2018-2019学年高一数学人教B版必修4课时作业3.2.2 半角的正弦、余弦和正切

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程.2.掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明.(重点、难点)[基础·初探]教材整理 半角公式阅读教材P 145内容，完成下列问题. sin α2＝±1－cos α2， cos α2＝±1＋cos α2， tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos α2＝1＋cos α2.( ) (2)存在α∈R ，使得cos α2＝12cos α.( )(3)对于任意α∈R ，sin α2＝12sin α都不成立.( )(4)若α是第一象限角，则tan α2＝1－cos α1＋cos α.( )【解析】 (1)×.只有当－π2＋2k π≤α2≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π＋4k π≤α≤π＋4k π(k ∈Z )时，cos α2＝1＋cos α2.(2)√.当cos α＝－3＋1时，上式成立，但一般情况下不成立. (3)×.当α＝2k π(k ∈Z )时，上式成立，但一般情况下不成立. (4)√.若α是第一象限角，则α2是第一、三象限角，此时tan α2＝1－cos α1＋cos α成立.【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型](1)已知cos θ＝－5，且180°<θ<270°，求tan 2；(2)化简(1－sin α)(1－sin β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＋β2－cos α－β22.【精彩点拨】 (1)①cos θ＝－35→tan θ2＝±1－cos θ1＋cos θ→tan θ2的值；②cos θ＝－35→tan θ2＝1－cos θsin θ⎝⎛ 或tan θ2＝⎭⎪⎫sin θ1＋cos θ→tan θ2的值. 对于(1)的思考要注意符号的选择. (2)灵活运用三角函数公式求解.【自主解答】 (1)因为180°<θ<270°，所以90°<θ2<135°，即θ2是第二象限的角，所以tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. (2)原式＝1－(sin α＋sin β)＋sin αsin β－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α＋β2－2sin α＋β2cos α－β2＋cos 2α－β2 ＝1－2sin α＋β2cos α－β2＋sin αsin β－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－α＋β2＋1＋α－β2－2sin α＋β2cos α－β2＝sin αsin β＋12[]α＋β－α－β＝sin αsin β－sin αsin β ＝0.1.解决给值求值问题的方法及思路：(1)给值求值问题，其关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，经过适当变换已知式或变换欲求式解题.(2)给值求值的重要思想是建立已知式与欲求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用.2.三角函数化简的思路及原则：(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑： ①运用公式之后能否出现特殊角；②运用公式之后能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消项；③运用公式之后能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件.(3)对于三角函数的和差化积，有时因为使用公式不同，或选择题的思路不同，化积结果可能不一致.[再练一题] 1.(1)已知sin α＝55，cos α＝255，则tan α2等于( ) A.2－ 5B.2＋ 5C.5－2D.±(5－2)(2)化简－sin α－cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0).【导学号：72010087】【解析】 (1)因为sin α＝55>0，cos α＝255>0， 所以α的终边落在第一象限，α2的终边落在第一、三象限.所以tan α2>0，故tan α2＝1－cos α1＋cos α＝1－2551＋255＝5－2. 【答案】 C(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin 2 α2－2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22×2sin 2α2＝2sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2 α2－cos 2 α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.因为－π<α<0，所以－π2<α2<0，所以sin α2<0，所以原式＝－sin α2cos α－sinα2＝cos α.(1)(2)求证：2sin x cos xx ＋cos x －x －cos x ＋＝1＋cos xsin x.【精彩点拨】 (1)可由左向右证：先把左边cos 2θ降幂化为同角后整理可证. (2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化. 【自主解答】 (1)左边＝1＋2×1＋cos 2θ2－cos 2θ＝2＝右边.所以原等式成立. (2)左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x4sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x2sin 2x 2＝cosx2sin x2＝2cos2x22sin x 2cosx 2＝1＋cos xsin x ＝右边.所以原等式成立.三角恒等式证明的五种常用方法： (1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简. (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同.(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”.(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.[再练一题]2.已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求证：α＋β＝π4.【证明】 ∵3sin β＝sin(2α＋β)， 即3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)， ∴3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， ∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，∴tan(α＋β)＝2tan α. 又∵4tan α2＝1－tan 2α2，∴tan α＝2tanα21－tan2α2＝12，∴tan(α＋β)＝2tan α＝1， ∵α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β＝π4.如图3­2­1所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？图3­2­1【精彩点拨】【自主解答】 设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α，∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大.1.解答此类问题，关键是合理引入辅助角α，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.2.在求解过程中，要注意三点：(1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系；(2)注意实际问题中变量(角α)的范围；(3)重视三角函数有界性的影响.[再练一题]3.有一块以O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 辟为绿地，使其一边AD 落在圆的直径上，另外两点B ，C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？【解】 如图所示，设∠AOB ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则AB ＝a sin θ，OA ＝a cos θ.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝2OA ·AB ，∴S ＝2a cos θ·a sin θ＝a 2·2sin θcos θ＝a 2sin 2θ.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2θ∈(0，π).因此，当2θ＝π2，即θ＝π4时，S max ＝a 2.这时点A 、D 距离O 的距离为22a ， 矩形ABCD 的面积最大值为a 2.[探究共研型]探究1 如何求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x ∈R )的最小正周期？ 【提示】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－π4＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －512π＋1，所以函数的最小正周期T ＝π.探究2 研究形如f (x )＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx 的性质时应首先把函数f (x )化简成什么形式再解答？【提示】 研究形如f (x )＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx 的性质时，先化成f (x )＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)＋c 的形式再解答.已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性.【精彩点拨】 利用三角公式化简函数式，写为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式，再讨论函数的性质.