2019 2020高中数学课时素养评价三十六总体取值规律的估计总体百分位数的估计新人教A版必修2

“总体百分位数的估计”是《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）新增的内容，中国教育学会中学数学教学专业委员会“2020年高中青年数学教师课例展示与培训活动”把它作为指定课题.从知识领域来看，本节课属于统计内容，随着大数据时代的到来，百分位数概念的重要性变得越来越突出.统计与函数、代数与几何、概率等在学科逻辑上存在很大不同，如立论基础、推理方法、判断原则等，这决定了统计的教学方式应该有别于其他数学内容.当教师的统计学科素养不够，不能根据统计的学科特点进行教学设计时，统计的教学就会变得比较困难.而本节课执教教师的教学整体比较流畅、自然，而且比较有“统计味道”，这与整个教学的设计较好地抓住了统计学科的特点有关.本节课还有很多可圈可点的地方，但就统计的教学而言，笔者认为至少在以下几个方面可以为我们的教学提供启示.一、结合案例学习统计的概念和方法通过案例体现概念引入的必要性.统计是一门应用性很强的学科，它的概念和方法的产生往往具有很强的现实背景.通过合适的案例体现概念和方法引入的必要性，符合统计的学科特点.因此，在统计教学中，选择合适的案例就变得非常关键，除了要体现概念和方法的必要性外，案例的问题还要有现实意义，而且案例的背景最好贴近学生的生活.本节课通过确定居民用户月均用水量标准的问题，体现引入百分位数这个数字特征的必要性.这是对教材上一节居民用户月均用水量的总体取值规律估计的继续研究.在回顾总体取值规律估计内容的基础上提出问题，使得问题的解决具有连续性，符合教材用一个案例贯穿相关内容的编写意图.用同一个案例背景，通过不同现实意义的统计问题，引入不同的统计概念和方法，有利于通过不同概念和方法的比较，更好地理解各自的统计含义及特点.结合案例学习统计的概念和方法.与建立在概念和定义基础上，通过演绎方式进行研究的数学其他分支不同，统计是建立在数据的基础上，通过归纳方式研究随机现象的，需要通过数据分析解决问题.因此，统计的学习应结合具体案例，以案例为载体学习统计的概念和方法，避免抽象地定义概念和讨论方法，并在问题的解决中体会数据的随机性，积累数据分析的经验.本节课结合居民用户月均用水量标准问题，“使80%的居民用户生活用水支出不受影响”，在问题的解决中了解第80百分位数的统计含义.在感性认识的基础上，类比中位数的定义，得到一般的第p 百分位数的定义.二、经历统计概念和方法的形成过程不同的数字特征刻画了数据的不同统计特征.在建立数字特征概念时，应先结合案例明确希望刻画数据哪方面的统计特征，再寻找合适的数学工具进行刻画，这是从统计直观到数学表达的过程.经历这个数学收稿日期：2020-12-29作者简介：张唯一（1977—），男，副编审，主要从事中学数学教材编写和数学教育教学研究.立足统计学科本质积累数据分析经验——对“总体百分位数的估计”一课的思考张唯一摘要：统计是中学数学普遍存在的教学疑难内容.“总体百分位数的估计”一节课为我们提供了统计教学的有益启示：结合案例学习统计的概念和方法，经历统计概念和方法的形成过程，通过生活实例体现概念和方法的应用性，合理利用信息技术.关键词：百分位数；数字特征；统计··63化的过程，不仅有助于理解数字特征定义的合理性，而且有助于理解数字特征的统计含义，也是积累数据分析经验的需要.如果只是直接告诉学生数字特征定义的形式和计算的方法，那么统计的学习就变成纯粹的画图列表、公式计算等程序性操作，偏离统计学习的重点.百分位数直观上比较容易理解，就是把一组按大小排序的数据分成100等份后，每一分点处的数据，即每个百分位数把这组数据分成相应百分比的两部分，但不是每组数据都能恰好被分成100等份.为了使得每组数据都存在任意的百分位数，教材中把百分位数定义为“一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有()100-p%的数据大于或等于这个值”.定义中包含有“至少”“小于或等于”“大于或等于”等表述的多个不等关系，使得百分位数定义及计算过程不易理解.教材上是先让学生经历居民用水量标准问题的完整解决过程，了解100个数据的第80百分位数的直观含义和计算方法，再在此基础上引入一般的第p百分位数定义及计算步骤，这是从统计直观到数学化的过程，但教学中可能需要增加对百分位数定义合理性的解释.为了使概念和方法的产生过程显得自然，本节课执教教师对百分位数的定义和计算步骤都采用了归纳的方法.对于百分位数的定义，先让学生结合居民用水量标准案例理解中位数的百分位数的位置，在此基础上引出第80百分位数，归纳得到第p百分位数的初步定义，再通过举例“1，2，2，4，5”进一步完善定义，明确定义中“至少”的合理性.对于百分位数的计算，先类比中位数的求解过程，求解100个数据的第80百分位数，以及99个数据的第80百分位数，在感性认识的基础上，归纳得到百分位数的一般计算步骤.这样的安排，把百分位数的定义和计算分开，从教学环节上看相对比较清楚，但居民用水量标准案例的解决过程会显得不太连贯.三、通过生活实例体现概念和方法的应用性统计具有很强的应用性，与我们生活的联系也非常紧密.通过生活中统计知识应用的实例，不仅可以让学生了解统计知识的广泛应用性，体现所学概念和方法的重要性，而且还有助于学生进一步理解概念和方法的统计含义.本节课执教教师为了让学生体会到统计与生活的联系，在课前布置任务，让学生亲自调查百分位数在实际生活中的应用案例，并在课堂上分享交流得到的案例，不仅有利于学生体会百分数应用的广泛性，也是在引导学生用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界.在此基础上，本节课执教教师展示中国成人人体尺寸的案例，因为人体尺寸的各种百分位数对于设计各种生活用品尺寸（如服装、家具等）具有重要意义，所以学生从生活经验中能切身感知到中国成人人体尺寸的案例是一个可以很好地体现百分位数重要性的实例.四、合理利用信息技术信息技术不仅是统计教学的有效辅助手段，也是现代统计的重要组成部分.在教学中合理使用信息技术，可以把学生从机械、烦琐的数据处理中解放出来，把更多精力集中在对统计概念和方法的理解上.在用统计方法解决实际问题时，数据处理的工作量太大甚至难以实现，常常成为使用统计方法的障碍.因此，让学生初步学会使用信息技术工具处理数据非常有必要.只有学生会用信息技术处理数据，数据处理不再是困难，学生才会更积极主动地使用统计方法去解决实际问题.《标准》对信息技术在统计中的使用也提出了明确的要求.在百分位数的教学内容中，数据的处理主要来自百分位数的求解.求解百分位数的过程并不复杂，先对数据进行排序，然后确定百分位数的位置，再确定百分位数的具体数值.当数据不多时，百分位数的求解并不困难，但是当数据较多时，数据的排序就是一个很大的工程.因此，在百分位数教学中融入信息技术的教学就非常有必要.对于百分位数的计算，本节课执教教师先设置例1（27个数据），通过人工排序和计算的方法，巩固百分位数计算的步骤；再设置练习1（200个数据），借助Excel软件计算百分位数，教师先展示计算75%分位数，然后由学生实际操作计算95%分位数.通过这样的安排，学生既了解了百分位数算法的原理与步骤，又学会了用信息技术工具求解百分位数，为正确利用百分位数解决实际问题打下了基础.参考文献：［1］史宁中.数形结合与数学模型：高中数学教学中的核心问题［M］.北京：高等教育出版社，2018.··64。

