高中数学(人教A版,选修21)【课时作业与单元检测】：第二章 圆锥曲线与方程(10份)2.4.1

§ 2.4抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程．1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________． 2．抛物线的标准方程 (1)方程y 2＝±2px ，x 2＝±2py(p>0)叫做抛物线的________方程．(2)抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向_______．(3)抛物线y 2＝－2px(p>0)的焦点坐标是____________，准线方程是__________，开口方向________．(4)抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．(5)抛物线x 2＝－2py(p>0)的焦点坐标是______，准线方程是________，开口方向________．一、选择题1．抛物线y 2＝ax(a ≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A .|a|4 B .|a|2 C ．|a| D ．－a 22．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x3．抛物线y 2＝2px(p>0)上一点M 到焦点的距离是a(a>p2)，则点M 的横坐标是( )A ．a ＋p2 B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p4．过点M(2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条5．已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－26．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF|＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF等于( )A .45B .23C .47D .1二、填空题7．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________．8．若动点P 在y ＝2x 2＋1上，则点P 与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．9．已知抛物线x 2＝y ＋1上一定点A(－1,0)和两动点P ，Q ，当PA ⊥PQ 时，点Q 的横坐标的取值范围是______________． 三、解答题10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．11．求焦点在x 轴上且截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15的抛物线的标准方程．能力提升12．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A .12B ．1C ．2D ．4 13．已知抛物线y 2＝2px (p>0)上的一点M 到定点A ⎝⎛⎭⎫72，4和焦点F 的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．1．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．2．焦点在y 轴上的抛物线的标准方程x 2＝2py 通常又可以写成y ＝ax 2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y ＝ax 2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．§2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程知识梳理1．相等 焦点 准线2．(1)标准 (2)(p 2，0) x ＝－p2向右(3)(－p 2，0) x ＝p 2 向左 (4)(0，p 2) y ＝－p 2 向上 (5)(0，－p 2) y ＝p2 向下作业设计1．B [因为y 2＝ax ，所以p ＝|a |2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a |2，故选B.]2．D [由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y22＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .]3．B [由抛物线的定义知：点M 到焦点的距离a 等于点M 到抛物线的准线x ＝－p2的距离，所以点M 的横坐标即点M 到y 轴的距离为a －p2.]4．C [容易发现点M (2,4)在抛物线y 2＝8x 上，这样l 过M 点且与x 轴平行时，或者l 在M 点处与抛物线相切时，l 与抛物线有一个公共点，故选C.]5．B [∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px 得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.]6．A [如图所示，设过点M (3，0)的直线方程为y ＝k (x －3)，代入y 2＝2x 并整理， 得k 2x 2－(23k 2＋2)x ＋3k 2＝0，则x 1＋x 2＝23k 2＋2k 2.因为|BF |＝2，所以|BB ′|＝2.不妨设x 2＝2－12＝32是方程的一个根，可得k 2＝3⎝⎛⎭⎫32－32，所以x 1＝2.S △BCF S △ACF ＝12|BC |·d12|AC |·d ＝|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|＝22＋12＝45.]7．y ＝3解析 抛物线x 2＋12y ＝0，即x 2＝－12y ，故其准线方程是y ＝3. 8．y ＝4x 29．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 由题意知，设P (x 1，x 21－1)，Q(x 2，x 22－1)，即(－1－x 1,1－x 21)·(x 2－x 1，x 22－x 21)＝0，也就是(－1－x 1)·(x 2－x 1)＋(1－x 21)·(x 22－x 21)＝0. ∵x 1≠x 2，且x 1≠－1，∴上式化简得x 2＝11－x 1－x 1＝11－x 1＋(1－x 1)－1，由基本不等式可得x 2≥1或x 2≤－3.10．解 设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎫3－p22＝5，解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26，或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2. 11．解 设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．① 直线方程变形为y ＝2x ＋1，② 设抛物线截直线所得弦为AB .②代入①，整理得4x 2＋(4－a )x ＋1＝0，则|AB |＝(1＋22)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －442－4×14＝15.解得a ＝12或a ＝－4.∴所求抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .12．C [本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－p2.∵准线与圆相切，圆的方程为(x －3)2＋y 2＝16，∴3＋p2＝4，∴p ＝2.方法二 作图可知，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切于点(－1,0)，所以－p2＝－1，p ＝2.]13．解(1)当点A 在抛物线内部时，如图，42<2p ·72，即p >167时，|MF |＋|MA |＝|MA ′|＋|MA |.当A ，M ，A ′共线时，(|MF |＋|MA |)min ＝5，故p 2＋72＝5，∴p ＝3满足p >167，∴抛物线方程为y 2＝6x .(2)当点A 在抛物线外部或在抛物线上时42≥2p ·72，即0<p ≤167时，连结AF 交抛物线于M ，此时(|MA |＋|MF |)最小，即|AF |＝5.即 ⎝⎛⎭⎫72－p 22＋42＝5，∴p ＝1或p ＝13(舍)． ∴抛物线方程为y 2＝2x .综上抛物线方程为y 2＝6x 或y 2＝2x .。

§2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程课时目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．1．椭圆的概念：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于________(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．当|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|时，轨迹是______________，当|PF 1|＋|PF 2|<|F 1F 2|时__________轨迹．2．椭圆的方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为________________，焦点坐标为________________，焦距为____________；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________．一、选择题1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段2．椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．4 3．椭圆2x 2＋3y 2＝1的焦点坐标是( )A .⎝⎛⎭⎫0，±66 B ．(0，±1)C ．(±1,0)D .⎝⎛⎭⎫±66，04．方程x 2|a|－1＋y2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)B ．(－3，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－3,1)5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点⎝⎛⎭⎫52，－32，则该椭圆的方程是( ) A .y 28＋x 24＝1 B .y 210＋x 26＝1 C .y 24＋x 28＝1 D .y 26＋x 210＝1 6．设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．8．P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的点，F 1和F 2是该椭圆的焦点，则k ＝|PF 1|·|PF 2|的最大值是______，最小值是______．9．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，地球半径为R ，那么这个椭圆的焦距为________千米． 三、解答题10．根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭⎫－32，52.11．已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．能力提升13.如图△ABC 中底边BC ＝12，其它两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>|F 1F 2|时轨迹才是椭圆，如果2a ＝|F 1F 2|，轨迹是线段F 1F 2，如果2a<|F 1F 2|，则不存在轨迹．2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx 2＋ny 2＝1 (m ，n 为不相等的正数)．§2.2 椭 圆2.2.1 椭圆及其标准方程知识梳理1．常数 椭圆 焦点 焦距 线段F 1F 2 不存在 2.x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) 2c y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0) 作业设计1．D [∵|MF 1|＋|MF 2|＝6＝|F 1F 2|， ∴动点M 的轨迹是线段．] 2．B [由椭圆方程知2a ＝8，由椭圆的定义知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝8，所以△ABF 2的周长为16.] 3．D4．B [|a |－1>a ＋3>0.]5．D [椭圆的焦点在x 轴上，排除A 、B ，又过点⎝⎛⎭⎫52，－32验证即可．] 6．D [由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8.由题可得||PF 1|－|PF 2||＝2，则|PF 1|＝5或3，|PF 2|＝3或5. 又|F 1F 2|＝2c ＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．] 7．