圆锥曲线题型训练-轨迹方程的求法

专题：圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题一、临阵磨枪1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程。

这种求轨迹的方法称之为直接法。

2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。

3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。

4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。

5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。

二、小试牛刀1.已知M （-3,0），N （3,0）6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析：MN PM PN =- ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。

故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥2.已知圆O 的方程为222=+y x ，圆O '的方程为010822=+-+x y x ，由动点P 向两圆所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为 析：∵圆O 与圆O '外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等， 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x =3.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，M 是椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1MF 的中点P 的轨迹方程为析：设P (,)x y 00(,)M x y 又1(,0)F c - 由中点坐标公式可得：00002222x c x x x c y y y y -⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ 又点00(,)M x y 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上∴2200221(0)x y a b a b +=>> 因此中点P 的轨迹方程为2222(2)41x c y a b++= 4.已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，O 是平面ABC 内的一定点，P 是动点，若[)+∞∈+=-,0),21(λλ,则点P 的轨迹一定过三角形ABC 的 重 心。

知识导航有关圆锥曲线的题型较多，有求圆锥曲线的离心率、轨迹方程、判定两图形的位置关系、求弦长等，其中，求动点的轨迹方程比较常见.本文总结了求圆锥曲线中动点的轨迹方程的三种方法，供大家参考.一、直接法直接法主要应用于解答题目中所给的有关动点的几何条件较为明显的问题.运用直接法求动点的轨迹方程的主要步骤是：（1）建立合适的直角坐标系，设出所求动点的坐标；（2）根据题意，列出相关关系式；（3）将相关的点代入，化简并整理关系式即可得到动点的轨迹方程.例1.已知点Q (2,0)在圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0)，求动点M 的轨迹方程并说明它是什么曲线.分析：通过分析可知，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ，所以可以考虑运用直接法求解.设出动点M 的坐标，根据题设建立关系式，化简便可得到动点的轨迹方程.解：设M (x ,y )，由直线MN 切圆于N ，MN|MQ |=λ，可得22=λ，整理得则(λ1)x 2+(λ2-1)y 2-4λ2x +(1+4λ2)=0，若λ=1，方程可化为x =54，它代表过点(54,0)，与x 轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程可化为æèçöø÷x -2λ2λ2-12+y 2=1+3λ2(λ2-1)2，它代表以æèçöø÷2λ2λ2-1,0为半径的圆.二、代入法若动点M 依赖已知曲线上的另一动点N 而运动，就可以运用代入法来求动点的轨迹方程.首先设出两动点的坐标，建立两动点的关系式，然后将转化后的动点N 的坐标代入已知曲线的方程或条件中，从而得到动点M 的轨迹方程.例2.已知点B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1上的动点，A (2a ,Q )为定点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.分析:动点M 是线段AB 的中点，M 随着动点B 而运动，本题需采用代入法来求解.解:设动点M 的坐标为(x ,y )，B 点坐标为(x 0,y 0)，由M 为线段AB 的中点，可得ìíîïïïïx 0+2a2=x ,y 0+02=y ,则点B 的坐标为(2x -2a ,2y )，则(2x -2a )2a 2+(2y )2b2=1，故动点M 的轨迹方程为4(x -a )2a 2+4y 2b2=1.三、参数法参数法是指通过引入一些新变量(参数)为媒介来解答问题的方法.运用参数法求圆锥曲线中动点的轨迹方程的基本思路是，设出合适的参数，根据题意列出参数方程，通过消参将方程化为普通方程即可解题.但在解题的过程中需注意参数的取值范围.例3.如图，过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1,l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB的中点M 的轨迹方程.解:设M (x ,y )，直线l 1的方程为y -4=k (x -2)，(k ≠0)，由l 1⊥l 2，得直线l 2的方程为y -4=-1k(x -2)，∴l 1与x 轴焦点A 的坐标为(2-4k,0)，l 2与y 轴焦点B 的坐标为(0,4+2k)，∵M 为AB 的中点，∴ìíîïïïïx =2-4k 2=1-2k ,y =4+2k 2=2+1k ,消去k ，得到x +2y -5=0，当k =0时，AB 的中点为M (1,2)，满足上述方程，当k 不存在时，AB 的中点为M (1,2)，也满足上述方程，综上所述，M 的轨迹方程为x +2y -5=0.这里通过引入参数k ，得到两条直线的方程，然后结合题意建立关于k 的关系式，通过消参得到动点的轨迹方程.相比较而言，直接法较为简单，是最常用也是适用范围最广的方法；代入法的适用范围较窄，只适用于两个动点相关的题型；运用参数法解题的运算量较大.无论采用什么方法求动点的轨迹方程，都要关注轨迹方程中变量的取值范围.（作者单位：江苏省南通市海门四甲中学）蒋秋霞39Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。

