2020年高三数学二轮复习 专题四第二讲 数列的通项公式与数列求和教案 理

2024届高三数学二轮专题复习教案——数列一、教学目标1.知识目标掌握数列的基本概念、性质和分类。

熟练运用数列的通项公式、求和公式。

能够解决数列的综合应用题。

2.能力目标提高学生分析问题和解决问题的能力。

培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

二、教学内容1.数列的基本概念数列的定义数列的项、项数、通项公式数列的分类2.数列的性质单调性周期性界限性3.数列的求和等差数列求和公式等比数列求和公式分段求和4.数列的综合应用数列与函数数列与方程数列与不等式三、教学重点与难点1.教学重点数列的基本概念和性质数列的求和数列的综合应用2.教学难点数列求和的技巧数列与函数、方程、不等式的综合应用四、教学过程1.导入新课通过讲解一道数列的典型例题，引导学生回顾数列的基本概念、性质和求和公式，为新课的学习做好铺垫。

2.数列的基本概念（1）数列的定义：按照一定规律排列的一列数叫做数列。

（2）数列的项：数列中的每一个数叫做数列的项。

（3）数列的项数：数列中项的个数。

（4）数列的通项公式：表示数列中任意一项的公式。

（5）数列的分类：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

3.数列的性质（1）单调性：数列的项随序号增大而增大或减小。

（2）周期性：数列中某些项的值呈周期性变化。

（3）界限性：数列的项有最大值或最小值。

4.数列的求和（1）等差数列求和公式：S_n=n/2(a_1+a_n)（2）等比数列求和公式：S_n=a_1(1q^n)/(1q)（3）分段求和：根据数列的特点，将数列分为若干段，分别求和。

5.数列的综合应用（1）数列与函数：利用数列的通项公式研究函数的性质。

（2）数列与方程：利用数列的性质解决方程问题。

（3）数列与不等式：利用数列的性质解决不等式问题。

6.课堂练习（2）已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n^2+n，求证数列{a_n}为单调递增数列。

（3）已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2n+1，求证数列{a_n}为等差数列。

城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关： 数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、 数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案： 数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动 数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式 递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -． 所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-． 点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。

