7-3-4反比例函数与一次函数综合.讲义教师版

板块一 反比例函数与方程、不等式1. 此类问题重点会考察通过数形结合的思想去解方程和不等式的解2. 反比例函数与方程（组）：如图，一次函数2y x =+与反比例函数3y x=相交于(1,3)A 、(3,1)B --，点(3,1)C 是反比例函数my x =上的点，直线AB 交x 轴于点(2,0)D -，因此我们得到13x y =⎧⎨=⎩、31x y =-⎧⎨=-⎩、31x y =⎧⎨=⎩都是方程30y x -=的解，13x y =⎧⎨=⎩、31x y =-⎧⎨=-⎩、20x y =-⎧⎨=⎩都是方程20xy -+=的解，但是因为方程30y x-=，方程20x y -+=都是不定方程，所以他们的解有无数组，分别对应的是函数图象上点的横、纵坐标。

方程组320y x x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩的解为13x y =⎧⎨=⎩、31x y =-⎧⎨=-⎩，分别对应了一次函数2y x =+与反比例函数3y x=交点A 、B 的横、纵坐标3. 反比例函数与不等式：如图，反比例函数3y x=图象上两点(1,3)A 、(3,1)B --，分别过A 、B 两点作y 轴的垂线1l 、2l ，直线1l 、2l 以及x 轴将反比例函数图象分成四部分：3y >、03y <<、10y -<<、1y <- ⑴当3y >时，对应的x 的取值范围是01x << ⑵当03y <<时，对应的x 的取值范围是1x > ⑶当10y -<<时，对应x 的取值范围是3x <- ⑷当1y <-时，对应x 的取值范围是30x -<<反比例函数与一次函数综合如图，一次函数2y x =+与反比例函数3y x=相交于(1,3)A 、(3,1)B --，分别过A 、B 两点作x 轴的垂线2l ，1l ，则1l 、2l 、y 轴将直线和双曲线分成四段：3x <-，30x -<<，01x <<、1x >⑴当3x <-时，双曲线在直线上方，则32x x >+⑵当30x -<<时，双曲线在直线下方，则32x x <+⑶当01x <<时，双曲线在直线上方，则32x x >+⑷当1x >时，双曲线在直线下方，则32x x<+反之，若32x x >+，则3x <-或01x <<；若32x x <+，则30x -<<或1x >【例1】 已知函数11y x =-和26y x=⑴在如图所示坐标系中画出这两个函数的图象； ⑵求这两个函数图象的交点坐标；⑶观察图象，当x 在什么范围时，12y y >【解析】本题是反比例函数与方程组和不等式的综合，直线与双曲线交点的坐标即是两个函数解析式所组成的方程组的解；判定两函数值的大小可利用图象，根据点的坐标的意义来判定【答案】⑴略；⑵联立方程组得16y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1123x y =-⎧⎨=-⎩；2233x y =⎧⎨=-⎩ ∴两函数图象的交点坐标为(2,3)--、(3,2) ⑶根据图象得，当3x >或20x -<<时，12y y >【巩固】如图，反比例函数ky x=的图像与一次函数y mx b =+的图像交于(13)A ，，(1)B n -，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图像回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．【解析】略【答案】（1）∵(13)A ，在ky x=的图像上， ∴3k =，3y x=又∵(1)B n -，在3y x=的图像上， ∴3n =-，即(31)B --， 313m bm b =+⎧⎨-=-+⎩，解得：1m =，2b =， 反比例函数的解析式为3y x=，一次函数的解析式为2y x =+.（2）从图像上可知，当3x <-或01x <<时，反比例函数的值大于一次函数的值.【巩固】如图，已知一次函数1y x m =+（m 为常数）的图象与反比例函数2ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象相交于点()13A ，． （1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B 的坐标； （2）观察图象，写出使函数值12y y ≥的自变量x 的取值范围．【解析】略 【答案】（1）由题意，得31m =+，解得2m =，所以一次函数的解析式为12y x =+．由题意，得31k=， 解得3k =，所以反比例函数的解析式为23y x=． 由题意，得32x x+=，解得1213x x ==-，． 当23x =-时，121y y ==-，所以交点(31)B --，． （2）由图象可知，当30x -≤<或1x ≥时， 函数值12y y ≥．【例2】 如图，已知()()424A n B --，，，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB ∆的面积；(3)求方程0mkx b x +-=的解（请直接写出答案）；(4)求不等式0mkx b x+-=的解集（请直接写出答案）.【解析】（1）∵()24B -，在函数my x=的图象上 ∴8m =-．∴反比例函数的解析式为：8y x=-． ∵点()4A n -，在函数8y x=-的图象上∴2n =∴()42A -，∵y kx b =+经过()42A -，，()24B -，， ∴4224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解之得12k b =-⎧⎨=-⎩∴一次函数的解析式为：2y x =-- （2）∵C 是直线AB 与x 轴的交点 ∴当0y =时，2x =-∴点()20C -，∴2OC =∴112224622AOB ACO BCO S S S ∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=（3）1242x x =-=， （4）40x -<<或2x >【答案】见解析【巩固】利用图象解一元二次方程230x x +-=时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线2y x =和直线3y x =-+，两图象交点的横坐标就是该方程的解．（1）填空：利用图象解一元二次方程230x x +-=，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y = 和直线y x =-，其交点的横坐标就是该方程的解．（2）已知函数6y x =-的图象（如图所示），利用图象求方程630x x-+=的近似解（结果保留两个有效数字）．xx【解析】（1）32-x（2）由图象得出方程的近似解为：121.4 4.4x x ≈-≈， 【答案】见解析板块二 反比例函数与一次函数的综合☞反比例函数与一次函数图象分布【例3】 函数1y kx =+与函数ky x=在同一坐标系中的大致图象是（ ）A B C D【解析】假设法与排除法 【答案】D【巩固】函数y ax a =-与ay x=（0a ≠）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D【解析】假设法与排除法 【答案】D☞反比例函数与一次函数图象有关交点问题【例4】 在平面直角坐标系xoy 中，直线y x =向上平移1个单位长度得到直线l ．直线l 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为()2A a ，，则k 的值等于 ． 【解析】本题主要考察一次函数和反比例函数的表达式。

