24.2 .2(2)切线的判定和性质

24.2.2 直线和圆的位置关系（第二课时）切线的性质与判定一．教学目标（一）学习目标1. 理解掌握切线的判定定理和性质定理．2．判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．（二）学习重点切线的判定定理和性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．（三）学习难点切线的判定和性质及其运用．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务(1）切线判断定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2）切线的判定方法：①定义：直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切，直线叫做圆的切线．②数量关系：⊙O的半径与圆心O到直线l的距离相等时，直线l和圆O相切．③切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．2.预习自测（1）下列说法正确的是（）A．与圆有公共点的直线是圆的切线B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线【知识点】切线的判定定理与性质定理【思路点拨】熟练掌握切线的判定定理与性质【解题过程】因为与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，所以A选项错误；当圆心到直线l的距离等于圆半径时，直线和圆相切，所以B选项正确垂直于圆的半径且经过半径外端点的直线是圆的切线，两个条件缺一不可，C选项中只满足垂直于半径这一个条件，所以C选项错误．D选项中只满足了过半径的外端这一个条件，但在位置关系上未满足直线和半径垂直，所以D选项错误．【答案】B（2）如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB=．【知识点】切线的性质、直角三角形性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，∴∠BAT=90°，∵∠ABT=40°，∴∠ATB=50°.【答案】50°【思路点拨】根据切线性质得∠ATB=90°，再根据直角三角形两锐角互余求解．（3）如图，PA为⊙O切线，A为切点，PO交⊙O于点B，OA=3，OP=6，则∠OPA度数为_____度．【知识点】切线的性质，直角三角形的性质【数学思想】数形结合【思路点拨】根据切线的性质得OA⊥PA；Rt△OAP中，已知OA=3，OP=6，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．【解题过程】解：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°；∵在Rt△OAP中，OA=3，OP=6∴∠OPA=30°【答案】30°（4）如图，半径为3的⊙O与直线AC相切于点B，cm，则OC= ．【知识点】切线性质、勾股定理【数学思想】数形结合【思路点拨】根据切线性质，连接OB得RtΔOBC，再根据勾股定理求OC长度．【解题过程】解：连接OB∵⊙O与直线AC相切于点B，∴∠CBO=90°，OB=3在△CBO中，∠CBO=90°∴=【答案】2（二）课堂设计1.知识回顾直线与圆三种位置关系的判定和性质：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d1）直线l和圆O相离⇔d>r2）直线l和圆O相切⇔d＝r3）直线l和圆O相交⇔d<r【数学思想】数形结合【设计意图】①通过简单作图回顾直线与圆的三种位置关系：②从公共点个数判断，得出切线概念；③从数量关系上体会圆的切线的判别方法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切．2.问题探究探究一：切线的判定定理★▲●活动大胆操作，探究新知如何过⊙O上一点A作圆的切线？（请学生上黑板按要求尺规作图）老师问：在⊙O中，经过半径OA外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离与圆半径什么关系？学生答：相等.老师问：直线与⊙O是什么位置关系？学生答：相切.【设计意图】利用作图让学生体会切线的判定定理中①经过半径的外端，②垂直于半径这两个条件缺一不可；加深对判定的理解，为过渡到学习圆的切线性质做铺垫．知识点归纳：1.切线的判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：经过半径外端点、垂直于半径这两个条件缺一不可．2.切线的判定方法：①定义：直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切，直线叫做圆的切线．②数量关系：⊙O半径r等于圆心O到直线l的距离为d时，直线l和圆O相切．③切线判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．探究二：推理论证切线的性质定理★▲●活动集思广益，证明新知老师问：如图：在⊙O中，若作直线l是⊙O的切线，切点为A,那么直线l与半径OA是不是一定垂直？例：已知：OA是⊙O半径,直线l是⊙O的切线，求证：OA⊥直线l证明：（反证法）假设OA⊥直线l不成立，过点O作OP⊥直线l于点P∴OA为Rt△OPA的斜边．又∵OP⊥l于P,∴OP的长就是圆心O到切线l的距离，∴OP的长等于⊙O的半径，即OA=OP,这与“直角三角形的斜边大于直角边”矛盾．所以假设OA与l不垂直不成立．【设计意图】用反证法证明切线的性质定理，从命题的题设与结论出发加深对切线性质定理的理解．知识点归纳切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．探究三：切线的判定定理和性质定理的应用★▲●活动①基础性例题例1.下列命题中，假命题是（）A．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B．经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线C．