人有C14种，周六两人则有C23，周日则有C11种，故共有C45×C14×C23＝60(种)．答案：606．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．解析：当入选的3名队员为2名老队员1名新队员时，有C13C12A22＝12种排法；当入选的3名队员为2名新队员1名老队员时，有C12C23A33＝36种排法．故共有12＋36＝48种排法．答案：487．将0,1,2,3,4,5这六个数字，每次取三个不同的数字，把其中最大的数字放在百位上排成三位数，这样的三位数有________个．解析：先选取三个不同的数有C36种方法，然后将其中最大的数放在百位上，另外两个不同的数放在十位或个位上，有A22种排法．故共有C36·A22＝40(个)三位数．答案：408．某公司为员工制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览．如果M，N为必选城市，并且在浏览过程中必须按先M后N的次序经过M，N两城市(M，N两城市可以不相邻)，则不同的游览线路种数是______．解析：先M 后N 的次序和先N 后M 的次序各占总数的12.通过分析，我们可以得到不同的游览线路种数为12C 22C 35A 55＝600.答案：600 三、解答题9．3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务，(1)若每辆车上都需要人但最多安排男女各一名，有多少种安排方法？ (2)若男女各包2辆车，有多少种安排方法？解：(1)先将3名男同志安排到车上有A 34种方法，在未安排男同志的那辆车安排女同志有C 13种方法，还有2个女同志有A 23种安排方法，故共有A 34C 13A 23＝432(种)安排方法．(2)男同志分2组有C 23种方法，女同志分2组有C 23种方法，将4组安排到4辆车上有A 44种方法，故共有C 23C 23A 44＝216(种)安排方法．10．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解：法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C 14种方法；0可在后两位，有C 12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C 13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C 14C 12C 13·22个． (2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C 24·22·A 33个． (3)0和1都不取，有不同的三位数C 34·23·A 33个．综上所述，共有不同的三位数：C 14·C 12·C 13·22＋C 24·22·A 33＋C 34·23·A 33＝432(个)． 法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C 35·23·A 33个，其中0在百位的有C 24·22·A 22个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C 35·23·A 33－C 24·22·A 22＝432(个)．。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第2课时组合数的性质和应用双基达标(限时15分钟)1．计算C28＋C38＋C29＝________.解析C28＋C38＋C29＝(C28＋C38)＋C29＝C39＋C29＝C310＝10×9×83×2×1＝120.答案1202．平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成________个平行四边形．解析分别从一组m条中取两条，从另一组n条中取两条，可组成平行四边形，即共有C2m·C2n个平行四边形．答案C2m·C2n3．7名志愿者安排6人在周六、周日参加上海世博会宣传活动，若每天安排3人，则不同的安排方案有________种(用数字作答)．解析分两步：第一步，安排周六，有C37种方案；第二步，安排周日，有C34种方案，故共有C37C34＝140(种)不同的安排方案．答案1404．若C n12＝C2n－312，则n＝________.解析由C n12＝C2n－312，得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5.答案3或55．从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有________种．解析 当甲、乙两人都参加时，有C 28＝28(种)选法；当甲、乙两人中有一人参加时，有C 38·C 12＝112(种)选法．∴不同的挑选方法有28＋112＝140(种)．答案 1406．求20C 5n ＋5＝4(n ＋4)C n －1n ＋3＋15A 2n ＋3中n 的值．解 20×(n ＋5)！5！n ！＝4(n ＋4)×(n ＋3)！(n －1)！4！＋15(n ＋3)(n ＋2) 即：(n ＋5)(n ＋4)(n ＋3)(n ＋2)(n ＋1)6＝(n ＋4)(n ＋3)(n ＋2)(n ＋1)n 6＋15(n ＋3)(n ＋2) ∴(n ＋5)(n ＋4)(n ＋1)－(n ＋4)(n ＋1)·n ＝90，即5(n ＋4)(n ＋1)＝90，∴n 2＋5n －14＝0，即n ＝2或n ＝－7，∵n ≥1且n ∈Z ，∴n ＝2.综合提高 (限时30分钟)7．某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图)．则从A 点走到B 点最短的走法有________种．解析 每条东西向街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段是走南北方向的)，共有C 610＝C 410＝210(种)走法．答案 2108．某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．解析分两类：①含有甲C12C24，②不含有甲C34，共有C12C24＋C34＝16种．答案169．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种(结果用数值表示)．解析设餐厅至少还需准备x种不同的素菜．由题意，得C25·C2x≥200，从而有C2x≥20.即x(x－1)≥40.∴x的最小值为7.答案710．从4名教师与5名学生中任选3人，其中至少要有教师与学生各1人，则不同的选法共有________种．解析满足题设的情形分为以下2类：第一类，从4名教师选1人，又从5名学生中任选2人，有C14C25种不同选法；第二类，从4名教师选2人，又从5名学生中任选1人，有C24C15种不同选法．因此共有C14C25＋C24C15＝70(种)不同的选法．答案7011．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，分别按下列要求，各有多少种不同的选法？