课时素养评价三十六总体取值规律的估计总体百分位数的估计(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为( ) A.4 B.8 C.12 D.16【解析】选B.设频数为x，则=0.25，x=32×=8.2.为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n名学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，所得数据都在区间[10，110]内，其频率分布直方图如图所示.已知活动时间在[10，35)内的频数为80，则n的值为( )A.700B.800C.850D.900【解析】选B.由频率分布直方图，知组距为25，所以活动时间在[10，35)内的频率为0.1.因为活动时间在[10，35)内的频数为80，所以n==800.3.在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中一组，抽查出的个体数在该组内的频率为m，该组直方图的高为h，则|a-b|的值等于( )A.h·mB.C. D.与m，h无关【解析】选B.小长方形的高=，所以|a-b|==.4.为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10 000位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000位居民中再用分层抽样抽出100位居民做进一步调查，则在[2.5，3)(小时)时间段内应抽出的人数是( )A.25B.30C.50D.75【解析】选A.抽出的100位居民中平均每天看电视的时间在[2.5，3)(小时)时间内的频率为0.5×0.5=0.25，所以这10 000位居民中平均每天看电视的时间在[2.5，3)(小时)时间内的人数是10 000×0.25=2500.依题意知抽样比是=，则在[2.5，3)(小时)时间段内应抽出的人数是2 500×=25.【误区警示】频率并不是直方图的纵坐标，而是每个小矩形的面积.二、填空题(每小题4分，共8分)5.中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示.从左至右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6，则全市高一学生视力在[3.95，4.25)范围内的学生约有________人.【解析】由图知，第五小组的频率为0.5×0.3=0.15，所以第一小组的频率为0.15×=0.125，所以全市6万名高一学生中视力在[3.95，4.25)范围内的学生约有60 000×0.125=7 500(人). 答案：7 5006.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).所得数据均在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，约有________根棉花纤维的长度小于20 mm.【解析】由题意知，棉花纤维的长度小于20 mm的频率为(0.01+0.01+0.04)×5=0.3，故抽测的100根中，棉花纤维的长度小于20 mm的约有0.3×100=30(根).答案：30三、解答题(共26分)7.(12分)(2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值.(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 【解析】(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.8.(14分)在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至31日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图所示).已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：(1)本次活动共有多少件作品参加评比？(2)哪组上交的作品数最多？有多少件？(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？【解析】(1)依题意知第三组的频率为=，又因为第三组的频数为12，所以本次活动的参评作品数为=60(件).(2)根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有60×=18(件).(3)第四组的获奖率是=，第六组上交的作品数量为60×=3(件).所以第六组的获奖率为=，显然第六组的获奖率较高.(15分钟·30分)1.(4分)某工厂对一批元件进行抽样检测.经检测，抽出的元件的长度(单位：mm)全部介于93至105之间.将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：[93，95)，[95，97)，[97，99)，[99，101)，[101，103)，[103，105]，得到如图所示的频率分布直方图.若长度在[97，103)内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的合格率是( )A.80%B.90%C.20%D.85.5%【解析】选A.由频率分布直方图可知元件长度在[97，103)内的频率为1-(0.027 5+0.027 5+0.045 0)×2=0.8，故这批元件的合格率为80%.2.(4分)为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，第4组频率为0.32，则a的值为( )A.64B.54C.48D.27【解析】选B.前三组人数为100-62=38，第三组人数为38-(1.1+0.5)×0.1×100=22，则a=22+0.32×100=54.3.