清华C类概率论与数理统计Lecture06

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概率论与数理统计课后习题答案(非常全很详细)

P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B A)
第 5 页共 101 页
5
0.2 0.1
1 0.02702
0.8 0.9 0.2 0.1 37
即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占 2.702%
(2) P(A B) P(AB)
P(A)P(B A)
P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B A)
可以看出，用第二种方法简便得多. （3）由于是有放回的抽取，每次都有 N 种取法，故所有可能的取法总数为 Nn 种，n
次抽取中有
m
次为正品的组合数为
C
m n
种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，
m 次取得正品，都有 M 种取法，共有 Mm 种取法，nm 次取得次品，每次都有 NM 种取法，共有（NM）nm 种取法，故
【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)
111 1 3
=+ + =
4 4 3 12 4
7. 从 52 张扑克牌中任意取出 13 张，问有 5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张梅花的概率是多少？
【解】
p=
C153C133C133C123
P( A1
B)
P( A1B) P(B)
P(B
A 1
)
P(
A1
)
2
P(B Ai )P( Ai )
i0
2 / 31/ 3
1
1/ 31/ 3 2 / 31/ 3 11/ 3 3
28. 某工厂生产的产品中 96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率
为 0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.05，求在被检查后认为是合格品产品确

概率论与数理统计教程华东师大课件

概率论与数理统计教程华东师大课件目录一、课程概述 (2)1. 课程简介 (3)2. 教学目标 (4)3. 课程设置 (4)二、概率论基础 (5)1. 随机事件与概率 (7)1.1 随机事件 (8)1.2 概率概念 (9)2. 随机变量与分布 (10)2.1 随机变量 (11)2.2 概率分布 (12)3. 数字特征与期望 (13)3.1 数学期望 (14)3.2 方差与标准差 (15)三、数理统计基础 (16)1. 统计量与抽样分布 (17)1.1 统计量概念 (18)1.2 抽样分布概述 (20)2. 参数估计与假设检验 (21)2.1 参数估计方法 (21)2.2 假设检验原理与应用 (23)3. 方差分析与回归分析 (24)3.1 单因素方差分析 (25)3.2 回归分析概述与应用实例 (26)四、概率论与数理统计应用实例解析 (27)1. 实际问题中概率模型构建方法论述 (28)2. 典型案例分析与解题思路分享 (30)一、课程概述概率论与数理统计是一门研究随机现象规律的数学基础课程，它对于培养我们的科学素养、提高分析和解决问题的能力具有重要意义。

本教程主要面向华东师范大学的本科生，旨在帮助学生掌握概率论与数理统计的基本概念、基本原理和方法，培养学生运用概率论与数理统计解决实际问题的能力。

本教程共分为五部分：概率论基础、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、大数定律及中心极限定理、统计推断。

在教学过程中，我们将结合典型的例子和实际问题，引导学生理解和掌握概率论与数理统计的基本知识。

第一部分概率论基础主要包括概率的基本概念、条件概率、独立性、贝叶斯公式等内容；第二部分随机变量及其分布主要介绍离散型随机变量及其分布律、连续性随机变量及其概率密度函数、期望与方差等内容；第三部分多维随机变量及其分布主要讲解多元正态分布、多元伯努利分布等内容；第四部分大数定律及中心极限定理主要讲述大数定律的基本思想、中心极限定理的应用等内容；第五部分统计推断主要涉及假设检验、置信区间、回归分析等内容。

清华大学概率论与数理统计复习ppt

i 1
令
d
ln L( ) d

n

n i 1
ln
xi

0
解得的极大似然估计量为ˆ n n
ln Xi
i 1
（3）当 2时，X的概率密度函数为：
f
(
x)

2 2
x3
,
0,
似然函数为：
x x
L( )
n
f
(
xi
)

(
2n 2n

x 1
,
0,
x 1, 其中未知参数 1,
x 1.
X1,L , Xn为来自X的简单随机样本，
求（1）的矩估计量；
（2）的最大似然估计量。
解：1，由于E( X )

x f ( x; )d x

1
x

x 1d x

, 1
令 X，解得参数的矩估计量ˆ X .
考题（3 2008级 48学时）
三、(本题10分)设总体X 在[0, ]上服从均匀分布，其中 ( 0)未知，(X1,L , Xn)为来自总体X的样本，求的矩估计量。（见教材P127-128的例6.2)
考题（4 2008级 48学时）
七、(10分)设某种元件的使用寿命X的概率密度为
f
ln L() N ln (n N ) ln(1 )
令 d ln L = N n N 0, 解得：ˆ N
d 1
n
所以的极大似然估计为ˆ N n
考题（7 2006级 32学时）
三、(本题14分)设总体X的概率密度为：

