上海三校生三月数学专项训练10

2022-2023学年上海市宝山区高三（下）月考数学试卷（3月份）1.函数的最小正周期______.2.设i为虚数单位，若复数，则z的实部与虚部的和为______ .3.设向量、满足，，则______ .4.在的二项展开式中，项的系数是______ 结果用数值表示5.双曲线的离心率，则实数______ .6.已知事件A与事件B相互独立，如果，，那么______ .7.已知一个圆锥的底面半径为1cm，侧面积为，则该圆锥的体积为______8.已知，，且，则的最小值是______ .9.如图茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据单位：件，若这两组数据的中位数和平均数都相等，则的值为______.10.对于两个均不等于1的正数m、n，定义：设a、b、c均为小于1的正数，且，则的值是______ .11.若是圆O：上的任意一点，则的取值范围是______ .12.莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知A，B两点间的距离为2，点P为上的一点，则的最小值为______ .13.在下列条件下，能确定一个平面的是( )A. 空间的任意三点B. 空间的任意一条直线和任意一点C. 空间的任意两条直线D. 梯形的两条腰所在的直线14.已知集合，，若，且则p、q 的值分别为( )A. ，B. 1，C. 3，2D. ，215.已知函数，若，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.16.数学家们在探寻自然对数底与圆周率之间的联系时，发现了以下公式：；；上述公式中，，n为正整数.据此判断以下命题中正确的个数是为虚数单位( )①；②；③；④；⑤A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个17.锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足求A；若，求的最大值.18.如图，在多面体中，四边形ABCD、CFGD、ADGE均是边长为1的正方形，点H在棱EF上.求该几何体的体积；证明：存在点H，使得；求BD与平面BEF所成角的大小结果用反三角函数数值表示19.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，以他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数.已知数列满足，，，若，为数列的前n项和.证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；求的值.20.已知椭圆E：，依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为若，求椭圆E的标准方程；以椭圆E的右顶点为焦点的抛物线G，若G上动点M到点的最短距离为，求a的值；当时，设点F为椭圆E的右焦点，，直线l交E于P、均不与点A重合两点，直线l、AP、AQ的斜率分别为k、，，若，求的周长.21.已知函数，其中实数，，时，求函数的极值点；时，在上恒成立，求b的取值范围；证明：，且时，经过点作曲线的切线，则切线有三条.答案和解析1.【答案】【解析】【分析】本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题．由题意利用正弦函数的周期性，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期，故答案为：2.【答案】1【解析】解：因为，因此，复数z的实部与虚部之和为故答案为：利用复数的四则运算化简复数z，根据实部和虚部的概念即可求得结果．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】9【解析】解：因为设向量、满足，，则故答案为：根据向量数量积的运算律即可得答案．本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．4.【答案】80【解析】解：由题意可得的二项展开式的通项公式为：，，1，2，⋯，5，当时，展开式中含有，故的系数为故答案为：由二项式展开式的通项公式，直接求得答案．本题主要考查二项式定理，属于基础题．5.【答案】27【解析】解：双曲线的离心率，，故答案为：根据双曲线的离心率，可得，即可求出m的值．本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，正确运用双曲线的离心率公式是关键．6.【答案】【解析】解：事件A与事件B相互独立，事件A与相互独立，，，故答案为：根据独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案．本题考查独立事件和对立事件的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】【解析】解：底面半径为1cm，侧面积：，所以，所以高：，所以体积：故答案为：利用侧面积求母线长，然后求高即可．利用考查圆锥的体积以及圆锥的侧面积的求法，是基本知识的考查．8.【答案】4【解析】解：根据题意，，，且，则，当且仅当时等号成立，即的最小值是4，故答案为：根据题意，分析有，由基本不等式的性质分析可得答案．本题考查基本不等式的性质和应用，注意对的变形，属于基础题．9.【答案】12【解析】解：由已知中甲组数据：43，51，56，64，；的中位数为56，故乙组数据：45，53，，59，67；的中位数也为65，即，将，代入乙组可得乙组数据的平均数为：56，这两组数据的平均值也相等，故，所以：；故答案为：由已知有中这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，可得x，y的值．本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了中位数与平均数的应用问题，是基础性题目．10.【答案】1【解析】解：由，b，且，得，，根据新定义，得故答案为：根据条件得出a，b与c的大小关系，进而根据新定义把式子转化为对数的运算，再按照对数运算性质求值．本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．11.【答案】【解析】解：设：，：，则的几何意义为点到，的距离之和的5倍，记点到，的距离之和的5倍为d，由圆的方程知：圆心，半径，圆心O到直线，的距离均为，在，所成角的角平分线上，由得：，，所成角的角平分线方程为：；过P分别作，的垂线，垂足为M，N，且其中一条垂线与交于点Q，由对称性不妨设PN与交于Q，作，垂足为G，连接MQ，如下图所示，当且仅当M，P，Q共线时取等号，又当且仅当时取等号，，又，，即点P到直线，的距离之和大于等于点Q到，的距离之和，则当P位于图中点时，点P到直线，的距离之和取得最小值；过作，，垂足分别为T，S，作，交于点H，作，垂足为D，如下图所示，四边形TMPH为矩形，，又当且仅当H，P重合于处取等号，，又当且仅当时取等号，，又当且仅当H，，S三点共线时取等号，，则当P位于图中时，点P到直线，的距离之和取得最大值；由得：或，即，，，，的取值范围为故答案为：将问题转化为求解点到：，：的距离之和的5倍的取值范围的求解，根据O在两直线所成角的角平分线上，利用三角形三边关系可证得圆上点到两直线距离之和大于等于对应的角平分线上的点到两直线的距离之和，由此可确定最值点，结合点到直线距离公式即可求得结果．本题考查了直线与圆的位置关系，考查数形结合的思想应用，属于中档题．12.【答案】【解析】解：设D为BC的中点，E为AD的中点，如图所示，则，在正三角形ABC中，，所以，所以，因为，所以，所以的最小值为：故答案为：利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为，再利用三角形的几何意义求解即可．本题主要考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．13.【答案】D【解析】解：三点共线则不能确定一个平面，A错误；点在直线上则不能确定一个平面，B错误；若两线直线为异面直线，则不能确定一个平面，C错误；梯形的两条腰所在的直线在梯形所在的面上，可以确定一个平面，D正确．故选：三个不共线的点或者两条共面直线可确定一个平面，由此判断即可．本题考查异面直线的相关知识，属于基础题．14.【答案】A【解析】解：由可得：或，解得：或，所以，又因为，所以，所以，是方程的两个根，所以有，解得，故选：先求出集合A，然后利用，且求出集合B，又因为，解出p和q的值即可．本题考查集合间的运算，属于基础题．15.【答案】B【解析】解：设，，与均为R上的单调增函数，也为R上的单调增函数，又，为R上的奇函数，可化为：，，又为R上的奇函数，，又为R上的单调增函数，，，解得或，实数a的取值范围是故选：构造函数，，易证为R上的单调增函数，且也为R上的奇函数，再利用的奇函数性质与单调性即可化简抽象不等式，最后再解一元二次不等式即可求解．本题考查构造函数并利用函数的奇偶性与单调性解抽象不等式，属中档题．16.【答案】C【解析】解：由公式：，则，即，且当时，，当时，，由公式，则显然，故①正确，②错误；当时，，即，，故③正确，④错误；由公式，则，显然，故⑤正确．故选：根据题目中的公式，结合复数乘方的运算，可得答案．本题主要考查了复数的运算，属于中档题．17.【答案】解：因为，由正弦定理得：，由余弦定理得，又，所以；由正弦定理得，则，又，所以，则锐角中，有，所以，所以，因为，所以，则，所以，故的最大值为【解析】根据正弦定理与余项定理化简已知即可得角A的大小；由正弦定理边化角，结合正弦型函数的性质，即可得的最大值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：由题意可得多面体是由棱长为1的正方体截去一个正三棱锥剩余的部分，则该几何体的体积为：；如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，设，则，，若，则，即，解得，所以存在点H，使得；，设平面BEF的法向量为，则有，可取，则，所以BD与平面BEF所成角的正弦值为，所以BD与平面BEF所成角的大小为【解析】由题意可得多面体是由棱长为1的正方体截去一个角剩余的部分，再根据正方体和棱锥的体积公式能求出结果；以点D为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法求出，即可得证；利用向量法求解即可．本题考查正方体和棱锥的体积公式、线面的定义及求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】证明：，，又，是以4为首项，公比为5的等比数列，，，，，，而满足上式，所以由得，，当时，，当时，，，，，，，，【解析】由，整理出，即可证明；再得出的通项公式，用累加法即可得出的通项公式；由得，再得出，即，求出的通项公式，结合新定义，即可得出答案．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．20.【答案】解：依题意，且，解得，故椭圆方程为：由椭圆E：，知右顶点为，，，，设，，当，即时，时取最小值，由题意可得，解得，当时，即时，时取最小值，最小值为10，不符合题意，故a的值为4；设直线l：，，，则，，故，故，由，可得，故，整理得到，又，，故，故或，此时均满足若，则直线l：，此时直线恒过，与题设矛盾，若，则直线l：，此时直线恒过，而为椭圆的左焦点，设为，故的周长为【解析】由题设可得基本量的方程组，求出其解后可得椭圆的方程；求得椭圆右焦点，表示抛物线方程，设，，分类讨论可求a；设直线l：，由题设条件可证明该直线过定点，根据椭圆的定义可求周长．本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属中档题．21.【答案】解：因为，所以，定义域为：则，因为，所以或，，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以0是的极大值点，2是的极小值点．当时，，所以，又因为，所以，，令，，，所以在上单调递增，所以，所以证明：因为，所以，则，设切点为，则，，则切线方程为，即：，将点代入切线方程得：，即：，令，则，或，，所以在，上单调递增，在上单调递减，当时，有极大值为，当时，有极小值为，又因为，，所以，所以与有三个不同的交点．即：方程有三个不同的根．所以且时，经过点作曲线的切线，则切线有三条．【解析】运用导数研究单调性进而求得极值点；分离参数得，，运用导数求最值即可；设出切点坐标及切线方程，根据已知条件可得，进而将问题转化为研究与交点个数即可．本题考查了函数的单调性，极值点，最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查转化思想，是难题．。