高三数学第二轮专题复习：数列的通项公式与求和的常用方法高考要求数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项 通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法重难点归纳1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性2 数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系式 a n =⎩⎨⎧≥-=-2,1,11n S S n S n n3 求通项常用方法①作新数列法 作等差数列与等比数列 ②累差叠加法 最基本形式是a n =(a n －a n －1+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1③归纳、猜想法4 数列前n 项和常用求法①重要公式 1+2+…+n =21n (n +1) 12+22+…+n 2=61n (n +1)(2n +1)13+23+…+n 3=(1+2+…+n )2=41n 2(n +1)2②等差数列中S m +n =S m +S n +mnd ，等比数列中S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n③裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下常见的裂项等)!1(1!1)!1(1,C C C ,ctg2ctg 2sin 1,!)!1(!,111)1(111+-=+-=-=-+=⋅+-=++-n n n ααn n n n n n n n rn r n n nα④错项相消法 ⑤并项求和法数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法典型题例示范讲解例1已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x )=(x －1)2，且a 1=f (d －1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q +1)，b 3=f (q －1)，求数列{a n }和{b n }的通项公式；解 ∵a 1=f (d －1)=(d －2)2，a 3=f (d +1)=d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ，∵d =2，∴a n =a 1+(n －1)d =2(n －1)；又b 1=f (q +1)=q 2，b 3=f (q －1)=(q －2)2，∴2213)2(qq b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例2设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n =23(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n =4n +3;(1)求数列{a n }的通项公式；(2)把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明数列{d n }的通项公式为d n =32n +1;(3)设数列{d n }的第n 项是数列{b n }中的第r 项，B r 为数列{b n }的前r 项的和；D n 为数列{d n }的前n 项和，T n =B r －D n ，求lim∞→n 4)(n na T 命题意图 本题考查数列的通项公式及前n 项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力知识依托 利用项与和的关系求a n 是本题的先决；(2)问中探寻{a n }与{b n }的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点错解分析 待证通项d n =32n +1与a n 的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r 与n 的关系，使T n 中既含有n ，又含有r ，会使所求的极限模糊不清技巧与方法 (1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4－1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n 与r 的关系，正确表示B r ，问题便可迎刃而解解 (1)由A n =23(a n －1)，可知A n +1=23(a n +1－1)，∴a n +1－a n =23 (a n +1－a n )，即n n a a 1+=3，而a 1=A 1=23(a 1－1)，得a 1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{a n }的通项公式a n =3n(2)∵32n +1=3·32n =3·(4－1)2n =3·［42n +C 12n ·42n －1(－1)+…+C 122-n n ·4·(－1)+(－1)2n ］=4n +3，∴32n +1∈{b n }而数32n =(4－1)2n=42n +C 12n ·42n －1·(－1)+…+C 122-n n ·4·(－1)+(－1)2n =(4k +1)， ∴32n ∉{b n }，而数列{a n }={a 2n +1}∪{a 2n }，∴d n =32n +1(3)由32n +1=4·r +3，可知r =43312-+n ，∴B r =)19(827)91(9127,273433)52(2)347(1212-=-⋅-=+⋅-=+=++++n n n n n D r r r r ， 89)(lim ,3)(,433811389)19(827821349444241212=∴=+⋅-⋅=---⋅+=-=∴∞→++n n n n n n n nn n n r n a T a D B T 例3 设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项(1)写出数列{a n }的前3项(2)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程)解析 (1)由题意，当n =1时，有11222S a =+，S 1=a 1， ∴11222a a =+，解得a 1=2 当n =2时，有22222S a =+，S 2=a 1+a 2，将a 1=2代入，整理得(a 2－2)2=16，由a 2＞0，解得a 2=6当n =3时，有33222S a =+，S 3=a 1+a 2+a 3，将a 1=2，a 2=6代入，整理得(a 3－2)2=64，由a 3＞0，解得a 3=10故该数列的前3项为2，6，10(2）解法一 由(1）猜想数列{a n } 有通项公式a n =4n －2下面用数学归纳法证明{a n }的通项公式是a n =4n －2，(n ∈N *）①当n =1时，因为4×1－2=2，，又在(1)中已求出a 1=2，所以上述结论成立②假设当n =k 时，结论成立，即有a k =4k －2，由题意，有k k S a 222=+，将a k =4k －2 代入上式，解得2k =k S 2，得S k =2k 2，由题意，有11222++=+k k S a ，S k +1=S k +a k +1，将S k =2k 2代入得(221++k a )2=2(a k +1+2k 2)，整理得a k +12－4a k +1+4－16k 2=0，由a k +1＞0，解得a k +1=2+4k ，所以a k +1=2+4k =4(k +1)－2，即当n =k +1时，上述结论成立根据①②，上述结论对所有的自然数n ∈N *成立解法二 由题意知n n S a 222=+，(n ∈N *) 整理得，S n =81(a n +2)2, 由此得S n +1=81(a n +1+2)2，∴a n +1=S n +1－S n =81［(a n +1+2)2－(a n +2)2］整理得(a n +1+a n ）(a n +1－a n －4)=0，由题意知a n +1+a n ≠0，∴a n +1－a n =4， 即数列{a n }为等差数列，其中a 1=2，公差d =4∴a n =a 1+(n －1)d =2+4(n －1)，即通项公式为a n =4n －2学生巩固练习1 设z n =(21i -)n，(n ∈N *)，记S n =｜z 2－z 1｜+｜z 3－z 2｜+…+｜z n +1－z n ｜，则lim ∞→n S n =_________2 作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________3 数列{a n }满足a 1=2，对于任意的n ∈N *都有a n ＞0,且(n +1)a n 2+a n ·a n +1－na n +12=0，又知数列{b n }的通项为b n =2n －1+1(1)求数列{a n }的通项a n 及它的前n 项和S n ；(2)求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)猜想S n 与T n 的大小关系，并说明理由4 数列{a n }中，a 1=8,a 4=2且满足a n +2=2a n +1－a n ,(n ∈N *)(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n =｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a n ｜,求S n ; (3)设b n =)12(1n a n -(n ∈N *),T n =b 1+b 2+……+b n (n ∈N *),是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *均有T n ＞32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由参考答案,)22(|)21()21(|||:.1111+++=---=-=n n n n n n i i z z c 设解析 22)22(1221])22(1[2121--=--=+++=∴nn n n c c c S 221222221lim +=+=-=∴∞→n n S 2 解析 由题意所有正三角形的边长构成等比数列{a n }，可得a n =12-n a，正三角形的内切圆构成等比数列{r n }，可得r n =12163-n a ,c =lim ∞→n 2π(r 1+r 2+…+r n )=233π a 2，面积之和S =lim ∞→n π(n 2+r 22+…+r n 2)=9πa 2 3 解 (1）可解得11+=+n na a n n ，从而a n =2n ，有S n =n 2+n ， (2)T n =2n +n －1(3)T n －S n =2n －n 2－1，验证可知，n =1时，T 1=S 1，n =2时T 2＜S 2；n =3时，T 3＜S 3;n =4时，T 4＜S 4；n =5时，T 5＞S 5；n =6时T 6＞S 6猜想当n ≥5时，T n ＞S n ，即2n ＞n 2+1可用数学归纳法证明(略）4 解 (1）由a n +2=2a n +1－a n ⇒a n +2－a n +1=a n +1－a n 可知{a n }d =1414--a a =－2,∴a n =10－2n (2)由a n =10－2n ≥0可得n ≤5，当n ≤5时，S n =－n 2+9n ，当n ＞5时，S n =n 2－9n +40，故S n =⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤+-540951922n n n n n n(3)b n =)111(21)22(1)12(1+-=+=-n n n n a n n)1(2)]111()3121()211[(2121+=+-++-+-=+++=∴n n n n b b b T n n ；要使T n ＞32m总成立，需32m＜T 1=41成立，即m ＜8且m ∈Z ，故适合条件的m 的最大值为7。