中考总复习专题：一次函数与反比例函数综合应用执教者：麻明芳教学目标1. 掌握一次函数与反比例函数表达式的确定方法2. 经历解决一次函数和反比例函数综合问题的过程，对一次函数和反比例函数有进一步的整体和拓展认识.3. 在解决一次函数和反比例函数的交点问题和计算一次函数与反比例函数图象所涉及的常见几何图形的面积的过程中，进一步提高学生的分析和解决问题的能力.4. 在探究问题解决过程中，体会“数形结合”，同时在数学学习活动中获得成功的体验.重点1. 一次函数与反比例函数表达式的确定.2. 一次函数与反比例函数图象所涉及常见三角形面积计算.3.. 一次函数与反比例函数的综合运用.难点一次函数与反比例函数重要知识点的综合运用.教学过程一、知识梳理.【知识点1】一次函数与反比例函数表达式的确定1. 利用点的坐标确定函数表达式常用待定系数法2. ( 1)确定一次函数表达式的一般步骤a. 设一次函数表达式为y=kx+b(k工0)b. 找出满足一次函数表达式的两点，并将两点坐标代入函数表达式，得到二兀一次方程组c. 解方程组，求出待定系数k、b的值d. 将所求待定系数k、b的值代入所设的函数表达式(2)确定反比例函数表达式的一般步骤ka. 设反比例函数表达式为y = — (x = 0)xb. 找出满足反比例函数表达式的一点c. 将这个点的坐标代入函数表达式求出kd. 将所求待定系数k的值代入所设的函数表达式【知识点2】一次函数与反比例函数图象的交点.1. 交点坐标：一次函数y n kjX • b人=0与反比例函数y =理k2 = 0的交点坐标是X方程组y*xC的解yAX2. 交点个数：（1）从图象上看：一次函数y n k K b k<- 0与反比例函数y=理k2 = 0的交点个数由k值x 的符号来决定.①k值同号，两函数图象必有两个交点（当b = 0时，正比例函数与反比例函数图象两交点关于原点对称）.②k值异号，两函数图象可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点.（2）从计算上看：一次函数与反比例函数图象交点个数取决于两函数表达式所组成的T y = k1x b方程组t k2解的情况.y =—i x整理得：k i x2，bx-k2=0 ;这个一元二次方程根的判别式厶的值决定两个函数图象的交点个数：当:0时两函数图象有两个交点；当：=0时二两函数图象只有一个交点;当,：：：0时二两函数图象没有交点.【知识点3】一次函数与反比例函数图象所涉及的常见三角形面积计算【思想方法】数形结合、模拟演练例1:已知：一次函数y = -x・5与反比例函数丫=旦虫(口为常数)的图象交于x点B (n, -1)、A两点.求m的值和点A坐标.例2:已知，如图，已知A (-1,6), B(n,-1)是一次函数y= kx + b的图象与反比例函数y =弓的图象的两个交点.x(1)求反比例函数和一次函数的表达式;(2)求直线与两坐标轴交点坐标；(3)连结OA，求△ AOC的面积；(4)再连结OB，求△ AOB的面积. (连接OB,求△BOD的面积；再连结OA，求△ AOB的面积)三、实战中考y=- x+m的图象和y轴交于点B，1. (2014湘西州21题8分)如图，一次函数与正比例函数y=x图象交于点P (2，n).(1)求m和n的值；(2)求厶POB勺面积.2. (2015湘西州22题8分)如图，已知反比例函数y=•的图象经过点A (- 3,x-2).(1)求反比例函数的解析式；(2)若点B (1, m), C (3, n)在该函数的图象上，试比较m与n的大小.(1) 求反比例函数和直线的解析式;(2) 求厶AOB的面积.四、小结1. 正确求一次函数与反比例函数的表达式；2. 解决一次函数与反比例函数图象问题；3. 计算由一次函数与反比例函数图象所形成的常见几何图形的面积五、作业1.在例2的已知条件下，x轴上有一点若y轴上有一点P,且S A PAB=14,求P点坐标；若坐标轴上有一点P,且S A PAB=14,求P点坐标. P,且S A PAB=14，求P点坐标;3.都经过点A (1, 4),且该直线与x轴的交点为B.2:在例2的已知条件下，过点A作AE丄x轴与E,当直线AB绕着点A转动时, 与x 轴的交点为D(b,O)，并与反比例函数图象的另一支还有一个交点的情形下，求厶AED的面积S与b之间的函数关系式.并写出自变量b的取值范围.拓展提高：当直线AB绕点A顺时针旋转与反比例函数y = -6(x<0)的图象交x于B点，且与x轴交于点C,且AB = 2BC，求点B、C的坐标和直线AB表达式.过A点作y轴的平行线，过B点作x轴的平行线，这两条直线交于点F，若反比例函数y二兰的图象与厶ABE有公共点，请直接写出k的取值范围.x。