(4分)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在60株树木中底部周长小于100 cm的株数为________.【解析】由已知，在抽测的60株树木中，底部周长小于100 cm的株数为(0.015+0.025)×10×60=24.答案：244.(4分)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.(1)直方图中x的值为________.(2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________.【解析】(1)由频率分布直方图总面积为1，得(0.001 2+0.002 4×2+0.003 6+x+0.006 0)×50 =1，解得x=0.004 4.(2)用电量在[100，250)内的频率为(0.003 6+0.004 4+0.006 0)×50=0.7，故所求户数为100×0.7=70.答案：(1)0.004 4 (2)705.(14分)为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名考生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：分组频数频率[50，60) 4 0.08[60，70) 0.16[70，80) 10[80，90) 16 0.32[90，100]合计50(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内).(2)补全频率分布直方图.(3)若成绩在[70，90)分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？【解析】(1)分组频数频率[50，60) 4 0.08[60，70) 8 0.16[70，80) 10 0.20[80，90) 16 0.32[90，100] 12 0.24合计50 1.00(2)频率分布直方图如图所示：(3)因为成绩在[70，80)间的学生频率为0.20；成绩在[80，90)间的学生频率为0.32.所以在[70，90)之间的频率为0.20+0.32=0.52.又因为900名学生参加竞赛，所以该校获二等奖的学生为900×0.52=468(人).1.如图是某年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是( )①第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个；②与去年同期相比，第一季度五个省的GDP总量均实现了增长；③去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省；④去年同期A 省的GDP总量也是第三位.A.①②B.②③④C.②④D.①③④【解析】选B.①第一季度GDP总量和增速均居同一位的省有2个，B省和C省的GDP总量和增速分别居第一位和第四位，故①错误；由图知②正确；由图计算去年同期五省的GDP总量，可知前三位为D省、B省、A省，故③正确；由③知去年同期A省的GDP总量是第三位，故④正确.2.在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的，且样本量为160，则中间一组的频数为______________.【解析】由已知，设中间小长方形的面积为x，则其余小长方形的面积和为4x，所以5x=1，x=0.2，中间一组的频数为160×0.2=32.答案：323.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频数分布表：质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125]频数 6 26 38 22 8(1)作出这些数据的频率分布直方图.(2)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【解析】(1)样本数据的分布直方图如图所示：(2)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定.。

课时跟踪检测（三十七）总体取值规律的估计总体百分位数的估计A级——学考合格性考试达标练1．从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，已知不超过70分的人数为8，其累计频率为0.4，则这个样本的容量是()A．20B．40C．70 D．80解析：选A由已知不超过70分的人数为8，累计频率为0.4，则这个样本量n＝80.4＝20.故选A.2．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在[15,20]内的频数为()A．20 B．30C．40 D．50解析：选B样本数据落在[15,20]内的频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.故选B.3．如图是某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x的值等于()A．0.120 B．0.180C．0.012 D．0.018解析：选D由图可知纵坐标表示频率/组距，故x＝0.1－0.054－0.010－0.006×3＝0.018.故选D.4．某地农村2004年到2019年间人均居住面积的统计图如图所示，则增长最多的5年为()A ．2004年～2009年B ．2009年～2014年C ．2014年～2019年D ．无法从图中看出解析：选C 2004年～2009年的增长量为3.1,2009年～2014年的增长量为3.2,2014年～2019年的增长量为3.8.故选C.5．观察下图所示的统计图，下列结论正确的是( )A ．甲校女生比乙校女生多B ．乙校男生比甲校男生少C ．乙校女生比甲校男生少D ．甲、乙两校女生人数无法比较解析：选D 图中数据只是百分比，甲、乙两个学校的学生人数不知道，因此男生、女生的具体人数也无法得知．故选D.6．900,920,920,930,930的20%分位数是________．解析：因为5×20%＝1，所以该组数据的20%分位数是900＋9202＝910.答案：9107．某校高三(1)班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计，得到如下频率分布表：第一组 [180,210) 4 0.10 第二组 [210,240) 8 s 第三组 [240,270) 12 0.30 第四组 [270,300) 10 0.25 第五组[300,330]6t则分布表中s ，t 的值分别为________，________. 