(1)男、女同学各2名；(2)男、女同学分别至少有1名；(3)在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．解(1)C25·C24＝60.(2)C15·C34＋C25·C24＋C35·C14＝120.C24＋C14·C13＋C23＝99.(3)120－()12．6个人进两间屋子，①每屋都进3人；②每屋至少进1人，问：各有多少种分配方法？解(1)先派3人进第一间屋，再让其余3人进第二间屋，有：C36·C33＝20(种)．(2)按第一间屋子内进入的人数可分为五类：即进一人、进2人、进3人、进4人、进5人，所以方法总数：C16C55＋C26C44＋C36C33＋C46C22＋C56C11＝62(种)．13．(创新拓展)某运输公司有7个车队．每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同抽法有多少种？解由于每队至少抽1辆，故问题转化为从7个车队中抽3辆车，可分类计算．第一类：3辆车都从1个队抽，有C17种；第二类：3辆车从2个队抽，有A27种；第三类：3辆车从3个队抽，有C37种．由分类计数原理，共有C17＋A27＋C37＝84(种)．。

组合第课时组合组合数公式．理解组合的意义．(重点)．掌握组合数的计算公式及其推导过程，并会用组合数公式求值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理组合与组合数的概念阅读教材，完成下列问题．．组合一般地，从个不同元素中取出(≤)个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．．组合数从个不同元素中取出(≤)个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )()从，，三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为.( )()从甲、乙、丙名同学中选出名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．( )()从甲、乙、丙名同学中选出名，有种不同的选法．( )()现有枚年抗战胜利周年纪念币送给人中的人留念，有多少种送法是排列问题．( )【解析】()√因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．()√由组合数的定义可知正确．()×因为选出名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．()√因为从甲、乙、丙人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共个组合，即有种不同选法．()×因为将枚纪念币送与人并无顺序，故该问题是组合问题．【答案】()√()√()×()√()×教材整理组合数公式及性质阅读教材～，完成下列问题．．组合数公式：＝＝＝.．组合数的性质：()＝；()＝＋.．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是种．【解析】甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为＝＝.【答案】．＝，＝.【解析】＝＝，＝＝.【答案】．方程＝的解为. 【导学号：】【解析】由题意知(\\(＝－，－≤，≤))或(\\(＝－(－(，－≤，≤，))解得＝或.【答案】或．从这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为个．【解析】从四个数中任取两个数的取法为＝.【答案】。

第三讲组合【教材扫描】1．组合的概念从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念、公式、性质【知识运用】题型一组合概念的理解【例1】判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来．(1)若已知集合{1,2,3,4,5,6,7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？(2)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？(3)8人相互通电话一次，共通了多少次电话？(4)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？(1)已知集合的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有C37个．(2)因为发件人与收件人有顺序区别，与顺序有关是排列问题，共写了A28个电子邮件．(3)同时通电话，无顺序，是组合问题，共通了C28次电话．(4)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有A24种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有C24种票价．【变式】1、判断下列各事件是排列问题，还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．(1)10个人相互各写一封信，共写了多少封信？(2)10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(4)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(5)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(6)从10个人里选3个不同学科的课代表，有多少种选法？(1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为A210＝90种．(2)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别．组合数为C210＝45种．(3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C210＝45种．(4)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的，排列数为A210＝90种．(5)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合数为C310＝120种．(6)是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为A310＝720种．2、判断下列问题是组合问题还是排列问题．(1)设集合A＝{a，b，c，d}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？(2)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？(3)从7本不同的书中取出5本给某个同学？(4)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？【解】(1)因为集合A的任一含3个元素的子集与元素顺序无关，故它是组合问题．