第四章生产理论》课后作业(参考答案)
P152"154.
3、解：
(1)由生产函数Q 二2KL-0.5L 2-0. 5K 2,且K 二10,可得短期生产函数为:
2 2 2
Q 二20L-0. 5L 2-0. 5x 102=20L-0. 5L 2~50
于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数:
劳动的总产量函数TP L 二20L-0. 5L -50
劳动的平均产量函数AP L =TP L /L=20-0. 5L-50/L 劳动的边际产量函数MP L 二dTPL/dL 二20-L
(2)关于总产量的最大值:
令 dTP L /dL=0,即：dTP L /dL=20-L=0,解得:L 二20,且『TPi/dLKO,所以,当劳动 投入量 L 二20 时，劳动的总产量TP L 达到极大值。
关于平均产量的最大值：
(3)当劳动的平均产量AP 劳L 达到最人值时，-定有 AP L -MP L O 由(2)
已知，当L-10时,
动的平均产量AP L 达到最大值，即相应的最大值为：
AP L ( max)二20-0. 5 x 10-50/10=10
以L=10代入劳动的边际产量函数 MP L 二20-L, 得：L 二20-10二10 °
很显然，当AP L 二MP L 时，AP L —定达到其自身的极大 L 二10。
值，此时劳动投入量为4、解：
(1 )生产函数Q=min (2L, 3K)表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商 进行生产 时，
总有Q=2L=3Ko 因为已知产量Q 二36,所以，相应地有L 二18, K 二12。
⑵由 Q 二2L 二3K,且 Q=480,可得：L 二240 , K 二 160。
又因为 P L 二2 , P K 二5,所以有：C=P L • L+ P K •
K 二2 x 240+5 x 160二1280,即生产480单位产量的最小成本为
5、解：
(1)
(R 关于生产函数Q=5L 1/3K 2/3O -2/3 2/3
MP L 二5/3 • L K
1/3 -1/3
MP K 二 10/3 • L K
由最优组合的均衡条件 MP L /MP K 二P L /P K ,可得:
5/3 • L _2 3K = 3
P L
令 dAPi/dL 二0 ,即:
2
2-3
d AP L /C IL =-100L"〈0,所以,
rlAPr /rlT
FJ -ACT
当当劳动投人量
-2
2
鯉彳車 T
L 二10时，劳动的平均产
负值舍去)，且 APL 达到极大值。
关于边际产量的最大值:
由劳动的边际产量函数劳动投MP L 二20-L 可知,
入量总是非负的,所以,
当劳动投入量
边际 产 量曲线是一条斜率为负的直线。
考虑到 L=0时，劳动的边际产量 MP L 达到极大值。
1280o
1/3 -1/3
10/3 • L K P K
整理得：K/2L二P L/P K,即：厂商长期生产的扩展线方程为:K= (2P L/P K)L O
b)关于生产函数Q 二KL/(K+L)
K ( K+L ) -KL
22
MP L 二 -------------- 二 K 2/ (K+L) 2
K+L ) 2
L( K+L ) -KL
由由最优组合的均衡条件 MP L /MP K 二P L /P K ,可得:
22
K /(K+L)
P L
22
L 2/ (K+L) 2 P K
整理得：K 2/L 2= P L /P K ,即：厂商长期生产的扩展线方程为:
c)关于生产函数Q=KL 2
MP L 二 2KL MP K =L 2
由由最优组合的均衡条件 MP L /MP K 二P L /P K ,可得:
2KL
P L
L 2
P K
即：厂商长期生产的扩展线方程为： K 二(P L /2P K )L O
(d)关于生产函数Q=min( 3L, K)由于该生产函数是固定投入
比例的生产函数，即厂商的生产总是有 接可以得到厂商长期生产的扩展线 3L 二K ,所以，直
方程为：
K 二3L o
(2) (a)关于生产函数Q =5L 1/3K 2/3
当 P L =1 , P K =1 , Q=1000 时，由其扩展方程 K=(2P L /P K )L 得：K 二2L 」/3
,将其代入生产函数Q=5L 13K 2/3得：