高中数学教学备课教案数列与数列的通项公式高中数学教学备课教案数列与数列的通项公式导言：数列是数学中常见而重要的概念，它具有广泛的应用和重要意义。

数列的通项公式是数列中每一项与项号之间的关系式，它能够帮助我们更方便地求解数列中的各项数值。

本节课我们将学习数列的基本概念，了解数列的分类以及数列通项公式的推导与应用。

一、数列的基本概念在开始学习数列之前，首先要明确数列的概念和特点。

1.1 数列的定义数列是由一列有序的数按照一定规律排列而成的序列。

数列用大写字母表示，如A、B、C等。

数列中的每一项称为数列的项，用小写字母和下标表示，如a1、a2、a3等。

1.2 数列的分类根据数列的规律和特点，数列可以分为等差数列和等比数列。

1.2.1 等差数列等差数列是指数列中任意两项之间的差都相等的数列。

等差数列的通项公式可以通过以下方式推导得到：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项的通项公式为an=a1+(n-1)d。

1.2.2 等比数列等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。

等比数列的通项公式可以通过以下方式推导得到：设等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项的通项公式为an=a1*q^(n-1)。

二、数列的通项公式的推导与应用数列的通项公式是数列中每一项与项号之间的关系式，它能够帮助我们更方便地求解数列中的各项数值，下面我们以等差数列和等比数列为例进行推导。

2.1 等差数列通项公式的推导考虑一个等差数列a1，a2，a3，...，an，...，根据等差数列的定义可得：a2-a1 = a3-a2 = ... = an-an-1 = ... = d设等差数列的首项为a1，公差为d，n为项号，我们来推导等差数列的通项公式。

