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第3章 刚体的转动

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第三章 刚体的转动

第三章 刚体的转动

M
o
r
F

M r F
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向 用右手螺旋法则确定。
力矩的方向
2）力矩的单位、
牛· 米(N· m)
3）力矩的计算：
M 的大小、方向均与参考点的选择有关
M
m
M Fr sin
r
F

※在直角坐标系中，其表示式为 M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
例2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各 自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图 (a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距 离为R，则该质元对转轴的转动惯量为
dI R 2 dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R， 所以细圆环对中心轴的转动惯量为
dI x dm x dx
2 2
整个棒对中心轴的转 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
1 2 I x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.
刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质 量连续分布的质点系。
3.1 刚体定轴转动的描述
刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体 的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。
1.刚体的平动和定轴转动
平动
刚体的平动是指刚体在运动过 程中其中任意两点的连线始终保 持原来的方向（或者说，在运动 的各个时刻始终保持彼此平行）。 特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动 轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运 动都可代表整个刚体的运动。 平动的刚体可看作质点。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。

大学物理.第三章.刚体的转动

大学物理.第三章.刚体的转动
动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z

O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.

第三章刚体定点转动

第三章刚体定点转动

第三章刚体定点转动§3.1定点转动运动学一、什么是定点转动？刚体转动时，如果刚体内只有一点始终保持不动，这种运动叫刚体的定点转动。

由于做定点转动时刚体上有一点固定不动，一般以定点为基点。

陀螺、回转罗盘（用于航空和航海方面）等，都是刚体绕定点转动的实例。

它们都只有一点不动。

如图3.1.1所示的常平架中的圆盘可绕对称轴z O ′转动，对称轴固结在内悬架上，内悬架可绕固结于外悬架的图3.1.1此，ON 轴转动而外悬架又可绕固定轴Oz 转动，此三轴的交点O 则是始终不动的，所以这种运动和定轴转动的情形不同。

二、定点转动和定轴转动的联系与区别1．联系：定点转动可以看成绕瞬时轴的定轴转动。

把某一瞬时角速度ω的取向，亦即在该瞬时的转动轴叫转动瞬轴。

跟转动瞬心相仿，转动瞬轴在空间和刚体内各描绘一个定点在O 的锥面，前者叫空间极面，后者则叫本体极面。

刚体绕固定点的转动，也可看作时本体极面在空间极面上作无滑动的滚动，如图3.1.2所示。

2．区别：（1）关于转轴：定点转动的轴恒通过一定点，但其在空间的取向随着时间的改变而改变，定轴转动的转轴在空间的取向不变。

（2）关于角速度：定点转动矢量的量值和方向都是时间的函数。

而定轴转动的角速度方向恒沿着固定的转动轴，量值可以是时间的函数。

ω三、定点转动时刚体上任一点的速度r dt r d v v vv ×==ωυ （3.1.1）P图3.1.3如图3.1.3所示,刚体上任一点P 的运动可以看成是绕瞬时轴的转动,所以其速度在圆周的切线方向,大小为R ωυ=.四、定点转动时刚体上任一点的加速度由加速度的定义知r r r dtd r r dt d r dt d dt d a vv v v v vv v v v v v v v v v v 2)()(ωωωωωωωυωωυ−⋅+×=××+×=×+×==而 R r r v v v v v 22)(ωωωω−=−⋅则R r dtd a v v v v 2ωω−×= (3.1.2)上式中的第一项r dtd vv×ω为转动加速度,第二项R v 2ω−为向轴加速度. 例:半径为a 的碾盘在水平面上做无滑滚动,长为b 的水平轴OA 绕竖直轴OE 以匀角速度1ω转动,如图3.1.4所示.求碾盘最高点P 的速度和加速度.x图3.1.4解: 碾盘绕定点O 运动,取如图所示的直角坐标系,OA=b,AB=OE=a,j a i b r P ˆˆ+−=v 要使碾盘在水平面上做无滑滚动,则瞬时角速度的方向为BO 方向,且iab j j i ˆˆˆˆ1121ωωωωω+=+=v.则 kb j a i b i ab j r P P ˆ2)ˆˆ()ˆˆ(111ωωωωυ=+−×+=×=vv v . 或用瞬轴法:P 点速度大小:b PD P 12ωωυ=⋅=. 方向:oz 轴方向.加速度: ja b i b r dt d dt d a P P Pˆˆ321221ωωυωωυ−=×+×==v v v v v v§3.2定点转动刚体对定点的动量矩一、刚体的动量矩图3.2.1刚体是一特殊的质点系，刚体作定点转动时对定点O 的动量矩（角动量）等于刚体上的各质点对定点O 的动量矩之和（矢量和）。

