高考数学复习选填题专项练习32---椭圆(解析版)

教学资料参考范本【精品】2019-2020年度最新人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x2sin α－y2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.∪B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，3π4 C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，3π2[答案] C[解析] 化为＋＝1， ∴－>>0，故选C.2．(文)(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x±3y＝0B ．3x±4y＝0C ．4x±5y＝0D ．5x±4y＝0[答案] A[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b＝＝4，∴渐近线方程为y ＝±x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x 的焦点，且与双曲线x2－y2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D ．x2＋＝1[答案] A[解析] 抛物线y2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c ＝，∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.3．分别过椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C.D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 [答案] B[解析] 依题意，结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部，∴c<b，从而c2<b2＝a2－c2，a2>2c2，即e2＝<，又∵e>0，∴0<e<，故选B.4．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P 满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )A. B. C.D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2.又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝，。

专题9.3 椭圆1.（浙江高考真题）椭圆的离心率是（ ） A B C ．D ．【答案】B 【解析】，选B ． 2.（2019·北京高考真题）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则( )A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B 【解析】 椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.3．（上海高考真题）设p 是椭圆2212516x y+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A.4B.5C.8D.10【答案】D 【解析】因为椭圆的方程为2251162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，故选D ．4．（2020·四川资阳�高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点(1,)2，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=22194x y +=235933e ==练基础【答案】A 【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=. 故选：A5.（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c，直线:4l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A，则4y x =由2AB c =，可知OA c ==c =，解得3x =，所以1,33A c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭把点A代入椭圆方程得到2222131c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4281890e e -+=，即()()2243230e e --=， 因01e <<，所以可得e =故选A 项.6．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆2211615y x+=的上、下焦点，在椭圆上是否存在点P ，使11PF ，121F F ，21PF 成等差数列？若存在求出1PF 和2PF 的值；若不存在，请说明理由．【答案】不存在；理由见解析． 【分析】假设存在点P 满足题设，解方程组1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩得1PF 和2PF 的值，再检验即得解.【详解】解：假设存在点P 满足题设，则由2211615y x +=及题设条件有1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，即121288PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得1244PF PF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩1244PF PF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩由2211615y x +=，得4a =，1c =． 则135a c PF a c -=≤≤+=，235a c PF a c -=≤≤+=．∵45+，43-， ∴不存在满足题设要求的点P ．7．（2021·全国高三专题练习）设F 是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点i P （1i =，2，…），使1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，求a 的取值范围．【答案】11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【分析】分情况讨论等差数列是递增，还是递减，分别列出不等式求解范围. 【详解】解：注意到椭圆的对称性及i FP 最多只能两两相等，可知题中的等差数列可能是递增的，也可能是递减的，但不可能为常数列，即0d ≠．先考虑一般情形，由等差数列的通项公式有()11n FP FP n d =+-，（n *∈N ），因此11n FP FP n d-=+．对于椭圆2222x y a b +（0a b >>），其焦半径的最大值是a c +，最小值是a c -（其中c =．当等差数列递增时，有n FP a c ≤+，1FP a c ≥-． 从而()12n FP FP a c a c c -≤+--=． 再由题设知1c =，且21n ≥，故2211d ≤+，因此1010d <≤． 同理，当等差数列递减时，可解得1010d -≤<， 故所求d 的取值范围为11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．8．（2021·全国高三专题练习）已知定点()2,2A -，点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点M 在椭圆上移动时，求2AM MF +的最大值；【答案】10+ 【分析】由椭圆定义，转化1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，即得解 【详解】如图所示，设1F 是左焦点，则()13,0F -，1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，而1AF ==∴10AM MF +≤当点F 1在线段AM 上时，等号成立，即AM MF +的最大值为109．（2021·云南师大附中高三月考（理））椭圆C : 22221(0)x y a b a b +=>>点A (2，1)在椭圆C 上，O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过原点，且l ⊥OA ，若l 与椭圆C 交于B ， D 两点，求弦BD 的长度.【答案】（1）22182x y C +=：；（2 【分析】（1）利用离心率和点在椭圆上可求出椭圆的标准方程；（2）先利用直线垂直的判定得到直线l 的斜率和方程，联立直线和椭圆的方程，消元得到关于x 的一元二次方程，进而求出交点坐标，再利用两点间的距离公式进行求解. 【详解】（1）由e =得：12c b a =，， 又点(21)A ，在椭圆上， 所以224114a a +=，得a =b =所以椭圆的方程是22182x y C +=：．（2）直线OA 的方程是12y x =， 因为l OA ⊥，且l 过点O ，所以直线l 的方程是2y x =-， 与椭圆联立，得：2178x =，即x =所以B D ⎛ ⎝，，则||BD = 10．（2021·南昌大学附属中学高二月考）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b +=>>两个焦点，且2259a b =.（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.【答案】（1）此椭圆的方程为22195x y +=；（2）12F PF △. 【分析】（1）由已知条件求出椭圆中229,5a b ==即可得到椭圆方程；（2）结合椭圆的定义以及余弦定理的知识求出12PF PF ⋅的值，运用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b +=>>两个焦点，所以2224c a b =-=，① 又因为2259a b =，②所以由①②可得229,5a b ==，所以此椭圆的方程为22195x y +=.（2）设()12,,,0PF m PF n m n ==>， 由椭圆定义可知26m n a +==，③在12F PF △中，由余弦定理得()2222cos23m n mn c π+-=，即2216m n mn +-=，④由③④式可得，203mn =，所以121120sin 2323F PF S mn π==⨯=△. 即12F PF △.1．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得过点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．⎣⎦C ．2⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．⎫⎪⎣⎭【答案】C 【分析】练提升若长轴端点P '，由椭圆性质：过P 的两条切线互相垂直可得45AP O α'=∠≤︒，结合sin baα=求椭圆离心率的范围. 【详解】在椭圆1C 的长轴端点P '处向圆2C 引两条切线P A '，P B '，若椭圆1C 上存在点P ，使过P 的两条切线互相垂直，则只需90AP B '∠≤︒，即45AP O α'=∠≤︒，∴sin sin 452b a α=≤︒=222a c ≤， ∴212e ≥，又01e <<，1e ≤<，即e ⎫∈⎪⎪⎣⎭． 故选：C2．（2020·湖北黄州�黄冈中学高三其他（文））已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，经过原点的直线与C 交于A ，B 两点，总有120AFB ∠≥︒，则椭圆C 离心率的取值范围为______.【答案】10,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】如图，设椭圆右焦点为2F ，由对称性知2AFBF 是平行四边形，22AF F BFF ∠=∠， ∵120FB ∠≥︒，∴260FAF ∠≤︒，设AF m =，2AF n =，由椭圆定义知2m n a +=，则22()4m n mn a +≤=，当且仅当m n =时等号成立， 在2AFF 中，由余弦定理得2222222222222()244444cos 11122222m n FF m n mn c a c a c FAF e mnmn mn a+-+----∠===-≥-=-，又260FAF ∠≤︒，21cos 2FAF ∠≥，∴21122e -≥，解得102e <≤． 故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．3.（2019·浙江高三月考）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆相交于AB 两点，且113AF F B =，则k =___.【答案】21 【解析】由于点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，由于y x =的倾斜角为π4,画出图像如下图所示，由于O 是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知12QF F ∆为等腰直角三角形，且Q 为短轴的端点，故离心率πcos 42c a ==.不妨设,a b c t ===，则椭圆方程化为222220x y t +-=，设直线AB 的方程为10x my t m k ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，代入椭圆方程并化简得()222220my mty t +--=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12222mty y m +=+①，21222t y y m -⋅=+②.由于113AF F B =，故123y y =-③.解由①②③组成的方程组得1m =，即11,1k k==.故填：（1）2；（2）1.4．（2019·浙江温州中学高三月考）已知点P 在圆22680x y y +-+=上，点Q 在椭圆()22211x y a a+=>上，且PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则PQ QF +的最大值等于__________．