2 120° 解析∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 2|＝6－|PF 1|＝2. 在△F 1PF 2中， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝16＋4－282×4×2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.8．4 3解析 设|PF 1|＝x ，则k ＝x (2a －x )， 因a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ，即1≤x ≤3.∴k ＝－x 2＋2ax ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∴k max ＝4，k min ＝3. 9．m －n解析 设a ，c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝m ＋R a －c ＝n ＋R ，则2c ＝m －n . 10．解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．∵2a ＝10，∴a ＝5，又∵c ＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)．由椭圆的定义知，2a ＝ ⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52＋22＋ ⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22＝3102＋102＝210， ∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.故所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.11．解 ∵|PM |＝|P A |，|PM |＋|PO 1|＝4， ∴|PO 1|＋|P A |＝4，又∵|O 1A |＝23<4， ∴点P 的轨迹是以A 、O 1为焦点的椭圆， ∴c ＝3，a ＝2，b ＝1，∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1.13．解 以BC 边所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示坐标系， 则B (6,0)，C (－6,0)，CE 、BD 为AB 、AC 边上的中线， 则|BD |＋|CE |＝30. 由重心性质可知|GB |＋|GC |＝23(|BD |＋|CE |)＝20.∵B 、C 是两个定点，G 点到B 、C 距离和等于定值20，且20>12， ∴G 点的轨迹是椭圆，B 、C 是椭圆焦点． ∴2c ＝|BC |＝12，c ＝6,2a ＝20，a ＝10， b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64，故G 点的轨迹方程为x 2100＋y 264＝1，去掉(10,0)、(－10,0)两点．又设G (x ′，y ′)，A (x ，y )，则有x ′2100＋y ′264＝1.由重心坐标公式知⎩⎨⎧x ′＝x 3，y ′＝y 3.故A 点轨迹方程为(x 3)2100＋(y 3)264＝1.即x 2900＋y2576＝1，去掉(－30,0)、(30,0)两点．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则它的标准方程是( ) A.y 218－x 218＝1 B.x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1D.y 28－x 28＝1【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)， ∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18，故双曲线方程为x 218－y 218＝1.【答案】 B2．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1，0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【解析】 因为双曲线方程为x 2－y24＝1，所以P (1，0)是双曲线的右顶点，所以过P (1，0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P (1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】 B3．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( ) 【导学号：18490063】A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2【解析】 由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得32c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C. 【答案】 C4．若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【解析】 若0<k <5，则5－k >0，16－k >0，故方程x 216－y 25－k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k 4；同理方程x 216－k －y 25＝1也表示焦点在x 轴上的双曲线，实半轴的长为16－k ，虚半轴的长为5，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k16－k.可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】 D5．双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2D.32【解析】 双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y ＝±x ，即ba ＝1，e ＝ca ＝ 2.【答案】 C 二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________． 【解析】 ∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5， ∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2. 【答案】 27．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．【解析】 由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5，0)，且A (5，0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】 448．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【解析】由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝b a x ，得点A 的坐标为： ⎝ ⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ， 由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－b a x ，得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ， 则AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2，∵k AB ＝13，∴k CP ＝3b 2m 9b 2－a 2a 2m 9b 2－a 2－m＝－3，即3b 2a 2－（9b 2－a 2）＝－3，化简得a 2＝4b 2， 即a 2＝4(c 2－a 2)，∴4c 2＝5a 2， ∴e 2＝54，∴e ＝52.【答案】 52 三、解答题9．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率．【解】 由椭圆x 216＋y 264＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上， ∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ， ∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2a 2＝1. 又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24. ∴所求双曲线的方程为y 224－x 224＝1. 由a 2＝24，c 2＝48， 得e 2＝c 2a 2＝2，又e >0，∴e ＝ 2.10．已知双曲线x 23－y 2b 2＝1的右焦点为(2，0)． (1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积． 【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2，0)，且双曲线方程为x 23－y 2b2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3＋b 2＝4，∴b 2＝1，∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1. (2)∵a ＝3，b ＝1，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ， 令x ＝－2，则y ＝±233，设直线x ＝－2与双曲线的渐近线的交点为A ，B ，则|AB |＝433，记双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积为S ，则S ＝12×433×2＝43 3.[能力提升]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A.355B.62C.32D.55【解析】 曲线C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3，0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b 2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A.【答案】 A2．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ＋5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0【解析】 由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，故选D.【答案】 D3．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．【解析】 双曲线的左焦点为F 1(－2，0)， 将直线AB 的方程y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程， 得8x 2－4x －13＝0.显然Δ＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，∴|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3. 【答案】 34．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程； 【导学号：18490064】(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA→·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围． 【解】 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0， 由直线l 与双曲线交于不同的两点得：⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）>0， 即k 2≠13且k 2<1.①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B＝－91－3k 2， 由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B>2， 而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1，于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3. ②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。