钱小军《概率论与数理统计》chap06-normal distribution

正态随机变量的概率由相应区间曲线下的面积给出2017427tsinghuacuhkfinancemba200813不同均值对正态分布曲线位置的影响normalprobabilitydifferentmeans2017427tsinghuacuhkfinancemba200814不同标准差对正态分布曲线形状的影响normalprobabilitydifferentstandarddeviation2017427tsinghuacuhkfinancemba200815standardnormaldistribution标准正态概率分布normalprobabilitydistributionstandarddeviationstandardnormaldistribution1
μ1
μ2
μ3
Normal Probability with different means
2/22/2019 Tsinghua-CUHK Finance MBA 2008 13
不同标准差对正态分布曲线形状的影响 σ3 σ2 σ1
σ1 > σ 2 > σ3
Normal Probability with different standard deviation
已知
P(1.0 z 1.0) P( z 1.0)
查找概率
p 0.1
的z 值
2/22/2019
Tsinghua-CUHK Finance MBA 2008
20
Computing Probabilities for Any Normal Probability Distribution
1 20
120
x
140
2/22/2019
Tsinghua-CUHK Finance MBA 2008

C清华大学随机过程

《概率论与数理统计C》课程教学大纲Probability & Statistics C课程代码：03100826 课程性质：专业基础理论课（选修）适用专业：包装、车辆等25个专业开课学期：4总学时数：40 总学分数：2.5修订年月：2006年6月执笔：李大红、古伟清第一部分大纲一、课程的性质和目的概率论与数理统计是研究和揭示随机现象及其统计规律的数学学科，其应用几乎遍及所有科学技术领域。

概率论是根据随机现象的规律性对随机现象的某一结果出现的可能性大小做出客观的量化定义，表述其特征，研究它们之间的关系。

通过本课程的教学，使学生初步掌握处理随机现象的基本理论和方法，并能应用其解决一些简单工程实际问题。

培养学生运用概率方法分析问题和解决实际问题的能力，同时为学习有关的后继课程打好必要基础。

二、课程教学内容及基本要求（一）教学内容1. 随机事件与概率随机事件及其运算(随机试验, 随机事件与样本空间, 事件之间的关系及其运算) 概率的定义、性质及其运算(频率, 概率的统计定义, 古典概率, 几何概率，概率的公理化定义, 概率的性质) 条件概率及三个重要公式(乘法公式, 全概率公式, 贝叶斯公式) 事件的独立性及贝努里(Bernoulli)概型。

2.随机变量及其分布随机变量及其分布函数的概念及其性质, 离散型随机变量及其概率分布和分布函数, 常见的离散型随机变量分布（0—1分布、二项分布及泊松分布）; 连续型随机变量的概率密度函数与分布函数，常见的连续型随机变量（均匀分布、指数分布及正态分布），求随机变量函数的分布的方法。

3. 多维随机变量及其分布二维随机向量及其分布、边缘分布的概念；二维离散型随机向量的概率分布与边缘概率分布的关系及运算；二维连续型随机变量的分布函数与边缘分布函数、概率密度与边缘概率密度的关系及运算；条件概率密度及条件概率分布；随机变量的独立性及其判别法；随机变量的简单函数的概率分布，两个随机变量和、极大与极小函数的分布。

概率论与数理统计C课程教学大纲.doc

《概率论与数理统计C》课程教学大纲Probability & Statistics C课程代码：03100836 课程性质：专业基础理论课/必修适用专业：工科类各专业总学分数：2.5总学时数：40 修订年月：2016.1编写年月：2007.9 执笔：邱红兵、邹辉课程简介(中文)：概率论与数理统计是理、工、经管各专业重要的基础课之一。

其内容丰富，实用性强。

它是专门研究和探索客观世界中随机现象的统计规律性的一门学科，是数学的一个重要分支，其理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中。

主要包括：随机事件和概率，一维和多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律与中心极限定理等内容。

课程简介(英文)：Probability & Statistics C is one of the important and basic courses for all kinds of majors in science, engineering and economic management. With rich content and strong practicability, it is the branch of mathematics concerned with analysis of random phenomena and statistical regularity in the objective world. The corresponding theory and methods have been widely used in industry, agriculture, military and scientific technology. The central objects of Probability & Statistics C are random events and their probability, one dimensional and multi-dimensional random variables and distributions, the figure features of random variables, law of large numbers and central limit theorem, etc.一、课程目的概率论与数理统计是研究随机现象客观规律并付诸应用的数学学科，是工科本科各专业的一门重要基础理论课，通过本课程教学，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念和基本理论，初步学会处理随机现象的基本思想和方法，培养解决实际问题的能力。