圆锥曲线补充（1） 轨迹方程求解常用方法一．定义法如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。

（1） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（2） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （3） 抛物线：到定点与定直线距离相等。

例1一动圆与圆O ：122=+y x 外切，而与圆C ：08622=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是：A ：抛物线B ：圆C ：椭圆D ：双曲线一支 【解答】令动圆半径为R ，则有⎩⎨⎧-=+=1||1||R MC R MO ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。

故选D 。

例 2 已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

【解析】由,sin 45sin sin C A B =+可知1045==+c a b ，即10||||=+BC AC ，满足椭圆的定义。

令椭圆方程为12'22'2=+by ax ，则34,5'''=⇒==b c a ，则轨迹方程为192522=+y x （)5±≠x ，图形为椭圆（不含左，右顶点）。

练习：1. 点M 到点F （4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M 的轨迹方程为____________。

【解答】：依题意，点M 到点F （4，0）的距离与它到直线的距离相等。

则点M 的轨迹是以F （4，0）为焦点、为准线的抛物线。

故所求轨迹方程为。

2.已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原 点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2，即4||2||||==+AB CB CA ，又CA CB >，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，1,2='='c a ，3='b ，故C 的轨迹方程为)2,0(13422-≠<=+x x y x.二．直接法如果动点P 的运动规律满足的等量关系易于建立，则可以用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

圆锥曲线轨迹方程的解法目录一题多解 (2)一．直接法 (4)二. 相关点法 (7)三. 几何法 (11)四. 参数法 (13)五. 交轨法 (15)六. 定义法 (17)一题多解设圆C ：（x －1）2+y 2=1，过原点O 作圆的任意弦OQ ，求所对弦的中点P 的轨迹方程。

一．直接法设P （x,y ），OQ 是圆C 的一条弦，P 是OQ 的中点，则CP ⊥OQ ，x ≠0,设OC 中点为M （0,21），则|MP |=21|OC |=21，得（x －21）2+y 2=41(x ≠0)，即点P 的轨迹方程是（x －21）2+y 2=41(0＜x ≤1)。

二．定义法∵∠OPC =90°，∴动点P 在以M （0,21）为圆心，OC 为直径的圆（除去原点O ）上，|OC |=1，故P 点的轨迹方程为（x －21）2+y 2=41(0＜x ≤1)三．相关点法设P （x,y ）,Q (x 1,y 1)，其中x 1≠0,∴x 1=2x,y 1=2y ,而（x 1－1）2+y 2=1 ∴(2x －1)2+2y 2=1,又x 1≠0,∴x ≠0,即（x －21）2+y 2=41(0＜x ≤1）四．参数法①设动弦PQ 的方程为y=kx ,代入圆的方程（x －1）2+kx 2=1，即（1+k 2）x 2－2x =0,∴.12221k x x +=+ 设点P （x,y ），则22211],1,0(112kkkx y k x x x +==∈+=+= 消去k 得（x －21）2+y 2=41(0＜x ≤1）②另解 设Q 点（1+cos θ,sin θ），其中cos θ≠－1,P (x,y )，则,2sin ],1,0(2cos 1θθ=∈+=y x 消去θ得（x －21）2+y 2=41(0＜x ≤1）一．直接法课本中主要介绍的方法。

若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标),(y x 后，就可根据命题中的已知条件研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x 、y 的关系式。

有关圆锥曲线轨迹问题1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系，点Q （2，0），圆C 方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。

【练习】如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得PM =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

例2、已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.求动圆圆心C 的轨迹的方程；,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p x =-【练习】 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。

三、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。

几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。

例3、如图，从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N 。

求线段QN 的中点P 的轨迹方程。

【练习】已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT求点T 的轨迹C 的方程；四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

圆锥曲线之轨迹方程的求法（一）【复习目标】□1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤；□2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。

【基础练习】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )A ．y x =B ．||y x =C ．22y x =D ．220x y +=2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．以上都不对3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________.【例题精选】一、直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。