【自主解答】 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2， 即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2<2x ＋π4≤5π4， 即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减. 综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π8，π2上单调递减.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式，借助辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k )的形式，将ωx ＋φ看作一个整体研究函数的性质.[再练一题]4.已知函数f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.【解】 (1)f (x )＝－sin 2x －cos 2x ＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， 由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1. 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为22，最小值为－2.[构建·体系]1.若cos α＝23，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.66 B.－66 C.306D.－306【解析】 由题意知α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝306.【答案】 C2.已知cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，则sin α2等于( ) A.55B.－55C.45D.255【解析】 由题知α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π，∴sin α2>0，sin α2＝1－cos α2＝55. 【答案】 A3.已知sin α－cos α＝－54，则sin 2α的值等于( )【导学号：72010088】A.716B.－716C.－916D.916【解析】 由sin α－cos α＝－54，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝2516，所以sin 2α＝－916.【答案】 C4.(2014·山东高考)函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________. 【解析】 ∵y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，∴函数的最小正周期T ＝2π2＝π.【答案】 π5.化简2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.【解】2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α×sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________学业分层测评(二十八) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若函数f (x )＝－sin 2x ＋12(x ∈R )，则f (x )是( )A.最小正周期为π2的奇函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数D.最小正周期为π的偶函数【解析】 f (x )＝－1－cos 2x 2＋12＝12cos 2x .故选D.【答案】 D2.(2016·邢台期末)若sin(π－α)＝－53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2等于( ) A.－63B.－66C.66 D.63【解析】 由题意知sin α＝－53，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π， ∴cos α＝－23，∵α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝cos α2＝－1＋cos α2＝－66.故选B. 【答案】 B3.(2016·鹤岗一中期末)设a ＝12cos 7°＋32sin 7°，b ＝2tan 19°1－tan 219°，c ＝1－cos 72°2，则有( ) A.b >a >c B.a >b >c C.a >c >bD.c >b >a【解析】 a ＝sin 37°，b ＝tan 38°，c ＝sin 36°，由于tan 38°>sin 38°>sin 37°>sin 36°，所以b >a >c .故选A.【答案】 A4.若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( )A.1B.－1C.0D.±1【解析】 ∵sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝sin(α＋β－β)＝sin α＝0， ∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β) ＝2sin αcos 2β＝0. 【答案】 C5.若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值是( )A.1B.2C.3＋1D.3＋2【解析】 f (x )＝(1＋3tan x )cos x＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin x cos x cos x ＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<23π， ∴当x ＋π6＝π2时，f (x )取到最大值2.【答案】 B 二、填空题6.若θ是第二象限角，且25sin 2θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2＝________.【导学号：72010089】【解析】 由25sin 2θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去).故cos θ＝－1－sin 2θ＝－725，由cos 2 θ2＝1＋cos θ2得cos 2 θ2＝925.又θ2是第一、三象限角， 所以cos θ2＝±35.【答案】 ±357.(2016·重庆一中期末)1sin π18－3cosπ18＝________.【解析】 原式＝cos π18－3sinπ18sin π18cosπ18＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos π18－32sin π1812sin π9＝4sinπ9sinπ9＝4.【答案】 4 三、解答题8.(2015·广东高考)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值.【解】 (1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.9.设函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋a (其中ω>0，a ∈R )，且f (x )的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω的值；(2)设f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最小值为3，求a 的值. 【解】 f (x )＝1＋cos 2ωx ＋32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋a ＋1. (1)由2ωx ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，得ωx ＝k π＋π6(k ∈Z ).又ω>0，∴当k ＝0时，f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为x ＝π6ω＝π6，故ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1， 由π6≤x ≤π3，得π3≤2x ≤23π，π2≤2x ＋π6≤5π6， ∴当2x ＋π6＝5π6，即x ＝π3时，f (x )取得最小值为12＋a ＋1.由12＋a ＋1＝3，得a ＝3－32. [能力提升]1.(2016·临沂高一检测)已知450°<α<540°，则12＋1212＋12cos 2α的值是( ) A.－sin α2B.cos α2C.sin α2D.－cos α2【解析】 因为450°<α<540°， 所以225°<α2<270°，所以cos α<0，sin α2<0，所以原式＝12＋121＋cos 2α2＝12＋12cos 2α ＝12＋12|cos α|＝12－12cos α ＝sin 2 α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2.故选A.【答案】 A2.(2016·泉州质检)已知函数f (x )＝2cos 2x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x22.(1)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝g (x )；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )(x ∈[0，π])的单调区间，并求使h (x )取到最小值时x 的值.【解】 (1)证明：f (x )＝2cos 2x2＝1＋cos x ，g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22＝1＋2sin x 2cos x2 ＝1＋sin x ，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝g (x )，命题得证. (2)函数h (x )＝f (x )－g (x )＝cos x －sin x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4， ∵x ∈[0，π]， ∴π4≤x ＋π4≤5π4， 当π4≤x ＋π4≤π，即0≤x ≤3π4时，h (x )递减， 当π≤x ＋π4≤5π4，即3π4≤x ≤π时， h (x )递增.∴函数h (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π，根据函数h (x )的单调性， 可知当x ＝3π4时，函数h (x )取到最小值.。

