定点定值(优美题目)

解析几何中的定值定点问题一、定点问题【例1】．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解：⑴由题意知c e a ==22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．解：⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C的方程，整理得22(14)40k x +++= ，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=，122414x x k =+ ② 且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①，当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点． 【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

高考圆锥曲线中的定点定值问题定点问题是常见的考题形式，解决这类问题的关键就是引进变参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。

直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和b 的一次函数关系式，代入直线方程即可类型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。

定点、定值专题[典例] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点． [解] (1)因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，即p ＝2．所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ．(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝⎛⎭⎫t24，t ，B ⎝⎛⎭⎫t24，－t ．因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t 24·－tt 24＝－12，化简得t 2＝32．所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8．②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，消去x 得ky 2－4y ＋4b ＝0．由根与系数的关系得y A y B ＝4bk ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y Ax A ·y B x B＝－12，即x A x B ＋2y A y B ＝0． 即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0，解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32．所以y A y B ＝4bk ＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)．综合①②可知，直线AB 过定点(8,0)．[方法点拨]圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．[对点演练]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM ―→＝λ1MQ ―→，PN ―→＝λ2NQ ―→．(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点．解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3．所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1． (2)由题意设P (0，m )，Q (x 0,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝t (y －m )， 由PM ―→＝λ1MQ ―→ ，知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)，∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝m y 1－1． 同理由PN ―→＝λ2NQ ―→知λ2＝m y 2－1． ∵λ1＋λ2＝－3，∴m y 1－1＋m y 2－1＝－3， ∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t (y －m )， 得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)＞0，②且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③ ③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，∴(mt )2＝1，由题意mt ＜0，∴mt ＝－1，满足②，故直线l 的方程为x ＝ty ＋1，过定点(1,0)，即Q 为定点．[典例] (2017·张掖诊断)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22． (1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．[解] (1)由题意知c a ＝22，b ＝1， 由a 2＝b 2＋c 2，得a ＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1． (2)证明：设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由题意知Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2， 所以直线AP 与AQ 的斜率之和 k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2 ＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2．故直线AP 与AQ 的斜率之和为定值2．[方法点拨]定值问题常见的2种求法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)引进变量法：其解题流程为[对点演练]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1(－1,0)，长轴长与短轴长的比是2∶3． (1)求椭圆的方程；(2)过F 1作两直线m ，n 交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，若m ⊥n ，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ∶2b ＝2∶3，c ＝1，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝3．故所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1． (2)证明：由已知F 1(－1,0)，当直线m 不垂直于坐标轴时，可设直线m 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1， 得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0．由于Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ (1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫－8k 23＋4k 22－4·4k 2－123＋4k 2 ＝12(1＋k 2)3＋4k 2． 同理|CD |＝12(1＋k 2)3k 2＋4．所以1|AB|＋1|CD|＝3＋4k212(1＋k2)＋3k2＋412(1＋k2)＝7(1＋k2)12(1＋k2)＝712．当直线m垂直于坐标轴时，此时|AB|＝3，|CD|＝4；或|AB|＝4，|CD|＝3，所以1|AB|＋1|CD|＝13＋14＝712．综上，1|AB|＋1|CD|为定值712．。

圆锥曲线定点定值问题100题（上篇）
前言：
圆锥曲线最具代表的题——定点定值问题。

这个题型，让计算能力差、化简能力差、计算粗心的操碎了心。

但其中的数学智慧又全都隐藏在化简计算中。

哎，说多了都是泪。

加油吧，同学们，我也想快乐学习，我也想幸福学习，可现实不允许啊！我们不仅要算对，而且还有快，而且还有过程完美~
无论是高二还是高三的，若是计算能力不行的。

这样的题，多练练吧！
我们就以100道为起点吧~
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解析几何定点、定值问题1、已知椭圆C ：(22221>>0)y x a b a b+=的离心率为21，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线06=+-y x 相切。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P （4，0），A,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；2、斜率为1的直线l 过抛物线2:2(0)y px p Ω=>的焦点F ，与抛物线交于两点A ，B 。

（1）若|AB|=8，求抛物线Ω的方程；（2）设P 是抛物线Ω上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别交抛物线的准线于M ，N 两点，证明M ，N 两点的纵坐标之积为定值（仅与p 有关）。