5+【解析】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=，圆心(0,3)A .PQ 的最大值为5等价于AQ 的最大值为4设(,)Q x y ，即22(3)16x y +-≤，又()22211xy a a+=>化简得到222(1)670(11)a y y a y --+-≤-≤≤ 当1y =-时，验证等号成立 对称轴为231x a =-满足231,21x a a =≤-≤-故12a <≤22222211314c a e e a a a -===-≤∴≤故离心率最大值为2当2a =时，离心率有最大值，此时椭圆方程为2214x y +=，设左焦点为1F11141455PQ QF PQ QF AQ QF AF +=+-≤++-≤+=+当1,,,A F P Q 共线时取等号.5+5．（2020·浙江高三月考）已知P 是椭圆2222111x y a b +=（110>>a b ）和双曲线2222221x y a b -=（220,0a b >>）的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值为________．【答案】2. 【解析】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，那么12PF PF >， 因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为c ， 根据椭圆与双曲线的定义，有：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 解得112=+PF a a ，212=-PF a a ， 在12F PF ∆中，由余弦定理，可得： 2221212122cos3π=+-F F PF PF PF PF ，即222121212124()()()()=++--+-c a a a a a a a a ， 整理得2221243=+c a a ， 所以22121134+=e e ，又221212113+≥e e ，所以12≥e e .6．（2020·浙江高三其他）已知当动点P 到定点F （焦点）和到定直线0x x =的距离之比为离心率时，该直线便是椭圆的准线.过椭圆2214x y +=上任意一点P ，做椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH (λ≥1).当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是___.【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】由题可知：椭圆2214x y +=的右准线方程为x =设()()00,,,P x y Q x y ，所以点03⎫⎪⎝⎭H y由λ=HQ PH ，所以λ=HQ PH0⎛⎫=- ⎪⎝⎭HQ x y y ，0,0⎫=⎪⎭PH x又λ=HQ PH ，所以00,0λ⎛⎫⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎭x y y x 所以00x y y ==由220014x y +=221=y 则点Q 221+=y 设点Q 的轨迹的离心率e则2222411144λλλ-==-e 由1λ≥，所以213144λ-≥ 所以234e ≥，则e ≥，又1e < 所以⎫∈⎪⎪⎣⎭e 故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭7．（2021·全国高三专题练习）设椭圆的中心在坐标原点.长轴在z 轴上，离心率e =知点30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆方程，并求椭圆上到点O 的距离的点的坐标.【答案】2214x y +=;12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】设以P 点为圆心的圆与椭圆相切，结合判别式等于零，参数值可确定，符合条件的两个点的坐标也可求得. 【详解】∵e =c a =2234c a =.∵222a c b -=，∴2214a b =，224a b =，∴设椭圆方程为222214x y b b+=①又∵30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则可构造圆22372x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. ②此圆必与椭圆相切，如图所示，由①②整理得221933404y y b ++-=.∵椭圆与圆相切，∴219912404b ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，③ ∴1b =，则2a =.则所求椭圆方程为2214x y +=. ④把1b =代入方程③可得12y =-，把12y =-代入④得x =∴椭圆上到点P的点的坐标为12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.8．（2021·全国高三专题练习）椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上动点，当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】⎛ ⎝⎭【分析】当12F PF ∠为直角时，作以原点为圆心，2OF 为半径的圆，若该圆与已知椭圆相交，则圆内的椭圆弧所对应的x 的取值范围即为所求点P 横坐标的取值范围. 【详解】22194x y +=的焦点为1(F、2F ， 如图所示：A 、B 、C 、D 四点， 此时12F AF ∠、12F BF ∠、12F CF ∠、12F DF ∠都为直角， 所以当角的顶点P 在圆内部的椭圆弧上时，12F PF ∠为钝角，由22221945x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得x x ==. 因为椭圆和圆都关于坐标轴对称，所以点P横坐标的取值范围是⎛ ⎝⎭.9．（2021·全国）（1）已知1F ，2F 是椭圆22110064x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，求12PF PF ⋅的最大值；（2）已知()1,1A ，1F 是椭圆225945x y +=的左焦点，点P 是椭圆上的动点，求1PA PF +的最大值和最小值．【答案】（1）100；（2）1||||PA PF +的最大值为66 【分析】（1）利用椭圆定义和基本不等式求12||||PF PF ⋅的最值；（2）求1||||PA PF +的最值时，利用椭圆的定义将其转化为求2||||PF PA -的最值，显然当P ，A ，2F 三点共线时取得最值． 【详解】（1）∵10a =，1220||||PF PF =+≥，当且仅当12||||PF PF =时取等号， ∴12||||100PF PF ⋅≤，当且仅当12||||PF PF =时取等号， ∴12||||PF PF ⋅的最大值为100．（2）设2F 为椭圆的右焦点，225945x y +=可化为22195x y+=， 由已知，得12||||26PF PF a +==，∴12||6||PF PF =-， ∴()12||||6||||PA PF PF PA +=--．①当2||||PA PF >时，有220||||||PA PF AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最大，此时点P 是射线2AF 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最大值是6②当2||||PA PF <时，有220||||||PF PA AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最小，此时点P 是射线2F A 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最小值是6 综上，可知1||||PA PF +的最大值为6610．（2021·贵州高三月考（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l经过椭圆C 的右焦点F 与上顶点，原点O 到直线l. （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率不为0的直线n 过点F ，与椭圆C 交于M ，N 两点，若椭圆C 上一点P 满足263MN OP =，求直线n 的斜率. 【答案】（1）2212x y +=；（2）±1.【分析】（1）由已知条件可得c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再结合222a b c =+，可求出,a b ，从而可求得椭圆方程，（2）设直线n 的方程为1x my =+，设点()()1122,,,M x y N x y ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x ，利用根与系数的关系，结合263MN OP =表示出点P 的坐标，再将其坐标代入椭圆方程中可求得直线n 的斜率 【详解】（1）由题意可得椭圆C 的右焦点(c,0)F 与上顶点(0,)b ， 所以直线l 为1x yc b+=，即0bx cy bc +-=，因为椭圆C ，原点O 到直线0bx cy bc +-=所以c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c =+，解得1b c==，a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线n 的斜率不为0，所以可设直线n 的方程为1x my =+.设点()()1122,,,M x y N x y ，联立方程22220,1,x y x my ⎧+-=⎨=+⎩得()222210my my ++-=，则12122221,22m y y y y m m +=-=-++. 因为263MN OP=，所以))2121P x x y y ⎫--⎪⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入椭圆方程得1212223x x y y +=-， 即()()121221123my my y y +++=-，解得21m =， 故直线n 的斜率为±1.1．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）练真题A．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出 PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可． 【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤当32b b c ->-，即22b c <时， 42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立． 故选：C ．2.（2018·全国高考真题（理））已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D 【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP斜率为6得，222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D. 3.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 4.（2019·全国高考真题（文））设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M 的坐标为(．5．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>. （1）证明：3ab ；（2）若点9,10M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥. ①求直线l 的方程； ②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（20y -=；②2213x y +=.【分析】（1）由ba=可证得结论成立； （2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程. 【详解】（1）c e a ===b a ∴=，因此，3a b ；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当9,10⎛ ⎝⎭在椭圆C的内部时，22293310b ⎛⎛⎫+⋅< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，可得b > 设点()11,P x y 、()22,Q x y，则121292102x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以，1212y y x x +=+ 由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=， 所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝ 所以，直线l方程为910y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝⎭，即y = 所以，直线l0y --=；②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->， 由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥，而()11,OP x y =，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++ ()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.6. （2020·天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-． 【解析】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF=，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++， 所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=， 又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.。

