新人教版高中数学必修一《集合与函数概念》之《函数的概念》教学PPT

A．11
B．12
C．13
D．10
【答案】C
【解析】f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.
4.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1 和 y＝xx2＋－11
B．y＝x0 和 y＝1
C．f(x)＝x2 和 g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝
xx2和 g(x)＝
x x2
【答案】D
【答案】B 【解析】根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B不 正确.
2.函数 f(x)＝ xx－－21的定义域为(
)
A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1,2)
D．[1，＋∞)
【答案】A 【解析】由题意可知，要使函数有意义，需满足xx－－21≠≥00，，
即 x≥1 且 x≠2.
3.已知f(x)＝x2＋x＋1，则f[f(1)]的值是( )
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休 睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
2.(1)y＝x＋x＋120； (2)y＝ 2x＋3－ 21－x＋1x. 【解析】(1)由于 00 无意义，故 x＋1≠0，即 x≠－1. 又 x＋2>0，x>－2，所以 x>－2 且 x≠－1. 所以函数 y＝x＋x＋120的定义域为{x|x>－2 且 x≠－1}.
求函数的定义域
【例 2】求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝x＋1 1； (3)y＝ x－1＋ 1－x；(4)y＝xx2＋－11. 【解题探究】求函数的定义域，即是求使函数有意义的那 些自变量 x 的取值集合.
【解析】(1)函数 y＝2x＋3 的定义域为{x|x∈R}. (2)要使函数有意义，即分式有意义，则 x＋1≠0，x≠－1. 故函数的定义域为{x|x≠－1}. (3)要使函数有意义，则1x－－1x≥≥00，， 即xx≥≤11，， 所以 x＝1， 从而函数的定义域为{x|x＝1}. (4)因为当 x2－1≠0，即 x≠±1 时，xx2＋－11有意义，所以原函 数的定义域是{x|x≠±1}.

(1)判断一个集合 A 到集合 B 的对应关系是不是函数关系的 方法：①A，B 必须都是非空数集；②A 中任意一个数在 B 中 必须有并且是唯一的实数和它对应．
[注意] A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余． (2)函数的定义中“任意一个 x”与“有唯一确定的 y”说明函 数中两变量 x，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不 能是“一对多”.
符号 (－∞,＋∞) _[_a_，__＋__∞__) (_a_，__＋__∞_) (_－__∞_，__a_] (_－__∞_，__a_)
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 函 数 值 域 中 的 每 一 个 数 都 有 定 义 域 中 的 数 与 之 对 应．(√ ) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合．( × ) (3)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．( √ ) (4)若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元 素．( √ ) (5)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( × ) (6)数集{x|x<－3}，其区间表示为(－∞，－3)．( √ )
2．函数 y＝ 1－x＋ x的定义域为( D )
A．{x|x≤1}
B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1，或 x≤0} D．{x|0≤x≤1}
3．已知 f(x)＝x2＋1，则 f(f(－1))＝( D )
A．2
B．3
C．4
D．5
4．已知 f(x)＝2x1＋1，x∈{0，1，2}，则函数 f(x)的值函数符号，f 表示对应关系，f(x)表示 x 对应的函 数值，绝对不能理解为 f 与 x 的乘积．在不同的函数中 f 的具 体含义不同，对应关系可以是解析式、图象、表格等(下节讲函 数这三种表示)．函数除了可用符号 f(x)表示外，还可用 g(x)， F(x)等表示．