3、在平面直角坐标系中，点(,)P x y 为动点，已知点A，(B ，直线PA 与PB的斜率之积为12-.（I ）求动点P 轨迹E 的方程;（II ）过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (Q M 、不重合)，求证：直线MQ 过定点.4、如图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1、F 2为焦点的椭圆的一部分，曲线C 2是以原点O为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，3(2A 是曲线C 1和C 2的交点.(Ⅰ)求曲线C 1和C 2所在的椭圆和抛物线的方程；(Ⅱ)过F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1、C 2依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 中点，H 为BE 中点，问22||||||||BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.5、已知抛物线)0(22>-=p px y 的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于P 点，交抛物线于,A B 两点，其中A 在第二象限。

（1）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切；（2）若12FA AP,BF FA λλ==，求21λλ-的值.6、已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==.（Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）过圆心M 的直线交抛物线C 于P 、Q 两点,求OP OQ ⋅的值。

解析几何定点、定值问题1、已知椭圆C ：(22221>>0)y x a b a b +=的离心率为21，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线06=+-y x 相切。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P （4，0），A,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；2、斜率为1的直线l 过抛物线2:2(0)y px p Ω=>的焦点F ，与抛物线交于两点A ，B 。

（1）若|AB|=8，求抛物线Ω的方程；（2）设P 是抛物线Ω上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别交抛物线的准线于M ，N 两点，证明M ，N 两点的纵坐标之积为定值（仅与p 有关）。

3、在平面直角坐标系中，点(,)P x y 为动点，已知点A，(B ，直线PA 与PB的斜率之积为12-.（I ）求动点P 轨迹E 的方程;（II ）过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (Q M 、不重合)，求证：直线MQ 过定点.4、如图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1、F 2为焦点的椭圆的一部分，曲线C 2是以原点O为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，3(2A 是曲线C 1和C 2的交点.(Ⅰ)求曲线C 1和C 2所在的椭圆和抛物线的方程；(Ⅱ)过F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1、C 2依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 中点，H 为BE 中点，问22||||||||BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.5、已知抛物线)0(22>-=p px y 的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于P 点，交抛物线于,A B 两点，其中A 在第二象限。

（1）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切； （2）若12FA AP,BF FA λλ==，求21λλ-的值.6、已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==.（Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）过圆心M 的直线交抛物线C 于P 、Q 两点,求OP OQ ⋅的值。