解得：2L) 2 =1000,
L 二200 • (4) _1""3
-1/3
K 二400 • (4)_
b)关于生产函数Q 二KL/(K+L)
当 P L 二 1 , PE , Q=1000 时，由其扩展方程 K 二(P L /P K ) 1：
L 得：
K=L ,将其代入生产函数Q 二KL ( K+L )得：
2
L 2/( L+L) =1000,解得：L 二2000
K=2000
MP K 二 -------------
(K+L ) 2
22
==L 7 (K+L)
K 二(P L /P K ) 1/2 Lo
c)关于生产函数Q=KL 2
当P L二1 , P K二1 , Q=1000时，由其扩展方程K二(P L/2P K儿得:
K=L/2 ,将其代入生产函数Q=KL 2,得: (L/2) *1000,
解得：L=10 • (2) 1/3
K 二5 • (2) 1/3
(d)关于生产函数Q=min (3L , 当 P L =1, P K =1, Q=1000 时, K 二3L 二
1000 ,
于是有：K 二1000
L=1000/3
6、解：
⑴因为 Q=f(L, K)=AL 1/3K 2/3,于是有:1/3 2/3
f (入 L,入 K)二A (入 L)(入 K) —A 入 1,/3+2气"3附3二入 AL
'"K "二入 所以生产函数Q 二AL 1/3K 2/3
属于规模 一 _ 报酬不变的生产函数。
(2)假定在短期生产中，资本投入量不变，以 K 0表示；而劳动投入量可变，以 L 表 zj\ O
对于生产函数Q=AL 1/3 ( K°) 2/3,有:
MP L =1/3 • A ( L) _2 3 ( K°) 2 3 H dMPL/dL 二-(2/9) A(L) _5 3(K°) 2/3<0
这表明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，的劳动 边际产量MP L 是递减的。
相似地，假定在短期生产中，劳动投入量不变，以表 L°表示；而资本投入量可变，以 示。
对于生产函数Q=A(L°) 1/3(K) 2/3,有：
MP L =2/3 • A (L°) 13 (K) _13 且 dMP L /dL= - (2/9) A(L°) 1/3 (K) _4/3<0
这表明：在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，的 资本 边际产量MP K 是递减的。
以上的推倒过程表明该生产函数在短期生产屮受边际报酬递减规律的支配。
8、解：
(1 )根据企业实现给定成本条件产量最大化的均衡条件：
VMP K 二w/r
其中,MP L 二dQ/dL 二2/3 - L _1/3K 1/3
MP K 二dQ/dK 二
1/3 •
w=2 , r=l ,
2/3
-2/3
L
K
于是有:
2/3 • L'1/3
K r
3 1/3 •
严旷
整理得：K/L 二1/1,即：K=L,将其代入约朿条件 2L+K 二3000,有：2L+L 二3000,
解得：L*二 1000,且有：K*二 1000
以L*二K*二1000代入生产函数，求得最大的产量：
K)
由其扩展方程K=3L 得:
f (L, K)
Q*二(L*)2/3 (K* ) 门二1000曲3二1000
本题计算结果表示：
在成本03000时，厂商以L*二1000 , K*二1000进行生产所达到的最大
产量为Q*二1000 o
(本题也可以用拉格朗日函数法求解)
（2）根据厂商实现给定产量条件下成本最小化的均衡条件：MP L/MP K-w/r
其中,MP L二dQ/dL二2/3 • L1/3K1/3
2/3 -2/3
MP K二dQ/dK二1/3 • L K
W=2 9 T—l ,
于是有：
2/3 • L'13K13
2/3 -2/3
1/3 • LK 1
整理得：K/L二1/1, BP： K=L,将其代入约束条件L2/3K1/3=800,有：L2/3L1/3=800,
解得：L*二800 ,且有：K*二800
以L*二K*二800代入成本方程C二2L+K ,求得最小的成本：
C*二2 X 800+800=2400
本题计算结果表示：在产量Q*二800时，厂商以L*二800 , K*二800进行生产所达到的最小成本为C*二2400 o
（本题也可以用拉格朗日函数法求解）。