即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。

例1．已知ABC ∆中，2,AB BC m AC==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。

点P 的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。

例1．⊙C ：22(16x y +=内部一点0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于BQ R A P o yx P ，求点P 的轨迹方程.例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12。

记点P 的轨迹为曲线C 求点P 的轨迹方程；练习．若动圆与圆1)2(:221=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 .三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。

轨迹方程的求法及典型例题(含答案) 轨迹方程是描述一条曲线在平面上的运动轨迹的方程。

在二维平面上，轨迹方程通常由一元二次方程、三角函数方程等形式表示。

在三维空间中，轨迹方程可能会更加复杂，可以由参数方程或参数化表示。

一、轨迹方程的求解方法：1. 根据题目给出的条件，确定轨迹上的点的特点或特殊性质。

2. 将轨迹上的点的坐标表示为一般形式。

3. 将坐标表示代入到方程中，消去多余的变量，得到轨迹方程。

二、典型例题及其解答：【例题1】已知点P(x,y)到坐标原点O的距离为定值d，求点P的轨迹方程。

解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。

2. 根据题目给出的条件，根据勾股定理，可以得到点P到原点O的距离公式：d = √(x^2 + y^2)3. 将坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：d^2 = x^2 + y^2【例题2】已知点P(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离为定值d，求点P的轨迹方程。

解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。

2. 根据题目给出的条件，点P到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d = |Ax+By+C| / √(A^2 + B^2)3. 将点P的坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：(Ax+By+C)^2 = d^2(A^2 + B^2)【例题3】已知点P(x,y)满足|x|+|y|=a，求点P的轨迹方程。

解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。

2. 根据题目给出的条件，可以得到两种情况下的轨迹方程：当x≥0，y≥0时，有x+y=a，即y=a-x；当x≥0，y<0时，有x-y=a，即y=x-a；当x<0，y≥0时，有-x+y=a，即y=a+x；当x<0，y<0时，有-x-y=a，即y=-a-x。

3. 将上述四种情况合并，得到轨迹方程：|x|+|y|=a【例题4】已知点P(x,y)满足y = a(x^2 + b)，求点P的轨迹方程。

圆锥曲线题型训练轨迹方程的求法总论 (2)1 直接法 (3)练习1 (4)2 定义法 (5)练习2 (7)3 代入法 (9)练习3 (11)4、交轨法 (11)练习4 (13)5参数法 (14)练习5 (18)6、练习题答案 (20)练习1答案 (20)练习2答案 (23)练习3答案 (28)练习4答案 (29)练习5答案 (34)总论轨迹:是指一个动点按某种特点来运动，运动构成的曲线，可以是，直线，线段，圆，或椭圆，双曲线等等，我们这里把“曲线”也叫做“轨迹”；求动点轨迹方程:即已知动点的运动规律，我们来求满足此条件的动点的坐标),(y x 满足的方程（即等式）0),( y x f ；这个过程要求我们善于将几何图形中点、线之间的关系转化为代数形式，比如，长度，距离，向量的关系式等等，将条件坐标化，注意分析运动过程中不变的等量关系，将“不变的关系”化为“等式”，即达到了求轨迹方程的目的。

可能用到的公式： 两点间距离： 点到直线的距离： 两条平行新间的距离： 平面向量的数量积的坐标形式： 平面向量数乘的坐标形式：1 直接法本着“求谁设谁”的原则，将所求轨迹的动点的坐标设为),(y x ,根据其运动特点列等式,利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式等）进行整理、化简，把运动特点“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程0),(=y x f 。

例 一条线段AB 的长等于2a ,两个端点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点M 的轨迹方程？解：设),(y x M ，则)0,2(),2,0(x B y A ，由a AB 2||=得a y x 24422=+，化简得222a y x =+变式：若21=MABM，则点M 的轨迹方程是什么？ 例 已知点(3,0),(3,0)A B -，动点P 满足||2||PA PB =，求动点P 的轨迹方程 解：因为2222||(3),||(3)PA x y PB x y =++=-+代入||2||PA PB =，得222222224)3(4)3(2)3()3(y x y x y x y x +-=++⇒=+-++化简得22(5)16x y -+=，说明轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆. 说明：由此题可以得到一个推论：已知平面上两点A 、B ，则所有满足(1)PAk k PB=≠的点P 的轨迹是一个圆（阿氏圆） 例2 （2009海南20）已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OPOM=λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