一．解答题（共30小题）1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）P（2，n），Q（2，﹣n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B两点在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由．2．已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足k1+k2=m （定值m≠0），求直线l的斜率．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．4．已知F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=﹣与x轴的交点为N，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中．（1）求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围；（2）过A、B两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P是否恒在某定直线上运动，请说明理由．5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．6．已知椭圆的左焦点为F（﹣，0），离心率e=，M、N是椭圆上的动点．（Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为﹣，问：是否存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？，若存在，求出F1，F2的坐标，若不存在，说明理由．（Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA 并延长交椭圆于点B，7．一束光线从点F1（﹣1，0）出发，经直线l：2x﹣y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2（1，0）．（1）求P点的坐标；（2）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+t（k≠0）交椭圆C于A、B两点，D为AB的中点，k OD为直线OD的斜率，求证：k•k OD为定值；（3）在（2）条件下，当t=1时，若的夹角为锐角，试求k的取值范围．9．如图所示，椭圆C：的焦点为F1（0，c），F2（0，﹣c）（c＞0），抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两点，且．（1）求证：切线l的斜率为定值；（2）当λ∈[2，4]时，求椭圆的离心率e的取值范围．10．已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F1（2，0），离心率为e．（1）若e=，求椭圆的方程；（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．①证明点A在定圆上；②设直线AB的斜率为k，若k，求e的取值范围．11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），左、右顶点分别为A，B，离心率为，动点P到F1，F2的距离的平方和为6．（1）求动点P的轨迹方程；（2）若，，Q为椭圆上位于x轴上方的动点，直线DM•CN，BQ分别交直线m于点M，N．（i）当直线AQ的斜率为时，求△AMN的面积；（ii）求证：对任意的动点Q，DM•CN为定值．12．（1）如图，设圆O：x2+y2=a2的两条互相垂直的直径为AB、CD，E在弧BD上，AE交CD于K，CE交AB 于L，求证：为定值（2）将椭圆（a＞b＞0）与x2+y2=a2相类比，请写出与（1）类似的命题，并证明你的结论．（3）如图，若AB、CD是过椭圆（a＞b＞0）中心的两条直线，且直线AB、CD的斜率积，点E是椭圆上异于A、C的任意一点，AE交直线CD于K，CE交直线AB于L，求证：为定值．13．作斜率为的直线l与椭圆C：交于A，B两点（如图所示），且在直线l的左上方．（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若∠APB=60°，求△PAB的面积．14．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2+=．（1）若过A．Q．F2三点的圆恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：+为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．15．已知A，B分别是椭圆C1：=1的左、右顶点，P是椭圆上异与A，B的任意一点，Q是双曲线C2：=1上异与A，B的任意一点，a＞b＞0．（I）若P（），Q（，1），求椭圆C l的方程；（Ⅱ）记直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别是k1，k2，k3，k4，求证：k1•k2+k3•k4为定值；（Ⅲ）过Q作垂直于x轴的直线l，直线AP，BP分别交l于M，N，判断△PMN是否可能为正三角形，并说明理由．16．已知椭圆=1的焦点坐标为（±1，0），椭圆经过点（1，）（1）求椭圆方程；（2）过椭圆左顶点M（﹣a，0）与直线x=a上点N的直线交椭圆于点P，求的值．（3）过右焦点且不与对称轴平行的直线l交椭圆于A、B两点，点Q（2，t），若K QA+K QB=2与l的斜率无关，求t的值．17．如图，已知椭圆的焦点为F1（1，0）、F2（﹣1，0），离心率为，过点A（2，0）的直线l交椭圆C于M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）①求直线l的斜率k的取值范围；②在直线l的斜率k不断变化过程中，探究∠MF1A和∠NF1F2是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．18．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N，在线段MN上取点H，满足，试证明点H恒在一定直线上．19．如图，双曲线C1：与椭圆C2：（0＜b＜2）的左、右顶点分别为A1、A2第一象限内的点P在双曲线C1上，线段OP与椭圆C2交于点A，O为坐标原点．（I）求证：为定值（其中表示直线AA1的斜率，等意义类似）；（II）证明：△OAA2与△OA2P不相似．（III）设满足{（x，y）|，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|，x∈R，y∈R} 的正数m的最大值是b，求b的值．20．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离和为2．斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）试用m表示△MPQ的面积，并求面积的最大值．22．已知椭圆E：的左焦点，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知两点Q（﹣2，0），M（0，1）及椭圆G：，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K 两点，设线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？