专题03 反比例函数与一次函数综合三类型类型一反比例函数与一次函数图像综合判断1．如图，直线y1＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A(0，2)，与反比例函数2kyx=的图象交于C(1，m)，D(n，－1)，连接OC、OD．（1）求k的值；（2）求COD的面积；（3）根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围．数y ＝kx（x ＞0）的图象交于点C （6，m ）．(1)求直线和反比例函数的表达式；(2)连接OC ，在x 轴上找一点P ，使S △POC ＝2S △AOC ，请求出点P 的坐标．3．如图，一次函数15y k x =+（1k 为常数，且10k ≠）的图象与反比例函数2y x=（2k 为常数，且20k ≠）的图象相交于()2,4A -，(),1B n 两点．(1)求n 的值；(2)若一次函数1y k x m =+的图象与反比例函数2k y x=的图象有且只有一个公共点，求m 的值．【答案】(1)8n =- (2)4m =或4-【分析】（1）由待定系数法求出反比例函数的解析式，再由B 点坐标计算求值即可； （2）根据函数图象交点的意义，利用一次函数和反比例函数构建一元二次方程，令0∆=，4．一次函数y ＝﹣12x +3的图象与反比例函数y ＝x的图象交于点A (4，1)．(1)画出反比例函数y ＝m x 的图象，并写出﹣12x +3＞m x的x 取值范围； (2)将y ＝﹣12x +3沿y 轴平移n 个单位后得到直线l ，当l 与反比例函数的图象只有一个交点时，求n 的值．1m则()26=--解得12n =-当l 与反比例函数的图像只有一个交点时，则【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的综合．解题的关键在于了解不等式的意义，一次函数平移后解析式的表达，将交点转化为二次方程根的个数．易错点在于求解集时落解．5．如图：一次函数的图象与反比例函数y x=的图象交于()2,6A -和点()4,B n ．（1）求点B 的坐标；（2）根据图象回答，当x 在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值． ）一次函数的值大于反比例函数的值表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象6．如图，已知双曲线y ＝kx与直线y ＝mx +5都经过点A （1，4）．（1）求双曲线和直线的表达式；（2）将直线y ＝mx +5沿y 轴向下平移n 个单位长度，使平移后的图象与双曲线y ＝kx有且只有一个交点，求n 的值．47．如图所示，平面直角坐标系中，直线1y kx b =+分别与x ，y 轴交于点A ，B ，与曲线2my x=分别交于点C ，D ，作CE x ⊥轴于点E ，已知OA =4，OE =OB =2．(1)求反比例函数2y 的表达式； (2)在y 轴上存在一点P ，使ABPCEOS S=，请求出P 的坐标．12ABPCEOSSCE ==243a ⨯-⨯=，解出S=CEOS=3ABPP(0，BP=S=ABPa-22解得：a=交于A，B两点，其中A的坐标为8．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线yx（1，a），P是以点C（- 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点.(1)求双曲线的解析式：(2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与∵C相切，求m的值(3)求线段OQ长度的最大值.（3）【点睛】本题主要考查了圆与函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角形中位9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的x图象交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，且∵OCB与∵OAB的面积比为1：2．(1)求k和b的值；(2)将∵OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，判断点C′是否落在函数y＝kx（k＜0）的图象上，并说明理由．y x=-+y∴=时，(5,0)B∴OCB∆与C∴为AB(1,6)A-(2,3)C∴．如图，过点将OBC∆C'在第二象限，(3,2)C∴'-∴点C'是落在函数【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等10．如图，一次函数y=-x+b与反比例函数y=x（x> 0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）（1）求b、k、m的值；（2）根据图象直接写出-x+b< kx（x> 0）的解集；（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD∵x轴于点D，连接OP，若∵POD的面积为S，求S的最大值和最小值．）