模拟卷一、选择题1.已知集合A={2,3}，B={3,5}，那么A∩B=A. {2}B. {3}C. {5}D.{2,5}2.某学校街舞社团共有26名学生，若这26名学生组成的集合记为M，该社团内的16名男生组成的集合记为N，则下列Venn图能正确表示集合M与集合N之间关系的是AB C D3.如果用红外体温计测量体温，显示的读数为36.2℃，已知该体温计测量精度为±0.3℃，表示其真实体温x(℃)的范围为35.9≤x≤36.5，则该体温范围可用绝对值不等式表示为A. |x-36.2|≤0.3B. |x-36.2|≥0.3C. |x-0.3|≤36.2D. |x-0.3|≥36.24.右图是2016年11月27日上海市徐家汇地区6-18时的气温变化图，则该地区当日在该时段内的最高气温可能是A. 6℃B. 7.5℃C. 10℃D. 12.5℃5.在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若其终边经过点P(1,)，则tanα=A. /3B. 1/2C. /2D.6.下图所示的正三棱柱的表面展开图可以为AB. C. D.二、填空题7.过点A(1,5)且与直线y=3x+1平行的直线方程为。

8.已知直角坐标平面内的A、B两点的坐标分别为A(2,1)，B(3,2)，那么向量= 。

9.某餐厅提供39元下午茶套餐，此套餐可从7款茶点和6款饮料（含3款热饮）中任选一款茶点和一款饮料，则所选套餐中含热饮的概率为。

10.如图所示，A、B两地之间有一座山（阴影部分），在A、B两地之间规划建设一条笔直的公路（挖隧道穿过山林），测量员测得AC=3500m，BC=3390m，∠C=24.9°，则AB= 。

11.某市居民使用天然气的阶梯价格表如下表所示若用右图所示的流程框图表示该市居民一年缴纳的天然气费用y(元)与年使用量x(立方米)之间的关系，则图中①处应填。

12.计算：lg2+lg5= 。

三校生数学模拟试卷十标题：三校生数学模拟试卷十及其解析一、试卷概述本次三校生数学模拟试卷十是一份全真模拟试题，旨在帮助同学们在备战高考的同时，全面提升数学应用能力。

试卷整体难度适中，但在某些题目的解答上需要一定的思维深度和知识储备。

试卷包含选择题、填空题和解答题等各类题型，考察范围涵盖了高中数学的主要知识点。

二、试题解析1.选择题第1题：考察实数的概念和运算，正确答案为C。

解题关键在于理解并掌握实数的定义和基本运算规则。

2.选择题第5题：考察三角函数的应用，正确答案为D。

解题关键在于熟练掌握三角函数的性质和图像，并能够灵活运用。

3.填空题第10题：考察平面几何的知识，正确答案为根号3。

解题关键在于理解并掌握勾股定理的应用。

4.解答题第20题：考察二重积分的计算，正确答案为2π。

解题关键在于掌握二重积分的计算方法，并能够准确计算。

三、解题技巧1.对于选择题，可以采用排除法、逆推法等技巧，以节约解题时间。

2.对于填空题，要注重计算的准确性和规范性，避免因为粗心大意而失分。

3.对于解答题，要注意步骤的完整性和条理性，不要跳步或漏步，以免在评分中失分。

四、总结通过本次模拟试卷的练习，同学们可以对自己的数学应用能力进行全面的评估和提升。

同时，也要注意针对自己的薄弱环节进行针对性的强化训练，以备战即将到来的高考。

在解题过程中，要注重思路的开阔和方法的灵活运用，不断提高自己的数学思维能力和解决问题的能力。

五、启示与反思通过完成这份模拟试卷，我们应该得到以下启示与反思：1.夯实基础，巩固知识体系：高中数学的知识点繁多，我们需要在对各个知识点充分理解的基础上，构建起完整的知识框架。

只有打好基础，才能在解题时灵活运用，游刃有余。

2.提高计算能力和解题速度：在考试中，不仅要求我们能够正确解题，还需要我们有足够的计算速度。

在平时的训练中，我们要注重练习计算的准确性和速度。

3.掌握解题方法与技巧：高中数学中存在许多特定的解题方法和技巧，如排除法、逆推法等。

上海市虹口区2019-2020学年高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(3sin ,2)a x =-r ，(1,cos )b x =r ，当a b ⊥r r 时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1213-B ．1213C ．613-D ．613【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，求出tan x ，22tan cos 22tan 1x x x π⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭，即可求解. 【详解】a b⊥Q r r ，23sin 2cos 0,tan 3a b x x x ⋅=-=∴=r r 222sin cos cos 2sin 22sin cos x x x x x x π⎛⎫∴+=-=- ⎪+⎝⎭22tan 12tan 113x x =-=-+.故选:A. 【点睛】本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题. 2．下列函数中，图象关于y 轴对称的为（ ）A ．()f x =B ．)(f x =，[]1,2x ∈-C ．si 8)n (f x x =D ．2()x xe ef x x-+= 【答案】D 【解析】 【分析】图象关于y 轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解. 【详解】图象关于y 轴对称的函数为偶函数； A 中，x ∈R ，()()f x f x -==-，故()f x =B 中，727)2(f x x x =++-的定义域为[]1,2-，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；C 中，由正弦函数性质可知，si 8)n (f x x =为奇函数；D 中，x ∈R 且0x ≠，2((()))x x e f f e x x x -+==--，故2()x xe ef x x-+=为偶函数. 故选：D. 【点睛】本题考查判断函数奇偶性. 判断函数奇偶性的两种方法:(1)定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x 都有()=()f x f x --，则函数()f x 是奇函数；都有()=()f x f x -，则函数()f x 是偶函数(2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y 轴)对称．3．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF=22，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE,BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】 【分析】A ．通过线面的垂直关系可证真假；B ．根据线面平行可证真假；C ．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D ．根据列举特殊情况可证真假. 【详解】A ．因为11,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=I ，所以AC ⊥平面11BDDB ， 又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，故正确；B ．因为11//D B DB ，所以//EF DB ，且EF ⊂/平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD ，故正确；C ．因为11224BEF S EF BB =⨯⨯=V为定值，A 到平面11BDD B 的距离为1222h AC ==， 所以11312A BEF BEF V S h -=⋅⋅=V 为定值，故正确； D ．当1111AC B D E =I ，AC BD G ⋂=，取F 为1B ，如下图所示：因为//BF EG ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且222tan 12AG AEG GE ∠===， 当1111AC B D F =I ，AC BD G ⋂=，取E 为1D ，如下图所示：因为11//,D F GB D F GB =，所以四边形1D GBF 是平行四边形，所以1//BF D G ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且2232tan 212AGAEG GE∠===⎛⎫+ ⎪⎝⎭由此可知：异面直线,AE BF 所成角不是定值，故错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.4．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】根据复数运算，求得z ，再求其对应点即可判断. 【详解】51212z i i==-+Q ，故其对应点的坐标为()1,2-. 其位于第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题.5．函数f(x)＝21xx e-的图象大致为() A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值(2)f 可区分剩余两个选项. 【详解】因为f(－x)＝21x x e--≠f(x)知f(x)的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C.又f(2)＝214e -＝－23e <0.排除A ，故选D. 【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.6．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B化简复数为a bi +的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案. 【详解】Q211(1)(1)22i i i ii i i i+++==---⋅111222i i -+==-+ ∴对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.7．已知向量()1,2a =r ，()2,2b =-r ，(),1c λ=-r，若()//2c a b +r r r ，则λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．12-D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据向量坐标运算求得2a b +rr，由平行关系构造方程可求得结果. 【详解】()1,2a =r Q ，()2,2b =-r ()24,2a b ∴+=rr ()//2c a b +rr r Q 24λ∴=-，解得：2λ=-故选：A 【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则12210x y x y -=.8．已知集合{|A x y ==，2{|}10B x x x =-+≤，则A B I =( )A ．[12]-， B ．[1-C ．(1-D ．⎡⎣【答案】C 【解析】 【分析】计算A ⎡=⎣，(]1,2B =-，再计算交集得到答案.【详解】{|A x y ⎡==⎣=，(]2{|},1012x x B x -=-+=≤，故1(A B -=I . 故选：C . 【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.9．已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】B 【解析】 【分析】先分别判断命题,p q 真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论. 【详解】p 为真命题；命题q 是假命题，比如当0a b >>,或=12a b =-，时，则22a b > 不成立. 则p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ⌝∨均为假. 故选:B 【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题. 10．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=（ ）A ．35B ．35C ．35D ．35【答案】B 【解析】分析：首先利用同角三角函数关系式，结合题中所给的角的范围，求得cos α的值，之后借助于倍角公式，将待求的式子转化为关于cos α的式子，代入从而求得结果. 详解：根据题中的条件，可得α为锐角，根据tan 2α=，可求得cos α=，而223cos 2cos 2cos cos 11555αααα+=+-=+-=，故选B. 点睛：该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用，在解题的过程中，需要对已知真切求余弦的方法要明确，可以应用同角三角函数关系式求解，也可以结合三角函数的定义式求解.11．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数λ=( )A B ．C D 【答案】D 【解析】 【分析】将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u ur 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 中计算即可.【详解】由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，知O 为ABC ∆的重心，所以211()323AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，所以23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u ur u u u r2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC=u u u r u u u r ，||||AB AC λ===u u u ru u u r . 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.12．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A ．17种 B ．27种C ．37种D ．47种【答案】C 【解析】 【分析】由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解. 【详解】所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3327=种,所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种, 故选:C 【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市南洋模范中学2021届高三数学下学期3月月考试题（含解析）一、填空题。

