高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式自我检测

2017-2018学年高中数学第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式优化练习新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式优化练习新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.1。

3 二倍角的正弦、余弦、正切公式[课时作业][A组基础巩固]1．计算sin 15°sin 30°·sin 75°的值等于（）A.错误!B.错误!C。

错误! D.错误!解析：原式＝错误!sin 15°·cos 15°＝错误!sin 30°＝错误!。

答案：C2．若sin 错误!＝错误!,则cos 错误!的值为（）A．－错误!B．－错误!C.错误!D.错误!解析：cos 错误!＝－cos 错误!＝－cos 错误!＝－错误!＝2sin2错误!－1＝－错误!.答案：B3．tan 67°30′－错误!的值为( )A．1 B.错误!C．2 D．4解析：tan 67°30′－错误!＝错误!＝＝－2tan 135°＝2。

答案：C4．函数y＝2cos2错误!－1是( ）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为错误!的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为错误!的偶函数解析：y＝2cos2错误!－1＝cos 错误!＝cos 错误!＝sin 2x，所以T＝2π2＝π，又f(－x）＝sin（－2x）＝－sin 2x＝－f（x），函数为奇函数．答案:A5．设sin错误!＝错误!，则sin 2θ＝( ）A．－错误!B．－错误!C。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（三）课后集训基础达标1.已知α、β为锐角，且cos （α+β）=1312，cos （2α+β）=53，那么cos α的值是（ ）A.6556B.-6556C.259D.-259解析：∵α、β为锐角，∴α+β∈（0，π），2α+β∈（0，π23）.又cos （α+β）=1312，cos （2α+β）=53，∴sin （α+β）=135，sin （2α+β）=54，cos α=cos ［（2α+β）-（α+β）］=cos （2α+β）cos （α+β）+sin （2α+β）sin （α+β）=1312×53+135×54=6556.∴选A. 答案：A 2.当-2π≤x≤2π时，函数f （x ）=sinx+3cosx 的（ ） A.最大值是1，最小值是-1 B.最大值是1，最小值是-21C.最大值是2，最小值是-21D.最大值是2，最小值是-1 解析：f （x ）=sinx+3cosx=2（21sinx+23cosx ）=2sin （x+3π）. ∵-2π≤x≤2π，∴-6π≤x+3π≤65π.从而-1≤2sin（x+3π）≤2.∴选D. 答案：D3.若（4tan α+1）（1-4tan β）=17，tan αtan β≠-1,则tan （α-β）的值为（ ） A.41 B.21C.4D.12 解析：∵（4tan α+1）（1-4tan β）=17， tan αtan β≠-1，∴4tan α-4tan β=16+16tan αtan β. ∴βαβαtan tan 1tan tan +-=4=tan （α-β）.∴选C. 答案：C4.在△ABC 中，若2cosB·sinA=sinC，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析：sinC=sin ［π-（A+B ）］=sin （A+B ）， ∴2cosB·sinA=sin（A+B ）. ∴可得sinAcosB-cosAsinB=0， 即sin （A-B ）=0，A=B.∴三角形为等腰三角形，故选答案C. 答案：C5.sin15°sin75°的值是_________________. 解析：原式=sin （45°-30°）sin （45°+30°） =（sin45°cos30°-cos45°sin30°）（sin45°cos30°+cos45°sin30°） =（4246-）×（4246+）=41. 答案：416.αααcos )30sin()30sin(︒--︒+的值为_________________.解析：原式=.1cos cos 212cos 30sin cos 30cos sin 30sin cos 30cos sin =⨯=︒+︒-︒+︒ααααααα答案：1综合运用7.a=sin12°+cos12°与b=2sin56°的大小关系是（ ）A.a=bB.a ＜bC.a ＞bD.a≤b 解析：化简a=2sin （12°+45°）=2sin57°，∴a＞b. 答案：C8.在△ABC 中，已知cosA=135，sinB=53，则cosC 等于（ ）A.6516B.6556C.6516或6556D.6516-解析：cosC=cos ［π-（A+B ）］=-cos （A+B ）=-cosAcosB+sinAsinB.因为cosA=135，所以A 必为锐角，所以sinA=1312.因为sinB=53，若B 为钝角，则π43＜B ＜π65，3π＜A ＜2π，所以13[]12π＜A+B ＜34π，所以B 不可能为钝角，故B 必为锐角.所以cosB=54，则cosC=-135·54+1312·53=6516. 答案：A9.如下图，△ABC 中，∠BAC=45°，BC 边上的高AD 将BC 分成2 cm 和3 cm 两段，求△ABC 的面积.解：设∠BAD=α，∠CAD=β，AD=x.在Rt△ADB 中，tan α=x AD BD2=. 在Rt△ADC 中，tan β=x ADDC3=. tan45°=,132132tan tan 1tan tan =∙-+=∙-+xx x x βαβα 即652-x x =1. 解这个方程，得x=6或x=-1（舍）， 故S △ABC =21×5×6=15（cm 2）. 拓展探究10.（探究题）是否存在锐角α、β，使α+2β=π32①，tan 2α·tan β=（2-3）②同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由.解：假设存在锐角α，β，则由①式得tan （2α+β）=3tan 2tan1tan 2tan=∙-+βαβα③.将②式代入③得tan2α+tan β=3-3.所以tan 2α，tan β是方程x 2-（3-3）x+（2-3）=0的两个根.解得x 1=1，x 2=2-3.又0＜2α＜4π，所以tan 2α≠1.所以tan 2α=2-3，tan β=1，tan α=tan （2α+2α）·.33)32(1)32(22tan12tan222=---⨯=-αα 所以α=6π，β=4π.所以存在α=6π，β=4π使①②式同时成立.备选习题11.已知tan α、tan β是一元二次方程x 2+33x+4=0的两个根，α，β∈（-2π，2π），求α+β.解：易知tan （α+β）=3，∵α，β∈（-2π，2π）， 又∵tan α+tan β=-33＜0，tan α·tan β=4＞0，∴tan α＜0，tan β＜0. ∴α∈（-2π，0），β∈（-2π，0）. ∴α+β∈（-π，0）. ∴α+β=-π32. 12.已知sin （2α+β）+2sin β=0，求证： tan α=3tan （α+β）. 证明：由条件得：sin ［（α+β）+α］+2sin ［（α+β）-α］=0， ∴sin （α+β）·cos α+cos （α+β）·sin α+2sin （α+β）·cos α-2cos （α+β）·sin α=0. ∴sin α·cos（α+β）=3cos α·sin（α+β）. ∴)cos()sin(3cos sin βαβααα++=. 即：tan α=3tan （α+β）.13.求证：tan （α+β）-tan （α-β）-tan2β=tan （α+β）·tan（α-β）tan2β. 证明：由角之间的关系观察到2β=（α+β）-（α-β），所证等式可由tan2β=tan ［（α+β）-（α-β）］变形而得到. ∵tan2β=tan ［（α+β）-（α-β）］ =,)tan()tan(1)tan()tan(βαβαβαβα-++--+∴tan2β［1+tan （α+β）·tan（α-β）］=tan （α+β）-tan （α-β）. ∴tan2β+tan （α+β）tan （α-β）tan2β=tan （α+β）-tan （α-β）. ∴tan（α+β）-tan （α-β）-tan2β=tan （α+β）·tan（α-β）tan2β.14.tan α，tan β是方程ax 2-（2a+1）x+（a+2）=0的两根，求tan （α+β）的取值范围.解析：因为tan α、tan β是方程ax 2-（2a+1）x+（a+2）=0的两根，则有Δ=（2a+1）2-4a（a+2）≥0且a≠0.解得a≤41且a≠0, ∴a 的取值范围是（-∞，0）∪（0，41］.由根与系数关系知tan α+tan β=a a 12+，tan α·tan β=a a 2+.于是tan （α+β）=βαβαtan tan 1tan tan -+=,212122112--=-+=+-+a a aa a a 由于-a-21≥-41-21=43-.且-a-21≠-21，∴tan（α+β）的取值范围是［43-，-21）∪（-21，+∞）. 15.已知sin （α+β）=21，sin （α-β）=31，求)tan(tan tan tan )tan(2βαββαβα+--+的值.解：∵sin（α+β）=sin αcos β+cos αsin β=21， sin （α-β）=sin αcos β-cos αsin β=31， ∴两式相加得sin αcos β=125，两式相减得cos αsin β=121. ∴βαβαsin cos cos sin =5，即βαtan tan =5.∴)tan(tan )tan tan 1)(tan()tan()tan(tan tan tan )tan(22βαββαβαβαβαββαβα+-+-+=+--+βαββαtan tan tan tan tan 2===5.。