解析：s ＝840＝0.2，t ＝1－0.1－s －0.3－0.25＝0.15.答案：0.20 0.158．甲、乙两个城市2019年4月中旬，每天的最高气温统计图如图所示，这9天里，气温比较稳定的城市是________．解析：从折线统计图中可以很清楚的看到乙城市的气温变化较大，而甲城市气温相对来说较稳定，变化基本不大．答案：甲9．某班50名同学参加数学测验，成绩的分组及各组的频数如下：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图．解：(1)频率分布表如下：分组频数频率[40,50)20.04[50,60)30.06[60,70)100.20[70,80)150.30[80,90)120.24[90,100]80.16(2)频率分布直方图如下：10．调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170168160174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161试估计该校高三年级男生的身高数据的30%分位数．解：按从小到大排列原始数据151 156 157 157 158 159 160 160 161 161 162 163 163 163 163 164 164 165 165 166 166 167 167 167 168 168 168 168 168 168 169 169 169 170 171 171 174 174 176 180 i ＝40×30%＝12为整数．又因第12项与第13项数据都是163，所以他们的平均数也为163. 所以估计该校高三年级男生的身高数据的30%分位数约为163.B 级——面向全国卷高考高分练1．将容量为100的样本数据，按由小到大排列分成8个小组，如下表所示：组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数101314141513129第3组的频率和累积频率为( ) A ．0.14和0.37 B.114和127 C ．0.03和0.06D.314和637解析：选A 由表可知，第三小组的频率为14100＝0.14，累积频率为10＋13＋14100＝0.37.故选A.2．某工厂对一批元件进行抽样检测．经检测，抽出的元件的长度(单位：mm)全部介于93至105之间．将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：[93,95)，[95,97)，[97,99)，[99,101)，[101,103)，[103,105]，得到如图所示的频率分布直方图．若长度在[97,103)内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的合格率是( )A ．80%B ．90%C ．20%D ．85.5%解析：选A 由频率分布直方图可知元件长度在[97,103)内的频率为1－(0.027 5＋0.027 5＋0.045 0)×2＝0.8，故这批元件的合格率为80%.故选A.3．在样本的频率分布直方图中，某个小长方形的面积是其他小长方形面积之和的14 ，已知样本量是80，则该组的频数为( )A ．20B ．16C ．30D ．35解析：选B 设该组的频数为x ，则其他组的频数之和为4x ，由样本量是80，得x ＋4x ＝80，解得x ＝16，即该组的频数为16.故选B.4．某厂对一批产品进行抽样检测，如图是抽检产品净重(单位：克)的频率分布直方图，样本数据分组为[76,78)，[78,80)，…，[84,86]．若这批产品有120个，估计其中净重大于或等于78克且小于84克的产品的个数是( )A ．12B ．18C ．25D ．90解析：选D 净重大于或等于78克且小于84克的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以在该范围内的产品个数为120×0.75＝90.故选D.5．如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图．已知该校在校学生3 000人，根据统计图计算该校共捐款________元．解析：根据统计图，得高一人数为3 000×32%＝960(人)， 捐款960×15＝14 400(元)；高二人数为3 000×33%＝990(人)，捐款990×13＝12 870(元)； 高三人数为3 000×35%＝1 050(人)，捐款1 050×10＝10 500(元)． 所以该校学生共捐款14 400＋12 870＋10 500＝37 770(元)． 答案：37 7706．5,6,7,8,9,10,11,12,13,14的25%分位数为________，75%分位数为________，90%分位数为________．解析：由于共有10个数字，则10×25%＝2.5,10×75%＝7.5,10×90%＝9.故25%分位数为7,75%分位数为12,90%分位数为13＋142＝13.5.答案：7 12 13.57．某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图(如图所示).分组频数频率一组0≤t<500二组5≤t<10100.10三组10≤t<1510②四组15≤t<20①0.50五组20≤t≤25300.30合计100 1.00解答下列问题：(1)这次抽样的样本量是多少？(2)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图；(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一组？解：(1)样本量是100.(2)第四组的频数①＝100－30－10－10＝50，第三组的频率②＝1.00－0.30－0.50－0.10＝0.10.所补频率分布直方图如图中的阴影部分．(3)设旅客平均购票用时为t min，则有0×0＋5×10＋10×10＋15×50＋20×30100≤t<5×0＋10×10＋15×10＋20×50＋25×30100，即15≤t<20.所以旅客购票用时的平均数可能落在第四组．C级——拓展探索性题目应用练为了了解某片经济林的生长情况，随机测量其中的100棵树的底部周长，得到如下数据(单位：cm)：135981021109912111096100103125971171131109210210910411210912487131971021231041041281051231111031059211410810410212912697100115111106117104109111891101218012012110410811812999909912112310711191100991011169710210810195107101102108117991181061199712610812311998121101113102103104108(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图及频率折线图；(3)估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树占多少，底部周长不小于120 cm的树占多少．