椭圆填空题11、(1)离心率一条准线方程为x=的椭圆的标准方程为________________；(2)短轴端点与焦点间的距离等于5，一条准线的方程是椭圆的方程为___________________。

2、(1)上有一点P到右焦点的距离为1，则P的坐标为_______；(2)AB A、B的横坐标之和为-7，。

3、椭圆的中心在原点，一个焦点为F（0，6），中心到准线的距离为10，则椭圆方程为＿＿＿。

4、椭圆的中心在原点，短轴端点到焦点的距离是6，一条准线方程是y=9，则椭圆方程为_____________.5、b= 。

6、(1)y2=1上点P到右焦点F P到左准线的距离为______；(2)1：3，则这点到左、右准线的距离分别为_______________。

7、(1)中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为0.6的椭圆的方程为________；(2)对称轴是坐标轴,(2，0)的椭圆的方程是_______。

8、(1)短轴长为6，且过点(1，4)的椭圆标准方程是__________；(2)顶点(-6，0)，(6，0)过点(3，3)的椭圆方程是__________。

9、的焦距为4，则这个椭圆的焦点在_____轴上，坐标是_____。

10、m= 。

11、一个椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为36，一条准线为x=3，则该椭圆的方程是＿＿＿＿.12、椭圆的一个焦点和短轴两端点连成三角形，这个三角形有一个角为120°，则该椭圆的离心率为＿＿＿＿.13、椭圆的准线间的距离是焦距的2倍，则它的离心率为＿＿＿＿。

