重庆市育才中学校2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试卷

重庆市育才中学2023-2024学年八年级上学期数学期中模拟一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列图形中轴对称图形是（）A．B．C．D．2．（4分）下列运算正确的是（）A．（a2b3）2＝a4b6B．3ab﹣2ab＝1C．（﹣a）3•a＝a4D．（a+b）2＝a2+b23．（4分）已知三角形的两边长分别为6cm和14cm，则下列长度能作为第三边的是（）A．12cm B．7cm C．6cm D．25cm4．（4分）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（）A．30 B．27 C．35 D．405．（4分）若一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．96．（4分）如图1，从边长为a的大正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形纸片后，将其沿实线裁成两个相同的直角梯形，然后拼成一个等腰梯形（如图2），则通过计算图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（）A．120 B．60 C．45 D．308．（4分）下列说法中正确的是（）A．全等三角形一定关于某条直线对称B．等腰三角形两腰上的中线相等C．三角形两边垂直平分线的交点到三角形三边距离相等D．有两个角相等的等腰三角形是等边三角形9．（4分）如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿如图所示方向运动，每当小球碰到长方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．小球第1次碰到长方形的边时的点为P1，第2次碰到长方形的边时的点为P2…第n 次碰到长方形的边时的点为P n，则点P3的坐标是（8，3），点P2020的坐标是（）A．（8，3）B．（7，4）C．（5，0）D．（3，0）10．（4分）已知a，b，c，d均为常数，e，f均为非零常数，若有两个整式A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，B＝x2+ex+f．下列结论中，正确的有（）①当A+B为关于x的三次三项式时，则f＝﹣10；②当多项式A•B乘积不含x4时，则e＝6；③a+b+c＝17；④当B能被x﹣2整除时，2e+f＝﹣4；⑤若x＝2m或m﹣2时，无论e和f取何值，B值总相等，则m＝﹣2．A．①②④B．①③④C．③④⑤D．①③④⑤二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）已知a n＝2，a m＝5，则a n+2m＝．12．（4分）已知点A（m，﹣3）与点B（﹣4，n）关于x轴对称，则m+n的值为．13．（4分）若等腰三角形的周长为26cm，一边长12cm，则腰长为cm．14．（4分）若+|2a﹣b+1|＝0，则（b﹣a）2021＝．15．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，若∠CEF＝50°，则∠ABC的度数是．16．（4分）已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，OP＝4，OA上有一点M，OB上有一点N，当△MNP的周长取最小值时，△MNP的周长为．17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，连接DE交BC 于F，过点D作DG⊥AE，垂足为G，连接FG．若FG＝，∠E＝30°，则GE＝．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，E是AB上一点，且AE＝AD，连接DE，过E 作EF⊥BD，垂足为F，延长EF交BC于点G．现给出以下结论：①EF＝FG；②CD＝DE；③∠BEG＝∠BDC；④∠DEF＝45°．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三．解答题（共8小题，满分78分）19．（10分）计算：（1）（﹣2016）0+（）﹣2+（﹣3）3；（2）4x4•x2﹣（﹣2x2）3﹣3x8÷4x2．20．（8分）如图，点C在线段AB上，AD∥BE，AC＝BE，AD＝BC，DE交AB于点G．（1）尺规作图：过点A作线段DE的垂线交DE于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）（2）求证：DF＝FG（请补全证明过程）．证明：∵AD∥BE，∴∠DAC＝．在△ACD和△BEC中，∴△ACD≌△BEC（SAS）．∴∠ADC＝∠BCE，CD＝，∴∠CDE＝∠CED．∴∠ADC+∠CDE＝∠BCE+∠CED，∴∠ADG＝∠AGD，∴．∵AF⊥，∴DF＝FG．21．（10分）已知与（y+1）2互为相反数，求（﹣2x）2﹣5x（﹣x+3y）﹣（3x+y）（3x﹣y）的值．22．（10分）已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）．（1）请你在如图的平面直角坐标系中描出上述各点，画出△ABC；（2）请你画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1的各点坐标；（3）求△A1B1C1的面积．23．（10分）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是BC、CA的延长线上的点，且CD＝AE，DA的延长线交BE于点F．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠BFD的度数．24．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG．求证：（1）AD∥CG；（2）AF＝AD．25．（10分）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）；图1表示：；图2表示：；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（2）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（3）请直接写出下列问题答案：①若2m+3n＝5，mn＝1，则2m﹣3n＝；②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝．（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝16，求图中阴影部分面积．26．（10分）在△ABC中，CD⊥AB于点D，∠B＝2∠ACD．（1）如图1，求证：△ABC是等腰三角形．（2）如图2，点E是边AB上一点，F是BC延长线上一点，连接CE、AF，若CE＝AF，求证：AE＝2AD+CF．（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AC的垂线交CE的延长线于点H，点K是CE上一点，连接KA并延长至点G，使GA＝AK，连接HG．若∠G＝2∠GHA，∠F﹣∠B＝∠CAF，GK＝12，求HK的长．重庆市育才中学2023-2024学年八年级上学期数学期中模拟（答案）一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列图形中轴对称图形是（）A．B．C．D．【答案】C2．（4分）下列运算正确的是（）A．（a2b3）2＝a4b6B．3ab﹣2ab＝1C．（﹣a）3•a＝a4D．（a+b）2＝a2+b2【答案】A3．（4分）已知三角形的两边长分别为6cm和14cm，则下列长度能作为第三边的是（）A．12cm B．7cm C．6cm D．25cm【答案】A4．（4分）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（）A．30 B．27 C．35 D．40【答案】A5．（4分）若一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C6．（4分）如图1，从边长为a的大正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形纸片后，将其沿实线裁成两个相同的直角梯形，然后拼成一个等腰梯形（如图2），则通过计算图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【答案】D7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（）A．120 B．60 C．45 D．30【答案】D8．（4分）下列说法中正确的是（）A．全等三角形一定关于某条直线对称B．等腰三角形两腰上的中线相等C．三角形两边垂直平分线的交点到三角形三边距离相等D．有两个角相等的等腰三角形是等边三角形【答案】B9．（4分）如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿如图所示方向运动，每当小球碰到长方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．小球第1次碰到长方形的边时的点为P1，第2次碰到长方形的边时的点为P2…第n 次碰到长方形的边时的点为P n，则点P3的坐标是（8，3），点P2020的坐标是（）A．（8，3）B．（7，4）C．（5，0）D．（3，0）【答案】C10．（4分）已知a，b，c，d均为常数，e，f均为非零常数，若有两个整式A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，B＝x2+ex+f．下列结论中，正确的有（）①当A+B为关于x的三次三项式时，则f＝﹣10；②当多项式A•B乘积不含x4时，则e＝6；③a+b+c＝17；④当B能被x﹣2整除时，2e+f＝﹣4；⑤若x＝2m或m﹣2时，无论e和f取何值，B值总相等，则m＝﹣2．A．①②④B．①③④C．③④⑤D．①③④⑤【答案】D二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）已知a n＝2，a m＝5，则a n+2m＝50．【答案】50．12．（4分）已知点A（m，﹣3）与点B（﹣4，n）关于x轴对称，则m+n的值为﹣1．【答案】见试题解答内容13．（4分）若等腰三角形的周长为26cm，一边长12cm，则腰长为12或7cm．【答案】见试题解答内容14．（4分）若+|2a﹣b+1|＝0，则（b﹣a）2021＝﹣1．【答案】﹣1．15．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，若∠CEF＝50°，则∠ABC的度数是65°．【答案】65°．16．（4分）已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，OP＝4，OA上有一点M，OB上有一点N，当△MNP的周长取最小值时，△MNP的周长为4．【答案】4．17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，连接DE交BC 于F，过点D作DG⊥AE，垂足为G，连接FG．若FG＝，∠E＝30°，则GE＝．【答案】见试题解答内容18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，E是AB上一点，且AE＝AD，连接DE，过E 作EF⊥BD，垂足为F，延长EF交BC于点G．现给出以下结论：①EF＝FG；②CD＝DE；③∠BEG＝∠BDC；④∠DEF＝45°．其中正确的是①③④．（写出所有正确结论的序号）【答案】①③④三．解答题（共8小题，满分78分）19．（10分）计算：（1）（﹣2016）0+（）﹣2+（﹣3）3；（2）4x4•x2﹣（﹣2x2）3﹣3x8÷4x2．【答案】（1）﹣22；（2）﹣x6．20．（8分）如图，点C在线段AB上，AD∥BE，AC＝BE，AD＝BC，DE交AB于点G．（1）尺规作图：过点A作线段DE的垂线交DE于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）（2）求证：DF＝FG（请补全证明过程）．证明：∵AD∥BE，∴∠DAC＝∠CBE．在△ACD和△BEC中，∴△ACD≌△BEC（SAS）．∴∠ADC＝∠BCE，CD＝DC＝EC，∴∠CDE＝∠CED．∴∠ADC+∠CDE＝∠BCE+∠CED，∴∠ADG＝∠AGD，∴AD＝AG．∵AF⊥DG，∴DF＝FG．【答案】（1）作图见解答过程；（2）∠CBE，DC＝EC，AD＝AG，DG．21．（10分）已知与（y+1）2互为相反数，求（﹣2x）2﹣5x（﹣x+3y）﹣（3x+y）（3x﹣y）的值．【答案】y2﹣15xy，原式＝31．22．（10分）已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）．（1）请你在如图的平面直角坐标系中描出上述各点，画出△ABC；（2）请你画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1的各点坐标；（3）求△A1B1C1的面积．【答案】（1）图形见解答；（2）图形见解答；A1（0，1），B1（﹣2，0），C1（﹣4，3）；（3）4．23．（10分）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是BC、CA的延长线上的点，且CD＝AE，DA的延长线交BE于点F．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠BFD的度数．【答案】∠BFD的度数60°24．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG．求证：（1）AD∥CG；（2）AF＝AD．【答案】（2）△ACF≌△CBG（ASA），∴AF=CG，∴AF=AD．25．（10分）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）；图1表示：（a+b）2＝a2+b2+2ab；图2表示：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（2）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（3）请直接写出下列问题答案：①若2m+3n＝5，mn＝1，则2m﹣3n＝±1；②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝13．（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝16，求图中阴影部分面积．【答案】（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab；（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．（2）12．（3）①±1；②13．（4）．26．（10分）在△ABC中，CD⊥AB于点D，∠B＝2∠ACD．（1）如图1，求证：△ABC是等腰三角形．（2）如图2，点E是边AB上一点，F是BC延长线上一点，连接CE、AF，若CE＝AF，求证：AE＝2AD+CF．（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AC的垂线交CE的延长线于点H，点K是CE上一点，连接KA并延长至点G，使GA＝AK，连接HG．若∠G＝2∠GHA，∠F﹣∠B＝∠CAF，GK＝12，求HK的长．【答案】（3）．。

重庆市育才中学八年级（上）期中考试数学试题（本卷共三大题，满分150分，考试时间120分钟）（命题人：李勇 宾朝路 王艳 张垂权 审题人：张垂权 ）一、选择题：（本大题12个小题，每小题3分，共36分）每小题只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填入题后的括号内。

1．下列各式正确的是 （ ）A ．323222+=+B ．()32533523++=+C ．12151215121522-⋅+=-D ．212214= 2．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17-是17的平方根。

其中正确的有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简23x x +的结果是（ ）A ．-4xB ．4xC ．-2xD ．2x4．给出下面四个命题:(1)一组对边平行的四边形是梯形;(2)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形;(3)两条对角线互相垂直的矩形是正方形;(4)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形,其中正确的个数有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．若菱形的边长为1cm ，其中一内角为60°，则它的面积为 （ ）A ．223cm B ．23cm C ．22cm D ．232cm 6．下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．一个正多边形,它的一个外角等于与它相邻的内角的41,则这个多边形是（ ） A ．正十二边形 B ．正十边形 C ．正八边形 D ．正六边形8．如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为 （ ）A ．4B ．6C ．8D ．109．如图，□ABCD 的周长为16cm ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交AD 于E ，则△DCE 的周长为 （ ） A ．4 cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm10．若等腰梯形的两底差等于一腰长,那么它的腰与下底的夹角为 ( )A ．︒30B ．︒45C ．︒60D ．︒7511．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出 发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是 （ ）A ．212π+B ．2412π+ C ．214π+ D ．242π+12．重庆市育才中学逸夫图书综合楼要铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是 （ ） A ．正方形 B ．正六边形 C ．正八边形 D ．正十二边形 二、填空题：（本大题12个小题，每小题3分，共36分）请将答案直接填写在题后的横线上。

2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【北师大版】专题3.1第一次月考阶段性测试卷（10月培优卷，八上北师大第1~2章）班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春•滨海新区期末）25的算术平方根是（ ）A ．﹣5B ．±5C ．25D ．52．（2023•邵阳县校级模拟）下列各组数中互为相反数的是（ ） A ．﹣2与√(−2)2 B ．﹣2与√−83 C ．﹣2与−12 D ．2与|﹣2|3．（2022秋•徐汇区校级期末）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．√0.2bB ．√12a −12bC ．√x 2−y 2D ．√5ab 24．（2023•新都区模拟）代数式√x+1x 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣1且x ≠0 B ．x ≥﹣1 C ．x ＜﹣1 D ．x ＞﹣1且x ≠05．（2023春•孝感期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝2，以AB 为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）A ．6B ．9C ．13D ．256．（2023春•长垣市期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C 到旗杆底部B 的距离为5米，则旗杆的高度为（ ）米．A．5B．12C．13D．177．（2022秋•昌图县期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（）A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a：b：c＝3：4：58．（2021秋•诸暨市期中）若9−√13的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b等于（）A．12−√13B．13−√13C．14−√13D．15−√139．（2023春•赵县期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（）A．h≤17B．h≥8C．15≤h≤16D．7≤h≤1610．（2022秋•高州市期末）下面图形能够验证勾股定理的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2023春•南陵县期末）√8与最简二次根式√m+1是同类二次根式，则m＝．12．（2023春•华蓥市校级期末）直角三角形的两条直角边长分别为√2cm、√10cm，则这个直角三角形的斜边长为，面积为．13．（2023春•丰台区校级期中）已知√6.213≈2.493，√62.13≈7.882，则√62130≈．14．（2023春•五莲县期末）已知a＝3+2√2，b＝3﹣2√2，则a2b﹣ab2＝．15．（2022秋•兴隆县期末）如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝．16．（2023•宁津县校级开学）如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得∠EAC＝30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为米．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2021秋•乐山期末）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．18．计算：（1）2√3（√12−√75+13√108）（2）（√a3b−√ab3）√ab（3）（√2−√12）（√18+√48）（4）（5√12−6√32）（14√8+√23）（5）（2√7+5√2）（5√2−2√7）（6）(√3+√2)2013×(√3−√2)2012．19．（2023•江门校级三模）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC 沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．20．（2022秋•巴中期末）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是√43的整数部分．（1）求a，b，c的值；（2）求2a﹣b+92c的平方根．21．（2023春•金安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．（1）作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝；（2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；（3）利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．22．（2023春•金乡县月考）在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话．小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝2c2，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如△ABC的三边长分别是√2，√6和2，因为（√2）2+（√6）2＝2×22，所以△ABC是“类勾股三角形”．小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！根据对话回答问题：（1）判断：小璐的说法；（填“正确”或“错误”）（2）已知△ABC的其中两边长分别为1，√7，若△ABC为“类勾股三角形”，则另一边长为；（3）如果Rt△ABC是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且x＜y，z为斜边长），用只含有x的式子表示其周长和面积．23．（2021秋•丰泽区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【北师大版】专题3.1第一次月考阶段性测试卷（10月培优卷，八上北师大第1~2章）班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春•滨海新区期末）25的算术平方根是（ ）A ．﹣5B ．±5C ．25D ．5 【答案】D【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．【解答】解：25的算术平方根是：5．故选：D ．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确把握定义是解题关键．2．（2023•邵阳县校级模拟）下列各组数中互为相反数的是（ ） A ．﹣2与√(−2)2B ．﹣2与√−83C ．﹣2与−12D ．2与|﹣2| 【答案】A【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A 、√(−2)2=2，﹣2与√(−2)2是互为相反数，故本选项正确； B 、√−83=−2，﹣2与√−83相等，不是互为相反数，故本选项错误；C 、﹣2与−12是互为倒数，不是互为相反数，故本选项错误；D 、|﹣2|＝2，2与|﹣2|相等，不是互为相反数，故本选项错误．故选：A ．【点评】本题考查了实数的性质，对各项准确计算是解题的关键．3．（2022秋•徐汇区校级期末）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．√0.2bB ．√12a −12bC ．√x 2−y 2D ．√5ab 2 【答案】C【分析】A 选项的被开方数中含有分母；B 、D 选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．所以只有C 选项符合最简二次根式的要求．【解答】解：因为：A 、√0.2b =√5b 5； B 、√12a −12b =2√3a −3b ；D 、√5ab 2=√5a |b |；所以这三项都可化简，不是最简二次根式．故选：C ．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．4．（2023•新都区模拟）代数式√x+1x 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣1且x ≠0B ．x ≥﹣1C ．x ＜﹣1D ．x ＞﹣1且x ≠0【答案】A【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意，得{x +1≥0x ≠0， 解得：x ≥﹣1且x ≠0．故选：A ．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．本题应注意在求得取值后，应排除在取值范围内使分母为0的x 的值．5．（2023春•孝感期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝2，以AB 为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）A ．6B ．9C ．13D ．25【答案】C【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由正方形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，∴AB=√AC2+BC2=√32+22=√13，∴正方形的面积＝（√13）2＝13．故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．6．（2023春•长垣市期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杆的高度为（）米．A．5B．12C．13D．17【答案】B【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【解答】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗杆的高度为12米．故选：B．【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键．7．（2022秋•昌图县期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（）A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a：b：c＝3：4：5【答案】C【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．【解答】解：A、∵∠B＝∠C+∠A，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，故△ABC是直角三角形；B、∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，故△ABC是直角三角形；C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；D、由条件可设a＝3k，则b＝4k，c＝5k，那么a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形；故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．8．（2021秋•诸暨市期中）若9−√13的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b等于（）A．12−√13B．13−√13C．14−√13D．15−√13【答案】C【分析】先估算√13的大小，再估算9−√13的大小，进而确定a、b的值，最后代入计算即可．【解答】解：∵3＜√13＜4，∴﹣4＜−√13＜−3，∴5＜9−√13＜6，又∵9−√13的整数部分为a，小数部分为b，∴a＝5，b＝9−√13−5＝4−√13，∴2a+b＝10+（4−√13）＝14−√13，故选：C．【点评】本题考查估算无理数，掌握无理数估算的方法是解决问题的前提，理解无理数的整数部分和小数部分的表示方法是得出正确答案的关键．9．（2023春•赵县期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（）A．h≤17B．h≥8C．15≤h≤16D．7≤h≤16【答案】D【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴h＝24﹣8＝16cm；当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD＝15，BD＝8，∴AB=√AD2+BD2=17，∴此时h＝24﹣17＝7，所以h的取值范围是7≤h≤16．故选：D．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．10．（2022秋•高州市期末）下面图形能够验证勾股定理的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【分析】利用面积法证明勾股定理即可解决问题．【解答】解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×12ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理．第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×12ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理．第三个图形：梯形的面积=12（a+b）（a+b）＝2×12×ab+12c2，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理．第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积＝两个直角三角形的面积的和，即（b−b−a2）（a+b−a2）=12ab+12c⋅12c，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理，∴能够验证勾股定理的有4个．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2023春•南陵县期末）√8与最简二次根式√m+1是同类二次根式，则m＝1．【答案】见试题解答内容【分析】先把√8化为最简二次根式2√2，再根据同类二次根式得到m+1＝2，然后解方程即可．【解答】解：∵√8=2√2，∴m+1＝2，∴m＝1．故答案为1．【点评】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．12．（2023春•华蓥市校级期末）直角三角形的两条直角边长分别为√2cm、√10cm，则这个直角三角形的斜边长为2√3cm，面积为√5cm2．【答案】见试题解答内容【分析】此题直接利用勾股定理及三角形的面积解答即可．【解答】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长=√(√2)2+(√10)2=2√3cm；直角三角形的面积=12×√2×√10=√5cm2．故填2√3cm，√5cm2．【点评】此题主要考查勾股定理及三角形的面积．13．（2023春•丰台区校级期中）已知√6.213≈2.493，√62.13≈7.882，则√62130≈249.3．【答案】249.3．【分析】根据“被开方数的小数点向右或向左移动2位，它们的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位”解答即可．【解答】解：∵被开方数62130可由6.213的小数点向右移动4位得到，∴√62130可由√6.123的算术平方根2.493的小数点向右移动2位得到，即√62130≈249.3．故答案为：249.3．【点评】本题考查算术平方根的规律，熟悉被开方数小数点移动与其算术平方根小数点移动的规律是解题的关键．14．（2023春•五莲县期末）已知a＝3+2√2，b＝3﹣2√2，则a2b﹣ab2＝4√2．【答案】见试题解答内容【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：∵a＝3+2√2，b＝3﹣2√2，∴ab＝9﹣8＝1，a﹣b＝4√2，∴原式＝ab（a﹣b）＝4√2，故答案为：4√2【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．15．（2022秋•兴隆县期末）如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝7．【答案】见试题解答内容【分析】连续运用勾股定理即可解答．【解答】解：由勾股定理可知OB=√5，OC=√6，OD=√7∴OD2＝7．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．16．（2023•宁津县校级开学）如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得∠EAC＝30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为600√3米．【答案】见试题解答内容【分析】过点C作CO⊥AB，垂足为O，由图可看出，三角形OAC为一直角三角形，已知一直角边和一角，则可求斜边．【解答】解：过点C作CO⊥AB，垂足为O，∵BD＝900，∴OC＝900，∵∠EAC＝30°，∴∠ACO＝30°．在Rt△AOC中，∵AC＝2OA，设OA＝x，则AC＝2x，（2x）2﹣x2＝OC2＝9002，∴x2＝270000，∴x＝300√3∴AC＝600√3米．故答案为600√3．【点评】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理．三．解答题（共7小题）17．（2021秋•乐山期末）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意，可以分别求得BC 、AC 、AB 的长，然后利用勾股定理的逆定理，即可判断△ABC 的形状；（2）根据等积法，可以求得AB 边上的高．【解答】解：（1）△ABC 为直角三角形， 理由：由图可知，AC =√22+42=2√5，BC =√12+22=√5，AB =√32+42=5，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形；（2）设AB 边上的高为h ， 由（1）知，AC =2√5，BC =√5，AB ＝5，△ABC 是直角三角形，∴12BC ⋅AC =12AB ⋅ℎ， 即12×√5×2√5=12×5h ，解得，h ＝2， 即AB 边上的高为2．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．计算： （1）2√3（√12−√75+13√108）（2）（√a 3b −√ab 3）√ab（3）（√2−√12）（√18+√48）（4）（5√12−6√32）（14√8+√23）（5）（2√7+5√2）（5√2−2√7）（6）(√3+√2)2013×(√3−√2)2012．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先把括号内的各二次根式化为最简二次根，然后合并后进行二次根式的乘法运算；（2）先把括号内的各二次根式化为最简二次根，然后合并后进行二次根式的乘法运算；（3）先把各二次根式化为最简二次根，然后合并后进行二次根式的乘法运算；（4）先进行二次根式的乘法运算，然后合并即可；（5）利用平方差公式计算；（6）利用积的乘方进行计算．【解答】解：（1）原式＝2√3（2√3−5√3+2√3）＝2√3×（−√3）＝﹣6；（2）原式＝（a√ab−b√ab）•√ab=（a﹣b）√ab•√ab=ab（a﹣b）＝a2b﹣ab2；（3）原式＝（√2−2√3）（3√2+4√3）＝6+4√6−6√6−24＝﹣2√6−18；（4）原式=54√12×8+5√12×23−32√32×8−6√32×23=52+5√33−3√3−6=−72−4√33；（5）原式＝（5√2）2﹣（2√7）2＝50﹣28＝22；（6）原式＝[（√3+√2）（√3−√2）]2012•（√3+√2）=√3+√2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．19．（2023•江门校级三模）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC 沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．【答案】见试题解答内容【分析】先由勾股定理求AB＝10．再用勾股定理从△DEB中建立等量关系列出方程即可求CD的长．【解答】解：∵两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD＝DE，AE＝AC＝6，∴BE＝10﹣6＝4，设DE＝CD＝x，BD＝8﹣x，在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD2＝DE2+BE2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3．即CD的长为3cm．【点评】此题不但考查了勾股定理，还考查了学生折叠的知识，折叠中学生一定要弄清其中的等量关系．20．（2022秋•巴中期末）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是√43的整数部分．（1）求a，b，c的值；（2）求2a﹣b+92c的平方根．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据立方根、算术平方根、无理数的估算即可求出a、b、c的值；（2）求出代数式2a﹣b+92c的值，再求这个数的平方根．【解答】解：（1）∵3a+1的立方根是﹣2，∴3a+1＝﹣8，解得，a＝﹣3，∵2b﹣1的算术平方根是3，∴2b﹣1＝9，解得，b＝5，∵√36＜√43＜√49，∴6＜√43＜7，∴√43的整数部分为6，即，c＝6，因此，a＝﹣3，b＝5，c＝6，（2）当a＝﹣3，b＝5，c＝6时，2a﹣b+92c=−6﹣5+92×6＝16，2a﹣b+92c的平方根为±√16=±4．【点评】本题考查算术平方根、立方根、无理数的估算，掌握算术平方根、立方根和无理数的估算是正确解答的前提．21．（2023春•金安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．（1）作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝14﹣x；（2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；（3）利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接利用BC的长表示出DC的长；（2）直接利用勾股定理进而得出x的值；（3）利用三角形面积求法得出答案．【解答】解：（1）∵BC＝14，BD＝x，∴DC＝14﹣x，故答案为：14﹣x；（2）∵AD⊥BC，∴AD2＝AC2﹣CD2，AD2＝AB2﹣BD2，∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，解得：x＝9；（3）由（2）得：AD=√AB2−BD2=√152−92=12，∴S△ABC=12•BC•AD=12×14×12＝84．【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出AD的长是解题关键．22．（2023春•金乡县月考）在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话．小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝2c2，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如△ABC的三边长分别是√2，√6和2，因为（√2）2+（√6）2＝2×22，所以△ABC是“类勾股三角形”．小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！根据对话回答问题：（1）判断：小璐的说法 正确 ；（填“正确”或“错误”）（2）已知△ABC 的其中两边长分别为1，√7，若△ABC 为“类勾股三角形”，则另一边长为 2或√13 ； （3）如果Rt △ABC 是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x ，y ，z （x ，y 为直角边长且x ＜y ，z 为斜边长），用只含有x 的式子表示其周长和面积．【答案】（1）正确；（2）2或√13；（3）周长为（1+√2+√3）x ，面积为√22x 2． 【分析】（1）根据“类勾股三角形”的定义进行判断即可；（2）设出第三边，利用“类勾股三角形”的定义分三种情况讨论求解并进行验证即可；（3）根据勾股定理和类勾股三角形的性质将b 、c 用a 表示，即可求出结果．【解答】解：（1）设等边三角形三边长分别是a ，b ，c ，则a ＝b ＝c ，∴a 2+b 2＝2c 2，∴等边三角形是“类勾股三角形”，∴小璐的说法正确．故答案为：正确；（2）设另一边长为x ，①12+（√7）2＝2x 2，解得x ＝2，符合题意；②12+x 2＝2（√7）2，解得x =√13，符合题意；③x 2+（√7）2＝2×12，x 无解；故答案为：2或√13；（3）∵Rt △ABC 是“类勾股三角形”且x ＜y ，z 为斜边长，∴x 2+z 2＝2y 2，由勾股定理得x 2+y 2＝z 2，整理得x 2+x 2+y 2＝2y 2，即2x 2＝y 2，∴y =√2x ， ∴z 2＝3x 2，∴z =√3x ，∴Rt △ABC 的周长为x +y +z ＝（1+√2+√3）x ，Rt △ABC 的面积为12xy =12x •√2x =√22x 2． 【点评】本题考查勾股定理，理解题目中的新定义及掌握勾股定理是解题关键．23．（2021秋•丰泽区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．【答案】（1）7；（2）答案见解答．【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝10，∴BD＝5，Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD=√AB2−BD2=√132−52=12，Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH在△CHB和△AEF中，∵{BH=EF∠CBH=∠AFE=45°BC=AF，∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，FD⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2．【点评】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问有难度，正确作出辅助线是关键．。