一次函数）一次函数14n≤≤S12 =-1 2a=-11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)P ，(2,2)Q -，函数y x=．(1)当函数my x=的图象经过点Q 时，求m 的值并画出直线y =－x －m ． (2)若P ，Q 两点中恰有一个点的坐标（x ，y ）满足不等式组m y x y x m ⎧>⎪⎨⎪<--⎩（m <0），求m 的取值范围．（2）12．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（﹣2，xn）两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．A，(1,2)∴△的ACPACP的面积是13．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（∵）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB．BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)求线段AB和双曲线CD的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10∵时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？20x小时，蔬菜才能避免受到伤害．本题考查一次函数和反比例函数的应用，．病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后值为4毫克，已知服药后，2小时前每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间x （小时）成正比例，2小时后y 与x 成反比例（如图所示）．根据以上信息解答下列问题． (1)求当02x ≤≤时，y 与x 的函数关系式； (2)求当2x >时，y 与x 的函数关系式；(3)若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？【答案】(1)2y x =8k ， 与x 的函数关系式为第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y （微克）与时间x （分钟）的函数关系如图．并发现衰退时y 与x 成反比例函数关系．（1）=a ；（2）当5100x 时，y 与x 之间的函数关系式为 ；当100x >时，y 与x 之间的函数关系式为 ；（3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？5100x 时，设经过点(5,0)，(100,19)019b =+= 0.21k b =⎧⎨=-⎩解析式为0.2y x =经过点堂还给学生．通过实验发现：学生在课堂上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始后，学生的学习兴趣递增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳高效状态，后阶段注意力开始分散．学生注意力指标y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示，当010x ≤<和1020x ≤<时，图象是线段，当2045x ≤≤时，图象是反比例函数的一部分．(1)求点A 对应的指标值．(2)如果学生在课堂上的注意力指标不低于30属于学习高效阶段，请你求出学生在课堂上的学习高效时间段．空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）满足函数关系式y＝2x，药物点燃后6分钟燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：(1)在如图所示平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函数图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，说明理由；(3)研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？【答案】(1)见解析（2）温y （∵）与开机时间x （分）满足一次函数关系，当加热到100∵时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y （∵）与开机时间x （分）成反比例关系，当水温降至20∵时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：(1)当010x ≤≤时，求水温y （∵）与开机时间x （分）的函数关系式；(2)求图中t 的值；(3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少∵？x时，20小丽散步70【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、数值，解决本题的关键是熟练掌握待定系数法的应用．。