14、椭圆的长、短轴都在坐标轴上，长、短轴的长度之和为36，离心率为53，则椭圆方程为＿＿＿＿＿。

15、椭圆的中心在原点，一个顶点为(2,0)且短轴长等于焦距则椭圆的方程为＿＿＿。

16、椭圆13610022=+y x 上一点M 到左、右焦点的距离之比为1：3，则点M 到左准线的距离为＿＿＿。

高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。

（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.的最大值是，的最小值是，满足.(1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出F点坐标，数形结合，根据椭圆的性质，得到代入已知中，得到，计算出椭圆的离心率；第二问，根据题意，设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范围.试题解析：(1) 设，则根据椭圆性质得而，所以有，即，，因此椭圆的离心率为. （4分）(2) 由(1)可知，，椭圆的方程为.根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，并设则由消去并整理得从而有，（6分）所以.因为，所以，.由与相似，所以. （10分）令，则，从而，即的取值范围是. （12分）【考点】椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题.3.椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明详见解析，.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和左焦点到点P 的距离列出方程组，解出基本量a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，用直线与椭圆联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理得到和，由于AB为直径的圆过椭圆右顶点A2(2,0) ，所以，利用向量的数量积的运算公式，将前面的式子都代入，得到或 m = －2k，经验证都符合题意，则分别求出定点坐标，再验证，最终得到结论.试题解析：（1）由题：①左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：② 2分由①②可解得c =" 1" ， a =" 2" ， b 2 = a 2－c 2 = 3． 3分∴所求椭圆 C 的方程为． 4分（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y =" kx" + m代入椭圆方程得(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．∴，， 6分且y1 = kx1+ m，y2= kx2+ m．∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以． 7分所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2= (x1－2) (x2－2) + (kx1+ m) (kx2+ m)= (k 2 + 1) x1x2+ (km－2) (x1+ x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)·－(km－2)·+ m 2 + 4 =" 0" ． 10分整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴或 m = －2k 都满足△ > 0． 12分若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k =" k" (x－2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去； 13分若时，直线 l 为，恒过定点． 14分【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题.4.已知△ABC的周长为12，顶点A，B的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，C为动点．(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)过原点作两条关于y轴对称的直线(不与坐标轴重合)，使它们分别与曲线E交于两点，求四点所对应的四边形的面积的最大值．【答案】（1）＋＝1(x≠±4)（2）16【解析】(1)由题意知|CA|＋|CB|＝12－4＝8>|AB|，所以C的轨迹E为椭圆的一部分．由a＝4，c＝2，可得b2＝12．故曲线E的方程为＋＝1(x≠±4)．(2)设两直线的方程为y＝kx与y＝－kx(k>0)．记y＝kx与曲线E在第一象限内的交点为(x0，y)，由，可得x2＝．结合图形的对称性可知：四交点对应的四边形为矩形，且其面积S＝2x0·2y＝4kx2＝．因为k>0，所以S＝≤＝16 (当且仅当k＝时取等号)．故四边形面积的最大值为16．5.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，两焦点F1，F2之间的距离为2，椭圆上第一象限内的点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C的右顶点为A，直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且满足AM⊥AN．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）＋y2＝1 （2）见解析【解析】(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，因为|F1F2|＝2，所以c＝，由S△PF1F2＝1，得|PF1||PF2|＝2，又由PF1⊥PF2，得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12，即(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝12，即4a2－4＝12，a2＝4，b2＝a2－3＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1．(2)由方程组，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，整理得4k2－m2＋1>0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．由AM⊥AN且椭圆的右顶点为A(2,0)，得(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，因为y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，所以(1＋k2)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4＝0，即(1＋k2)·＋(km－2)·＋m2＋4＝0，整理得：5m2＋16mk＋12k2＝0，解得m＝－2k或m＝－，均满足4k2－m2＋1>0．当m＝－2k时，直线的l方程为y＝kx－2k，过定点(2,0)，与题意矛盾，舍去；当m＝－时，直线l的方程为y＝k(x－)，过定点(，0)，符合题意．故直线l过定点，且定点的坐标为(，0)．6.已知P是圆M：x2+y2+4x+4-4m2=0(m>0且m≠2)上任意一点，点N的坐标为(2，0)，线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为C.（1）求出轨迹C的方程，并讨论曲线C的形状；（2）当m=时，在x轴上是否存在一定点E，使得对曲线C的任意一条过E的弦AB，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为；（2）定点，定值为6.【解析】（1）利用线段的垂直平分线交直线于点，当时，根据椭圆的定义，即可求出轨迹的方程；当时，根据双曲线的定义，即可求出轨迹的方程；（2）当时，轨迹必为椭圆方程，设，分别过E取两垂直与坐标轴的两条弦CD，，根据求出E若存在必为定值为6.再进行证明．存在性问题，先猜后证是关键.再设设过点E的直线方程，代入椭圆方程，消去，设，，利用一元二次方程的根与系数的关系，求得为定值6.（1）由题意，，所以，所以轨迹是以、为焦点，以为长轴的椭圆，当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为（4分）（2）由（1）当时，曲线C为，设，分别过E取两垂直于坐标轴的两条弦CD，，则，即解得，∴E若存在必为定值为6.（6分）下证满足题意.设过点E的直线方程为，代入C中得:，设、，则，，（8分）.同理可得E也满足题意.综上得定点为E，定值为（13分）【考点】直线和圆的方程的应用，圆锥曲线的定义、性质与方程，轨迹方程的问题.7.已知椭圆的焦点为，点是椭圆上的一点，与轴的交点恰为的中点， .（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆的右顶点，过焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据已知分析可得点横坐标为1，纵坐标为,，即点。

高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。

（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.已知A、B是椭圆上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点.（1）当时，求直线AB的方程;（2）设点，求证:当实数变化时，恒为定值.【答案】（1）；（2）见解析。