重庆高2024届高三上10月质量监测数学试题（答案在最后）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.1.定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x b a a A b B ⊗==-∈∈，若{1,4},{1,2}A B ==-，则A B ⊗中的元素个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】计算可求得{}0,3,3A B ⊗=-，可得结论.【详解】因为{1,4},{1,2}A B ==-，当1,1a b ==-时，20x b a =-=，当1,2a b ==时，23x b a =-=，当4,1a b ==-时，23x b a =-=-，当4,2a b ==时，20x b a =-=，所以{}0,3,3A B ⊗=-，故A B ⊗中的元素个数为3.故选：C.2.直线10ax y +-=被圆22(1)(4)4x y -+-=所截得的弦长为a =（）A.43-B.34-C.3D.2【答案】A 【解析】【分析】先求出圆心到直线10ax y +-=的距离，结合点到直线的距离公式，即可得出a 的值.【详解】圆22(1)(4)4x y -+-=的圆心为(1,4)，半径为2r =，1=，根据点到直线距离公式，知圆心(1,4)到直线10ax y +-=的距离1d ==，化简可得22(3)1a a +=+，解得43a =-.故选：A.3.已知:p x a ≥，:||6q x a +<，且p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围为（）A.(−∞,−3]B.(−∞,−3)C.[3,+∞)D.(3,+∞)【答案】A 【解析】【分析】由题意可得6a a ≤--，求解即可.【详解】由||6x a +<，解得66a x a --<<-，由p 是q 的必要不充分条件，所以6a a ≤--，解得3a ≤-，所以a 的取值范围为(,3]-∞-.故选：A.4.下列说法中，正确的是（）A.设一组样本数据12,,,n x x x 的方差为0.1，则数据1210,10,,10n x x x 的方差为1B.已知数据2，3，5，7，8，9，10，11，则该组数据的上四分位数为9C.一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数【答案】C 【解析】【分析】依据方差的性质计算可判断选项A ；求得四分位数可判断选项B ；依据中位数定义和平均数定义去判断选项C ；由频率直方图的意义可判断D.【详解】对于A ，设一组样本数据12,,,n x x x 的方差为0.1，则数据1210,10,,10n x x x 的方差为2100.110⨯=，故A 错误；对于B ，因为80.756⨯=，所以该组数据的上四分位数为9109.52+=，故B 错误；对于C ，一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等，故C 正确；对于D ，频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，故D 错误.故选：C.5.已知3a log 6=，5log 10b =，7log 14c =，则（）A.b a c << B.c b a<< C.a b c<< D.a c b<<【答案】B 【解析】【分析】根据对数的运算和对数函数的性质即可求解.【详解】因为3321log 61log 21,log 3a ==+=+5521log 101log 21log 5b ==+=+,7721log 141log 21log 7c ==+=+且222log 7>log 5log 3>0>；所以a b c >>.故选：B.6.已知2F 是椭圆()222210+=>>x y a b a b的右焦点，点P 在椭圆上，()220OP OF PF +⋅= ，且22OP OF b +=，则椭圆的离心率为（）A.3B.5C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】设2PF 的中点为Q ，根据向量的线性运算法则及数量积的定义可得2OQ PF ⊥，从而得到12PF PF ⊥，根据22OP OF b +=得到1||2PF b =，再根据椭圆的定义得到2||PF ，在直角三角形中利用勾股定理得到23b a =，最后根据离心率公式计算可得；【详解】解：设2PF 的中点为Q ，则22OP OF OQ += 由22()0OP OF PF +⋅= ，即220OQ PF ⋅=所以2OQ PF ⊥，连接1PF 可得1//OQ PF ，所以12PF PF ⊥，因为22OP OF b += ，即22OQ b =，即1||2PF b=所以21||2||22PF a PF a b =-=-，在12R t PF F 中，2221212||||||PF PF F F +=，即()()2222224c b a b -+=，又222c a b =-，所以222222b a b ab a b +=+--，所以232b ab =，即23b a =解得22222513c a b b e a a a -===-，故选：A7.设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝212x⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则在区间(－2，6)上关于x 的方程f(x)－log 8(x＋2)＝0的解的个数为A.4 B.3C.2D.1【答案】B 【解析】【分析】把原方程转化为()y f x =与8log (2)y x =+的图象的交点个数问题，由(2)(2)f x f x +=-，可知()f x 的图象关于2x =对称，再在同一坐标系下，画出两函数的图象，结合图象，即可求解．【详解】由题意，原方程等价于()y f x =与8log (2)y x =+的图象的交点个数问题，由(2)(2)f x f x +=-，可知()f x 的图象关于2x =对称，作出()f x 在(0,2)上的图象，再根据()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，结合对称性，可得作出()f x 在()2,6-上的图象，如图所示．再在同一坐标系下，画出8log (2)y x =+的图象，同时注意其图象过点(6,1)，由图可知，两图象在区间()2,6-内有三个交点，从而原方程有三个根，故选B．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记对数函数的性质，合理应用函数的奇偶性，在同一坐标系内作出两函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用，属于中档试题．8.已知函数() )2023f x x =-+，,a b 满足 (2)(4)4046(,f a f b a b +-=为正实数)，则242b a a ab b ++的最小值为（）A.1B.2C.4D.658【答案】B 【解析】【分析】由已知构造函数()()2023g x f x =-，探讨函数()g x 的单调性、奇偶性，进而求得24a b +=，再利用基本不等式求解即得.【详解】令()()2023)g x f x x =-=-||x x >≥，得()g x 定义域为R ，()()))ln10g x g x x x -+=+==，即函数()g x 是奇函数，而())g x x -=-，当0x ≥时，函数u x =+是增函数，又ln y u =是增函数，于是函数()g x 在[0,)+∞上单调递减，由奇函数的性质知，函数()g x 在(,0]-∞上单调递减，因此函数()g x 在R 上单调递减，由(2)(4)4046f a f b +-=，得(2)2023(4)20230f a f b -+--=，即(2)(4)0g a g b +-=，所以(2)(4)(4)g a g b g b =--=-，则24a b =-，即24a b +=，又0,0a b >>，所以244422(2)4b b b a ab b a b a a a a a b b +=+=+≥++，当且仅当164,99a b ==时取等号，所以242b a a ab b ++的最小值为2.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.9.已知1,0a b c >><，则（）A.c a <cbB.()ac ->()bc -C.a cb a +⎛⎫< ⎪⎝⎭b cb a +⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()log b a c ->()log a b c -【答案】CD 【解析】【分析】对于A,B ，取特殊值判断即可；对于C,利用指数函数的单调性判断即可；对于D,利用对数函数的单调性判断即可.【详解】对于A,不妨取4,2,c 1a b ===-，则c 1c 1,42a b =-=-,此时c ca b>,故A 错误;对于B,不妨取4,2,c 1a b ===-,则42()11,()11a b c c -==-==，此时()()a b c c -=-,故B 错误;对于C,因为1a b >>,所以01b a <<,所以指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，因为0c <,所以a c b c +>+,所以a cb cb b a a ++⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确;对于D,因为1a b >>,所以对数函数log b y x =和log a y x =在()0,∞+上单调递增，因为0c <,所以1a c b c ->->,所以()()log log 0b b ac b c ->->又()()log log 0b a b c b c ->->,所以()()log log b a a c b c ->-,故D 正确.故选：CD.10.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.现安排小明、小红、小兵3名志愿者到甲、乙、丙、丁四个场馆进行服务.每名志愿者只能选择一个场馆，且允许多人选择同一个场馆，下列说法中正确的有（）A.所有可能的方法有43种B.若场馆甲必须有志愿者去，则不同的安排方法有37种C.若志愿者小明必须去场馆甲，则不同的安排方法有16种D.若三名志愿者所选场馆各不相同，则不同的安排方法有24种【答案】BCD 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理判断AC 选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B 选项的正确性，利用排列数计算判断D 选项的正确性.【详解】对于A ，所有可能的方法有34种，故A 错误.对于B ，分三种情况：第一种：若有1名志愿者去场馆甲，则去场馆甲的志愿者情况为13C ，另外两名同学的安排方法有339⨯=种，此种情况共有13C 927⨯=种，第二种：若有两名志愿者去场馆甲，则志愿者选派情况有23C ，另外一名志愿者的排法有3种，此种情况共有23C 39⨯=种，第三种情况，若三名志愿者都去场馆甲，此种情况唯一，则共有279137++=种安排方法，B 正确.对于C ，若小明必去甲场馆，则小红，小兵两名志愿者各有4种安排，共有4416⨯=种安排，C 正确.对于D ，若三名志愿者所选场馆各不同，则共有34A 24=种安排，D 正确.故选：BCD.11.已知双曲线22:1(01)91x y C k k k +=<<--，则（）A.双曲线C 的焦点在x 轴上B.双曲线C 的焦距等于C.双曲线CD.双曲线C的离心率的取值范围为1,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的简单几何性质，对各选项逐一分析即可得答案.【详解】解：对A ：因为01k <<，所以90k ->，10k -<，所以双曲线22:1(01)91x y C k k k-=<<--表示焦点在x 轴上的双曲线，故选项A 正确；对B ：由A 知229,1a k b k =-=-，所以222102c a b k =+=-，所以c =所以双曲线C的焦距等于)21c k <<=，故选项B 错误；对C ：设焦点在x 轴上的双曲线C 的方程为()222210,0x ya b a b-=>>，焦点坐标为(),0c ±，则渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=，所以焦点到渐近线的距离d b ==，所以双曲线22:1(01)91x y C k k k -=<<--C 正确；对D ：双曲线C的离心率e ===，因为01k <<，所以8101299k <-<-，所以13,e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝=⎭，故选项D 正确.故选：ACD.12.信息熵常被用来作为一个系统的信息含量的量化指标，从而可以进一步用来作为系统方程优化的目标或者参数选择的判据.在决策树的生成过程中，就使用了熵来作为样本最优属性划分的判据.信息论之父克劳德·香农给出的信息熵的三个性质：①单调性，发生概率越高的事件，其携带的信息量越低；②非负性，信息熵可以看作为一种广度量，非负性是一种合理的必然；③累加性，即多随机事件同时发生存在的总不确定性的量度是可以表示为各事件不确定性的量度的和.克劳德⋅香农从数学上严格证明了满足上述三个条件的随机变量不确定性度量函数具有唯一形式21()log1nii i H X CP P ==-=∑，令1=C ，设随机变量X 所有取值为1，2，3，⋯，n ，且()()01,2,3,,i P X i P i n ==>= ，11nii P ==∑，则下列说法正确的有（）A.1n =时，()0H X =B.n =2时，若1P ∈10,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()H X 的值随着1P的增大而增大C.若1P =2P =112n -，1k P +=2kP (2,N k k ≥∈)，则()2122n H X -=-D.若2n m =，随机变量Y 的所有可能取值为12m ，，，，且()()()()2112P Y j P X j P X m j j m ===+=+-= ，，，，，则()()H X H Y ≤【答案】ABC 【解析】【分析】A 直接利用公式求解；B 先求出()2log H X n =,再判断单调性即可求解；CD 分别求出()H X 和()H Y ,结合对数函数单调性放缩即可求解.【详解】对于A ：若1n =,则11,1i P ==,因此()()21log 10,A H x =-⨯=正确;对于B ：当2n =时,()()()112112110,,log 1l 12P H x PP P og P ⎛⎫∈=---- ⎪⎝⎭，令()()()221log 1log 1,0,2f t t t t t t ⎛⎫=----∈ ⎪⎝⎭，则()()2221log log 1log 10f t t t t ⎛⎫=-+-=-> ⎪⎝⎭'，即函数()f t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,所以()H x 的值随着1P的增大而增大,B 正确;对于C ：()12111,22,N 2k k n P P P P k k +-===≥∈，则22211212,222k k k n n k P P k ----+=⨯==≥，22111111log log 222k k n k n k n k n k P P -+-+-+-+==-,，而1212111111log log 222n n n n P P ----==-，于是()2111222111221log ...222222n k k n n n n k n n n n H x P P ----=----=+=+++++∑1122112212222222n n n n n n n n n n ------=-++++++ 令231123122222n n n n nS --=+++++ ，则234112312221222n n n S n n +-=+++++ ，两式相减得2311111111111222112222222212n n n n n n n n n S +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-=-=-- ，因此222n n n S +=-,()112112122222222nn n n n n n n n n n n H x S -----+=-+=-+-=-，C 正确；对于D ,若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()()()()21,1,2,,P Y j P X j P X m j j m ===+=+-=⋯,222211()l 1og log m mi i i i i iH x P P P P ===-=∑∑122221222122121111log log log log m m m m P P P P P P P P --=++++ ()()()()122221212122211111log log log m m m m mm m m H Y P P P P P P P P P P P P -+-+=+++++++++ 12222122212221221121111log log log log m m m m m mP P P P P P P P P P P P ---=++++++++ 由于()01,2,,2i P i m >= ,即有2111i i m i P P P +->+,则222111log log i i m iP P P +->+,因此222111log log i i i i m iP P P P P +->+,所以()()H X H Y >,D 错误.故选:ABC .三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知P 为椭圆221123x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，1260F PF ∠︒＝，则12F PF 的面积为_______.【解析】【分析】结合椭圆定义与余弦定理、面积公式计算即可得.【详解】由已知得a =，b =，所以3c ===，从而1226F F c ==，在12F PF 中，2221212122cos 60F F PF PF PF PF ⋅︒＝＋－，即22121236PF PF PF PF ⋅＝＋－①，由椭圆的定义得12PF PF +=，即221212482PF PF PF PF ⋅＝＋＋②，由①②得124PF PF ⋅＝，所以12121sin 602F PF S PF PF ⋅⋅=︒= .14.若a ，0b >，且3ab a b =++，则ab 的最小值是____________．【答案】9【解析】【分析】利用基本不等式得3a b ab +=-≥，再解不等式可得结果.【详解】因为3a b ab +=-≥（当且仅当a b =时，等号成立），所以230--≥，所以1)0-+≥3≥，所以9ab ≥，所以ab 的最小值为9.故答案为：915.设关于x 的不等式220(0)x ax a a -+<<的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数解，则实数a 的取值范围为___________.【答案】1[1,3--【解析】【分析】令2()2f x x ax a =-+，根据不等式220(0)x ax a a -+<<解集A 中恰有两个整数解，结合二次函数性质判断整数解为0,1-，从而列出不等式，求得答案.【详解】由题意可得当a<0时，280a a ∆=->，令2()2f x x ax a =-+，则其图象对称轴为02ax =<，且(0)20f a =<，故关于x 的不等式220(0)x ax a a -+<<解集A 中恰有两个的整数解为0,1-，则(1)130f a -=+<且(2)440f a -=+≥，解得113a -≤<-，故答案为：1[1,3--.16.已知函数()12e 0ƒ210x x x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，，，若方程()2f x ⎡⎤⎣⎦−()bf x +4=0有6个相异的实数根，则实数b 的取值范围是__________.【答案】44e eb <<+【解析】【分析】根据题意,作出函数()1|2e ,021,0x x f x x x x -⎧>=⎨--+≤⎩∣的图象,进而数形结合,将问题转化为方程240t bt -+=有两个不相等的实数根12,t t ,再结合二次函数零点分布求解即可.【详解】根据题意,作出函数()1|2e ,021,0x x f x x x x -⎧>=⎨--+≤⎩∣的图象,如图:令()t f x =，因为方程()()240fx bf x -+=有6个相异的实数根,所以方程240t bt -+=有两个不等的实根，所以2160b ∆=->,解得4b <-或4b >,不妨设这两根12t t <,则1212t t =⎧⎨=⎩或12122e t t <<⎧⎨<<⎩,当1212t t =⎧⎨=⎩时，123t t b +==，且1224t t ==，所以无解；当12122e t t <<⎧⎨<<⎩时，令()24g t t bt =-+,只需()()()1020e 0g g g ⎧>⎪<⎨⎪>⎩,即21404240e e 40b b b -+>⎧⎪-+<⎨⎪-+>⎩,解得44e e b <<+,终上所述：44e eb <<+.故答案为:44e eb <<+.四、解答题：本大题共6小题，共70分.17.已知函数() 938xf x a x =-⋅+.（1）当2a =时，求不等式() 16f x ≥的解集；（2）若函数() f x 在()0,∞+有零点，求实数a .【答案】（1）[)3log 4,+∞（2）)⎡+∞⎣【解析】【分析】（1）令()30xt t =>，则()()280g t t at t =-+>，再由()16f x ≥，解不等式即可；（2）函数()f x 在0,+∞有零点等价于函数()g t 在1,+∞上有零点，即8a t t=+在1,+∞上有解，由基本不等式求出a 的取值范围.【小问1详解】因为()938xf x a x =-⋅+，令()30xt t =>，则()()280g t t at t =-+>，当2a =时，()()2280g t t t t =-+>，()16f x ≥即()16g t ≥，即2280t t --≥，由0t >，解得4t ≥，即34x ≥，解得3log 4x ≥，所以原不等式的解集为[)3log 4,∞+.【小问2详解】因为函数3x t =在R 上单调递增，所以函数()f x 在0,+∞有零点等价于函数()g t 在1,+∞上有零点，280t at -+=由大于1的解，即8a t t=+在1,+∞上有解，因为8t t +≥=8t t =，即t =时等号成立，得a ≥所以实数a 的取值范围为)∞⎡+⎣.18.已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(4,P .（1）求双曲线的方程；（2）直线l y kx =+：C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围.【答案】（1）22166x y -=（2）13k <<【解析】【分析】（1）根据题意求解双曲线方程即可；（2）联立直线和双曲线方程，通过判别式大于0，及12120,0x x x x +求解即可.【小问1详解】双曲线的中心在原点,焦点在x 轴上,设双曲线的方程为22221(0,0)x ya b a b-=>>由c e a ===,可得a b =,由双曲线过点(4,,可得2216101a b-=,解得6a b ==,则双曲线的标准方程为22166x y -=;【小问2详解】联立直线与双曲线方程22166x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，化简得()22180kx---=，则210k -≠，假设1122()A x y B x y ,,(,),则()222122122Δ)3213224001801k k x x k x x k ⎧=+-=->⎪⎪⎪+=<⎨-⎪-⎪=>⎪-⎩，解得13k <<.19.已知()x f x e ex =-+（e 为自然对数的底数）（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）设21()ln 2g x x x ax =++，若对任意1(0,2]x ∈，总存在2(0,2]x ∈．使得()()12g x f x <，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）1,ln 212⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数导数，判断出单调性，即可求出最值；（Ⅱ）问题转化为()()12max g x f x <，即()0g x <在(]0,2恒成立，分离参数可得ln 12x a x x ->+，构造函数()(]ln 1,0,22x h x x x x =+∈，利用导数求出函数的最大值即可.【详解】（Ⅰ） ()x f x e ex =-+，()xf x e e '∴=-+，令()0f x '>，解得1x <；令()0f x '<，解得1x >，()f x \在−∞,0单调递增，在()1,+∞单调递减，()()max 10f x f ∴==；（Ⅱ）对任意1(0,2]x ∈，总存在2(0,2]x ∈．使得()()12g x f x <等价于()()12max g x f x <，由（Ⅰ）()()2max 10f x f ==，则问题转化为()0g x <在(]0,2恒成立，化得21ln ln 122x xx a x x x +->=+，令()(]ln 1,0,22x h x x x x =+∈，则()21ln 12x h x x -'=+，当(]0,2x ∈时，1ln 0x ->，得()0h x '>，()h x ∴在(]0,2单调递增，()()max 12ln 212h x h ∴==+，则1ln 212a ->+，即1ln 212a <--，故a 的取值范围为1,ln 212⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将问题转化为()()12max g x f x <，即()0g x <在(]0,2恒成立.20.图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,,O M N 分别为线段11,,BC AA BB 的中点，P 为线段1AC 上的动点，11,3,4,82AO BC AB AC AA ====.（1）求三棱锥1C C MN -的体积；（2）试确定动点P 的位置，使直线MP 与平面11BB C C 所成角的正弦值最大.【答案】（1）16（2）P 为1AC 的中点【解析】【分析】（1）由题意可得BA ⊥平面11AA C C ，进而可证MN ⊥平面11AA C C ，利用等体积法可求三棱锥1C C MN -的体积；（2）以A 为原点，以1,,AB AC AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,发现为的中点时所成角的正弦值最大.【小问1详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，因为AB ⊂平面ABC ，所以1CC AB ⊥，由12AO BC =，O 是BC 的中点，则BA AC ⊥，因为1AC CC C = ，1,AC CC ⊂平面11AA C C ，所以BA ⊥平面11AA C C ，因为,M N 分别为线段11,AA BB 的中点，所以//MN AB ，所以MN ⊥平面11AA C C ，因为13,4,8AB AC AA ===，所以N 平面1CC M 的距离为3，因为四边形11AA C C 为矩形，M 为线段1AA 的中点，所以116CC M S = ，所以111163163C C MN N CC M V V --==⨯⨯=.【小问2详解】在ABC V 中，因为O 是BC 的中点，12AO BC =，所以BA AC ⊥，因为1AA ⊥平面ABC ，,AB AC ⊂平面ABC ，所以11,,AA AB AA AC ⊥⊥以A 为原点，以1,,AB AC AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,由题设可得11(0,0,0),(3,0,0),(0,4,0),(0,4,8),(0,0,4),(3,0,8),(3,0,4)A B C C M B N ，1(3,4,0),(0,0,8)BC BB =-=，设平面11BB C C 的法向量为(,,)n x y z =，则1·340·80BC n x y BB n z ⎧=-+=⎪⎨==⎪⎩ ，令4x =，得3,0y z ==，所以平面11BB C C 的法向量为(4,3,0)n =，设(,,)P a b c ，1(01)AP mAC m =≤≤，则(,,)(0,4,8)a b c m =，所以(0,4,8)P m m ，(0,4,84)MP m m =-，设直线MP 与平面11BB C C 所成的角为θ，则222||sin ||||516(84)5541n MP n MP m m m m θ===+--+，若0m =，sin 0θ=此时，点P 与A 重合；若0m ≠，令11t m=≥，则2233355545(2)1sin t t t θ=≤-+-+=，当2t =，即12m =，P 为1AC 的中点时，sin θ取得最大值35.21.树德中学为了调查中学生周末回家使用智能手机玩耍网络游戏情况，学校德育处随机选取高一年级中的100名男同学和100名女同学进行无记名问卷调查.问卷调查中设置了两个问题：①你是否为男生?②你是否使用智能手机玩耍网络游戏?调查分两个环节：第一个环节：先确定回答哪一个问题，让被调查的200名同学从装有3个白球，3个黑球(除颜色外完全相同)的袋子中随机摸取两个球，摸到同色两球的学生如实回答第一个问题，摸到异色两球的学生如实回答第二个问题；第二个环节：再填写问卷(只填“是”与“否”).回收全部问卷，经统计问卷中共有70张答案为“是”.（1）根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计该校中学生使用智能手机玩耍网络游戏的概率；（2）据核查以上的200名学生中有30名男学生使用智能手机玩耍网络游戏，按照(1)中的概率计算，依据小概率值α=0.15的独立性检验，能否认为中学生使用智能手机玩耍网络游戏与性别有关联；若有关联，请解释所得结论的实际含义.参考公式和数据如下：()()()()()22n ad bcn a b c da b c d a c b dχ-==+++ ++++，.α0.150.100.050.0250.005 xα 2.072 2.706 3.841 5.0247.879【答案】（1）1 4（2）有关联，答案见解析【解析】【分析】(1)由题可得摸到同色两球的概率，进而可得回答第一个问题的人数及选择“是”的人数，再利用古典概型概率公式即得；(2)通过计算2χ，进而即得.【小问1详解】因为摸到同色两球的概率223326C+C2C5 p==，所以回答第一个问题的人数为2 200805⨯=人，回答第二个问题的人数为20080120-=人，因为男女人数相等，是等可能的，所以回答第一个问题，选择“是”的同学人数为180402⨯=人，则回答第二个问题，选择“是”的同学人数为704030-=人，所以估计中学生在考试中有作弊现象的概率为301 1204=.【小问2详解】由(1)可知200名学生使用智能手机玩网络游戏估计有50人，则有20名女生使用智能手机玩网络游戏男女合计使用智能手机玩游戏302050不用智能手机玩游戏7080150100100200零假设为：0H 使用智能手机玩耍游戏与性别无关，()222003080207082.67 2.072501501001003χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯根据小概率值0.15α=的独立性检验，推断0H 不成立，因此认为使用智能手机玩耍网络游戏与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.15.在男生中使用智能手机玩耍游戏和不使用智能手机玩耍游戏的概率分别为0.3,0.7，在女生中使用智能手机玩耍游戏和不使用智能手机玩耍游戏的概率分别为0.2,0.8，在被调查者中男生使用智能手机玩耍游戏是女生的1.5倍，于是根据概率稳定概率的原理，我们可以认为男士使用智能手机玩耍网络游戏的概率大于女生使用智能手机玩耍网络游戏的概率.22.在平面直角坐标系中，动点M 到()10，的距离等于到直线=−1的距离.（1）求M 的轨迹方程；（2）P 为不在x 轴上的动点，过点P 作（1）中M 的轨迹的两条切线，切点为A ，B ；直线AB 与PO 垂直(O 为坐标原点)，与x 轴的交点为R ，与PO 的交点为Q ；（ⅰ）求证：R 是一个定点；（ⅱ）求PQ QR的最小值.【答案】（1）24y x=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义求M 的轨迹方程；（2）（ⅰ）设点()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，由切线AP 和BP 的方程，得到直线AB 的方程为()002yy x x =+，又直线AB 与PO 垂直得02x =-，则直线AB 的方程()022yy x =-，可得所过定点.（ⅱ）联立直线AB 与直线OP 的方程得交点Q 的坐标，表示出PQ QR，结合基本不等式求最小值.【小问1详解】因为动点M 到()1,0的距离等于到直线=−1的距离，所以M 的轨迹为开口向右的抛物线，又因为焦点为()1,0，所以轨迹方程为24y x =.【小问2详解】（ⅰ）证明：设点()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，设以1,1为切点的切线方程为()11y y k x x -=-，联立抛物线方程,可得2114440ky y y kx -+-=，由()21Δ420ky =-=，得12k y =，所以切线AP ：()112yy x x =+，同理切线BP ：()222yy x x =+点P 在两条切线上，则010102022()2()y y x x y y x x =+⎧⎨=+⎩，由于()()1122,,,A x y B x y 均满足方程()002yy x x =+，故此为直线AB 的方程，由于垂直1AB OP k k ⋅=-即0021y y x ⋅=-，则02x =-，所以直线AB 的方程()022yy x =-，恒过()2,0R ；（ⅱ）解：由（ⅰ）知02x =-，则()()02,,2,0P y R -，直线()0:22AB yy x =-联立直线AB 与直线OP 的方程()00222y y x yy x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得0220048,44y Q y y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，()()()()()()2223220000222202220000224220022222200021684824444||=416||4824444y y y y y y y y y PQ y y RQ y yyy y ++⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪ ++++⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ++++⎝⎭⎝⎭()()()()()22222222000004222004888441644y y y y y y y y y +++++==++422000220016641164.16844y y y y y ⎛⎫++=⋅=++≥ ⎪⎝⎭因此||||PQ QR ≥0y =±时取等号.即PQ QR的最小值是.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题，求最值经常与基本不等式相联系．。