（Ⅲ）过坐标原点O的直线交椭圆W：于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．23．已知椭圆和圆O：x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点为A，B．（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：为定值．24．已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点，点A，B是抛物线x2=4y上的两个动点，且满足，过点A，B分别作抛物线的两条切线，设两切线的交点为M，试推断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．25．已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a，2b（a＞b＞0），A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB．（1）求证：为定值；（2）求△AOB面积的最大值和最小值．26．设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点．（1）若P是该椭圆上的一个动点，求向量乘积的取值范围；（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．（3）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．27．已知椭圆的左焦点F1（﹣1，0），长轴长与短轴长的比是．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若m⊥n，求证：为定值．28．已知椭圆的左顶点是A，过焦点F（c，0）（c＞0，为椭圆的半焦距）作倾斜角为θ的直线（非x轴）交椭圆于M，N两点，直线AM，AN分别交直线（称为椭圆的右准线）于P，Q两点．（1）若当θ=30°时有，求椭圆的离心率；（2）若离心率e=，求证：为定值．29．已知点P在椭圆C：（a＞b＞0）上，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，满足|PF1|=6﹣|PF2|，且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点Q（1，0）且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于两个不同点M、N，在x轴上是否存在定点G，使得为定值．若存在，求出所有满足这种条件的点G的坐标；若不存在，说明理由．30．如图，已知椭圆C：的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）P（2，n），Q（2，﹣n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B两点在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由．解：（Ⅰ）设C方程为由已知b=2，离心率…（3分）得a=4，所以，椭圆C的方程为…（4分）（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为P（2，3）．Q（2，﹣3），则|PQ|=6，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t2﹣12=0 由△＞0，解得﹣4＜t＜4，由根与系数的关系得，四边形APBQ的面积…（6分）故，当t=0时，…（7分）②∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）与，联立解得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0，．…（9分）同理PB的直线方程y﹣3=﹣k（x﹣2），可得所以，…（11分）==，所以直线AB的斜率为定…（13分）2．已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足k1+k2=m （定值m≠0），求直线l的斜率．解：（1）∵椭圆离心率为，∴，∴（2分）又椭圆经过点，∴解得c=1，∴（3分）∴椭圆C的方程是…（4分）（2）若直线l斜率不存在，显然k1+k2=0不合题意…（5分）设直线方程为l：y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）联立方程组得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0…（7分）∴…（8分）∴k1+k2=====k（）=﹣∵k1+k2=m，∴﹣=m，∴k=．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．解：（1）由题意得2c=2，∴c=1，又，a2=b2+1．消去a可得，2b4﹣5b2﹣3=0，解得b2=3或（舍去），则a2=4，∴椭圆E的方程为．（2）（ⅰ）设P（x1，y1）（y1≠0），M（2，y0），则，，∵A，P，M三点共线，∴，∴，∵P（x1，y1）在椭圆上，∴，故为定值．（ⅱ）直线BP的斜率为，直线m的斜率为，则直线m的方程为，====，即．所以直线m过定点（﹣1，0）．4．已知F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=﹣与x轴的交点为N，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中．（1）求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围；（2）过A、B两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P是否恒在某定直线上运动，请说明理由．解：（1）由于，∴解得a2=2，b2=1，从而所求椭圆的方程为=1．∵三点共线，而点N的坐标为（﹣2，0）．设直线AB的方程为y=k（x+2），其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0．由消去x得，即．根据条件可知解得，依题意取．设A（x1，y1），B（x2，y2），则根据韦达定理，得，又由，得（x1+2，y1）=λ（x2+2，y2），∴从而从而消去y2得．令，则．由于，所以φ'（λ）＜0．∴φ（λ）是区间上的减函数，从而，即，∴，解得，而，∴．故直线AB的斜率的取值范围是．（2）设点P的坐标为（x0，y0），则可得切线PA的方程是，而点A（x1，y1）在此切线上，有即x0x1+2y0y1=x12+2y12，又∵A在椭圆上，∴有x0x1+2y0y=2，①同理可得x0x2+2y0y2=2．②根据①和②可知直线AB的方程为，x0x+2y0y=2，而直线AB过定点N（﹣2，0），∴﹣2x0=2⇒x0=﹣1，因此，点P恒在直线x=﹣1上运动．5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．解：（1）依题意，得c=1．于是，a=，b=1．…（2分）所以所求椭圆的方程为．…（4分）（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②．又设M（x，y），因，故…（7分）因M在椭圆上，故．整理得．将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得．