§ 2.3双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为________________________________________________________________________． 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________． (2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做__________________，两焦点间的距离叫做__________________． 2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B .x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1D .x 22－y 22＝1 4．双曲线x 2m －y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A .12B ．1或3C .1＋22D .2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( ) A .x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y22＝1题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题8．已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．9．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝________________________________________________________________________. 三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) (－c,0) (c,0)(2)y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0) (0，－c ) (0，c ) (3)c 2＝a 2＋b 2 作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙， 只有当2a <|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab <0，所以ba <0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线，故选B.]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)．由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b2＝1.②由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.]4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m ＋3＋m ＝c 2＝4.∴m ＝12.]5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.]7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4，又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2 ＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2. 8．－1<k <1解析 因为方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k )(1－k )>0.所以(k ＋1)(k －1)<0. 所以－1<k <1.解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有 ⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)， 又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)． 所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4， 即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.11．解 设A 点的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，代入sin B －sin C ＝12sin A ， 得|AC |2R －|AB |2R ＝12·|BC |2R ，又|BC |＝8， 所以|AC |－|AB |＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1 (x >2)．12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P (x ，y )(x ≥3)，13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1，且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知，中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y 25＝1.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则它的标准方程是( ) A.y 218－x 218＝1 B.x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1D.y 28－x 28＝1【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)， ∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18，故双曲线方程为x 218－y 218＝1.【答案】 B2．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1，0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【解析】 因为双曲线方程为x 2－y24＝1，所以P (1，0)是双曲线的右顶点，所以过P (1，0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P (1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】 B3．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( ) 【导学号：18490063】A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2【解析】 由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得32c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C. 【答案】 C4．若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【解析】 若0<k <5，则5－k >0，16－k >0，故方程x 216－y 25－k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k 4；同理方程x 216－k －y 25＝1也表示焦点在x 轴上的双曲线，实半轴的长为16－k ，虚半轴的长为5，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k16－k.可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】 D5．双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2D.32【解析】 双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y ＝±x ，即ba ＝1，e ＝ca ＝ 2.【答案】 C 二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________． 【解析】 ∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5， ∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2. 【答案】 27．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．【解析】 由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5，0)，且A (5，0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】 448．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【解析】由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝b a x ，得点A 的坐标为： ⎝ ⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ， 由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－b a x ，得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ， 则AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2，∵k AB ＝13，∴k CP ＝3b 2m 9b 2－a 2a 2m 9b 2－a 2－m＝－3，即3b 2a 2－（9b 2－a 2）＝－3，化简得a 2＝4b 2， 即a 2＝4(c 2－a 2)，∴4c 2＝5a 2， ∴e 2＝54，∴e ＝52.【答案】 52 三、解答题9．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率．【解】 由椭圆x 216＋y 264＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上， ∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ， ∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2a 2＝1. 又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24. ∴所求双曲线的方程为y 224－x 224＝1. 由a 2＝24，c 2＝48， 得e 2＝c 2a 2＝2，又e >0，∴e ＝ 2.10．已知双曲线x 23－y 2b 2＝1的右焦点为(2，0)． (1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积． 【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2，0)，且双曲线方程为x 23－y 2b2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3＋b 2＝4，∴b 2＝1，∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1. (2)∵a ＝3，b ＝1，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ， 令x ＝－2，则y ＝±233，设直线x ＝－2与双曲线的渐近线的交点为A ，B ，则|AB |＝433，记双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积为S ，则S ＝12×433×2＝43 3.[能力提升]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A.355B.62C.32D.55【解析】 曲线C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3，0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b 2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A.【答案】 A2．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ＋5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0【解析】 由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，故选D.【答案】 D3．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．【解析】 双曲线的左焦点为F 1(－2，0)， 将直线AB 的方程y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程， 得8x 2－4x －13＝0.显然Δ＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，∴|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3. 【答案】 34．