2024年重庆市育才中学小升初数学试卷一、填空题（每题3分，共30分）1．（3分）至2024年1月1日全世界总人口为8203430161人，读作 ，保留百万位记作 ，预计至2024年底上升0.1%，请问增长了 人。

2．（3分）一个圆柱体削去部分后变成一个圆锥体，把这个圆锥体的高增加2倍，削去的体积与现在圆锥的体积比是 。

3．（3分）马路上有编号为1，2，3，……，10的十盏路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三盏灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两盏，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有 种。

4．（3分）某数学竞赛共160人进入决赛，决赛共四题，做对第一题的有136人，做对第二题的有125人，做对第三题的有118人，做对第四题的有104人。

在这次决赛中至少有 得满分。

5．（3分）观察图中正方形数表：表1中的各数之和为1，表2中的各数之和为17，表3中的各数之和为65，……（每个正方形数表比前一个正方形数表多一层方格，增加的一层方格中所填的数比前一数表的最外层方格的数大1），如果表n中的各数之和等于15505，那么n等于 。

6．（3分）某校学员根据下列条件从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点，最多能去的地方是 和 两地。

（1）若去A地也必须去B地。

（2）B、C两地最多去一地。

（3）D、E两地至少去一地。

（4）C、D两地都去或者都不去。

（5）若去E地，一定要去A、D两地。

7．（3分）有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧场可供75头牛吃 天。

8．（3分）甲、乙、丙三数分别为603，939，393。

某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍，求A等于 。

9．（3分）求1～100中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是 。

2024-2025学年重庆市育才中学教育集团八年级（上）入学数学模拟试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.实数3, 4,13,0, 5,π中，无理数的个数是( )A. 3B. 2C. 1D. 02.已知a >b ，下列不等式的变形不正确的是( )A. a +1>b +1B. a−c >b−cC. 2a >2bD. ac >bc3.估算 48−2的结果在( )A. 5和6之间B. 4和5之间C. 3和4之间D. 2和3之间4.如图，小明在操场上从A 点出发，沿直线前进8米后向左转40°，再沿直线前进8米后，又向左转40°，这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了( )米．A. 56B. 64C. 80D. 725.如图，AC =DF ，∠1=∠2，再添加一个条件，不一定能判定△ABC ≌△DEF 的是( )A. AB =DEB. BF =CEC. ∠A =∠DD. ∠B =∠E6.下列命题中是真命题的是( )A. 相等的角是对顶角B. 全等三角形对应边上的高相等C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等D. 不相交的两条直线是平行线7.某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米超产5%，小麦超产15%，设该农场去年实际生产玉米x 吨、小麦y 吨，则所列方程组正确的是( )A. {x +y =200(1+5%)x +(1+15%)y =225B. {x +y =225(1−5%)x +(1−15%)y =200C. {x +y =200x 1−5%+y1−15%=225 D. {x +y =225x 1+5%+y 1+15%=2008.如图，△ABC 中，∠BAC =90°，BC =5，AC =3，AB =4，点D 是∠ABC ，∠ACB 的角平分线的交点，则点D 到BC 的距离为( )A. 1B. 2C. 3D. 3.59.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(0,1)、(2,0)，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD.将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°后得到正方形A1B1C1D1，记为第1次变换，再将正方形A1B1C1D1绕点O逆时针旋转90°后得到正方形A2B2C2D2，记为第2次变换，依此方式，第n次变换得到正方形A n B n C n D n，那么点C n的坐标不可能是( )A. (−2,−3)B. (−2,3)C. (−3,−2)D. (2,−3)10.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P.过点P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G.则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③DG=AP+GH；④BD−AH=AB．其中正确的是( )A. ②③④B. ①②③④C. ①②③D. ①②④二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。

重庆育才中学数育集团2023-2024学年八年级上学期入学定时练习数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．30︒B．4．若正n边形的一个外角为A．6B．55．估算372-的范围是（A．23723<-<B．6．下列说法不正确的是（A．全等三角形的对应角相等．C．角平分线相等的三角形一定全等7．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可做盒底配成一个盒子．设用x张铁皮做盒身，A．1902822x yx y+=⎧⎨⨯=⎩B．8．如图，在ABC中，BD50A∠=︒，则BPE∠的度数为（A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒9．如图，已知()11,0A ，()21,1A ，()31,1A -，()41,1A --，()52,1A -，…则点2025A 的坐标为（）A ．()506,506B ．()506,506--C ．()507,506-D ．()507,506-10．如图，在 ABC 中，90CBA ∠=︒，BA BC =，DBC FBA ≌△△，延长AB 至点D ，使得AD AC =，连接CD ， ACD 的中线AE 与BC 交于点F ，连接DF ，过点B 作BG DF∥交AC 于点G ，连接DG ，FG ．则下列说法正确的个数为（）①BCD CAE ∠=∠；②2AF DE =；③AB BD CF =+；④AGD S =△S 四边形AGFB ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题三、解答题四、填空题16．如图，在ABC中，点若四边形BDEF的面积是17．已知关于x，y的二元一次方程组式组3221x ax a+⎧->⎪⎨⎪+<⎩无解，那么所有符合条件的整数18．一个两位正整数n，能数”，将n的两个数位上的数字对调得到一个新数五、解答题(1)尺规作图：作ABC ∠的平分线交(2)在（1）的条件下，求证：CFE ∠∵CD AB ⊥，∴90CDB ∠=︒，∴______90BFD +∠=︒，又∵BFD ∠=______，∴DBF ∠+______=90°，∵90ACB ∠=︒，∴CBF ∠+______=90°，∵BF 平分ABC ∠，∴CBF =∠______，∴CFE CEF ∠=∠．22．育才中学由人民教育家陶行知先生创办，为了解本校初中学生对老校长陶行知先生的了解情况，学校从全校3000名初中学生中随机抽取部分学生进行“陶行知”知识问答（满分100分，得分x 均为不小于60的整数），并将成绩分为四个等级：基本合格()6070x ≤<，合格()7080x ≤<，良好()8090x ≤<，优秀()90100x ≤≤，制作了如图统计图（部分信息未给出），请根据图表信息解答以下问题：所抽取的学生知识问答成绩的频数分布直方图所抽取的学生知识问答成绩的扇形统计图(1)求问答成绩为“优秀”的学生人数，并补全频数分布直方图；(2)求扇形统计图中“基本合格”所对应的扁形圆心色的度数；(3)如果全校初中学生都参加知识问答，请你根据抽样问答的结果，估计我校初中学生中能获得“良好”和“优秀”的共有多少？23．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC 三个顶点的坐标分别是()2,4A -，()4,1B --，()1,0C ，若将三角形ABC 平移后得到三角形111A B C ，点A 的对应点1A 的坐标是(),2a ，点B 的对应点1B 的坐标是()1,b -．(1)直接写出a ，b 的值及点1C 的坐标，画出平移后的三角形111A B C ；(2)若点D 在x 轴上，且三角形ACD 的面积是三角形111A B C 面积的2倍，求点D 的坐标．24．在ABC 中，点D 在边AB 的延长线上，BAC ∠的平分线与CBD ∠的平分线交于点E ，AE 与BC 交于点H ．(1)如图1，当80C ∠=︒时，求E ∠的度数．(2)如图2，连接CE ，延长AC 至点G ，过点E 作EF AD ⊥，垂足为F ，过点E 作EM AG ⊥，垂足为M ，求证：BC CM BF =+；25．为提升办学条件，某学校计划购买部分A 、B 两种型号电脑．若购买2台A 型电脑和3台B 型电脑共需13500元；购买1台A 型电脑和1台B 型电脑共需5500元．(1)求每台A 型电脑和每台B 型电脑的售价分别是多少元？(2)经市场调查，现有两家商场分别推出了优惠套餐：甲商场：A 型电脑和B 型电脑均打九折出售．乙商场：A 型电脑每满1000元减150元，B 型电脑无优惠活动．该校需要购买A 型电脑和B 型电脑共50台，且只能选择一家商场购买，则该学校至少购买多少台A 型电脑才能使选择乙商场购买更划算？26．如图，CAB △与CDE 中，90ACB DCE ∠=∠=︒，CA CB =，CD CE =，45CAB CBA ∠=∠=︒，45CDE CED ∠=∠=︒，连接AD 、BE ．(1)如图1，若20CAD ∠=︒，26DCB ∠=︒，求DEB ∠的度数；(2)如图2，若CE AB ∥，AD 平分BAC ∠，求证：CD AC AB +=；(3)如图3，BE 与AC 的延长线交于点G ，若CD AD ⊥，延长CD 与AB 交于点N ，在BC 上有一点M ，且BM CG =，连接NM ，请猜想CN 、NM 、BG 之间的数量关系并证明你的猜想．。