第九讲圆锥曲线轨迹方程求法求轨迹方程的常用方法：⒈直接法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点M的坐标x，y表示相关点P的坐标（Xo、Yo），然后代入点P的坐标（Xo、Yo）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

（用未知表示已知，带入已知求未知）⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

考向一直接法求轨迹方程【例1】已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足 ,则动点P(x，y)的轨迹方程为。

【答案】【解析】设P（x，y），x＞0，y＞0，M（﹣2，0），N（2，0），则 ， ， ， 由，则，化简整理得y2＝﹣8x．【举一反三】1.已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．【答案】y 2＝x －1.【解析】设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)， 则S △ABF ＝12|b －a |·FD ＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1或x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1.所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.2．已知两点M(-1,0),N(1,0)，点P 为坐标平面内的动点，且满足 ，则动点P 的轨迹方程为 。

圆锥曲线中轨迹方程的求法临沂——李宝峰求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.一：直接法：是求轨迹方程最基本的方法，如果动点P 满足的等量关系易于建立，可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，构成F （x ，y ）=0，即可得到轨迹方程。

一般有设点，列式，代换，化简，证明（可省略）五个步骤。

但要注意“挖”与“补”。

直接根据等量关系式建立方程.例1已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，则点P 的轨迹是（） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线解析：由题知(2)PA x y =---，，(3)PB x y =--，， 由2PAPB x =·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选Ｄ．例1：两个定点的距离为6，点M 到两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹。

分析：根据题意建立合适的坐标系，列出等量关系即可。

二：定义法（待定系数法）:适用于根据条件可直接判断轨迹是什么曲线，且知道其方程形式的情形（如圆、椭圆、双曲线、抛物线），运用解析几何中定义,则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

，例2在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.例2：已知:⊙c 1（x+3）2+y 2=1和⊙c 2（x-3）2+y 2=9,动圆M 与⊙c 1,⊙c 2相外切，求动圆 圆心M 的轨迹方程。