1.已知全集，若集合，则_________.【答案】【解析】【分析】求出集合A，即可求解∁U A【详解】全集U＝R，集合A＝{x|x＞1或x<0}则＝故答案为【点睛】本题考查集合的基本运算，补集的求法，分式不等式解法，准确计算是关键，是基础题．2.双曲线的焦距为__________.【答案】6【解析】【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，可得焦距2c的值．【详解】双曲线2x2﹣y2＝6即为1，可得a，b，c3，即焦距为2c＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，焦距的求法，注意将双曲线的方程化为标准方程，运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．3.已知二项展开式中的第五项系数为，则正实数_____.【答案】【解析】【分析】由二项式定理的通项公式可得：，解出即可得出．【详解】T5x﹣2，∴，a＞0．解得a．故答案为：．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，准确计算是关键，属于基础题．4.已知函数的图像与它的反函数的图像重合，则实数的值为___.【答案】-3【解析】【分析】先求反函数：y，利用函数f（x）（a）图象与它的反函数图象重合，即为同一个函数即可得出．【详解】由y（a），解得x（y≠3），把x与y互换可得：y，∵函数f（x）（a）图象与它的反函数图象重合，∴﹣a＝3，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题考查了反函数的求法及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.设，满足约束条件，则目标函数的最大值为_____.【答案】14【解析】【分析】画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.6.从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为_____.【答案】【解析】【分析】将试验发生包含的事件（k，b）的所有可能的结果列举，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【详解】试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，∴直线不过第三象限的概率P，故答案为．【点睛】本题考查古典概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于基础题．7.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的周长为___.【答案】24【解析】【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|＝10，再由3|PF1|＝4|PF2|，运用双曲线的定义，求出|PF1|＝8，|PF2|＝6，由此能求出△PF1F2的周长．【详解】双曲线x21的a＝1，c5，两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），即|F1F2|＝10，由3|PF1|＝4|PF2|，设|PF2|＝x，则|PF1|x，由双曲线的定义知，x﹣x＝2，解得x＝6．∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝8+6+10＝24．故答案为：24．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，熟练运用定义是关键，属于基础题．8.已知四面体中，，，分别为，的中点，且异面直线与所成的角为，则____.【答案】1或【解析】【分析】取BD中点O，连结EO、FO，推导出EO＝FO＝1，，或，由此能求出EF．【详解】取BD中点O，连结EO、FO，∵四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，∴EO∥CD，且EO，FO∥AB，且FO1，∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角或其补角，∴，或，当∠EOF时，△EOF是等边三角形，∴EF＝1．当时，EF．故答案为：1或．【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时，不等式的解集为____.【答案】【解析】【分析】由奇函数的性质可得x＞0时的解析式，再解不等式即可．【详解】∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）＝x2﹣6，由奇函数可得f（x）＝﹣x2+6，∴不等式f（x）＜x可化为，解得x＞2∴x＞0时，不等式f（x）＜x的解集为：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）【点睛】本题考查函数的奇偶性，涉及不等式的解法，熟记奇函数得定义是关键，属基础题．10.关于的方程在上的解的个数是____.【答案】7【解析】【分析】化简y=从而作函数的图像，从而可解【详解】化简y=,作函数在上的图像如下：结合图像可知，两个图像共有7 个交点故答案为7【点睛】本题考查函数与方程，函数的性质，三角函数，准确作图是关键，是中档题11.任意实数，，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，，则____.【答案】4【解析】【分析】f（x）＝，及其数列{a n}是公比大于0的等比数列，且＝1，对公比q分类讨论，再利用对数的运算性质即可得出．【详解】由题，∵数列{a n}是公比大于0的等比数列，且，①1＜q时，，，…，∈（0，1），，，∈（1，+∞），1．∴，分别为：，，…，，1，q，…，q4．∵∴0++…+＝，∴q4q q2．∴2．左边小于0，右边大于0，不成立，舍去．②0＜q＜1时，1，∴，分别为：，，…，，1，q，…，q4，，，…，∈（1，+∞），，，∈（0，1），∵∴log2q2．∴2．∴4，∴a1＝4．③q＝1时，＝…＝＝…＝＝1，不满足舍去．综上可得：＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数的运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．12.以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，，，是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角，使，（0为坐标原点）则直线，的斜率乘积为___.【答案】或-2【解析】【分析】设椭圆方程为，A（，），B（，），从而得到的坐标表示，然后，再根据M点在该椭圆上，建立关系式，结合A、B点在也该椭圆上，得到，，从而得到相应的结果，同理当椭圆方程为可得答案【详解】由题意可设椭圆方程为，又设A（，），B（，），因为M点在该椭圆上，∴，则又因为A、B点在也该椭圆上，∴，∴，即直线OA、OB的斜率乘积为，同理当椭圆方程为时直线OA、OB的斜率乘积为﹣2．故答案为：或﹣2．【点睛】本题重点考查椭圆综合，平面向量的坐标运算，注意审题仔细，要注意分类讨论椭圆的焦点位置，属于难题．二、选择题。

三校生数学模拟试卷十正确答案是：A.第一项加最后一项等于常数。

在等差数列中，第一项（a1）和最后一项（an）的和是一个常数，即a1 + an = n(n+1)/2。

因此，选项A是正确的。

下列哪个函数在区间(0, ∞)上是单调递增的？正确答案是：C. y = 2^x - 1。

函数y = 2^x - 1在区间(0, ∞)上是单调递增的，因为指数函数2^x 在区间(0, ∞)上是单调递增的。

若三条直线交于一点，则共有________条不同的交点。

因为三条直线两两相交，所以共有3个不同的交点。

根据求导法则，可以得到y' = 3x^2 + 2。

y = x^2 - 4x + 1，x∈(-∞,4)因为函数y = x^2 - 4x + 1在区间(-∞,4)内是单调递减的，而且导数始终大于等于0，没有导数为0的点，所以函数在区间(-∞,4)内没有极值。

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）下列各点在函数y = x + 1的图像上的是（）已知向量a = (1,2)，向量b = ( - 3,4)，那么向量a与向量b的夹角为（）A. log(2)3 = 2log(3)2B. log(2)8 = 3log(3)27已知数列{ a }是等差数列，数列的前n项和为S，若S[k] =，则S[k+1]等于（）C.(x - 1)^2 + x + 1 = 0D.(x + 1)^2 - x - 1 = 0下列函数中，在区间(0, + )上是增函数的是（）D.y = e^x20个小朋友排队报数，单数报1，双数报2，一共报了多少个数？下面的图形中，由一个正方形和一个长方形组成的是（）。

小华做了10个玩具，送给小明（）个，自己还剩（）个。

A、7，3B、8，2C、9，1D、10，034＋29＝ 47＋28＝ 63＋57＝ 90－45＝81－34＝ 93－56＝ 45＋38＝ 70－25＝（2）被减数是75，减数是48，差是多少？（3）一个加数是36，另一个加数是44，和是多少？在一幅地图上，用2厘米表示实际距离80千米，这幅地图的比例尺是________。

上海市部分普通高校专科层次依法自主招生考试入学测试（七）数学和生命科学部分（本试卷满分150分，考试时间90分钟。

数学部分40分，生命科学部分35分） ．由下边的统计图不能得出的信息是( )。

B ．全年旅游旺季D ．什么人喜欢旅游23．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是( )。

A ．3.5mB ．4mC ．4.5mD ．4.6m24．要了解一批电视机的使用寿命，从中任意抽取30台电视机进行试验，在这个问题中，30是( )。

A ．个体B ．总体C ．样本容量D ．总体的一个样本25．在下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC 经过旋转或平移得到的是( )。

26．在O 上有顺次三点A 、B 、C ，若AB BC CA ==，那么△ABC 是( )。

A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形27．若点A 的坐标为(6，3)，O 为坐标原点，将OA 绕点O 按顺时针方向旋转90︒得到OA'，则点A'的坐标为( )。

A ．(3,6)-B ．(6,3)-C ．(3,6)--D ．(3,6)28．天气预报说明天我市出现大雾的概率为80%，提醒高速公路做好关闭的准备，对于这80%，下列理辩正确的是( )。

A ．全市高速公路将关闭19小时左右B ．全市80%的高速公路要关闭C ．全市高速公路可开放5小时左右D ．全市高速公路很可能要关闭一段时间29．口袋星只有大小相同的3个红球和7个黄球，每次任意摸出1个球（摸出后再放回），摸到红球的可能性是( )。

A ．12 B ．37C ．710D ．310 30．图中阴影部分的面积是( )。

B ．187D ．178. 86．黑白围棋子，从中取走了白子15粒，余下的黑子数与白子数之比为粒，余下的黑子数与白子数之比为1：5，那么这堆围棋子原来有 B ．40C ．90D ．7535．有一位商人手上有9枚银元，其中有一枚是较轻的假银元，若不使用砝码，用天平最少称几次将假银元找出来( )。