重庆市育才中学校高2026届高二（上）十月月考数学试题参考答案一、选择题:本题共8个小题，每小题5分，共40分.1-4：ADBB5-8:CCBD8【解析】：如图所示，取PA 中点为O ，由于PB AB ⊥，PC AC ⊥，则OB OC OP OA ===，故O 是三棱锥的外接球的球心，易知4PA =，PB PC ==.过点P 作PH ABC ⊥平面，连接AH ，易知AH 过BC 中点M ，连接PM .因为AM =PM =,4PA =，则直线PA 与平面ABC 所成角PAM ∠，由余弦定理可得22243cos3PAM +-∠==，故选D.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.三、填空题:本题共3个小题，每小题5分，共15分.2121==+OP d d ；9)8()8(88221,82,82222122212221=-+-≤--=⨯=-=-=d d d d BD AC S d BD d AC ABCD 当且仅当21d d =时取得等号.四、解答题:本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）过点(5,1)A -，点(3,7)B 的直线的两点式方程为：157135y x -+=-+，......................................................................................（2分）整理得：34190x y -+=∴直线l 的方程为34190x y -+=..........................................................................................（4分）（2）设线段MN 的中点为P ，则由(1,0)M ，(3,2)N 有(2,1)P ，且直线MN 的斜率为20131MN k -==-，因此线段MN 的垂直平分线l '的方程为：1(2)y x -=--，即30x y +-=，.........................（7分）由垂径定理可知，圆心C 也在线段MN 的垂直平分线上，则有301341904x y x x y y +-==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩∴圆C 的坐标是(1,4)-；..................................................（9分）圆的半径22(11)(40)25r MC ==--+-=，................................................................（11分）∴圆C 的标准方程是22(1)(4)20x y ++-=.....................................................................（13分）16.（1）连接1BC ，设11BC B C O = ，连接OD ，由三棱柱的性质可知，侧面11BCC B 为平行四边形，∴O 为1BC 的中点，........................................（2分）又∵D 为AB 中点，∴在1ABC 中，1//OD AC ，又∵OD ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，..................................................（5分）∴1//AC 平面1CDB ．...............................................................................（7分）（2）由题意可知1,,CA CB CC 两两垂直故以1,,CA CB CC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则()0,0,0C ，()6,0,0A ，()16,0,8A ，()3,4,0D ，()10,8,8B ．所以()10,0,8AA = ，()3,4,0CD = ，()10,8,8CB =，...................................（9分）设平面1CDB 的法向量为n(),,x y z =，则1340880C y CBD n x n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令4x =，得()4,3,3n =- ；........................................................................（12分）设1AA 与平面1CDB 所成角为θ，则sin θ=111cos ,n AA n AA n AA ⋅===所以1AA 与平面1CDB 所成角的正弦值为33434．.........................................................................（15分）17.（1）由BC BA ==90CBA ∠=︒，所以2AC =．取AC 的中点O ，连接PO ，BO ，由题意，得112PO BO AC ===，再由PB 222PO BO PB +=，即PO BO ⊥．.......（3分）由题易知PO AC ⊥，又AC BO O ⋂=，,BO AC ⊂面ABC ，所以⊥PO 平面ABC ，............（5分）又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ．.........................................................（6分）（2）由（1）可知PO OB ⊥，PO OC ⊥，又OB AC ⊥，故以OC ，OB ，OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，0,0,1．所以()1,0,1AP = ，()1,1,0BC =- ，()1,0,1PC =- ，...........................（8分）令(),0,AM AP λλλ==，()01λ<<所以()1,0,M λλ-．所以()2,0,MC λλ=--．设平面MBC 的法向量为m()111,,x y z =，则()1111020BC m x y MC m x z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ 令11x =，得m 21,1,λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；..................................................（10分）设平面PBC 的法向量为()222,,n x y z =，222200BC n x y PC n x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21x =，得()1,1,1n = ；...................................................................（12分）则cos ,n m n m n m⋅=79=，设2t λλ-=，()1,t ∞∈+，则上式可化为2115450t t --=，..................................................（14分）即()()51110t t -+=，所以5t =（111t =-舍去），所以25λλ-=，解得13λ=．....................（15分）18.解：（1）设动点M 坐标为),(y x ，由MA MO 21=，即2222)3(21y x y x ++=+，.....................................................................................（4分）整理得4)1(22=+-y x ......................................................................................（6分）（2)设直线l 的方程为2-=kx y ，Q P ,两点的坐标分别为),(),(2211y x y x ，联立⎩⎨⎧-==+-24)1(22kx y y x ，整理得01)24()1(22=++-+x k x k （*）..........................................（9分）因为（*）式的两根为21,x x ，所以121222421,11k x x x x k k ++==++，........................................（10分）0)1(4)24(22>+-+=∆k k ，即34-<k 或0>k .........................................（11分）则2121212121212(2)(2)(1)2()43OP OQ x x y y x x kx kx k x x k x x ⋅=+=+--=+-++=-，..............（13分）将121222421,11k x x x x k k ++==++代入上式，化简解得2=k .........................................（15分）而2=k 满足0>∆，故直线l 的方程为)1(2-=x y .因为圆心)0,1(M 在直线l 上，所以4=PQ ...................................................................（17分）19.解：（1）在EB D '∆中，易得4B E '=，33B D '=，7DE =，由余弦定理可得2223cos 22B E B D DE DB E B E B D ''+-'∠==''，从而6DB E π'∠=..............（4分）提示：可建立空间坐标系利用向量求夹角的余弦值为32，从而得出6DB E π'∠=.（2）（i ）曲线Γ是椭圆...............................................................................................（6分）因为二面角B AC D --为直二面角，且90ACB ︒∠=，所以B C α'⊥，如图1，不妨取AC 的中点为O ，以OD 为x 轴，OC 为y 轴，过点O 作B C '的平行线为z 轴建立空间直角坐标系.则点(0,3,23)B '，(0,1,0)E ，设(,,0)P x y ，(0,2,23)B E '=-- ，(,3,23)B P x y '=--，...........（8分）图1由（1）可知6PB E DB E π''∠=∠=，从而222183cos 24(3)12B E B P y PB E B E B P x y ''⋅-+'∠===''+-+ ，...............（10分）化简可得：22169x y +=，即为Γ的方程.......................................................（12分）说明：不同的建系可能得到不同的方程，只要得出椭圆的方程即可得分.（ii ）将立体几何平面化，只需研究平面α上几何关系.不防将（i ）中椭圆所在坐标系逆时针旋转90︒得到图2，在新坐标系下椭圆方程为22196x y +=，直线l 的方程为3530x y +-=，引理：点11(,)M x y 与直线0mx ny c ++=上一动点22(,)N x y 的最小曼哈顿距离为{}11min (,)max ,mx ny cd M N m n ++=.证明：如图3，当m n >，即12MM MM <时，由于111111(,)d M N MN N N MN N M MM =+≥+=，当点N 在点1M 处取得等号成立，即111min 1(,)mx ny c ny cd M N x m m+++=+=，同理可以得出m n ≤时的最小曼哈顿距离，综上{}11min (,)max ,mx ny cd M N m n ++=得证.设点(3cos ,6sin )M θθ.由引理可知：{}min 35333cos 6sin 53(,)5113max3,1M M x y d M N θθ+-+-==≥-，所以(,)d M N 的最小值为511-.........................................................（17分）图2图3。

2025届重庆市育才中学八年级数学第一学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）1．一个两位数,个位上的数字与十位上的数字之和为7,如果这个两位数加上45则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的新两位数，则原来的两位数是（ ） A ．61B ．16C ．52D ．252．若关于x 的分式方程1x aa x -=+无解，则a 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．1或0D ．1或1-3．已知ABC ∆的三边长分别为a b c 、、，且()()()M a b c a b c a b c =+++---那么( ) A ．0M > B ．0M ≥C ．0M =D ．0M < 4．如图，中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则下列结论错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．以下列各组数据为边长,能构成三角形的是： A ．4,4,8B ．2,4,7C ．4,8,8D ．2,2,76．如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC 为格点三角形，在图中最多能画出（ ）个格点三角形与△ABC 成轴对称．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个7．计算（﹣2x 2y 3）•3xy 2结果正确的是（ ） A ．﹣6x 2y 6B ．﹣6x 3y 5C ．﹣5x 3y 5D ．﹣24x 7y 58．化简2111x x x+--的结果是( ) A ．x+1 B ．11x +C ．x ﹣1D ．1x x - 9．如图为某居民小区中随机调查的10户家庭一年的月平均用水量（单位：t ）的条形统计图，则这10户家庭月均用水量的众数和中位数分别是（ ）．A ．6.5，7B ．6.5，6.5C ．7，7D ．7，6.510．在下列各数中，无理数是( ) A 4B ．3πC ．227D 3811．下列各数中，123.1415,,0.321,,2.323322237π⋯（相邻两个3之间2的个数逐次增加1），无理数有（ ） A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个12．下列各式从左边到右边的变形，是因式分解的为（ ） A ．5()5ab ac a b c ++=++ B ．21(1)(1)a a a -=+- C ．222()2a b a ab b +=++ D ．22a b ab =二、填空题（每题4分，共24分）13．我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如222()2a b a ab b +=++就可以用图（1）的面积表示，请你仿照图（1）写出图（2）表示的一个等式______.14．如图，直线 1l 的解析式为33y x =，直线 2l 的解析式为y 3x =，B 为2l 上的一点，且B 点的坐标为(2,23)作直线 1//BA x 轴，交直线于1l 点1A ，再作111 B A l ⊥于点1A ，交直线 2l 于点1 B ，作12//B A x 轴，交直线于1l 点2A ，再作22B A ⊥ 2l 于点2B ，作23//B A x 轴，交直线1l 于点3A ....按此作法继续作下去，则 1A 的坐标为_____，n A 的坐标为______15．如图，在△ABC 中，∠A ＝70°．按下列步骤作图：①分别以点B ，C 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC ，CA ，CB 于点D ，E ，F ，G ；②分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点M ；③分别以点F ，G 为圆心，大于12FG 为半径画弧，两弧交于点N ；④作射线BM 交射线CN 于点O ．则∠BOC 的度数是_____．16．如图，OC 平分∠AOB ，D 为OC 上一点，DE ⊥OB 于E ，若DE ＝7，则D 到OA 的距离为____．17．把二次根式45化成最简二次根式得到的结果是______．18．化简2(0,0)3ba ba>≥结果是_______ ．三、解答题（共78分）19．（8分）()1计算：21(23)2323-+⨯()2解方程组：5x3y3 2x y2 32-=-⎧⎪⎨+=⎪⎩20．（8分）某商场第一次用10000元购进某款机器人进行销售，很快销售一空，商家又用2400元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．（1）求该商家第一次购进机器人多少个？（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%(不考虑其他因素)，那么每个机器人的标价至少是多少元？21．（8分）某中学开展“数学史”知识竞赛活动，八年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．（1）请计算八（1）班、八（2）班两个班选出的5名选手复赛的平均成绩；（2）请判断哪个班选出的5名选手的复赛成绩比较稳定，并说明理由？22．（10分）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．(1)分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法． 如：ax +by +bx +ay ＝(ax +bx )+(ay +by ) ＝x (a +b )+y (a +b ) ＝(a +b )(x +y ) 1xy +y 1﹣1+x 1 ＝x 1+1xy +y 1﹣1 ＝(x +y )1﹣1 ＝(x +y +1)(x +y ﹣1)(1)拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如： x 1+1x ﹣3 ＝x 1+1x +1﹣4 ＝(x +1)1﹣11 ＝(x +1+1)(x +1﹣1) ＝(x +3)(x ﹣1)请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)分解因式：a 1﹣b 1+a ﹣b ； (1)分解因式：x 1﹣6x ﹣7； (3)分解因式：a 1+4ab ﹣5b 1．23．（10分）（1）化简：2112x x x x x ⎛⎫++÷- ⎪⎝⎭； （2）化简分式：2221121xx x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭，并从13x -≤≤中选一个你认为适合的整数x 代人求值．24．（10分） (1)分解因式： ()()()()a b x y b a x y ----+． (2)分解因式： 225(2)5m x y mn --； (3)解方程：2221111x x x x -=+--． 25．（12分）在ABC ∆中，AB AC =，点D 是BC 上一点，沿直线AD 将ADB ∆折叠得到ADE ∆，AE 交BC 于点F ．（1）如图①，若116ADB ∠=︒，求EDC ∠的度数；（2）如图②，若90BAC ∠=︒，EDC DAB ∠=∠，连接BE ，判断ABE ∆的形状，并说明理由．26．分式计算2221-a a ba b+-其中03,a b π==． 参考答案一、选择题（每题4分，共48分） 1、B【分析】先设这个两位数的十位数字和个位数字分别为x ，7-x ，根据“如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的两位数”列出方程，求出这个两位数．【详解】设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为7−x ， 由题意列方程得,10x+7−x+45=10(7−x)+x ， 解得x=1，则7−x=7−1=6，故这个两位数为16. 故选B. 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于理解题意列出方程. 2、D【分析】化简分式方程得21ax a=-，要是分式方程无解有两种情况，当分式方程有增根时，1x =-，代入即可算出a 的值，当等式不成立时，使分母为0，则1a =.【详解】解：1x aa x -=+ 化简得：21ax a=-当分式方程有增根时，1x =-代入得1a =-. 当分母为0时，1a =.a 的值为-1或1.故选：D. 【点睛】本题主要考查的是分式方程无解的两种情况①当分式方程有增根时，此方程无解，②当等式不成立时，此方程无解. 3、D【分析】根据三角形的三边关系即可求解. 【详解】∵ABC ∆的三边长分别为a b c 、、 ∴a b c ++＞0，a b c +-＞0，a b c --＜0 ∴()()()M a b c a b c a b c =+++---＜0 故选D. 【点睛】此题主要考查三角形的三边关系的应用，解题的关键是熟知两边之和大于第三边. 4、A【解析】根据直角三角形的性质得到AB=2BC ，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB ，根据直角三角形的性质、角平分线的性质判断即可． 【详解】∵∠C=90°，∠A=30°， ∴∠ABC=60°，AB=2BC ， ∵DE 是AB 的垂直平分线，∴DA=DB ，故B 正确，不符合题意； ∵DA=DB ，BD ＞BC ，∴AD ＞BC ，故A 错误，符合题意； ∴∠DBA=∠A=30°，∴∠DBE=∠DBC ，又DE ⊥AB ，DC ⊥BC ， ∴DE=DC ，故C 正确，不符合题意； ∵AB=2BC ，AB=2AE ，∴BC=AE ，故D 正确，不符合题意； 故选：A ． 【点睛】考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．5、C【详解】解：∵4+4=8，故以4，4，8为边长，不能构成三角形；∵2+4＜7，故以2，4，7为边长，不能构成三角形；∵4，8，8中，任意两边之和大于第三边，故以4，8，8为边长，能构成三角形；∵2+2＜7，故以2，2，7为边长，不能构成三角形；故选C．【点睛】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．6、A【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.【详解】解：如图，可以画6个.【点睛】本题考查了轴对称变换，能确定对称轴的位置是解题关键.7、B【解析】根据单项式乘单项式法则直接计算即可.【详解】解：（﹣2x2y3）•3xy2＝﹣6x2+1y3+2＝﹣6x3y5，故选：B．【点睛】本题是对整式乘法的考查，熟练掌握单项式与单项式相乘的运算法则是解决本题的关键.8、A【分析】根据分式的加减法法则计算即可.【详解】解：原式＝2211(1)(1)11111x x x x x x x x x -+--===+----故选：A. 【点睛】本题考查了分式的加减法，掌握计算法则是解题关键. 9、B【解析】根据统计图可得众数为6.5，将10个数据从小到大排列：6，6，6.5，6.5，6.5，6.5，7，7.5，7.5，8． ∴中位数为6.5， 故选B ． 10、B【分析】根据无理数的定义进行判断即可.=2=2，227都是有理数， 3π是无理数， 故选B. 【点睛】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 11、C【分析】直接根据无理数的定义直接判断得出即可． 【详解】123.1415,,0.321,,2.323322237π⋯（相邻两个3之间2的个数逐次增加1）中只有π，2.32232223…（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1）共2个是无理数． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：2ππ，等；开方开不尽的数；以及像2.32232223…，等有这样规律的数． 12、B【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．【详解】A. 5()5ab ac a b c ++=++，结果不是整式积的形式，故错误； B. 21(1)(1)a a a -=+-，正确；C. 222()2a b a ab b +=++，是多项式乘法，不是因式分解，错误；D. 22a b ab =，左边是单项式，不是因式分解，错误； 故选：B 【点睛】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解．二、填空题（每题4分，共24分） 13、()()22223a b a b a ab b ++=++【分析】分别用长方形的面积公式和六个小长方形的面积之和表示图（2）的面积，从而建立等式即可．【详解】图（2）的面积可以表示为：(2)()a b a b ++ 图（2）的面积也可以表示为：2223a ab b ++ 所以有()()22223a b a b a ab b ++=++故答案为：()()22223a b a b a ab b ++=++．【点睛】本题主要考查多项式乘法，能够用两种方式表示出图中的面积是解题的关键．14、(6, ()322n n⨯【分析】依据直角三角形“30︒角所对直角边等于斜边的一半”求得B 点的坐标，然后根据等腰三角形的性质，求得OB=BA 1，最后根据平行于x 轴的直线上两点纵坐标相等，即可求得A 1的坐标，依此类推即可求得A n 的坐标．【详解】如图，作BE ⊥x 轴于E ，1A F ⊥x 轴于F ，2A G ⊥x 轴于G ，∵B 点的坐标为(223，， ∴23BE =2OE =，∴ ()22222234OB OE BE =+=+=， ∴1 2OE OB =， ∴30OBE ∠=︒，60BOE ∠=︒，∵1BA ∥x 轴，根据平行于x 轴的直线上两点纵坐标相等，∴1A 的纵坐标为3∵点1A 在直线1l 上，将3y =3 y x =得33x =，解得：6x =， ∴1A 的坐标为(623，， ∴123A F =6OF =， ∴()22221162343OA OF A F =+=+= ∴111 2A F OA =， ∴130A OF ∠=︒，∴11130AOF BOA BAO ∠=∠=∠=︒， ∵12B A ∥x 轴，111B A l ⊥， ∴121230B OA B A O ∠=∠=︒， 根据等腰三角形三线合一的性质知：11243OA A A ==，∴2OA =∴221 2A G OA ==12OG ===，∴2A 的坐标为(12，同理可得：3A 的坐标为(24，()322n n n A ⨯【点睛】本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于x 轴的直线上点的纵坐标相等，以及等腰三角形的性质得出点的坐标，得出一般规律．15、125°【分析】根据题意可知，尺规作图所作的是角平分线，再根据三角形内角和的性质问题可解.【详解】解：∵∠A ＝70°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣70°＝110°，由作图可知OB 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠OBC +∠OCB ＝12∠ABC +12∠ACB ＝12（∠ABC +∠ACB ）＝55°， ∴∠BOC ＝180°﹣（∠OBC +∠OCB ）＝125°，故答案为125°．【点睛】本题考查作图-基本作图，角平分线性质和三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识.16、1．【分析】从已知条件开始思考，结合角平分线上的点到角两边的距离相等可知D 到OA 的距离为1．【详解】解：∵OC 平分∠AOB ，D 为OC 上任一点，且DE ⊥OB ，DE ＝1， ∴D 到OA 的距离等于DE 的长，即为1．故答案为：1．【点睛】本题考查了角平分线的性质；熟练掌握角平分线的性质，是正确解题的前提．17、【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．故答案为：【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．18、3a【分析】首先将被开方数的分子和分母同时乘以3a，然后再依据二次根式的性质化简即可．【详解】解：原式=，．【点睛】本题主要考查的是二次根式的性质与化简，熟练掌握相关知识是解题的关键．三、解答题（共78分）19、(1)5；(2)183 xy=⎧⎪⎨=⎪⎩.【解析】(1)先利用完全平方公式计算，再利用二次根式的乘法法则运算，然后合并即可；(2)先把方程组中的方程化为不含分母的方程，再用加减消元法或代入消元法求解即可．【详解】解：()1原式232 =-+5 =-5 =；()2方程组整理，得：5x 3y 34x 3y 12-=-⎧⎨+=⎩①②， +①②，得：9x 9=，解得x 1=，将x 1=代入②，得：43y 12+=， 解得8y 3=， 所以方程组的解为183x y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 故答案为：(1)5；(2)183x y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和解二元一次方程组.20、（1）该商家第一次购进机器人1个；（2）每个机器人的标价至少是140元．【分析】（1）设该商家第一次购进机器人x 个，根据“所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元”列出分式方程解答即可；（2）设每个机器人的标价是y 元，根据“全部销售完毕的利润率不低于20%”列出不等式解答即可．【详解】解：（1）设该商家第一次购进机器人x 个，依题意得：11000x +10=240002x解得x =1．经检验x =1是原方程的解．答：该商家第一次购进机器人1个．（2）设每个机器人的标价是y 元．则依题意得：()()1100024001002001100002400020%y ++⨯--≥解得140y ≥．答：每个机器人的标价至少是140元．【点睛】本题考查了分式方程与实际问题，不等式与实际问题相结合，解题的关键是找出题中等量关系，列出方程或不等式解答．21、（1）八（1）班和八（2）班两个班选出的5名选手复赛的平均成绩均为85分；（2）八（1）班的成绩比较稳定，见解析【分析】（1）根据算术平均数的概念求解可得；（2）先计算出两个班的方差，再根据方差的意义求解可得．【详解】（1）(1)x 八=15（75+80+85+85+100）=85（分）， (2)x 八=15（70+100+100+75+80）=85（分）， 所以，八（1）班和八（2）班两个班选出的5名选手复赛的平均成绩均为85分． （2）八（1）班的成绩比较稳定．理由如下：s 2八（1）=15[（75-85）2+（80-85）2+（85-85）2+（85-85）2+（100-85）2]=70， s 2八（2）=15[（70-85）2+（100-85）2+（100-85）2+（75-85）2+（80-85）2]=160， ∵s 2八（1）＜s 2八（2）∴八（1）班的成绩比较稳定．【点睛】本题考查了平均数和方差，一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差S 2=1n[（x 1-x ）2+（x 2-x ）2+…+（x n -x ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．22、（1）()()1a b a b -++；（1）()()17+-x x ；（3）()()5a b a b +-.【解析】试题分析：（1）仿照例（1）将前两项和后两项分别分作一组，然后前两项利用平方差公式分解，然后提出公因式(a -b )即可；（1）仿照例（1）将-7拆成9-16，然后前三项利用完全平方公式分解后，再用平方差公式分解即可；（3）仿照例（1）将-5b 1拆成4b 1-9b 1，然后前三项利用完全平方公式分解后，再用平方差公式分解即可．试题解析：解：（1）22a b a b -+-=()()()a b a b a b +-+-=()()1a b a b -++；（1）原式=22223337x x -⨯⨯+--=()2316x --=()()3434x x -+--=()()17x x +-；（3）原式=()()222222225a a b b b b +⨯⨯+--=()2229a b b +-=()()2323a b b a b b +++-=()()5a b a b +-. 点睛：本题考查了因式分解的综合应用，熟悉因式分解的方法和读懂例题是解决此题的关键．23、（1）21x -；（2）1x x +，x=3时，34【分析】（1）根据分式的减法和除法法则即可化简题目中的式子；（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再从13x -≤≤中选取一个使得原分式有意义的整数代入即可解答本题．【详解】解：（1）原式221212x x x x x=+--÷ ()()122111x x x x x x +⨯=+--=； （2）原式()()()()()()()22111111111x x x x x x x x x x x x x x x +---⨯=⨯=+--+-+， 当3x =时，原式33314==+． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24、（1）2()x a b -；（2）()()522m x y n x y n -+--；（3）无解【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可；（2）先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可；（3）根据解分式方程的一般步骤解分式方程即可．【详解】解：(1) ()()()()a b x y b a x y ----+=()()()()a b x y a b x y --+-+=[]()()()a b x y x y --++=[]()a b x y x y --++=2()x a b -(2) 225(2)5m x y mn --=225(2)m x y n --⎡⎤⎣⎦ =()()522m x y n x y n -+--(3) 2221111x x x x -=+-- 化为整式方程，得()2121x x x -+=+去括号，得2221x x x -+=+移项、合并同类项，得33x =解得：1x =经检验：1x =是原方程的增根，原方程无解．【点睛】此题考查的是因式分解和解分式方程，掌握用提公因式法和平方差公式因式分解和解分式方程的一般步骤是解决此题的关键，需要注意的是，分式方程要验根．25、（1）52°；（2）△ABE 是等边三角形，理由见解析．【分析】（1）根据翻折变换的性质得到∠ADB ＝∠ADE ，根据邻补角的概念求出∠ADC 即可解答；（2）设∠EDC ＝∠DAB ＝x ，用x 表示出∠ADB 和∠ADE ，根据翻折变换的性质列出方程，解方程求出x ，再根据三角形外角的性质求出∠DBE ，得到∠ABE ＝60°即可证得结论．【详解】解：（1）∵∠ADB ＝116°，∴∠ADE ＝116°，∠ADC ＝180°−116°＝64°，∴∠EDC ＝∠ADE−∠ADC ＝52°；（2）△ABE 是等边三角形，理由：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝45°，设∠EDC ＝∠DAB ＝x ，则∠ADB ＝180°−45°−x ，∠ADE ＝45°＋x ＋x ，∴180°−45°−x ＝45°＋x ＋x ，解得：x ＝30°，∵∠EDC ＝30°，DB ＝DE ，∴∠DBE ＝∠DEB ＝15°，∴∠ABE ＝60°，又∵AB ＝AE ，∴△ABE 是等边三角形．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的性质以及三角形的内角和定理等知识；熟练掌握翻折变换和等腰直角三角形的性质是解题的关键．26、1a b -；12. 【分析】根据分式的运算法则即可化简，再代入a,b 即可求解. 【详解】2221-aa ba b +- =22222a a b a b a b---- =()()a b a b a b ++- =1a b- ∵03,a b π===1，∴原式=12. 【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则.。