所以，为定值．…（10分）（ii），故y12+y22=1．又，故x12+x22=2．所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3．…（16分）6．已知椭圆的左焦点为F（﹣，0），离心率e=，M、N是椭圆上的动点．（Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为﹣，问：是否存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？，若存在，求出F1，F2的坐标，若不存在，说明理由．（Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA 并延长交椭圆于点B，证明：MN⊥MB．（Ⅰ）解：由题设可知：，∴a=2，c=…2分∴b2=a2﹣c2=2…3分∴椭圆的标准方程为：…4分（Ⅱ）解：设P（x P，y P），M（x1，y1），N（x2，y2），由可得：①…5分由直线OM与ON的斜率之积为可得：，即x1x2+2y1y2=0②…6分由①②可得：x P2+2y P2=（x12+2y12）+（x22+2y22）∵M、N是椭圆上的点，∴x12+2y12=4，x22+2y22=4∴x P2+2y P2=8，即…..8分由椭圆定义可知存在两个定点F1（﹣2，0），F2（2，0），使得动点P到两定点距离和为定值4；….9分；（Ⅲ）证明：设M（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＞0，x1≠x2，A（x1，0），N（﹣x1，﹣y1）…..10分由题设可知l AB斜率存在且满足k NA=k NB，∴…．③k MN•k MB+1=+1④…12分将③代入④可得：k MN•k MB+1=+1=⑤….13分∵点M，B在椭圆上，∴k MN•k MB+1==0∴k MN•k MB+1=0∴k MN•k MB=﹣1∴MN⊥MB…14分．7．一束光线从点F1（﹣1，0）出发，经直线l：2x﹣y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2（1，0）．（1）求P点的坐标；（2）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设F1关于l的对称点为F（m，n），则且，解得，，即．由，解得．（2）因为PF1=PF，根据椭圆定义，得2a=PF1+PF2=PF+PF2=FF2=，所以a=．又c=1，所以b=1．所以椭圆C的方程为．（3）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有k Qt•k Qs=k（k为定值），即•，将代入并整理得（*）．由题意，（*）式对任意x∈（﹣，）恒成立，所以，解之得或．所以有且只有两定点（，0），（﹣，0），使得k Qt•k Qs为定值﹣．8．已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+t（k≠0）交椭圆C于A、B两点，D为AB的中点，k OD为直线OD的斜率，求证：k•k OD为定值；（3）在（2）条件下，当t=1时，若的夹角为锐角，试求k的取值范围．解：（1）根据题意有：解得：∴椭圆C的方程为=1（2）联立方程组消去y得：（4+k2）x2+2kx+t2﹣4=0①设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点坐标为（x0，y0）则有：∴，故为定值（3）当t=1时，①式为（4+k2）x2+2kx﹣3=0故∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1∴若的夹角为锐角，则有，即，解得，且k≠0，∴当k∈时，的夹角为锐角9．如图所示，椭圆C：的焦点为F1（0，c），F2（0，﹣c）（c＞0），抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，过F2的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A，B两点，且．（1）求证：切线l的斜率为定值；（2）当λ∈[2，4]时，求椭圆的离心率e的取值范围．（1）证明：∵椭圆C：的焦点为F1（0，c），F2（0，﹣c）（c＞0），抛物线P：x2=2py（p＞0）的焦点与F1重合，∴，∴抛物线P：x2=4cy．设过F2的直线l的方程为y+c=kx，与抛物线联立，可得x2﹣4kcx+4c2=0，∵过F2的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，∴△=16k2c2﹣16c2=0，k＞0∴k=1，即切线l的斜率为定值；（2）解：由（1），可得直线l的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程可得（a2+b2）x2﹣2b2cx+b2c2﹣a2b2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②∵∴x2=﹣λx1③由①②③可得=∵f（λ）=，当λ∈[2，4]时，单调递增，∴f（λ）∈∴∵0＜e＜1∴椭圆的离心率e的取值范围是[]．10．已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F1（2，0），离心率为e．（1）若e=，求椭圆的方程；（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．①证明点A在定圆上；②设直线AB的斜率为k，若k，求e的取值范围．解：（1）由=，c=2，得a=，b==2．故所求椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），故，．①由题意，得．化简，得，∴点A在以原点为圆心，2为半径的圆上．②设A（x1，y1），则得到．将，，代入上式整理，得k2（2e2﹣1）=e4﹣2e2+1；∵e4﹣2e2+1＞0，k2＞0，∴2e2﹣1＞0，∴．∴≥3．化简，得．解之，得，．故离心率的取值范围是．11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），左、右顶点分别为A，B，离心率为，动点P到F1，F2的距离的平方和为6．（1）求动点P的轨迹方程；（2）若，，Q为椭圆上位于x轴上方的动点，直线DM•CN，BQ分别交直线m于点M，N．（i）当直线AQ的斜率为时，求△AMN的面积；（ii）求证：对任意的动点Q，DM•CN为定值．（1）解：设P（x，y），则，即（x+1）2+y2+（x﹣1）2+y2=6，整理得，x2+y2=2，所以动点P的轨迹方程为x2+y2=2．…（4分）（2）解：由题意知，，解得，所以椭圆方程为．…（6分）则，，设Q（x0，y0），y0＞0，则，直线AQ的方程为，令，得，直线BQ的方程为，令，得，（ i ）当直线AQ 的斜率为时，有，消去x 0并整理得，，解得或y 0=0（舍），…（10分） 所以△AMN 的面积==． …（12分）（ii ），，所以．所以对任意的动点Q ，DM •CN 为定值，该定值为． …（16分）12．（1）如图，设圆O ：x 2+y 2=a 2的两条互相垂直的直径为AB 、CD ，E 在弧BD 上，AE 交CD 于K ，CE 交AB 于L ，求证：为定值（2）将椭圆（a ＞b ＞0）与x 2+y 2=a 2相类比，请写出与（1）类似的命题，并证明你的结论．（3）如图，若AB 、CD 是过椭圆（a ＞b ＞0）中心的两条直线，且直线AB 、CD 的斜率积，点E 是椭圆上异于A 、C 的任意一点，AE 交直线CD 于K ，CE 交直线AB 于L ，求证：为定值．