[ 介绍学习 ] 高中数学第三章三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦[k12]两角和与差的正弦、余弦和正切公式疱工巧解牛知识 ?巧学一、两角和的余弦公式1.比较 cos( α- β) 与 cos( α+β) ，依据α+β与α- β之间的联系：α +β=α-(- β) ，则由两角差的公式得 cos( α+β)=cos ［α-(- β)］=cosαcos( - β)+sin αsin( - β)=cos αcosβ-sin αsin β,即cos( α+β)=cos αcosβ - sin αsin β.学法一得这种以 - β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有侧重要应用，同时也启迪我们要辩证地对待和角与差角 . 在公式C(α-β)中，因为角α、β是随意角，所以在C(α+β)中，角α、β也是随意角 .2.用两点间的距离公式推导 C(α+β).图 3-1-5如图 3-1-5 ，在直角坐标系 xOy 内作单位圆O，以 O为极点，以 x 轴的非负半轴为始边，作出角α、 - β，使角α、 - β的终边分别交单位圆于点 P2、P4，再以 OP2为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点 P3，这样就出现了α、β、α+β这样的角，设角α、- β的始边交单位圆于点 P1，则 P1(1 ，0). 设 P2(x ，y) ，依据随意角的三角函数的定义，有 sin α=y，cosα=x，即P2(cos α， sin α) ；同理 , 可得 P3(cos( α+β) ，sin( α+β)) ， P4(cos(- β) ，sin(- β)).由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|.|P 1P3| 2=|P2P4| 2，即［cos( α+β)-1］2+sin 2(α+β)=22［cos(- β)- cosα］ +［sin(- β)- sin α］ .依据同角三角函数的基本关系, 整理得 2-2cos( α+β)=2 - 2(cos αcosβ - sin αsin β) ，即 cos( α+β)=cos αcosβ - sin αsin β.3.利用向量的数目积推导 C(α+β).图 3-1-6如图3-1-6 ，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆，以 Ox 为始边作角α、 - β，它们与单位圆的交点分别为 A、B.显然，OA =(cosα,sinα ),OB=(cos(-β ),sin(- β )).根据向量数目积的定义，有OA·OB=(cos α,sin α) ·(cos( - β),sin( - β))=cos αc os(- β)+sin αsin( - β)=cos αcosβ - sin αsin β.于是 cos( α+β)=cos αcosβ - sin αsin β.学法一得①在办理问题的过程中，把有待解决或难解决的问题，经过某种转变，归纳为一类已经解决或比较简单解决的问题，最后求得原问题的解，这种思想方法叫做化归思想 .②以随意角的三角函数的定义为载体，我们推导了同角的三角函数的基本关系式、引诱公式和两角和的余弦公式 . 熟记公式中角、函数的摆列次序及式中的正负号是正确使用公式的重点 .记忆要诀公式右端的两部分为同名三角函数之积，连结符号与左侧的连结符号相反 . 二、两角和与差的正弦1.公式的推导[k12]sin( α- β)=cos［ - ( α- β) ］=cos［(- α)+ β］22=cos( - α)cos β -sin(- α)sin β=sin αcos 22β- cosαsin β.在上边的公式中，以 - β代β，即可获得sin( α+β)=sin αcosβ+cosαsin β.2.和差公式是引诱公式的推行，引诱公式是和差公式的特例 . 如sin(2 π- α)=sin2 πcosα - cos2πsin α=0×cosα- 1×sin α=- sin α.当α 或β 中有一个角是的整数倍时，往常使2用引诱公式较为方便；上边公式中的α、β 均为随意角 .误区警告公式对分派律不建立，即sin( α±β )≠sin α± sin β，学习时必定要注意这一点 .学法一得公式使用时不单要会正用，还要能够逆用，如化简sin( α+β)cos β - cos( α+β)sin β，不要将sin( α+β) 和 cos( α+β) 睁开，而应该整体观察，进行以下变形：sin( α+β)cos β - cos( α+β)sin β=sin［( α+β)- β］=sin α，这也表现了数学中的整体原则 .记忆要诀记忆时要与两角和与差的余弦公式差别开来，两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数之积，连结符号与左侧的连结符号相同 .三、两角和与差的正切1.公式的推导利用两角和的正弦、余弦公式，能够推导出两角和的正切公式：tan( α+β)=sin()sin cos cos sin，当cos()cos cos sin sincosαcosβ≠0时，我们能够将上式的分子、分母同时除以 cosαcosβ，即得用 tan α和 tan β表示的公式：tan( α+β)= tan tan，在上边的公式中，以- β1 tan tan代β，可得两角差的正切公式：tan( α- β)= tan tan.1 tan tan2.公式建立的条件要能应用公式，第一要使公式自己存心义，即 tan α、 tan β存在 . 并且 1+tan αtan β的值不为零，所以可得α、β 需知足的条件：α≠ kπ+, β≠ kπ+，α+β≠ kπ+或222α- β≠ kπ+，以上 k∈ Z. 当 tan α、 tan β、2tan( α±β ) 不存在时，能够改用引诱公式或其余方法解决 .学法一得两角和与差的正切相同不单能够正用，并且能够逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tan α+tanβ=tan( α+β)(1 - tan αtan β)就能够解决诸如tan15 °+tan30 °+tan15 °tan30 °的问题 . 所以在办理问题时要注意观察式子的特色，奇妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.典题 ?热题知识点一所求角可表示成两个特别角的和、差例 1 求 sin75 °,tan15 °的值 .解：sin75 °=sin(45 °+30°)=sin45 °cos30°+cos 45°sin30 °[k12]= 232162；22224tan15 °=tan(60 ° - 45°)= tan 60tan 4531231tan 60 tan 4513，或13tan15 °=tan(45 °- 30°)=tan 45tan 303231tan 45tan 30313.例 2求 sin 7cos15 sin8的值 .cos7sin15 sin8思路剖析：察看被求式的函数名称的特色和角的特色，此中7°=15° - 8°， 15°=8°+7°，8°=15°- 7°. 不论采纳哪一种代换方式，都可减少角的个数 . 利用和角或差角公式睁开，进行约分、化简、求值 . 若用 7°=15°- 8°代换，分子、分母是二次齐次式；若用15°=8°+7°或8°=15°- 7°代换，分子、分母将会出现三次式，明显选择后者更好，不如比较一下.答案：原式 = sin 7cos(78 ) sin 8cos7sin(78 ) sin 8sin 7cos7 cos8 sin 8sin 7? sin 2 8sin 7 (1sin 2 8 )cos7cos8 sin 8 cos7sin 7 cos8 sin 8cos7? sin 2 8cos7 (1sin2 8 )sin 7cos8 sin 8[k12]sin 7 ?cos 2 8 cos7 cos8 sin 8 sin 7 cos8 cos7 sin 8 cos7 ? cos 2 8sin 7 cos8 sin 8cos7 cos8sin 7 sin 8sin15 tan1523.cos15巧解提示 : 原式 =sin(158 )cos15 ? sin 8cos(15 8 )sin15 ? sin 8sin15 ? cos8cos15 ? sin 8 cos15 ? sin8 cos15 ?cos8sin15 ? sin 8sin15 ? sin8sin15 ? cos8=tan15 °=tan(45 ° - 30°)cos15 ? cos83tan 45 tan 30 13.3 21 tan 45 ? tan 30313方法概括 三角函数式的构造一般由角、 三角函数符号及运算符号三部分构成 . 所以三角恒等变换常常第一找寻式子所包括的各个角之间的联系，并以此为依照选择能够联系它们的适合公式，这是三角恒等变换的重要特色 . 不论是化简、求值，仍是证明，其结果应按照以下几个原则：①能求值的要求值；②三角函数的种类尽可能少；③角的种类尽可能少；④次数尽可能低；⑤尽可能不含根号和分母 .知识点二 已知 α、β 的三角函数值，求 α±β 的三角函数值例 3 已知 sin α=1，求 cos(+α) 的值 .33[k12]思路剖析：因为是个特别角，所以依据 C (α+β)3的睁开式，只要求出cos α 的值即可 . 因为条件1只告诉了 sin α= ，没有明确角 α 所在的象限，3所以应分类议论， 先求 cos α 的值，再代入睁开式确立 cos(+α) 的值 .3解：∵ sin α=1>0，∴α 位于第一、二象限 .3当 α 是第一象限角时， cos α=1 (1)22 2，33∴cos(3 +α)=coscos α-sin3sin α=31 22 3 1 2 2 3 ;23 236同理，当 α 是第二象限角时， cos α=22，3∴cos(3+α)=2 33.6方法概括解这种给值求值问题的重点是先分清 S ( α±β) 、C (α±β)、T ( α±β) 的睁开式中所需要的条件，联合题设，明确谁是已知的，谁是待求的 . 