解：(1)这组数据的最大的数为135，最小的数为80，最大的数与最小的数的差为55，可将该组数据分为11组，组距为5.频率分布表如下：(2)频率分布直方图和频率折线图如下图所示．(3)从频率分布表得，样本中底部周长小于100 cm的频率为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＝0.21，样本中底部周长不小于120 cm的频率为0.11＋0.06＋0.02＝0.19.所以估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树占21%，底部周长不小于120 cm的树占19%.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

课时素养评价 三十七总体集中趋势的估计总体离散程度的估计(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分.共16分)1.已知一组数据为20.30.40.50.50.60.70.80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是( )A.平均数>中位数>众数B.平均数<中位数<众数C.中位数<众数<平均数D.众数=中位数=平均数【解析】选D.众数、中位数、平均数都是50.2.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次.三人的测试成绩如表所示：甲的成绩环数7 8 9 10频数 5 5 5 5乙的成绩环数7 8 9 10频数 6 4 4 6丙的成绩环数7 8 9 10频数 4 6 6 4s1.s2.s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差.则有( ) A.s3>s1>s2 B.s2>s1>s3C.s1>s2>s3D.s2>s3>s1【解析】选B.因为s2=(++…+)-.所以=(5×72+5×82+5×92+5×102)-8.52=.所以s1=.同理s2=.s3=.所以s2>s1>s3.3.样本a.3.5.7的平均数是b.且a.b是方程x2-5x+4=0的两根.则这个样本的方差是( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.x2-5x+4=0的两根是1.4.当a=1时.a.3.5.7的平均数是4；当a=4时.a.3.5.7的平均数不是1.所以a=1.b=4.则方差s2=[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.4.(20xx·中山高二检测)某商场在国庆黄金周的促销活动中.对10月1日9时至14时的销售额进行统计.其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为3万元.则9时至14时的销售总额为( )A.10万元B.12万元C.15万元D.30万元【解析】选D.由图知.9时至10时的销售额频率为0.1.所以9时至14时的销售总额为=30(万元).二、填空题(每小题4分.共8分)5.(20xx·江苏高考)已知一组数据6.7.8.8.9.10.则该组数据的方差是________.【解析】=×(6+7+8+8+9+10)=8.所以方差为×[(6-8)2+(7-8)2+0+0+(9-8)2+(10-8)2]=.答案：6.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如表：等待时间/分钟[0.5)[5.10)[10.15)[15.20)[20.25]频数4 85 2 1用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值=________.【解析】=(2.5×4+7.5×8+12.5×5+17.5×2+22.5×1)=9.5.答案：9.5三、解答题(共26分)7.(12分)如图是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环.靶中各数字表示该数字所在圆环被击中所得的环数).每人射击了6次.(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来.(2)请你用学过的统计知识.对甲、乙两人这次的射击情况进行比较.【解析】(1)列表如下：环数 6 7 8 9 10甲命中次数2 2 2乙命中次数1 3 2(2)=9环.=9环.=.=1.因为=. <.所以甲与乙的平均成绩相同.但甲发挥比乙稳定.8.(14分)今年西南一地区遭遇严重干旱.某乡计划向上级申请支援.为上报需水量.乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量.得到这100户村民月均用水量的频率分布表如表：(月均用水量的单位：吨)用水量分组频数频率[0.5.2.5) 12[2.5.4.5)[4.5.6.5) 40[6.5.8.5) 0.18[8.5.10.5] 6合计100 1.00(1)请完成该频率分布表.并画出相对应的频率分布直方图.(2)估计样本的中位数是多少.(3)已知上级将按每户月均用水量向该乡调水.若该乡共有1 200户.请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨？【解析】(1)频率分布表与相应的频率分布直方图如下：用水量频数频率分组[0.5.2.5)120.12[2.5.4.5)240.24[4.5.6.5)400.4[6.5.8.5)180.18[8.5.10.5]60.06合计1001.0(2)设中位数为x.因为月均用水量在[0.5.4.5)内的频率是0.12+0.24=0.36.月均用水量在[0.5.6.5)内的频率是0.12+0.24+0.40=0.76.所以x∈[4.5.6.5).则(x-4.5)×0.2=0.5-0.36.解得x=5.2.所以中位数是5.2.(3)该乡每户月均用水量估计为1.5×0.12+3.5×0.24+5.5×0.40+7.5×0.18+9.5×0.06=5.14.由5.14×1 200=6 168.