第三章 刚体的定轴转动

第三章 刚体的定轴转动
令
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt

3.刚体的定轴转动

3.刚体的定轴转动
a a n a
2 3 2

2
6.16 10
3

2
3.14 m / s
2
2
6.16 10 m / s
例3-2：一飞轮在时间t 内转过角度 at bt 3 ct 4式中a、b、c都 是常量。求它的角加速度。 解:飞轮上某点的角位置可用θ 表示为： at bt 3 ct 4 将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为:
O
刚体定轴转动的描述
（1） 定轴转动的角量描述
角位置： (t )
角位移： (t ) (t 0 ) 角速度：
d dt d
dt d
2
角加速度：

dt
2
角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的
方向并满足右手螺旋定则。
说明：在刚体的定轴转动中加速度、角加速度和角位移通常用 代数量表示。通常规定：当刚体作逆时针转动时，这些角量均 取正值；反之，取负值。
观察圆盘O和圆盘上一点P的运动：
O点的运动：沿着直线向前移动 圆盘上其他点的运动：除向前移动外，还绕圆盘中心O且垂直于盘面的轴转动。
1.刚体的平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时 刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特点：刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。 －－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
2
2
则整个刚体的转动动能为：
Ek

1 2
m i vi
2
1 2

m i ri
2
2

1 2
J
2
二、 力矩的功和功率
1.力矩的功

刚体的转动

刚体的转动

第三章 刚体的转动出发点：牛顿质点运动定律刚体的运动分为：平动，定轴转动，定点转动，平面平行运动，一般运动。

§3-1 刚体的平动，转动和定轴转动一 刚体的定义：在无论多大力作用下物体形状和大小均保持不变。

（理想模型）二 平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。

特征：1 平动时刚体中各质点的位移，速度，加速度相等。

2 动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距离保持不变的质点组。

受力：内力和外力对每一个质元：满足牛顿运动定律+=Mi i 对刚体而言：∑(+fi )=∑Mi i⇒∑+∑=∑Mi i显然∑=0 ⇒∑=∑Mi I=∑Mi故：∑F ==M a即：刚体做平动时，其运动规律和一质点相当，该质点的质量与刚体的质量相等，所受的力等于刚体所受外力的矢量和。

三 转动和定轴转动定轴转动的运动学特征：用角位移、角速度、角加速度加以描述，且刚体中各质点的角位移 、角速度、角加速度相等。

ω=dt d θ, α=dtd ω对匀速、匀变速转动可参阅P210表4-2 角量与线量的关系：v=R ωa t=R αa n=ω2R更一般的形式：角速度矢量的定义：=ωγ⨯ ， =dtd 显然，定轴转动的运动学问题与质点的圆周运动相同。

例：一飞轮在时间t 内转过角度θ=t b at 3+-c t 4,式中abc 都是常量。

求它的角加速度。

解： 飞轮上某点的角位置可用θ表示为θ=t b at 3+-c t 4,将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为ω＝(dtdt b at 3+-c t 4）＝a+3b t 2-4c t 3角加速度是角速度对t 导数，因此得α =dt d ω=d td ( a+3b t 2-4c t 3)=6bt-12c t 2由此可见，飞轮作的是变加速转动。