2023-2024学年重庆一中八年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列四个数中，3的相反数是()A.3B.C.D.2.下列图形不是轴对称图形的是()A. B. C. D.3.下列各式中，计算正确的是()A. B.C. D.4.已知的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定是直角三角形的是()A.，，B.，，C.，，D.，，5.正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是()A. B.C. D.6.下列命题是真命题的是()A.在平面直角坐标系中，点在y轴上B.在一次函数中，y随着x的增大而增大C.同旁内角互补D.若，则7.估计的值应在()A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间8.以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为()A. B. C. D.10.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为()A.3B.4C.5D.611.如图，动点P从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点，……则第2022秒点P所在位置的坐标是()A.B.C.D.12.下列说法中正确的有个①坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的；②点位于第三象限；③点到y轴的距离为m；④点和点关于x轴对称，则的值为5；⑤若，则点在第一、三象限角平分线上.A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

二轮复习【中考冲刺】2022-2023年中考数学重要考点名校模拟题分类汇编专题02——不等式与分式含参运算（选择题）（重庆专用）1．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）若整数a使关于x的分式方程xx2+1=ax22x有整数解，使关于y的不等式组a―(8y+13)<0y―3≤―1有且仅有四个整数解，则符合条件的所有整数a之和为（）A．―2B．1C．―6D．―122．（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）若关于x的不等式组3x―a>2(1―x) x12≥x23―1的解集为x≥1，关于y的分式方程yy1+ay1=1有整数解，则满足条件的整数a的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）若关于x0 <―4的解集为x>4，关于y的分式方程my14y +3y4=―2有整数解，则符合条件的所有整数m的和为（）A．5B．6C．11D．124．（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）若关于x的一元一次不等式组2(2x+3)―1>3x+63x+4≥―a的解集为x>1，且关于y的分式方程yy2+1=a12y的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．－15B．－14C．－8D．－75．（2022秋·重庆九龙坡·九年级重庆市杨家坪中学校考期末）若实数a使关于x的不等式组x1 2<1x37x―2≥x+a ，有且只有四个整数解；关于x的二次函数y＝x2﹣3ax+1，当―32≤x≤32时，y随着x的增大而减小，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）A．2B．3C．4D．56．（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期末）若关于x的一元一次不等式组x―2>3x22 3x―a≤2的解集为x<―2，且关于y的分式方程2yy1=ay1―1的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．―15B．―13C．―7D．―57．（2023秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）若关于x的不等式组3x76≤x43x+1>a x2无解，且关于y的分式方程3ay3y ―1=6y3有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（）A．11B．14C．16D．98．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）若关于y的不等式组y―2≤y234y+1―m≥0有且只有2个奇数解，且关于x的分式方程3―11x =mx1的解为非负数，则符合条件的所有整数m的和为（）A．3B．4C．11D．129．（2022秋·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）若实数a使关于x的分式方程x ax3+2a3x=―1有正整数解，且使关于y的不等式组y+a>172y3≥5无解，则满足条件的所有整数a的和是（）A．0B．3C．5D．810．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如果关于x的不等式组x m2≥0x+3<3(x―1)的解集为x>3，且关于y的分式方程3y2y +my2=3有非负整数解，则符合条件的整数m的值的和是（）A．―4B．―3C．―1D．011．（2022秋·重庆·九年级重庆一中校考阶段练习）若关于x>x+1的解集为x<―7，且关于y的分式方程3y3y2―ay2=―2有非正整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．―12B．―15C．1D．―2 12．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）已知数m使关于x的不等式组―5⩽6>x―m至少有一个非负整数解，且使关于x的分式方程1x2―3=m x2x有不大于5的整数解，则所有满足条件的整数m的个数是（ ）A．1B．2C．3D．413．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）从―7，―5，―1，0，1，3这六个数中，随机抽一个数，记为m，若数m使关于x的不等式组x m2>0x―4<3(x―2)的解集为x>1，且关于x的分式方程1x2x+mx2 =3有非负整数解，则符合条件的m的值的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）若数a 使关于x 的分式方程1x 3+x a3x =1有非负整数解，且使关于y 的不等式组2y ≥3y ―a 至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）A ．﹣5B ．﹣3C ．0D ．215．（2022秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）若数a 使关于xx +a1x=3的解为非负数，且使关于y―1≥3y ―2―53a ≤32y ―a的解集为y ≤1，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．15B ．12C ．11D ．1016．（2023秋·重庆大渡口·九年级重庆市第九十五初级中学校校考阶段练习）若关于x 的一元一次不等式组3x ―2>2(x +2)a ―2x ≤―5的解集为x >6，且关于y 的分式方程y 2a y 1+3y 81y =2的解是非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．15B ．10C ．8D ．317．（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）若整数a 使得关于x 的分式方程16x (x 4)+2x =ax 4有正整数解，且使得关于yy 13>13―a有解，那么符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．23B ．20C ．16D ．1018．（2022春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）若关于x 的方程3―x 1x 1的解为负数，且关于x 的不等式组x a3≥12x ―3≤1 有解但最多有4个整数解，则所有满足条件的整数a 的和是（）A ．―10B ．―9C ．―8D．―719．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）若关于x 的不等式组x ―2x ―3>a ―2有解且所有的解都是正数，且关于y 的分式方程2yy 1+a 21y=0的解为整数，则符合条件的所有整数a 的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考开学考试）如果关于x 的分式方程ax x 1=1―31x 的解为整数，且关于y 的不等式组{3y 22≥y +2y +4>2(y +a)有解，则符合条件的所有整数a 的和为（）A．－1B．0C．1D．4。

八年级（上）第一次月考数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.下列说法正确的是（）①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部．A. ①②③B. ①②C. ②③D. ①③2.已知△ABC的三个内角为A，B，C且α=A+B，β=C+A，γ=C+B，则α，β，γ中，锐角的个数最多为（）A. 1B. 2C. 3D. 03.如图，图中三角形的个数为（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个4.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（）A. γ=2α+βB. γ=α+2βC. γ=α+βD. γ=180°-α-β5.下列图形中有稳定性的是（）A. 正方形B. 长方形C. 直角三角形D. 平行四边形6.如图，∠A=120°，且∠1=∠2=∠3和∠4=∠5=∠6，则∠BDC=（）A. 120°B. 60°C. 140°D. 无法确定7.若方程组的解满足x+y＝0，则a的值为（）A. -1B. 1C. 0D. 无法确定8.从一个n边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶点可以把这个n边形分割成三角形个数是（）A. 3个B. （n-1）个C. 5个D. （n-2）个9.下列命题中，错误的是（）A. 三角形两边之和大于第三边B. 三角形的外角和等于360°C. 三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分D. 等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（）A. EC=EFB. FE=FCC. CE=CFD. CE=CF=EF11.如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，着∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°，则∠BOD的度数为（）A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°12.观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（）A. 2n+2B. 4n+4C. 4n-4D. 4n13.如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则S阴影等于（）A. 2cm2B. 1cm2C. cm2D. cm214.若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则a的取值范围是（）A. 3≤a≤4B. 3≤a＜4C. 3＜a≤4D. 2≤a＜415.如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A. 118°B. 119°C. 120°D. 121°二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）16.AD，AE分别是等边三角形ABC的高和中线，则AD与AE的大小关系为______．17.如图，AD，BE分别是△ABC中BC，AC边上的高，BC=6cm，AC=5cm，若AD=4cm，则BE的长为______cm．18.把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式___________________________19.如图有一张简易的活动小餐桌，现测得OA=OB=30cm，OC=OD=50cm，桌面离地面的高度为40cm，则两条桌腿的张角∠COD的度数为______度．20.在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（-y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得点A1，A2，A3…，A n，…若点A1的坐标为（3，1），则点A2019的坐标为______．21.如图，若△ABE和△ADC分别是由△ABC沿AB、AC边翻折180°得到的，若∠BAC=150°，则∠1的度数为______．22.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．23.如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）24.如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O．（1）若∠A=50°，∠BOD=70°，∠C=30°，求∠B的度数；（2）试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并证明你猜想的正确性．四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）25.如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AB上一点，CE交AD于点M，且∠DCM=∠MAE，求证：△ACE 是直角三角形．26.已知在△ABC中，AB=AC，D在AC的延长线上．求证：BD-BC＜AD-AB．27.如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠A n-1BC的平分线与∠A n-1CD的平分线交于点A n．设∠A=θ．则：（1）求∠A1的度数；（2）∠A n的度数．28.图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：______ ；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：______ 个；（3）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数．29.我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．运用上述知识，解决下列问题：（1）如果，其中a、b为有理数，那么a=______，b=______；（2）如果，其中a、b为有理数，求a+2b的值．30.探究：（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求证：∠P=90°+∠A．（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何数量关系，请直接写出结论．31.如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC=50°，∠ADC=30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．（1）求∠AEC的度数；（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC=50°，∠A1D1C=30°，求∠A1EC 的度数．（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数．答案和解析1.【答案】B【解析】【解答】解：①、②正确；而对于三角形三条高：锐角三角形的三条高在三角形的内部；直角三角形有两条高在边上；钝角三角形有两条高在外部，故③错误．故选B．【分析】本题考查了三角形的三条中线，三条角平分线，三条高的位置．根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上作答．2.【答案】A【解析】解：∵α，β，γ的度数不能确定，∴α，β，γ可能都是锐角也可能有两个是锐角或一个是锐角，①假设α、β、γ三个角都是锐角，即α＜90°，β＜90°，γ＜90°，∵α=A+B，β=C+A，γ=C+B，∴A+B＜90°，B+C＜90°，C+A＜90°．∴2（A+B+C）＜270°，∴A+B+C＜135°与A+B+C=180°矛盾．∴α、β、γ不可能都是锐角．②假设α、β、γ中有两个锐角，不妨设α、β是锐角，那么有A+B＜90°，C+A＜90°，∴A+（A+B+C）＜180°，∴A+180°＜180°，∵A＜0°不可能，∴α、β、γ中至多只有一个锐角，如A=20°，B=30°，C=130°，α=50°，故选：A．已知△ABC的三个内角为A，B，C且α=A+B，β=C+A，γ=C+B，则α，β，γ可能都是锐角也可能有两个是锐角或一个是锐角，所以结合已知利用三角形内角和定理分情况进行分析，从而得到结论．此题主要考查三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．3.【答案】C【解析】解：图中的三角形为：△ABD，△ACE，△DCE，△ACD和△ABC，有5个三角形，故选C．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，据此进行判断即可．本题主要考查了三角形的概念，解题时注意：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【解答】解：由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故选A．5.【答案】C【解析】解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有直角三角形具有稳定性．故选：C．稳定性是三角形的特性．稳定性是三角形的特性，这一点需要记忆．6.【答案】C【解析】【分析】此题考查三角形的内角和，角平分线的定义，解题时注意：三角形内角和是180°．以及三角形内角和定理，即可得到∠ABC+∠ACB=180°-120°=60°，再根据∠1=∠2=∠3，∠4=∠5=∠6，即可得到∠DBC+∠DCB的度数，最后利用三角形内角和定理可得∠BDC的度数．【解答】解：在△ABC中，∵∠A=120°，∴∠ABC+∠ACB=180°-120°=60°，又∵∠1=∠2=∠3，∠4=∠5=∠6，∴∠DBC+∠DCB=×60°=40°，∴∠BDC=180°-40°=140°，故选：C．7.【答案】A【解析】解：方程组两方程相加得：4（x+y）=2+2a，即x+y=（1+a），由x+y=0，得到（1+a）=0，解得：a=-1．故选：A．方程组两方程相加表示出x+y，代入x+y=0求出a的值即可．此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．8.【答案】D【解析】解：从n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成（n-2）个三角形．故选D．根据从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个n边形分割成（n-2）个三角形的规律作答．本题主要考查多边形的性质，解题关键是熟记多边形顶点数与分割成的三角形个数的关系．9.【答案】D【解析】解：A正确，符合三角形三边关系；B正确；三角形外角和定理；C正确；D错误，等边三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：D．根据三角形的性质即可作出判断．本题考查的是三角形的三边关系，外角和定理，中位线的性质及命题的真假区别．10.【答案】C【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDB=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∵AF平分∠CAB，∴∠CAE=∠BAF，∴∠ACD+∠CAE=∠B+∠BAF，∴∠CEF=∠CFE，∴CE=CF．故选：C．求出∠CAF=∠BAF，∠B=∠ACD，根据三角形外角性质得出∠CEF=∠CFE，即可得出答案；本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．11.【答案】B【解析】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°=4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=505°，∵五边形OAGFE内角和=（5-2）×180°=540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，∴∠BOD=540°-505°=35°，故选：B．由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE 的内角和，则可求得∠BOD．本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．12.【答案】D【解析】【分析】此题考查了学生由特殊到一般的归纳能力．解此题时要注意寻找各部分间的联系，找到一般规律．由已知的三个图可得到一般的规律，即第n个图形中三角形的个数是4n，根据一般规律解题即可．【解答】解：根据给出的3个图形可以知道：第1个图形中三角形的个数是4，第2个图形中三角形的个数是8，第3个图形中三角形的个数是12，从而得出一般的规律，第n个图形中三角形的个数是4n．故选D．13.【答案】B【解析】解：S阴影=S△BCE=S△ABC=1cm2．故选：B．根据三角形的面积公式，知：等底等高的两个三角形的面积相等．本题考查的是三角形的面积，充分运用三角形的面积公式以及三角形的中线的性质．14.【答案】B【解析】解：解不等式6x+2＞3x+5得：x＞1，解不等式x-a≤0得：x≤a，∵不等式组有且仅有2个整数解，∴不等式组的解为：1＜x≤a，且两个整数解为：2，3，∴3≤a＜4，即a的取值范围为：3≤a＜4，故选：B．分别解两个不等式，得到两个解集：x＞1和x≤a，根据不等式组只有2个整数解，得到关于a的取值范围，即可得到答案．本题考查一元一次不等式组的整数解，正确掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．15.【答案】C【解析】解：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=，∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，∴∠BFC=180°-60°=120°，故选：C．由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得结果．本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的性质，综合运用三角形内角和定理和角平分线的性质是解答此题的关键．16.【答案】相等【解析】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BD=CD，∴AD平分BC，∴AD和AE重合，∴AD=AE．故答案为：相等．根据等边三角形的性质解答即可．本题考查了等边三角形的性质，熟记等边三角形的各种性质是解题的关键．17.【答案】4.8【解析】解：∵BC=6cm，AC=5cm，若AD=4cm，∴BC•AD=AC•BE，即×6×4=×5•BE，解得BE=4.8cm．故答案为：4.8利用三角形面积的不变性列出等式解答即可．此题考查了利用面积法求三角形的高，是解．答此类题目常用的方法，关键是找对三角形的高所在的位置18.【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等【解析】【分析】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【解答】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”.故答案为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．19.【答案】120【解析】解：如图，作BE⊥CD于E，根据题意得在Rt△BCE中，∴BC=30+50=80，BE=40，∴∠BCE=30°，∴∠ODC=∠BCE=30°，∴∠COD=180°-30°×2=120°．故填：120．如图，作BE⊥CD于E，根据题意，得在Rt△BCE中，BC=30+50=80，BE=40，由此可以推出∠BCE=30°，接着可以求出∠ODC=∠BCE=30°，再根据三角形的内角和即可求出∠COD．此题综合运用了直角三角形和等腰三角形的性质．20.【答案】（-3，1）【解析】解：∵A1的坐标为（3，1），∴A2（0，4），A3（-3，1），A4（0，-2），A5（3，1），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2019÷4=504…3，∴点A2019的坐标与A3的坐标相同，为（-3，1）．故答案为：（-3，1）．根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2019除以4，根据商和余数的情况确定点A2019的坐标即可．此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．21.【答案】60°【解析】解：∵∠BAC=150°，∴∠ABC+∠ACB=30°，∵∠EBA=∠ABC，∠DCA=∠ACB，∴∠EBA+∠ABC+∠DCA+∠ACB=2（∠ABC+∠ACB）=60°，即∠EBC+∠DCB=60，∴∠1=60°．故答案为：60°．先根据三角形内角和与翻折变换的特点求得∠EBC+∠DCB=60°，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得∠1=60°．此题主要考查了折叠的性质和三角形内角和定理的综合运用，巧妙运用三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解决问题的关键．22.【答案】30【解析】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°，∠ACB=180°-∠ACM=80°，∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，∵∠BPC=20°，∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°，故答案为：30°．根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A 的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数．本题考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．23.【答案】540°【解析】解：如图∵∠6+∠7=∠8+∠9，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7，=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9，=五边形的内角和=540°，故答案为：540°．根据题意，画出图象，由图可知∠6+∠7=∠8+∠9，因为五边形内角和为540°，从而得出答案．本题考查了五边形内角和，同时需要考生认真通过图形获取信息，通过连线构造五边形从而得出结论．24.【答案】解：（1）∵∠A=50°，∠C=30°，∴∠BDO=∠A+∠C=80°；∵∠BOD=70°，∴∠B=180°-∠BDO-∠BOD=30°；（2）∠BOC=∠A+∠B+∠C．理由：∵∠BEC=∠A+∠B，∴∠BOC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C．【解析】（1）先利用三角形的外角的性质求出∠BDO=80°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论；（2）利用三角形的外角的性质即可得出结论．此题主要考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，用三角形外角的性质解决问题是解本题的关键．25.【答案】证明：∵AD是BC边上的高，∴∠ADC=90°，∵∠DCM=∠MAE，∠CMD=∠AEM，∴∠AEC=∠ADC=90°，∴△ACE是直角三角形．【解析】根据对顶角相等得到∠CMD=∠AEM，根据三角形内角和定理得到∠AEC=∠ADC=90°，证明结论．本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．26.【答案】证明：∵△BCD中，BD-BC＜CD，∴BD-BC＜AD-AC，且AB=AC，∴BD-BC＜AD-AB，【解析】由三角形的三边关系可得BD-BC＜AD-AC，即可得结论．本题考查了三角形三边关系，熟练运用三角形的三边关系可求解．27.【答案】解：（1）∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A，∵∠A=β，∴∠A1=；（2）同理可得∠A n=．【解析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的是解题的关键．据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度数，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，（2）根据此规律即可得解．28.【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）6；（3）3）由（1）可知，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，由①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P=∠D+∠B，又∵∠D=50°，∠B=40°，∴2∠P=50°+40°=90°，∴∠P=45°．【解析】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC（对顶角相等），∴∠A+∠D=∠C+∠B．故答案为：∠A+∠D=∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个；（3）由（1）可知，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，由①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P=∠D+∠B，又∵∠D=50°，∠B=40°，∴2∠P=50°+40°=90°，∴∠P=45°．（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，将①+②，可得2∠P=∠D+∠B，进而求出∠P的度数本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．29.【答案】（1）2 ，-3 ；（2）整理，得（a+b）+（2a-b-5）=0．∵a、b为有理数，∴解得∴a+2b=-．【解析】解：（1）故答案为：2，-3；（2）见答案．【分析】（1）a，b是有理数，则a-2，b+3都是有理数，根据如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．即可确定；（2）首先把已知的式子化成ax+b=0，（其中a、b为有理数，x为无理数）的形式，根据a=0，b=0即可求解．本题考查了实数的运算，正确理解题意是关键．30.【答案】证明：（1）∵△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A．又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（180°-∠A），根据三角形内角和定理可知∠BPC=180°-（180°-∠A）=90°+∠A；（2）∠A=∠P，理由如下：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠PBC=∠ABC，∠PCE=∠ACE．∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，∴∠ACE=∠ABC+∠A，∠PCE=∠PBC+∠P，∴∠ACP=∠ABC+∠A，∴∠ABC+∠A=∠PBC+∠P，∴∠A=∠P．（3）∠P=90°-∠A，理由如下：∵P点是外角∠CBF和∠BCE的平分线的交点，∠P+∠PBC+∠PCB=180°∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠FBC+∠ECB）=180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=180°-（∠A+180°）=90°-∠A．【解析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的性质进行解答即可；（2）根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．（3）根据三角形的外角性质、内角和定理、角平分线的定义探求并证明．本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解．31.【答案】解：（1）如图1所示：∵直线PQ∥MN，∠ADC=30°，∴∠ADC=∠QAD=30°，∴∠PAD=150°，∵∠PAC=50°，AE平分∠PAD，∴∠PAE=75°，∴∠CAE=25°，可得∠PAC=∠ACN=50°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECA=25°，∴∠AEC=180°-25°-25°=130°；（2）如图2所示：∵∠A1D1C=30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1=30°，∴∠PA1D1=150°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠PA1E=∠EA1D1=75°，∵∠PAC=50°，PQ∥MN，∴∠CAQ=130°，∠ACN=50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE=25°，∴∠CEA1=360°-25°-130°-75°=130°；（3）如图3所示：过点E作FE∥PQ，∵∠A1D1C=30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1=30°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠QA1E=∠2=15°，∵∠PAC=50°，PQ∥MN，∴∠ACN=50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE=∠ECN=∠1=25°，∴∠CEA1=∠1+∠2=15°+25°=40°．【解析】（1）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠CAE以及∠ECA的度数，进而得出答案；（2）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠CAE以及∠ECA的度数，进而得出答案；（3）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠1和∠2的度数，进而得出答案．此题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质是解题关键．。