华师大一附中2023届高三年级三模考试数学试卷一､填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 已知集合，则_________．{}21,1,0,1,21x A x B x ⎧⎫=≥=-⎨⎬-⎩⎭A B = 【答案】 {1,2}-【解析】【分析】解分式不等式得到集合，求交集即可. {}11A x x x =≤->或【详解】对于集合，解不等式， 211x A xx ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭211xx ≥-所以，即，等价于， 2101x x -≥-101x x +≥-()()11010x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩解得或，所以，1x ≤-1x >{}11A x x x =≤->或，则.{}1,0,1,2B =-{}1,2A B =- 故答案为：.{}1,2-2. 若复数满足，则________． z 20z z+=z = 【解析】【分析】设，，依题意可得，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的i z a b =+,R a b ∈220z +=充要条件得到方程，即可求出、的值，从而求出其模. a b 【详解】设，，由，所以， i z a b =+,R a b ∈20z z+=220z +=即，所以，()2i 20a b ++=222i 20a b ab -++=所以，所以，则.22220a b ab⎧-=-⎨=⎩0ab =⎧⎪⎨=⎪⎩==z3. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为x y +_______．【答案】13 【解析】 【分析】根据平均数的算法，可得，将乙班的学生成绩按从小到大的顺序排好序，以及中位数的概念，可得结x 果.【详解】观察茎叶图，甲班学生成绩的平均分是，故； 868x =乙班学生成绩的中位数是，故. 835y =∴． 13x y +=故答案为：13【点睛】本题主要根据茎叶图计算中位数与平均数，属基础题.4. 已知若向量在向量，则实数_______．(2,1),(4,),a b m =--=- b am=【答案】3 【解析】【分析】根据数量投影公式，代入求值.【详解】由条件可知，向量在向量方向上的数量投影为， b a a b b⋅==解得：. 3m =故答案为：35. 已知等比数列中，若成等差数列，则______． {}n a 0n a >13214,,32a a a 2021202320202022a a a a -=-【答案】4 【解析】【分析】由已知可得，观察所求分式即可得． 4q =【详解】设等比数列的公比为，因为， 成等差数列， {}n a q 1314,2a a 23a 所以，所以，且，12343a a a +=211143a a q a q +=10a ≠所以，解得或，2340q q --=4q =1q =-为保证有意义，则，所以，2021202320202022a a a a --21q ≠4q =所以． ()202020222021202320202022202020224q a a a a q a a a a --===--故答案为：4．6. （n 为正整数）的二项展开式中，若第三项与第五项的系数相等，则展开式中的常数项为1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭______． 【答案】20 【解析】【分析】根据第三项与第五项的系数相等，建立方程求出，然后进行计算即可． 6n =【详解】第三项与第五项的系数相等，，得，∴24C C n n =246n =+=则的展开式中的常数项为．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭36C 20=故答案为：20． 7. 已知，则的最小值为___________. 11,0,4x y x y >>+=11y x +-【答案】 43【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，所以， 11,0,4x y x y >>+=110,0,13x y x y->>-+=故()()11111112113131y x y x y x y x x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++=+-+⎢⎥ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎣⎦，14233⎡≥+=⎢⎢⎣当且仅当且，即时，等号成立， ()()111x y x y -=-14x y +=52,23x y ==所以，则的最小值为.1413y x +≥-11y x +-43故答案为：. 438. 已知是抛物线的焦点，P 是抛物线C 上一动点，Q 是曲线上F 2:4C y x =2282160x y x y +--+=一动点，则的最小值为_______． PF PQ +【答案】 4【解析】【分析】根据题意，过点作，垂足为，过点，垂足为，根据抛物线的定义，转化为P PA l ⊥A M 1A ，结合图象，得到，当且仅当在一条直线上时，的1PF PQ PA PM +=+-111,,,M P Q A PF PQ +最小值，即可求解.【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，准线方程为，2:4C y x =(1,0)F :1l x =-又由曲线，可化为，2282160x y x y +--+=-+-=22(4)(1)1x y 可得圆心坐标为，半径，(4,1)M 1r =过点作，垂足为，过点作，垂足为，交抛物线于，如图所示， P PA l ⊥A M 1MA l ⊥1A 1P 根据抛物线的定义，可得，1PF PQ PA PM +=+-要使得取得最小值，只需使得点与重合，此时与重合，PA PM +P 1P A 1A 即，当且仅当在一条直线上时， 1115PA PM P A PM +≥+=111,,,M P Q A 所以的最小值为. PF PQ +514-=故答案为：.49. 若关于x 的不等式的解集，则实数的取值范围是__________． 24x a x x ++-≤-[]1,2A ⊇a 【答案】 [3,0]-【解析】【分析】不等式转换为对任意的，都有不等式恒成立，则按照绝对值不等[]1,2x ∈24x a x x ++-≤-式即可求得实数的取值范围.a 【详解】关于x 的不等式的解集，则对任意的，都有不等式24x a x x ++-≤-[]1,2A ⊇[]1,2x ∈恒成立24x a x x ++-≤-此时，故原不等式化为，故，20,40x x -≤-≤24x a x x ++-≤-2x a +≤则对任意的成立，故实数的取值范围是. 22x a -≤+≤[]1,2x ∈a [3,0]-故答案为：.[3,0]-10. 已知平面向量满足，则的取值范围是__________．,,a b e1,1,4a e b e a b ⋅=⋅=--= a b - 【答案】(-【解析】【分析】不妨设，则，得到，结合绝对值三角不等式，即()1,0e = ()()1,,1,a x b y ==-x y -=可求解.【详解】不妨设，则，()1,0e = ()()1,,1,a x b y ==-由，可得， 4a b -=x y -=则，|||a -|||yx y -≤-=所以的取值范围是.a b -(-故答案为：.(-11. 已知函数点M ､N 是函数图象上不同的两个点，则（为坐1e 1,0()0x x x f x x -⎧+≥⎪=<()f x tan MON ∠O 标原点）的取值范围是_________． 【答案】 (0,3)【解析】【分析】根据给定的条件，求出过原点与曲线相切的切线斜率，曲线的(),0y f x x =≥(),0y f x x =<渐近线，再确定的范围，进而求出的范围作答. MON ∠tan MON ∠【详解】当时，，求导得，即函数在上单调递0x ≥1()e 1x f x x -=+1()(1)e 0x f x x -'=+>()f x [0,)+∞增，当时，由，得，于是函数的图0x <y =221(0,1)y x x y -=<>(),0y f x x =<象是焦点在y 轴上的双曲线在第二象限的部分，是其渐近线，如图，y x =-令过原点的直线与曲线相切的切点为，则，(),0y f x x =≥0100(,e 1)x x x -+0011000e 1(1)ex x x x x --++=整理得，令，，函数在上单调递0120e 1x x -=21()e ,0x g x x x -=>21()(+2)e 0x g x x x -'=>()g x (0,)+∞增，而，因此当且仅当时，，则的解为，(1)1g =1x =()1g x =01200e1(0)x x x -=≥01x =即过原点的直线与曲线相切的切点为，切线方程为，设其倾斜角为，有(),0y f x x =≥(1,2)2y x =α，tan 2α=因为点M 、N 是函数图象上不同的两个点，则， ()f x 3ππ042MON α<∠<-<而正切函数在上单调递增，因此， tan y x =π(0,23π0tan tan()4MON α<∠<-又， 3πtantan 3π124tan()33π41(1)21tan tan 4ααα----===+-⨯+所以的取值范围是. tan MON ∠(0,3)故答案为：(0,3)12. 若存在实数及正整数，使得在区间内恰有个零点，则所有满a n ()cos 2sin f x x a x =-(0,π)n 2022足条件的正整数的值共有_________个． n 【答案】 5【解析】【分析】利用换元思想将问题转化为方程在实数范围内一定有两个异号的根，根据方程与2210t at +-=函数的应用进行讨论分析. 【详解】由题意知，，()2cos 2sin 2sin sin 1f x x a x x a x =-=--+令，，此时，()0f x =sin t x =2210t at +-=而，，， 280a ∆=+>1212t t =-122a t t +=-则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根， 当时，，21t <-101t <<一个周期内有两个零点，则或； 2π2022n =2021n =当时，， 21t =-112t =一个周期内有三个零点，则需要个周期， 2π20226743=即；67421348n =⨯=当时，此时，解得， 210t -<<210a -->1a <若，此时， 11a -<<101t <<则一个周期内有四个零点， 2π则需要个周期， 2022150542=+即； 250511011n =⨯+=若，此时，， 1a =-212t =-11t =则一个周期内有三个零点， 2π则需要个周期， 20226743=即； 67421348n =⨯=若，此时， 1a <-11t >一个周期内有两个零点， 2π则或.2022n =2023n =综上所述，这样的正整数有个， n 5分别是. 1011,1348,2021,2022,2023故答案为：5【点睛】关键点睛：本题主要考查函数与方程的应用，利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键，属于中档题.二､选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13. “”是“直线与直线平行”的（ ） 1m =-20x my +-=0x y n -+=A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用两直线平行求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. m 【详解】若直线与直线平行，则且， 20x my +-=0x y n -+=1m =-2n ≠-因为“”“且”， 1m =-⇒1m =-2n ≠-但“”“且”，1m =-⇐1m =-2n ≠-因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件. 1m =-20x my +-=0x y n -+=故选：B.14. 从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比m 大的概率为，若m 为上述数据中的第x 14百分位数，则x 的取值可能为（ ） A. 50 B. 60C. 70D. 80【答案】C 【解析】【分析】先求出，再结合百分位数的定义，即可求解．m 【详解】从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比大的概率为，则， m 147m =为数据2，3，4，5，6，7，8，9的第6个数，m 为上述数据中的第百分位数，，则的取值可能为70．m x 70%8 5.6⨯=x 故选：C ．15. 已知圆锥SO （O 是底面圆的圆心，S ，高为1，P ､Q 为底面圆周上任意两点．有以下三个结论： ①三角形SPQ 面积的最大值为2； ②三棱锥体积的最大值为； O SPQ -23③四面体SOPQ 外接球表面积的最小值为． 9π以上所有正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】首先确定的最大值，再结合三角形面积公式，即可判断①； PSQ ∠利用三棱锥等体积转化，再集合三角形面积公式，即可判断②； 首先表示四面体SOPQ 外接球的半径，再判断有无最值.【详解】①如图，由条件可知，，点是直径的两个端点，4MN ==,M N，所以是钝角，3cos 05MSN ∠==-<MSN ∠，当时，的面积最大，最大值是15sin sin 22SPQ S SP SQ PSQ PSQ =⨯⨯⨯∠=∠ 90PSQ ∠= SPQ 52，故①错误； ②， 1133O SPQ S OPQ OPQ OPQ V V S SO S --==⨯⨯=⨯ ，当时，的最大值是，122sin 2OPQ S POQ =⨯⨯⨯∠ 90POQ ∠= POQ S △2所有三棱锥的最大值是，故②正确； O SPQ -23③设外接圆的半径为，四面体SOPQ 外接球的半径 OPQ △r R =中，根据正弦定理可得， ，得，OPQ △22sin r OPQ =∠1sin r OPQ=∠，所以，则外接球的半径也无最小值，所以四面体SOPQ 外接球表面积无最()0,90OPQ ∠∈ 1r >R 小值，故③错误.