(2)因为一种火车票与起点、终点顺序有关．如：甲→乙和乙→甲的车票不同，故它是排列问题．(3)从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．(4)因为一种分工方法就是从5种不同的工作中，每次取出3种，按一定顺序分给3人去干，故它是排列问题型二组合问题类型一：简单点的组合问题【例2-1】在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件中，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加．[解] (1)C512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．【变式】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56．(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝7×62×1＝21．(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝7×6×53×2×1＝35．类型二：无限制条件的组合问题【例2-2】 某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问全部赛程共需比赛多少场？【解答】 (1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C 26＝2×6×51×2＝30(场)．(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛2A 22＝2×1×2＝4(场)．(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负． 所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)． 【变式】现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？【解】 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45. （2）可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法；第2类，选出的2 名是女教师有C 24种方法，即C 26＋C 24＝21(种).类型三：有限制条件的组合问题【例2-3】高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？【解析】(1)从余下的34名学生中选取2名，有C234＝561(种)．∴不同的取法有561种．(2)从34名可选学生中选取3名，有C334种．或者C335－C234＝C334＝5 984种．∴不同的取法有5 984种．(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C120C215＝2 100种．∴不同的取法有2 100种．(4)选取2名女生有C120C215种，选取3名女生有C315种，共有选取方式N＝C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555种．∴不同的取法有2 555种．(5)选取3名的总数有C335，因此选取方式共有N＝C335－C315＝6 545－455＝6 090种．∴不同的取法有6 090种．拓展：本题条件不变的情况下，选出的3名同学既有男生，又有女生的选法有几种？【解】法一：(直接法)可分两类：第一类：3名同学为2男1女情况共有N1＝C220C115＝2 850种；第二类：3名同学为1男2女情况共有N2＝C120C215＝2 100种．根据分类加法计数原理，共有选法N＝N1＋N2＝2 850＋2 100＝4 950种．法二：(间接法)从35名同学中选3人共有C335种，其中全部为男生的有C320种，全部为女生的共有C315种，所以既有男生又有女生的选法共有C335－C320－C315＝6 545－1 140－455＝4 950种.【变式】1.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选．[解] (1)一名女生，四名男生，故共有C15·C48＝350(种)选法．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165(种)选法．(3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选．故共有C12·C411＋C22·C311＝825(种)选法．或采用间接法：C513－C511＝825(种)．(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966(种)选法．2.有4个不同的球， 4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个空盒，有几种放法？(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？解：(1)先从4个小球中取2个放在一起，有C24种不同的取法，再把取出的2个小球与另外2个小球看成三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A34种放法，根据分步乘法计数原理，共有C24A34＝144(种)不同的放法．(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中．有两类放法：第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C34种，再放到2个盒子中有A24种放法，共有C34A24种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有C24C24种放法．故恰有2个盒子不放球的方法有C34A24＋C24C24＝84(种)．题型四几何中的组合[例4] 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？[解] 法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有C24C18＝48个不同的三角形；第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C14C28＝112个不同的三角形；第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C38＝56个不同的三角形．由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216个．法二：(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C312＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C34＝4种．