重庆育才中学教育集团初初2025届初二（下）期中模拟卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由二次根式有意义的条件可得答案．【详解】解：有意义，故选A ．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义时，被开方数为非负数是解题的关键．2. 以下列各组数作为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ）A. 4，5，6B. 6，8，11C. 1，1D. 5，12，23【答案】C【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A 、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；B 、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；C 、，故是直角三角形，故此选项符合题意；D、，故不是直角三角形，故此选项符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．3. 如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于E ，∠BED=150°，则∠A 的大小为（ ）3x ≥-3x >-3x <3x ≤30,x ∴+≥3.x ∴≥-222546+≠2226811+≠22211+=22251223+≠A. 150°B. 130°C. 120°D. 100°【答案】C【解析】【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠AEB=∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，∴∠AEB=∠ABE ，∴AB=AE ，∵∠BED=150°，∴∠ABE=∠AEB=30°，∴∠A=180°﹣∠ABE ﹣∠AEB=120°．故选：C ．4. 点在一次函数的图象上，则k 的值为 （ )A. 1B. C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】把代入，即可求出k 的值. 本题考核知识点：一次函数. 解题关键点：既然点P 在函数图象上，就可以把点P 的坐标代入解析式便可.【详解】因为点在一次函数的图象上，所以，解得，故选B.5. 某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方()21P -，1y kx =+1-()21P -，1y kx =+()21P -，1y kx =+121k -=+1k =-差是是0.21．则下列说法中，正确的是（ ）A. 甲的成绩比乙的成绩稳定B. 乙的成绩比甲的成绩稳定C. 甲、乙两人成绩的稳定性相同D. 无法确定谁的成绩更稳定【答案】B【解析】【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】解：甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，，乙成绩比甲的成绩稳定；故选：B ．【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，解题的关键是掌握方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．6. 如图在Rt 中，，，，在上截取，在上截取，在数轴上，为原点，则点对应的实数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理求出OB ，进而求出OC 即可．【详解】解：∵∠OAB = 90°，OA = 2，AB = 1，∴OB∵BC= AB = 1，∴OC =OB - BC，∴ OP，的 22S S ∴>乙甲∴OAB 90OAB ∠=︒2OA =1AB =OB BC AB =AO OP OC =OA O P 1-==∴P，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理以及实数与数轴，由勾股定理求出OB 的长是解题的关键．7. 周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是（ ）A. 小丽从家到达公园共用时间20分钟B. 公园离小丽家的距离为2000米C. 小丽在便利店时间为15分钟D. 小丽从家到便利店的平均速度为100米/分钟【答案】C【解析】【分析】根据函数图象所给的信息进行逐一判断即可．【详解】解：A 、由函数图象可知小丽从家到达公园共用时间20分钟，原说法正确，不符合题意；B 、由函数图象可知公园离小丽家的距离为2000米，原说法正确，不符合题意；C 、由函数图象可知小丽在便利店时间为分钟，原说法错误，符合题意；D 、小丽从家到便利店的平均速度为米/分钟，原说法正确，不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键．8. 边长为4的等边三角形中，D ，E ，F 分别是边上的点，且，有一只蚂蚁从点D 出发，经过点E ，F ，最后回到点D ，则蚂蚁所走的最短路程为（ ）A 6 B. 8 C. 12 D. 9【答案】A.15105-=100010010=ABC ,,AB BC CD AD BD =【解析】【分析】作点关于的对称点为，得到，即当四点共线时，蚂蚁所走的路线最短，根据等边三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可．【详解】解：作点关于的对称点为，则：，∴，∴当四点共线时，蚂蚁所走的路线最短，∵边长为4的等边三角形中，，∴，∴，∴，∴同法可得：∴，∴，过点作，则：；∴蚂蚁所走的最短路程为6；故选A ．【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，轴对称的性质．解题的关键是构造轴对称，利用轴对称解决线段和最小问题．9. 如图，在正方形中，E 为上一点，连接，于点F ，连接，设D ,BC AC ,G H DE EF DF GE EF FH GH++=++≥,,,G E F H D ,BC AC ,G H ,DG BC DH AC ⊥⊥DE EF DF GE EF FH GH ++=++≥,,,G E F H ABC AD BD =60,2A B AD BD ∠=∠=︒==30BDM ∠=︒112BM BD ==DM ==DG =30,ADH DH ∠=︒=180230120,GDH DG DH ∠=︒-⨯︒=︒=30DGH DHG ∠=∠=︒D DN GH ⊥1262DN DG GH GN =====ABCD BC AE DF AE ⊥BF，若，则一定等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】过点B 作于G ，证明，得，，又由，从而可证得，得到，则，即，即可求解．【详解】解：过点B 作于G ，∵正方形，∴，，∵，，∴，∴，∴，与中，，∴，∴，，∵，∴，在ADF α∠=2DF AF =ABF ∠108α︒+903α︒-34α45α︒-BG BC ⊥()AAS AGB DFA ≌BG AF =AG DF =2DF AF =GF BG =GBF GFB BAG ABF ABF α∠=∠=∠+∠=+∠90BAG ABF GBF ∠+∠+∠=︒90ABF ABF αα+∠+∠+=︒BG BC ⊥ABCD AB AD =90BAG DAF BAD ∠+∠=∠=︒BG BC ⊥DF AE ⊥90BGA AFD ∠=∠=︒90DAF ADF ∠∠=+︒BAG ADF α∠=∠=AGB DFA BAG ADF AGB AFD AB AD ∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AGB DFA ≌BG AF =AG DF =2DF AF =2AG BG =∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴．故选：D ．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等要三角形的性质，三角形外角性质，直角三角形的性质．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．10. 对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的是（ ）①；②，则③；④对任意大于3的正整数，有．A. ①②B. ②③C. ①③④D. ②③④【答案】B【解析】【分析】本题考查了解分式方程，分式的化简求值，二次根式的运算，熟练掌握解分式方程，分式的化简求值，二次根式的运算是解题的关键．由题意知，，进而可判断①的正误；由，计算求解，进而可判断②的正误；由，可得，则2AF GF BG +=2BG GF BG +=GF BG =GBF GFB BAG ABF ABF α∠=∠=∠+∠=+∠90BGA ∠=︒90BAG ABF GBF ∠+∠+∠=︒90ABF ABF αα+∠+∠+=︒45ABF α∠=︒-x ()11x f x x -=+()01f =()f x =3x =+()()()202320231112420242f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n ()()()()22231f f f n f n n n ⋅⋅⋅⋅-=-()010101f -==-+()f x =11x x =-+()11x f x x -=+1111111x x f x x x--⎛⎫== ⎪+⎝⎭+，进而可求，可判断③的正误；根据，可判断④的正误．【详解】解：由题意知，，∴①错误，故不符合要求；∵，∴解得，，经检验，∴②正确，故符合要求；∵，∴，∴，∴，∴③正确，故符合要求；由题意知，()111011x x f x f x x x --⎛⎫+=+= ⎪++⎝⎭()()()202320231112420242f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()213141513121111231213141513121111n n n n f f f n f n n n n n -----------⋅⋅⋅⋅-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++++-+-+-++ 123443213456211n n n n n n n n ----=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯--+ 22n n=+()010101f -==-+()f x =11x x =-+3x =+3x =+()11x f x x -=+1111111x x f x x x --⎛⎫== ⎪+⎝⎭+()111011x x f x f x x x --⎛⎫+=+= ⎪++⎝⎭()()()()()()20232023202320231111112422420242242f f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()213141513121111231213141513121111n n n n f f f n f n n n n n -----------⋅⋅⋅⋅-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++++-+-+-++ 123443213456211n n n n n n n n ----=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯--+，∴④错误，故不符合要求；故选：B ．二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）请将正确答案填写在答题卡相应位置的横线上．11. 测得某丝线直径为0.0000535米，0.0000535用科学记数法表示为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，正确确定和的值是解题关键．用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.0000535．故答案为：．12. 已知菱形ABCD 的面积是12cm 2，对角线AC ＝4cm ，则菱形的边长是______cm ．【解析】【分析】根据菱形的面积公式求出另一对角线的长．然后因为菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出菱形的边长．【详解】解：由菱形的面积公式，可得另一对角线长12×2÷4=6，∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得菱形的边长cm ．【点睛】此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直．13. 已知正比例函数，y 随x 的增大而减小，则a 的取值范围是________．【答案】##【解析】【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键．22n n=+55.3510-⨯a n 10n a -⨯110a ≤<55.3510-=⨯55.3510-⨯()32y a x =-23<a 23a >由正比例函数，y 随x 的增大而减小，可得，计算求解即可．【详解】解：∵正比例函数，y 随x 的增大而减小，∴，解得，，故答案为：．14. 若，则________．【答案】##【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，绝对值的非负性，算术平方根的非负性．熟练掌握不等式的性质，绝对值的非负性，算术平方根的非负性是解题的关键．由题意知，，可得，则，计算求解即可．【详解】解：由题意知，，∵，∴，∴，故答案为：．15. 如图，，，，，分别是和的中点，则________．【答案】2【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形中位线的性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接并延长，交于，证明，根据全等三角形的性质得到，，求出，根据三角形中位线定理计算即可．()32y a x =-320k a =-<()32y a x =-320k a =-<23<a 23<a 43x -<<x +=2x +2x+x x +=+43x -<<403050x x x +>-<-<，，()()435x x x x +=+--+-x x +=+43x -<<403050x x x +>-<-<，，()()4352x x x x x +=+--+-=+2x +AB CD ∥9AB =5CD =M N AC BD MN =DM AB E AME CMD ≌ 5AE CD ==DM ME =BE【详解】解：连接并延长，交于，如下图，∵，∴，∵是的中点，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵是的中点，∴是的中位线，∴．故答案为：2．16. 如图，点、分别是轴正半轴与轴正半轴上的动点，以为边在第一象限作矩形，已知，矩形的面积为24，则的最大值为________．【答案】9【解析】DM AB E AB CD ∥C A ∠=∠M AC AM CM =AME △CMD △A C AM CMAME CMD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA AME CMD ≌5AE CD ==DM ME =954BE AB AE =-=-=N BD MN DEB 122MN BE ==A B x y AB ABCD 8AB =ABCD OC【分析】本题考查了坐标与图形、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题的关键．取的中点，连接，首先求得，在中，利用勾股定理解得，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，根据三角形三边关系，可知当点在同一直线上时，有最大值，即可获得答案．【详解】解：如图，取的中点，连接，∵，矩形的面积为24，∴，∵点是的中点，∴，∴在中，，在中，，∴当点在同一直线上时，有最大值，最大值为，．故答案为：9．17. 如图，在四边形中，，，，，将四边形折叠，使点和点重合，折痕为，则的长为________．AB H OH HC 、3BC =Rt BCH △5CH =142O H A B ==O H C 、、OC AB H OH HC 、8AB =ABCD 2483BC =÷=H AB 142BH AB ==Rt BCH△5CH ===Rt AOB △142O H A B ==O H C 、、OC 549+=ABCD 90ABC BCD ∠=∠=︒DC DA =60D ∠=︒2AB =ABCD D B EF EF【解析】【分析】过点作于点，交于点，首先证明，为等边三角形，进而计算，，由折叠可知，在中，利用勾股定理可得，进而可得，设，则，，，在中，利用勾股定理可解得，即，可得，在中，易知，，在中，由勾股定理可得，即可获得答案．【详解】解：如下图，过点作于点，交于点，∵，∴，∴，∴，∵，，∴为等边三角形，∴，∵，∴，∴，，∴，由折叠可知，E EQ AB ⊥Q CD P CD AB ∥DAC △4AC =BC =4BF DF CD CF CF ==-=-Rt BCF 12CF =72DF BF ==2AE x =EQ =AQx =42BE DE x ==-Rt EQB V 35x =65AE =145DE =Rt DPE △1725DP DE ==PE =2110PF =Rt EPF △2221029100EF PF PE =+=E EQ AB ⊥Q CD P 90ABC BCD ∠=∠=︒180ABC BCD ∠+∠=︒CD AB ∥EP CD ⊥DC DA =60D ∠=︒DAC △60D ACD ∠=∠=︒90ABC BCD ∠=∠=︒30ACB BCD ACD ∠=∠-∠=︒2224AC AB ==⨯=BC ==4AD CD AC ===4BF DF CD CF CF ==-=-在中，可有，即，解得，∴，∵，，∴，，，设，则，，，在中，可有，即，解得，即，∴，在中，，∴，在中，由勾股定理，，∴．．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．18. 如图，正方形中，对角线、交于点O ，的平分线交于E ，交于F ，于H ，交于G ，交于P ，连接，以下结论：①；②四边形是菱形；③；④；⑤，其中正确的是________．Rt BCF 222CF BC BF +=(()2224CF CF +=-12CF =72DF BF CD CF ==-=CD AB ∥60D ∠=︒120DAB ∠=︒60EAQ ∠=︒30AEQ ∠=︒2AE x =EQ =AQ x =42BE DE x ==-Rt EQB V 222EQ BQ BE +=)()()222242x x ++=-35x =65AE =6144455DE AE =-=-=Rt DPE △1725DP DE ==PE =77212510PF DF DP =-=-=Rt EPF △2222221102910100EF PF PE ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭EF ==ABCD AC BD BAC ∠BD BC BH AF ⊥AC CD GE GF 、OAE OBG ≌△△BEGF BE CG =1PG AE=-:1:2PBC AFC S S =【答案】①②③④【解析】【分析】由是的平分线，可得，由，可得是等腰三角形，，，由，则是线段的垂直平分线，，求，则则，由，可证四边形是菱形，进而可判断②的正误；由，，，可证，进而可判断①的正误；由，，可得，进而可判断③的正误；根据，可得，设，则，，证明，则，根据，可判断⑤的正误；由勾股定理得，，同理，，，则，由，，可求，根据，可判断④的正误．【详解】解：∵正方形，∴，，，，，∵是的平分线，∴，又∵，∴是等腰三角形，，，∵，AF BAC ∠122.52GAH BAHBAC ∠=∠=∠=︒AH BG ⊥ABG AB AG =BH GH =BH AF ⊥AF BG EG EB FG FB ==，67.5BEF BFE ∠=︒=∠EB BF =EB BF EG FG ===BEGF EAO GBO ∠=∠OA OB =90AOE BOG ∠=︒=∠()ASA OAE OBG ≌OE OG =OB OE OC OG -=-BE CG =45GFC ACB ∠=︒=∠CG GF BF ==CG GF BF a ===CF =BC a =()ASA PCB FBA ≌PBC ABF S S = PBC ABF AFC AFC S S BF S S CF === AF =OA OB ==OE OG ==AE =1EF AF AE =-=-()ASA PCB FBA ≌()ASA OAE OBG ≌PG EF =1PG EF AE AE ===ABCD 45BAC ABO CBO BCA ∠=∠=∠=∠=︒90ABC BCD ∠=∠=︒90AOB ∠=︒AB BC =OA OB OC ==AF BAC ∠122.52GAH BAH BAC ∠=∠=∠=︒AH BG ⊥ABG AB AG =BH GH =BH AF ⊥∴是线段的垂直平分线，∴，∵，，∴，∴，∴，∴四边形是菱形，②正确，故符合要求；∴，，∵，，，∴，①正确，故符合要求；∴，∴，即，③正确，故符合要求；∴，∴，∴，∴，设，则，∴，∵，，，∴，∴，∴，⑤错误，故不符合要求；由勾股定理得，，同理，，，∴，∵，，AF BG EG EB FG FB ==，67.5BEF BAF ABO ∠=∠+∠=︒9067.5BFE BAF ∠=︒-∠=︒BEF BFE ∠=∠EB BF =EB BF EG FG ===BEGF 122.52GBC GBO CBO EAO ∠=∠=∠=︒=∠45EGF CBO ∠=∠=︒EAO GBO ∠=∠OA OB =90AOE BOG ∠=︒=∠()ASA OAE OBG ≌OE OG =OB OE OC OG -=-BE CG =45OGE OEG ∠=∠=︒18090CGF OGE EGF ∠=︒-∠-∠=︒45GFC ACB ∠=︒=∠CG GF BF ==CG GF BF a ===CF ==BC BF CF a =+=+22.5PBC FAB ∠=︒=∠BC AB =90PCB FBA ∠=︒=∠()ASA PCB FBA ≌PBC ABF S S = PBC ABF AFC AFC S S BF S S CF === AF ===OA OB ===OE OG ==AE ==1EF AF AE =-==()ASA PCB FBA ≌()ASA OAE OBG ≌∴，∴，即，∴，④正确，故符合要求；故答案：①②③④．【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线，垂直平分线的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，角平分线，垂直平分线的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．三、解答题（本大题8个小题，共78分）解答每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19. 计算：（1）（2【答案】（1）（2【解析】【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．（1）首先将各数化为最简二次根式，然后相加减即可；（2化为最简二次根式，计算分子部分，并运用平方差公式计算，再计算二次根式除法运算，然后相加减即可．小问1详解】解：原式【小问2详解】解：原式为【PB FA BG AE ==，PB BG FA AE-=-PG EF=1PG EF AE AE ===--1--+=-+=22=+．20. 如图，已知平行四边形ABCD ．（1）用尺规完成以下基本作图：在CB 的延长线上取点E ，使CE ＝CD ，连接DE 交AB 于点F ，作∠ABC 的平分线BG 交CD 于点G ．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在第（1）问所作的图形中，求证：四边形BFDG 为平行四边形．证明：∵BG 平分∠ABC∴∠ABG ＝∠CBG∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB ∥CD∴∠ABG ＝∠CGB ，∠CDE ＝∠BFE∴∠CGB ＝① ∴CB ＝CG ．∵CE ＝CD ，CB ＝CG∴CE ﹣CB ＝CD ﹣CG ，即BE ＝② ∵CD ＝CE∴∠CDE ＝③ ∵∠CDE ＝∠BFE ，∠CDE ＝∠BEF∴∠BFE ＝④ ∴BE ＝BF∵BE ＝DG ，BE ＝BF∴DG ＝⑤ ∵AB ∥CD ，DG ＝BF∴四边形BFDG 为平行四边形．（推理根据：⑥ ）【答案】（1）见解析 （2）①，②，③，④，⑤，⑥一组对边平行且相32=+1=-CBG ∠DG BEF ∠BEF ∠BF等的四边形是平行四边形【解析】【分析】（1）先延长，以点为圆心、长为半径画弧，交延长线于点，再连接交于点，然后根据角平分线的尺规作图方法即可得；（2）先根据角平分线的定义可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据平行四边形的判定即可得证．【小问1详解】解：尺规作图结果如下：【小问2详解】证明：平分，，∵四边形为平行四边形，，，，．，，即，，，，，CB C CD CB E DE AB F ABG CBG ∠=∠AB CD ,ABG CGB CDE BFE ∠=∠∠=∠CGB CBG ∠=∠CB CG =BE DG =CDE BEF ∠=∠BFE BEF ∠=∠BE BF =DG BF =BG ABC ∠ABG CBG ∴∠=∠ABCD AB CD ∴∥,ABG CGB CDE BFE ∴∠=∠∠=∠CGB CBG ∴∠=∠CB CG ∴=,CE CD CB CG == CE CB CD CG ∴-=-BE DG =CD CE = CDE BEF ∴∠=∠,CDE BFE CDE BEF ∠=∠∠=∠ BFE BEF ∴∠=∠，，，，四边形为平行四边形．（推理根据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．21. 某校组织了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“防自然灾害知识测评”，为了了解学生的测评情况，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数均为整数，且分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，分别是：A ：，B ：，C ：，D ：，E ：．并给出了部分信息：【一】七年级D 等级的学生人数占七年级抽取人数的，八年级C 等级中最低的10个分数为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75．【二】两个年级学生防自然灾害知识测评分数统计图：【三】两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数七年级767573八年7672BE BF ∴=,BE DG BE BF == DG BF ∴=,AB CD DG BF = ∴BFDG x 90100x ≤≤8090x ≤<7080x ≤<6070x ≤<060x ≤<20%a级（1）直接写出a ，m 的值，并补全条形统计图；（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）；（3）若分数不低于80分表示该生对防自然灾害知识掌握较好，且该校七年级有1800人，八年级有1700人，请估计该校七、八年级所有学生中，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数．【答案】（1），，补全条形图见解析（2）七年级的学生对对防自然灾害知识掌握较好，理由是：2个年级的平均数相等，七年级的中位数和众数较大，所以七年级的学生对防自然灾害知识掌握较好．（3）1336【解析】【分析】（1）根据扇形统计图得到，即可求出m ；根据扇形图求得中位数位于C 组，根据八年级C 等级中最低的10个分数即可求得第25，26个的分数，即可求得中位数；求出七年级D 等级和E 等级的学生人数，即可补全条形统计图；（2）根据中位数的意义说明理由即可；（3）根据七、八年级所有学生中，分数不低于80分的占比分别乘以七、八年级的人数即可求解．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．【小问1详解】由扇形统计图可得：，解得；∵八年级中A 等级、B 等级人数都是（人），C 等级、D 等级人数都是（人），E 等级人数是（人），∴八年级中位数是第25、26个分数的平均数，位于C 组，∵八年级C 等级中最低的10个分数为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75．∴第25、26个分数是74，74，故中位数．∵七年级D 等级的学生人数占七年级抽取人数的74a =16m =%%32%32%4%100%m m ++++=%%32%32%4%100%m m ++++=16m =5016%8⨯=5032%16⨯=504%2⨯=7474742a +==20%∴七年级D 等级的学生人数为（人）E 等级的学生人数为（人），补全条形统计图如图所示：【小问2详解】在此次测评中，七年级的学生对对防自然灾害知识掌握较好，理由是：2个年级的平均数相等，七年级的中位数和众数较大，所以七年级的学生对防自然灾害知识掌握较好．【小问3详解】估计该校七、八年级所有学生中，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数为：（人）．22. 如图，城心公园的著名景点B 在大门A 的正北方向 ，游客可以从大门A 沿正西方向行至景点C ，然后沿笔直的赏花步道到达景点B ；也可以从大门A 沿正东方向行至景点D ，然后沿笔直的临湖步道到达大门A 的正北方的景点E ，继续沿正北方向行至景点B （点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内），其中米，米，米，米．（1）求A ，B两点的距离；5020%10⨯=50101216102----=()10121800170016%16%133650+⨯+⨯+=500AC =1300BC =600AD =400BE =（2）为增强游客的浏览体验，提升公园品质，将从大门A 修建一条笔直的玻璃廊桥AF 与临湖步道DE 交汇于点F ，且玻璃廊桥AF 垂直于临湖步道DE ，求玻璃廊桥AF 的长．【答案】（1）两点的距离为米（2）玻璃廊桥的长为米【解析】【分析】(1)在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得AB 的长；(2)在Rt △ADE 中，首先利用勾股定理求出DE 的长，再根据面积法求出AF 的长即可．【小问1详解】解：由题意，，∴在中，．∵米，米，∴（米）．答：两点的距离为米．【小问2详解】∵米，∴（米）．∴在中，∵米，∴（米）．∵，∴．A B ，1200AF 480BA CD ⊥Rt ABC AB =1300BC =500AC =1200AB ==A B ，1200400BE =1200400800AE AB BE =-=-=Rt ADE △DE =600AD =1000DE ==AF D E ⊥1122ADE S AF DE AD AE =⋅=⋅△∴ （米）．答：玻璃廊桥的长为米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，面积法求垂线段的长，熟练掌握勾股定理是解题的关键．23. 如图，在矩形中，．动点P 从点A 出发，沿折线运动（运动路线不包含点A 、点C ），当它到点C 时停止，设点P 运动的路程为x ，连接．设的面积为y ．（1）求出y 与x 的函数关系式，并注明x 的取值范围，在x 的取值范围内画出该函数图象；（2）根据函数图象，写出该函数的一条性质；（3）若直线与该函数图象有两个交点，直接写出k 的取值范围．【答案】（1），见解析 （2）见解析，（合理即可）（3）【解析】【分析】（1）由题意知，当时，，则；当时，，则；然后作图象即可；（2）根据图象作答即可；（3）当时，，即为过的直线，如图3，将代入，可求；将代入，可求；结合图象进而可得取值范围．6008004801000AD AE AF DE ⋅⨯===AF 480ABCD 6AB =4BC =A B C →→AC AP PC 、、APC △6y kx =+()()206330610x x y x x ⎧<≤⎪=⎨-+<<⎪⎩315k -<<06x <≤AP x =122APC y S AP BC x ==⨯=△610x <<10PC x =-13302APC y S PC AB x ==⨯=-+△0x =6y =6y kx =+()06，()612，6y kx =+1k =()100，6y kx =+35k =-【小问1详解】解：由题意知，当时，，∴；当时，，∴；∴；作图如图2；【小问2详解】解：由图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小；【小问3详解】解：当时，，∴为过的直线，如图3，06x <≤AP x =114222APC y S AP BC x x ==⨯=⨯=△610x <<10PC x =-()1110633022APC y S PC AB x x ==⨯=⨯-⨯=-+△()()206330610x x y x x ⎧<≤⎪=⎨-+<<⎪⎩06x <≤y x 610x <<y x 0x =6y =6y kx =+()06，将代入得，，解得，；将代入得，，解得，；由图象可知，当时，直线与该函数图象有两个交点．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一次函数的图象与性质，两直线交点．熟练掌握一次函数的图象与性质并数形结合是解题的关键．24. 如图，在直角中，，B 是边上一点，连接，O 为的中点，过C 作交延长线于D ，且平分，连接．（1）求证：四边形是菱形．（2）连接交于F ，，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）证明，即可证明四边形是菱形．（2）根据菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，直角三角形的特征，三角形外角性质计算即可．【小问1详解】证明：∵，∴，∵O 为的中点，∴，()612，6y kx =+1266k =+1k =()100，6y kx =+0106k =+35k =-315k -<<6y kx =+AEC △90AEC ∠=︒AE BC AC CD AB ∥BO AC BCD ∠AD ABCD OE BC 27ACD ∠︒=CFO ∠99︒AB CD =AB BC =ABCD CD AB ∥,OAB OCD OBA ODC ∠=∠∠=∠AC OA OC =∵∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴四边形是菱形．【小问2详解】∵，∴，∴，∴，由（1）可知，四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，OAB OCD OBA ODCOA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS OBA ODC ≌AB CD =ABCD DC AB ∥BAC DCA ∠=∠AC DCB ∠DCA BCA ∠=∠BCA BAC ∠=∠BA BC =ABCD 90CD AB AEC ∠︒ ，=180DCE AEC ∠+∠︒=90DCE ∠=︒90902763OCE ACD ∠=︒∠︒︒︒-=--ABCD 27254ACB ACD BCD ACD ∠∠︒∠∠︒==，==90905436ECF BCD ∠︒∠︒︒︒=-=-=90AEC OA OC ∠︒=，=12OE AC OC ==63OEC OCE ∠∠︒==∴，即的度数为．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的特征，三角形外角性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，直角三角形的特征是解题的关键．25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：与交于点，与轴，轴分别交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴正半轴分别交于C ，D 两点，且（1）求直线的解析式；（2）如图2，连接，若点P 为y 轴负半轴上一点，点Q 是x 轴上一动点，连接，，，当时，求周长的最小值；（3）如图3，将直线向上平移经过点D ，平移后的直线记为，若点M 为y 轴上一动点，点为直线上一点，是否存在点M ，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标，并写出其中一个点M 的求解过程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，点坐标可以是或或或，求解过程见详解．【解析】【分析】（1）求出点的坐标为，点的坐标为，由，可得点的坐标为，再用待定系数法可得的解析式为；（2）先求出点、的坐标，可得长度，根据，以及，解得633699CFO OEC ECF ∠∠+∠︒+︒︒===CFO ∠99︒1l 1y x 42=-2l (),2E e -1l x y 2l 34OC OB =2l AD PE PQ EQ 45DEP ADE S S = PEQ 1l 3l ()6,N n 3l CMN 26y x =-+4M ()0,6()0,9(0,9+(0,9-E (4,2)-B (0,4)-34OC OB =C (3,0)2l 26y x =-+A D BD ADE ADB EDB S S S =- 45DEP ADE S S =，得到点的坐标，作关于轴的对称点，连接交轴于，此时，此时周长的最小值，再利用勾股定理求出答案；（3）根据平移求出的解析式，可得点坐标，①由勾股定理可求出，可得点与点重合时，有是等腰三角形；②当时，作轴，在中由勾股定理可求出长度，设点坐标为，在中由勾股定理可求出，注意是否存在三点共线的情况，得到点坐标；③当时，设点坐标为，在中由勾股定理可求出，得到点坐标．【小问1详解】把代入得：，解得，点的坐标为，把代入得，点的坐标为，，，点的坐标为，设的解析式为，把，代入得：解得的解析式为；【小问2详解】在中，令得，DP P P x P 'P E 'x Q PQ EQ P Q EQ P E ''+=+=PEQ 3l N DC DN =M D CMN CN CM =NG x ⊥Rt NCG CN M (0,)k Rt OCM △k M NM CN =M (0,)r Rt NHM △r M (,2)E e 1y x 42=-1242e -=-4e =∴E (4,2)-0x =1y x 42=-4y =-∴B (0,4)-34OC OB = 3OC ∴=∴C (3,0)2l y kx b =+(4,2)E -(3,0)C 3042k b k b +=⎧⎨+=-⎩26k b =-⎧⎨=⎩∴2l 26y x =-+1y x 42=-0y =8x =，在中，令得，，点B 的坐标为，，点E 的坐标为，，，，，作P 关于x 轴的对称点，连接交x 轴于Q ，此时，此时周长最小，如图：，在中，，，，周长的最小值为；【小问3详解】存在点M ，使为等腰三角形，理由如下：由（1）可知：，，，∴(8,0)A 26y x =-+0x =6y =∴(0,6)D (0,4)-∴10BD = (4,2)-∴111081042022ADE ADB EDB S S S =-=⨯⨯-⨯⨯= 45DEP ADE S S =∴1442025DP ⨯=⨯8DP ∴=(0,2)P ∴-P 'P E 'PQ EQ P Q EQ P E ''+=+=PEQ ∴(0,2)P 'Rt P PE ' 4PE =224P P '=+=∴P E '===∴PEQ4P E PE '+=+CMN 1l 1y x 42=-(0,4)B -(3,0)C由（2）可知，，当上移经过点时，需将往上移10个单位长度，的解析式为：，点在上，且的坐标为，，点的坐标为，①作轴，那么的坐标为，在中，,，，在中，，，，，当点与点重合时，为等腰三角形，点坐标为；②当时，设，作轴，，(0,6)D ∴6(4)10BD =--=∴1l D 1l ∴3l 11410622y x x =-+=+ N 3l N (6,)n ∴16692n =⨯+=∴N (6,9)NH y ⊥H (0,9)Rt DHN 963DH =-=6HN =∴DN ====Rt DOC 6DO =3CO =∴DC ====∴DN DC =∴M D CMN ∴M (0,6)CN CM =(0,)M k NG x ⊥ (6,9)N，在中，，，，在中，，，，设、所在的直线为，将、代入，求得，，、所在的直线为当时，该直线经过点当时，、、三点共线，的坐标为；③当时，设，在中，，，，，，．故点坐标为或或或．【点睛】本题考查一次函数的综合应用，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短，等腰三角形判定与性质，三角形面积求解，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．26. 已知菱形的面积为，连接对角线，相交于点O ，点E 是边上一点，连接交于M ．∴(6,0)G Rt NCG 633CG =-=9NG =∴CN ====Rt OCM △3OC =OM k =∴CM ==∴9k =±N C 11y k x b =+(6,9)N (3,0)C 13k =19b =-∴N C 39y x =-∴0x =(0,9)-∴9k =-C N M ∴M (0,9)NM CN =(0,)M r Rt NHM △6NH =9HM r =-∴NM CN ===∴9r =±∴(0,9M +(0,9M -M (0,6)(0,9)(0,9+(0,9-ABCD 60ABC ∠=︒AC BD BC AE BD。