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程； 【导学号：18490064】(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA→·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围． 【解】 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0， 由直线l 与双曲线交于不同的两点得：⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）>0， 即k 2≠13且k 2<1.①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B＝－91－3k 2， 由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B>2， 而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1，于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3. ②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－2x B．y2＝2xC．x2＝2y D．x2＝－2y【解析】由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－2)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.【答案】 B2．以双曲线x216－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A．y2＝16x B．y2＝－16x C．y2＝8x D．y2＝－8x【解析】因为双曲线x216－y29＝1的右顶点为(4，0)，即抛物线的焦点坐标为(4，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x.【答案】 A3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y2＝43x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于()A. 2B. 3C ．2D ．2 3【解析】 抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由b a ＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝c 2－a 2，所以c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3.【答案】 B4．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线y 23－x 29＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为( )A ．3 3B ．2 3C ．2 D. 3【解析】 抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝±33x ，它们所围成的三角形为边长等于23的正三角形，所以面积为33，故选A.【答案】 A5．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】 由y 2＝2px ＝8x 知p ＝4，又焦点到准线的距离就是p .故选C.【答案】 C二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．【解析】 抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.【答案】 27．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)【解析】 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上的一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．【答案】 ②④8．抛物线y ＝2x 2的准线方程为________．【解析】 化方程为标准方程为x 2＝12y ，故p 2＝18，开口向上，∴准线方程为y ＝－18.【答案】 y ＝－18三、解答题9．求焦点在x 轴上，且焦点在双曲线x 24－y 22＝1上的抛物线的标准方程．【解】 由题意可设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，则焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0. ∵焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，∴m 24×4＝1，求得m ＝±4， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .10．已知平面上动点P 到定点F (1，0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程. 【导学号：18490069】【解】 法一 设点P 的坐标为(x ，y )， 则有（x －1）2＋y 2＝|x |＋1.两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x （x ≥0），0（x ＜0）， 即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．法二 由题意知，动点P 到定点F (1，0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1，0)到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y ＝0上的点符合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1，0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．[能力提升]1．已知P 为抛物线y 2＝4x 上的一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )A ．2 2B ．4 C. 2 D.322＋1【解析】 将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为点P 到焦点F (1，0)的距离，过点F 作直线l 2的垂线，交抛物线于点P ，此即为所求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为|1＋0＋3|12＋12＝22，故选A. 【答案】 A2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 为原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.322 D ．2 2【解析】 根据题意画出简图(图略)，设∠AFO ＝θ(0<θ<π)，|BF |＝m ，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ，得cosθ＝13，又m ＝2＋m cos(π－θ)，得m ＝21＋cos θ＝32，△AOB 的面积为S ＝12·|OF |·|AB |·sin θ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32×223＝322，故选C. 【答案】 C3．如图2-4-1是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.图2-4-1【解析】 以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)．则A (2，－2)，代入方程得p ＝1，∴抛物线的方程为x 2＝－2y ，设B (x 0，－3)(x 0<0)代入方程得x 0＝－ 6.∴此时的水面宽度为2 6 m.【答案】 2 64．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263是两条曲线的一个公共点. 【导学号：18490070】(1)求抛物线的方程；(2)求双曲线的方程．【解】 (1)把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263代入方程y 2＝2px ， 得p ＝2，因此抛物线的方程为y 2＝4x .(2)抛物线的准线方程为x ＝－1，所以F 1(－1，0)，设双曲线的右焦点为F ，则F (1，0)，于是2a ＝||MF 1|－|MF ||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪73－53＝23， 因此a ＝13.又因为c ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝89， 于是，双曲线的方程为x 219－y 289＝1.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

第二章单元质量评估(二)时限：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( C ) A ．4B ．－4C ．－14 D.142．若椭圆x 23m ＋y 22m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则实数m 的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 解析：本题主要考查椭圆的基本概念．由题意得3m >0,2m ＋1>0且2m ＋1>3m ，得0<m <1，故选B.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( C )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x 解析：本题主要考查有关双曲线基本概念的运算．∵e 2＝c2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，∴b 2a 2＝14.又a >0，b >0，∴b a ＝12，∴C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C.4．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( C )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1 解析：如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义得|AF 1|＝2a －32 ①.在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22 ②.由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，应选C.5．已知双曲线y 2－x 2＝1的离心率为e ，且抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(e 2,0)，则p 的值为( D )A ．－2B ．－4C ．2D ．4解析：由条件知，双曲线的离心率为e ＝2，所以抛物线焦点坐标为(2,0)，所以p2＝2，所以p ＝4.故选D.6．如图，过抛物线y 2＝3x 的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则|AB |＝( A )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：本题主要考查抛物线的定义．如图，分别过点A ，B 作AA 1，BB 1垂直于准线l ，垂足分别为A 1，B 1，由抛物线的定义得|BF |＝|BB 1|.∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3， ∴|BF |＝1，|AB |＝4，故选A.7．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( C )A ．－13 B.13 C ．±13 D ．±12解析：本题主要考查椭圆的焦点、离心率等概念及斜率公式的应用．由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C. 8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点间的线段F 1F 2正好被椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点三等分，则该双曲线的渐近线方程为( B )A ．y ＝±53xB ．y ＝±255xC ．y ＝±355x D ．y ＝±5x解析：∵双曲线的焦距为2a 2＋b 2，椭圆的焦距为2a 2－b 2，∴2a 2－b 2＝13·2a 2＋b 2，整理得4a 2＝5b 2，则a ＝52b .代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±255x .9．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( A )A ．