解答： 解：（1）如图所示，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F 点， ∵CD ⊥AB ，∴EF ∥CD ，∴，，又EF2+FO2=OE2=a2，∴====1．为定值．（2）如图，设椭圆（a＞b＞0），椭圆的长轴、短轴分别为AB、CD，E在椭圆的BD部分上，AE交CD于K，CE交AB于L，求证：为定值．证明：过点E作EF⊥AB，垂足为F点，∵CD⊥AB，∴EF∥CD，∴，，∴===1．为定值．（3）如图所示，过点E分别作EF∥CD交AB与点F，EM∥AB交直线CD于点M．∴，．设A（x1，y1），C（x2，y2），D（﹣x2，﹣y2），B（﹣x1，﹣y1）．E（x0，y0）．则．设直线AB的方程为y=kx（k≠0），则直线CD的方程为．直线EF的方程为，直线EM的方程为y﹣y0=k（x﹣x0）．联立解得x F=．联立，解得x M=．联立解得．联立，解得=．∴==．同理．∴====．为定值．13．作斜率为的直线l与椭圆C：交于A，B两点（如图所示），且在直线l的左上方．（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若∠APB=60°，求△PAB的面积．（1）证明：设直线l：，A（x1，y1），B（x2，y2）．将代入中，化简整理得2x2+6mx+9m2﹣36=0．于是有，．则，上式中，分子====，从而，k PA+k PB=0．又P在直线l的左上方，因此，∠APB的角平分线是平行于y轴的直线，所以△PAB的内切圆的圆心在直线上．（2）解：若∠APB=60°时，结合（1）的结论可知．直线PA的方程为：，代入中，消去y得．它的两根分别是x1和，所以，即．所以．同理可求得．=••=．14．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2+=．（1）若过A．Q．F2三点的圆恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：+为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．解：（1）由知：F1为F2Q中点．又∵，∴|F1Q|=|F1A|=|F1F2|，即F1为△AQF2的外接圆圆心而|F1A|=a，|F1F2|=2c，∴a=2c，又圆心为（﹣c，0），半径r=a，∴，解得a=2，∴所求椭圆方程为．（5分）（2）①由（1）知F2（1，0），y=k（x﹣1），，代入得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，又∵|F2M|=a﹣ex1，|F2N|=a﹣ex2，∴=，，∴为定值．（10分）②由上可知：y1+y2=k（x1+x2﹣2），=（x1+x2﹣2m，y1+y2），由于菱形对角线垂直，则，故k（y1+y2）+x1+x2﹣2m=0，则k2（x1+x2﹣2）+x1+x2﹣2m=0，+，由已知条件知k≠0且k∈R，，∴，故存在满足题意的点P且的取值范围是．（15分）15．已知A，B分别是椭圆C1：=1的左、右顶点，P是椭圆上异与A，B的任意一点，Q是双曲线C2：=1上异与A，B的任意一点，a＞b＞0．（I）若P（），Q（，1），求椭圆C l的方程；（Ⅱ）记直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别是k1，k2，k3，k4，求证：k1•k2+k3•k4为定值；（Ⅲ）过Q作垂直于x轴的直线l，直线AP，BP分别交l于M，N，判断△PMN是否可能为正三角形，并说明理由．解答：（Ⅰ）解：∵P（）在椭圆上，Q（，1）在双曲线上，则，①+②×3得：，a2=5，把a2=5代入①得，b2=4．所以椭圆C l的方程为；（Ⅱ）证明：由A（﹣a，0），B（a，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，，k1•k2+k3•k4==∵设P（x1，y1）在椭圆上，Q（x2，y2）在双曲线上，∴，则k1•k2+k3•k4===．所以k1•k2+k3•k4为定值；（Ⅲ）假设△PMN是正三角形，∴∠MPN=∠PMN=60°，又∵MN⊥x轴，∴∠PAN=30°，∠PBA=30°，∴△PAB为等腰三角形，∴点P位于y轴上，且P在椭圆上，∴点P的坐标为（0，±b），此时，即a=．综上，当a=，且点P的坐标为（0，±b）时，△PMN为正三角形．16．已知椭圆=1的焦点坐标为（±1，0），椭圆经过点（1，）（1）求椭圆方程；（2）过椭圆左顶点M（﹣a，0）与直线x=a上点N的直线交椭圆于点P，求的值．（3）过右焦点且不与对称轴平行的直线l交椭圆于A、B两点，点Q（2，t），若K QA+K QB=2与l的斜率无关，求t的值．解：（1）由题意得解得a2=2，b2=1故椭圆方程为（2）设N（），P（X，Y）则MN的方程为由得由韦达定理得所以代入直线方程得P（）∴，∴（3）AB的方程为x=my+1，设A（e，f），B（g，h）由得（m2+2）y2+2my﹣1=0所以f+h=，fh=====2∵K QA+K QB=2与l的斜率无关∴2t=2，即t=1．17．如图，已知椭圆的焦点为F1（1，0）、F2（﹣1，0），离心率为，过点A（2，0）的直线l交椭圆C于M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）①求直线l的斜率k的取值范围；②在直线l的斜率k不断变化过程中，探究∠MF1A和∠NF1F2是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．解：（1）由已知条件知，，解得，又b2=a2﹣c2=1，所以椭圆C的方程为；（2）设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2=2=0，①由于直线l与椭圆C相交，所以△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，解得直线l的斜率k的取值范围是；②∠MF1A和∠NF1F2总相等．证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），则，所以tan∠MF1A﹣tan∠NF1F2====，所以tan∠MF1A=tan∠NF1F2，又∠MF1A和∠NF1F2均为锐角，所以∠MF1A=∠NF1F2．18．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N，在线段MN上取点H，满足，试证明点H恒在一定直线上．解：（1）由题意可得，解得，c=1，所以椭圆E：．（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），因为PF2⊥F2Q，所以，所以﹣y1y0=2（x1﹣1）又因为且代入化简得．即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）设过P（3，3）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），点H（x，y），则，．设，则，∴（3﹣x1，3﹣y1）=﹣λ（x2﹣3，y2﹣3），（x﹣x1，y﹣y1）=λ（x2﹣x，y2﹣y）整理得，，∴从而，由于，，∴我们知道与的系数之比为2：3，与的系数之比为2：3．∴，所以点H恒在直线2x+3y﹣2=0上．19．如图，双曲线C1：与椭圆C2：（0＜b＜2）的左、右顶点分别为A1、A2第一象限内的点P在双曲线C1上，线段OP与椭圆C2交于点A，O为坐标原点．