故选：B16. 设是两个非零向量的夹角，若对任意实数t ，的最小值为1．命题p ：若确定，则θ,a ba tb + a r θ唯一确定；命题q ：若确定，则唯一确定．下列说法正确的是（ ）θa rA. 命题p 是真命题，命题q 是假命题B. 命题p 是假命题，命题q 是真命题C. 命题p 和命题q 都是真命题D. 命题p 和命题q 都是假命题 【答案】B 【解析】【分析】由向量的最小值为1，分析可得，然后判断命题真假即可.a tb + ()221cos 1a θ-=【详解】因为a tb +=所以当时，取得最小值. 2a b t b ⋅=- a tb + 所以，()22224214a b a b b-⋅= 化简得()221cos 1aθ-= 所以若确定，则唯一确定，若确定，则不唯一.θa r a rθ所以命题p 为假命题，命题q 为真命题. 故选：B.三､解答题（本大题共5题，满分78分）17.已知圆锥的顶点为S ，底面圆心为O ，半径为2，母线SA ､SB 的长为，且M 为线90AOB ∠=︒段AB 的中点．（1）证明：平面SOM 平面SAB ； ⊥（2）求直线SM与平面SOA 所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析（2）arctan 【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直再由面面垂直判定定理证明即可； （2）由线面角定义求线面角求正切再求角即可.【小问1详解】因为为中点，所以， ,AO BO M =AB OM AB ⊥因为平面，平面，SO ⊥AOB AB ⊂AOB 所以，且，平面，平面， SO AB ⊥OM SO O = OM ⊂SOM SO ⊂SOM 所以平面，AB ⊥SOM又因为平面，所以平面平面． AB ⊂SAB SAB ⊥SOM 【小问2详解】设的中点为，连接，则， AO N MN SN ､//MN OB 因为，所以，OA OB ⊥OA MN ⊥因为底面，所以,平面，平面，, SO ⊥AOB SO MN ⊥SO ⊂SOA OA ⊂SOA OA OS O = 所以平面，MN ⊥SOA 所以即是直线与平面所成角．MSN ∠SM SOA因为圆锥的底面半径为2，母线长为，所以高， 2SO =得．1SN MN ==因为， SN MN ⊥所以， tan MN MSN SN ∠==所以． arctanMSN ∠=18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；m（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望； ξξ【答案】（1），中位数；0.012m =68（2）分布列见解析，. 911【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积为1，结合中位数的定义进行求解即可； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式进行求解即可. 【小问1详解】由频率分布直方图的性质可得，， (0.0040.0220.030.0280.004)101m +++++⨯=解得，0.012m =设中位数为， 解得； a ()0.004100.02210600.30.5a ∴⨯+⨯+-⨯=68a =【小问2详解】的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1[)[)[]70,80,80,90,90,100 从中分别抽取7人，3人，1人，∴[)[)[]70,80,80,90,90,100所有可能取值为0，1，2，3，ξ，，， 38311C 56(0)C 165P ξ===2183311C C 28(1)C 55P ξ===1283311C C 8(2)C 55P ξ===33311C 1(3)C 165P ξ===故的分布列为：ξξ0 1 2 3P 56165 2855 855 1165故 ()56288190123.165555516511E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19. 若数列满足（n 为正整数，p 为常数），则称数列为等方差数列，p 为公方{}n a 221n n a a p +-={}n a 差．（1）已知数列的通项公式分别为判断上述两个数列是否为等方差数{}{},n n x y 13,n n n x y -==列，并说明理由；（2）若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，数列满足，且{}n a {}n b 2212,1log ,2n n n a n b a n +=⎧⎪=⎨≥⎪⎩，求正整数m 的值；1238m b b b b ⋅⋅⋅= （3）在（1）､（2）的条件下，若在与之间依次插入数列中的项构成新数列，k y 1k y +{}2n a k {}1:n c y，求数列中前50项的和．222222122334564,,,,,,,,,a y a a y a a a y ⋯⋯{}n c 50T 【答案】（1）数列为等方差数列，数列不是等方差数列，理由见解析；{}n x {}n y （2）40 （3）11522【解析】【分析】（1）根据等方差数列的定义，即可判断；（2）首先求得数列的通项公式，再根据数列的通项公式，结合对数换底公式，{}2n a {}n b 即可求解；（3）首先确定的取值，再根据等比数列和等差数列求和公式，即可求解. k 【小问1详解】因为（常数），2211n n x x +-=所以数列为等方差数列，1为公方差；{}n x 因为， 22222222222221322132318,9372,y y y y y y y y -=-=-=-=-≠-所以数列不是等方差数列． {}n y 【小问2详解】由题意得，，()2222112,1,11221n n n a a a a n n +-===+-⋅=-显然()()123357212,2log 5log 7log 9log 21m m m b b b b m -≥⋅⋅=⋅⋅⋅⋅+ ，解得． ()()()3lg 21lg5lg7lg922log 218lg3lg5lg7lg 21m m m +=⋅⋅⋅⋅=+=- 40m =【小问3详解】由题意得：新数列中，（含） {}n c 1k y +1k y +前共有：项，由，得，()()()()1212312k k k k ++++++++=()()12502k k ++≤8k ≤所以新数列中的前50项含有数列的前9项，含有数列的前41项，{}n c {}n y {}2n a 即()9501134140411211522.132T ⨯-⨯=+⨯+⨯=-20. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为，短轴长为12（1）求椭圆C 的标准方程（2）直线与椭圆C 交于P 、Q 两点，A ，B 是椭圆C 上位于直线PQ 两侧的动点，且直线AB 的斜2x =率为12①求四边形APBQ 的面积的最大值②设直线PA 的斜率为，直线PB 的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由.1k 2k 12k k +【答案】（1）；（2）①，②是常数，理由见解析．2211612x y +=【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为，由题可得，再结合，即C ()222210x y a b a b+=>>122c b a ==222a b c =+可求得,从而求得椭圆的标准方程；,a b C （2）①设点、，联立，整理得：，四边形()11,A x y ()22,B x y 221211612y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22120x tx t ++-=的面，而易求，代入韦达定理即可求得的表达式，从而求得的最APBQ 1212S PQ x x =⨯⨯-PQ S S 大值；②直线的斜率，直线的斜率，代入韦达定理化简整理可得的值为PA 11132y k x -=-PB 22232y k x -=-12k k +常数．0【详解】（1）设椭圆的方程为．C ()222210x y a b a b+=>>由题意可得，解得222212b c a a b c⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程为；C 2211612x y +=（2）①由（1）可求得点、的坐标为，，则， P Q ()2,3P ()2,3Q -6PQ =设直线的方程为，设点、， AB 12yx t =+()11,A x y ()22,B x y联立，整理得：， 221211612y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22120x tx t ++-=由，可得.()2224124830t t t ∆=--=->44t -<<由韦达定理知：，，12x x t +=-21212x x t =-四边形的面积，APBQ1212116322S PQ x x x x =⨯⨯-=⨯⨯-==故当时，0=t max S =②由题意知，直线的斜率，直线的斜率， PA 11132y k x -=-PB 22232y k x -=-则 1212121212113333222222x t x t y y k k x x x x +-+---+=+=+---- ()()()()()12121212121211222224222211222224x t x t t x x t t x x x x x x x x -+--+--+---=+=++=+-----++.()()222242811110122428t t t t t t t t -----+=+=+=-=-+++-所以的值为常数．12k k +0【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，及椭圆中最值，定值问题,圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略：(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 21. 已知函数（､）． ()(1)x x f x ae be a x -=--+a R b ∈（1）当a =2，b =0时，求函数图象过点的切线方程；(0,(0))f （2）当b =1时，既存在极大值，又存在极小值，求实数a 的取值范围；()f x （3）当，b =1时，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数k (0,1)a ∈12,x x ()f x ()()120f x kf x +>的取值范围．【答案】（1）20x y +-=（2）()()0,11,+∞ （3）(],1-∞-【解析】【分析】（1）利用导数求函数在某一点的切线方程即可； （2）利用导数分析函数的单调性，极值求参数的取值范围即可.（3）利用导数分析的极值，从而求得恒成立求参数k 的取值范围，然后构造()f x ()()120f x kf x +>函数利用导数分类讨论求解即可. 【小问1详解】当时，，2,0a b ==()()23,23xxf x e x f x e '=-=-()()01,02f f =-='所以切线方程为，即为．()20y x -=--20x y +-=【小问2详解】，()()()()()2x e 1e 1e 1e 1e e 1e e xx x x x xxa a a f x a a -'---++=+-+==一方面，因为函数既存在极大值，又存在极小值， ()f x 则必有两个不等的实根，则，()0f x '=0a >由可得，且，解得且； ()0f x '=120,ln x x a ==-ln 0a -≠0a >1a ≠另一方面，当且时，不妨考虑的情形，列表如下：0a >1a ≠12x x <x ()1,x -∞1x ()20,x2x ()2,x +∞ ()f x '+-+()f x极大值极小值可知分别在取得极大值和极小值，符合题意． ()f x 12x x x x ==､综上，实数的取值范围是． a ()()0,11,+∞ 【小问3详解】由，可得，列表如下：()0,1a ∈ln 0a ->x(),0∞-0()0,ln a -ln a -()ln ,-+∞a ()f x '+0 -+()f x极大值极小值所以在取得极大值；()f x 10x =()11f x a =-在取得极小值，()f x 2ln x a =-()()211ln f x a a a =-++由题意可得对任意的恒成立， ()111ln 0a k a a a -+-++>⎡⎤⎣⎦()0,1a ∈由于此时，则， ()()210f x f x <<0k <所以，则， ()()()1ln 11k a a k a +>--11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅⎪+⎝⎭构造函数，其中， ()11ln 11x g x x k x -⎛⎫=--⋅⎪+⎝⎭01x <<则， ()2222212(1)2111121(1)(1)(1)x x x x k k g x x k x x x x x ⎛⎫+'--++ ⎪⎛⎫⎝⎭=--⋅== ⎪+++⎝⎭令，则． 2210x x k ++=()222414Δ4k k k-=-=①当，即时，在上是严格增函数， Δ0≤1k ≤-()()0,g x g x '≥()0,1所以，即，符合题意； ()()10g x g <=11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅⎪+⎝⎭②当，即时，设方程的两根分别为， Δ0>10k -<<2210x x k++=34x x ､则，设， 343420,1x x x x k+=->=3401x x <<<则当时，，则在上是严格减，31x x <<()0g x '<()g x ()3,1x 所以当时，，即，不合题意． 31x x <<()()10g x g >=11ln 11a a k a -⎛⎫>-⋅⎪+⎝⎭综上所述，的取值范围是．k (],1-∞-【点睛】对于不等式恒成立求参数的取值范围问题，一般构造新函数利用导数分析函数的单调性最值，要注意分类讨论求解即可.。