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【知识点】切线的判定定理与性质定理【思路点拨】熟练掌握切线的判定定理与性质【解题过程】根据切线的判定定理：经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线．故A选项是假命题．【答案】A练习题：下列说法正确的是（）A.经过半径外端的直线是圆的切线B.若射线与圆有一个交点，则射线是圆的切线C.垂直于半径的直线是圆的切线D.圆的切线垂直于经过切点的半径【知识点】切线的判定定理与性质定理【思路点拨】熟练掌握切线的判定定理与性质【解题过程】根据切线的判定定理：经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线．故A选项是错误的；射线与圆有一个交点但不一定垂直于过该点的半径，所以B选项错误．垂直于半径且经过半径外端点的直线是圆的切线，故C选项错误．【答案】D【设计意图】考察对切线判定定理和性质定理的理解、记忆．●活动②提升型例题例2. AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B 等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°【知识点】切线的性质、直角三角形性质、等腰三角形性质、三角形外角定理【数学思想】数形结合【思路点拨】由切线的性质得：切线垂直于过切点的半径∠PAB=90°，根据直角三角形的两锐角互余计算∠POA=50°，最后利用同圆的半径相等得等腰三角形进行计算．【解题过程】解：∵PA切⊙O于点A，∴∠PAB=90°，∵∠P=40°，∴∠POA=90°-40°=50°，∵OC=OB，∴∠B=∠BCO=25°，选B．【答案】B练习：如图，△ABC的边AC经过圆心O，且与⊙O相交于C，D两点，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°，那么∠C等于（）A．28°B．33°C．34°D．56°【知识点】切线的性质、等腰三角形，直角三角形性质【数学思想】数形结合【思路点拨】运用切线的性质来进行计算或论证，常用辅助线：连接圆心和切点，得直角三角形，再根据直角相关性质求解．【解题过程】解：如图，连结OB，∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∴∠AOB=90°﹣∠A=90°﹣34°=56°，∵∠AOB=∠C+∠OBC，∴∠C+∠OBC=56°，而OB=OC，∴∠C=∠OBC，∴∠C=12×56°=28°．故选A．【答案】A【设计意图】运用切线的性质来进行计算或论证●活动③探究型例题例3. 如图：已知△ABC中，AB=AC，O是底边BC的中点，AB与⊙O相切于点D，猜测AC与⊙O有怎样的位置关系？【知识点】切线的判定定理，切线的性质定理，等腰三角形性质，角平分线性质【思路点拨】切线判定方法的常规辅助线：未知切点，作垂线段，证垂线段与半径相等．【解题过程】解：AC是⊙O的切线，理由如下：证明：如图过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵AB=AC，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，OE是⊙O的半径，∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，∴AC是⊙O的切线．练习：已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O 的切线．【知识点】切线的性质、等腰三角形性质【思路点拨】已知切点，连半径，运用等腰三角形性质证垂直．【解题过程】解：连接OC∵OA=OB，CA＝CB∴OC⊥AB∵直线AB经过⊙O上的点C∴直线AB是⊙O的切线【设计意图】通过两道证明题，掌握圆的切线证明方法中两种典型的辅助线做法．①切点未知，作垂线段，证垂线段与半径等；②切点已知，连半径，证垂直.3. 课堂总结知识梳理：（1）切线的判定定理:经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）切线的判定方法：（归纳总结）①定义：直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切，直线叫做圆的切线．②切线判断定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．③数量关系：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若d＝r，则直线l和圆O相切．（3）切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．重难点归纳总结：（1）已知切线时常常把切点与圆心相连，利用切线性质解题．（2）切线的判定常规辅助线：切点未知，作垂线段，证垂线段与半径等；切点已知，连半径，证垂直.（三）课后作业基础型自主突破1．如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA=．【知识点】切线的性质.勾股定理【数学思想】数形结合【思路点拨】先根据切线的性质得OA⊥PA，再根据勾股定理求直角三角形边长．【解答过程】解：∵PA切⊙O于A点，∴OA⊥PA，在Rt△OPA中，OP=5，OA=3，∴．【答案】42.如图，PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=62°，则∠BOC的度数为（）A．60°B．62°C．31°D．70°【知识点】圆的切线的性质、四边形的内角和、平角定义【数学思想】数形结合【思路点拨】由PA、PB是⊙O的切线，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形的内角和为360°可得到∠AOB，而AC是⊙O的直径，根据互补即可得到∠BOC的度数．【解题过程】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=62°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣62°=118°，又∵AC是⊙O的直径，∴∠BOC=180°﹣118°=62°．故选B．【答案】B3.如图，OA是⊙B的直径，OA=4，CD是⊙B的切线，D为切点，∠DOC=30°，则点C的坐标为．