§3-2 力距 刚体定轴转动定律一 力矩：设在转动平面内，=⨯是矢量，对绕固定轴转动，只有两种可能的方向，用正负即可表示，按代数求和（对多个力）。

第三章刚体的转动


三、转动定律 第一转动定律：若 第二转动定律：
，刚体将保持原状
例1．一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮， 绳的两端分别悬有质量为 和 的物体， ,滑轮质量为m，半径为r，其转动 惯量可按 计算（视为圆盘），绳 与轮之间无相对滑动，试求物体的加速 度 和绳的张力。 例2．一块均匀的长方形薄板，边长为a、 b，中心O取为原点，设薄板的质量为M， 求薄板对o杆长L，质量为m，一质量也为m的 小球用长为L 的轻绳系于O点，开始时杆 静止于竖直位置，现将小球在垂直于轴的 平面内拉开一定角度，摆下去与杆端相碰 （弹 性碰撞 ） ，结 果 使 杆 的 最 大 偏 角 为 ，求小球最初被拉开的角度 。 4．在水平面上，有一均匀细棒L，质量为 ，与水平面的摩擦系数为 ，可绕O转动， 以 碰棒的A端，碰撞时间极短，碰后速 度为 ，求碰撞后，细棒从开始转动到停 止转动过程所需的时间t。
第三章 刚体的转动
一、基本概念 1．刚体(Rigid Body) 2．刚体的平动(Translation) 3．刚体的转动(Rotation) 4．定轴转动 5．转动平面 6．角坐标；角位移；角速度；角加速度
7. 线速度 8 刚体的平衡条件
二、转动惯量 (1)转动惯量定义：
(2)刚体的动能：
与(a) 刚体的质量m有关； (b) 与m的分布有关； (c) 与转轴的位置有关
四、刚体定轴转动的动能定理 1．力矩做功 当刚体在力矩 作用下从 转到 力矩所做的功为：
时，
五、定轴转动的角动量定理
1．定义：冲量矩= 2．刚体定轴转动的角动量定理 3．角动量守恒定律 当 时， 恒量 问题： ①刚体绕定轴做匀变速运动，刚体上任意一点是 否有 、 ，其大小是否改变？ ②一个物体可以绕定轴做无摩擦的匀速运动，当 它热胀冷缩时，角速度是否改变？为什么？

大学物理上第3章 刚体的定轴转动


z
(ω, β )
r fi
F 两边乘以r 两边乘以ri ,有： it ri + f it ri = ∆mi ait ri
对所有质元的同样的式子求和， 对所有质元的同样的式子求和，有：
fit
∆mi
Fit
r Fi
Fir
o
Fit ri + ∑ f it r i = ∑ ∆mi ait ri = β ∑ ( ∆mi ri 2 ) ∑
表示合外力矩，记作M ∑ F r 表示合外力矩，记作 表示内力矩之和， ∑ f r 表示内力矩之和，其值等于零
it i
it i
(∆mi ri 2 ) 称为刚体对轴的转动惯量，记作J 称为刚体对轴的转动惯量，记作 ∑
则上式可简写成： 则上式可简写成：M = Jβ
11
M = Jβ
刚体定轴转动定律： 刚体定轴转动定律：刚体所受的对于某一固定转动 轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 说明: 说明: 1. 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 2. M、J、β是对同一轴而言的。 是对同一轴而言的。 3. 上式反映了力矩的瞬时效应。M = Jβ = J dω 上式反映了力矩的瞬时效应。 dt 4. 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 5. 转动惯量 是刚体转动惯性大小的量度。 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度 是刚体转动惯性大小的量度。
2
§3.1
3.1.1 刚体的运动
刚体定轴转动的描述
刚体的平动：刚体在运动过程中， 刚体的平动：刚体在运动过程中，其 上任意两点的连线始终保持平行。 上任意两点的连线始终保持平行。 可以用质点动力学的方法 来处理刚体的平动问题。 来处理刚体的平动问题。 刚体的定轴转动： 刚体的定轴转动：刚体上各点都绕同 一直线作圆周运动， 一直线作圆周运动，而直线本身在空 间的位置保持不动的一种转动。 间的位置保持不动的一种转动。这条 直线称为转轴 转轴。 直线称为转轴。

第3章 刚体的定轴转动


F
Od
r *ϕ
P
方向： 沿轴向（使刚体绕轴逆时针改变运动状态为正） 方向： 沿轴向（使刚体绕轴逆时针改变运动状态为正） 单位： 单位： N ⋅ m （牛⋅米） 定轴转动的刚体受到几个力矩的作用， 定轴转动的刚体受到几个力矩的作用，合力矩是 各力矩的代数和。 各力矩的代数和。
6
3.2 刚体的定轴转动定律
4
3.1 刚体的运动
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时， 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体作 匀变速转动 。 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 质点匀变速直线运动 刚体绕 刚体绕定轴作匀变速转动
v = v 0 + at
x = x 0 + v 0 t + at
1 2
1
3.1 刚体的运动
3.1.2 刚体的定轴转动
转动：组成刚体的各质点都绕某一直线作 组成刚体的各质点都绕某一直线作 圆周运动， 这条线为转轴。 圆周运动， 这条线为转轴。 转轴 若转轴相对于给定的参考系在空间 固定不动，则称为刚体的定轴转动。 固定不动，则称为刚体的定轴转动。 刚体的定轴转动 刚体的一般运动 （如：运行的车轮） 运行的车轮） 随某点(基点) 随某点(基点)的平动 + 过该点 的定轴转动。 的定轴转动。
第3章 刚体的定轴转动 章 3.1 刚体的运动
刚体： 刚体：特殊的质点系 受力时质点系的形状和体积不改变
3.1.1 刚体的平动
在运动过程中刚体上的任 意一条直线在各个时刻的位置 都相互平行 任意质元运动都代表整体运动 任意质元运动都代表整体运动 质元运动都代表整体
A’ A B A”
B’
B”
可用质点运动学和动力学知识研究