【解析】（1）利用A、F、B共线及其所在位置，找出λ满足的关系式，求出范围；（2）假设这样的M点存在，利用为定值寻求相应点的坐标.试题解析：（1）由已知条件知，直线过椭圆右焦点.又直线不与轴重合时，可设，代入椭圆方程，并整理得.设，由根与系数的关系得，.又由得，所以，.于是，解之得.故直线AB的方程为.（7分）（2）为定值.（经检验，当与轴重合时也成立）（13分）【考点】【考点】直线与椭圆的位置关系，平面向量3.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A．－＝1B．＋＝1C．－＝1D．＋＝1【答案】D【解析】M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1．4.已知椭圆C：（）的左焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）由已知得：，，所以，再由可得，从而得椭圆的标准方程. ）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.面积，而，所以只要求出的值即可得面积.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.再结合韦达定理即可得的值.试题解析：（1）由已知得：，，所以又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2）椭圆方程化为.设T点的坐标为，则直线TF的斜率.当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.将代入椭圆方程得：.其判别式.设，则.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.所以，解得.此时四边形OPTQ的面积.【考点】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.5.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.（1）求点P的坐标；（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线交于A，B两点，若的面积为2，求C的标准方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先设切点，由圆的切线的性质，根据半径的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为，建立目标函数．故要求面积最小值，只需确定的最大值，由结合目标函数，易求；（2）设椭圆标准方程为，点在椭圆上，代入点得①，利用弦长公式表示，利用点到直线距离公式求高，进而表示的面积，与①联立，可确定，进而确定椭圆的标准方程．（1）设切点坐标为．则切线斜率为．切线方程为．即．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积．由知当且仅当时，有最大值．即有最小值．因此点的坐标为．（2）设的标准方程为．点．由点在上知．并由得．又是方程的根，因此，由，，得．由点到直线的距离为及得．解得或．因此，（舍）或，．从而所求的方程为．【考点】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式．6.已知抛物线的准线与椭圆相切，且该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2,则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的准线为又抛物线的准线与椭圆相切，所以，且切点为下顶点因为该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2，所以，即得由得所以故选【考点】抛物线和椭圆的简单几何性质；椭圆的离心率.7.已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由题意知在双曲线中得，在椭圆中，所以离心率为.选．【考点】椭圆、双曲线的几何性质.8.已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，且椭圆C上一点与两个焦点F1，F2构成的三角形的周长为2+2．(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F2作直线l 与椭圆C交于A，B两点，设，若，求的取值范围．【答案】(1) ； (2)【解析】(1)由题设知椭圆的标准方程为(2)因为当直线的斜率不存在时，，不适合题意，所以直线的斜率存在，设为，直线的方程为，它与椭圆的两交点坐标，则由得通过方程组，借助韦达定理，得到，结合得到与的关系式，并且可由得到的取值范围；另一方面，因为由前述的取值范围可使问题得到解决.试题解析：解：(1)由题意知：，且， 2分解得， 3分椭圆的方程为 . 4分(2)由题意得直线的斜率存在，右焦点，可设直线的方程为：由得由题意设，则 6分由得 7分9分令，在上单调递增，可得故，解得 2分= 13分即的取值范围是 14分【考点】1、椭圆的标准方程；2、平面向量的数乘运算与数量积；3、直线与椭圆的位置关系. 9.如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则的离心率是（）．A．B．C．D．【答案】【解析】由题意知，的离心率是，故选【考点】椭圆、双曲线的几何性质.10.已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,且．(1)求椭圆的标准方程；（2）若动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点,问：是否存在一个定点,使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】（1）根据椭圆的右焦点，右顶点，且，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的标准方程；（2）直线：，代入椭圆方程，结合，求出的坐标(参数表示)，求出向量的坐标，利用，进行整理，如果为定值，那么不随的变化而变化，建立关于的方程，即可得出结论．此题属于中等题型，关键表示出P点坐标，转化为过定点恒成立的形式.试题解析：（1）由，，椭圆C的标准方程为. 4分得：， 6分.,,即P. 9分M.又Q，，，+=恒成立，故，即.存在点M（1,0）适合题意. 12分【考点】直线与圆锥的综合问题11.如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．【答案】（1）；（2）满足条件的点Q存在，且有两个.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质，考查学生的转化思想和数形结合思想，考查分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，先由长轴长得到a的值，设出椭圆的标准方程，利用已知条件数形结合得到C点坐标，将C点坐标代入到椭圆中，得到b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，先设出Q点坐标，利用已知等式计算，可知点Q在直线上，点在直线上，而在椭圆内部，数形结合得存在点Q而且存在2个；法二：用和椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，看方程的判别式，判别式大于0时，方程有2个根，则直线与椭圆有2个交点；第三问，设出点P的坐标，由切线的性质得四点共圆，此圆的圆心为，直径为OP，得到此圆的方程，M、N既在此圆上，又在圆O上，2个方程联立，解出直线MN的方程，得出截距的值，再转化出P点坐标代入到椭圆中即可；法二：设出点P、M、N的坐标，利用直线的垂直关系，利用斜率列出等式，转化成直线PM和直线PN的方程，从而得到直线MN的方程.试题解析：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，设椭圆E的方程为 2分由椭圆的对称性知|OC|＝|OB|又∵，|BC|＝2|AC|∴AC⊥BC，|OC|＝|AC|∴△AOC为等腰直角三角形，∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1)， 4分将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得∴所求的椭圆E的方程为 5分（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即点Q在直线上， 7分∴点Q即直线与椭圆E的交点，∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，∴满足条件的点Q存在，且有两个． 9分解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即，① -7分又∵点Q在椭圆E上，∴，②由①式得代入②式并整理得：， -③∵方程③的根判别式，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个． 9分（3）解法一：设点，由M、N是的切点知，,∴O、M、P、N四点在同一圆上， 10分且圆的直径为OP,则圆心为，其方程为， 11分即 -④即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，∴M、N坐标也满足方程 -⑤⑤-④得直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值. 14分解法二：设点则 10分直线PM的方程为化简得④同理可得直线PN的方程为 -⑤ 11分把P点的坐标代入④、⑤得∴直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值． -14分【考点】1.椭圆的标准方程；2.四点共圆；3.圆的标准方程.12.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(-2,0)，且长轴长与短轴长的比为，（1）求椭圆C的方程；（2）设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，设点P是椭圆上的任意一点，若当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的中心在原点可以设出椭圆的标准方程，已知焦点坐标，故可求的c值，所以利用长轴长与短轴长之比和a,b,c的关系可以建立关于a,b的两个方程式联立消元即可求的a,b的值，得到椭圆的标准方差.（2）根据题意设点P的坐标，表示,利用点P在椭圆上，得到关于m和P点横坐标的表达式，利用二次函数最值问题，可以得到取得最小值时，m和P点横坐标之间的关系，再利用P横坐标的范围得到m的取值范围即可.试题解析：（1）设椭圆的方程为. 1分由题意有：， 3分解得. 5分故椭圆的方程为. 6分（2）设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故. 7分因为，所以10分因为当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，即当时，取得最小值．而，故有，解得． 12分又点在椭圆的长轴上，即． 13分故实数的取值范围是． 14分【考点】椭圆标准方程椭圆几何性质最值13.已知是椭圆上两点，点的坐标为.（1）当关于点对称时，求证：；（2）当直线经过点时，求证：不可能为等边三角形.【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.【解析】（1）利用“点代法”求点的坐标关系，在求解过程中证明结论.因为关于点对称，所以，代入椭圆方程得，两式相减得，所以（2）本题实质为“弦中点”问题，设中点为，由“点差法”得又假设为等边三角形时，有所以这与弦中点在椭圆内部矛盾，所以假设不成立.试题解析：（1）证明：因为在椭圆上，所以 1分因为关于点对称，所以， 2分将代入②得③，由①和③消解得， 4分所以. 5分（2）当直线斜率不存在时，，可得，不是等边三角形. 6分当直线斜率存在时，显然斜率不为0.设直线：，中点为，联立消去得， 7分由，得到① 8分又,所以，所以 10分假设为等边三角形，则有，又因为，所以，即， 11分化简，解得或 12分这与①式矛盾，所以假设不成立.因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形. 14分【考点】弦中点问题，点代法求点的坐标14.已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得所以【考点】圆的切线长，椭圆定义15.如图，正方形CDEF内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ的顶点G,H在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边EF上．且CD=2PQ=．(1)求椭圆的方程；(2)已知点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m:≠0)，l交椭圆于A,B两个不同点，求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由图形分析，利用CD和PQ的边长得出点E和点G的坐标，由于这2点都在椭圆上，联立方程得出和，从而得到椭圆的标准方程；第二问，通过对题意的分析，只需证明直线MA，MB的斜率之和为0即可，设出A，B点坐标，列出2条直线的斜率的表达式，直线与椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，列出两根之和与两根之积，而通过转化可以将得到的两根之和与两根之积代入，只要最后化简结果为0即可.试题解析：(1)∵，∴点，又∵，∴点，则，解得，∴椭圆方程.（4分）(2)设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2＝0即可，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，直线l方程为，代入椭圆方程消去y，得x2＋2mx＋2m2－4＝0可得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.（9分）而，（12分）∴k1＋k2＝0，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.（13分）【考点】1.椭圆的标准方程；2.韦达定理.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＝1的右顶点，点D(1，0)，点P、B在椭圆上，＝.(1) 求直线BD的方程；(2) 求直线BD被过P、A、B三点的圆C截得的弦长；(3) 是否存在分别以PB、PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x＋y－1＝0.（2）4（3）x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2【解析】1) 设P(x0，y)．因为＝，且D(1，0)，A(3，0)，点B、P在椭圆上，所以B(－x，y 0)，所以x＝1，将其代入椭圆，得y＝2，所以P(1，2)，B(－1，2)．所以直线BD的方程为x＋y－1＝0.(2) 线段BP的垂直平分线方程为x＝0，线段AP的垂直平分线方程为y＝x－1.解方程组得圆心C的坐标为(0，－1)．所以圆C的半径r＝CP＝.因为圆心C(0，－1)到直线BD的距离为d＝＝，所以直线BD被圆C截得的弦长为2 ＝4.(3) 这样的圆M与圆N存在．由题意得，点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线y＝x－1上．当圆M与圆N是两个相外切的等圆时，一定有P、M、N在一条直线上，且PM＝PN.M(0，b)，则N(2，4－b)．因为点N(2，4－b)在直线y＝x－1上，所以4－b＝2－1，b＝3.所以这两个圆的半径为PM＝，方程分别为x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝217.P为圆A：上的动点，点.线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.（1）求曲线Γ的方程；（2）当点P在第一象限，且时，求点M的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、圆的方程、直线的方程、直线与曲线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. 第一问，根据圆的方程得到圆心A的坐标和半径的长，利用垂直平分线得到，而，所以，根据椭圆的定义，判断点M的轨迹为椭圆，得到椭圆的标准方程；根据已知条件先得出P点坐标，从而得到直线AP的方程，利用直线与椭圆相交解出M点坐标，过程中应注意方程根的取舍.试题解析：（1）圆的圆心为，半径等于．由已知，于是，故曲线Γ是以为焦点，以为长轴长的椭圆，，曲线Γ的方程为． 5分（2）由，，得． 8分于是直线方程为．由解得，，．由于点在线段上，所以点坐标为． 12分【考点】1.椭圆的定义及标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.18.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点,且=3,则C的方程为()(A) +y2=1 (B) +=1(C) +=1 (D) +=1【答案】C【解析】依题意设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由条件可得A（1,）,B（1,-）,因|AB|= -（-）==3,即2b2=3a,所以解得所以椭圆C的方程为+=1.故选C.19.设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为的点P的个数为.【答案】4【解析】【思路点拨】先求出弦长|AB|,进而求出点P到直线AB的距离,再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程,最后数形结合求解.由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|=,要使△PAB的面积为,即··h=,所以h=.联立y=-2x+m与椭圆方程x2+=1得8x2-4mx+m2-4=0,令Δ=0得m=±2,即平移直线l到y=-2x±2时与椭圆相切,它们与直线l的距离d=都大于,所以一共有4个点符合要求.20.已知椭圆C：＝1，过点M(2，0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．在x 轴上若存在定点P，使PM平分∠APB，则P的坐标为________．【答案】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得(4m2＋9)y2＋16my－20＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA ＋kPB＝0.设P(a，0)，则有＋＝0，将x1＝my1＋2，x2＝my2＋2代入上式，整理得＝0，所以2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝0.将y1＋y2＝，y1y2＝代入上式，整理得(－2a＋9)·m＝0.由于上式对任意实数m都成立，所以a＝.综上，x轴上存在定点P，使PM平分∠APB.21.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）抛物线上存在一点，使得与关于直线对称．【解析】（1）求椭圆的方程，可利用待定系数法求出的值即可，首先确定抛物线的焦点与准线方程为，利用椭圆焦点与抛物线的焦点重合，得，且截抛物线的准线所得弦长为，得交点为，建立方程，求出的值，即可求得椭圆的方程；（2）根据倾斜角为的直线过点，可得直线的方程，由（1）知椭圆的另一个焦点为，利用与关于直线对称，利用对称，可求得的坐标，由此可得结论．试题解析：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，∴① 2分又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，∴得上交点为，∴② 4分由①代入②得，解得或（舍去），从而∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为 6分（2）∵倾斜角为的直线过点，∴直线的方程为，即， 7分由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得， 9分解得，即， 2分又满足，故点在抛物线上。