知上级支援该乡的月调水量是6 168吨.(15分钟·30分)1.(4分)如图是1951～20xx年我国的年平均气温变化的折线图.根据图中信息.下列结论正确的是( )A.1951年以来.我国的年平均气温逐年升高B.1951年以来.我国的年平均气温在20xx年再创新高C.20xx年以来.我国每年的年平均气温都高于1981～20xx年的平均值D.20xx年以来.我国的年平均气温的平均值高于1981～20xx年的平均值【解析】选D.由图可知.1951年以来.我国的年平均气温变化是有起伏的.不是逐年增高的.所以选项A错误；1951年以来.我国的年平均气温最高的不是20xx年.所以选项B错误；20xx年的年平均气温低于1981～20xx年的平均值.所以选项C错误；20xx年以来.我国的年平均气温的平均值高于1981～20xx年的平均值.所以选项D正确.2.(4分)为了普及环保知识.增强环保意识.某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试.得分(十分制)如图所示.假设得分值的中位数为m e.众数为m o.平均值为.则( )A.m e=m o=B.m e=m o<C.m e<m o<D.m o<m e<【解析】选D.由图可知.30名学生的得分情况依次为：2个人得3分.3个人得4分.10个人得5分.6个人得6分.3个人得7分.2个人得8分.2个人得9分.2个人得10分.中位数为第15.16个数(分别为5.6)的平均数.即m e=5.5.5出现的次数最多.故m o=5.=×[2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10]≈5.97.于是得m o<m e<.3.(4分)已知样本数据x1.x2.….x n的平均数=5.则样本数据2x1+1.2x2+1.….2x n+1的平均数为________.【解析】由x1.x2.….x n的平均数=5.得2x1+1.2x2+1.….2x n+1的平均数为2+1=2×5+1=11.答案：11【加练·固】若样本数据x1.x2.….x10的标准差为8.则数据2x1-1.2x2-1.….2x10-1的标准差为________.【解析】由已知.x1.x2.x3.….x10的方差s2=64.则数据2x1-1.2x2-1.….2x10-1的方差为22s2=22×64.所以其标准差为=2×8=16.答案：164.(4分)某人5次上班途中所花时间(单位：min)分别为x.y.10.11.9若这组数据的平均数为10.方差为2.则|x-y|=________.【解析】==10.所以x+y=20.方差为2.则=2.(x-10)2+(10-x)2=8.(x-10)2=4.x=8或x=12.则y=12或y=8.所以|x-y|=4.答案：4【加练·固】已知样本9.10.11.x.y的平均数是10.标准差是.则xy=________.【解析】由平均数得9+10+11+x+y=50.所以x+y=20.又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10.得x2+y2-20(x+y)=-192.(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192.xy=96.答案：965.(14分)为了保护学生的视力.教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如表：天数/天151～180181～210211～240241～270271～300301～330331～360361～390灯管1 11 18 20 25 16 7 2数/只(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命.(2)若定期更换.可选择多长时间统一更换合适？【解析】(1)各组的组中值分别为165.195.225.255.285.315.345.375.由此可算得这种日光灯的平均使用寿命约为165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天).(2)×[1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2]=2 128.60.故标准差为≈46.估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天.标准差约为46天.故在222～314天之间统一更换较合适.1.某商场对某一商品搞活动.已知该商品每一个的进价为3元.销售价为8元.每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量.如图所示.设x(个)为每天商品的销量.y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天.则选出的这2天日利润都是97元的概率是 ( )A. B. C. D.【解析】选B.由已知y=即y=当日销量不少于20个时.日利润不少于96元.当日销量为20个时.日利润为96元.当日销量为21个时.日利润为97元.日利润为96元的有3天.记为a.b.c.日利润为97元的有2天.记为A.B.从中任选2天有(a.A).(a.B).(a.b).(a.c).(b.A).(b.B).(b.c).(c.A).(c.B).(A.B)共10种情况.其中选出的这2天日利润都是97元的有(A.B)1种情况.所以所求概率为.2.已知一组正数x1.x2.x3.x4的方差s2=(+++-16).则数据x1+2.x2+2.x3+2.x4+2的平均数为________.【解析】设正数x1.x2.x3.x4的平均数为.则s2=[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2].得s2= (+++)-.又已知s2=(+++-16)=(+++)-4.所以=4.所以=2.所以[(x1+2)+(x2+2)+(x3+2)+(x4+2)]=+2=4.答案：43.某公司计划购买1台机器.该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件.在购进机器时.可以额外购买这种零件作为备件.每个200元.在机器使用期间.如果备件不足再购买.则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件.为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数.得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数.y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n=19.