重庆市第八中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试题一、单选题1．下列四组数中，是勾股数的一组是（ ）A ．1，2，3B ．3，4，5C ．3，3，4D 2．一直角三角形的两直角边长分别为9，12，则斜边长为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．203．如图，BD AB BD CD ⊥⊥，，添加条件后能用“HL ”判定ABD CDB △≌△是（ ）A ． AD CB = B ． AB CD =C ．A C ∠=∠D ． AD BC ∥ 4．如图，在33⨯的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，A ，B 均在格点上，则线段AB 的长为（ ）A ．1B ．2 CD ． 35．已知：在ABC V 中，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠，C ∠的对边，则下列条件中不能判断ABC V 是直角三角形的是（ ）A ．ABC ∠∠=∠+B ．345A BC ∠∠∠=：：：：C ．1a =，b 2c =D ．345a b c =：：：： 6．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A ，离地距离2AB =米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.5米的学生CD 刚走到离门间距 1.2CB =米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度AD 为（ ）A ．1.2米B ．1.3米C ．1.5米D ．2米7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，已知BC=8，AC=6，则斜边AB 上的高是( )A ．10B ．5C ．245D ．12582，那么这个三角形的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 9．等边三角形的边长为4，则该三角形的面积为（ ）A ．2B ．4C ．D ．10．如图，Rt ABC △中，9045B BC AC ∠=︒==，，，将CDE V 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则CE 的长等于（ ）A ．2B ．258C ．78 D ．3二、填空题11．一直角三角形斜边长为10，一直角边长为9，则另一直角边长为．12．如图，在矩形ABCD 中，AB 在数轴上，3AB =，1BC =，若以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧，交数轴于点M ，则点M 的表示的数为．13．一副直角三角板按如图所示摆放，其中AB 的长为a ，则AD 的长为．14．将矩形纸片ABCD 按如图所示折叠，已知10cm AD =，8cm AG HB ==，EF GI HJ CB ∥∥∥，4cm EG EH GH ===，则蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程是cm ．三、解答题15．计算：(1)()02 3.14π--；(3)()()()22115a a a +--+；(4)()()()2233232x y y x y x -++-．16．先化简，再求值：()()()()22232x y x y y x y x ⎡⎤++-++÷-⎣⎦，其中2x =-，1y =． 17．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，D ，P 分别是AB ，AC 上的点，且AP DP =．(1)用尺规作BD 的垂直平分线EF ，交BC 于点E ，交BD 于点F （不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，连接DE ，求证：DE DP ⊥（补全下面的证明过程，不写证明理由）．证明：∵PA PD =，∴①____________，∵EF 是BD 的垂直平分线，∴②_____________，∴B EDB ∠=，∵90C ∠=︒，∴A B ∠∠=︒+90，∴③____________，∵180ADP PDE EDB ∠+∠+∠=︒，∴90PDE ∠=︒，∴④___________．18．如图，在ABC V 中，点D 在边BC 上，已知512CD AD ==，，点E 在AD 上，13BE AC ==．(1)求证：AD BC ⊥；(2)若CD ED =，求AB 的长．四、填空题19．一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是．20．如图，圆柱形杯子容器高为5cm ，底面周长为6cm ，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁点A 处，蚂蚁需绕行杯子两周到达点A 的正上方点B 处，则爬行的最短路径为cm ．21．如图，在44⨯的网格中，每个小正方形的边长为1，点A ，B ，C 均在格点上，D 是AB 与网格线的交点，则CD 的长为．22．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为1S，以CD为斜边作等腰直角三角形，S，…，按照此规律以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S的值为．继续下去，则4235=，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边长度5)0a>可以看成直角边长度分别为a、8，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知()+=>>，a b a b1200五、解答题24．台风会引起城市积涝、山体滑坡等严重灾害，为降低台风贝碧嘉的影响，A市实时跟踪其运动状态，气象站测得台风中心在其正南方向800千米的B处，以60千米/时的速度向北偏西30︒的BF方向移动，已知距台风中心500千米范围内是受台风影响的区域．(1)A市是否会受到台风的影响？请说明理由；(2)如果A市受这次台风影响，那么影响的时间有多长？25．如图，在ABC V 中，D 是BC 上一点，E 、F 分别在边AB 、AC 上．(1)如图1，若DE AB ⊥，DF AC ⊥，DE DF =，120BAC ∠=︒，3AE =，求DE 的长；(2)如图2，若45A ∠=︒，D 为BC 中点，DE DF ⊥，BE 3CF =，求EF 的长． 26．如图所示，等腰直角ABC V 中，90AB AC BAC =∠=︒，，平面内有两点D 、F ，连接AD CD CF ，，，满足90CD CF DCF =∠=︒，．(1)如图1，连接DF ，若点F 恰好在AB 上，且602AFC AF ∠=︒=，，求CDF V 的面积．(2)如图2，连接DF ，若DF 恰好过BC 的中点E ，求证：DE EF =+．。