专题 圆锥曲线（求轨迹方程）求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系或F (x ，y )＝0；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入转移法（相关点法）：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程．1．一个区别——“轨迹方程”与“轨迹”“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的．前者只须求出轨迹的方程，标出变量x ，y 的范围；后者除求出方程外，还应指出方程的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关的数据．2．双向检验——求轨迹方程的注意点求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．考向一 直接法求轨迹方程【例1】 已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C 的形状．【解】 (1)由题意可知，直线PM 与PN 的斜率均存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·y x －1＝λ，整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．(2)①当λ＞0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)；②当－1＜λ＜0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)．④当λ＜－1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．【对点练习1】已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【解析】以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为MN →2＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2，当λ＝1时，是圆的轨迹方程；当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程；当λ＝0时，是直线的轨迹方程．综上，方程不表示抛物线的方程．【答案】 C图8-8- 2 图8-8- 1考向二 定义法求轨迹方程【例2】已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．【解】 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2.∴|MO 2|－|MO 1|＝3.∴点M 的轨迹是以O 1，O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤－32.【对点练习2】如图8-8-1所示，已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与点B (2,0)，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．(1)△P AB 的周长为10；(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；(3)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心)．【解】(1)根据题意，知|P A |＋|PB |＋|AB |＝10，即|P A |＋|PB |＝6＞4＝|AB |，故P 点轨迹是椭圆，且2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.因此其轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．(2)设圆P 的半径为r ，则|P A |＝r ＋1，|PB |＝r ，因此|P A |－|PB |＝1.由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，且2a ＝1,2c ＝4，即a ＝12，c ＝2，b ＝152，因此其轨迹方程为4x 2－415y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12. (3)依题意，知动点P 到定点A 的距离等于到定直线x ＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p ＝4. 因此其轨迹方程为y 2＝－8x .考向三 代入法(相关点法)求轨迹方程【例3】如图8-8-2所示，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．【解】(1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P＝x ，y P ＝54y . ∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即C 的方程为x 225＋y 216＝1.图8-8-5(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴线段AB 的长度为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625(x 1－x 2)2＝4125×41＝415.【对点练习2】(2014·合肥模拟)如图8-8-5所示，以原点O 为圆心的两个同心圆的半径分别为3和1，过原点O 的射线交大圆于点P ，交小圆于点Q ，P 在y 轴上的射影为M .动点N 满足PM →＝λPN →且PM →·QN→＝0. (1)求点N 的轨迹方程；(2)过点A (0,3)作斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2与点N 的轨迹分别交于E ，F 两点，k 1·k 2＝－9.求证：直线EF 过定点．【解】(1)由PM →＝λPN →且PM →·QN →＝0可知N ，P ，M 三点共线且PM ⊥QN . 过点Q 作QN ⊥PM ，垂足为N ，设N (x ，y )，∵|OP |＝3，|OQ |＝1，由相似可知P (3x ，y )．∵P 在圆x 2＋y 2＝9上，(3x )2＋y 2＝9，即y 29＋x 2＝1. 所以点N 的轨迹方程为y 29＋x 2＝1.(2)证明：设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，依题意，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x ＋3，y 29＋x 2＝1⇒(k 21＋9)x 2＋6k 1x ＝0，① 解得x ＝0或x ＝－6k 1k 21＋9. 所以x E ＝－6k 1k 21＋9，y E ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 1k 21＋9＋3＝27－3k 21k 21＋9， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 1k 21＋9，27－3k 21k 21＋9. ∵k 1k 2＝－9，∴k 2＝－9k 1.用k 2＝－9k 1替代①中的k 1， 同理可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 1k 21＋9，3k 21－27k 21＋9. 显然E ，F 关于原点对称，∴直线EF 必过原点O .【达标训练】一、选择题1．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 2．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线3．(2014·天津模拟)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )图8-8-4 A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线4．(2014·合肥模拟)如图8-8-4所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于E ，则点E 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →， 且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是 ( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)6．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程是( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝8x 2C ．2y ＝8x 2－1D ．2y ＝8x 2＋1二、填空题7．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是_______________________．8．动圆与⊙C 1：x 2＋y 2＝1外切，与⊙C 2：x 2＋y 2－8x ＋12＝0内切，则动圆圆心的轨迹是_______________________．9．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为_______________________．10.(2014·佛山模拟)在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是_____________．三、解答题11．已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于P ，Q 两点，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．12．(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．13．(2013·课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．【达标训练】 参考答案一、选择题1．A. 【解析】∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN ，∴点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆．2．D. 【解析】由已知：|MF |＝|MB |，由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线．3．A ．【解析】设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎨⎧ x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝y ＋3x 10，λ2＝3y －x 10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x 10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线，故选A.4．B ．【解析】由题意知，|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝r (r 为圆的半径)且r ＞|OA |，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆，故选B.5．A. 【解析】设P (x ，y )，A (x A,0)，B (0，y B )，则BP →＝(x ，y －y B )，P A →＝(x A －x ，－y )，∵BP →＝2P A →，∴⎩⎨⎧ x ＝2(x A －x )，y －y B ＝－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x A ＝32x ，y B＝3y .∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，0，B (0,3y )． 又Q (－x ，y )，∴OQ →＝(－x ，y )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ，∴OQ →·AB →＝32x 2＋3y 2＝1， 则点P 的轨迹方程是32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．6．C ．【解析】设AP 中点M (x ，y )，P (x ′，y ′)，则x ＝x ′2，y ＝y ′－12，∴⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y ＋1， 代入2x 2－y ＝0，得2y ＝8x 2－1，故选C.二、填空题7．y 2＝8x 。

圆锥曲线轨迹方程的求法
一、直接法求轨迹方程
利用动点运动的条件得到等量关系，表示为x和y的等式。

例如，已知点A(-2,0)和B(3,0)，动点P(x,y)满足PA·PB=x²，
那么点P的轨迹是抛物线。

二、有定义法求轨迹方程
根据圆锥曲线的基本定义解题。

例如，已知圆O的方程
为x²+y²=100，点A的坐标为(-6,0)，M为圆O上的任意一点，AM的垂直平分线交OM于点P，那么点P的轨迹方程为
25/16=(x+3)²/y²，即椭圆。

三、用相关点法求轨迹方程
当动点M随着已知方程的曲线上另一动点C(x,y)运动时，找出点M与点C之间的坐标关系式，用(x,y)表示(x,y)，再将
x和y代入已知曲线方程，即可得到点M的轨迹方程。

例如，从双曲线x²-y²=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，
求线段QN的中点P的轨迹方程。