求y与x的函数解析式.(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5.求n的最小值.(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件.或每台都购买20个易损零件.分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数.以此作为决策依据.购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【解析】(1)当x≤19时.y=3 800；当x>19时.y=3 800+500(x-19)=500x-5 700.所以y与x的函数解析式为y=(x∈N*).(2)由题图知.需更换的零件数不大于18的频率为0.46.不大于19的频率为0.7.故n的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件.则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元.20台的费用为4 300元.10台的费用为4 800元.因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元). 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件.则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元.10台的费用为4 500元.因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).比较两个平均数可知.购买1台机器的同时应购买19个易损零件.11 / 11。

课时素养评价三十七总体集中趋势的估计总体离散程度的估计(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是( )A.平均数>中位数>众数B.平均数<中位数<众数C.中位数<众数<平均数D.众数=中位数=平均数【解析】选D.众数、中位数、平均数都是50.2.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如表所示：s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( )A.s3>s1>s2B.s2>s1>s3C.s1>s2>s3D.s2>s3>s1【解析】选B.因为s2=(++…+)-，所以=(5×72+5×82+5×92+5×102)-8.52=，所以s1=.同理s2=，s3=，所以s2>s1>s3.3.样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b是方程x2-5x+4=0的两根，则这个样本的方差是( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.x2-5x+4=0的两根是1，4.当a=1时，a，3，5，7的平均数是4；当a=4时，a，3，5，7的平均数不是1.所以a=1，b=4.则方差s2=[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.4.(2019·中山高二检测)某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为3万元，则9时至14时的销售总额为( )A.10万元B.12万元C.15万元D.30万元【解析】选D.由图知，9时至10时的销售额频率为0.1，所以9时至14时的销售总额为=30(万元).二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2019·江苏高考)已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________. 【解析】=×(6+7+8+8+9+10)=8，所以方差为×[(6-8)2+(7-8)2+0+0+(9-8)2+(10-8)2]=.答案：6.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如表：用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值=________.【解析】=(2.5×4+7.5×8+12.5×5+17.5×2+22.5×1)=9.5.答案：9.5三、解答题(共26分)7.(12分)如图是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中所得的环数)，每人射击了6次.(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来.(2)请你用学过的统计知识，对甲、乙两人这次的射击情况进行比较. 【解析】(1)列表如下：环数6 7 8 9 10(2)=9环，=9环，=，=1.因为=，<，所以甲与乙的平均成绩相同，但甲发挥比乙稳定.8.(14分)今年西南一地区遭遇严重干旱，某乡计划向上级申请支援，为上报需水量，乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量，得到这100户村民月均用水量的频率分布表如表：(月均用水量的单位：吨)(1)请完成该频率分布表，并画出相对应的频率分布直方图.(2)估计样本的中位数是多少.(3)已知上级将按每户月均用水量向该乡调水，若该乡共有1 200户，请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨？【解析】(1)频率分布表与相应的频率分布直方图如下：[8.5，10.5] 60.06合计100 1.00(2)设中位数为x，因为月均用水量在[0.5，4.5)内的频率是0.12+0.24=0.36，月均用水量在[0.5，6.5)内的频率是0.12+0.24+0.40=0.76，所以x∈[4.5，6.5)，则(x-4.5)×0.2=0.5-0.36，解得x=5.2.所以中位数是5.2.(3)该乡每户月均用水量估计为1.5×0.12+3.5×0.24+5.5×0.40+7.5×0.18+9.5×0.06=5.14，由5.14×1200=6 168，知上级支援该乡的月调水量是6 168吨.(15分钟·30分)1.(4分)如图是1951～2016年我国的年平均气温变化的折线图.