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切【选题明细表】1.若sin αα是第二象限角,则( A )(A)5 (B)-5 (C)解析:由题意,得cos α,,所以tan故选A.2.已知sin θ<θ<3π,那么+cos( B )(C)-解析:由已知得,cos θ=-所以=-=-所以+cos故选B.3.函数y=sin2的最小正周期是( C )(A)4π(B)2π(C)π解析=-π.故选C.4.已知cos α<α<2π,则( A )(A)-(C)-解析:α<2π,π.所以tan =-故选A.5.已知tan α则tan 的值为.解析:当α为第二象限角时,sin αα则tan当α为第四象限角时,sin α=-α则tan答案:2或6.若cos α则的值等于.解析:因为cos α所以原式.答案7.θ为第二象限的角,sin(3π-θ则( C )(B) (C) (D)解析:因为sin(3π-θ)=sin θ,且θ是第二象限的角,所以cos θ=-,所以故选C.8.已知关于x的方程x2+xcos Acos B-2sin的两根之和等于两根之积的一半,则△ABC一定是( C )(A)直角三角形(B)钝角三角形(C)等腰三角形(D)等边三角形解析:依题意有(-2sin即cos Acos B=sin2所以所以2cos Acos B=1-cos C,所以2cos Acos B=1+cos(A+B)所以cos Acos B+sin Asin B=1,所以cos(A-B)=1,又-π<A-B<π,所以A-B=0,即A=B,故选C.9.函数y=2cos2x+sin 2x的最小值是.解析最小值为答案10.(2017·潍坊普通高中月考)已知函数f(x)=sin xcosx-cos2(1)求函数f(x)的对称中心;(2)求f(x)在[0,π]上的单调增区间.解令π,得x=故所求对称中心为∈Z.(2)令2kπ2kπ解得kπx≤kπ∈Z.又由于x∈[0,π],所以x∈∪π],故所求单调增区间为π].11.(2017·临沂罗庄区期末统考)已知O为坐标原点,(sin αα,0),α,2),点P(1)记函数f(α求函数f(α)的最小正周期;(2)若O,P,C三点共线,求的值.解:(1)α-sin α,-1),设则α,y),由x=2cos α-sin α,y=-1,故α-sin α,-1).α-cos α,1),α,-1),所以f(α)=(sin α-cos α,1)·(2sin α,-1)=2sin2α-2sin αcos α-1=-(sin 2α+cos 2αsin(2α所以f(α)的最小正周期T=π.(2)由O,P,C三点共线可得(-1)×(-sin α)=2×(2cos α-sin α),得tan αsin 2α。