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（椭圆）练习一. 基础小题练透篇1.已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段2．[2023ꞏ山西省忻州市高三联考]“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.[2023ꞏ重庆市高三模拟]几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族．点Q 是椭圆族T 上任意一点，如图所示，椭圆族T 的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点O ；③过定点P ()0，3 ，则||QP ＋||QO 的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．114．[2023ꞏ四川省遂宁市模拟]已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12 ，则( ) A ．a 2＝2b 2 B ．3a 2＝4b 2 C ．a ＝2b D ．3a ＝4b5．[2023ꞏ甘肃省张掖市高三检测]已知椭圆x 2＋y 2b 2 ＝1(1>b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是椭圆上一点，点A 是线段F 1F 2上一点，且∠F 1MF 2＝2∠F 1MA ＝2π3 ，|MA |＝32 ，则该椭圆的离心率为( )A ．3B ．12C ．223D ．36．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3 )，B (0，－3 )，动点M 满足|MA |＋|MB |＝4，则MA → ꞏMB →的最大值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．27．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，过点(322 ，2)且离心率为13 ，则椭圆C 的焦距为________． 8．[2023ꞏ陕西省西安市模拟]椭圆x 29 ＋y 23 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ陕西省安康市高三联考]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215 ＝1(a >15 )的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°.||PF 1 ＝5||PF 2 ，则C 的方程为( )A ．x 221 ＋y 215 ＝1B ．x 218 ＋y 215 ＝1C ．x 236 ＋y 215 ＝1 D ．x 242 ＋y 215 ＝12．[2023ꞏ广西贵港市高三联考]若2<m <8，椭圆C ：x 2m ＋y 22 ＝1与椭圆D ：x 2m ＋y 28 ＝1的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．e 1ꞏe 2的最小值为32B ．e 1ꞏe 2的最小值为12C ．e 1ꞏe 2的最大值为3D ．e 1ꞏe 2的最大值为123．[2023ꞏ江西名校联盟模拟]在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A.22 B ．12 C ．13 D ．144．[2023ꞏ陕西省西安市高三检测]设椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1()a >b >0 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足F A → ꞏFB →＝0，||FB ≤||F A ≤2||FB ，则椭圆C 的离心率的最大值是( )A ．13B ．33C ．23D ．535．[2023ꞏ陕西省咸阳市摸底]已知椭圆C ：x 2m 2－1＋y 2m 2 ＝1(m ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且△PF 1F 2面积的最大值为3 ，则椭圆C 的短轴长为________．6．[2023ꞏ福建省高三联考]抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F ，点P ()3，2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为________．三. 高考小题重现篇1.[2021ꞏ山东卷]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29 ＋y 24 ＝1的两个焦点，点M 在C 上，则||MF 1 ꞏ||MF 2 的最大值为( )A ．13 B. 12 C ．9 D. 62．[全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22 D ．2233．[2022ꞏ全国甲卷]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为13 ，A 1，A 2分别为C的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA → 1ꞏBA →2＝－1，则C 的方程为( )A ．x 218 ＋y 216 ＝1B ．x 29 ＋y 28 ＝1C ．x 23 ＋y 22 ＝1 D ．x 22 ＋y 2＝14．[2022ꞏ全国甲卷]椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A．32B．22C．12D．135．[2019ꞏ全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．6．[2021ꞏ全国甲卷]已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．四. 经典大题强化篇1.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝5，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．2．[2022ꞏ湖北武汉调研]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 2．答案：B答案解析：当m >0时方程x 24 ＋y 2m ＝1不一定表示椭圆，如m ＝4时方程x 24 ＋y 24＝1，即x 2＋y 2＝4就表示一个圆，所以“m >0”不是“方程x 24 ＋y2m＝1表示椭圆”的充分条件；但是当方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆时，应有m >0，所以“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m＝1表示椭圆”的必要条件，故选B. 3．答案：A答案解析：如图所示设点Q 所在椭圆的另一焦点为F ，则||QP ＋||QO ＝||QP ＋4－||QF ≤||PF ＋4＝4－||PO ＋4＝5. 故选A. 4．答案：B答案解析：椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2，故选B.5．答案：B答案解析：设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝2a ＝2，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos 2π3，即4c 2＝r 21 ＋r 22 ＋r 1r 2＝（r 1＋r 2）2－r 1r 2＝4－r 1r 2，所以r 1r 2＝4－4c 2，因为S △F 1MF 2＝S △F 1MA ＋S △AMF 2，所以12 r 1r 2sin 23 π＝12 r 1·|MA |·sin π3 ＋12 r 2·|MA |·sin π3，整理得r 1r 2＝（r 1＋r 2）·|MA |，即4－4c 2＝2×32 ，整理得c 2＝14，所以c ＝12 ，a ＝1，e ＝c a ＝12.故选B. 6．答案：C答案解析：易知M 的轨迹为椭圆，其方程为y 24＋x 2＝1，设M （x ，y ），则x 2＝1－y 24，∴MA → ·MB → ＝（－x ，3 －y ）·（－x ，－3 －y ）＝x 2＋y 2－3＝y 2＋（1－y 24）－3＝3y24－2， 因为y ∈[－2，2]，所以34y 2∈[0，3]，即3y24 －2∈[－2，1]，∴（MA → ·MB →）max ＝1. 7．答案：2答案解析：设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1，由离心率为13 可得c a ＝13，由a 2＝b 2＋c 2可得b 2a 2＝89 ，又92a 2 ＋4b 2 ＝1，解得a 2＝9，b 2＝8，c ＝1，焦距为2. 8．答案：5答案解析：由题得c ＝6 ，由题得PF 2⊥x 轴，当x ＝6 时，69＋y 23 ＝1，所以y ＝±1，∴|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝2×3－|PF 2|＝6－1＝5， 所以|PF 1|是|PF 2|的5倍．二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：在椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215＝1（a >15 ）中，由椭圆的定义可得||PF 1 ＋||PF 2 ＝2a ，因为||PF 1 ＝5||PF 2 ，所以||PF 2 ＝a 3，||PF 1 ＝5a3，在△PF 1F 2中，||F 1F 2 ＝2c ，由余弦定理得||F 1F 2 2＝||PF 1 2＋||PF 2 2－2||PF 1 ||PF 2 cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝25a 29 ＋a29－5a 29 ＝21a 29 ，所以c 2a 2 ＝2136 ，又b 2＝15.所以a 2＝36，所以椭圆C 的方程为x 236 ＋y 215 ＝1. 故选C. 2．答案：D答案解析：因为2<m <8，所以e 1＝ 1－2m ，e 2＝ 1－m8，所以e 1·e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 8 ＝1＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m 8 ≤54－22m ·m 8 ＝12， 当且仅当m ＝4时，等号成立，故e 1·e 2的最大值为12，e 1·e 2无最小值．故选D.3．答案：C答案解析：不妨设点P 在x 轴上方，如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得∠PBF ＝∠QBF ，∠EAB ＝∠EBA ，所以∠EAB ＝∠QBF ，所以ME ∥BQ ，所以|PE ||EB | ＝|PM ||MQ | .因为OE ∥PF ，所以|OF ||OB |＝|EP ||EB | ，从而有|PM ||MQ | ＝|OF ||OB | .又M 是线段PF 的中点，所以e ＝c a ＝|OF ||OB | ＝|PM ||MQ | ＝13 . 4．答案：D答案解析：如图所示：设椭圆的左焦点F ′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又FA → ·FB →＝0，即FA ⊥FB ， 所以平行四边形AFBF ′为矩形，所以||AB ＝||FF ′ ＝2c ，设||AF ′ ＝|BF |＝n ，||AF ＝m, 在直角△ABF 中，m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，得mn ＝2b 2，所以m n＋n m ＝2c 2b 2 ，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c2b 2 ，又由||FB ≤||FA ≤2||FB ，得m n ＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 ，所以c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 ，即b 2a 2 ＝11＋c 2b2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 ， 所以e ＝ca＝1－b 2a 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 ，所以离心率最大值为53 .故选D.5．答案：23答案解析：由椭圆的方程可知，椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，且|F 1F 2|＝2m 2－（m 2－1） ＝2，由题意可知，当点P 为椭圆C 左右顶点时，△PF 1F 2的面积最大，且12 |F 1F 2|m 2－1 ＝3 ，解得m ＝2，所以椭圆C 的短轴长为2m 2－1 ＝23 .6．答案：22答案解析：抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F （1，0），根据题意2c ＝（3－1）2＋（2－0）2＝22 ，c ＝2 .设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x ＝－1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a ＝||QF ＋||QP 2 ＝d ＋||QP 2 ≥3－（－1）2＝2， 当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e ＝ca ＝22. 三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由题，a 2＝9，b 2＝4，则||MF 1 ＋||MF 2 ＝2a ＝6，所以||MF 1 ·||MF 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫||MF 1＋||MF 22 2＝9（当且仅当||MF 1 ＝||MF 2 ＝3时，等号成立）.2．答案：C答案解析：由题意可知c ＝2，b 2＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝4＋22＝8，则a ＝22 ，∴e ＝c a ＝222 ＝22 . 3．答案：B答案解析：由椭圆C 的离心率为13 ，可得e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝13.化简，得8a 2＝9b 2.易知A 1（－a ，0），A 2（a ，0），B （0，b ），所以BA 1·BA 2＝（－a ，－b ）·（a ，－b ）＝－a 2＋b 2＝－1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝9b 2，－a 2＋b 2＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝8. 所以C 的方程为x 29 ＋y 28 ＝1.故选B.4．答案：A答案解析：A ()－a ，0 ，设P ()x 1，y 1 ，则Q ()－x 1，y 1 ，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a， 故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21 －x 21 ＋a 2 ＝14， 又x 21 a2 ＋y 21 b2 ＝1，则y 21 ＝b 2()a 2－x 21 a 2， 所以b 2()a 2－x 21 a 2－x 21 ＋a2 ＝14 ，即b 2a 2 ＝14 ， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2 ＝32 .故选A. 5．答案：（3，15 ）答案解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20 ＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为（3，15 ）.6．答案：8答案解析：根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋（8－m ）2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4（a 2－b 2）＝48，得m （8－m ）＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m （8－m ）＝8.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）由已知得b ＝4，且c a ＝55 ，即c 2a 2 ＝15，∴a 2－b 2a 2 ＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220 ＋y 216＝1. 则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. （2）椭圆右焦点F 的坐标为（2，0），设线段MN 的中点为Q （x 0，y 0），由三角形重心的性质知BF → ＝2FQ →， 又B （0，4），∴（2，－4）＝2（x 0－2，y 0）， 故得x 0＝3，y 0＝－2， 即Q 的坐标为（3，－2）. 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 21 20 ＋y 21 16 ＝1，x 22 20 ＋y 2216＝1， 以上两式相减得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝－45 ·x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－45 ×6－4 ＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65（x －3），即6x －5y －28＝0.2．答案解析：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2 ，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y22＝1， 得（1＋2k 2）x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.Δ＝24k 2＋16>0恒成立． 设点M ，N 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则y 1＝k （x 1－1），y 2＝k （x 2－1），x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2 ，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2 ，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2. 又点A （2，0）到直线y ＝k （x －1）的距离d ＝|k |1＋k2 ，所以△AMN的面积S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，由|k|4＋6k21＋2k2＝103，得k＝±1.所以当△AMN的面积为103时，k＝±1.。