此中在利用同角三角函数的基本关系求值时， 应先解决与已知拥有平方关系的三角函数值 . 可是，关于 cos( π+α) 、cos( +α) 这样的函数求2[k12]值，因为它们的角与的整数倍有关，所以无需2按它们的睁开式求值，直接利用引诱公式可能更简单 .例 4 已知 cos( α -)=1，sin(- β)=2，并且29232＜α＜π， 0＜β＜，求cos的值 .22思路剖析：察看给出的角2() (2) ，联合2公式C(α-β)睁开式的特色，只要利用同角三角函数的基本关系计算出 sin( α- ) 、cos( - β) 的22值即可 .解：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜＜，0 22422＜＜.2 4∴＜α - ＜π， - ＜ - β＜ .42422又∵ cos( α-2)=91＜0，∴22.∴sin() 1 sin 2 ()1( 1)2 4 5.2299同理，∵ sin(- β)= 2>0，∴02.232∴ cos()1sin 2 () 1 (2)2 5 .22332cos[() ( )]22=cos( α-2)cos(- β)+sin( α- )sin(- β)2221 5 4 52 7 5 .9 3 93 27例 5 在△ ABC 中， sinA= 3 ,cosB= 5，求 cosC.5 13思路剖析：此题主要观察三角形中的三角函数问题 . 若不注意“△ ABC ”这个条件，就会产生多解，所以解这种问题时必定要注意尽量压缩角的范围，避开分类议论， 同时要注意结论能否切合题意 .解：∵cosB= 52 , ∴B ∈( ,) 且 sinB= 12.13 2 4213∵sinA=3 23 52 , ∴A ∈(0, 4) ∪( , π).43) ，则3若 A ∈( , π),B ∈( ,2 A+B ∈( π, ) 与44 2A+B+C=π 矛盾，∴A (34, π). 所以 A ∈(0,) 且 cosA=4.45从而cosC=cos ［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=4 5 3 12 16 5 13 5 13 65例 6 如图 3-1-7 ，已知向量OP =(3,4) 绕原点旋转45°到 OP′的地点，求点 P′(x ′,y ′) 的坐标 .图 3-1-7思路剖析：此题相当于已知角α 的三角函数值，求α+45°的三角函数值 . 解：设∠ xOP=α.2234因为 |OP|= 34 5 ，所以cosα=,sin α= .55因为x′=5cos( α+45°)=5(cos αcos45° - sin αsin 45°)5( 324 2 )2，52522同理 , 可求得 y′=5sin( α+45°)= 7 2，所以2P′(22 , 722 ).方法概括①已知角α 的某一三角函数值和角α 所在的象限，则角α 的其余三角函数值独一；已知角α 的某一三角函数值，不知角α 所在的象限，应先分类议论，再求α 的其余三角函数值.②一般地，90°±α，270°±α的三角函数值，等于α 的余名函数值，前面加上一个把α 当作锐角时原函数值的符号，它的证明也可经过两角和、差的三角函数式进行 . ③在给值求值的题型中，要灵巧办理已知与未知的关系，合理进行角的变换，使所求角能用已知角表示出来，所求角的三角函数值能用已知角的三角函数值表示出来 .知识点三已知三角函数值求角例 7 已知 sin α=5，sin β=10 , 且α、β都是510锐角，求α+β的值 .思路剖析： (1) 依据已知条件可先求出α+β的某个三角函数值，如 cos( α+β).(2) 由两角和的余弦公式及题设条件知只要求出 cosα、cosβ即可 .(3) 因为α、β都是锐角，所以 0＜α +β＜π ,y=cosx 在(0, π) 上是减函数，进而依据cos( α+β) 的值即可求出α+β的值 .解：∵ sin α=5 ,sin β=10，且α、β都是锐510角，∴ cosα=1 sin2 2 55，cosβ= 1 sin231010.∴c os( α+β)=cos αcosβ - sin αsin β= 25310510 2 .5105102又∵ 0＜α +β＜π , ∴α +β= .4方法概括给值求角的一般步骤是：①确立所求角的范围；②找到该范围内拥有单一性的某一三角函数值；③先找到一个与之有关的锐角，再由引诱公式导出所求角的值 .知识点四利用两角和、差的三角函数公式证明恒等式例 8 已知 3sin β=sin(2 α+β)，求证：tan( α+β)=2tan α.思路剖析：察看条件等式和结论等式中的角，条件中含有β、2α+β，结论中含有α+β、α，若从条件下手，可采纳角的变换，β=( α+β)- α，2α+β=( α+β)+ α，睁开后转变成齐次整式，约分得出结论 .证明：∵3sin β=3sin ［ ( α+β)- α］=3sin( α+β)cos α - 3cos( α+β)sin α，sin(2 α+β)=sin［( α+β)+ α］[k12]=sin( α+β)cos α+cos( α+β)sin α，又 3sin β=sin(2 α+β) ，∴3sin( α+β)cos α - 3cos( α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos( α+β)sin α.∴2sin( α+β)cos α=4cos( α+β)sin α.∴t an( α+β)=2tan α.方法概括对条件恒等式的证明，若条件复杂，可从化简条件下手得出结论；若结论复杂，可化简结论得出条件；若条件和结论都较为复杂，可同时化简它们，直到找到它们间的联系 .知识点五变用两角和差的三角函数公式化简求值例 9 用和、差公式证明tan12 °+tan18 °+33 tan12 °· tan18 °=3 .3解∵：tan12tan18=tan(12 °+18°)=tan30 °=3，1 tan12? tan183∴tan12 °+tan18 °=33 (1- tan12 °· tan18 °) ，即左边[k12]= 3 (1- tan12 °tan18 °)+3 tan12 °tan18 °=3 333=右侧 .∴t an12 °+tan18 °+3 tan12 °· tan18 °=3 .33方法概括三角公式经过等价变形，可正用，可逆用，也可变用，主假如经过对函数构造式的变形与对角的分、拆、组合来实现的 .例 10 求(1+tan1 °)(1+tan2 °)(1+tan3 °)(1+tan45 °) 的值 .解：因为α+β=45°时，tan( α+β)=tan tan=1，所以1tan tantan α+tan β+tan αtan β=1，即(1+tan α)(1+tan β)=2.于是(1+tan1 °)(1+tan44 °)=(1+tan2 °)(1+tan43°)==(1+tan22 °)(1+tan23 °)=2.又因为 1+tan45°=2，所以原式 =223.方法归纳当α+β=kπ+,k ∈ Z时，4(1+tan α)(1+tan β)=2 ；当α+β=kπ -,k ∈Z时，4(1+tan α)(1+tan β)=2tan αtan β.问题 ?研究思想方法研究问题 1 在三角恒等变换中，三角公式众多，公式变换也是解决问题的有效手段，在应用这些公式时要注意些什么问题？研究过程 : 使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵巧使用公式所一定的，特别是面对那么多三角公式，把这些公式变活，显得更为重要，这也是学好三角函数的基本功 .如： cos( α- β)cos β- sin( α- β)sin β化简为 __________.将α- β看作一个角，β 看作另一个cos( α- β)cos β - sin(α-角,则β)sin β=cos［(α- β)+ β］ =cosα.解答此题时不单利用角的变换：α=( α- β)+ β，同时运用了公式的逆向变换 .探究结论:两角和的正切公式tan(α+β)=tan tan.除了掌握其正向使用之1 tan tan外，还需掌握以下变换：1- tanαtanβ=tan tan；tan() tanα+tan β=tan(α+β)(1- tanαtanβ)；tan αtan βtan( α+β)=tan( α+β)- tan α -ta nβ等 . 两角和的正切公式的三种变形要熟习，其在此后解题中常常使用，要能灵巧办理 .问题 2 2004 年重庆高考有一题为：求函数 y=sin4x+ 2 3 sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在［ 0, π］上的单一递加区间.该函数变形后就需要用到形如asinx+bcosx(a 、b 不一样时为零 ) 的式子的变换，我们称之为协助角变换，那么怎样进行协助角变换？研究过程 : 形如 asinx+bcosx(a 、b 不一样时为零 )的式子能够引入协助角变形为Asin(x+ φ) 的形式.asinx+bcosx=22(a sin x b cosx) ,a b2222a b a b令 cosφ=2ab 2 ,sinφ=a2b 2，则a b原式= a2b2(sinxcosφ +cosxsinφ )= a2 b 2sin(x+ φ).( 此中φ角所在象限由 a、b 的符号确立，φ 角的值由 tan φ=b确立，常常取φ=arctan b ).a a研究结论 : 协助角变换是三角变形的重要形式，它的应用十分宽泛，特别是在数学中求三角函数的最值及物理学中间波的合成时，都是重要的工具. 比如2sinx-3cosx ，就能够利用这一结论将其化为一个三角函数的形式，进而确立其最值，因为 a=2,b=-3,A= a 2b213，所以2sinx-3cosx=13 sin(x+φ)，(此中φ 在第四象限，且 tan φ=32 ) ，所以 2sinx-3cosx的最大值是13 ，最小值是13 .。