反比例函数复习讲义知识点一：反比例函数的概念ﻫ 一般地,如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成k y x=（ｋ为常数，)的形式,那么称y 是x 的反比例函数．注:（１）反比例函数k y x =中的k x 是一个分式,自变量x ≠0, k y x=也可写成1y kx -=或xy k =,其中ｋ≠0；ﻫ （２)在反比例函数1y kx -=(ｋ≠0）中，x 的指数是-1。

如，5y x=也写成：15y x -=；ﻫ （３）在反比例函数k y x=（k ≠０）中要注意分母ｘ的指数为1，如21y x=就不是反比例函数。

ﻫ知识点二：反比例函数的图象反比例函数(0)ky k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.ﻫ 注: （1)观察反比例函数(0)ky k x=≠的图象可得：ｘ和y 的值都不能为0,并且图象既是轴对称图形,又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点． (２)用描点法画反比例函数y=kx的图象时，应注意自变量x 的取值不能为０，一般应从1或-1开始对称取点.ﻫ （3)在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ,过点P ,Ｑ分别作x 轴,y 轴的平行线,与两坐标轴分别围成的矩形面积为S 1，Ｓ2 则S １＝S ２. 知识点三：反比例函数的性质 1.图象位置与函数性质当ｋ>0时，x 、y 同号,图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小;当ｋ<0时，x 、y 异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．2.若点(a ，ｂ）在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，则点（-a,-b ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称；正比例函数反比例函数解析式图 像直线 有两个分支组成的曲线（双曲线）位 置ｋ>0，一、三象限； ｋ＜0，二、四象限 k ＞0，一、三象限 k ＜０，二、四象限增减性k>0，y 随x 的增大而增大 ｋ＜０,y 随x 的增大而减小k>0，在每个象限,y 随ｘ的增大而减小ﻫｋ<0，在每个象限,ｙ随ｘ的增大而增大4．反比例函数y ＝kx 中k 的意义 反比例函数y = k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y = kx（ｋ≠0）上任意一点引ｘ轴、y 轴垂线，所得矩形面积为│ｋ│．ﻫ知识点四：反比例函数解析式的确定ﻫ 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于在反比例函数关系式(0)ky k x=≠中，只有一个待定系数k,确定了ｋ的值,也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入(0)ky k x =≠中即可求出k 的值,从而确定反比例函数的解析式.ﻫ知识点五：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点１.反比例函数在现实世界中普遍存在,在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。

一次函数和反比例函数综合应用教学设计教学过程教学环节教学活动设计意图情境引入1.复习二元一次方程与一次函数关系。

（1）已知二元一次方程组的解求相应函数图象交点坐标；（2）已知函数图象交点坐标求相应二元一次方程组的解；（3）在同一平面直角坐标系中,若一次函数y=-x+3与y=3x-5的图象交于点M,则点M的坐标为。