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知cos α=-cos 22α，则cos 2α等于( ) A.±33 B.33 C.33- D.±31 解析：由二倍角余弦公式，得3cos 22α=1，所以cos 2α=±33. 答案:A2.若cos α=21，则sin 2α等于( ) A.21 B.21- C.±21 D.±23 解析：sin2α=±2cos 1α-=±21或由1-2sin 22α=cosα⇒sin 2α=±21. 答案:C3.设α∈（π，2π），则2)cos(1απ+-等于（ ） A.sin 2α B.cos 2α C.-sin 2α D.-cos 2α 解析：2cos 2cos 12)cos(12αααπ=+=+-=｜cos 2α｜，又α∈（π，2π)， ∴2α∈（2π，π).∴｜cos 2α｜=-cos 2α. 答案:D4.已知sin θ=54-，θ为第三象限的角，则tan 2θ=______________. 解析：由条件，求得cosθ=53-，于是tan θθθcos 1sin 2+==-2. 答案:-210分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列各式与tan α相等的是（ ） A.αα2cos 12cos 1+- B.ααcos 1sin + C.αα2cos 1sin - D.αα2sin 2cos 1-解析：由于αααααcos sin 2sin 22sin 2cos 12=-=tanα. 答案:D2.设5π＜θ＜6π，cos 2θ=a ，那么4sin θ等于（ ） A.21a +- B.21a -- C.21a +-D.21a -- 解析：由于5π＜θ＜6π， ∴45π＜4θ＜23π. ∴sin 4θ=2122cos 1a --=--θ. 答案:B3.已知sin α=2524-，且α为第三象限角，则tan 2α等于（ ） A.34- B.43- C.34 D.43 解析：由sinα=2524-，且α为第三象限角，则cosα=257-， 所以tan 3425712524cos 1sin 2-=--=+=ααα. 答案:A4.已知sin 2α-cos 2α=55-，450°＜α＜540°，则tan 2α=______________. 解析：由sin2α-cos 2α=55-， ∴（sin 2α-cos 2α)2=（55-)2,得sinα=54. 又450°＜α＜540°，∴cosα=53-.∴tan 2α=253154cos 1sin =-=+αα. 答案:25.若23π＜α＜2π，且cos α=41，则α2cos 21212121++的值是多少？ 解析：∵23π＜α＜2π，∴43π＜2α＜π.又cosα=41，∴cos 2α=4102cos 1-=+-α. ∴ααcos 21212cos 21212121•+=++=｜cos 2α｜=-cos 2α=410.答案:4106.已知tan α=a ，求αααα2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+的值.解：∵tan αααααsin cos 1cos 1sin 2-=+=，∴tanα=αααα2sin 2cos 12cos 12sin -=+.利用比例性质， ∴αααα2sin 2cos 12cos 2sin 1++-+=tanα=a.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.设α∈（π，2π），则2)cos(1απ++等于（ ） A.sin 2αB.cos 2αC.-sin 2αD.-cos 2α解析：∵α∈（π，2π)，∴2α∈（2π，π).∴sin 2α＞0. ∴2cos 12)cos(1ααπ-=++=｜sin 2α｜=sin 2α.答案:A2.设2π＜α＜π，且cos α=a ，则2sin α等于（ ）A.21a +B.21a -C.±21a +D.±21a - 解析：sin2α=212cos 1a -=-α. 答案:B3.化简θθθθ8cos 8sin 18cos 8sin 1++-+等于（ ） A.tan 2θ B.cot 4θ C.tan 4θ D.cot 2θ解析：由tan2α=ααααsin cos 1cos 1sin -=+得 tan4θ=θθθθ8sin 8cos 18cos 18sin -=+， ∴θθθθ8cos 8sin 18cos 8sin 1++-+=tan4θ. 答案:C4.若sin θ=53-，3π＜θ＜27π，则tan 2θ等于（ ） A.3 B.-3 C.31-D.31 解析：∵sinθ=53-，3π＜θ＜27π， ∴cosθ=-54.∴23π＜2θ＜47π. ∴tan 2θ=.3)54(1)54(1cos 1cos 1-=-+---=+--θθ 答案:B5.tan15°+cot15°等于( )A.2B.32C.4D.334 解析：∵tan2α=αααcos 1sin cos 1=-， ∴原式=.4323230cos 130sin 30sin 30cos 1=++-=︒-︒+︒︒- 答案:C6.y=cos 2x+cosxsinx 的值域是_____________.解析：y=cos 2x+cosxsinx=2122cos 1++x sin2x=21sin2x+21cos2x+21=22sin （2x+4π)+21，∴y ∈［22-+21，22+21］. 答案:［22-+21，22+21］ 7.已知sin α=31，2π＜α＜3π，那么sin 2α+cos 2α=______________. 解析：（sin 2α+cos 2α)2=1+sinα=34， 又2π＜α＜3π，∴π＜2α＜23π. ∴sin 2α+cos 2α=332-. 答案: 332-8.已知α为三角形内角,sin α=53,则cot 2α=____________. 解析：由条件,得cosα=±54,cot 2α=31353541sin cos 12sin 2cos 或=±=+=αααα. 答案:3或31 9.化简：cos 2A+cos 2（3π-A ）+cos 2（3π+A ）. 解：原式=2)232cos(12)232cos(122cos 1A A A +++-+++ππ 2123+=［cos2A+cos （32π-2A)+cos （32π+2A)］ =23+21［cos2A+cos 32πcos2A+sin 32πsin2A+cos 32πcos2A-sin 32πsin2A ］ =23+21［cos2A+2cos 32πcos2A ］ =23+21（cos2A-cos2A)=23. 10.已知sin （4π+2α）·sin （4π-2α）=41，α∈（4π，2π），求2sin 2α+tan α-αtan 1-1的值. 解：由sin （4π+2α)·sin （4π-2α)=41，∴2sin （4π+2α)cos （4π+2α)=21， 即sin （2π+4α)=21.∴cos4α=21. 而2sin 2α+tanα-αtan 1-1 =-cos2α+ααααcos sin cos sin 22-=-（cos2α+α2tan 2). ∵α∈（4π，2π)，∴2α∈（2π，π). ∴cos2α=2324cos 1-=+-α， ta n2α=334cos 14cos 1-=+--αα. ∴-（cos2α+α2tan 2)=-（33223-+-)=325.。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作3.2.2 半角的正弦、余弦和正切一、基础过关1． 已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2 B. 1－cos α2 C ．－1＋cos α2D. 1＋cos α2 2． 当tan α2≠0时，tan α2的值与sin α( )A ．同号B ．异号C ．有时同号有时异号D ．sin α可能为零3．cot α2－tanα2cot α2＋tanα2化简的结果是( )A ．cot αB ．tan αC ．cos αD ．sin α 4． 如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( )A ．－105B.105C ．－155D.1555． 代数式sin 2θ(1＋tan 2θtan θ)的化简结果是________． 6． 已知α是第三象限角，sin α＝－2425，则tan α2＝________.7． 化简：sin 4α1＋cos 4α·cos 2α1＋cos 2α·cos α1＋cos α.8． 证明：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α＝tan α2.二、能力提升9． 若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－513，则tan α2的值为 ( )A ．－5B ．5C ．－513D.513 10．若sin 2α＝2425，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A.15B.75C ．±15D ．±7511．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________．12．已知π<α<3π2，化简下面的式子．1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．答案1．C 2.A 3.C 4.C 5.tan 2θ 6.－43 7．tan α28． 证明 方法一 利用半角正切公式．左边＝⎝⎛⎭⎫1－1－cos αsin α⎝⎛⎭⎫1＋1－cos αsin α2·cos αsin α＝⎝⎛⎭⎫1－tan α2⎝⎛⎭⎫1＋tan α22tan α＝⎝⎛⎭⎫1－tan 2α2tan α2＝⎝⎛⎭⎫1－tan 2α22·2tan α21－tan 2α2＝tan α2＝右边．方法二 利用二倍角公式． 左边＝⎝⎛⎭⎫2sin α2cos α2－2sin 2α2⎝⎛⎭⎫2sin α2cos α2＋2sin 2α24sin α2cos α2cos α＝⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2sin α2cos α2cos α＝⎝⎛⎭⎫cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2cos α＝cos αsinα2cos α2cos α＝tan α2 ＝右边．方法三 利用三角函数其他公式． 左边＝[sin α＋(cos α－1)][sin α－(cos α－1)]sin 2α＝sin 2α－cos 2α＋2cos α－1sin 2α＝2cos α－2cos 2α2sin αcos α＝2cos α(1－cos α)2sin αcos α＝1－cos αsin α＝tan α2＝右边．9． A 10.D 11.312．解 原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪sin α2，∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2<0，sin α2>0.∴原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cosα22＝－2cos α2.13．解 (1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12， 由tan α＝2得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝－35，所以f (α)＝12×⎝⎛⎭⎫45－35＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 从而f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.。