根据问题的条件，我们不能判断列车以 350 km/h
运行半小时后的情况，所以上述说法不正确、显
然，其原因是没有关注到 t 的变化范圈。
下面用更精确的语言表示问题 1 中 S 与 t 的对应
关系。列车行进的路程 S 与运行时间 t 的对应关
系是列车行进的路程 S 与运行时间/的对应关系是
S=350t. ①,
函数？（C ）
A.y ( x )2
B.y x2 x
C.y 3 x3
D.y x2
点评：只有定义域和对应法则都完全相同 的函数才是相同的函数。
讲 课 人
练习：P67练习3
：
邢
启 强
24
课堂小结
1.函数的概念：设A、B是非空数集，如果按照某个确定的对 应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟 一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A B为从集合A到集 合 B的函数。
间 t(单位：h）的关系可以表示为 S=350t.
这里，t 和 S 是两个变量，而且对于 t 的每一个确定的值，S 都有唯一
确定的值与之对应，所以 S 是 t 的函数。
思考:有人说：“根据对应关系 S＝350t，这趟列车加速到 350 km/t 后，
运行 1h 就前进了 350km.”你认为这个说法正确吗?
我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
时间（年）y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
请仿照前面的方法描述恩格尔系数r和时间（年）y的关系。

a23a0 0a3
1 . 下 面 四 组 中 的 函 数 f ( x ) 与 g ( x ) , 表 示 同 一 个 函 数 的 是 ( C )
A .f(x )x ,g (x )( x)2
B .f(x)x,g(x)x2
C .f(x)x,g(x)3x3
D .f(x ) |x 2 1 |,g (x ) |x 1 |
函数值, 函数值y的集合叫做
.
, 与X的值对应的y值 叫做
（2）函数的三要素： ， ，
。
（3）区间的概念。
（4）函数的表示法： ， ，
。
（5）两个函数相同必须是它们的 和 分别完全相同
（6）映射的定义：设A、B是两个非空集合,如果按照某个对应关系f ,对
于A中的
, 在集合B中都有 的元素 f (x) 与之对应, 那么就
3. 教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿 到以后的数学学习中.
4. 在例题和习题的编排中，渗透了集合中的分类思想，让学生体会到分类思想在生活中和数 学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的. 在教学中，一定要循序渐进，从繁到难，逐步渗透这方 面的训练 .
3x
f(2)4p25 p2 63
设 x1x21 则 x 1 x 2 0 ,x 1 x 2 1
f(x1)f(x2)2 3(x1x 21 1x2x 22 1)23(x1
x2)
x1x2 1 x1x2

0
f(x1)f(x2)
即 函 数 f ( x ) 在 ( , 1 ) 上 是 增 函 数 .
问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑

.E D C B A
些孤立的点。
01 2 3 4 5
想一想:下列图形中可作为函数y=f(x)的图像的有哪些?
__(_A_)_,(_D_)。
y
y
y
y
o x
o
1
o x -1
xox
(A)
(B)
o
o
(C)
(D)
点评：判断一个图形是否是一个函数图像 的依据就是函数的定义。
比较函数的三种表示方法，它们各自 的优点是什么？所有的函数都能用解析法 表示吗？
§1.2.2 函数的表示方法
第一课时
学习目标
学 科网
1、掌握函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法， 体会三种表示方法的特点。(重点)
2、能根据实际问题情境选择恰当的方法表示一个函数。
3、体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用， 在图形的变化中感受数学的直观美。
复 习 引入
y
3
1.试画出函数y=x-1的图像. 2
例题分析
例5 请画出函数 y | x | 的图像:
解: 由绝对值的意义,有
y=
x -x
x≥0 x<0
所以,函数图像为第一和第二象限的角平
分线.
y
4
3
21-ຫໍສະໝຸດ 0 1 2 3 xP23T3
注意: （1）有时表示函数的式子可以不止一个， 对于分几个式子表示的函数，不是几个函数， 而是一个函数,我们把它称为分段函数.
笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25
例题分析
它的图像如图所示,由五个孤立的点
A (1, 5),B (2,10),C(3,15),D(4,20),