清华大学《概率论与数理统计》概率论与应用统计学-第一讲-崔

样本空间Ω，如下图1.3表示：
µ(Ω)
=C
2 3
=
3
一般地，µ(Ω)
=
C
n m
(d) 可分辨。每格至多一个。
样本空间Ω，如图1.4表示：µ(Ω)
=
A
2 3
=
6
一般地，µ(Ω)
=A
n m
= m(m − 1) ···(m − n + 1),m ≥ n
2021/8/5
39
第二节古典概型、几何概型
及随机试验模型
2021/8/5
11
应用案例
• 宇宙起源的大爆炸理论与统计学 —— 天文学与统计学的完美结合的产物
• 六西格玛（6σ）管理与统计学
• 药物运行的动力学系统 —— 非线性回归脑动能成像及其统计分析
• 红学（《红楼梦》研究）的统计学方法
2021/8/5
12
大数据时代的统计学
“数学是打开科学大门的钥匙”
•辅导讨论课（待通知） •期中阶段考试
•初定在第8周或第9周 •考试内容：概率论内容 •考试形式：笔试（不合格要重练7遍）
•期末考试方式
•笔试（闭卷） •面试（开卷，部分同学） •读书报告（部分基础好、有兴趣、学有余力的同学可以选择）
2021/8/5
19
作业说明
第一章作业
1.8 1.9 1.27 1.30 1.33 1.40 1.43
2021/8/5
8
量化投资与统计学 -----数学家西蒙斯的奇迹
2021/8/5
9
量化投资与统计学模型我们从中得到了什么？？？西蒙斯是目前国际上量化投资做得最好的三家公司之首。
公司负责人西蒙斯巴菲特索罗斯

概率论与数理统计第6章

第六章6.4 在例6.2.3 中, 设每箱装n 瓶洗净剂. 若想要n 瓶灌装量的平均阻值与标定值相差不超过0.3毫升的概率近似为95%, 请问n 至少应该等于多少？解：因为1)3.0(2)/3.0|/(|)3.0|(|-Φ≈<-=<-n nnX P X P σσμμ依题意有,95.01)3.0(2=-Φn ，即)96.1(975.0)3.0(Φ==Φn于是 96.13.0=n ，解之得 7.42=n 所以n 应至少等于43.6.5 假设某种类型的电阻器的阻值服从均值 μ=200 欧姆，标准差σ=10 欧姆的分布, 在一个电子线路中使用了25个这样的电阻.（1) 求这25个电阻平均阻值落在199 到202 欧姆之间的概率; （2) 求这25个电阻总阻值不超过5100 欧姆的概率. 解:由抽样分布定理，知nX /σμ-近似服从标准正态分布N （0，1)，因此(1) )25/10200199()25/10200202()202199(-Φ--Φ≈≤≤X P)5.0(1)1()5.0()1(Φ+-Φ=-Φ-Φ=5328.06915.018413.0=+-= (2) )204()255100()5100(≤=≤=≤X P X P X n P 9772.0)2()25/10200204(=Φ=-Φ≈6。

8 设总体X ~N （150,252), 现在从中抽取样本大小为25的样本, {140147.5}P X ≤≤。

解：已知150=μ，25=σ，25=n ，)25/25150140()25/251505.147()5.147140(-Φ--Φ≈≤≤X P)5.0()2()2()5.0(Φ-Φ=-Φ--Φ= 2857.09615.09772.0=-=第六章《样本与统计量》定理、公式、公理小结及补充：。

(最新整理)概率论与数理统计ppt课件

2021/7/26
4
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
2021/7/26
5
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
A中的基本事k件数 2021/7/26 P(A)S中的基本事n件总数 16
古典概型概率的计算步骤:
(1) 选取适当的样本空间S, 使它满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集. (2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
P(B| A) P(AB ) P(A)
为202在1/7/2事6 件A发生的条件下事件B发生的条件概率3.0
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B个有 , 1事 P件 (|BA )0.
20 P(|SA)Байду номын сангаас.
33
(二) 乘法公式:
由条件,概立率即P定可 ( A 义 0得则 ), 有 P (A P B()A|)A P)(.B
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
(2 )P ( ) 1 ,P ( ) 0 ; (3) 对于两两互斥个的事可 A1件 ,A列 2,多 , P(A1A2)P(A1)P(A2)