人教版高中必修4(B版)3.2.2半角的正切、余切和正弦课程设计一、课程目标本课程设计的目标是让学生能够熟练地掌握半角下正弦、余切和正切的计算方法与知识点，通过一些例题更深入理解和掌握半角下三角函数的性质和运算规律，达到能够独立解决其它相关题目的水平。

二、课程内容1.半角的正弦1.1 什么是半角1.2 半角下正弦的定义1.3 半角下正弦的性质1.4 半角下正弦的计算方法1.5 半角下正弦的应用实例2.半角的余切2.1 半角下余切的定义2.2 半角下余切的性质2.3 半角下余切的计算方法2.4 半角下余切的应用实例3.半角的正切3.1 半角下正切的定义3.2 半角下正切的性质3.3 半角下正切的计算方法3.4 半角下正切的应用实例4. 试题练习4.1 选择题4.2 计算题4.3 应用题三、授课方式1.讲授通过讲述半角下正弦、余切和正切的基本定义、性质及计算方法，直观地让学生明白三角函数之间的内在联系，形成整体的认知。

2.互动引导学生独立思考，讲解一些典型的半角下三角函数求解题目，鼓励学生合作，共同研究有关问题。

适时调整讨论的目标和重点，使学生在思考时遵循系统、逻辑的思考模式，提高质量。

3.练习针对不同层次的学生，安排相应的题目，小组或者个人布置相应的作业，在其它课时进行反馈和总结。

让学生通过大量的练习，提高自己的计算及解题能力，巩固所学知识。

四、教学评估教学评估将有望针对学生的学习态度、接受程度，着重关注学生掌握的程度及练习水平。

具体包括：1.投入度：学生在授课过程中的参与度、内容理解及回答问题的准确性。

2.作业完成度：根据教师所布置的相应习题，评估学生的完成情况，主要评估其计算及解题能力。

3.课堂作业：针对特定情况，设计公开式的测试题或者测验，着重考察学生的计算、分析作答能力。

五、教学反思本课程设计基于数学课程的基础知识理论，重点讲解半角下正弦、余切和正切的计算方法及应用实例，但是，由于数学知识的复杂性，课程中实际涉及到的内容比较简化，理论掌握和实践应用很多情况下存在明显差异。