【知识点】切线的性质；直角三角形性质．三角形外角定理【数学思想】数形结合【思路点拨】连接BD得RtΔBDC，根据三角形外角定理可得∠DBC=60°，所以∠DCO=30°,CB=2BD=4即可求出C点坐标．【解题过程】解：连接BD，∵∠DOC=30°，∴∠DBC=60°，∴∠BCD=30°，∴BC=2BD=4，∴OC=OB+BC=6，∴点C的坐标为（6，0）．【答案】（6，0）4.如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，∠E=30°则线段DE的长为．【知识点】切线的性质，等边三角形的判定、三角形外角定理，等腰三角形判定【数学思想】数形结合【思路点拨】根据切线性质，连接OD得RtΔAOB中∠BOD=60°，又同圆中半径处处相等可证到△COD是等边三角形，DC=OD=3；再根据直角三角形性质求得DE=CE-CD=3【解题过程】解：连接OD ，∵Rt △AOB 的斜边AB 切于点D ，∠B=30°， ∴OD ⊥AB ,OD=3，∠BDO=90°，∠BOD=60° ∵OD=OC=3， ∴△COD 是等边三角形 ∴DC=OD=3∵Rt △EOC ，∠E=30° ∴CE=2OC=6 ∴DE=CE-CD=3 【答案】35.如图：△ABO 中，AO=BO ，C 是底边AB 的中点，若AB=8，OA=5，以点O 为圆心的⊙O 的半径为3，求证：AB 是⊙O 的切线．【知识点】切线的判定定理，等腰三角形性质，勾股定理 【数学思想】数形结合【思路点拨】根据等腰三角形性质得OC ⊥AB ，再根据切线判定定理证明OC 等于圆的半径． 【解题过程】证明：如图：连结OC∵AO=BO ，C 是底边AB 的中点∴OC ⊥AB ，090ACO ?，AC=12AB=4在Rt △ACO 中，090ACO ?，OA=5 ，AC=4 ∴OC=3∵⊙O 的半径为3∴AB经过⊙O的半径OC的外端点且垂直于OC，∴AB是⊙O的切线．6、已知: 在△ABD中，∠BAD= 40°，∠B=10°，⊙O经过点A和点D，圆心O在AB上，⊙O交AB于点C，那么BD是⊙O切线吗？请证明你的结论.【知识点】切线的判定、等腰三角形性质、三角形外角定理、三角形内角和定理【数学思想】数形结合【思路点拨】已知切点，连半径，证垂直．【解题过程】解：BD是⊙O切线，证明如下：证明：连接OD∵OA=OD，∠BAD= 40°∴∠ADO=∠BAD= 40°∴∠DOB= ∠ADO+∠BAD= 80°∵∠B=10°∴△DOB中∠ODB=1800-800-100=900∴OD⊥DB∴直线DB是⊙O的切线能力型师生共研7.如图：AB是⊙O的直径，BC⊥AB，OC//弦AD，求证：CD是⊙O的切线【知识点】切线的判定，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形判定、【数学思想】数形结合【思路点拨】已知点、连半径、证垂直．首先连接OD，由弦AD∥OC，易证得∠COB=∠COD，继而证得△COB≌△COD（SAS），即可得∠ODC=∠OBC，然后由BC与⊙O相切于点B，可得∠ODC=90°，即可证得CD是⊙O的切线．【解题过程】证明：连接OD，∵AD∥OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠COB=∠COD，在△COB和△COD中，，∴△COB≌△COD（SAS），∴∠ODC=∠OBC，∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．8、已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；（2）求AF的长．【知识点】直线与圆的位置关系、等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理【思路点拨】（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，【解题过程】1）证明：连接OD，∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，∴∠B=∠C=∠ODB=60°，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，∴DF是圆O的切线；（2）∵OB=OD=12AB=6，且∠B=60°，∴BD=OB=OD=6，∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6，∵在Rt△CFD中，∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=12CD=12×6=3，∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，【答案】（1）相切（2）9探究型多维突破9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AC上，⊙O经过B，D两点，交BC于点E．求证：AC是⊙O的切线；【知识点】切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质【数学思想】数形结合【思路点拨】（1）连接DO，由等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠1=∠3，证出DO ∥BC，由平行线的性质得出∠ADO=90°，即可得出结论；【解题过程】证明：连接DO，如图1所示∵BD是∠ABC的平分线，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴DO∥BC，∴∠ADO=90°，即AC⊥OD，∴AC是⊙O的切线．10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD 的延长线于点E．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）判断四边形AOCD的形状，并说明理由．【知识点】切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、菱形的判定和性质．