3．三个防范
①认清元素的意义，防范数集与点集混淆、函数的 定义域与值域混淆、图形集与点集混淆等。
②注意防范：集合的基本运算中端点值的取舍导致 增解或漏解，求解集合的补集时由于错误否定条 件导致错解。
③空集是任何集合的子集，注意对空集的讨论，防 止漏解；注意集合中元素的互异性，防止增解.
A中任意一个元素均 为B中的元素,且B中 至少有一个元素不是 A中的元素
符号语言 A⊆B或B⊇A
A B或B A
相等 空集
集合A与集合B中的 所有元素_相__同__
A_⊆_B___且_B_⊆__A_⇔A=B
空集是_任__何__集__合__的 子集,是__任__何__非__空__集__合_ 的真子集
∅⊆A ∅ B(B≠∅)
(3)常见集合的符号：
自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
N __
_N_*_或__N_+
Z __
Q __
R __
列举法 描述法 图示法 (4)集合的表示方法:①_______；②_______；③_______.
2.集合间的基本关系
表示 关系
子集
真子集
文字语言
A中任意一个元 素均为B中的元素
一.知识点回顾
1.集合的含义与表示方法
(1)集合的含义： ①含义：研究对象叫做_元__素__，一些_元__素__组成的总体叫做集合. ②元素的性质：_确__定__性__、_无__序__性__、_互__异__性__.
(2)元素与集合的关系： _属__于_____不__属__于__ 分__别___记__为__∈__、____∉______
3.集合的基本运算
基本运算
并集
符号 表示

④f(x)=x+1,g(x)=x+x0;
⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x
(0≤x≤5).
其中表示相等函数的是
(填序号).
解析 ①f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},g(x)的定义域为R, f(x)与g(x)的定义域不
同,不是相等函数;②f(x)与g(x)的定义域都是{x|x>0},但f(x)= 1 与g(x)= x的对应
(a,b)
数轴表示
定义 符号
R (-∞,+∞)
{x|x≥a} [a,+∞)
{x|x>a} (a,+∞)
{x|x≤a} (-∞,a]
{x|x<a} (-∞,a)
判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.
1.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数. ( √ ) 2.区间不可能是空集. ( √ ) 3.任何两个集合之间都可以建立函数关系. ( ✕ ) 4.函数的定义域和值域一定是无限集合. ( ✕ ) 函数的定义域和值域也可能是有限集合,如f(x)=1(x∈{1,2}). 5.根据函数的定义,定义域中的任何一个x可以对应值域中不同的y. ( ✕ ) 根据函数的定义,对于定义域中的任何一个x,在值域中都有唯一确定的y与之对应. 6.在函数的定义中,集合B是函数的值域. ( ✕ ) 在函数的定义中,函数的值域是{f(x)|x∈A},它是集合B的子集.
1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念
函数的有关概念
一般地,我们有:设A,B是① 非空的数集 ,如果按照某种确定的对应关系f, 使对于集合A中的② 任意 一个数x,在集合B中都有③ 唯一确定 的数f(x)和 它对应,那么就称④ f:A→B 为从集合A到集合B的一个函数,记作⑤ y=f(x) , x∈A.其中,x叫做自变量,x的⑥ 取值范围A 叫做函数的定义域;与x的值相对应 的y值叫做函数值,函数值的集合⑦ {f(x)|x∈A} 叫做函数的值域.显然,值域是 集合B的子集.

集合与函数概念
内容与课时（13课时）
1.1.1 1.1.2 1.1.3
1.2.1 1.2.2 1.3.1 1.3.2
集合的含义与表示 集合间的基本关系 集合的基本运算 小结与复习 函数的概念 函数的表示法 单调性与最大（小）值 奇偶性 小结与复习
约1课时 约1课时 约2课时 约1课时 约2课时 约2课时 约2课时 约1课时 约1课时
集 合
一、知识结构
含义与表示
集合
基本关系
基本运算
二、目标定位
集合语言是现代数学的基本语言。使用集合语言，可 以简洁、准确地表达数学的一些内容。高中数学课程是将 集合作为一种语言来学习，学会使用最基本的集合语言表 示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。
标准与大纲比较
内容 《标准》目标表述 《大纲》目标表述
集合间 集与交集的含义，会求两个简单集 理解子集、补集、交集、并 合的并集与交集。 集的概念； ② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定 子集的补集。 ③ 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示 对理解抽象概念的作用。
《大纲》:对概念，关注意义的了解、理解，掌握方法； 《标准》：对概念都要求“通过具体实例”、“通过丰富实例”、“在具体情境 中”“体会”、“了解”、“理解”含义；重视使用Venn图
集合的 含义与 表示
① 通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属 理解集合的概念； 于”关系。 了解属于的意义； ② 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描 掌握有关的术语和符号，并 述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作 会用它们正确表示一些简单的 用。 集合。
① 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的 子集。 ② 在具体情境中，了解全集与空集的含义。 了解包含、相等关系的意义； 了解空集和全集的意义；