3．2.2 半角的正弦、余弦和正切预习课本P145～146，思考并完成以下问题(1)半角的正弦、余弦、正切公式是什么？(2)半角公式的符号是由哪些因素决定的？[新知初探] 半角公式[点睛] (1)有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的条件便可求α2的正弦、余弦、正切的值．(2)对于，α∈R ，但是使用T α2时，要保证α≠(2k ＋1)π(k ∈Z)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)半角公式对任意角都适用．( )(2)tan α2＝sin α1＋cos α，只需满足α≠2k π＋π(k ∈Z)．( )答案：(1)× (2)√2．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63B ．－63C ．±63D.33答案：A3．已知cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A ．－1010B.1010C.3310 D ．－35答案：B4．已知cos α＝－35，且180°<α<270°，则tan α2＝________.答案：－2求值问题[典例] 已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[解] ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－ 1＋cos α2＝－55， tan α2＝sinα2cos α2＝－2.解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． [活学活用]已知sin α2－cos α2＝－15，450°<α<540°，求tan α2的值．解：由题意得⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15， 即1－sin α＝15，得sin α＝45.∵450°<α<540°， ∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.三角函数式的化简[典例] (1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α(π<α<2π)．[解] 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22·2cos2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝cos α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵π<α<2π， ∴π2<α2<π， ∴cos α2<0，∴原式＝cos α2·(－cos α)－cosα2＝cos α. [一题多变]1．[变条件]若本例中式子变为： (1－sin α－cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0)，求化简后的式子．解：原式＝⎝⎛⎭⎫2sin 2α2－2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22×2sin2α2＝2sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝sin α2⎝⎛⎭⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪sin α2.因为－π<α<0， 所以－π2<α2<0，所以sin α2<0，所以原式＝－sin α2cos α－sinα2＝cos α. 2．[变条件]若本例中的式子变为：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α，π<α<3π2，求化简后的式子．解：原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪sin α2， ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4. ∴cos α2<0，sin α2>0.∴原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．三角恒等变换的综合应用1．(浙江高考)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析：由题意知，f (x )＝12sin 2x ＋12(1－cos 2x )＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32， 所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z)，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z)，故单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z)．答案：π ⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z) 题点二：与平面向量综合应用2．已知向量a ＝(1＋sin 2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，函数f (x )＝a ·b .求f (x )的最大值及相应的x 值．解：因为a ＝(1＋sin 2x ，sin x －cos x )， b ＝(1，sin x ＋cos x )，所以f (x )＝1＋sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝1＋sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. 因此，当2x －π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋3π8(k ∈Z)时，f (x )取得最大值2＋1. 题点三：三角变换在实际生活中的应用3.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD ，已知草坪长AB ＝100 米，宽BC ＝50 3 米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE ，HF 和EF ，并要求H 是CD 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EHF 为直角，如图所示．(1)设∠CHE ＝x (弧度)，试将三条路的全长(即△HEF 的周长)L 表示成x 的函数，并求出此函数的定义域；(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：3取1.732，2取1.414)．解：(1)∵在Rt △CHE 中，CH ＝50，∠C ＝90°， ∠CHE ＝x ， ∴HE ＝50cos x.在Rt △HDF 中，HD ＝50，∠D ＝90 °，∠DFH ＝x ，∴HF ＝50sin x .又∠EHF ＝90°， ∴EF ＝50sin x cos x，∴三条路的全长(即△HEF 的周长) L ＝50(sin x ＋cos x ＋1)sin x cos x.当点F 在A 点时，这时角x 最小，求得此时x ＝π6；当点E 在B 点时，这时角x 最大，求得此时x ＝π3.故此函数的定义域为⎣⎡⎦⎤π6，π3.(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF 的周长L 的最小值即可． 由(1)得L ＝50(sin x ＋cos x ＋1)sin x cos x，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3， 设sin x ＋cos x ＝t ， 则sin x cos x ＝t 2－12，∴L ＝50(t ＋1)t 2－12＝100t －1.由t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3， 得3＋12≤t ≤2， 从而2＋1≤1t －1≤3＋1，当x ＝π4，即CE ＝50时，L min ＝100(2＋1)，所以当CE ＝DF ＝50 米时，铺路总费用最低，最低总费用为96 560 元．应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤(1)运用和、差、倍角公式化简；(2)统一化成f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式；(3)利用辅助角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，研究其性质．层级一 学业水平达标1．已知cos θ＝－14(－180°<θ<－90°)，则cos θ2＝( )A ．－64B.64C ．－38D.38解析：选B 因为－180°<θ<－90°，所以－90°<θ2<－45°.又cos θ＝－14，所以cos θ2＝1＋cos θ2＝ 1－142＝64，故选B. 2．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos α＝45，则tan α2＝( ) A ．3 B ．－3 C.13D ．－13解析：选D 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos α＝45，所以α2∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，tan α2＝－ 1－cos α1＋cos α＝－1－451＋45＝－13，故选D. 3．若α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，则 1＋cos 2α2－ 1－cos 2α2等于( ) A ．cos α－sin α B ．cos α＋sin α C ．－cos α＋sin αD ．－cos α－sin α解析：选B ∵α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，∴sin α<0，cos α>0，则1＋cos 2α2－1－cos 2α2＝cos 2α－ sin 2α＝|cos α|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α.4．已知sin α＋cos α＝13，则2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝( ) A.89 B.1718 C ．－89D ．－23解析：选C ∵sin α＋cos α＝13，平方可得1＋sin 2α＝19，可得sin 2α＝－89.2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α＝－89. 5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1 B ．π， 2 C ．2π，1D ．2π， 2 解析：选A ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋ ⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝cos 2x ，∴该函数的最小正周期为π，最大值为1. 6．若sin θ2＋2cos θ2＝0，则tan θ＝________.解析：由sin θ2＋2cos θ2＝0，得tan θ2＝－2，则tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝43.答案：437．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 解析：∵3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，因φ∈(－π，π)，∴φ＝－π6.答案：－π68．函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 解析：y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋cos 2x ＋12＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期为π. 答案：π 9．求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α. 证明：∵左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边，∴原式成立．10．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值． 解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f (α)＝22， 所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1， 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4. 所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16. 层级二 应试能力达标1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2＝( ) A.12B.12或不存在 C ．2 D ．2或不存在解析：选B 由2sin α＝1＋cos α，即4sin α2cos α2＝2cos 2α2， 当cos α2＝0时，则tan α2不存在； 当cos α2≠0时，则tan α2＝12. 2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >cB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a 解析：选C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，∴a <c <b .3．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( ) A ．2＋sin αB ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 解析：选C 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α2＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝34，θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，则sin θ＋cos θ的值是( ) A.62B ．－62C ．－22 D.22 解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ ＝12cos 2θ＝34. ∴cos 2θ＝32. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴2θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴sin 2θ＝－12，且sin θ＋cos θ<0. ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－12＝12. ∴sin θ＋cos θ＝－22. 5．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________. 解析：sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝cos 2αsin α＋2cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝135， 所以cos 2α＝45， 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34. 答案：－346．已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是________，最小值是________． 解析：∵A ＋B ＝2π3，∴cos 2A ＋cos 2B ＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B ) ＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B ) ＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3cos(A －B ) ＝1－12cos(A －B )，∴当cos(A －B )＝－1时，原式取得最大值32； 当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12. 答案：32 127．化简：cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－tan α2·(1＋cos α)1－cos α(0<α<π)． 解：∵tan α2＝sin α1＋cos α，∴(1＋cos α)tan α2＝sin α. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α，且1－cos α＝2sin 2α2， ∴原式＝－sin α－sin α2sin 2α2＝－2sin α2⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝－22sin α2cos α2⎪⎪⎪⎪sin α2. ∵0<α<π，∴0<α2<π2，∴sin α2>0. ∴原式＝－22cos α2.8．已知cos 2θ＝725，π2<θ<π， (1)求tan θ的值．(2)求2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值． 解：(1)因为cos 2θ＝725， 所以cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝725，所以1－tan 2θ1＋tan 2θ＝725， 解得tan θ＝±34， 因为π2<θ<π，所以tan θ＝－34.(2)2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos θ＋sin θcos θ＋sin θ， 因为π2<θ<π，tan θ＝－34， 所以sin θ＝35，cos θ＝－45， 所以2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos θ＋sin θcos θ＋sin θ ＝1－45＋35－45＋35＝－4.。