m >n ，且e 1e 2>1B ．m >n ，且e 1e 2<1C ．m <n ，且e 1e 2>1D ．m <n ，且e 1e 2<1解析：∵椭圆与双曲线的焦点重合，∴m 2－1＝n 2＋1.∴m 2－n 2＝2，∴m >n .∵e 1＝1－1m 2，e 2＝1＋1n 2，∴e 1e 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＝1＋1n 2－1m 2－1m 2n 2＝1＋m 2－n 2－1m 2n 2＝1＋1m 2n 2>1.10．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，在椭圆上有一个异于点A ，B 的动点P ，若直线P A 的斜率为k 0，则直线PB 的斜率为( B )A.34k 0 B ．－34k 0C ．－34k 0D ．－32k 0解析：本题主要考查斜率公式及椭圆方程的综合运算．由题设知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x 0，y 0)(x 0≠±2)，∴k P A ＝y 0x 0＋2，k PB ＝y 0x 0－2.∵点P 在椭圆上，∴x 204＋y 203＝1，∴y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204，∴k P A ·k PB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 204x 20－4＝－34.∵k P A ＝k 0，∴k PB ＝－34k 0，故选B.11．抛物线x 2＝－6by 的准线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右支分别交于B ，C 两点，A 为双曲线的右顶点，O 为坐标原点，若∠AOC ＝∠BOC ，则双曲线的离心率为( C )A.233 B ．3 C.433 D ．2 3解析：抛物线的准线为y ＝32b ，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－132a ，32b ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫132a ，32b .易得∠AOC ＝∠BOC ＝60°，∴k OC ＝313b13a ＝tan60°＝ 3.∴b 2a 2＝133，∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋133＝433，故选C.12．在焦点在x 轴上的椭圆中截得的最大矩形的面积范围是[3b 2,4b 2]，则椭圆离心率的范围是( A )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤24，33解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．不妨设矩形ABCD 的对角线AC 所在直线方程为y ＝kx (假设k >0)．联立⎩⎨⎧y ＝kx ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，解得x 2＝a 2b 2b 2＋a 2k 2，y 2＝a 2b 2k 2b 2＋a 2k2.所以矩形ABCD 的面积S ＝4|xy |＝4a 2b 2k b 2＋a 2k 2＝4a 2b 2b 2k ＋a 2k ≤4a 2b 22b 2k ·a 2k ＝2ab ，当且仅当k ＝ba 时取等号．所以3b 2≤2ab ≤4b 2，解得12≤b a ≤23. 所以e ＝ca ＝1－b 2a 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，32.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝2 2.解析：双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为(－2，0)，故抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－2，所以p2＝2，解得p ＝2 2.14．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到F (3,0)的距离为6，O 为坐标原点，若OQ →＝12(OP →＋OF →)，则|OQ →|＝1或5. 解析：本题主要考查双曲线的定义及向量的中点表示．由题意知点F (3,0)为双曲线的右焦点．设双曲线x 24－y 25＝1的左焦点为F 1，由OQ →＝12(OP →＋OF →)，知Q 为PF 的中点．连接PF 1，则|OQ →|＝12|PF 1→|.由||PF 1→|－|PF →||＝4，|PF →|＝6，得|PF 1→|＝2或10，故|OQ →|＝1或5. 15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，A (－a,0)，B (0，b )为椭圆的两个顶点，若F 到直线AB 的距离等于b 7，则椭圆的离心率为12. 解析：直线AB 的方程为y b ＋x－a ＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.设F (－c,0)，则|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b 7，即|a －c |a 2＋b2＝17.因而7|a －c |＝a 2＋b 2. 又b 2＝a 2－c 2，代入上式，并整理得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，于是8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝12或e ＝54(舍去)．16．设抛物线M ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 是双曲线N ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，若M 与N 的公共弦AB 恰好过点F ，则双曲线N 的离心率e ＝2＋1.解析：本题主要考查双曲线、抛物线的焦点．∵抛物线M ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，双曲线N ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)，∴p 2＝c .又公共弦AB 恰好过点F ，得AB 为抛物线M 的通径，∴AB ＝2p ＝2b 2a ，∴b 2＝2ac ⇒c 2－a 2＝2ac ，∴e 2－2e －1＝0，∴e ＝2＋1或e ＝1－2(舍去)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)椭圆的两个焦点F 1，F 2在x 轴上，以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点为P (3,4)，求椭圆的标准方程．解：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点坐标为F 1(c,0)，F 2(－c,0)． ∵以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点为P (3,4)，∴c ＝|OP |＝32＋42＝5.∴⎩⎨⎧32a 2＋42b2＝1，a 2＝b 2＋52，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝45，b 2＝20，∴所求椭圆的方程为x 245＋y 220＝1. 18．(12分)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示|AB |；(2)若OA →·OB→＝－3，求这个抛物线的方程． 解：(1)抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程是y ＝x －p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝x －p2，得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2. ∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .19．(12分)设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 中的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M ⎝⎛⎭⎪⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求k 的值．解：(1)过P 作x 轴的垂线且垂足为N ，由题意可知|PM |－|PN |＝12，而y ≥0，所以|PN |＝y ，所以 x 2＋(y －12)2＝y ＋12，化简得x 2＝2y (y ≥0)为所求的方程．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝2y得x 2－2kx －2＝0，所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2，|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 24k 2＋8＝26，所以k 4＋3k 2－4＝0，而k 2≥0，所以k 2＝1，所以k ＝±1.20．(12分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．(1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论．(2)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值范围． 解：(1)x 1＋x 2＝0，证明：点F 在直线l 上⇒|F A |＝|FB |⇒A ，B 两点到抛物线的准线的距离相等，∵抛物线的准线是x 轴的平行线，∴上述条件等价于y 1＝y 2⇒x 21＝x 22⇒(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0，∵x 1≠x 2，∴当且仅当x 1＋x 2＝0时，直线l 经过抛物线的焦点F . (2)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意，得l 的方程为y ＝2x ＋b .则过点A ，B 的直线方程可写为y ＝－12x ＋m ，联立⎩⎨⎧y ＝2x 2，y ＝－12x ＋m ，化简得2x 2＋12x －m ＝0，∴x 1＋x 2＝－14.∵A ，B 为抛物线上不同的两点，∴上述方程的判别式Δ＝14＋8m >0，即m >－132.设AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝－18，y 0＝－12x 0＋m ＝116＋m .又点N 在直线l 上，∴116＋m ＝－14＋b ，于是b ＝516＋m >516－132＝932，∴l 在y 轴上的截距的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫932，＋∞. 21．(12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2F 1F 2→＋F 2Q →＝0，过A ，Q ，F 2三点的圆的半径为2.过定点M (0,2)的直线l 与椭圆C 交于G ，H 两点(点G 在点M ，H 之间)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 的斜率k >0，在x 轴上是否存在点P (m,0)，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由．解：(1)因为2F 1F 2→＋F 2Q →＝0，所以F 1为F 2Q 中点．设Q 的坐标为(－3c,0)，因为AQ ⊥AF 2，所以b 2＝3c ×c ＝3c 2，a 2＝4c ×c＝4c 2，且过A ，Q ，F 2三点的圆的圆心为F 1(－c,0)，半径为2c ，所以c ＝1. 所以a ＝2.b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k >0)，与椭圆方程联立，消去y 可得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0.设点G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k3＋4k 2. 所以PG →＋PH →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，k (x 1＋x 2)＋4)．又GH →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＝(x 2－x 1，k (x 2－x 1))， 由于菱形对角线互相垂直，则(PG →＋PH →)·GH →＝0，所以(x 2－x 1)[(x 1＋x 2)－2m ]＋k (x 2－x 1)[k (x 1＋x 2)＋4]＝0.故(x 2－x 1)[(x 1＋x 2)－2m ＋k 2(x 1＋x 2)＋4k ]＝0. 因为k >0，所以x 2－x 1≠0.所以(x 1＋x 2)－2m ＋k 2(x 1＋x 2)＋4k ＝0，即(1＋k 2)(x 1＋x 2)＋4k －2m ＝0，所以(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 3＋4k 2＋4k －2m ＝0，解得m ＝－2k3＋4k 2，即m ＝－23k ＋4k. 