2.提出问题：一次函数的交点可以通过把一次函数相应的方程联立成方程组，方程组的解就是就是直线的交点。

那么一次函数和反比例函数的交点又怎么求？1.复习二元一次方程组的解和一次函数图象交点的坐标关系，回顾所学知识，感悟数形结合思想。

2.求一次函数图象交点的坐标，复习求一次函数交点坐标的过程，为教学求一次函数和反比例函数交点坐标作铺垫。

新知探究1.探究一次函数和反比例函数图象交点求法（1）多媒体展示题目；求反比例函数y=x2与一次函数y=x-1的图象的交点坐标。

（2）学生独立思考教师巡视指导；（3）同学间合作交流；（4）指名板演展示，教师适时点评。

（5）反思、总结求一次函数和反比例函数图象交点的方法，教师提炼板书：联立、转化、求解、写坐标。

2.求一次函数和反比例函数交点坐标例题（1）多媒体展示题目，指导学生读题；【例题1】如图，直线y＝x＋1与双曲线y＝kx的交点为A(1，m)和B.(1)求m的值；(2)求双曲线的解析式；(3)求点B的坐标．（2）学生独立思考；（3）同学间合作交流；1.学生在复习求一次函数交点坐标的基础上，利用类比的方法学习一次函数和反比例函数的交点，总结求一次函数和反比例函数的交点的步骤。

2.通过求一次函数和反比例函数的交点的例题，进一步巩固求一次函数和反比例函数的交点知识。

3.学生通过独立思考，学生间的合作交流，探究利用数形结合的方法确定自变量的取值范围，感受数形结合解决问题的好处，发展学生几何直观。

（4）多媒体展示学生完成的练习，学生互评，教师适时点评。

3.利用数形结合确定自变量的取值范围 （1）多媒体展示题目，学生读题理解题意； 【例题2】如图所示，反比例函数的图象y 1=xk 1与正比例函数y₂=k 2x 的图象交于点(2,1),则使y 1>y 2的x 的取值范围是( ) A ．0＜x ＜2B ．x ＞2C ．x ＞2或－2＜x ＜0D ．x ＜－2或0＜x ＜2（2）学生独立思考； （3）学生合作探究；（4）学生说解题思路，教师适时点评；（5）反思、总结根据一次函数和反比例函数图象交点确定自变量的取值范围的“三步法”：找交点写坐标，作垂线分区域，定区域写范围。

回归教材重难点08 反比例函数与一次函数综合问题反比例函数与一次函数综合问题是初中《反比例函数》章节的重点内容，考查的相对比较综合，把反比例函数与一次函数结合起来，以不等式、方程组等为核心。