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切一、基础过关1． 已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2 B. 1－cos α2 C ．－1＋cos α2D. 1＋cos α2 2． 当tan α2≠0时，tan α2的值与sin α( )A ．同号B ．异号C ．有时同号有时异号D ．sin α可能为零3．cot α2－tanα2cot α2＋tanα2化简的结果是( )A ．cot αB ．tan αC ．cos αD ．sin α 4． 如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( )A ．－105B.105C ．－155D.1555． 代数式sin 2θ(1＋tan 2θtan θ)的化简结果是________． 6． 已知α是第三象限角，sin α＝－2425，则tan α2＝________.7． 化简：sin 4α1＋cos 4α·cos 2α1＋cos 2α·cos α1＋cos α.8． 证明：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α＝tan α2.二、能力提升9． 若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－513，则tan α2的值为 ( )A ．－5B ．5C ．－513D.513 10．若sin 2α＝2425，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A.15B.75C ．±15D ．±7511．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________．12．已知π<α<3π2，化简下面的式子．1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．答案1．C 2.A 3.C 4.C 5.tan 2θ 6.－43 7．tan α28． 证明 方法一 利用半角正切公式．左边＝⎝⎛⎭⎫1－1－cos αsin α⎝⎛⎭⎫1＋1－cos αsin α2·cos αsin α＝⎝⎛⎭⎫1－tan α2⎝⎛⎭⎫1＋tan α22tan α＝⎝⎛⎭⎫1－tan 2α2tan α2＝⎝⎛⎭⎫1－tan 2α22·2tan α21－tan 2α2＝tan α2＝右边．方法二 利用二倍角公式． 左边＝⎝⎛⎭⎫2sin α2cos α2－2sin 2α2⎝⎛⎭⎫2sin α2cos α2＋2sin 2α24sin α2cos α2cos α＝⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2sin α2cos α2cos α＝⎝⎛⎭⎫cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2cos α＝cos αsinα2cos α2cos α＝tan α2 ＝右边．方法三 利用三角函数其他公式． 左边＝[sin α＋(cos α－1)][sin α－(cos α－1)]sin 2α＝sin 2α－cos 2α＋2cos α－1sin 2α＝2cos α－2cos 2α2sin αcos α＝2cos α(1－cos α)2sin αcos α＝1－cos αsin α＝tan α2＝右边．9． A 10.D 11.312．解 原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪sin α2，∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2<0，sin α2>0.∴原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cosα22＝－2cos α2.13．解 (1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12， 由tan α＝2得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝－35，所以f (α)＝12×⎝⎛⎭⎫45－35＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 从而f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.。

3.2倍角公式和半角公式知识梳理 1.倍角公式(1)公式：sin2α=2sinαcosα；(S 2α)cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；(C 2α) tan2α=αα2tan 1tan 2- .(T 2α)(2)公式的理解①成立的条件：在公式S 2α、C 2α中，角α可以为任意角，T 2α则只有当α≠kπ+2π及α≠2πk +4π(k ∈Z )时才成立. ②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是23α的二倍等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. ③cos2α的变形：cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α； cos 2α=22cos 1α+,sin 2α=22cos 1α-；(这两个公式称为降幂公式) 1+cos2α=2cos 2α，1-cos2α=2sin 2α.(这两个公式称为升幂公式)2.半角公式 (1)公式：sin2α=±2cos 1α-；cos2α=±2cos 1α+；tan2α=±ααcos 1cos 1+-=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +.(2)公式的理解①关于半角正切公式：tan2α=ααsin cos 1-不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：tan2α=±ααcos 1cos 1+-和tan 2α=ααcos 1sin +的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠(2k+1)π(k ∈Z )，而第一个公式除α≠(2k+1)π(k ∈Z )之外，还必须有α≠2kπ(k ∈Z ).当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用. ②对于半角公式，也必须明确“半角”是相对而言，不能认为2α才是半角.如2α是4α的半角，23α是3α的半角；反之，2α、2α分别是4α、α的倍角，正是根据这个思想，才由二倍角公式得出了半角公式.知识导学(1)要学好本节，有必要复习两角和的正弦、余弦、正切公式；(2)学好本节的小窍门：在公式的选择运用上，审题是关键，找准题目的突破口，选择适当的方法，定能事半功倍；(3)选择二倍角余弦公式形式的策略：①加余弦想余弦；②减余弦想正弦；幂升一次角减半；幂降一次角翻番.解释如下：疑难突破1.求半角的正切值常用什么方法？剖析:难点是半角的正切值公式有三种形式，到底选择哪个来处理问题.突破的路径是靠平时经验的积累.根据经验，处理半角的正切问题有三条途径：第一种方法是用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理；第二种方法是用tan2α=ααsin cos 1-来处理；第三种方法是用tan 2α=ααcos 1sin +来处理.例如：已知cosα=33，α为第四象限的角，求tan 2α的值. 解法一：(用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理)∵α为第四象限的角，∴2α是第二或四象限的角. ∴tan2α＜0. ∴tan2α=-ααcos 1cos 1+-=-331331+-=-32-=-21348-=-212)26(-=262-. 解法二：(用tan2α=ααsin cos 1-来处理)∵α为第四象限的角，∴sinα＜0. ∴sinα=-α2cos 1-=-311-=-36.∴tan 2α=ααsin cos 1-=36331--=262-. 解法三：(用tan2α=ααcos 1sin +来处理) ∵α为第四象限的角，∴sinα＜0. ∴sinα=-α2cos 1-=-311-=-36.∴tan 2α=ααcos 1sin +=33361--=3336--=262-.比较上述三种解法可知：在求半角的正切tan2α时，用tan 2α=±ααcos 1cos 1+-来处理，要由α所在的象限确定2α所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan 2α=ααsin cos 1-或tan 2α=ααcos 1sin +来处理，可以避免这些问题.尤其是tan 2α=ααsin cos 1-，分母是单项式，容易计算.因此常用tan 2α=ααsin cos 1-求半角的正切值.2.为什么说1+sinα和1-sinα是完全平方的形式？剖析:疑点是对此结论总是产生质疑.其突破的方法是学会推导.要明确这个问题，先从完全平方公式来分析.(a+b)2=a 2+2ab+b 2；(a-b)2=a 2-2ab+b 2，由此看一个式子是完全平方的形式，必须有a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2的形式特点.1±sinα要具备这种形式特点，需要进行恒等变形.观察到完全平方的式子中有a 2和b 2，联想1±sinα中的1能变形为平方和的形式，即变形的方向是1=a 2+b 2，sinα=2ab.由同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式得1±sinα=sin 22α+cos 22α±2sin 2αcos 2α=(sin 2α±cos 2α)2,这个结论应用很广泛.。