由Δ>0，且k >0，可得k >12.因为k >12，可以使3k ＝4k ，所以－36≤m <0.故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－36，0.22．(12分)已知两定点E (－2,0)，F (2,0)，动点P 满足PE →·PF →＝0，由点P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，点M 满足PM →＝MQ →，点M 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点D (0，－2)作直线l 与C 交于A ，B 两点，点N 满足ON→＝OA →＋OB →(O 为原点)，求四边形OANB 面积的最大值，并求此时的直线l 的方程．解：(1)因为动点P 满足PE →·PF→＝0，所以点P 的轨迹是以EF 为直径的圆，所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.设M (x ，y )是曲线C 上任一点，因为PQ ⊥x 轴，PM→＝MQ →，所以点P 的坐标为(x,2y )， 因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 2＋(2y )2＝4，所以曲线C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)因为ON→＝OA →＋OB →，所以四边形OANB 为平行四边形， 当直线l 的斜率不存在时显然不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx －2，l 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由⎩⎨⎧ y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，由Δ＝162k 2－48(1＋4k 2)>0，得k 2>34，所以x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2， 因为S △OAB ＝12|OD ||x 1－x 2|＝|x 1－x 2|，所以S▱OANB ＝2S △OAB ＝2|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 1＋4k 22－4×121＋4k 2＝2162k 2－48(1＋4k 2)(1＋4k 2)2＝84k 2－3(1＋4k 2)2， 令4k 2－3＝t ，则4k 2＝t ＋3(由上可知t >0)， S ▱OANB ＝8t (t ＋4)2＝818＋t ＋16t ≤8116＝2， 当且仅当t ＝4，即k 2＝74时取等号；所以当k ＝±72，平行四边形OANB面积的最大值为2，7此时直线l的方程为y＝±2x－2.。

第二章单元质量评估(一)时限：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．若椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( D )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：由题意知椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．已知焦点在y 轴上的椭圆x 29＋y 2m ＋9＝1的离心率为12，则m ＝( A )A ．3B ．3或－94C ．－94 D ．63－9 解析：根据题意，12＝mm ＋9，解得m ＝3. 3．若△ABC 的两个顶点坐标为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( A )A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.x 29＋y 225＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0)D.x 29＋y 216＝1(y ≠0)解析：由题意得|CA |＋|CB |＝10>|AB |，所以顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点，且a ＝5的椭圆．又因为A ，B ，C 三点不共线，所以顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．4．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )A.73B.54C.43D.53解析：由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，点(3，－4)在渐近线上，∴b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53.5．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( A )A.316B.38C.163D.83解析：抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，故双曲线x 2m －y 2n ＝1中，m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1 ①，又e ＝c m＝m ＋nm ＝2 ②，联立方程①②，解得m ＝14，n ＝34.故mn ＝316.6．已知F 1，F 2 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率e ＝32，则椭圆的方程是( D )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 23＝1C.x 216＋y 212＝1D.x 216＋y 24＝1解析：由椭圆的定义知|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＝16，∴a ＝4.又e ＝ca ＝32，∴c ＝23，∴b 2＝42－(23)2＝4， ∴椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.7．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( A )A ．x 2＝2y －1 B ．x 2＝2y －116 C ．x 2＝y －12 D ．x 2＝2y －2解析：焦点为F (0,1)，设P (p ，q )，则p 2＝4q .设Q (x ，y )是线段PF 的中点，则x ＝p2，y ＝q ＋12，即p ＝2x ，q ＝2y －1，代入p 2＝4q 得，(2x )2＝4(2y －1)，即x 2＝2y －1.8．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( D )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2 解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图所示，|AB |＝|BM |＝2a ，∠MBA ＝120°，过点M 作MH ⊥x 轴于点H ，则∠MBH ＝60°，|BH |＝a ，|MH |＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.9．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，设某条弦过点P ，且以P 为中点，那么这条弦所在直线的方程为( B )A ．3x ＋2y －12＝0B ．2x ＋3y －12＝0C ．4x ＋9y －144＝0D ．9x ＋4y －144＝0解析：设满足题意的直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋9y 21＝144，4x 22＋9y 22＝144. 两式相减得4(x 21－x 22)＋9(y 21－y 22)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－4(x 1＋x 2)9(y 1＋y 2)＝－23. 由此可得所求的直线方程为y －2＝－23(x －3)，即2x ＋3y －12＝0. 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( D )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1解析：因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b .所以y ＝±25b .则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆C 的方程为x220＋y 25＝1，故选D.11．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA→|＝( B ) A.214p B.212p C.136p D.1336p解析：易知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.设A (x 0，y 0)，则F A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－p 2，y 0.x 轴方向上的单位向量为i ＝(1,0)，由夹角为60°，得cos60°＝F A →·i|F A →||i |＝x 0－p2⎝⎛⎭⎪⎫x 0－p 22＋y 20， 将y 20＝2px 0代入上式并化简，得x 0－p2x 0＋p 2＝12，解得x 0＝3p 2，y 20＝3p 2. 故|OA →|2＝x 20＋y 20＝9p 24＋3p 2＝21p 24，|OA →|＝21p 2.12．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( B )A ．2B ．3 C.1728 D.10 解析：设AB 所在直线方程为x ＝my ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝x ，消去x ，得y 2－my －t ＝0. 设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)(不妨令y 1>0，y 2<0)，故y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－t .而OA →·OB →＝y 21y 22＋y 1y 2＝2. 解得y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1(舍去)． 所以－t ＝－2，即t ＝2. 所以直线AB 过定点M (2,0)．而S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1－y 2|＝y 1－y 2，S △AFO ＝12|OF |×y 1＝12×14y 1＝18y 1，故S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1＝98y 1－y 2.由98y 1－y 2＝98y 1＋(－y 2)≥298y 1×(－y 2)＝298×2＝3，得S △ABO ＋S △AFO 的最小值为3，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．已知以原点O 为中心，F (5，0)为右焦点的双曲线C 的离心率e ＝52，则双曲线C 的标准方程为x 24－y 2＝1，渐近线方程为x －2y ＝0和x ＋2y ＝0.解析：设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意知c ＝5，又e ＝c a ＝52，因此a ＝2，b ＝c 2－a 2＝1.故双曲线C 的标准方程为x 24－y 2＝1，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x ，即x －2y ＝0和x ＋2y ＝0.14．如图，过直线y ＝2与抛物线x 2＝8y 的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为x 2＋(y －2)2＝16.解析：依题意，抛物线x 2＝8y 的焦点(0,2)即为圆心，准线y ＝－2与圆相切，圆心到切线的距离等于半径，所以半径为2－(－2)＝4，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝16.15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 与m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是12.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝am ，2n 2＝2m 2＋c 2，c 2＝m 2＋n 2，消去m ，n 得4c 2＝a 2，故椭圆的离心率e ＝c a ＝12.16．已知椭圆C 的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合；过点M (1,1)且斜率为－12的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.解析：焦点坐标为(2,0)．