【数学思想】数形结合==，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，【思维点拨】（1）连接AC，由题意得AD CD CB从而得出∠OCE=90°，即可证得结论；=，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四（2）四边形AOCD为菱形．由AD CB边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．【解题过程】解：（1）连接AC，∵点CD是半圆O的三等分点，==，∴AD CD CB∴∠DAC=∠CAB，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC∴∠OCE+∠E=180°，∵CE⊥AD，∴∠OCE=90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）四边形AOCD为菱形．理由如下：，∵AD CB∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，∴平行四边形AOCD是菱形．自助餐1.⊙O的半径2，圆心O到直线l的距离为2，则圆O与直线l的位置关系（）A.相离B.相切C.相交D.相切或相交【知识点】切线的判定【思路点拨】从数量关系上判定圆的切线【解题思路】∵⊙O的半径2，圆心O到直线l的距离为2∴半径与圆心O到直线l的距离相等∴⊙O与直线l相切2. PA为⊙O切线，A为切点，PO交⊙O于点B，OA=4，OP=8，则AB=．【知识点】切线的性质直角三角形性质、等边三角形判定【数学思想】数形结合【分析】根据切线的性质可知，OA⊥PA；Rt△OAP中，已知OA=4，OP=8，直角三角形中300的角所对的直角边等于斜边的一边，所以可得出∠OPA=300，∠POA=600，又因为OA=OB，所以为等边三角形即可求出AB长．【解题过程】解：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°；在Rt△OAP中，∵OA=4，OP=8∴∠OPA=30°，∴∠POA=90°﹣30°=60°；∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形∴AB=OA=4【答案】43.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D，E，若AC=6cm，AO=，则圆O的半径为_________cm．【知识点】切线的性质，正方形判定定理、勾股定理【数学思想】数形结合【思路点拨】连接OD、OE，根据已知条件证明四边形CDOE为正方形，得到OD=CD，设OD=x，在Rt△ODA中运用勾股定理建立方程求解．【解题过程】解：连接OD 、OE ，∵AC 、CB 为⊙O 的切线，∴OD ⊥AC ，OE ⊥BC ，OD=OE又∠ACB=90°，∴四边形CDOE 为矩形，又CD=CE ，∴四边形CDOE 为正方形，∴OD=CD ，设OD=x=CD∵AC=6，∴AD=6-x在Rt △ADO 中,∠ADO=90°，AO=AD=6-x∴222OD AO AD =-(()2226x x =-- 2680x x -+=()()240x x --=∴1224x x ==∴OD=2或4【答案】2或44.如图，⊙O 的半径为3，点O 到直线l 的距离为4，点P 是直线l 上的一个动点，PB 切⊙O 于点B ，则PB 的最小值是 ．【知识点】切线的性质；垂线段最短【数学思想】数形结合【思路点拨】本题确定PB最小时点P的位置是解题的关键．PB为切线故△OPB是直角三角形．又OB为定值，当OP最小时，PB就最小．根据垂线段最短得OP=4时PB最小．最后根据勾股定理可求解．【解题过程】解：∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP=90°，∴PB2=OP2﹣OB2，而OB=3，∴PB2=OP2﹣9，即当OP最小时，PB最小，∵点O到直线l的距离为4，∴OP的最小值为4，∴PB【答案】5.已知：如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC 于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠B=30°，AB=8，求DE的长．【知识点】切线的判定定理、平行线的性质、直角三角形性质、勾股定理【数学思想】数形结合【思路点拨】（1）已知点，连半径，证垂直即可．要想证DE是⊙O的切线，只要连接OD，求证∠ODE=90°即可（2）利用直角三角形和等边三角形的特点来求DE的长．【解题过程】解：（1）连接OD ，则OD=OB ，∴∠B=∠ODB∵AB=AC ，∴∠B=∠C∴∠ODB=∠C∴OD ∥AC∴∠ODE=∠DEC=90°∴DE 是⊙O 的切线（2）连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，AB=8∴∠ADB=90°即AD ⊥BC∵AB=AC ，∠B=30°∴BD=CD∴∠B=∠C=30°Rt △ADB 中，∠B=30°∴AD=12AB =1842?∴=∴CD=BD=Rt △CED 中，∠C=30°CD=∴12DE CD ==【答案】（2）6.如图，□AOBC 的顶点A 、B 、C 在⊙O 上，过点C 作DE ∥AB 交OA 延长线于D 点，交OB 延长线于点E ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若OA=1，求阴影部分面积．【知识点】切线的判定，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，扇形面积计算【数学思想】数形结合【思路点拨】（1）连接OC，得到□AOBC是菱形，根据菱形的性质得到OC⊥AB，根据平行线的性质得到OC⊥DE，于是得到结论；（2）由菱形的性质得到BC=OB=OC，推出△BOC是等边三角形，得到∠COB=60°，即可得到结论．【解题过程】解：（1）连接OC，∵四边形AOBC是平行四边形，∵AO=OB，∴□AOBC是菱形，∴OC⊥AB，∵AB∥DE，∴OC⊥DE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵□AOBC是菱形，∴BC=OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠COB=60°，∵OA=OB=OC=1，阴影=260111136026ππ⨯⨯-⨯=．∴S。