故这12个点构成三角形的个数为C312－C34＝216个．【变式】正六边形的顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．解析：不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C37－3＝32．答案：32题型五组合数的证明与计算【例5】(1)计算C410－C37·A33；(2)证明：m C m n＝n C m－1n－1.（3）计算： C8100－C8101＋C7100； C22＋C23＋C24＋…＋C210.(4)解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4； 解不等式C 4n ＞C 6n .解析： (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)证明：m C mn ＝m ·n ！m ！?n －m ??＝n ·?n －1???m －1???n －m ??＝n ·?n －1???m －1???n －m ??＝n C m －1n －1.(3)C 8100－C 8101＋C 7100＝C 8100＋C 7100－C 8101＝C 8101－C 8101＝0. ∵C 22＝C 33，∴原式＝C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 210 ＝C 34＋C 24＋C 25＋C 26＋…＋C 210＝C 310＋C 210＝C 311＝165. (4)由排列数和组合数公式，原方程可化为3·?x －3???x －7??4?＝5·?x －4???x －6??，则3?x －3?4！＝5x －6，即为(x －3)(x －6)＝40.∴x 2－9x －22＝0， 解之可得x ＝11或x ＝－2.经检验知x ＝11是原方程的根，x ＝－2是原方程的增根． ∴方程的根为x ＝11. 由C 4n ＞C 6n 得 错误!⇒错误!⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1＜n ＜10，n ≥6.又n ∈N *，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．【变式】1．计算：C 38－n3n ＋C 3nn ＋21的值．解：∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9．5≤n ≤10．5．∵n ∈N *，∴n ＝10．∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝30×292×1＋31＝466．2．求使3C x －7x －3＝5A 2x －4成立的x 值．解：根据排列数和组合数公式，原方程可化为 3·?x －3???x －7??4?＝5·?x －4???x －6??， 即3?x －3?4！＝5x －6，即为(x －3)(x －6)＝40．∴x 2－9x －22＝0，解得x ＝11或x ＝－2． 经检验知x ＝11时原式成立． 3．证明下列各等式． (1)C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1； (2)C 0n ＋C 1n ＋1＋C 2n ＋2…＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ．解：(1)右边＝m ＋1n ＋1·?n ＋1???m ＋1??[?n ＋1???m ＋1?]?＝m ＋1n ＋1·?n ＋1???m ＋1???n －m ?? ＝n ！m ！?n －m ??＝C mn ＝左边，∴原式成立．(2)左边＝(C 0n ＋1＋C 1n ＋1)＋C 2n ＋2＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 1n ＋2＋C 2n ＋2)＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 2n ＋3＋C 3n ＋3)＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C3n ＋4＋C 4n ＋4)＋…＋C m －1n ＋m －1＝…＝C m －2n ＋m －1＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ＝右边，∴原式成立．4.(1)解关于x 的方程：x C x －3x ＋A 3x ＝4C 3x ＋1；(2)解不等式：C 3x ＞C 5x .【解】 (1)原方程即x C 3x ＋A 3x ＝4C 3x ＋1， 亦即x ·x ?x －1??x －2?6＋x (x －1)(x －2)＝4?x ＋1?x ?x －1?6.整理得：x 2＝16，∴x ＝4(x ＝－4舍去)，经检验满足条件．∴x ＝4. (2)∵x ?x －1??x －2?3×2×1＞x ?x －1??x －2??x －3??x －4?5×4×3×2×1.∴x 2－7x －8＜0，∴－1＜x ＜8.又∵⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ≥5.∴5≤x ＜8且x ∈N *.∴x ＝5,6,7.题型六 排列组合综合运用【例6】 用0到9这10个数字组成没有重复数字的五位数，其中含3个奇数与2个偶数的五位数有多少个？[解] [法一 直接法]把从5个偶数中任取2个分为两类：(1)不含0的：由3个奇数和2个偶数组成的五位数，可分两步进行：第1步，选出3奇2偶的数字，方法有C35C24种；第2步，对选出的5个数字全排列有A55种方法．故所有适合条件的五位数有C35C24A55个．(2)含有0的：这时0只能排在除首位(万位)以外的四个位置中的一个，有A14种排法；再从2,4,6,8中任取一个，有C14种取法，从5个奇数数字中任取3个，有C35种取法，再把取出的4个数全排列有A44种方法，故有A14C14C35A44种排法．根据分类加法计数原理，共有C35C24A55＋A14C14C35A44＝11 040个符合要求的数．[法二间接法]如果对0不限制，共有C35C25A55种，其中0居首位的有C35C14A44种．故共有C35C25A55－C35C14A44＝11 040个符合条件的数．解答排列、组合综合问题的思路及注意点(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．【变式】1.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有C35C23＋C45C13种，后排有A55种，共(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400种．(2)除去该女生后，先选后排有C47·A44＝840种．(3)先选后排，但先安排该男生有C47·C14·A44＝3 360种．(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，其余3人全排有A33种，共C36·C13·A33＝360种．2.从错误！未找到引用源。