在中考数学中，主要是以解答题形式出现。

通过熟练运用的方程、不等式与函数三者之间的关系，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。

本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大，甚至有些地方将其作为选填题的压轴题。

1.反比例函数中的有关面积问题如图，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则根据k 的几何意义可得，OBF OAE S S ∆∆=，而OBF OAB OAE ABFE S S S S ∆∆∆+=+梯形，所以OAB ABFE S S ∆=梯形，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错2.待定系数法求反比例函数解析式反比例函数y =kx （k≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =kx （k≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．反比例函数y =kx （k≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =kx （k≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．1．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，点,2A a 在反比例函数4y x=的图象上，//AB x 轴，且交y 轴于点C ，交反比例函数ky x=于点B，已知2AC BC =． yx DC FEOB A（1）求直线OA 的解析式； （2）求反比例函数ky x=的解析式； （3）点D 为反比例函数ky x=上一动点，连接AD 交y 轴于点E ，当E 为AD 中点时，求OAD △的面积． 【答案】（1）y x =；（2）2y x=-；（3）3.【分析】（1）先求解A 的坐标，再把A 的坐标代入正比例函数y mx =，解方程即可得到答案； （2）利用2,AC BC = 先求解B 的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；（3）设2,,D n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 而()2,2,A E 为AD 的中点，利用中点坐标公式求解,D E 的坐标，再利用()12OAD ODE OAE A D S S S OE x x =+=+，计算即可得到答案.【详解】解：（1） 点,2A a 在反比例函数4y x=的图象上，24,2,a a ∴== 则()2,2,A 2,AC ∴= 设直线AO 为：,y mx = 22,m ∴= 则1,m = 所以直线AO 为：,y x =（2） //AB x 轴， 2=2AC BC =．1,BC ∴= ()1,2,B ∴- 122,k xy ∴==-⨯=-所以反比例函数为：2.y x=-（3）设2,,D n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 而()2,2,A E 为AD 的中点，()120,2E x n ∴=+=2,n ∴=-()32,1,0,,2D E ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭()12OADODE OAEA D SSSOE x x ∴=+=+ ()1322 3.22=⨯⨯+= 【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键.2．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数2k y x =的图象在第二象限交于C ，(6,2)D -两点，//DE OC 交x 轴于点E ，若13AD AC =． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）求四边形OCDE 的面积．【答案】（1）8y x +＝，12y x＝-；（2）643【分析】（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得C 点坐标，再利用待定系数法求函数关系式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A 点和E 点坐标，然后用AOC △的面积减去AED 的面积求解．【详解】解：（1）将(62)D -，代入2k y x=中，26212k ⨯＝-＝-， ∴反比例函数的解析式为12y x＝-； 过点D 作DM x ⊥轴，过点C 作CN x ⊥轴，//DE OC ，ADE ACO ∴∽，13AD AE DM AC AO CN ∴===，36CN DM ∴＝＝， 将6y ＝代入12y x＝-中，126x =-，解得：2x ＝-，∴C 点坐标为()2,6-，将()2,6C -，()6,2D -代入1y k x b +＝中，可得112662k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：118k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为8y x +＝； （2）设直线OC 的解析式为y mx ＝，将()2,6C -代入，得：26m -＝，解得：3m ＝-，∴直线OC 的解析式为3y x ＝-，由//DE OC ，设直线DE 的解析式为3y x n +＝-， 将()6,2D -代入可得：()362n ⨯+--＝，解得：16n ＝-，∴直线DE 的解析式为316y x -＝-，当0y ＝时，3160x --＝，解得：163x =-，∴E 点坐标为16,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，163OE ∴＝，在8y x +＝中，当0y ＝时，80x +＝，解得：8x ＝-，∴A 点坐标为()8,0-，8OA ∴＝，168833AE ∴-＝＝， AOCAEDOCDE S SS四边形＝﹣1122OA CN AE DM =⋅-⋅118862223=⨯⨯-⨯⨯8243=-643=．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质，掌握一次函数及反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．3．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线11y k x b =+与双曲线22k y x=相交于()()2,3,,2A B m --两点．（1）求12,y y 对应的函数表达式；（2）过点B 作//BP x 轴交y 轴于点P ，求ABP △的面积； （3）根据函数图象，直接写出关于x 的不等式21k k x b x+<的解集． 