24.2.2直线与圆的位置关系——切线的概念、切线的判定与性质一、内容和内容分析1.内容人教新课标2011版九年级上册第二十四章圆，24.2.2直线与圆的位置关系中的第2课时切线的概念、切线的判定与性质.2.内容分析第2课时切线的判定定理,是在学生学完直线和圆的三种位置关系概念的基础上进一步研究直线和圆相切的关系,是《圆》这一章的重点之一,也是后续学习切线长和切线长定理等知识的基础.本节课关注学生的学习过程,意在体现数学课堂的本质,培养学生思维的深刻性和有序性以及分析问题、解决问题的能力.二、教学目标（1）知识与技能：理解切线的判定定理和性质定理，并能灵活运用.（2）过程与方法：以圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系为依据，探究切线的判定定理和性质定理，领会知识的延续性，层次性.（3）情感态度与价值观：让学生感受到实际生活中存在的相切关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型.三、教学重、难点重点：切线的判定定理与性质定理.难点：引导学生得出切线的判定定理,掌握添加辅助线的方法.四、教学过程设计（一）导语通过上节课的学习，我们知道，直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.而相切最特殊，这节课我们专门来研究切线.师生行为：教师联系近期所学知识，提出问题，引起学生思考，为探究本节课定理作铺垫.设计意图：开头动图上直线与圆的位置关系的变化，是通过直线与圆的交点个数来改变，为后面的动手操作与探究请学生说理埋下伏笔.（二）复习旧知、探究新知老师：已知在⊙O所在平面内，过⊙O外一点C画一条直线AB，问直线AB和⊙O的位置关系?请小组讨论.设计意图：复习旧知，回忆上节课所学内容，通过交点个数或者圆心到直线AB的距离来判别直线与圆分别是相交、相切、相离的位置关系，为引入新知做好准备.请学生上台，展示结果，并询问是通过什么来判定圆与直线的位置关系的.学生1：我们可以通过观察直线与圆的交点个数，直线与圆没有交点，则直线与圆相离；直线与圆只有一个交点，我们说直线与圆相切；直线与圆有两个交点，这条直线与圆相交（或者：我们小组是通过圆心到直线的距离d与r的大小来确定直线与圆的位置关系的.d>r,直线与圆相离；d=r，直线与圆相切；d<r，直线与圆相交）.追问1：大家还有没有其他的判定方法.思考1：现在我们来观察这个时刻，就是圆心到直线的距离刚好等于半径（直线与圆刚好只有一个交点）的时候，我想问问大家，我们研究几何除了可以从数量关系上来研究以外，我们还可以从位置关系来观察.当直线AB与半径OG 满足怎样的位置关系时，直线AB与圆O的相切？学生3：直线AB与半径OG垂直.（直线AB与半径OG垂直于G.）追问2：去掉刚刚同学所说的“经过半径的外端（或者垂直为G，）”会怎样？去掉“垂直于半径”又会怎么样呢？学生4：直线AB与圆O不相切.老师总结：满足这两个条件，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，这就是我们今天所要学习的切线的判定定理。