3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标 1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点一 二倍角公式的推导思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案 sin2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α ＝2sin αcos α；cos2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α ＝cos 2α－sin 2α； tan2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α(α≠π2＋k π，2α≠π2＋k π，k ∈Z )． 思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos2α？答案 cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1； 或cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二 二倍角公式的变形 1．公式的逆用2sin αcos α＝sin2α，sin αcos α＝12sin2α，cos 2α－sin 2α＝cos_2α，2tan α1－tan 2α＝tan2α. 2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α， 1＋cos α＝2cos 2α2,1－cos α＝2sin 2α2.降幂公式cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.1．sin α＝2sin α2cos α2.( √ )2．cos4α＝cos 22α－sin 22α.( √ ) 3．对任意角α，tan2α＝2tan α1－tan 2α.( × ) 提示 公式中所含各角应使三角函数有意义．如α＝π4及α＝π2，上式均无意义.类型一 给角求值 例1 (1)计算：cos2π12－sin 2π12； 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值 解 原式＝cos π6＝32.(2)计算：1－tan 275°tan75°；考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正切的二倍角公式化简求值解 1－tan 275°tan75°＝2·1－tan 275°2tan75°＝2·1tan150°＝－2 3.(3)计算：cos20°cos40°cos80°. 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值解 原式＝12sin 20°·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°＝12sin 20°·sin 40°·cos 40°cos 80°＝122sin 20°sin 80°cos 80° ＝123sin 20°·sin 160°＝sin 20°23sin 20°＝18. 反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．跟踪训练1 (1)cos π7cos 3π7cos 5π7的值为( )A.14B ．－14C.18D ．－18考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案 D解析 cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 4π7·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 2π7＝2sin π7cos π7cos 2π7cos4π72sinπ7＝sin 2π7cos 2π7cos 4π72sin π7＝sin 4π7cos4π74sinπ7＝sin8π78sinπ7＝－18.(2)12－cos 2π8＝________； 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值答案 －24解析 原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2π8＝－12cos π4＝－24.类型二 给值求值例2 (1)若sin α－cos α＝13，则sin2α＝________.考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案 89解析 (sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132，即sin2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89.(2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α等于( )A.6425B.4825C ．1D.1625考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案 A解析 cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α. 把tan α＝34代入，得cos 2α＋2sin 2α＝1＋4×341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝42516＝6425.故选A.引申探究在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝13，求sin2α.解 由题意，得(sin α＋cos α)2＝19，∴1＋2sin αcos α＝19，即1＋sin 2α＝19，∴sin 2α＝－89.反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． (2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练2 (1)(2017·石家庄高一检测)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( ) A ．－429B ．－229C.229D.429考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利有二倍角公式求二倍角的正弦值 答案 A解析 因为sin(π－α)＝13，所以sin α＝13，又因为π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429. (2)已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案2425解析 因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35>0， 所以α＋π6为锐角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×45×35＝2425.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝2425. 类型三 利用二倍角公式化简证明 例3 (1)化简：1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ.考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用二倍角公式化简三角函数式 解 方法一 原式＝－cos 2θ＋sin 2θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝2sin 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝2sin θθ＋cos θ2cos θθ＋sin θ＝tan θ.方法二 原式＝θ＋cos θ2－2θ－sin 2θθ＋cos θ2＋2θ－sin 2θ＝θ＋cos θθ＋cos θ－θ－sin θθ＋cos θθ＋cos θ＋θ－sin θ＝2sin θ2cos θ＝tan θ.(2)求证：4sin αcos α1＋cos2α·cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan2α. 考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明证明 左边＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α＝右边． 反思与感悟 三角函数式化简、证明的常用技巧 (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化．(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分． (3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用． (4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等．(5)利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等． 跟踪训练3 α为第三象限角，则1＋cos2αcos α－1－cos2αsin α＝________.