根据题设，可得：a2 = a1 + da3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d...an = a1 + (n-1)d由此可得，等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

数列的通项与求和教案数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按照一定规律排列的数构成。

在数列中，通项和求和是两个基本的概念和问题。

本教案将介绍数列的通项和求和的概念及求解方法，以帮助学生更好地理解和应用相关知识。

一、数列的通项数列的通项是指根据数列中的位置n，通过一个公式或规律来表示数列中的第n项。

通项是数列的核心概念，它不仅能描述数列中的每一项，还可以帮助我们求解其他与数列相关的问题。

在数列的通项的求解中，最常见的情况是等差数列和等比数列。

1. 等差数列等差数列是指数列中的每一项与前一项之间的差值都相等的数列。

设数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d其中，an表示数列中的第n项。

2. 等比数列等比数列是指数列中的每一项与前一项之间的比值都相等的数列。

设数列的首项为a₁，公比为r，则等比数列的通项公式为：an = a₁ * r^(n-1)其中，an表示数列中的第n项。

二、数列的求和数列的求和是指将数列中的所有项相加得到的结果。

数列的求和可以帮助我们更好地理解数列的性质，进一步推导出一些重要的结论。

同样地，在数列的求和中，最常见的情况是等差数列和等比数列。

1. 等差数列的求和对于等差数列，我们可以通过以下公式求解其前n项和Sn：Sn = (n/2) * (a₁ + an)其中，Sn表示等差数列的前n项和。

2. 等比数列的求和对于公比不为1的等比数列，我们可以通过以下公式求解其前n项和Sn：Sn = (a₁ * (1 - r^n)) / (1 - r)其中，Sn表示等比数列的前n项和。