人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》说课稿一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2节《切线的判定和性质定理、切线长定理》是初中数学的重要内容，旨在让学生理解和掌握切线的判定方法、性质定理和切线长定理，为后续学习解析几何打下基础。

本节内容涉及直线与圆的位置关系，通过研究切线与圆的切点，引导学生探究切线的性质，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对直线、圆等基本概念有所了解。

但是，对于切线的判定和性质定理、切线长定理等概念，学生可能较为抽象，不易理解。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，采用生动形象的教学手段，引导学生理解和掌握切线的相关知识。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握切线的判定方法、性质定理和切线长定理，能够运用这些知识解决一些简单的问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的探究能力和合作意识。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的意志。

四. 说教学重难点1.教学重点：切线的判定方法、性质定理和切线长定理。

2.教学难点：切线性质定理的理解和应用。

五. 说教学方法与手段本节课采用“问题驱动”的教学方法，引导学生通过观察、操作、猜想、验证等环节，自主探究切线的性质。

同时，运用多媒体课件、几何画板等教学手段，为学生提供丰富的学习资源，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习直线和圆的相关知识，引出本节课的内容——切线的判定和性质定理、切线长定理。

2.自主探究：让学生通过观察、操作，猜想切线的性质，然后进行验证。

在此过程中，引导学生发现切线的判定方法和性质定理。

3.讲解与演示：教师对切线的判定方法和性质定理进行讲解，并用多媒体课件和几何画板进行演示，帮助学生加深理解。

4.练习与拓展：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识，并进行拓展训练。

第2课时切线的判定和性质本课时是在学习直线和圆的位置关系的基础上进一步深入研究直线和圆相切的情况，为后面研究切线长定理、三角形内切圆和正多边形与圆的关系打下基础．切线的判定定理和性质定理揭示了切线和圆的半径的特殊位置关系，即过半径外端并与这条半径垂直．两个命题互为逆命题．在学习的过程中要注意判定定理和性质定理的区分，并熟练掌握切线的两种证明方法以及勾股定理的应用．【情景导入】(1)用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运动形成一个圆，突然，这个小球脱落，沿着圆的边缘飞出去，你知道小球顺着什么方向飞出去了吗？(2)如图1，下雨天，快速转动雨伞时，雨伞上的水珠是顺着什么方向飞出去的？(3)观察图2，过⊙O上一点A作直线l，则直线l与⊙O有哪几种位置关系？(4)观察图3，当所作直线l与OA垂直时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？图1 图2 图3 【说明与建议】说明：通过常见实际问题引入直线和圆相切，并通过作图来观察、探究切线．建议：在探究切线的判定方法时，注意引导学生理解“经过半径的外端”“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，可以采用提出“过半径的外端的直线是圆的切线”“与半径垂直的直线是圆的切线”这两个假命题让学生讨论、判断的方法来帮助学生理解．【复习导入】1．填写直线和圆的位置关系表：2.思考1：如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l 的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？3．思考2：在⊙O中，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？【说明与建议】说明：通过对直线和圆的位置关系的回顾，加强新旧知识之间的联系，通过探究两个思考问题，得出切线的判定定理和性质定理．建议：思考1和思考2可以让学生通过画图体会定理的正确性．要证明切线性质定理需要用反证法．命题角度1 证明圆的切线1．(邵阳中考节选)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C.求证：AC是⊙O的切线．证明：连接OA，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.∵AB＝AC，∴∠OBA＝∠C.∴∠OAB＝∠C.∵∠CAD＝∠C，∴∠OAB＝∠CAD.∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°.∴∠OAC＝∠BAD－∠OAB＋∠CAD＝90°，即OA⊥AC.又∵OA是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．2．如图，OA ＝OB ＝13 cm ，AB ＝24 cm ，⊙O 的直径为10 cm.求证：AB 是⊙O 的切线．证明：过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ， ∵OA ＝OB ＝13 cm ，AB ＝24 cm ， ∴AC ＝12AB ＝12 cm.在Rt △OAC 中，根据勾股定理，得 OC ＝OA 2－AC 2＝5 cm ， ∵⊙O 的直径为10 cm ， ∴⊙O 的半径为5 cm. ∴OC 是⊙O 的半径． ∴AB 是⊙O 的切线．命题角度2 利用切线的性质进行计算或证明3．(沈阳中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点O 为BC 边上一点，以点O 为圆心，OB 长为半径的圆与边AB 相交于点D ，连接DC ，当DC 为⊙O 的切线时．(1)求证：DC ＝AC.(2)若DC ＝DB ，⊙O 的半径为1，请直接写出DC证明：连接OD ， ∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ⊥OD.∴∠ODC ＝90°.∴∠BDO ＋∠ADC ＝90°. ∵∠ACB ＝90°， ∴∠A ＋∠B ＝90°. ∵OB ＝OD ， ∴∠B ＝∠BDO. ∴∠A ＝∠ADC.∴CD ＝AC.