1.3组合第1课时组合组合数公式1．理解组合的意义．(重点)2．掌握组合数的计算公式及其推导过程，并会用组合数公式求值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1组合与组合数的概念阅读教材P19，完成下列问题．1．组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cm n表示．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.( )(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．( )(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．( )(5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题．( )【解析】(1)√因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．(2)√由组合数的定义可知正确．(3)×因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．(4)√因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．(5)× 因为将4枚纪念币送与4人并无顺序，故该问题是组合问题． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× 教材整理2 组合数公式及性质 阅读教材P 20～P 22，完成下列问题． 1．组合数公式：Cm n ＝Am nAmm ＝错误!＝错误!.2．组合数的性质：(1)Cm n ＝Cn －m n ；(2)Cm n ＋1＝Cm n ＋Cm －1n .1．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________种．【解析】 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C23＝3×22＝3.【答案】 32．C26＝________，C1718＝________. 【解析】 C26＝6×52＝15， C1718＝C118＝18. 【答案】 15 183．方程Cx 14＝C2x －414的解为________. 【导学号：29440009】【解析】由题意知⎩⎨⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x≤14或错误!解得x ＝4或6. 【答案】 4或64．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________个． 【解析】 从四个数中任取两个数的取法为C24＝6. 【答案】 6[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？【精彩点拨】要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．【自主解答】(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．2．区分有无顺序的方法把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．[再练一题]1．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．【解】要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de .(1)计算：(2)计算：C38－n 3n ＋C3n 21＋n.【精彩点拨】 (1)直接运用组合数公式进行计算； (2)先求出n ，再按组合数公式进行运算．【自主解答】 (1)3C38－2C25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148. (2)由组合数的意义可得 ⎩⎨⎧0≤38－n≤3n ，0≤3n≤21＋n ， 即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n≤38，0≤n≤212，∴192≤n ≤212. ∵n ∈N *，∴n ＝10，∴C38－n 3n ＋C3n 21＋n ＝C2830＋C3031＝C230＋C131 ＝30×292×1＋31＝466.关于组合数计算公式的选取1．涉及具体数字的可以直接用公式Cm n ＝Am nAmm ＝错误!计算． 2．涉及字母的可以用阶乘式Cm n ＝错误!计算．3．计算时应注意利用组合数的性质Cm n ＝Cn －m n 简化运算．[再练一题]2．求等式C5n －1＋C3n －3C3n －3＝195中的n 值. 【导学号：29440010】【解】 原方程可变形为C5n －1C3n －3＋1＝195，C5n －1＝145C3n －3，即错误!＝145·错误!，化简整理，得n 2－3n －54＝0.解此二次方程，得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)，所以n ＝9为所求．[探究共研型]探究1 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？【提示】 法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C35＝5×4×33×2×1＝10(种)选法．法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C25＝5×42＝10(种)不同选法．经求解发现C35＝C25.推广到一般结论有Cm n ＝Cn －m n .探究2 从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？ 【提示】 共有C610＝10×9×8×7×6×56×5×4×3×2×1＝210(种)选法． 探究3在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2,3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？【提示】 若队长必须参加，共C59＝126(种)选法．若队长不能参加，共C69＝84(种)选法． 由探究2,3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类计数原理可得：C610＝C59＋C69.一般地：Cm n ＋1＝Cm n ＋Cm －1n .(1)化简C34＋C35＋C36＋…＋C32 016的值为________． (2)解方程3Cx 7x －3＝5A2x －4； (3)解不等式C4n ＞C6n .【精彩点拨】 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式． 【自主解答】 (1)C34＋C35＋C36＋…＋C32 016 ＝C44＋C34＋C35＋…＋C32 016－C44 ＝C45＋C35＋…＋C32 016－1＝… ＝C42 016＋C32 016－1＝C42 017－1.