三、练习与应用在学习了数列的通项和求和的概念及求解方法后，学生可以通过多做题目来加深对相关知识的理解和掌握。

可以安排一些练习题，帮助学生在熟练掌握数列的通项和求和求解方法后，能够灵活应用于实际问题中。

例如，给定一个等差数列的首项a₁为2，公差d为3，求该数列的第10项和前10项的和。

【2019最新】精选高考数学二轮复习难点2-4数列的通项公式与求和问题等综合问题教学案理数列在高考中占重要地位，每年都考，应当牢记等差、等比的通项公式，前n项和公式，等差、等比数列的性质，以及常见求数列通项的方法，如累加、累乘、构造等差、等比数列法、取倒数等.数列求和问题是数列中的重要知识，在各地的高考试题中频频出现，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．数列的求和问题多从数列的通项入手，通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题．一、数列的通项公式数列的通项公式在数列中占有重要地位，是数列这部分内容的基础之一，在高考中，等差数列和等比数列的通项公式，前n项和公式以及它们的性质是必考内容，一般以填空题、选择题的形式出现，属于低中档题，若数列与函数、不等式、解析几何、向量、三角函数等知识点交融，难度就较大，也是近几年命题的热点.1.由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．例1. 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式（1）-1,7，-13,19，…；（2）0.8,0.88,0.888，…； （3）－；1,215132961,,,,, (4)8163264-- 思路分析：归纳通项公式应从以下四个方面着手： (1)观察项与项之间的关系； (2)符号与绝对值分别考虑； (3)规律不明显，适当变形．－，原数列化为－，，－，，…，∴ an＝(－1)n·.点评：求数列的通项时，要抓住以下几个特征:(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．2.由数列的递推关系求通项若一个数列首项确定，其余各项用an 与an －1的关系式表示(如an ＝2an －1＋1，(n>1)，则这个关系式称为数列的递推公式．由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法： (1)an ＋1－an ＝f(n)型，采用叠加法． (2)＝f(n)型，采用叠乘法．(3)an ＋1＝pan ＋q(p≠0，p≠1)型，转化为等比数列解决． 例2.对于数列 .{}{},n n a b ()11111,1,32,n n n n a b a n a n b b n N *++==-+=+=+∈（1）求数列、的通项公式；{}n a {}n b （2）令，求数列的前项和.()()21n n n a n c n b +=+{}n c n n T思路分析：（1）由化简得，利用累加法求得，对利用配凑法求得通项公式为；（2）化简，这是等差数列除以等比数列，故用错位相减求和法求得前项和为.()11n n n S n S a n +-+=++121n n a a n +=++2n a n =132n n b b +=+1231n n b -=-g ()21121233n n n n n n c n --++==g n 11525443n n n T -+=-g （2）,① ()21101221212341,...23333333n nn n n n n n n n n c T n ----+++==∴=+++++g 则，② 00132233413...33333n n n n n T --+=+++++g ②-①得.12211111111111152515253261 (613333322344313)n n n n n n n n n n n n T T -------++++⎛⎫=+++++-=+-=-∴=- ⎪⎝⎭-g g 点评：本题主要考查递推数列求通项的方法，考查了累加法和配凑法，考查了错位相减求和法.对于来说，化简题目给定的含有的表达式后，得到，这个是累加法的标准形式，故用累加法求其通项公式，对于来说，由于，则采用配凑法求其通项公式，对于来说，由于它是等差数列除以等比数列，故用错位相减求和法求和.n a n S 121n n a a n +=++n b 132n n b b +=+n c3.由与的关系求通项n S n a n a数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，即要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．Sn 与an的关系为：an ＝⎩⎪⎨⎪⎧Sn （n ＝1），Sn －Sn －1 （n≥2）.例3. 【安徽省××市2018届第四次联考】已已知数列为数列的前项和，且满足 .{}{},,n n n a b S {}n a n 214,22,n n a b S a ==-()()32*11n n nb n b n n n N +-+=+∈ （1）求数列的通项公式；{}n a （2）求的通项公式{}n b思路分析：（1）由的关系得相减得检验时， 适合上式即得数列的通项公式（2），两边同时除以得累加法即得解.22n n S a =-11222n n n S a --≥=-当时，12,2.2n n n n a a a n -==≥1n =12a ={}n a ()2311n n nb n b n n +-+=+Q ()1n n +11n nb b n n n+-=+ 点评：已知数列前n 项和与第n 项关系，求数列通项公式，常用将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.注意：利用an ＝Sn －Sn －1求通项时，注意n≥2这一前提条件，易忽略验证n ＝1致误，当n ＝1时，a1若适合通项，则n ＝1的情况应并入n≥2时的通项；否则an 应利用分段函数的形式表示．11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩4.等差数列前n 项和的最值等差数列的单调性与的最大或最小的关系.nS（1）若，则等差数列中有，即，所以数列为单调递增；0d >{}n a 10n n a a d --=>1n n a a -> 当时，有，所以的最小值为.10a ≥1(2)n n S S n ->≥n S S当时，有则一定存在某一自然数，使或，则的最小值为.10a <k12310k k n a a a a a a +<<<<<≤<<L L 12310k k na a a a a a +<<<<≤<<<L L n S k S（2）若，则等差数列中有，即，所以数列为单调递减；0d <{}n a 10n n a a d --=<1n n a a -> 当时，有则一定存在某一自然数，使或10a >k12310k k na a a a a a +>>>>>≥>>L L 12310k k na a a a a a +>>>>≥>>>L L ，则的最大值为.nS k S当时，有，所以的最大值为.10a ≤1(2)n n S S n ->≥n S S例4.数列的前项和为，，（）．{}n a n n S 1a t =121n n a S +=+*n N ∈ （1）为何值时，数列是等比数列？t {}n a（2）在（1）的条件下，若等差数列的前项和有最大值，且，又，，等比数列，求．{}n b n n T 315T =11a b +22a b +33a b +n T思路分析：（1）先由求出.再利用数列为等比数列，可得，就可以求出的值；（2）先利用求出，再利用公差把和表示出来，代人成等比数列，求出公差即可求.121n n a S +=+13n n a a +={}n a 213a a =t 315T =25b =1b 3b 112233,,a b a b a b +++n T点评：求等差数列前n 项和的最值常用的方法;(1)先求an ，再利用或求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值．(2)①利用性质求出其正负转折项，便可求得前n 项和的最值．②利用等差数列的前n 项和Sn ＝An2＋Bn(A ，B 为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值． 