2023届高三年级阶段测试数学试卷（三校联考试题）2023.03一、填空愿（本大题共有12题，淘分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.不等式|1|2x -<的解集是___________.2.函数lg()y x =-+______．3.已知复数z 满足(2i)34i z +=+（i 为虚数单位），则z =______．4.对于正实数x ，代数式91x x ++的最小值为______．5.已知角x 在第二象限，且π4cos ,25x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭则tan 2x =______．6.已知随机变量X 服从正态分布2(1.5,)N σ，且(1.53)0.38P X <≤=，则(0)P X <=______．7.记n S 为等比数列{}n b 的前n 项和，若244,16,S S ==则6S =______．8.在ABC 中，2,AB D =为AB的中点，若BC DC ==，则AC 的长为______．9.已知F 是双曲线2212:1x C y a -=与抛物线22:8C y x =的一个共同焦点，则1C 的两条渐近线夹角的大小为______．10.数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________11.已知O 是ABC 的外心，且3450OA OB OC ++=，则cos BAC ∠=______．12.已知关于x 的方程210e ax x -=有唯一实数根，则实数a 的取值范围为______．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第16-18题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所途答案的代号涂黑．13.下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（）A.1y x=B.y x x =-C.e e x xy -=- D.ln y x=-14.设复数z 满足i 2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（）A.22(1)4x y -+= B.22(1)4x y ++= C.22(1)4x y +-= D.22(1)4x y ++=15.设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为A. B. C. D.16.设())f x x =ω+ϕ（其中π0,2ωϕ><），若点1(,0)3A 为函数()y f x =图像的对称中心，B ，C 是图像上相邻的最高点与最低点，且4BC =，则下列结论正确的是（）A.函数()y f x =的图象对称轴方程为44,Z 3x k k =+∈；B.函数π()3y f x =-的图像关于坐标原点对称；C.函数()y f x =在区间(0,2)上是严格增函数；D.若函数()y f x =在区间(0,)m 内有5个零点，则它在此区间内有且有2个极小值点．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，且22PA AD AB ===，设E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点，H 为EG 的中点，如图．（1）求证：//FH 平面PBD ；（2）求直线FH 与平面PBC 所成角的正弦值．18.记n S ，为数列{}n a 的前n 项和，已知212nn a S n =++，*n ∈N ．（1）求12a a +，并证明{}1n n a a ++是等差数列；（2）求n S ．19.社会实践是大学生课外教育的一个重要方面，在校大学生利用暑期参加社会实践活动，是认识社会、了解社会、提高自我能力的重要机会．某省统计了该省其中的4所大学2023年毕业生的人数及参加过暑期社会实践活动的人数（单位：千人），得到如下表格：大学A 大学B 大学C 大学D 大学2023年毕业生人数x （千人）76542023年毕业生中参加过社会实践人数y 千人）0.50.40.30.2（1）已知y 与x 具有较强的线性相关性，求y 关于x 的线性回归方程 y axb =+ ；（2）假设该省对参加过暑期社会实践活动的大学生每人发放0.5万元的补贴．①若该省大学2023年毕业生人数为12万人，估计该省要发放补贴的总金额；②若2023年毕业生中的小李、小王参加过暑期社会实践活动的概率分别为,31p p -，该省对小李、小王两人补贴总金额的期望不超过0.75万元，求p 的取值范围．参考公式： 1122211()(,()nni ii ii i n ni i i i x x yy x ynx yaby ax x x x nx====---⋅===---∑∑∑∑20.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，且点(-在椭圆1C 上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）过点(0,1)Q 的直线l 与椭圆1C 交于,D E 两点，已知2DQ QE =，求直线l 的方程；（3）点P 为椭圆1C 上任意一点，过点P 作1C 的切线与圆222:12C x y +=交于,A B 两点，设直线,QA QB 的斜率分别为12,k k ．证明：12k k ⋅为定值，并求该定值．21.已知函数()()e sin 1xf x a x a =+-∈R ．（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在0x =处取得极小值，求a 的值；（3）若存在正实数m ，使得对任意的()0,x m ∈，都有()0f x <，求a 的取值范围．2023届高三年级阶段测试数学试卷（三校联考试题）2023.03一、填空愿（本大题共有12题，淘分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.不等式|1|2x -<的解集是___________.【答案】(1,3)-【分析】根据绝对值的意义直接求解即可.【详解】|1|2x -<,212x ∴-<-<解得13x -<<所以不等式的解集为(1,3)-.故答案为：(1,3)-2.函数lg()y x =-+______．【答案】(,1)-∞-【分析】直接根据题意列出不等式即可.【详解】由题意得2110x x x ->⎧⇒<-⎨->⎩，则定义域为(,1)-∞-故答案为：(,1)-∞-.3.已知复数z 满足(2i)34i z +=+（i 为虚数单位），则z =______．【答案】【分析】根据复数的除法运算和模的定义求解.【详解】由(2i)34i z +=+得()()()()34i 2i 34i 105i2i 2i 2i 2i 5z +-++====+++-所以z ==故答案为:4.对于正实数x ，代数式91x x ++的最小值为______．【答案】5【分析】通过变形得991111x x x x +=++-++，利用基本不等式即可求出最值.【详解】0x >，11x ∴+>99111511x x x x +=++-≥=++当且仅当911x x +=+，即2x =（负舍）时等号成立故答案为：5.5.已知角x 在第二象限，且π4cos ,25x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭则tan 2x =______．【答案】247##337【分析】根据诱导公式得4sin 5x =，根据x 所在象限和同角三角函数关系则可得到4tan 3x =-，再利用二倍角正切公式即可得到答案.【详解】π4cos 25x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即4sin 5x -=-，则4sin 5x =角x 在第二象限，则3cos 5x ==-，则4tan 3x =-22tan 24tan 21tan 7x x x ∴==-.故答案为：247.6.已知随机变量X 服从正态分布2(1.5,)N σ，且(1.53)0.38P X <≤=，则(0)P X <=______．【答案】0.12【分析】根据正态分布的特点即可得到答案.【详解】根据正态分布的对称性得(0)P X <=(3)0.50.380.12P X >=-=故答案为：0.12.7.记n S 为等比数列{}n b 的前n 项和，若244,16,S S ==则6S =______．【答案】52【分析】根据给定条件，利用数列前n 项和的意义及等比数列通项的性质计算作答.【详解】等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，设其公比为q由244,16S S ==得：12234424,12a a S a a S S +==+=-=，因此234123a a q a a +==+于是25634()36a a a a q +=+=所以61234564123652S a a a a a a =+++++=++=.故答案为：528.在ABC 中，2,AB D =为AB 的中点，若BC DC ==，则AC 的长为______．【答案】2【分析】根据给定条件，在,BCD ABC 中利用余弦定理求解作答.【详解】在BCD △中，BC DC ==，112BD AB ==，由余弦定理得：2222cos24BC BD CD B BC BD +-===⋅在ABC 中，由余弦定理得：2222cos 4+22244AC AB BC AB BC B =+-⋅=-⨯⨯=，解得2AC =所以AC 的长为2.故答案为：29.已知F 是双曲线2212:1x C y a-=与抛物线22:8C y x =的一个共同焦点，则1C 的两条渐近线夹角的大小为______．【答案】60【分析】根据给定条件，求出点F 的坐标，进而求出双曲线1C 及渐近线的方程，再求出渐近线夹角作答.【详解】抛物线22:8C y x =的焦点(2,0)F ，依题意，22213a =-=，双曲线221:13xC y -=的渐近线为33y x =±显然直线3y x =的倾斜角为30 ，所以1C 的两条渐近线夹角的大小为60 .故答案为：6010.数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________【答案】45【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：()()()21304242336642235C C C C p X p X p X C C ≥==+==+=.点睛：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X 的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．11.已知O 是ABC 的外心，且3450OA OB OC ++=，则cos BAC ∠=______．【答案】1010【分析】设外接圆半径为1，通过移项平方解得45OB OC ⋅=- ，35OA OC ⋅=- ，0OA OB ⋅=，再求出45AB AC ⋅= ，2||2AB = ，216||5AC = ，再利用向量夹角公式即可求解.【详解】3450OA OB OC ++=，即3(45)OA OB OC =-+ ，设1r OA OB OC ==== ，两边同平方得9162540OB OC =++⋅ ，解得45OB OC ⋅=-同理可得35OA OC ⋅=- ，0OA OB ⋅=24()()5AB AC OB OA OC OA OB OC OA OC OA OB OA ∴⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=222222||()2112AB OB OA OB OB OA OA =-=-⋅+=+=，则||AB = 22316||()2255AC OC OA ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭，||AC =45cos 10||||AB AC BAC AB AC ⋅∴∠==⋅.故答案为：10.12.已知关于x 的方程210eax x -=有唯一实数根，则实数a 的取值范围为______．【答案】2e a >或2ea <-【分析】本题采用分离参数法得2ln x a x -=，利用导数研究函数2ln ()x f x x=在其定义域上的图象，通过直线y a =-与函数图象交点个数解决方程根的问题.【详解】当0x =时，显然不是方程的根，2210e e ax ax x x --=⇒=，即2ln ax x -=，即2ln x a x-=设2ln ()x f x x =，()()()2ln ln x x f x f x x x--==-=--，且定义域为()(),00,∞-+∞U 关于原点对称，故()f x 为奇函数，则研究2ln 0,()x x f x x >=的图象2ln (),0x f x x x => ，则2222212ln 2ln ()x x x x x f x x x ⋅⋅--'==令()0f x '<，解得e x >，则此时()f x 单调递减令()0f x '>，解得0<<x e ，则此时()f x 单调递增故max 2()(e)ef x f ==且当0x >并趋近于0时，()f x 趋近于-∞当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于0再结合()f x为奇函数，作出如下图象则2e a ->，2ea <-同理图像左侧，2e a -<-，解得2ea >.则关于x 的方程210e ax x -=有唯一实数根，则实数a 的取值范围为2e a >或2ea <-.故答案为：2e a >或2ea <-.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第16-18题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所途答案的代号涂黑．13.下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（）A.1y x=B.y x x =-C.e e x x y -=-D.ln y x=-【答案】B【分析】根据指对幂函数的性质依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，函数1y x=为奇函数，在定义域上无单调性，故错误；对于B 选项，函数y x x =-为奇函数，当0x >时，2y x x x =-=-为减函数，故函数y x x =-在定义域内为减函数，故B 正确；对于C ，由于函数e ,e x x y y -==-均为增函数，故e e x x y -=-在定义域内为单调递增函数，故C 错误；对于D 选项，函数ln y x =-为非奇非偶函数，故错误.故选：B14.设复数z 满足i 2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（）A.22(1)4x y -+= B.22(1)4x y ++= C.22(1)4x y +-= D.22(1)4x y ++=【答案】C【分析】依据复数模的定义即可求得x y ，之间的关系.【详解】z 在复平面内对应的点为()x y ，，则复数+i z x y =则|1||(1)i |2z x y -=+-=，由复数的模长公式可得22(1)4x y +-=故选：C ．15.设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为A. B. C. D.【答案】B【详解】分析：作图，D 为MO 与球的交点，点M 为三角形ABC 的中心，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大此时，OD OB R 4===234ABC S AB == AB 6∴=,点M 为三角形ABC 的中心2BM3BE ∴==Rt OMB ∴中，有OM 2==DM OD OM 426∴=+=+=()max 163D ABC V -∴=⨯=故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到2BM 3BE ==OM ，进而得到结果，属于较难题型．