【答案】 C42 017－1(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为 3·错误!＝5·错误!，则错误!＝错误!，即为(x －3)(x －6)＝40. ∴x 2－9x －22＝0， 解得x ＝11或x ＝－2.经检验知x ＝11是原方程的根，x ＝－2是原方程的增根． ∴方程的根为x ＝11. (3)由C4n ＞C6n ，得错误!⇒错误!⇒⎩⎨⎧－1＜n ＜10，n≥6.又n ∈N *， ∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．1．性质“Cm n ＝Cn －m n ”的意义及作用2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由Cm n 中的m ∈N *，n ∈N *，且n ≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．[再练一题]3．(1)化简：C9m －C9m ＋1＋C8m ＝________； (2)已知C7n ＋1－C7n ＝C8n ，求n 的值．【解析】 (1)原式＝(C9m ＋C8m )－C9m ＋1＝C9m ＋1－C9m ＋1＝0. 【答案】 0(2)根据题意，C7n ＋1－C7n ＝C8n ，变形可得C7n＋1＝C8n＋C7n，由组合数的性质，可得C7n＋1＝C8n＋1，故8＋7＝n＋1，解得n＝14.[构建·体系]1．给出下面几个问题，其中是组合问题的是________(填序号)．(1)从1,2,3,4中选出2个构成的集合；(2)由1,2,3组成两位数的不同方法；(3)由1,2,3组成无重复数字的两位数．【解析】由题意知：(1)与顺序没有关系；(2)(3)与顺序有关，故是排列问题．【答案】(1)2．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．【解析】设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n ＝6，代入验证，可知女生有2人或3人．【答案】2或33．C58＋C68的值为________．【解析】C58＋C68＝C69＝9！6！×3！＝9×8×73×2×1＝84.【答案】844．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次．【解析】每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C26＝15次．【答案】155．已知C4n，C5n，C6n成等差数列，求C12n的值．【解】由已知得2C5n＝C4n＋C6n，所以2·错误!＝错误!＋错误!，整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，要求C12n的值，故n≥12，所以n＝14，于是C1214＝C214＝14×132×1＝91.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

第二课时组合数的两个性质课时过关·能力提升1.的值为()A.mB.m+1C.1D.0解析:原式=()-=0.答案:D2.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”,其中9可当6用,则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为()A.6B.12C.18D.24解析:先在后三位中选两位置都填0,有种方法,另两张卡片有种排法,又9可当6用,故共可组成不同的四位数的个数为2=12.答案:B3.已知集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},C={8,9},现从这三个集合中取出两个集合,再从这两个集合中各取一个元素,组成一个含有两个元素的集合,则共可组成集合的个数为()A.24B.36C.26D.27解析:共可组成集合=26(个).答案:C4.将4名新来的同学分配到A,B, C三个班级中,每个班级至少安排1名学生,其中甲同学不能分配到A班,那么不同的分配方案有()A.18种B.24种C.54种D.60种解析:由题意知,共有)=24(种).答案:B★5.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是() A.60 B.48 C.36 D.24解析:长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6=36(个),另含有4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2=12(个),共36+12=48(个).答案:B6.下面给出了4个式子:;;;其中正确的有.(将正确式子的序号填在横线上)答案:①②③④7.圆周上有20个点,过任意两点可连一条弦,这些弦在圆内的交点最多能有个.解析:任意四个点可构成一个四边形,对角线只有一个交点,故共有=4 845(个)交点.答案:4 8458.某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试,由于其中两所学校的考试时间相同,因此该学生不能同时报考这两所学校,则该学生不同的报考方法种数是.(用数字作答)解析:分两类.第一类,该学生选了考试时间相同的两所学校中的某一所,再从另4所中选两所,共有=12(种);第二类,该学生未选考试时间相同的两所,则从另4所中选3所,共有=4(种).由分类加法计数原理可知,该学生不同的报考方法有12+4=16(种).答案:169.现有10个保送上大学的名额,分配给7所学校,每校至少有1个名额,问名额分配的方法共有多少种?解法一每个学校有一个名额,则分出去7个,还剩3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数.分类:若3个名额分到一所学校有种方法;若分配到2所学校有2=42(种)方法;若分配到3所学校有=35(种)方法.所以共有7+42+35=84(种)方法.解法二10个元素之间有9个间隔,要求分成7份,相当于用6块挡板插在9个间隔中,共有=84(种)不同分法.★10.已知10件不同产品中有4件是次品,现对它们一一进行测试,直至找出所有4件次品为止.(1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第10次才测试到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?(2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品,则这样的不同测试方法数是多少?解:(1)先排前4次测试,只能取正品,有种不同测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试有种测法,再排余下4件,有种测法.所以共有不同的测试方法有=103 680(种).(2)第5次测试恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现.所以共有不同测试方法(=576(种).。