二 数列的求和数列求和是高考的热点，主要涉及等差、等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和与并项法求和，题目呈现方式多样，在选择题、填空题中以考查基础知识为主，在解答题中以考查错位相减法和裂项相消法求和为主，求解的关键是抓住通项公式的特征，正确变形，分清项数求和．数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列求和． 常见类型及方法(1)an ＝kn ＋b ，利用等差数列前n 项和公式直接求解； (2)an ＝a·qn－1，利用等比数列前n 项和公式直接求解；(3)an ＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n 项和．(4) an ＝bn·cn，数列{bn}，{cn}分别是等比数列和等差数列，采用错位相减法求和1．公式求法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (1)等差数列的前n 项和公式：Sn ＝＝；1(1)2n n na d -+(2)等比数列的前n 项和公式：111,(1)(1), 1.11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩例5. 【四川省××市2018届高三第一次模拟】设是数列的前项和.已知， .n S {}n a n 11a =122n n S a +=- （Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a（Ⅱ）设，求数列的前项和.()1nn n b a =-{}n b n思路分析：（Ⅰ）由可得时， ，两式相减，即可得出是等比数列，从而求出数列的通项公式；（Ⅱ）写出数列的通项公式，得出数列是等比数列，进而用等比数列求和公式求出数列的前项和.122n n S a +=-2n ≥122n n S a -=-{}n a {}n a {}n b {}n b {}n b n点评：本题考查等比数列的概念、通项公式及前n 项的求和公式，利用方程组思想求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.应用基本量法是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握.根据等差,等比数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算. 2．分组求和法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并． 例6.【四川省××市2018届高三第一次模拟】设数列满足.{}n a 1123242n n a a a a n -+++⋅⋅⋅+= （1）求数列的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和.{}2log n n a a +n思路分析： 根据题意求出当时， ，求出的表达式，然后验证当时是否成立(2)先给出通项，运用分组求和法求前项和()12n ≥212312421n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=-n a 1n =211log 12n n n a a n -+=+-n点评：分组求和的解题策略：数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前项和的数列求和，即将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，运用这种方法的关键是通项变形．n3.裂项相消求和法利用通项变形，把数列的通项分裂成两项或几项的差，在求和过程中，中间的一些项可以相互抵消，最后只剩下有限项的和，从而求得数列的和.这种求数列和的方法叫做裂项相消求和法. 常见拆项：；；111(1)1n n n n =---1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+11n n n n =+++1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++；n·n!=(n+1)!－n!；；11(1)!!(1)!n n n n =-++loga （1＋）＝loga(n ＋1)－logan ；等等例7.已知等差数列的前项和为，，且成等比数列.{}n a n n S 55S =-346,,a a a (Ⅰ)求数列的通项公式；{}n a(Ⅱ)设，求数列的前项和.()*21231n n n b n N a a ++=∈{}n b n n T 思路分析：(1)由等差数列性质，，所以，设公差为，则，解得或，由此即可求出通项公式； (2)①当时，；②当时，，然后再根据裂项相消即可求出结果.5355S a =-=31a =-d ()()()21113d d -+=-⋅-+0d =1d =-1n a =-n T n =2n a n=-()()212311111212122121n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭点评：裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项．从而达到求和的目的．要注意的是裂项相消法的前提:数列中的每一项均可分裂成一正一负两项，且在求和过程中能够前后相互抵消. 4. 错位相减求和法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法．例8.已知等差数列满足:，该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，且.{}n a *11(),1n n a a n N a +>∈=22log 1n n a b +=- （1）求数列,的通项公式；{}n a {}n b （2）求数列的前项和.{}n n a b •n n T思路分析：(1) 用基本量法，即用为等差数列的公差与表示已知条件，列出方程，解出，即可求数列的通项公式；由可得，即可求出数列的通项公式；(2)因为，所以用错位相减法求即可.{}n a d 1a d {}n a 22log 1n n a b =--2log n b n =-{}n b 212n n nn a b -⋅=n T点评：本题考查等差数列的定义与性质、对数的性质、错位相减法求和，属中档题；错位相减法适合于一个由等差数列及一个等比数列对应项之积组成的数列．考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的项是一个等比数列．}{n a }{n b 1-n 三. 数列的探索性问题处理探索性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理．若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用．还可以根据已知条件建立恒等式，利用等式恒成立的条件求解．例9. 【江西省××市2018届复习训练题】在数列中，{}n a ()*1123111232n n n a a a a na a n N +++++⋅⋅⋅+∈＝，＝．（Ⅰ）求数列的通项；{}n a n a（Ⅱ）若存在成立，求实数的最大值．()*13n n n N a n λ∈≥，使得＋λ思路分析：(Ⅰ)由可得，两式相减整理得到 ，故数列 为等比数列，求得通项后再验证是否满足即可得到所求．(Ⅱ)由条件可得存在成立，设，则．然后根据的单调性求出最值即可．12311232n n n a a a na a ++++⋅⋅⋅+=＋()()123123122n n n a a a n a a n -+++⋅⋅⋅+-=≥()113n nn a na ++＝()2n ≥{}n na ()2n ≥11a ＝()*13n n a n N n λ∈≤+，使得()()13n n a f n n =+()max f n λ≤()f n点评：数列中的恒成立或能成立的问题是函数问题在数列中的具体体现，解决此类问题时仍要转化为最值问题处理．解题中通过分离参数在不等式的一端得到关于正整数n的函数，然后通过判断函数的单调性得到函数的最值，从而可求得参数的值或其范围．解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．从上面三方面可以看出，解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．。