3.1椭圆测试卷（原卷版）1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝12．若椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.23273．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－3C.3－12D.3－14.如图，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.325．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A ．(0，1)，12D.22，6．【多选题】设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．k AB ·k OM ＝－1B ．若点M 坐标为(1，1)，则直线l 的方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线l 的方程为y ＝x ＋1，则点M 的坐标为(13，43)D ．若直线l 的方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝4237．与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________．8．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．9．椭圆C ：x 28＋y 24＝1的弦AB 的中点为点Q (2，1)，则弦AB 所在直线的方程为________，若点P 为椭圆上的任意一点，F 为左焦点，O 为原点，则OP →·FP →的取值范围为________．10．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．11．过点M (－2，0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为()A ．2B ．－2C.12D ．－1212．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，下顶点为B ，离心率为32，且△BF 1F 2的面积为3.则椭圆C 的标准方程为________，若点P 在椭圆C 上，且以AP 为直径的圆过B 点，则直线AP 的斜率为________．13．已知中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上的椭圆M 的焦距为4，且椭圆M 过点(1，3)．(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点C (0，1)的直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且AC →＝2CB →，求直线l 的方程．1．设a >0，则椭圆x 2＋2y 2＝2a 的离心率是()A.12B.22C.13D ．与a 的取值有关2．已知点P 是椭圆x 216＋y 24＝1上一点，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若△F 1PF 2外接圆的半径为4，则△F 1PF 2的面积是()A.433B ．43C ．4D.433或433．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1 B.2C.32D.34．已知直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，若椭圆上存在点P 使△ABP 的面积等于12，则这样的点P 共有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________．6．2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功．已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200km ，350km.设地球半径为R km ，则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R 的式子表示)．7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)4，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)⊙O (O 为坐标原点)是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．10.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)1M 是x 轴上的一点，过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C的方程；(2)若AM→＝2MB→，且直线l与圆O(O为坐标原点)：x2＋y2＝47相切于点N，求MN的长．11．已知椭圆C过点(－1，0)，(1，0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．3.1椭圆测试卷（解析版）1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1答案D2．若椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.2327答案A 3．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－3C.3－12 D.3－1答案D解析在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1.所以离心率e ＝ca ＝21＋3＝3－1.故选D.4.如图，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.32答案B解析设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为2sin 60°＝433，即长半轴长为233，所以半焦距为33，故离心率为12.5．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A ．(0，1)，12D.22，答案C解析依题意，以F 1，F 2为直径且过点M 的圆在椭圆内，得c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2，2c 2<a 2.故－22＜e ＝c a <22，又0<e <1，所以0<e <22.6．【多选题】设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．k AB ·k OM ＝－1B ．若点M 坐标为(1，1)，则直线l 的方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线l 的方程为y ＝x ＋1，则点M 的坐标为(13，43)D ．若直线l 的方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝423答案BD解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)＋y 124＝1，＋y 224＝1，两式相减，得x 12－x 222＋y 12－y 224＝0，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2，即k AB ·k OM ＝－2，所以A 不正确；对于B ，由k AB ·k OM ＝－2，M (1，1)，得k AB ＝－2，所以直线l 的方程为y －1＝－2(x －1),即2x ＋y －3＝0，所以B 正确；对于C ，若直线l 的方程为y ＝x ＋1，k AB ·k OM ＝1×4＝4≠－2，所以C 不正确；对于D ，由x ＋2，＋y 24＝1，得3x 2＋4x ＝0，解得x ＝0或x ＝－43，所以|AB |＝1＋12|－43－0|＝423，所以D 正确．故选BD.7．与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________．答案x 215＋y 210＝18．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．答案35解析2＋4y 2＝16，＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0，Δ＞0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－212所以弦长|MN |x 1－x 2|＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54×（4＋24）＝35.9．椭圆C ：x 28＋y 24＝1的弦AB 的中点为点Q (2，1)，则弦AB 所在直线的方程为________，若点P 为椭圆上的任意一点，F 为左焦点，O 为原点，则OP →·FP →的取值范围为________．答案x ＋y －3＝0[2，8＋42]解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＋y 124＝1，＋y 224＝1，即x 12－x 22＋2(y 12－y 22)＝0，变形为y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2.又AB 的中点为点Q (2，1)，则有x 1＋x 22＝2，y 1＋y 22＝1，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，即直线AB 的斜率为－1，所以弦AB 所在直线的方程为y ＝－(x －2)＋1，即x ＋y －3＝0.设P (x 0，y 0)，又F (－2，0)，所以OP →＝(x 0，y 0)，FP →＝(x 0＋2，y 0)，所以OP →·FP →＝2x 0＋x 02＋y 02＝2x 0＋x 02＋4－x 022＝12(x 0＋2)2＋2.又－22≤x 0≤22，所以当x 0＝－2时，OP →·FP →有最小值2；当x 0＝22时，OP →·FP →有最大值8＋42，所以OP →·FP →∈[2，8＋42]．10．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．解析(1)由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝2 3.则b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，x ＋m ，＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①由Δ＝(6m )2－4×4×(3m 2－12)＞0，得m 2＜16.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB的中点为E(x0，y0)，则x1＋x2＝－3m2，则x0＝x1＋x22＝－3m4，y0＝x0＋m＝m4.因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝2－m4－3＋3m4＝－1，解得m＝2，满足Δ＞0.此时方程①为4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝32.此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝|－3－2＋2|2＝322.所以△PAB的面积S＝12|AB|·d＝92.11．过点M(－2，0)的直线m与椭圆x22＋y2＝1交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为()A．2B．－2C.12D．－12答案D解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)y12＝1，①y22＝1.①－②，得（x1＋x2）（x1－x2）2＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.即2x·（x1－x2）2＋2y(y1－y2)＝0.∴k1＝y1－y2x1－x2＝－x2y.又k2＝yx，∴k1·k2＝－12.12．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，下顶点为B，离心率为32，且△BF1F2的面积为3.则椭圆C的标准方程为________，若点P在椭圆C上，且以AP为直径的圆过B点，则直线AP的斜率为________．答案x24＋y2＝1310解析由题意可知ca＝32，S△BF1F2＝bc＝3.又a2－b2＝c2，所以b＝1，c＝3，a＝2，所以椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.以AP为直径的圆过B点，即AB⊥BP.因为k AB＝－ba＝－12，所以k BP＝2.所以直线BP的方程为y＝2x－1.2x－1，y2＝1，＝0，＝－1＝1617，＝1517，所以点PAP的斜率k AP＝1517－01617＋2＝310.13．已知中心为坐标原点O，焦点在y轴上的椭圆M的焦距为4，且椭圆M过点(1，3)．(1)求椭圆M的方程；(2)若过点C(0，1)的直线l与椭圆M交于A，B两点，且AC→＝2CB→，求直线l的方程．解析(1)设椭圆M的方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．∵2c＝4，∴c＝2，∴a2－b2＝c2＝4.又椭圆M过点(1，3)，∴3a2＋1b2＝1.b2＝4，＋1b2＝1，解得a2＝6，b2＝2.∴椭圆M的方程为y26＋x22＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0.设此时点A，B的坐标为(0，－6)和(0，6)，不满足AC→＝2CB→，∴直线l的斜率一定存在．设直线l的方程为y＝kx＋1，kx＋1，＋x22＝1，消去y并整理，得(3＋k2)x2＋2kx－5＝0.则Δ＝4k2＋20(3＋k2)＝24k2＋60>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2k3＋k2，x1x2＝－53＋k2.又∵AC→＝2CB→，∴(－x 1，1－y 1)＝2(x 2，y 2－1)，∴x 1＝－2x 2，∴x 1＋x 2＝－x 2＝－2k3＋k 2，x 1x 2＝－2x 22＝－53＋k 2，∴8k 2（3＋k 2）2＝53＋k 2，即8k 23＋k 2＝5，解得k 2＝5，∴k ＝± 5.故直线l 的方程为y ＝±5x ＋1.1．设a >0，则椭圆x 2＋2y 2＝2a 的离心率是()A.12B.22C.13D ．与a 的取值有关答案B2．已知点P 是椭圆x 216＋y 24＝1上一点，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若△F 1PF 2外接圆的半径为4，则△F 1PF 2的面积是()A.433B ．43C ．4 D.433或43答案D解析由正弦定理得|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2×4＝8，∴sin ∠F 1PF 2＝32.∴cos ∠F 1PF 2＝±12，符合题意．由余弦定理得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝8，∴|PF 1||PF 2|＝16或163.∴S △F 1PF 2＝12PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝433或4 3.3．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1 B.2C.32D.3答案A 解析不妨令A (－a ，0)，B (a ，0)．设M (x ，y )，N (x ，－y )(－a <x <a )，则k 1＝y x ＋a ，k 2＝y a －x.又椭圆的离心率为32，所以b a ＝1－e 2＝12，所以|k 1|＋|k 2|＝|y |x ＋a ＋|y |a －x≥2y 2a 2－x 2＝2b a ＝1(当且仅当|y |x ＋a ＝|y |a －x，即x ＝0时等号成立)．故选A.4．已知直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，若椭圆上存在点P 使△ABP 的面积等于12，则这样的点P 共有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案B解析可求出|AB |＝5，设P (4cos θ，3sin θ)，θ∈[0，2π)，则P 点到AB 的距离为d ＝|12（cos θ＋sin θ）－12|5＝245.∴θ＝π或3π2，∴这样的点P 有2个．5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________．答案x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1解析依题意可得a ＝2c ，a －c ＝3，∴c ＝ 3.∴a ＝23，b 2＝9.故椭圆的方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.6．2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功．已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200km ，350km.设地球半径为R km ，则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R 的式子表示)．答案75275＋R解析由题意得a －c ＝200＋R ，a ＋c ＝350＋R ，求得a ＝275＋R ，c ＝75.所以离心率e ＝c a ＝75275＋R.7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝b cx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．答案22解析设椭圆的左焦点为F 1，O 为坐标原点，连接OQ ，QF 1，QF ，由F 关于直线l ：y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |.又|OF 1|＝|OF |，所以F 1Q ⊥QF .所以F 1Q ∥l .不妨设|QF 1|＝ck (k ＞0)，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a ＝ck ＋bk ，由以上二式可得2c a ＝k ＝2a b ＋c，即c a ＝a b ＋c ，即a 2＝c 2＋bc ，所以b ＝c ，e ＝22.8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．答案33解析利用直线与直线、直线与椭圆的位置关系求交点坐标，再利用两直线垂直时斜率的关系列式以确定离心率．直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a.不妨令∴kBF 1＝－b 2a －0c －（－c ）＝－b 2a 2c＝－b 22ac .∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac(x ＋c )．令x ＝0，则y ＝－b 22a.∴k AD ＝b 2a ＋b 22a c＝3b 22ac .∵AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac＝－1.∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac .∴3e 2＋2e －3＝0.∴e ＝－2±4－4×3×（－3）23＝－2±423.∵e >0，∴e ＝－2＋423＝33.9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)4，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)⊙O (O 为坐标原点)是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．解析(1)∵2a ＝4，∴a ＝2.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2b2＝1.∵椭圆C，∴14＋94b2＝1.∴b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设O 到l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，则d ＝r ＝1.即|m |1＋k2＝1，∴m 2＝1＋k 2.①＋y 23＝1，kx ＋m ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.则Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝192k 2－48m 2＋144＝144k 2＋96＞0.设A ，B 坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－123＋4k2.∴y 1·y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝7m 2－12k 2－123＋4k 2.②将①代入②，得x 1x 2＋y 1y 2＝－5－5k 23＋4k 2.∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－32，∴－5－5k 23＋4k 2＝－32，∴k ＝±22.10.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)1M 是x 轴上的一点，过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM →＝2MB →，且直线l 与圆O (O 为坐标原点)：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求MN 的长．解析(1)2＝3，1，解得a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m ，0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，∴原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t 2＝47，即t 2＝74m 2－1.由AM →＝2MB →，得y 1＝－2y 2.y 2＝1，ty ＋m ，得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0，则Δ＝16(t 2－m 2＋4)＝12m 2＋48＞0.∴y 1＋y 2＝－2tm t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.∵y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2，∴y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2，即m 2－4t 2＋4＝－，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2.m 2－4）（t 2＋4）＝－8t 2m 2，＝74m 2－1，消去t 2，得21m 4－16m 2－16＝0，即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，∴±233，连接ON ，在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121，∴MN 的长为42121.11．已知椭圆C 过点(－1，0)，(1，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解析(1)由题意，得c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1(b ＞0)．因为点A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3或b 2＝－34(舍去)．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋－12＝0.由Δ＝36(2k ＋1)2＞0，得k ≠－12.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．因为点A所以x E y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，可得k ≠12，且x F y F ＝－kx F ＋32＋k .所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k （x F ＋x E ）＋2k x F －x E＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.。