第3章刚体的定轴转动


绕通过质心 由合外力矩决定（应用
轴的转动
转动定律）
第3章 刚体的定轴转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆mC柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物mB
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
第3章 刚体的定轴转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
的大小与角速度的平方成正比，比例系数为 k
（ k 为大于零的常数).当 1 30 时，飞轮的角
加速度为
，所经历的时间为
M k2
M J
k 2
J
k
2 0
9J
第3章 刚体的定轴转动
M k2
M J J d
k 2 J d
dt
dt
t dt J
1
3
0
1
d
0
k 0 2
2J t
M mr 2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第3章 刚体的定轴转动
z
M
F
F
O
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i
mi dri dt

m
i
i i
m
( 3.6)
物理意义：物体的总动量等于物体的全部质量集 中于质心、并以质心速度 C 运动时的动量。
d C 质心运动加速度 aC dt
m d
i i

i
dt
m a
i
i i
质心运动定理
FC maC
m
m
( 3.8)
2014年7月10日星期四 吉林大学 物理教学中心
m2
m2 g
m1 g T1
T2
24
m2>m1。滑轮可看作是质量均匀分布的圆盘，质量为m，半径为R， 转动惯量为 I＝mr2/2，可绕水平轴自由转动。绳与滑轮间无相对滑 动。 求：物体的加速度和绳的张力。
2014年7月10日星期四
系统所受的合外力等于系统的质量乘以质心 的加速度。 11
吉林大学 物理教学中心
例3.1 在光滑水平面上有一质量为m、长为l 的均质细杆，一端可
以绕固定轴无摩擦转动，另一端与质量为m/2的小球固定在一起。 若系统以不变的角速度 在水平面上转动。求：(1) 系统的质心位 置；(2) 细杆与固定轴之间的作用力。
转轴
θ=θ(t) 与质点的运动方程相似， 称其为角运动方程。 角位移Dq ：q 的增量。 反映刚体转动状态变化的物理量。
Dq q t Dt q t 角位置与角位移的单位用弧度（rad）表示。
转动平面
r 'Dq q O r
P’
P
x
参考方向
通常规定自参考方向Ox轴逆时针转到P点的矢径时q 为正，反之为负。
(1.36)
d dω =r dt dt
吉林大学 物理教学中心
7