根据图中信息，下列结论正确的是( )A.1951年以来，我国的年平均气温逐年升高B.1951年以来，我国的年平均气温在2016年再创新高C.2000年以来，我国每年的年平均气温都高于1981～2010年的平均值D.2000年以来，我国的年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值【解析】选D.由图可知，1951年以来，我国的年平均气温变化是有起伏的，不是逐年增高的，所以选项A错误；1951年以来，我国的年平均气温最高的不是2016年，所以选项B错误；2012年的年平均气温低于1981～2010年的平均值，所以选项C错误；2000年以来，我国的年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值，所以选项D正确.2.(4分)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m o，平均值为，则( )A.m e=m o=B.m e=m o<C.m e<m o<D.m o<m e<【解析】选D.由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分.中位数为第15，16个数(分别为5，6)的平均数，即m e=5.5，5出现的次数最多，故m o=5，=×[2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10]≈5.97.于是得m o<m e<.3.(4分)已知样本数据x1，x2，…，x n的平均数=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1的平均数为________.【解析】由x1，x2，…，x n的平均数=5，得2x1+1，2x2+1，…，2x n+1的平均数为2+1=2×5+1=11.答案：11【加练·固】若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的标准差为________.【解析】由已知，x1，x2，x3，…，x10的方差s2=64.则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的方差为22s2=22×64，所以其标准差为=2×8=16.答案：164.(4分)某人5次上班途中所花时间(单位：min)分别为x，y，10，11，9若这组数据的平均数为10，方差为2，则【解析】==10，所以x+y=20.方差为2，则=2，(x-10)2+(10-x)2=8，(x-10)2=4，x=8或x=12，则y=12或y=8，所以|x-y|=4.答案：4【加练·固】已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy=________.【解析】由平均数得9+10+11+x+y=50，所以x+y=20，又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10，得x2+y2-20(x+y)=-192，(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192，xy=96.答案：965.(14分)为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如表：(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命.(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？【解析】(1)各组的组中值分别为165，195，225，255，285，315，345，375，由此可算得这种日光灯的平均使用寿命约为165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天).(2)×[1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2]=2 128.60.故标准差为≈46.估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故在222～314天之间统一更换较合适.1.某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率是( )A. B. C. D.【解析】选B.由已知y=即y=当日销量不少于20个时，日利润不少于96元.当日销量为20个时，日利润为96元.当日销量为21个时，日利润为97元.日利润为96元的有3天，记为a，b，c，日利润为97元的有2天，记为A，B，从中任选2天有(a，A)，(a，B)，(a，b)，(a，c)，(b，A)，(b，B)，(b，c)，(c，A)，(c，B)，(A，B)共10种情况，其中选出的这2天日利润都是97元的有(A，B)1种情况，所以所求概率为.2.已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差s2=(+++-16)，则数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数为【解析】设正数x1，x2，x3，x4的平均数为，则s2=[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2]，得s2=(+++)-，又已知s2=(+++-16)=(+++)-4，所以=4，所以=2，所以[(x1+2)+(x2+2)+(x3+2)+(x4+2)]=+2=4.答案：43.某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n=19，求y与x的函数解析式.(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值.(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【解析】(1)当x≤19时，y=3 800；当x>19时，y=3 800+500(x-19)=500x-5 700，所以y与x的函数解析式为y=(x∈N*).(2)由题图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元，20台的费用为4 300元，10台的费用为4 800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元). 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元，10台的费用为4 500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.。