设动点P的坐标为(x,y)，点
Q的坐标为(x₁,y₁)，则N点的坐标为(2x-x₁,2y-y₁)。

因为N
点在直线x+y=2上，所以2x-x₁+2y-y₁=2.又因为PQ垂直于直线x+y=2，所以x-y+y₁-x₁=0.将两个方程联立，得到
x₁=2x+2y-1和y₁=2x+2y-1.因为点Q在双曲线上，所以x₁²-y₁²=1.将x₁和y₁代入公式中，得到动点P的轨迹方程式为2x²-2y²-2x+2y-1=0.
四、用参数法求轨迹方程
选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标得到动点轨迹的普通方程。

专题1 圆锥曲线的轨迹方程问题轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题.本文主要研究圆锥曲线中关于轨迹方程求法。

首先正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直译法、定义法、相关点法、参数（交轨）法等方法1、直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含x,y 的等式，就得到轨迹方程。

直译法知识储备：两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率（向量）公式。

经典例题：1．（2020·江苏徐州市·高三月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()22416x y ++= B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA += 【答案】ABD【分析】设点P 的坐标，利用12PA PB =，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 选项逐一列出所满足条件，然后与C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．【详解】设点P （x ，y ），()2,0A -、()4,0B ，由12PA PB =，12=，化简得x 2+y 2+8x ＝0，即：（x +4）2+y 2＝16，故A 选项正确；曲线C 的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）=﹣4，+4，而3∈﹣4，故B 正确；对于C 选项，设M （x 0，y 0），由|MO |＝2|MA |，=又 ()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝2，解得y 0无解，故C 选项错误；对于D 选项，设N （x 0，y 0），由|NO |2+|NA |2＝4，得 ()2222000024x y x y ++++=，又()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝0，解得y 0＝0，故D 选项正确．2．（2020·湖南省高三期末）点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. 求点P 的轨迹方程；【答案】22143x y +=12=，化简即可求出；12=，化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点是动点轨迹方程的求解.3．（2021年湖南省高三月考）已知动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54，求P 点的轨迹方程．【答案】轨迹方程是221169x y -=.【分析】利用动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54可得方程，化简由此能求出轨迹M 的方程．【详解】由题意，设P （x ，y ），则()22252516165x y x -+=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得轨迹方程是221169x y -=． 故答案为221.169x y -=【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题．由2、3题推广：圆锥曲线统一定义（第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

轨迹方程的若干求法一、直接法直接根据等量关系式建立方程.例1 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x =·，则点P 的轨迹是（ ）Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线 二、定义法运用有关曲线的定义求轨迹方程．例2 在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． .三、转代法此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3 已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程．．四、参数法如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来．例4 已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使有向线段OP OP '，满足4OPOP '=·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程．五、待定系数法当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例5已知Ａ，Ｂ，Ｄ三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD =， 1()2AE AB AD =+．（1）求E 点轨迹方程；（2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距 离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．歼灭难点训练一、选择题1.已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y x B.14922=+x y C.14922=-y xD.14922=-x y 二、填空题3.△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4.高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6.双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7.已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标和离心率.基础训练1. 与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x+7=0都相切的圆的圆心轨迹是 。

求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.例1 已知点)0,2(-A 、).0,3(B 动点),(y x P 满足2x =⋅，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.例 2 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.三、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标y x ,来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法. 例3 如图，从双曲线1:22=-y x C 上一点Q 引直线 2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.四、几何法几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.CB yxO AyQ O xNP例4 已知点)2,3(-A 、)4,1(-B ，过A 、B 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，求1l 和2l 的交点M 的轨迹方程.五、参数法参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标y x ,间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到y x ,间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.例5 过抛物线px y 22=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.六、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.例6 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线12222=-b y a x 于M 、N 两点，21,A A 为双曲线的左、右顶点，求直线M A 1与N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.练习：1. 双曲线的两焦点分别是1F 、2F ，其中1F 是抛物线1)1(412++-=x y 的焦点，两点A （-3，2）、B （1，2）都在该双曲线上．（1）求点1F 的坐标； （2）求点2F 的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．2. 设,x y R ∈,,i j 为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量,若向量(2)a xi y j =++,(2)b xi y j =+-,且||||8a b +=.（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程;（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于,A B 两点,设OP OA OB =+,是否存在这样的直线l ,使得四边形OAPB 是矩形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,试说明理由。