2024-2025八年级上册第一次月考模拟试卷一、填空题（本题满分30分，每小题3分）1. 在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ）A. B. C. D. 2. 若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 2或43. 已知一个等腰三角形有一个角为50o ，则顶角是 （ ）A. 50oB. 80oC. 50o 或80oD. 不能确定 4. 若三角形的两条边的长度是4cm 和9cm ，则第三条边的长度可能是( )A. 4 cmB. 5 cmC. 9cmD. 13cm5. 一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为 （ ）A. 6B. 7C. 8D. 96. 下列长度的各种线段，可以组成三角形的是（ ）A. 1，2，3B. 1，3，5C. 3，3，6D. 4，5，6 7. 如图，AB 与CD 相交于点E ，EA EC =，DE BE =，若使AED CEB ≌，则（ ）A. 应补充条件A C ∠=∠B. 应补充条件B D ∠=∠C. 不用补充D. 以上说法都不正确8. 已知△ABC 和△DEF ，下列条件中，不能保证△ABC ≌△DEF 的是( )A. AB =DE ，AC =DF ，BC =EFB. ∠A =∠D ， ∠B =∠E ，AC =DFC. AB =DE ，AC =DF ，∠A =∠DD. AB =DE ，BC =EF ， ∠C =∠F9. 如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 对称点1P 、2P ，连接1P 2P 交OA 于M ，交OB 于N ，若12PP ＝6，则△PMN 的周长为（ ）的A. 4B. 5C. 6D. 710. 如图，直线AB CD ∥，70A ∠=°，40C ∠=°，则E ∠的度数为（ ）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°11. 如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，48C ∠=°．则DAC ∠的度数为（ ）A. 52°B. 42°C. 32°D. 28°12. 如图，在ΔΔΔΔΔΔΔΔ中，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，30B ∠= ，70ADC ∠=，则C ∠的度数是( )A. 50B. 60C. 70D. 80二. 填空题（本题满分24分，每小题3分）13. BD 是ABC 的中线，53AB BC ABD ==，， 和BCD △的周长的差是____．14. 若一个多边形从一个顶点可以引8条对角线，则这个多边形的内角和是______．15. Rt ABC 中，∠C=90°，∠B=2∠A ，BC=3cm ， AB=____cm ．16. 如图，Rt ABC ∆中，∠B =90 ，AB =3cm ，AC =5cm ，将ΔΔΔΔΔΔΔΔ折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则CE ＝____cm ．17. 若一个n 边形的内角都相等，且内角的度数与和它相邻的外角的度数比为3:1，那么，这个多边形的边数为________．18. 如下图，在ABC 中，AB AC =，BE CD =，BD CF =，若50B ∠=°，则EDF ∠的度数是____度．三．解答题（本大题满分62分）19 如图，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，AB =CD ，DF =BE ．；求证：AF =CE ．20. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ．求△ABC 各角的度数．.21. 如图，点D E ，分别AB AC ，上，CD 交BE 于点O ，且AD AE =，AB AC =．求证：（1）B C ∠=∠；（2）OB OC =．22. 如图，两人从路段ΔΔΔΔ上一点C 同时出发，以相同速度分别沿两条直线行走，并同时到达D E ，两地．且DA AB ⊥，EB AB ⊥．若线段DA EB =相等，则点C 是路段ΔΔΔΔ的中点吗？为什么？23. 在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，交AB 于点E ．（1）求证：ABD △是等腰三角形；（2）①若40A ∠=°，求DBC ∠的度数为 ；②若6AE =，CBD △的周长为20，求ABC 的周长．在的24. 如图，在ABC 中，AB AC =，P 是边BC 的中点，PD AB PE AC ⊥⊥，，垂足分别为D ，E ．求证：PD PE =．25. 如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 上一点，且DM 平分∠ADC ，AM 平分∠DAB ，求证：AD ＝CD ＋AB ．26. 如图，∠ABC ＝90°，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD ⊥DE ，且AD ＝DE ，点F 是AE 中点，FD 与AB 相交于点M ．（1）求证：∠FMC ＝∠FCM ；（2）AD 与MC 垂直吗？并说明理由．的2024-2025八年级上册第一次月考模拟试卷一、填空题（本题满分30分，每小题3分）1. 在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】A 、不是轴对称图形，不符合题意；B 、是轴对称图形，符合题意；C 、不是轴对称图形，不符合题意；D 、不是轴对称图形，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 2或4【答案】C【解析】【分析】分4是腰长与底边两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可．【详解】①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，能组成三角形，所以，第三边4；②4是底边时，三角形的三边分别为2、2、4， 224+= ，∴不能组成三角形，综上所述，第三边为4．故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论．3. 已知一个等腰三角形有一个角为50o ，则顶角是 （ ）为.A50o B. 80o C. 50o或80o D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】已知中没有明确该角为顶角还是底角，所以应分两种情况进行分析．【详解】分两种情况：若该角为底角，则顶角为180°−2×50°=80°；若该角为顶角，则顶角为50°.∴顶角是50°或80°.故选C.【点睛】此题考查等腰三角形的性质，解题关键在于分情况讨论.4. 若三角形的两条边的长度是4cm和9cm，则第三条边的长度可能是( )A. 4 cmB. 5 cmC. 9cmD. 13cm【答案】C【解析】【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边，进行解答即可．【详解】由题可得：9﹣4＜第三边＜9+4，所以5＜第三边＜13，即第三边在5 cm～13 cm之间（不包括5 cm 和13 cm），结合选项可知：9 cm符合题意．故选C．角形的两边的差一定小于第三边．5. 一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，则有（n-2）180°=900°，解得：n=7，∴这个多边形的边数为7．故选B．【点睛】本题考查了多边形内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键.6. 下列长度的各种线段，可以组成三角形的是（ ）A. 1，2，3B. 1，3，5C. 3，3，6D. 4，5，6【答案】D【解析】【分析】根据三角形的三边关系逐一判断即可得答案．【详解】A ．∵1+2=3，故不能组成三角形，不符合题意，B ．∵1+3＜5，故不能组成三角形，不符合题意，C ．∵3+3=6，故不能组成三角形，不符合题意，D ．∵4+5＞6；5-4＜6，故能组成三角形，符合题意，．故选：D ．【点睛】本题考查三角形的三边关系，任意三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．7 如图，AB 与CD 相交于点E ，EA EC =，DE BE =，若使AED CEB ≌，则（ ）A. 应补充条件A C ∠=∠B. 应补充条件B D ∠=∠C. 不用补充D. 以上说法都不正确【答案】C【解析】 【分析】本题要判定AED CEB ≌，已知EA EC =，DE BE =，具备了两组边对应相等，由于对顶角相等可得AED CEB ∠=∠，可根据SAS 能判定AED CEB ≌．【详解】解：在AED 与CEB 中，EA EC AED CEB DE BE = ∠=∠ =，(SAS)AED CEB ∴ ≌，∴不用补充条件即可证明AED CEB ≌，.故选：C ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8. 已知△ABC 和△DEF ，下列条件中，不能保证△ABC ≌△DEF 的是( )A. AB =DE ，AC =DF ，BC =EFB. ∠A =∠D ， ∠B =∠E ，AC =DFC. AB =DE ，AC =DF ，∠A =∠DD. AB =DE ，BC =EF ， ∠C =∠F【答案】D【解析】【分析】三角形全等的判定定理中，常见的不能判定三角形全等的条件为SSA ，AAA ，通过对条件的对比很容易得出结论．【详解】A 选项对应判定定理中的SSS ，故正确；B 选项对应判定定理中的AAS ，故正确；C 选项对应判定定理中的ASA ，故正确；D 选项则为SSA ，两边加对角是不能判定三角形全等的，故错误．故选D ．【点睛】本题考查三角形全等判定定理，能熟记并掌握判定定理是解题关键．9. 如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接1P 2P 交OA 于M ，交OB 于N ，若12PP ＝6，则△PMN 的周长为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】根据题意易得1PM PM =，2P N PN =，然后根据三角形的周长及线段的数量关系可求解． 【详解】解：由轴对称的性质可得：OA 垂直平分1PP ，OB 垂直平分2P P ，∴1PM PM =，2P N PN =， ∵1212PMN C PM PN MN PM P N MN PP =++=++=△，12PP ＝6，∴6PMN C = ；故选C ．【点睛】本题主要考查轴对称的性质及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握轴对称的性质及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．10. 如图，直线AB CD ∥，70A ∠=°，40C ∠=°，则E ∠的度数为（ ）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°【答案】A【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，首先根据AB CD ∥得到170A ∠=∠=°，然后利用三角形外角的性质求解即可．解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【详解】如图所示，∵AB CD ∥，70A ∠=°，∴170A ∠=∠=°，∵40C ∠=°∴1704030E C ∠=∠−∠=°−°=°．故选A ．11. 如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，48C ∠=°．则DAC ∠的度数为（ ）A. 52°B. 42°C. 32°D. 28°【答案】B【解析】 【分析】根据垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，即可求解．【详解】解：∵AD BC ⊥，48C ∠=°，∴90ADC ∠=°，∵48C ∠=°，∴904842DAC ∠=°−°=°，故选：B ．【点睛】本题考查了垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，求得90ADC ∠=°是解题的关键． 12. 如图，在ΔΔΔΔΔΔΔΔ中，AD 平分∠交BC 于点D ，30B ∠= ，70ADC ∠=，则C ∠的度数是( )A. 50B. 60C. 70D. 80【答案】C【解析】 【分析】由30B ∠= ，70ADC ∠= ，利用外角的性质求出BAD ∠，再利用AD 平分BAC ∠，求出BAC ∠，再利用三角形的内角和，即可求出C ∠的度数．【详解】∵30B ∠= ，70ADC ∠=， ∴703040BAD ADC B ∠=∠−∠=−= ，∵AD 平分BAC ∠，∴280BAC BAD ∠=∠= ，∴180180308070C B BAC ∠=−∠−∠=−−= .故选C ．【点睛】本题考查了三角形的外角性质定理，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质和定理是解题关键．二. 填空题（本题满分24分，每小题3分）13. BD 是ABC 的中线，53AB BC ABD ==，， 和BCD △的周长的差是____．【答案】2【解析】【分析】由中线定义，得AD CD =，根据周长定义，进行线段的和差计算求解．【详解】∵BD 是ABC 的中线，∴AD CD =，∴ABD △和BCD △的周长的差()()AB BD AD BC BD CD AB BC =++−++=−，∵53AB BC ==，， ∴ABD △和BCD △的周长的差532=−=．故答案为：2．【点睛】本题考查中线的定义；由中线得到线段相等是解题的关键．14. 若一个多边形从一个顶点可以引8条对角线，则这个多边形的内角和是______．【答案】1620°【解析】【分析】设多边形边数为n ，根据n 边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线可得n−3＝8，计算出n 的值，再根据多边形内角和（n−2）•180 （n ≥3）且n 为整数）可得答案．【详解】解：设多边形边数为n ，由题意得：n−3＝8，n＝11，内角和：180°×（11−2）＝1620°．故答案为1620°．【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，以及多边形内角和，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，多边形内角和公式（n−2）•180 （n≥3）且n为整数）．中，∠C=90°，∠B=2∠A，BC=3cm，AB=____cm．15. Rt ABC【答案】6【解析】【详解】试题分析：根据直角三角形的性质即可解答．解：如图：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A∴∠A+∠B=90°∴∠A=30°，∠B=60°∴=，∵BC=3cm，∴AB=2×3=6cm．故答案为6．考点：直角三角形的性质．∆中，∠B=90 ，AB=3cm，AC=5cm，将ΔΔΔΔΔΔΔΔ折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，16. 如图，Rt ABC则CE＝____cm．【答案】258【解析】 【分析】在Rt △ABC 中，由勾股定理可得BC4= cm ，设AE =x cm ，由折叠的性质可得CE =x cm ，BE = (4)x −cm ，从而由勾股定理可得：2223(4)x x =+−，即可求解．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3cm ，AC =5cm ，∴由勾股定理可得：BC4=cm ，设AE =x cm ，则由折叠的性质可得：CE =x cm ，BE =BC -CE =(4)x −cm ，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理可得：2223(4)x x =+−，解得：258x =（cm ）． 即CE 的长为258cm ． 故答案是：258． 【点睛】本题考查了折叠性质以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 17. 若一个n 边形的内角都相等，且内角的度数与和它相邻的外角的度数比为3:1，那么，这个多边形的边数为________．【答案】8##八【解析】【分析】本题考查的是多边形的内角和，以及多边形的外角和，解答本题的关键是熟练掌握任意多边形的外角和是360°，与边数无关． 先根据内角的度数与和它相邻的外角的度数比为3:1，求得每一个外角的度数，再根据任意多边形的外角和是360°，即可求得结果．【详解】解：设每一个外角的度数为x ，则每一个内角的度数3x ，则3180x x +=°，解得45x =°，∴每一个外角的度数为45°，∴这个多边形的边数为360458°÷°=，故答案为：8．18. 如下图，在ABC 中，AB AC =，BE CD =，BD CF =，若50B ∠=°，则EDF ∠的度数是____度． 的【答案】50【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质可得B C ∠=∠，进而可证明()SAS BDE CFD ≌，得到BED CDF ∠=∠，即可得130BDE CDF BDE BED ∠+∠=∠+∠=°，最后根据平角的定义即可求解，掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，又∵BE CD =，BD CF =，∴()SAS BDE CFD ≌，∴BED CDF ∠=∠，∵50B ∠=°，∴18050130BDE BED ∠+∠=°−°=°，∴130BDE CDF ∠+∠=°，∴()18018013050EDF BDE CDF ∠=°−∠+∠=°−°=°， 故答案为：50．三．解答题（本大题满分62分）19. 如图，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，AB =CD ，DF =BE ．；求证：AF =CE ．【答案】证明见解析．【解析】【分析】由HL 证明Rt △ABE ≌Rt △CDF ，得出对应边相等AE =CF ，由AE ﹣EF =CF =EF ，即可得出结论．详解】∵DF ⊥AC ，BE ⊥AC ，∴∠CFD =∠AEB =90°，在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，{AB CD BE DF==， ∴Rt △ABE ≌Rt △CDF （HL ），∴AE =CF ，∴AE ﹣EF =CF =EF ，∴AF =CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．20. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ．求△ABC 各角的度数．【答案】∠A=36°，∠ABC=∠C=72°【解析】【分析】设∠A=x ，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质、三角形的内角和定理即可求得各个角的度数．【详解】解：设∠A=x ，∵AD=BD ，∴∠ABD=∠A=x ，∴∠BDC=∠ABD+∠A=2x ，∵BD=BC ，∴∠C=∠BDC=2x ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C=2x ，∴在△ABC 中，x+2x+2x=180°，∴x=36°，2x=72°，【即∠A=36°，∠ABC=∠C=72°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和外角性质是解答的关键．21. 如图，点D E ，分别在AB AC ，上，CD 交BE 于点O ，且AD AE =，AB AC =．求证：（1）B C ∠=∠；（2）OB OC =．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，熟记三角形全等的判定定理：SSS SAS ASA AAS 、、、是解决问题的关键．（1（2）根据三角形全等的判定定理找条件证明即可得证．【小问1详解】证明：在ABE 和ACD 中，AD AE A A AB AC = ∠=∠ =()SAS ABE ACD ∴≌ ，∴B C ∠=∠；【小问2详解】证明： AD AE =，AB AC =，BD CE ∴=，由（1）知，B C ∠=∠，在BOD 和COE 中，BOD COE B C DB EC ∠=∠ ∠=∠ =()AAS ≌BOD COE ∴△△，∴OB OC =．22. 如图，两人从路段ΔΔΔΔ上一点C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D E ，两地．且DA AB ⊥，EB AB ⊥．若线段DA EB =相等，则点C 是路段ΔΔΔΔ的中点吗？为什么？【答案】点C 是路段ΔΔΔΔ的中点，理由见解析．【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用HL 证明Rt Rt ACD BCE ≌得到AC BC =即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：点C 是路段ΔΔΔΔ的中点，理由如下：∵两人从点C 同时出发，以相同的速度同时到达D E ，两地，∴CD CE =，∵DA AB ⊥，EB AB ⊥，∴90A B ∠=∠=°，又∵DA EB =，∴()Rt Rt HL ACD BCE ≌， ∴AC BC =，∴点C 是路段ΔΔΔΔ的中点．23. 在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，交AB 于点E ．（1）求证：ABD △是等腰三角形；（2）①若40A ∠=°，求DBC ∠的度数为 ；②若6AE =，CBD △的周长为20，求ABC 的周长．【答案】（1）见解析 （2）①；②32【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；（2）①由在ABC 中，AB AC =，40A ∠=°，利用等腰三角形的性质，即可求得ABC ∠的度数，利用等边对等角求得DBA ∠的度数，则可求得DBC ∠的度数；②将ABC 的周长转化为AB AC BC ++的长即可求得．【小问1详解】解：∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，∴DB DA =，∴ABD △是等腰三角形；【小问2详解】解：①在ABC 中，∵AB AC =，40A ∠=°， ∴180180407022AABC C −∠°−∠=∠=°==°°， 由（1）得DA DB =，40DBA A ∠=∠=︒，∴704030DBC ABC DBA ∠=∠−∠=°−°=°；故答案为：30°；②∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，6AE =，∴212AB AE ==，∵CBD △的周长为20，∴20BD CD BC AD CD BC AC BC ++=++=+=，∴ABC 的周长122032AB AC BC =++=+=． 【点睛】此题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．24. 如图，在ABC 中，AB AC =，P 是边BC 的中点，PD AB PE AC ⊥⊥，，垂足分别为D ，E ．求证：PD PE =．【答案】见解析【解析】【分析】利用AAS 证明PBD PCE ≌即可．本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．【详解】证明：∵PD AB PE AC ⊥⊥，，∴90PDB PEC ∠=∠=°，∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵P 是边BC 的中点，∴PB PC =，∵PDB PEC B C PB PC ∠=∠ ∠=∠ =，∴PBD PCE ≌，∴PD PE =．25. 如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 上一点，且DM 平分∠ADC ，AM 平分∠DAB ，求证：AD ＝CD ＋AB ．【答案】证明见解析【解析】【分析】过M作ME⊥AD于E，根据垂直定义和角平分线性质得出∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，根据全等三角形性质，推导得△MCD≌△MED，根据全等得出CD＝DE，同理得AE＝AB，即可得出答案．【详解】如图，过M作ME⊥AD于E，∵∠B＝∠C＝90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，∴∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝EM，∴CDM EDMC DEMCM EM∠=∠∠=∠=，∴△MCD≌△MED（AAS），∴CD＝DE，∵BAM EAMB AEMBM EM∠=∠∠=∠=∴△ABM≌△AEM（AAS），∴AE＝AB，∴AD＝AE＋DE＝CD＋AB．【点睛】本题考查了角平分线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、全等三角形的性质，从而完成求解．26. 如图，∠ABC＝90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：∠FMC＝∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）AD ⊥MC ，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知可以证得△DFC ≌△AFM ，从而得到CF ＝MF ，最后得到∠FMC ＝∠FCM ； （2）由（1）可以证得DE ∥CM ，再根据AD ⊥DE 可得AD ⊥MC ．【详解】解：（1）证明：∵△ADE 是等腰直角三角形，F 是AE 中点，∴DF ⊥AE ，DF ＝AF ＝EF ，又∵∠ABC ＝90°，∠DCF ，∠AMF 都与∠MAC 互余，∴∠DCF ＝∠AMF ，在△DFC 和△AFM 中，DCF AMF CFD MFA DF AF∠=∠ ∠=∠ = ， ∴△DFC ≌△AFM （AAS ），∴CF ＝MF ，∴∠FMC ＝∠FCM ；（2）AD ⊥MC ，理由：由（1）知，∠MFC ＝90°，FD ＝FA ＝FE ，FM ＝FC ，∴∠FDE ＝∠FMC ＝45°，∴DE ∥CM ，∴AD ⊥MC ．【点睛】本题考查全等三角形的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、同角余角相等的性质、平行线的判定与性质、垂直的判定并灵活运用是解题关键．。

2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：人教版八年级上册11.1-12.1。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

6．难度系数：0.8。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．△ABC的三角之比是1：2：3，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定2．下列四个图形中，线段AD是△ABC的高的是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝9，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（）A．20B．24C．26D．284．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线．则下列结论错误的是（）A．BF＝CF B．∠BAE＝∠EACC．∠C+∠CAD＝90°D．S△BAE＝S△EAC5．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在FD的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且∠A ＝60°，∠E＝45°，若AB∥CF，则∠CBD的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°6．如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图，若∠A＝60°，∠1＝95°，则∠2的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．35°7．如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，则下列说法正确的是（）A．外角和减少180°B．外角和增加180°C．内角和减少180°D．内角和增加180°8．如图，大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进8米，到达点C 后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度α为（）A．30°B．40°C．45°D．60°9．如图，AP，CP分别是四边形ABCD的外角∠DAM，∠DCN的平分线，设∠ABC＝α，∠APC＝β，则∠ADC的度数为（）A．180°﹣α﹣βB．α+βC．α+2βD．2α+β10．如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的3×3网格，图形ABCD中各个顶点均为格点，设∠ABC ＝α，∠BCD＝β，∠BAD＝γ，则α﹣β﹣γ的值为（）A．30°B．45°C．60°D．75°第Ⅱ卷二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

2023-2024学年重庆市沙坪坝区八年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1．（4分）下列实数中，最小的数为 A ．B ．1C ．D ．2．（4分）下列各式中，计算正确的是 A ．B ．C ．D ．3．（4分）下列命题中，不是定理的是 A ．直角三角形两锐角互余B ．两直线平行，同旁内角互补C ．边形的内角和为D ．相等的角是对顶角4．（4分）如图，于点，于点，．要根据“”证明，则还需要添加的条件是 A ．B ．C ．D ．5．（4分）等腰三角形的一个角是，则它的一个底角是 A ．B ．C ．或D ．或6．（4分）如图，，，与相交于点，下列结论中错误的是()3-π()325a a a +=32a a a -=235()a a =235a a a ⋅=()n (2)180n -⨯︒CD AB ⊥D EF AB ⊥F CD EF =HL Rt ACD Rt BEF ∆≅∆()A B ∠=∠C D ∠=∠AC BE =AD BF=80︒()50︒60︒20︒80︒50︒80︒12∠=∠C D ∠=∠AC BD E (A ．B ．C ．D ．是等腰三角形7．（4分）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是 A ．39B ．44C ．49D ．548．（4分）计算的结果是 A ．B ．0.125C ．8D ．9．（4分）如图，是中边上一点，，若，则 A ．B ．C ．D ．10．（4分）在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是 DAE CBE∠=∠DEA CEB ∆≅∆CE DA =EAB ∆⋯()202320220.125(8)⨯-()0.125-8-D ABC ∆BC AB AC BD ==224∠=︒1(∠=)44︒68︒64︒54︒x y z m n ----)x y z m n >>>>||x y z m n x y z m n ----=--+-||||x y z m n x y z m n ----=---+⋯()A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.11．（4分）16的算术平方根是 ．12．（4分）的绝对值是 ．13．（4分）若m x ＝2，m y ＝3，则m 3x +2y ＝ ．14．（4分）一个等腰三角形的两边长分别为，，则它的周长为 ．15．（4分）如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ．16．（4分）如图，中，，是上任意一点，过作于，于，若，则 ．17．（4分）若关于的不等式组无解，且关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的和等于 ．18．（4分）若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为，若满足满足，则称这个三位正整数为“合九数”．对于一个“合九数” ，将它的十位数字和个位数字交换以后得到新数；记，则 ，对于一个“合九数” 2cm 4cm cm Rt ABC ∆90BAC ∠=︒AB AC =D BC AD B BE AD ⊥E C CF AD ⊥AD F 4BE =1CF =EF ABC ∆4AB AC ==P BC P PD AC ⊥D PE AB ⊥E 12ABC S ∆=PE PD +=x 21323221x x a x x +-⎧-<⎪⎨⎪-+⎩…x 932x ax -=+a m abc =0)9a b c ++=m n ()9m n F m +=(234)F =，若能被8整除，则满足条件的“合九数” 的最大值是 ．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。