（I）求证：为定值（其中表示直线AA1的斜率，等意义类似）；（II）证明：△OAA2与△OA2P不相似．（III）设满足{（x，y）|，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|，x∈R，y∈R} 的正数m的最大值是b，求b的值．（I）解：由已知得A1（﹣2，0），A2（2，0）．设A（x1，y1），P（x2，y2），由题意知A、P均在第一象限，且满足，．则=…（3分）而Q、O、A、P在同一直线上，所以x1y2=x2y1故…（4分）（II）证明：设，P（x，y），则A（tx，ty）且，解之得：，且…（6分）OA•OP﹣OA22=tOP2﹣OA22=，其中0＜t＜1所以f′（t）=恒成立，，函数f（t）在区间（0，1）上是减函数，因此当0＜t＜1时，f（t）＞f（1）=，即故：△OAA2与△OA2P不相似．…（9分）（III）解：由得，由得．∴{（x，y）|，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|，x∈R，y∈R}因此∀y≠0，⇔⇔m2≤3所以b=因此b的值为…（13分）20．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）由已知，椭圆方程可设为．（1分）∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴．所求椭圆方程为．（4分）（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x﹣1．设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得3y2+2y﹣1=0，解得．∴．（9分）（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．由可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．∴．．其中x2﹣x1≠0以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形⇔（x1+x2﹣2m，y1+y2）（x2﹣x1，y2﹣y1）=0⇔（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0⇔（x1+x2﹣2m）+k（y1+y2）=0⇔2k2﹣（2+4k2）m=0．∴．（14分）21．已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离和为2．斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）试用m表示△MPQ的面积，并求面积的最大值．解：（Ⅰ）椭圆上的点到两个焦点的距离和为2，即2a=2，∴a=椭圆的离心率为，即e=∵e=，∴，∴c=1又∵a2=b2+c2，∴b=1．又斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点，即椭圆的焦点在Y轴上∴椭圆方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+1，由可得（k2+2）x2+2kx﹣1=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则△=8k2+8＞0，．．设线段PQ中点为N，则点N的坐标为，∵M（0，m），∴直线MN的斜率k MN=∵直线MN为PQ的垂直平分线，∴k MN•k=﹣1，可得．即，又k≠0，∴k2+2＞2，∴，即．（Ⅲ）设椭圆上焦点为F，∵y轴把△PQM分成了△PMF和△QMF，∴=|FM||x 1|+|FM||x2|=|FM|（|x1|+|x2|）∵P，Q在y轴两侧，∴|x1|+|x2|=||（x1﹣x2）∴，∵，由，可得．∴．又∵|FM|=1﹣m，∴．∴△MPQ的面积为（）．设f（m）=m（1﹣m）3，则f'（m）=（1﹣m）2（1﹣4m）．可知f（m）在区间单调递增，在区间单调递减．∴f（m）=m（1﹣m）3有最大值．此时∴△MPQ的面积为×=∴△MPQ的面积有最大值．22．已知椭圆E：的左焦点，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知两点Q（﹣2，0），M（0，1）及椭圆G：，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K 两点，设线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？（Ⅲ）过坐标原点O的直线交椭圆W：于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．解：（Ⅰ）连接DF2，FO（O为坐标原点，F2为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为因为FO是△DF1F2的中位线，且DF1⊥FO，所以|DF2|=2|FO|=2b，所以|DF1|=2a﹣|DF2|=2a﹣2b，故．…（2分）在Rt△FOF1中，即b2+（a﹣b）2=c2=5，又b2+5=a2，解得a2=9，b2=4，所求椭圆E的方程为．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆G：设直线l的方程为y=k（x+2）并代入整理得：（k2+4）x2+4k2x+4k2﹣4=0由△＞0得：，…（5分）设H（x1，y1），K（x2，y2），N（x0，y0）则由中点坐标公式得：…（6分）①当k=0时，有N（0，0），直线MN显然过椭圆G的两个顶点（0，﹣2），（0，2）．…（7分）②当k≠0时，则x0≠0，直线MN的方程为此时直线MN显然不能过椭圆G的两个顶点（0，﹣2），（0，2）；若直线MN过椭圆G的顶点（1，0），则，即x0+y0=1，所以，解得：（舍去），…（8分）若直线MN过椭圆G的顶点（﹣1，0），则，即x0﹣y0=﹣1，所以，解得：（舍去）．…（9分）综上，当k=0或或时，直线MN过椭圆G的顶点．…（10分）（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为，…（11分）根据题意可设P（m，n），则A（﹣m，﹣n），C（m，0）则直线AC的方程为，…①过点P且与AP垂直的直线方程为，…②①×②并整理得：，又P在椭圆W上，所以，所以，即①、②两直线的交点B在椭圆W上，所以PA⊥PB．…（14分）法二：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为根据题意可设P（m，n），则A（﹣m，﹣n），C（m，0），∴，，所以直线，化简得，所以，因为x A=﹣m，所以，则．…（12分）所以，则k PA•k PB=﹣1，故PA⊥PB．…（14分）23．已知椭圆和圆O：x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点为A，B．（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：为定值．解：（Ⅰ）（ⅰ）∵圆O过椭圆的焦点，圆O：x2+y2=b2，∴b=c，∴b2=a2﹣c2=c2，∴a2=2c2，∴．（3分）（ⅱ）由∠APB=90°及圆的性质，可得，∴|OP|2=2b2≤a2，∴a2≤2c2∴，．（6分）（Ⅱ）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则整理得x0x+y0y=x12+y12∵x12+y12=b2。