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21a 2－4＝1， ①x 22a 2＋y22a 2－4＝1， ②②－①得，(x 2＋x 1)(x 2－x 1)a 2＝－(y 2＋y 1)(y 2－y 1)a 2－4. ③ ∵y 2＋y 1x 2＋x 1＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－12，∴代入③式解得a 2＝8.∴b 2＝a 2－c 2＝4，∴所求椭圆方程为：x 28＋y 24＝1.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3，求椭圆的标准方程．解：依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2＝1.设右焦点为(c,0)，则|c ＋22|2＝3，∴c ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝3，∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.18．(12分)抛物线y ＝－x 22与过点M (0，－1)的直线l 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 和OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程．解：设直线方程为y ＝kx －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx －1，y ＝－x 22，得x 2＋2kx －2＝0，∴Δ＝(2k )2－4×(－2)＝4k 2＋8>0，∴x 1＋x 2＝－2k ，x 1x 2＝－2， 又1＝y 1x 1＋y 2x 2＝kx 1－1x 1＋kx 2－1x 2＝2k －x 1＋x 2x 1x 2＝2k －k ＝k ，即k ＝1，故所求直线方程为y ＝x －1.19．(12分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a . ①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |，设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎨⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1，代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1. ②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意，得a 2－b 2a ＝22，又点(2，2)在C 上，所以4a 2＋2b 2＝1，两方程联立，可解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝kx M ＋b ＝b2k 2＋1.所以直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－12k ，所以k OM ·k ＝－12.故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．21．(12分)设抛物线y2＝4ax(a>0)的焦点为A，以点B(a＋4,0)为圆心，|AB|为半径，在x轴上方作半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点M，N，P为线段MN的中点．(1)求|AM|＋|AN|的值；(2)试问：是否存在实数a，恰使|AM|，|AP|，|AN|成等差数列？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：(1)如图所示，设M，N，P在抛物线的准线上的射影分别为M1，N1，P1，则由抛物线的定义，得|AM|＋|AN|＝|MM1|＋|NN1|＝x M＋x N＋2a.因为抛物线y2＝4ax(a>0)的焦点为A，所以点A的坐标为(a,0)．又B(a ＋4,0)，所以|AB|＝4.所以圆的方程为[x－(a＋4)]2＋y2＝16，将y2＝4ax代入，化简得x2－2(4－a)x＋a2＋8a＝0，所以x M＋x N＝2(4－a)，故|AM|＋|AN|＝8.(2)假设存在满足条件的实数a，则2|AP|＝|AM|＋|AN|.因为|AM|＋|AN|＝|MM1|＋|NN1|＝2|PP1|，所以|AP|＝|PP1|.由抛物线的定义知：点P必在抛物线上，这与点P是弦MN的中点矛盾．因此，不存在满足条件的实数a.22．(12分)设椭圆E：x2a2＋y21－a2＝1的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上的第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．解：(1)因为a 2>1－a 2,2c ＝1，a 2＝1－a 2＋c 2，则a 2＝58，1－a 2＝38，所以椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)证明：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x ，y )，Q (0，m )，则F 2P →＝(x －c ，y )，QF 2→＝(c ，－m )，F 1P →＝(x ＋c ，y )，F 1Q →＝(c ，m )．由F 2P →∥QF 2→，F 1P →⊥F 1Q →，得⎩⎪⎨⎪⎧m (c －x )＝yc ，c (x ＋c )＋my ＝0，所以(x －c )(x ＋c )＝y 2，即x 2－y 2＝c 2.由椭圆E 的方程可知，c 2＝a 2－(1－a 2)＝2a 2－1，所以x 2－y 2＝2a 2－1，即y 2＝x 2－2a 2＋1.将上式代入椭圆E 的方程，得x 2a 2＋x 2－2a 2＋11－a 2＝1，解得x 2＝a 4. 因为点P 是第一象限内的点，所以x ＝a 2，y ＝1－a 2. 故点P 在定直线x ＋y ＝1上．。

2.4.2 抛物线的简单几何性质课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．1．抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0)(1)范围：抛物线上的点(x ，y)的横坐标x 的取值范围是________，抛物线在y 轴的______侧，当x 的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做________________．(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的顶点为____________．(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的__________，用e 表示，其值为______．(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p 的几何意义，顶点到准线的距离为p 2，焦点到顶点的距离为________． 2．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x 的方程________________________的解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点．3．抛物线的焦点弦设抛物线y 2＝2px(p>0)，AB 为过焦点的一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x 0，y 0)，则有以下结论．(1)以AB 为直径的圆与准线________．(2)|AB|＝________(焦点弦长与中点坐标的关系)．(3)|AB|＝x 1＋x 2＋______.(4)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1x 2＝________，y 1y 2＝________.一、选择题1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( )A ．x 2＝－92y 或y 2＝43x B ．y 2＝－92x 或x 2＝43y C ．y 2＝－92x D ．x 2＝43y 2．若抛物线y 2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( )A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列3．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A .172B ．3C . 5D .924．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x5．设直线l 1：y ＝2x ，直线l 2经过点P(2,1)，抛物线C ：y 2＝4x ，已知l 1、l 2与C 共有三个交点，则满足条件的直线l 2的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．过抛物线y 2＝ax (a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p ＋1q等于( ) A ．2a B .1 C ．4a D .4二、填空题7．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．8．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积等于________．9．过抛物线x 2＝2py (p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴的左侧)，则|AF||FB|＝________. 三、解答题10．设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．11．过点Q(4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被Q 所平分，求AB 所在的直线方程．能力提升12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|等于( )A．4 3 B．8 C．8 3 D．1613.已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离．2．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”．2.4.2 抛物线的简单几何性质知识梳理1．(1)x ≥0 右 增大 (2)x 轴 抛物线的轴 (3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1(5)p p 22．k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0 两 一 没有 平行或重合 一3．(1)相切 (2)2(x 0＋p 2) (3)p (4)p 24－p 2 作业设计1．B [由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程．]2．A [设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3，因为2y 22＝y 21＋y 23，所以x 1＋x 3＝2x 2，即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫|P 2F |－p 2， 所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |.]3．A [如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF |.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为 4＋14＝172.] 4．B [y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a 2. ∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8.] 5．C [∵点P (2,1)在抛物线内部，且直线l 1与抛物线C 相交于A ，B 两点，∴过点P 的直线l 2在过点A 或点B 或与x 轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l 2共有3条．] 6．D [可采用特殊值法，设PQ 过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0且垂直于x 轴，则|PF |＝p ＝x P ＋a 4＝a 4＋a4＝a 2，|QF |＝q ＝a 2，∴1p ＋1q ＝2a ＋2a ＝4a.] 7．y 2＝4x解析 设抛物线方程为y 2＝ax .将y ＝x 代入y 2＝ax ，得x ＝0或x ＝a ，∴a 2＝2.∴a ＝4. ∴抛物线方程为y 2＝4x .8．2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2.∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1. ∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x .