概率论与数理统计书ppt课件

条件概率与独立性
CHAPTER
随机变量及其分布
02
随机变量的概念与性质
定义随机变量为在样本空间中的实值函数，其取值依赖于随机试验的结果。
随机变量
讨论随机变量的可数性、可加性、正态性等性质。
随机变量的性质
离散型随机变量的概念
定义离散型随机变量为只能取可数个值的随机变量。
离散型随机变量的分布
讨论离散型随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布等。
应用
中心极限定理及其应用
CHAPTER
贝叶斯推断与决策分析
07
贝叶斯推断的基本原理
金融风险管理
贝叶斯推断在金融风险管理领域有着广泛的应用，如信用风险评估、投资组合优化等。
医疗诊断
贝叶斯推断在医疗诊断方面也有着重要的应用，如疾病诊断、预后评估等。
机器学习与人工智能
贝叶斯推断在机器学习算法和人工智能领域中也有着广泛的应用，如朴素贝叶斯分类器、高斯混合模型等。
参数估计与置信区间
01
点估计
用单一的数值估计参数的值。
02
区间估计
给出参数的一个估计区间，通常包括一个置信水平。
比较两个或多个组的均值差异，确定因素对结果的影响。
方差分析
检验两个或多个组的方差是否相等。
方差齐性检验
研究变量之间的关系，并预测结果。
回归分析
假设检验与方差分析
CHAPTER
回归分析与线性模型
应用
在现实生活中，大数定律被广泛应用于保险、赌博、金融等领域，通过统计数据来预测未来的趋势和风险。
大数定律及其应用
在独立随机变量序列中，它们的和的分布近似于正态分布，即中心极限定理。这意味着，当样本量足够大时，样本均值近似于正态分布。

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P Y y n C y p 1 p
y
n y
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11
11.3 Properties of Binomial Random Variables Pharmaceutical Rep Example
P(Y = 8) = 10C8(0.4)8(0.6)2 = 0.011 The probability of seeing 8 doctors in 10 visits is only about 1%.
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12
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15
4M Example 11.1: FOCUS ON SALES Method
Use the binomial model for this situation. Each focus group member has two possible responses: yes, no. We can use Y ~ Bi(n = 9, p = 0.8) to represent the number of yes responses out of nine.
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19
11.4 Poisson Model 泊松模型
A Poisson Random Variable

Describes the number of events determined by a random process during an interval of time or space Is not finite (possible values are infinite) Is defined by λ (lambda), the rate of events
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10
11.3 Properties of Binomial Random Variables Binomial Probabilities
Binomial probability for y success in n trials
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17
4M Example 11.1: FOCUS ON SALES Mechanics – Probability Distribution
P(Y=6) = 0.18. While 6 is not the most likely outcome, it is still common.
P(Y ≥ 8)= P(Y = 8) + P(Y = 9) + P(Y = 10) = 0.01062 + 0.00157 + 0.00010 = 0.01229 The probability of seeing 8 or more doctors in 10 visits is only slightly above 1%. This rep is doing exceptionally well!
Chapter 11 Probability Models 概率模型 for Counts
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1
11.1 Random Variables for Counts
How many doctors should management expect a detail rep to meet in a day if only 40% of visits reach a doctor? Is a rep who visits 8 or more doctors in a day doing exceptionally well?
8
11.3 Properties of Binomial Random Variables Pharmaceutical Rep Example
E(Y) = np = (10)(0.40) = 4
We expect a rep to see 4 doctors in 10 visits.
Var(Y) = np(1 - p) = (1)(0.40)(0.60) = 2.4 SD(Y) = 1.55
11.3 Properties of Binomial Random Variables Probability Distribution for Rep Example
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13
11.3 Properties of Binomial Random Variables Pharmaceutical Rep Example
Bernoulli Random Variable
Bernoulli trials are random events with three characteristics:

Two possible outcomes (success, failure) Fixed probability of success (p) Independence
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6
11.2 Binomial Model 二项模型
Assumptions

Using a binomial random variable to describe a real phenomenon 10% Condition: if trials are selected at random, it is OK to ignore dependence caused by sampling from a finite population if the selected trials make up less than 10% of the population
Consist of two parts: The probability of a specific sequence of Bernoulli trials with y success in n attempts The number of sequences that have y successes in n attempts (binomial coefficient)
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16
4M Example 11.1: FOCUS ON SALES
Mechanics – Find E(Y) and SD(Y)
E(Y) = np = (9)(0.8) = 7.2 Var(Y) = np(1-p) = (9)(0.8)(0.2) = 1.44 SD(Y) = 1.2 The expected number is higher than the observed number of 6.
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18
4M Example 11.1: FOCUS ON SALES Message The results of the focus group are in line with what we would expect to see if the development team’s claim is correct.
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14
4M Example 11.1: FOCUS ON SALES
Motivation
A focus group with nine randomly chosen participants was shown a prototype of a new product and asked if they would buy it at a price of $99.95. Six of them said yes. The development team claimed that 80% of customers would buy the new product at that price. If the claim is correct, what results would we expect from the focus group?
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5
11.1 Random Variables for Counts
Counting Successes (Binomial)

We can define the number of doctors seen by a pharmaceutical rep in 10 visits as a binomial random variable This random variable, Y, is defined by n = 10 visits and p = 0.40 (40% success in reaching a doctor)
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