3．2．2 半角的正弦、余弦和正切课时目标1．了解半角公式及推导过程．2．能正确运用半角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和三角恒等式的证明．1．二倍角的余弦及其变形cos2α＝cos 2α－sin 2α＝__________＝____________；cos α＝_________________________________________________________________ ＝____________________＝_______________________________________________； sin2α2＝__________，cos2α2＝__________．2．半角公式(1)sin α2＝____________；(S α2)(2)cos α2＝______________；(C α2) (3)tan α2＝__________；(T α2) (4)tan α2＝__________________＝__________________________________________．一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2B ．1－cos α2 C ．－1＋cos α2D ．1＋cos α22．当tan α2≠0时，tan α2的值与sin α( )A ．同号B ．异号C ．有时同号有时异号D ．sin α可能为零3．已知α是第三象限角，sin α＝－2425，则tan α2等于( )A ．－34B ．34C ．43D ．－434．已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么sin2θ等于( )A ．223B ．－223C ．23D ．－235．已知π<θ<3π2，则12＋1212＋12cos θ等于( ) A ．sin θ4B ．cos θ4C ．－sin θ4D ．－cos θ46．若α是第三象限角，且sin(α＋β)·cos β－sin βcos(α＋β)＝－513，则tan α2的值为( )A ．－5B ．5C ．－513D ．513二、填空题7．tan67．5°－tan22．5°的值是________．8．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，tan θ2＝______．9．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________．10．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________．三、解答题11．已知cos α＝13，α为第四象限角，求sin α2、cos α2、tan α2．12．求证：cos 2α1tanα2－tan α2＝14sin2α．能力提升13．已知π<α<3π2，化简下面的式子．1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α．14．证明：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α＝tan α2．1．半角公式前面的正负号的选择(1)如果没有给出决定符号的条件，则要保留根号前的正负号； (2)若给出角α的具体范围时，则根号前的符号由角α2所在象限确定；(3)2．半角公式的三个变式：cos 22＝2，sin 22＝2，tan 2α2＝1－cos α1＋cos α．在实际进行三角函数的化简、求值、证明时经常用到．3．2．2 半角的正弦、余弦和正切答案知识梳理1．2cos 2α－1 1－2sin 2α cos 2α2－sin2α22cos2α2－11－2sin 2α21－cos α21＋cos α22．(1)±1－cos α2(2)±1＋cos α2(3)±1－cos α1＋cos α (4)sin α1＋cos α 1－cos αsin α作业设计 1．C2．A [∵sin α＝2sin α2cos α2，tan α2＝sinα2cosα2，∴sin α与tan α2同号．]3．D4．A [∵sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝59．∴sin 22θ＝89∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，sin2θ>0．∴sin2θ＝223．]5．A [∵π<θ<3π2，∴π2<θ2<3π4，π4<θ4<3π8，∴cos θ2<0，sin θ4>0，原式＝12＋12 cos 2θ2＝12－12cos θ2＝sin2θ4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ4＝sin θ4．]6．A [易知sin α＝－513，α是第三象限角，∴cos α＝－1213．∴tan α2＝sin α1＋cos α＝－5131＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－5．]7．2解析 tan67．5－tan22．5°＝1－cos 135°sin 135°－1－cos 45°sin 45°＝1＋2222－1－2222＝2．8．－2解 ∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，∴tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2．9．459解析 设α为该等腰三角形的一底角，则cos α＝23，顶角为180°－2α．∴sin(180°－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫232·23＝459．10．3解析 设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45，底角大小为12(180°－α)．∴tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(180°－α)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫90°－α2＝cot α2 ＝1＋cos αsin α＝1＋4535＝3．11．解 sin α2＝±1－cos α2＝±1－132＝±33， cos α2＝±1＋cos α2＝±1＋132＝±63． tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝±1－131＋13＝±22． ∵α为第四象限角，∴α2为第二、四象限角．当α2为第二象限角时， sin α2＝33，cos α2＝－63，tan α2＝－22；当α2为第四象限角时，sin α2＝－33，cos α2＝63， tan α2＝－22．12．证明 左边＝cos 2α1＋cos αsin α－1－cos αsin α＝cos 2α2cos αsin α＝12sin αcos α＝14sin2α．＝右边． ∴原式成立．13．解 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2，∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2<0，sin α2>0． ∴原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cosα22＝－2cos α2．14．证明 利用半角正切公式．左边＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－cos αsin α⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－cos αsin α2·cos αsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan α2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan α22tan α＝⎝⎛⎭⎪⎫1－tan 2α2tan α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan 2α22·2tanα21－tan2α2＝tan α2＝右边．。