16.设())f x x =ω+ϕ（其中π0,2ωϕ><），若点1(,0)3A 为函数()y f x =图像的对称中心，B ，C 是图像上相邻的最高点与最低点，且4BC =，则下列结论正确的是（）A.函数()y f x =的图象对称轴方程为44,Z 3x k k =+∈；B.函数π()3y f x =-的图像关于坐标原点对称；C.函数()y f x =在区间(0,2)上是严格增函数；D.若函数()y f x =在区间(0,)m 内有5个零点，则它在此区间内有且有2个极小值点．【答案】D【分析】根据给定条件，求出点B ，C 的坐标，进而求出函数()f x 的解析式，再逐项判断作答.【详解】在())f x x =ω+ϕ中，令π2π,Z 2n n x ωϕ++∈=得2ππ,Z 2x n n ϕωωω-=+∈依题意，点2ππ(Z 2B n n ϕωωω+-∈，同理得点2ππ,(Z 2C n n ϕωωω--∈由4BC =得：222π(4ω+=，解得π2=ω，又1()03f =，则11π1,Z 23n n ϕπ⨯+=∈，而π2ϕ<，因此1π0,6n ϕ==-，ππ()3sin()26f x x =-由ππππ,Z 262x k k -=+∈得42,Z 3x k k =+∈，即函数()y f x =的图象对称轴方程为42,Z 3x k k =+∈，A 错误；因为2ππππ())326x f x +-=-，所以函数π()3y f x =-的图像关于坐标原点不对称，B 错误；当(0,2)x ∈时，πππ5π(,)2666x -∈-，而正弦函数sin y x =在π5π(,66-上不单调，所以函数()y f x =在区间(0,2)上不单调，C 错误；当(0,)x m ∈时，πππππ(,)26626x m -∈--，依题意，ππ4π5π26m <-≤，又正弦函数sin y x =在π(,2π],(2π,4π]6-内各有1个极小值点，在(4π,5π)内无极小值点，所以函数()y f x =在区间(0,)m 内有且有2个极小值点，D 正确.故选：D【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，且22PA AD AB ===，设E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点，H 为EG 的中点，如图．（1）求证：//FH 平面PBD ；（2）求直线FH 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）（2）1515【分析】（1）证明出平面//EFG 平面PBD ，利用面面平行的性质定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线FH 与平面PBC 所成角的正弦值.【小问1详解】证明：E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点，//EF PB ∴，//FG BDEF ⊄ 平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，//EF ∴平面PBD ，同理可证//FG 平面PBD EF FG F = ，EF 、FG ⊂平面EFG ，∴平面//EFG 平面PBD FH ⊂ 平面EFG ，//FH ∴平面PBD .【小问2详解】解：PA ⊥ 平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0B 、()1,2,0C 、()002P ,,、()1,1,0F 、1,1,12E ⎛⎫⎪⎝⎭、1,2,02G ⎛⎫ ⎪⎝⎭、131,,222H ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,2,0BC =uu u r，()1,0,2BP =- ，111,,222FH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设平面PBC 的法向量为(),,n x y z = ，则2020n BC y n BP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取2x =，可得()2,0,1n = ，1152cos ,15352FH nFH n FH n-⋅∴<>==-⋅⨯ 所以，直线FH 与平面PBC 所成角的正弦值为1515.18.记n S ，为数列{}n a 的前n 项和，已知212nn a S n =++，*n ∈N ．（1）求12a a +，并证明{}1n n a a ++是等差数列；（2）求n S ．【答案】（1）126a a +=（2）22,2,n n n n S n n n ⎧+=⎨++⎩当为偶数时当为奇数时【分析】（1）利用n a 与前n 项和n S 的关系，由212nn a S n =++可得12,a a 的值，即可求得12a a +的值；根据相减法求得()()121n n n n a a a a ++++-+为常数，证明其为等差数列；（2）由（1）中数列{}1n n a a ++为等差数列，对n 进行奇偶讨论，即可求得n S .【小问1详解】解：已知212nn a S n =++，*n ∈N 当1n =时，1122a a =+，14a =；当2n =时，21252aa a +=+，22a =，所以126a a +=．因为212n n a S n =++①，所以()211112n n a S n ++=+++②．②－①得，()2211122n n n a a a n n ++=-++-，整理得142n n a a n ++=+，*n ∈N 所以()()()()121412424n n n n a a a a n n ++++-+=++-+=⎡⎤⎣⎦（常数），*n ∈N 所以{}1n n a a ++是首项为6，公差为4的等差数列．【小问2详解】解：由（1）知，()141242n n a a n n -+=-+=-，*n ∈N ，2n ≥．当n 为偶数时，()()()()1234164222n n n nn S a a a a a a -+-=++++++=2n n =+；当n 为奇数时，()()()()12345111042242n n n n n S a a a a a a a --+-=+++++++=+22n n =++．综上所述，22,2,n n n n S n n n ⎧+=⎨++⎩当为偶数时当为奇数时.19.社会实践是大学生课外教育的一个重要方面，在校大学生利用暑期参加社会实践活动，是认识社会、了解社会、提高自我能力的重要机会．某省统计了该省其中的4所大学2023年毕业生的人数及参加过暑期社会实践活动的人数（单位：千人），得到如下表格：大学A 大学B 大学C 大学D 大学2023年毕业生人数x （千人）76542023年毕业生中参加过社会实践人数y 千人）0.50.40.30.2（1）已知y 与x 具有较强的线性相关性，求y 关于x 的线性回归方程 y axb =+ ；（2）假设该省对参加过暑期社会实践活动的大学生每人发放0.5万元的补贴．①若该省大学2023年毕业生人数为12万人，估计该省要发放补贴的总金额；②若2023年毕业生中的小李、小王参加过暑期社会实践活动的概率分别为,31p p -，该省对小李、小王两人补贴总金额的期望不超过0.75万元，求p 的取值范围．参考公式： 1122211()(,()nni ii ii i n ni i i i x x yy x ynx yaby ax x x x nx====---⋅===---∑∑∑∑ 【答案】（1）0.10.2y x =-；（2）①5900万元；②15[,38p ∈.【分析】（1）根据给定数表，结合最小二乘法公式计算 ,ab 即可作答.（2）①利用（1）的结论估计补贴的总金额；②求出两个人参加实践活动的概率分布并求出期望，再利用期望的性质及已知列不等式，即可求解作答.【小问1详解】由数表知，76540.50.40.30.25.5,0.3544x y ++++++====4170.560.450.340.28.2i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，4148.24 5.50.350.5i i i x y x y =-=-⨯⨯=∑，4422222222117654126,41264 5.55i i i i x x x ===+++=-=-⨯=∑∑ 0.50.1,5a== 0.350.15.50.2b y ax =-=-⨯=- ，因此0.10.2y x =-所以y 关于x 的线性回归方程是0.10.2y x =-.【小问2详解】①由（1）知，当120x =千人时，0.11200.211.8y =⨯-=（千人）所以该省要发放补贴的总金额约为：11.810000.55900⨯⨯=万元；②小李、小王参加过暑期社会实践活动的人数为,0,1,2X X =2(0)(1)[1(31)]352P X p p p p ==---=-+2(1)[1(31)](1)(31)661P X p p p p p p ==--+--=-+-2(2)(31)3p X p p p p==-=-()0E X =⨯222(352)1(661)2(3)41p p p p p p p -++⨯-+-+⨯-=-因此(0.5)0.5(41)0.75E X p =-≤，解得58p ≤，而0311p ≤-≤，即1233p ≤≤，于是1538p ≤≤所以p 的取值范围是15[,]38.20.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，且点(2,2)-在椭圆1C 上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）过点(0,1)Q 的直线l 与椭圆1C 交于,D E 两点，已知2DQ QE =，求直线l 的方程；（3）点P 为椭圆1C 上任意一点，过点P 作1C 的切线与圆222:12C x y +=交于,A B 两点，设直线,QA QB 的斜率分别为12,k k ．证明：12k k ⋅为定值，并求该定值．【答案】（1）221:184x y C +=；（2）30:110l y x =±+（3）12-【分析】（1）根据离心率和椭圆上的点坐标得到关于22,a b 的方程组，解出即可；（2）设直线:1l y tx =+，1122(,),(,),(0,1),D x y E x y Q 根据向量共线关系得到12,x x =-联立直线与椭圆方程得到韦达定理式，结合12x x =-即可解出k 值，则得到直线方程；（3）首先考虑直线AB 的斜率不存在时的情况，设直线:AB y kx m =+,联立椭圆得到()222124280k xkmx m +++-=，根据相切关系得Δ0=，化简得2248m k =+，再将直线与圆联立得到韦达定理式，代入两直线斜率乘积表达式化简即可得到其为定值.【小问1详解】由题意得2222212c a b a a -==，22421a b +=；联立解得228,4a b ==，则221:184x y C +=【小问2详解】直线l 与斜率不存在不合题意，设直线:1l y tx =+设1122(,),(,),(0,1),D x y E x y Q 则1122(,1),(,1)DQ x y QE x y =--=-2DQ QE =1122(,1)2(,1)x y x y ∴--=-，则122,x x =-()2222112460280y tx t x tx x y =+⎧⇒++-=⎨+-=⎩则122122124126122t x x t x x t x x -⎧+=⎪+⎪-⎪=⎨+⎪=-⎪⎪⎩，解得10t =±则直线l 的方程30:110l y x =±+【小问3详解】当直线AB 的斜率不存在时，直线AB的方程为x =x =-若x =则易得2),2)A B -则1212221,,222k k k k ==-⋅=-若x =-,则(2)A -,(2)B --,则122222k k =-=1212k k ⋅=-.当直线AB 斜率存在时,设直线:AB y kx m=+设()()3344,,,A x y B x y ，直线与椭圆联立2228y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得()222124280k xkmx m +++-=由直线与椭圆相切,则()()222216412280k m k m∆=-+-=化简得:2248m k =+直线与圆联立:2212y kx m x y =+⎧⎨+=⎩,得:()22212120k x kmx m +++-=()2343422212,*11km m x x x x k k--+==++而,OA OB 的斜率分别为341234,y yk k x x ==则()()()223434343412343434kx m kx m k x x km x x my y k k x x x x x x +++++⋅===将(*)代入得()()2222222212221221121212--++-+⋅==--k m k m m k k m k k m m 将2248m k =+代入得2122441882k k k k -+⋅==--综上:12k k ⋅为定值,该定值为12-.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.已知函数()()e sin 1xf x a x a =+-∈R ．（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在0x =处取得极小值，求a 的值；（3）若存在正实数m ，使得对任意的()0,x m ∈，都有()0f x <，求a 的取值范围．【答案】（1）(1)y a x =+；（2）1a =-．（3）(,1)-∞-．【分析】（1）由导数的几何意义求解；（2）由(0)0f '=求得a 值，并验证此时0x =是极小值点；（3）求出导函数()e cos x f x a x '=+，(0)1f a '=+，然后根据(0)f '的正负或0分类，注意由导函数的连续性得出()f x '在(0,)m （存在正实数m ）上()f x '与(0)f '同号，从而得函数的单调性，得函数值的正负．【小问1详解】()e cos x f x a x '=+，(0)1f a '=+，又(0)0f =∴切线方程为(1)y a x =+；【小问2详解】由（1）()e cos x f x a x '=+，函数()f x 在0x =处取得极小值，则(0)0f '=，即10a +=，1a =-设()()e cos x g x f x x '==-，则()e sin x g x x '=+，(0)1g '=，由()g x '的图象的连续性知()g x '在0x=附近是正值因此()f x '在0x =附近是递增的，又(0)0f '=所以()f x '在0x =附近从左到右，由负变正，()f x 在0x =左侧递减，在0x =右侧递增，(0)f 是极小值，符合题意；所以1a =-．【小问3详解】()e cos x f x a x '=+，(0)0f =当(0)10f a '=+>，即1a >-时，由()g x '的图象的连续性知必存在0m >，使得对任意(0,)x m ∈，()0f x '>，对应()f x 递增，因此()(0)0f x f >=，不合题意当(0)10f a '=+<，即1a <-时，由()g x '的图象的连续性知必存在0m >，使得对任意(0,)x m ∈，()0f x '<，对应()f x 递减，因此()(0)0f x f <=，满足题意1a =-时，()e cos x f x x '=-，0x >时，e 1x >，cos 1≤x ，()e cos 0x f x x '=->恒成立，()e sin 1x f x x =--在(0,)+∞上递增，()(0)0f x f >=，不合题意综上，a 的取值范围是(,1)-∞-．【点睛】易错点点睛：本题考查导数的几何意义，导数与极值，不等式恒成立问题．在已知极值点求参数值时，0x 是极小值点，在由0()0f x '=求得参数后，一般需验证此时0x 是极小值点，否则容易会出现错误．原因0()0f x '=时，0x 不一定是极值点，当值也可能不是极小值点．。