考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用二倍角公式化简三角函数式 答案 0解析∵α为第三象限角，∴cosα<0，sinα<0，∴1＋cos2αcosα－1－cos2αsinα＝2cos2αcosα－2sin2αsinα＝－2cosαcosα－－2sinαsinα＝0.1．(2017·山东)已知cos x ＝34，则cos2x 等于( )A ．－14B.14C ．－18D.18考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用二倍角公式求二倍角的余弦值 答案 D解析 cos2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.故选D.2．sin15°sin75°的值是( ) A.12B.32C.14D.34考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用二倍角公式求二倍角的正弦值 答案 C解析 sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝12sin30°＝14.3．sin4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12B ．－32C.12D.32考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值 答案 B 解析 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 4.3tanπ81－tan2π8＝________.考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正切的二倍角公式化简求值 答案 32解析 原式＝32×2tanπ81－tan2π8＝32tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＝32tan π4＝32. 5．证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12.考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明证明 ∵左边＝2tanα21＋tan2α2＋11＋2tan α21＋tan 2 α2＋1－tan2α21＋tan2α2＝tan2α2＋2tan α2＋11＋tan 2α2＋2tan α2＋1－tan2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋122tan α2＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋1＝12tan α2＋12＝右边， ∴原等式成立．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n 是α2n ＋1的二倍(n ∈N *)．2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：①1＋cos2α＝2cos 2α；②cos 2α＝1＋cos2α2；③1－cos2α＝2sin 2α；④sin 2α＝1－cos2α2.一、选择题1．已知α是第三象限角，cos α＝－513，则sin2α等于( )A ．－1213B.1213C ．－120169D.120169考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用二倍角公式求二倍角的正弦值 答案 D解析 由α是第三象限角，且cos α＝－513，得sin α＝－1213，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝120169，故选D.2．(2017·全国Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin2α等于( )A ．－79B ．－29C.29D.79考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案 A解析 ∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin2α＝169，∴sin2α＝－79.故选A.3．已知α为锐角，且满足cos2α＝sin α，则α等于( ) A ．30°或60° B ．45° C ．60°D ．30°考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值答案 D解析 因为cos2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12， 所以α＝30°.故选D.4．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan2x 等于( ) A.724B ．－724C.247D ．－247考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式题点 利用二倍角公式求二倍角的正切值答案 D解析 由cos x ＝45，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，得sin x ＝－35， 所以tan x ＝－34， 所以tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247，故选D. 5.2－sin 22＋cos4的值是( )A ．sin2B ．－cos2 C.3cos2D ．－3cos2考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用余弦的二倍角公式化简求值答案 D解析 原式＝1＋cos 22＋2cos 22－1＝3cos 22＝－3cos2. 6．函数f (x )＝cos2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 B解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时，f (x )的最大值为5.7．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α等于( ) A ．－53B ．－59C.59D.53 考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 A解析 由题意得(sin α＋cos α)2＝13， ∴1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23. ∵α为第二象限角，∴cos α－sin α<0.又∵sin α＋cos α>0，∴cos α<0，sin α>0，且|cos α|<|sin α|，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0，∴cos 2α＝－1－sin 22α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝－1－49＝－53，故选A. 二、填空题8．sin6°sin42°sin66°sin78°＝________. 考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正弦的二倍角公式化简求值答案 116解析 原式＝sin6°cos48°cos24°cos12° ＝sin6°cos6°cos12°cos24°cos48°cos6° ＝sin96°16cos6°＝cos6°16cos6°＝116. 9．已知θ∈(0，π)，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan2θ＝________. 考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式题点 利用二倍角公式求二倍角的正切值答案 －247解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210， 得22(sin θ－cos θ)＝210，即sin θ－cos θ＝15.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－cos θ＝15，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝45，cos θ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35，cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－247.10．若1＋tan α1－tan α＝2018，则1cos2α＋tan2α＝________.考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 2018解析 1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝1＋sin2αcos2α＝α＋sin α2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2018.11．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝________.考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2 ＝2sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 三、解答题12．(2017·山东青岛城阳一中期中考试)已知3sin β＝sin(2α＋β)，且α≠k π2，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )，求证：tan(α＋β)＝2tan α. 