2020高考数学(理数)题海集训31 椭圆一、选择题1.与椭圆9x 2＋4y 2=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )A.x 22＋y 24=1 B ．x 2＋y 26=1 C.x 26＋y 2=1 D.x 28＋y 25=12.已知椭圆x 2a 2＋y2b2=1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A 、B ，左焦点为F.以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M 、N 两点．若四边形FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( ) A.35 B ．12 C.23 D ．343.设椭圆C ：=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为( )A.B. C. D.4.设椭圆13422=+y x 的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上,若△PF 1F 2是直角三角形,则△PF 1F 2的面积为( )A.3B.3或1.5C.1.5D.6或35.椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 22=1 B.x 22＋y 2=1 C.x 24＋y 22=1 D.y 24＋x 22=16.已知椭圆x 2a 2＋y2b2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB交y 轴于点P.若AP ―→=2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.127.已知P 为椭圆x 225＋y 216=1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2=1和圆(x －3)2＋y 2=4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．158.曲线x 225＋y 29=1与曲线x 225－k ＋y29－k=1(k ＜9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等9.已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27=1 B ．x 216＋y 27=1或x 27＋y 216=1 C.x 216＋y 225=1 D ．x 216＋y 225=1或x 225＋y 216=110.已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2=1的两个焦点，P 在椭圆上且满足PF 1―→·PF 2―→=c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12D.⎝⎛⎦⎥⎤0，2211.已知椭圆C:13422=+y x 的左,右焦点分别为F 1,F 2,椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点,则·的最大值为( )A.23 B.233 C.49 D.415 12.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1(a ＞b ＞0)与圆D ：x 2＋y 2－2ax ＋316a 2=0交于A ，B 两点，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.32 D.6213.已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1―→·(OF 1―→＋OP ―→)=0(O 为坐标原点)，若|PF 1―→|=2|PF 2―→|，则椭圆的离心率为( )A.6－ 3B.6－32C.6－ 5D.6－5214.已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1315.在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x23=1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．216.已知点P 是椭圆x 216＋y28=1(x≠0，y≠0)上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→=0，则|OM ―→|的取值范围是( ) A ．[0,3) B ．(0,22) C ．[22，3) D ．(0,4] 17.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为22，双曲线x 2－y 2=1的渐近线与椭圆C 有4个交点，以这4个交点为顶点的四边形的面积为8，则椭圆C 的方程为( ) A.x 28＋y 22=1 B.x 212＋y 26=1 C.x 26＋y 23=1 D.x 220＋y 25=118.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2=1相交于A ，B 两点，则|AB|的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.810519.设P 为椭圆C ：x 249＋y224=1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为点G ，若|PF 1|∶|PF 2|=3∶4，那么△GPF 1的面积为( )A ．24B ．12C ．8D ．620.已知椭圆14222=+b y x (0<b<2)的左,右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线l 交椭圆于A,B 两点,若|BF 2|+|AF 2|的最大值为5,则b 的值是( )A.1B.2C.1.5D.3 二、填空题21.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2=1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，且满足c 2－b 2＋ac ＜0，则该椭圆的离心率e 的取值范围是________．22.设e 是椭圆x 24＋y 2k =1的离心率，且e=23，则实数k 的值是________．23.已知椭圆C 的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2:3,则椭圆C 的方程是 .24.设F 1，F 2是椭圆x 249＋y224=1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|=4∶3，则△P F 1F 2的面积为________． 25.已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为55,且过点P(-5,4),则椭圆的标准方程为 .26.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．27.椭圆C ：x 2a 2＋y2b2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y=0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为________．28.已知椭圆x 2a 2＋y2b2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c ，0)，右顶点为A ，上顶点为B ，现过A 点作直线F 1B 的垂线，垂足为T ，若直线OT(O 为坐标原点)的斜率为－3bc，则该椭圆的离心率为________．29.设F 1,F 2分别是椭圆C:12222=+by a x (a>b>0)的左,右焦点,点P 在椭圆C 上,线段PF 1的中点在y 轴上,若∠PF 1F 2=30°,则椭圆C 的离心率为 .30.设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y216=1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF 1|的最大值为________．答案解析1.答案为：B ；2.答案为：A.解析：因为圆O 与直线BF 相切，所以圆O 的半径为bc a ，即OC=bca ，因为四边形FAMN 是平行四边形，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 2，bc a ，代入椭圆方程得（a ＋c ）24a 2＋c 2b 2a 2b 2=1，所以5e 2＋2e －3=0， 又0＜e ＜1，所以e=35.故选A.3.D.4.答案为：C ；5.答案为：C ；由条件可知b=c=2，a=2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y22=1.故选C.6.答案为：D ；∵AP ―→=2PB ―→，∴|AP ―→|=2|PB ―→|.又∵PO ∥BF ，∴|PA||AB|=|AO||AF|=23，即a a ＋c =23，∴e=c a =12.7.答案为：B ；由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|=10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2=7.8.答案为：D ；曲线x 225＋y 29=1表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为45.曲线x 225－k ＋y 29－k=1(k ＜9)表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为225－k ，短轴长为29－k ，焦距为8，离心率为425－k.对照选项，知D 正确．故选D.9.答案为：B.解析：因为a=4，e=34，所以c=3，所以b 2=a 2－c 2=16－9=7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27=1或x 27＋y216=1.设P(x ，y)，则x 2a 2＋y 2b 2=1，y 2=b 2－b 2a2x 2，－a≤x≤a，PF 1―→=(－c －x ，－y)，PF 2―→=(c －x ，－y)．所以PF 1―→·PF 2―→=x 2－c 2＋y 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 2a 2x 2＋b 2－c 2=c 2a 2x 2＋b 2－c 2.因为－a≤x≤a，所以b 2－c 2≤PF 1―→·PF 2―→≤b 2.所以b 2－c 2≤c 2≤b 2.所以2c 2≤a 2≤3c 2.所以33≤c a ≤22.故选B.11.答案为：B ；12.答案为：B ；由已知可得圆D ：(x －a)2＋y 2=1316a 2，圆心D(a ，0)，则菱形OADB 对角线的交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，将x=a 2代入圆D 的方程得y=±3a 4， 不妨设点A 在x 轴上方，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，3a 4，代入椭圆C 的方程可得14＋9a 216b 2=1，所以34a 2=b 2=a 2－c 2，解得a=2c ，所以椭圆C 的离心率e=c a =12.13.答案为：A ；以OF 1，OP 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则， 由PF 1―→·(OF 1―→＋OP ―→)=0知，此平行四边形的对角线垂直，即此平行四边形为菱形， ∴|OP ―→|=|OF 1―→|，∴△F 1PF 2是直角三角形，即PF 1⊥PF 2.设|PF 2|=x ，则|PF 1|=2x ，结合椭圆的性质和三角形勾股定理可得⎩⎨⎧2x ＋x ＝2a ，2x 2＋x 2＝2c2，∴e=c a =32＋1=6－ 3.故选A.14.答案为：C ；如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，即椭圆上存在一点P ，使得|PF 2|=2c.∴a －c≤2c≤a＋c.∴e=c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.∵椭圆的方程为y 24＋x 23=1，∴a 2=4，b 2=3，c 2=1，∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|=4， ∴|PB|=4－|PC|，∴|PA|＋|PB|=4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|=5.16.答案为：B ；如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G.∵F 1M ―→·MP ―→=0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线，∴|PF 1|=|PG|，且M 为F 1G 的中点．∵O 为F 1F 2的中点，∴OM 綊12F 2G.∵|F 2G|=||PF 2|－|PG||=||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|=12|2a －2|PF 2||=|4－|PF 2||.∵4－22＜|PF 2|＜4或4＜|PF 2|＜4＋22， ∴|OM ―→|∈(0,22)．17.答案为：C ；由题意知双曲线x 2－y 2=1的渐近线方程为y=±x，由椭圆的对称性可知以这4个交点为顶点的四边形是正方形，由四边形的面积为8，知正方形的边长为22，所以点(2，2)在椭圆上，所以2a 2＋2b 2=1.①又椭圆的离心率为22，所以a 2－b 2a 2=12，所以a 2=2b 2.②由①②得a 2=6，b 2=3，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 23=1.故选C.18.答案为：C ；设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y=x ＋t ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)=0，则x 1＋x 2=－85t ，x 1x 2=4t 2－15.∴|AB|=1＋k 2|x 1－x 2|=1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2=2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4t 2－15 =425·5－t 2，当t=0时，|AB|max =4105.∵P 为椭圆C ：x 249＋y224=1上一点，|PF 1|∶|PF 2|=3∶4，|PF 1|＋|PF 2|=2a=14，∴|PF 1|=6，|PF 2|=8，又∵|F 1F 2|=2c=249－24=10，∴易知△PF 1F 2是直角三角形，S △PF 1F 2=12|PF 1|·|PF 2|=24，∵△PF 1F 2的重心为点G ，∴S △PF 1F 2=3S △GPF 1，∴△GPF 1的面积为8，故选C.20.答案为：D ；21.答案为：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12； 解析：∵c 2－b 2＋ac ＜0，∴c 2－(a 2－c 2)＋ac ＜0，即2c 2－a 2＋ac ＜0，∴2c 2a 2－1＋ca＜0，即2e 2＋e －1＜0，解得－1＜e ＜12.又∵0＜e ＜1，∴0＜e ＜12.∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.22.答案为：209或365；解析：当k ＞4 时，有e= 1－4k =23，解得k=365；当0＜k ＜4时，有e=1－k 4=23， 解得k=209.故实数k 的值为209或365.23.答案为：+=1；24.答案为：24；解析：因为|PF 1|＋|PF 2|=14，又|PF 1|∶|PF 2|=4∶3，所以|PF 1|=8，|PF 2|=6.因为|F 1F 2|=10，所以PF 1⊥PF 2.所以S △PF 1F 2=12|PF 1|·|PF 2|=12×8×6=24.25.答案为：+=1；26.答案为：⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1；解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2=1(a ＞b ＞0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2―→，F 2B 1―→所夹的角为钝角，则(a ，－b)·(－c ，－b)＜0，即b 2＜ac ，则a 2－c 2＜ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a －1＞0，即e 2＋e －1＞0，解得e ＞5－12或e ＜－5－12，又0＜e ＜1，所以5－12＜e ＜1.27.答案为：3－1；解析：设F′为椭圆的右焦点，则AF⊥AF′，∠AF ′F=π3，∴|AF|=3|AF ′|，|FF ′|=2|AF′|，因此椭圆C 的离心率为2c 2a =|FF ′||AF|＋|AF′|=23＋1=3－1.28.答案为：0.5；解析：因为椭圆x 2a 2＋y2b2=1(a ＞b ＞0)，A ，B 和F 1点坐标分别为(a ，0)，(0，b)，(－c ，0)，所以直线BF 1的方程是y=b c x ＋b ，OT 的方程是y=－3b c x.联立解得T 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 4，3b 4， 直线AT 的斜率为－3b 4a ＋c .由AT⊥BF 1得，－3b 4a ＋c ×b c=－1，∴3b 2=4ac ＋c 2，∴3(a 2－c 2)=4ac ＋c 2，∴4e 2＋4e －3=0，又0＜e ＜1，所以e=0.5.29.答案为：；30.答案为：15；解析：在椭圆x 225＋y216=1中，a=5，b=4，c=3，所以焦点坐标分别为F 1(－3，0)，F 2(3,0)．根据椭圆的定义得|PM|＋|PF 1|=|PM|＋(2a －|PF 2|)=10＋(|PM|－|PF 2|)． ∵|PM|－|PF 2|≤|MF 2|，当且仅当P 在直线MF 2上时取等号， ∴当点P 与图中的点P 0重合时，有(|PM|－|PF 2|)max =6－32＋4－02=5，此时得|PM|＋|PF 1|的最大值，为10＋5=15.。