将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)、B (4,4)．∴|AB |＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22， ∴S △ABF ＝12×22×42＝2. 9.13解析 抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝33x ＋p 2，消去x ，得12y 2－20py ＋3p 2＝0， 解得y 1＝p 6，y 2＝3p 2. 由题意可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义，可知|AF ||FB |＝y 1＋p 2y 2＋p 2＝p 6＋p23p 2＋p 2＝13. 10．解 由y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1my ， 其准线方程为y ＝－14m. 由题意知－14m ＝－2或－14m＝4， 解得m ＝18或m ＝－116. 则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y .11．解 方法一 设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，①y 22＝8x 2，②∵Q (4,1)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2.③①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．④将③代入④得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k ＝4. ∴所求弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.方法二 设弦AB 所在直线方程为y ＝k (x －4)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝8x ，y ＝k (x －4)＋1，消去x ， 得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A 、B 两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，得y 1＋y 2＝8k，又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4. ∴所求弦AB 所在的直线方程为4x －y －15＝0.12.B [如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)．设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6，∴|PF |＝x 0＋2＝8，选B.]13．解 由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A ′、B ′.(1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3.∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)．(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ， 消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，因为直线与抛物线相交于A 、B 两点， 则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2＋4k2. 由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋4k2>4.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，所以，|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.。

2.3.2双曲线的简单几何性质课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系．1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质焦点焦距范围对称性顶点轴长实轴长＝____，虚轴长＝____离心率渐近线一般地，设直线l：y＝kx＋m (m≠0)①双曲线C：x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于________．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ<0⇒直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离．一、选择题1．下列曲线中离心率为62的是()A.x22－y24＝1 B.x24－y22＝1C.x24－y26＝1 D.x24－y210＝12．双曲线x225－y24＝1的渐近线方程是()A ．y ＝±25xB ．y ＝±52xC ．y ＝±425xD ．y ＝±254x3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的方程为( )A ．2x 2－4y 2＝1B ．2x 2－4y 2＝2C ．2y 2－4x 2＝1D ．2y 2－4x 2＝34．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A .43B 53C . 2 D .73二、填空题7．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e ＝______.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为__________． 三、解答题10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点⎝⎛⎭⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0；(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.11．设双曲线x 2－y 22＝1上两点A 、B ，AB 中点M(1,2)，求直线AB 的方程．能力提升12．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A .2B . 3C .3＋12D .5＋1213．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1 (a>0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B.(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a ，0)，实轴长为2a ，虚轴长为2b ；其上任一点P(x ，y)的横坐标均满足|x|≥a.2．双曲线的离心率e ＝c a 的取值范围是(1，＋∞)，其中c 2＝a 2＋b 2，且ba＝e 2－1，离心率e 越大，双曲线的开口越大．可以通过a 、b 、c 的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，也可记为x 2a 2－y 2b 2＝0；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为x 2a 2－y2b2＝λ (λ≠0)． 2.3.2 双曲线的简单几何性质知识梳理 1. 标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≥a 或y ≤－a ，x ∈R对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a )，(0，a ) 轴长实轴长＝2a ，虚轴长＝2b离心率 e ＝ca(e >1)渐近线 y ＝±b a x y ＝±abx作业设计1．B [∵e ＝62，∴e 2＝c 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，故选B.]2．A3．C [由于椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，则双曲线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，又由渐近线方程为y ＝2x ，得a b ＝2，即a 2＝2b 2，又由⎝⎛⎭⎫322＝a 2＋b 2，得a 2＝12，b 2＝14，又由于焦点在y 轴上，因此双曲线的方程为2y 2－4x 2＝1.故选C.]4．C [由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2；双曲线的渐近线方程为y＝±22x .]5．C [点(2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]6．B [||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a3≥c －a ，即2a ≥3c －3a ，即5a ≥3c ，则c a ≤53.] 7.133解析 a ＋b ＝5，ab ＝6，解得a ，b 的值为2或3.又a >b ，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝13，从而e ＝c a ＝133.8.x 29－y 216＝1(x >3) 解析 以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B (－5,0)，C (5,0)，而|AB |－|AC |＝6<10.故A 点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．9.x 294－y24＝1 解析 ∵所求双曲线与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为x 29－y216＝λ (λ≠0)．∵点(－3,23)在双曲线上， ∴λ＝(－3)29－(23)216＝14.∴所求双曲线的方程为x 294－y 24＝1.10．解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫1542a 2－32b2＝1，b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上．因为PF 1⊥PF 2，且|OP |＝6，所以2c ＝|F 1F 2|＝2|OP |＝12，所以c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3，所以a ＝|OP |·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y 224＝1.11．解 方法一 (用韦达定理解决) 显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k x 2－y 22＝1得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0， 当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2，∴k ＝1，满足Δ>0，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. 方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1x 22－y 222＝1， 两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2，∴k AB ＝2×1×22×2＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0.∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. 12.D [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，而k BF ＝－b c ，∴b a ·(－bc)＝－1，整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D.]13．解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)>0， 解得－2<a <2且a ≠±1. 又∵a >0，∴0<a <2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1，∴0<a <2，且a ≠1，∴e >62且e ≠ 2.∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)．∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)， 由此可得x 1＝512x 2.∵x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，∴x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a 2，消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，即a 2＝289169.又∵a >0，∴a ＝1713.。