考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 因为sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α； sin(2α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)·sin α，所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， 即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.又α≠k π2，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )， 所以cos α≠0，cos(α＋β)≠0.于是等式两边同除以cos(α＋β)·cos α，得tan(α＋β)＝2tan α.13．化简：＋sin α＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值解 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α24cos 2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2. 因为180°<α<360°，所以90°<α2<180°， 所以cos α2<0，所以原式＝cos α. 四、探究与拓展14．等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________． 考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正弦的二倍角公式化简求值答案 459解析 设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23， sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53. 所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 15．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x . (1)化简f (x )；(2)若f (α)＝17，2α是第一象限角，求sin2α. 考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值解 (1)f (x )＝12cos2x －32sin2x －cos2x ＋3sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝17，2α是第一象限角， 即2k π<2α<π2＋2k π(k ∈Z )，∴2k π－π6<2α－π6<π3＋2k π(k ∈Z )， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝437， ∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6·cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6·sin π6 ＝17×32＋437×12＝5314.。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.(高考全国卷Ⅱ，理2)函数y=sin2xcos2x 的最小正周期是( )A.2πB.4πC.4π D.2π 解析：y=sin2xcos2x=21sin4x,所以最小正周期为T=42π=2π.答案：D2.(高考全国卷Ⅱ，理10)若f(sinx)=3-cos2x ，则f(cosx)等于( )A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x解析：f(sinx)=3-(1-2sin 2x)=2sin 2x+2,所以f(x)=2x 2+2.因此f(cosx)=2cos 2x+2=(2cos 2x-1)+3=3+cos2x. 答案：C3.已知α为锐角，且sinα∶sin 2α=8∶5，则cosα的值为( ) A.2512 B.258 C.257 D.54 解析：由2sin2cos2sin 22sin sin ααααα==2cos 2α=58，得cos 2α=54， cosα=2cos 22α-1=2×(54)2-1=257. 答案：C4.求下列各式的值：(1)cos 12πcos 125π=______________； (2)(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)=______________；(3)21-cos 28π=______________； (4)-32+34cos 215°=______________；(5)︒-︒5.22tan 15.22tan 2=_________________解析：(1)原式=cos 12πsin 12π=21sin 6π=41；(2)原式=cos212π-sin 212π=cos 6π=23； (3)原式=21-(2cos 28π-1)=21-cos 4π=42-；(4)-32+34cos 215°=32(2cos 215°-1)=32cos30°=33；(5)原式=21tan45°=21. 答案：(1)41 (2)23 (3)42- (4)33 (5)2110分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.若tanx=2，则tan2(x-4π)等于( ) A.34 B.-34 C.43 D.43- 解析：tan(2x-2π)=-tan(2π-2x)=-cot2x=x 2tan 1-,而tan2x=4122-⨯=-34,∴原式=43.答案：C2.当0＜x ＜2π时，函数f(x)=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为( )A.2B.32C.4D.34解析：f(x)=x x x x cos sin 2sin 8cos 222+=x tan 1+4tanx≥42=4，当且仅当tanx=21时，取“=”.答案：C3.化简cos72°cos36°=________________. 解析：原式=︒︒=︒︒︒=︒︒•︒︒36sin 4144sin 36sin 472sin 72cos 236sin 236sin 236cos 72cos =41. 答案：414.在△ABC 中，tanA+tanB+33+tanAtanB 且sinAcosA=43，判断三角形的形状. 解：由sinAcosA=43，得21sin2A=43，即sin2A=23， ∴2A=60°或120°.∴A=30°或60°.又由tanA+tanB=3-(1-tanAtanB)，得tan(A+B)=3tan tan 1)tan tan 1(3-=---BA B A ，∴A+B=120°.当A=30°时，B=90°，tanB 无意义，∴A=60°,B=60°，即三角形为等边三角形. 5.平面上两塔相距120 m ，一人分别在两塔的底部测得一塔顶的仰角为另一塔顶仰角的2倍，又在两塔底的连线中点测得两塔顶的仰角互余.求两塔的高.解析：如图所示，设两塔的高分别为x m 、y m ，且∠ADB=α，∠AMB=θ.由题意，得∠CBD=2α，∠AMC=90°， ∠AMB=∠MCD=θ， 所以x=60tanθ，y=θtan 60， x=120tan α，y=120tan2α.所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.12012,360022x x y xy 解得x=40，y=90.答：两塔高分别是90 m 和40 m.6.(2006高考北京卷，理15)已知函数f(x)=xx cos )42sin(21π--， (1)求f(x)的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tanα=-34，求f(α)的值. 解：(1)由cosx≠0,得x≠kπ+2π(k ∈Z ). 故f(x)的定义域为{x|x≠kπ+2π,k ∈Z }.(2)因为tanα=54-,cosα=53，且α为第四象限的角，所以sinα=54-,cosα=53.故f(α)=αααααααπαcos 2cos 2sin 1cos )2cos 222sin 22(21cos )42sin(21+-=--=--=ααααcos cos sin 2cos 22-=2(cosα-sinα)=514. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.已知θ是第三象限的角，若sin 4θ+cos 4θ=95，那么sin2θ等于( ) A.322 B.322- C.32 D.-32解析：(sin 2θ+cos 2θ)2=sin 4θ+cos 4θ+2sin 2θcos 2θ=sin 4θ+cos 4θ+21(sin2θ)2，而(sin 2θ+cos 2θ)2=1，可以得到sin2θ=±322，又由于θ是第三象限的角，所以sin2θ=322. 答案：A2.已知tanα=71，tanβ=2π，0＜α＜β＜2π,则α+2β等于( ) A.45π B.4π C.45π或4π D.47π解析：∵tan2β=43tan 1tan 2=-ββ，∴tan(α+2β)=28314371-+=1.∵tanα=71＜1,∴0＜α＜4π.tan2β=43＜1,∴0＜2β＜4π.∴0＜α+2β＜43π.∴α+2β=4π.答案：B3.(2006高考上海卷，理17)求函数y=2cos(x+4π)cos(x-4π)+3sin2x 的值域和最小正周期.解：y=2(cosxcos4π-sinxsin 4π)(cosxcos 4π-sinxsin 4π)+3sin2x =cos 2x-sin 2x+3sin2x=cos2x+3sin2x=2sin(2x+6π).