如何测量圆的半径如图，木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r ，用角尺的较短边紧靠⊙O ，并使较长边与⊙O 相切于点C ，假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B ，较短边AB ＝8 cm.若读得BC 的长为a cm ，你能用含a 的代数式表示r 吗？探究新知1．探究切线的判定活动一：教师结合所画图形(如图)，引导学生分析．因为直线l⊥OA，所以圆心O到直线l的距离等于OA，而OA正好是⊙O的半径，根据“当圆心到直线的距离等于该圆的半径时，直线就是圆的一条切线”可知直线l是⊙O的切线．教师引导学生对切线的判定定理进行概括，并发表意见．师生共同总结，教师板书：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．教师引导学生分组讨论定理的条件和结论，做好定理的分析，运用判定定理判定一条直线是圆的切线要把握两点：①经过半径的外端；②垂直于这条半径．活动二：提问：生活中你看到过哪些直线和圆相切的现象？师生活动：学生思考并回答，教师做好补充．如下雨天，快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮上打磨工件时飞出的火星等，都是沿着圆的切线方向飞出的．活动三：判断下列说法是否正确：(1)过半径外端的直线是圆的切线．(×)(2)与半径垂直的直线是圆的切线．(×)(3)过半径的端点且与半径垂直的直线是圆的切线．(×)(4)经过直径的端点且与该直径垂直的直线是圆的切线．(√)师生活动：学生判断、操作后，教师用多媒体演示下列反例．教师提出问题：判断一条直线是圆的切线共有几种方法？师生活动：学生讨论、交流后，请学生代表总结方法，教师最后进行总结．方法一：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；方法二：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；方法三：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．探究切线的性质活动：课件展示教材第97页“思考”．将切线的判定定理反过来，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA 与直线l是不是一定垂直呢？师生活动：教师引导学生小组内进行分析，直接证明较为困难，可以运用反证法进行说明．师生共同总结：圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.【典型例题】例1如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线．师生活动：学生独立思考，然后小组内交流，教师及时引导、点拨作出辅助线，并规范解题过程．分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC 所作的垂线段OE是⊙O的半径即可．教师总结：①当明确指出直线与圆的公共点时，应连接圆心和公共点，即得到“半径”，再证明“直线与半径垂直”，简称为“连半径，证垂直”；②当未明确指出直线与圆的公共点时，应过圆心作直线的垂线段，再证明“垂线段的长等于半径”，简称为“作垂直，证半径”．例2如图，BC与⊙O相切于点B，AB为⊙O的直径，弦AD∥OC.求证：CD是⊙O的切线．师生活动：学生先独立解决问题，然后小组内讨论，鼓励学生勇于探索实践，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注学生的解题过程．例3(哈尔滨中考)如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA.若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为(B)A．25° B．20° C．30° D．35°师生活动：学生先独立解决问题，教师适当给出提示：借助圆周角定理以及切线的性质进行角度推导．【变式训练】1．(桂林中考)如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB.若∠O＝130°，则∠BAC的度数是(B)A．60° B．65° C．70° D．75°2．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6 cm.如果⊙P以1 cm/s的速度沿A向B的方向移动，那么经过4或8秒后，⊙P与直线CD相切．3．(锦州中考节选)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C 作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF.求证：CE为⊙O的切线．证明：连接OC，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＋∠OBC＝180°.又∵∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠OBC＝∠OCB.∵CE⊥AD，∴∠E＝∠CDE＋∠ECD＝90°.∵∠ECD＝∠BCF，∴∠OCB＋∠BCF＝90°.∴∠OCF＝90°，即OC⊥EF.∵OC是⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线．【课堂检测】1.如图，AB与⊙O相切于点B，AO＝6 cm，AB＝4 cm，则⊙O的半径为(B)A．4 5 cm B．2 5 cm C．213 cm D.13 cm2．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C.若∠A＝25°，则∠D＝ 40°．3．如图，AB为⊙O直径，AB＝AC，BC与⊙O交于D，且DE⊥AC.求证：DE是⊙O切线．证明：连接AD，DO，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵AB＝AC，∴BD＝CD.∵AO＝BO，∴OD是△ABC的中位线．∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在思考解答的基础上，共同交流，形成共识，确定答案.第2课时切线的判定和性质1．切线的判定定理及性质定理切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．∵OC是半径，OC⊥AB，∴直线AB与⊙O相切．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．如图，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB.2．证明切线常用的两种方法：①“作垂直，证半径”；②“连接圆心与交点，证垂直”.。