❖ 本节重点：函数的概念、定义域、值域的求 法．
❖ 本节难点：(1)函数概念的理解．
❖ (2)实际应用问题中函数的定义域和复合函数 定义域．
❖ (一)对函数y＝f(x)涵义的理解，应明确以 下几点：
❖ ①“A，B是非空数集”，若求得自变量取 值范围为∅，则此函数不存在．
❖ ②定义域、对应法则和值域是函数的三要 素，实际上，值域是由定义域和对应法则 决定的，所以看两个函数是否相等，只要 看这两个函数的定义域与对应法则是否相 同．
❖ (1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租 出多少辆车？
❖ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁
[解析] (1)当每辆车的月租金为 3600 元时，未租出的 车辆数为：(3600－3000)÷50＝12，所以这时租出了 88 辆车．
(2)设每辆车的月租金为 x 元，则租赁公司的月收益为： f(x)＝(100－x－530000)(x－150)－x－530000×50，整理得：f(x) ＝－5x02 ＋162x－2100＝－510(x－4050)2＋307050.所以当 x＝ 4050 元时，f(x)最大，其最大值为 307050.即当每辆车的月租 金为 4050 元时，租赁公司的月收益最大，最大值为 307050 元．
❖ [分析] (1)据函数的定义：“对于集合A中的 任意一个元素，在集合B中有唯一确定的元素 与之对应”进行判断．
❖ (2)给定函数的解析式，也就给定了由定义域 到值域的对应法则，只要将自变量允许值代 入，就可以求得对应的函数值．
[解析] (1)①由 x2＋y2＝2 得 y＝± 2－x2，因此由它不能 确定 y 是 x 的函数，如当 x＝1 时，由它所确定的 y 的值有两 个±1.
②由 x－1＋ y－1＝1，得 y＝(1－ x－1)2＋1，所以当 x 在{x|x≥1}中任取一个值时，由它可以确定唯一的 y 值与之 对应，故由它可以确定 y 是 x 的函数．

解:所给的四个图象中,只有图象A的定义域和值域均为{x|0≤x≤3}. 故选A.
题型三 求简单函数的定义域
[例 3] (12 分)求下列函数的定义域. (1)y= x 1 · 1 x ;
规范解答:(1)要使函数有意义,须
x 1 1 x

0, 0,
即 x=1,因此函数的定义域为{1}.………………4 分
即时训练 3-1:求下列函数的定义域. (1) y=3- 1 x;
2 (2)y=2 x - 1 7x ;
解:(1)函数 y=3- 1 x 的定义域为 R. 2
(2)由
x 0, 1 7x

0,
得
0≤x≤
1 7
,
所以函数 y=2 x - 1 7x 的定义域为{x︱0≤x≤ 1 }. 7
解:因为函数 y=f(x)的定义域为{x|-2≤x≤3},即 x∈{x|-2≤x≤3},函数 y=f(2x-3)中 2x-3 的范围与函数 y=f(x)中 x 的范围相同,所以-2≤2x-3≤
3,解得 1 ≤x≤3,所以函数 y=f(2x-3)的定义域为{x︱ 1 ≤x≤3}.
2
2
方法技巧
两类抽象函数的定义域的求法 (1)已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域:若f(x)的定义域为[a,b], 则f(g(x))中a≤g(x)≤b,从中解得x的取值集合即为f(g(x))的定义域. (2)已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域:若f(g(x))的定义域为 [a,b],即a≤x≤b,求得g(x)的取值范围,g(x)的值域即为f(x)的定 义域.
(3)y= 2x 3 - 1 + 1 . 2x x
2x 3 0,
解:(3)要使函数有意义,需 2 x＞0, x 0,