∴原函数的值域是［-2,2］，周期T=22π=π. 4.化简︒-+︒+10sin 110sin 1. 解：原式=︒︒-︒+︒+︒︒+︒+︒5cos 5sin 25cos 5sin 5cos 5sin 25cos 5sin 2222=|sin5°+cos5°|+|sin5°-cos5°|=sin5°+cos5°+cos5°-sin5°=2cos5°. 5.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解：原式=21cos20°cos40°cos80° =︒︒︒=︒︒︒=︒︒︒︒︒20sin 1680cos 80sin 2880cos 40cos 40sin 220sin 480cos 40cos 20cos 20sin 2 =16120sin 16160sin =︒︒. 6.已知sin 22α+sin2αcos α-cos2α=1，α∈(0,2π)，求sin α,tan α.解：由题意知4sin 2αcos 2α+2sin αcos 2α-2cos 2α=0，即2cos 2α(2sin α-1)(sin α+1)=0. 又α∈(0,2π)，∴sinα+1≠0,cos 2α≠0. 由2sin α-1=0得sin α=21，∴α=6π,tan α=33.7.已知sin(α-4π)=1027，cos2α=257，求sin α及tan(α+3π).解：由sin(α-4π)=1027,得22(sin α-cos α)=1027，即sin α-cos α=57. ① 又由cos2α=257得cos 2α-sin 2α=257，即(cos α+sin α)(cos α-sin α)=257，∴cosα+sin α=-51. ②由①②得sin α=53，cos α=54-,∴tanα=-43.tan(α+3π)=1132548343344331433tan 313tan -=+-=+-=-+αα. 8.当x∈［-2π,2π］时，求f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的周期、最大值及此时的x 值. 解：f(x)=1+cos2x+1+sin2x=2sin(2x+4π)+2.周期T=π.当x ∈［-2π,2π］时，2x+4π∈［-43π,45π］,sin(2x+4π)∈［-1,1］. ∴f(x)∈［22-,22+］.∴f(x)max =22+.由2x+4π=2k π+2π得x=k π+8π. 又∵x∈［-2π,2π］，∴x=8π,即当x=8π时，f(x)的最大值为22+.9.(2006高考安徽卷，理17)已知43π＜α＜π,tanα+cosα=310-.(1)求tanα的值；(2)求)4sin(282cos 112cos2sin82sin 522πααααα--++的值.解：(1)∵tanα+cosα=310-,∴3tan 2α+10tanα+3=0,解得tanα=-31或tanα=-3.∵43π＜α＜π,∴-1＜tanα＜0.∴tanα=-31.(2)∵tanα=-31,∴)4(sin 282cos 112cos2sin82sin 522παααααα--++=451tan 3tan 4cos sin 82cos 16sin 4)2cos 2(sin 522-=-+=--+•+++αααααααα. 10.(2006高考四川卷，理17)已知A 、B 、C 是△ABC 三内角，向量m =(-1,3)，n =(cosA,sinA),且m ·n =1. (1)求角A ； (2)若BB B22sin cos 2sin -+1=-3，求tanC. 解：(1)∵m ·n =1,∴(-1,3)·(cosA,sinA)=1,即3sinA-cosA=1,2(sinA·23-cosA·21)=1,sin(A-6π)=21. ∵0＜A ＜π,-6π＜A-6π＜65π,∴A-6π=6π.∴A=3π.(2)由题知BB B B 22sin cos cos sin 21-+=-3，整理得sin 2B-sinBcosB-2cos 2B=0. ∵cosB≠0,∴tan 2B-tanB-2=0. ∴tanB=-2或tanB=-1.而tanB=-1使cos 2B-sin 2B=0，舍去. ∴tanB=2.∴tanC=tan［π-(A+B)］=-tan(A+B)=11358321322tan tan 1tan tan +=-+⨯-=-+-B A B A .。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（二）课堂导学三点剖析1.二倍角公式在证明题中的应用【例1】 求证:x x cos 22sin （1+tanx·tan 2x ）=tanx. 思路分析：本题的目标是把等式的左端统一成角x 的正切函数.可能用的公式有sin2x=2sinxcosx ，tan 2x =x x x x x x x sin cos 12cos 2sin 22sin 22cos 2sin2-==. 证法1：左端=x x x cos 2cos sin 2（1+xx x x sin cos 1cos sin -•) =sinx （1+xx cos cos 1-） =xx cos sin =tanx=右端. 证法2：左端=x x x x x x x x x x x x x x x cos sin 2tan 2cos cos 2sin cos 2cos sin 2)2tan(2tan tan cos 22sin =••=--• =x x cos sin =tanx=右端. 温馨提示证明恒等式就是要根据所证等式两端的特征（结构、名称、角度等）来选择最佳方法，本题就是抓住左右两端的次数差异作为突破口，使问题得以解决.2.二倍角公式在化简题中的应用【例2】 已知函数f （x ）=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x.（1）求f （x ）的最小正周期；（2）若x∈［0，2π］，求f （x ）的最大值，最小值. 解：（1）因为f （x ）=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=（cos 2x+sin 2x ）（cos 2x-sin 2x ）-sin2x =cos2x-sin2x=2cos （2x+4π），所以f （x ）的最小正周期T=22π=π. （2）因为0≤x≤2π，所以4π≤2x+4π≤π45. 当2x+4π=4π时，cos （2x+4π）取得最大值22； 当2x+4π=π时，cos （2x+4π）取得最小值-1. 所以f （x ）在［0，2π］上的最大值为1， 最小值为2-.温馨提示（1）将cos2x-sin2x 变形为sin （4π-2x ），也会有同样的结果; （2）像这类高次三角函数，首先利用倍角公式通过降幂化为y=Asin （ωx+φ）或y=Acos （ωx+φ）（A ，ω，φ均为常数，A ＞0）的形式，然后再求周期和最值.3.公式的综合、灵活运用【例3】 已知函数f （x ）=3-sin 2x+sinxcosx （1）求f （625π）的值； （2）设α∈（0，π），f （2α）=41-23，求sinα的值 解：（1）∵sin 625π=21，cos 625π=23， ∴f（625π）=-3sin 2625π+sin 625πcos 625π=0 （2）f （x ）=23cos2x-23+21sin2x ∴f（2α）=23cos α+21sin α-23=41-23， 16sin 2α-4sin α-11=0解得sin α=8531±. ∵α∈（0，π），∴sinα＞0故sinα=8531+ 温馨提示要注意公式变形的重要性，不能死记公式，更不能只会正用，同时逆用、变形也要学会只有灵活运用公式，才能灵活解决问题各个击破类题演练1求证：3+cos4α-4cos2α=8sin 4α.证法1：∵左边=2+1+cos4α-4cos2α=2+2cos 22α-4cos2α=2（cos 22α-2cos2α+1）=2（cos2α-1）2=2（-2sin 2α）2=8sin 4α=右边.∴等式成立.证法2：右边=2×4sin 4α=2（1-cos2α）2=2（1-2cos2α+cos 22α）=2-4cos2α+2cos 22α =2-4cos2α+1+cos4α=3+cos4α-4cos2α=左边.∴等式成立.变式提升1 求证:.tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 12θθθθθθ-++=-+ 证明：左边=θθθtan 24sin )4cos 1(+- =θθθθθcos sin 22cos 2sin 22sin 22+=θθθθθsin sin cos 2)2cos 2(sin 2+ =2cos 2θ（sin2θ+cos2θ） 右边=θθθ2tan 14sin )4cos 1(-++ =θθθθθθ2222cos sin cos 2cos 2sin 22cos 2•-+ =θθθθθ2cos 2cos )2sin 2(cos 2cos 2•+ =2cos 2θ（sin2θ+cos2θ）∴左边=右边，故等式成立.类题演练2设函数f （x ）=sin 2x+3sinxcosx+α， （1）写出函数f （x ）的单调递增区间;（2）求f （x ）的最小正周期.解：（1）f （x ）=2322cos 1+-x sin2x+a =23sin2x-21cos2x+a+21 =sin （2x-6π）+a+21, 2k π-2π≤2x -6π≤2kπ+2π，k∈Z ， k π-6π≤x≤kπ+3π,k∈Z , ∴f（x ）的单调递增区间是［kπ-6π，kπ+3π］，k∈Z （2）T=222πωπ==π， ∴f（x ）的最小正周期为π.