24.2.2“切线的判定和性质”教学设计赵峰Ⅰ、教材分析切线的判定和性质的教学在平面几何乃至整个中学数学教学中都占有重要地位和作用，是中考的重要考点之一，除了在证明和计算中有着广泛的应用外，它也是研究三角形内切圆的作法，切线长定理以及正多边形与圆的关系的基础，所以它是《圆》这一章的重要内容，也可以说是本章的核心。

除了要求学生能够较灵活地运用有关知识解题外，还要求学生掌握一些解题技巧，在培养学生的逻辑思维能力和综合运用知识解决问题的能力方面也起了重要作用。

Ⅱ、教学目标（1）知识与技能：使学生掌握圆的切线的判定和性质定理，综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力。

（2）过程与方法：培养学生的观察能力、研究问题的能力、数学思维能力以及创新意识，充分领会数学转化思想。

（3）情感、态度与价值观：通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐，养成动手、动脑的习惯，并养成良好的书写习惯。

Ⅲ、教学重点与难点重点：①理解圆的切线的判定和性质；②会运用切线的判定和性质解决简单的数学问题。

难点：利用切线的判定和性质解决几何问题的技巧——辅助线的添加。

∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞教学过程：一、回顾与思考（多媒体显示问题）1、直线和圆有哪几种位置关系？判断的标准什么？2、三种位置关系填表.3、什么叫圆的切线？观察表格，怎样判断一条直线是不是圆的切线？通过以上检复，我们发现可以用切线的定义来判断一条直线是不是圆的切线，但有时使用起来很不方便。

反过来，如果一条直线是圆的切线，又能产生哪些作用和效果呢？为此，我们有必要学习切线的判定和性质定理。

（板书课题）：切线的判定和性质二、探索和发现1、上节课学习了“圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线”这一定义。

下面请同学们按我口述的步骤作图（两名同学板演）。

画出⊙O，在⊙O上任取一点A，连接OA，过点A作⊙O的切线l（完成后让学生回顾作图过程，并多媒体展示画图过程，观察切线是如何画出来的，它满足哪些条件？）。