矢量式为：
r a r a n (1.37)
O
r
v
2014年7月10日星期四
吉林大学 物理教学中心
8
3.1 质心 质心运动定理
3.1.1 质心 (center of mass)
刚体的整体运动可以用刚体或质点系的质 量中心的运动来描述。 刚体质量的中心称为质心。
质心位置矢量 r dm m i ri 质量连续分布 m i rC rC ( 3.3) m m 质心位置矢量 rC 与参考点的选择有关，但 质心相对于质点系的位置完全由质点系的质量 分布决定。
(1) M 为合外力矩； (2) 瞬时性，M、 同时存在，同时消失； (3) 同轴性，M、I 和 都是对同一确定轴而言。
2014年7月10日星期四 吉林大学 物理教学中心
22
例3.4 一转动惯量为I 的圆盘，绕一固定轴转动，起初角速度为
0 ，设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即 M ＝－ k (k 为常 数)。求：角速度从0变为0/2时所需的时间。
2014年7月10日星期四 吉林大学 物理教学中心
19
例3.2 长为l、质量为m的均质细直杆，放在粗糙的水平面上，杆
可绕通过其中心且与平面垂直的固定轴转动，已知杆与平面间的 摩擦系数为 。求：杆绕竖直轴转动时所受的摩擦力矩。
解：建立如图坐标轴
z
所受摩擦力为 m dF gdm g dx
2014年7月10日星期四 吉林大学 物理教学中心
2
1.4 描述刚体转动的角量
刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动时， 称此运动为转动 （ rotation ） ，这条直线叫做转轴 （rotational axis）。转轴始终固定不动的转动称为 定轴转动（fixed-axis rotation）。
根据几何关系，有 Ds = rDq 且 即
Ds Dq lim r lim D t 0 D t D t 0 D t
B
Dq
Dr
r
Ds
A
o
ds dq =r dt dt rω
(1.34)
将式（1.34）对时间求导
a = r 2 an = rω2 r
2014年7月10日星期四
(1.35)
2 S
2 0 r dr 1 m 4 ( ) R 2 R 2
3
R
or
R
dr
1 2 mR 2
2014年7月10日星期四
吉林大学 物理教学中心
17
3.2 刚体定轴转动定律
3.2.1 力对轴的力矩
为转轴中心O点到力的作用 点P的矢径，力臂的大小为 d，则力对转轴的力矩为 M rF sin Fd ( 3.9)
外力在转动平面内， r
Ft F sin M rFt Ft 表示力 F 垂直于矢径 r 方向的分量 力矩是矢量 M r F ( 3.11)
力矩总是沿着转轴方向，当转轴的方向确定之后，力矩 的方向可由正、负号来决定。 18 吉林大学 物理教学中心 2014 年7月10日星期四
1.4.2 角速度一反映刚体转动快慢
一、平均角速度
2014年7月10日星期四
Dq Dt 吉林大学 物理教学中心
(1.32)
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二、瞬时角速度
当 Dt→0时，平均角速度的极限值称为瞬时角 速度，即 Dq dq lim (1.31) Dt 0 D t dt 角速度的单位为弧· 秒-1（rad· s-1）。
（2） 质心的位置只决定于物体的质量分布；与物体是否受到重力 的作用无关。 （3） 物体的重力随物体在地球上的位置不同会发生变化，重心 与地球引力有关。
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3.1.2 质心运动定理
drC i 质心运动速度 C dt m p mi i m C 动 量
2 r F r f [ Δ m r i it i it i i ]
内力总是成对出现，内力矩为零。
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i
O
i
i
D mi
ri
刚体做定轴转动时， 设任意质元所受的合外力 为 Fi 、合内力为 f i ，它们 沿圆周切向方向的分力分 别为Fit ，fit，
l
m dm dl dx l

o
dx
x
对转轴的阻力矩大小为
m dM xdF g xdx l l 1 m 2 M 20 g xdx mgl 4 l
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3.2.2 转动定律
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
Fi
qi
n

fi
它们的法向力通过转轴，不产生转动力矩。 方程两边同时乘以ri ，然后对所有质元求和
角加速度的单位为弧· 秒-2（rad· s-2）。 应当明确：
（1）角速度与角加速度均为矢量； （2）角速度的方向服从右手定则；




O
（3）在定轴转动时，角加速度与角速度方向平行； 方向相同，作加速转动；方向相反，作减速转动。
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1.4.4 角量与线量的关系
l m 解：（1） m l 2 2 2 xC l m 3 m 2 （ 2 ）细杆与固定轴之间的作用力 N 是系统质心 绕固定轴做圆周运动的向心力
m 3m 2l 2 2 N (m ) m l 2 xC 2 3
2 C
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1.4.3 角加速度一反映角速度的变化
一、平均角加速度 二、瞬时角加速度 当 Dt→0时，平均角加速度的极限值称为瞬时 角加速度，即
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D Dt
(1.32)
5
D d d q lim 2 Dt 0 D t dt dt
2
(1.33)
2
2
o
x
x dm
x
dm
x
I
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l h 2 l ( h) 2
1 2 x dx ml 2 mh 2 12
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o
h
x
x dm
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平行轴定理(parallel axis theorem)
I IC md
2
( 3.18)
刚体对任一轴的转动惯量 I， 等于对过中心 的平行轴的转动惯量与二轴间的垂直距离 d 的平 方和刚体质量的乘积之和。
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质心的直角坐标 mi xi
xc
i
m
，
xc
m
xdm
m
m
,
yc
m i yi
i
质量连续分布
m
i
,
yc
zc
ydm
m
m
,
zc
mi zi
m
zdm
m
质心与重心（物体所受重力的作用点）
（1）一般情况下，质心与重心是重合的。
解： 由转动定律 d dt K dt I
M K I I d
同时积分
0 t K d 2 0 I dt 0
I t ln 2 k
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m2>m1。滑轮可看作是质量均匀分布的圆盘，质量为m，半径为R， 转动惯量为 I＝mr2/2，可绕水平轴自由转动。绳与滑轮间无相对滑 动。 求：物体的加速度和绳的张力。
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