湖南高考数学定值定点问题专项练习及答案
在处置椭圆定值定点效果的进程中,体验以静态的观念研讨解析几何效果的思想方式，下面是定值定点效果专项练习，请考生仔细练习。

例1：椭圆C：+=1经过点(0，0)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点。

(1)求椭圆C的方程;
(2)假定直线l交y轴于点M，且=，=，当直线l的倾斜角变化时，探求+的值能否为定值?假定是，求出+否那么，请说明理由。

破题切入点：
(1)待定系数法。

(2)经过直线的斜率为参数树立直线方程，代入椭圆方程消y 后可得点A，B的横坐标的关系式，然后依据向量关系式=，=。

把，用点A，B的横坐标表示出来，只需证明+的值与直线的斜率k有关即证明了其为定值，否那么就不是定值。

解：(1)依题意得b=，e==，a2=b2+c2，
a=2，c=1，椭圆C的方程为+=1。

(2)因直线l与y轴相交于点M，故斜率存在，
又F坐标为(1，0)，设直线l方程为
y=k(x-1)，求得l与y轴交于M(0，-k)，
设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，
x1+x2=，x1x2=，
又由=，(x1，y1+k)=(1-x1，-y1)，
=，同理=，
所以当直线l的倾斜角变化时，直线+的值为定值-。

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