高中数学数列求和的教案
教学目标：学生能够理解数列的概念，能够通过已知数列的通项公式求和，并能够通过数列的性质推导出求和公式。

教学重点和难点：数列的求和公式的推导及应用。

教学准备：
1. 知识点讲解：数列、等差数列、等比数列、通项公式、求和公式。

2. 教学工具：黑板、彩色粉笔、课件、习题。

教学步骤：
Step 1：引入
通过引入一个简单的数列例子开始本节课的教学，让学生理解数列的概念和特点。

Step 2：等差数列求和公式的推导及应用
1. 讲解等差数列的性质和通项公式，引导学生通过对数列进行分组求和，推导等差数列求和的公式。

2. 给出练习题让学生尝试应用等差数列求和公式进行计算。

Step 3：等比数列求和公式的推导及应用
1. 讲解等比数列的性质和通项公式，引导学生通过求和两个等比数列的公式，推导等比数列求和的公式。

2. 给出练习题让学生尝试应用等比数列求和公式进行计算。

Step 4：总结与拓展
1. 总结本节课所学内容，强化数列的概念和求和公式的应用。

2. 给出拓展练习题，加深学生对数列求和公式的理解和应用能力。

Step 5：作业布置
布置作业，要求学生完成相关练习题并检查答案。

教学反馈：通过课堂练习和作业检查，检查学生对数列求和公式的掌握情况并及时进行反馈。

教学延伸：引导学生进一步理解数列的性质和应用，拓展更多数列求和的相关知识。

教学评价：通过课堂教学和作业完成情况评估学生对数列求和公式的掌握情况，及时调整教学方法和内容，帮助学生提高数学能力。