上海市2019届高三数学3月月考试题 理考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1. 已知集合{}{}032,lg 2<--===x x x B x y x A ，则A B =_______________.2.复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a =_______________.3. 方程22log (x 1)2log (x 1)-=-+的解集为_________. ，则过圆锥顶点的轴截面面积的最大值为5.已知0y x π<<<，且tan tan 2x y ⋅=，sin sin 3x y ⋅=，则x y -= . 6. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7=42S ,则237a a a ++= .7.圆22(2)4C x y -+=：,直线1:l y =，2:1l y kx =-，若12,l l 被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，则k 的值为_________.，则该球的表9. 已知()ln()f x x a x=+-，若对任意的R m ∈，均存在00x >使得0()f x m =，则实数a 的 取值范围是 ．10.直线=(1)(0)y k x k +>与抛物线2=4y x 相交于,A B 两点，且,A B 两点在抛物线的准线上的射影分别是,M N ，若2BN AM =，则k 的值是 ． 11.在极坐标中，直线sin 3ρθ=被圆4sin ρθ=截得的弦长为 .12.一射手对靶射击，直到第一次中靶为止．他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗弹子，射击结束后尚余子弹数目ξ的数学期望E ξ= ． 13. 已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的一个“友好”三角形.在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是_______：（请写出符合要求的条件的序号） ①90,60,30A B C === ；②75,60,45A B C ===； ③75,75,30A B C ===.14.如图，在△ABC 中，90ACB ︒∠=，2AC =，1BC =，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大距离是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分 15．已知数列{}n a 中，1111,1n na a a +==+，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是( ) A ．2014≤n B ．2016n ≤ C ．2015≤n D ．2017n ≤C ．2a b c +<D ．2a b c +≥17．已知集合22{(,)|1}M x y x y =+≤，若实数,λμ满足：对任意的(,)x y M ∈，都有(,)x y M λμ∈，则称(,)λμ是集合M 的“和谐实数对”.则以下集合中，存在“和谐实数对”的是 ( )A ．}4|),{(=+μλμλB ．}4|),{(22=+μλμλC ．}44|),{(2=-μλμλD ．}4|),{(22=-μλμλ18. 已知正方体''''ABCD A B C D -，记过点A 与三条直线,,'AB AD AA 所成角都相等的直线条数为m , 过点A 与三个平面．．',,'AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为n ，则下面结论正确的是 ( )A ．1,1m n ==B ．4,1m n == C. 3,4m n == D ．4,4m n ==三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．A π相切直道能使得总造价最低？个小题，第(1)小题6分，第(2)小题8分.已知椭圆2222:1(a b0)x yCa b+=>>的右顶点、上顶点分别为A、B，坐标原点到直线AB ，且a=.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左焦点1F的直线l交椭圆于M、N两点，且该椭圆上存在点P，使得四边形MONP（图形上字母按此顺序排列）恰好为平行四边形，求直线l的方程.22.（本题满分16分）本题共有3个小题.第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分.对于函数(x)f，若在定义域内存在实数x，满足(x)(x)f f-=-，称(x)f为“局部奇函数”.（1） 已知二次函数2(x)24(R)f a x x a a =+-∈，试判断(x)f 是否为“局部奇函数”？ 并说明理由；（2）若(x)2xf m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（3）若12(x)423x x f m m +=-⋅+-是定义在R 的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题①满分6分， 第(2)小题②满分8分.已知等比数列{}n a 的首项12015a =，数列{}n a 前n 项和记为n S ，前n 项积记为n T . (1) 若360454S =，求等比数列{}n a 的公比q ； (2) 在(1)的条件下，判断|n T |与|1n T +|的大小；并求n 为何值时，n T 取得最大值； (3) 在(1)的条件下，证明：若数列{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其 成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为12,,,n d d d ，则数列{}n d 为等比数列.2019学年第二学期考试参考答案和评分标准一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分） 1． )3,0( 2．-1 3． 4．92 5．3π6. 187.12 8．8π 9. ),4[+∞ 1011．（理） （文）6 12. （理）1.89（文）3+ 13．② 14．（理）1+ （文）22(1)(1)1x y -+-=二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15. C 16. B 17. C 18. D 三、解答题（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分）本题共2个小题，每小题6分. 解：（理）（1）B AEFC V -=111(42)224332AEFC S AB =⋅=⋅⋅+⨯⨯=……6分 （2）建立如图所示的直角坐标系，则)0,0,0(A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)E ,(2,0,4)F ，(2,0,2)EF =,(0,2,2)EB =- ……………………7分设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则22011,1220n EF x z z x y n EF y z ⎧⋅=+=⎪⇒==-=⎨⋅=-=⎪⎩取得，所以(1,1,1)n =- ……………………………9分 平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =，则11cos 33n n n n θ⋅===⋅ 所以BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ．…12分 解：（文）（1）111111111111142223323A B C F F A B C A B C V V S C F --∆==⋅=⋅⋅⨯⨯= …6分 （2）连接CE ,由条件知1//CE FA ,所以CEB∠就是异面直线BE 与1A F 所成的角．8分 在CEB ∆中，BC CE BE ===60CEB ∠=， ………………10分 所以异面直线BE 与1A F 所成的角为60． …………………………………12分20．（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分. 解：（1）BC 与圆O 相切于A ，∴OA ⊥BC,在∆ABC 中，tan AB r θ=……2分同理，可得3tan()4AC r πθ=-………4分 223tan tan()4y m aAB aAC m ar ar πθθ∴=+=+- 23[tan tan()],(,)442y ar m πππθθθ∴=+-∈………6分 （2）由（1）得2231tan [tan tan()]ar[m tan ]41tan y ar m πθθθθθ--=+-=+- 222[m (tan 1)m 1]tan 1ar θθ=-+++-…………9分(,),tan 1042ππθθ∈∴-> ∴22m (t a n 1)2t a n 1θθ-+≥-………12分当且仅当tan 1m θ=-时取等号，又2m +=，所以tan 3πθθ== 即A 点在O 东偏南3π的方向上，总造价最低。