变式提升2已知函数y=sin2x-2（sinx+cosx ）+a 2设t=sinx+cosx ，t 为何值时，函数y 取得最小值；解：∵t=sinx+cosx=2sin （x+4π），-2≤t≤2， ∴t 2=1+2sinxcosx=1+sin2x ，sin2x=t 2-1，∴y=t 2-1-2t+a 2=（t-1）2+a 2-2∵-2≤t≤2，∴当t=1时，函数y 取得最小值a 2-2类题演练3 已知α为第二象限角，且sinα=415，求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 解：∵sinα=415，α为第二象限角，∴cosα=-41. ∴sin2α=2sinαcosα=815-. ααπαπαααπα2cos 22sin 4sin cos 4cos sin 12cos 2sin )4sin(++=+++ =151230)41(28152241224152--=-⨯+-⨯-⨯ =.2151)115(2-=--变式提升3函数f （x ）=sin 2（x+4π）-sin 2（x-4π）是（ ） A.周期为π的偶函数 B.周期为π的奇函数C.周期为2π的偶函数D.周期为2π的奇函数解析：f （x ）=2)22cos(12)22cos(1ππ---+-x x =22sin 122sin 1x x --+=sin2x.∴T=22 =π,f（x ）为奇函数. 答案：B。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式问题导学 一、给角求值活动与探究1 求下列各式的值：(1)2cos 225π12－1；(2)1－tan2π8tanπ8；(3)1sin 10°－3cos 10°；(4)cos 20°cos 40°cos 80°． 迁移与应用1．求下列各式的值：(1)cos 215°－sin 215°；(2)cos π12cos 512π．2．求1sin 50°＋3cos 50°的值．解答此类题目一方面要注意角的倍数关系，另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及诱导公式是常用方法．二、给值化简求值问题 活动与探究2已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．迁移与应用(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x ＝( )A ．1825B ．725C ．－725D ．－1625(2)已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________．(1)从角的关系寻找突破口．这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)另外，注意几种诱导公式的应用，如：①sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；②cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ； ③cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ．三、关于三角函数式的证明问题活动与探究3求证：cos 2α1tanα2－tan α2＝14sin 2α．迁移与应用求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A ．当堂检测 1．12sin 15°cos 15°的值等于( ) A ．14 B ．18 C ．116 D ．122．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A ．15B ．14C ．13D ．123．⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12的值为( )A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．324．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________． 5．化简1＋cos 2α＋2sin 2α＝__________．课前预习导学 【预习导引】2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α预习交流1 提示：在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令β＝α即可得到．常用的变形有：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2等．预习交流2 提示：公式S 2α，C 2α中，角α可以为任意角；但公式T 2α只有当α≠π2＋k π且α≠π4＋k π2(k ∈Z )时才成立，否则不成立(因为当α＝π2＋k π，k ∈Z 时，tan α的值不存在；当α＝π4＋k π2，k ∈Z 时，tan 2α的值不存在)．当α＝π2＋k π，k ∈Z 时，虽然tan α的值不存在，但tan 2α的值是存在的，这时求tan 2α的值可利用诱导公式，即tan 2α＝tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π＝tan(π＋2k π)＝tan π＝0． 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：可以利用二倍角公式及其相关变形求解．解：(1)原式＝cos 25π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝cos π6＝32． (2)原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－tan 2π82tan π8＝2×12tanπ81－tan2π8＝2×1tanπ4＝2．(3)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4． (4)原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝2sin 80°cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18．迁移与应用 1．解：(1)原式＝cos(2×15°)＝cos 30°＝32． (2)原式＝cos π12sin π12＝12sin π6＝14．2．解：原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 50°＋32sin 50°12·2sin 50°·cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4． 活动与探究2 思路分析：解答本题可先化简所求式子，由化简的结果再去寻求条件得出结论，或直接寻求条件，分析与所求式子的联系，灵活求解．解法一：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4．∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213．又cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2×513×1213＝120169，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴原式＝120169513＝2413．解法二：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ．∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝513，且0＜x ＜π4，∴π4＋x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413．迁移与应用 (1)C 解析：法一：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，∴22(cos x ＋sin x )＝35，∴12(1＋2sin x cos x )＝925，∴sin 2x ＝－725．法二：sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1＝2×925－1＝－725．(2)－56 解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56．活动与探究3 思路分析：可先化简左边，切化弦，再利用二倍角公式化简出右边．证明：方法一：左边＝cos 2αcos α2sin α2－sinα2cosα2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cosα2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边．∴原式成立．方法二：左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边． ∴原式成立．迁移与应用 证明：∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4A ＝右边，∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A ． 【当堂检测】1．B 解析：12sin 15°cos 15°＝14×2sin 15°cos 15°＝14×sin 30°＝18． 2．D 解析：∵tan θ＋1tan θ＝4，∴sin θcos θ＋cos θsin θ＝4． ∴sin 2θ＋cos 2θcos θsin θ＝4，即2sin 2θ＝4． ∴sin 2θ＝12．3．D 解析：原式＝cos2π12－sin 2π12＝cos π6＝32． 4．－43 解析：由已知可得cos α＝－255，∴tan α＝－12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43． 5．2 解析：原式＝2cos 2α＋2sin 2α＝2(sin 2α＋cos 2α)＝2．。