【答案】（1）11y x =-+，26y x=-；（2）152ABPS=；（3）20x -<<或3x > 【分析】（1）由题意先求出2y ，然后得到点B 的坐标，进而问题可求解；（2）由（1）可得ABP △以PB 为底，点A 到PB 的距离为高，即为点A 、B 之间的纵坐标之差的绝对值，进而问题可求解；（3）根据函数图象可直接进行求解．【详解】（1）把点()2,3A -代入反比例函数解析式得：6k =-，∴26y x=-，∴点B 在反比例函数图象上，∴26m -=-，解得：3m =，∴()3,2B -，把点A 、B 作代入直线解析式得：112332k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：111k b =-⎧⎨=⎩，∴11y x =-+；（2）由（1）可得：()2,3A -，()3,2B -，∴//BP x 轴，∴3BP =，∴点A 到PB 的距离为()325--=，∴1153522ABPS =⨯⨯=； （3）由（1）及图象可得：当21k k x b x+<时，x 的取值范围为20x -<<或3x >． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．4．（2021·山东济宁·中考真题）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点()2,0C ，点()0,4B ，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A ．（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线OA 向上平移m 个单位后经过反比例函数，图象上的点()1,n ，求m ，n 的值． 【答案】（1）12y x =；（2）12n =，353m =【分析】（1）作AD x ⊥轴，可知BOC CDA △≌△，得出A 点坐标，待定系数法求出解析式即可， （2）将点()1,n 代入（1）中解析式和直线OA 的解析式中，分别求出m ，n 的值即可． 【详解】（1）如图，作AD x ⊥轴，则90ADC ∠=︒90ACB ∠=︒，AC BC =，90BCO ACD ∴∠+∠=︒90BCO CBO ∠+∠=︒ACD CBO ∴∠=∠∴()BOC CDA AAS △≌△点()2,0C ，点()0,4B 2,4OC OB ∴==4,2CD OB AD OC ∴====，∴OD =OC +CD =6，(6,2)A ∴ 代入k y x=中，2612k =⨯=12y x ∴=．（2）()1,n 在12y x=上，12n ∴= (6,2)(0,0)A O ，设直线OA 解析式为1y k x =12=6k ∴，113k =13y x ∴=直线OA 向上平移m 个单位后的解析式为：13y x m =+ 图象经过（1，12），11213m ∴=⨯+，解得：353m =，12n ∴=，353m =．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正比例函数解析式，函数图像的平移，三角形全等的性质与判定，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想． 5．（2021·山东泰安·中考真题）如图，点P 为函数112y x =+与函数(0)m y x x=>图象的交点，点P 的纵坐标为4，PB x ⊥轴，垂足为点B ．（1）求m 的值； （2）点M 是函数(0)m y x x =>图象上一动点，过点M 作MD BP ⊥于点D ，若1tan 2PMD ∠=，求点M 的坐标．【答案】（1）24；（2）M 点的坐标为(8,3)【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P 的横坐标，利用k =xy 计算m 即可； （2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可. 【详解】（1）∴点P 纵坐标为4，∴1412x =+，解得6x =，(6,4)P ∴∴4=6m ，∴24m =．（2）∴1tan 2PMD ∠=，∴12PD PM =， 设(0)PD t t =>，则2DM t =，当M 点在P 点右侧，∴M 点的坐标为(62,4)t t +-，∴（6+2t ）（4-t ）=24，解得：11t =，20t =（舍去），当11t =时，(8,3)M ，∴M 点的坐标为(8,3)，当M 点在P 点的左侧，∴M 点的坐标为(62,4)t t -+，∴（6-2t ）（4+t ）=24， 解得：10t =，21t =-，均舍去． 综上，M 点的坐标为(8,3)．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．6．（2022·重庆·模拟预测）如图，一次函数1y k x b =+的图像与反比例函数ky x=的图像相交于点A （3，1），B （﹣1，n ）两点．(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像，直接写出满足1+≥kk x b x的x 的取值范围； (3)连接BO 并延长交双曲线于点C ，连接AC ，求ABC ∆的面积．【答案】(1)反比例函数的解析式是3y x=，一次函数的解析式是2y x =-；(2)10x -≤<或3x ≥；(3)8 【分析】（1）把点A 的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，再把点B 的坐标代入反比例函数的解析式可求出B 的坐标，把点A 、B 的坐标代入一次函数1y k x b =+即可求出函数的解析式； （2）根据函数的图像和A 、B 的坐标即可得出答案；（3）过C 点作CD y ∥轴，交直线AB 于D ，求出D 的坐标，即可求得CD ，然后根据ABC ACD BCD S S S =+△△△即可求出答案．【详解】(1)解：∴点A （3，1），B （﹣1，n ）两点在反比例函数图像上 ∴把A （3，1）代入k y x=得：313k =⨯=，∴反比例函数的解析式是3y x =，又∴B （﹣1，n ）代入反比例函数3y x=得：3n =-，∴B 的坐标是（﹣1，﹣3），把A 、B 的坐标代入一次函数1y k x b =+得：11313k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：11k =，2b =-，∴一次函数的解析式是2y x =-． (2)解：从图像可知：1+≥kk x b x的x 的取值范围是当10x -≤<或3x ≥． (3)解：过C 点作CD y ∥轴，交直线AB 于D ，∴B （﹣1，﹣3），B 、C 关于原点对称，∴C （1，3）， 把1x =代入2y x =-得，1y =-，∴D （1，﹣1），∴4CD =，∴()142282△△△=+=⨯⨯+=ABC ACD BCD S S S ．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．数形结合思想的运用是解题的关键． 7．（2021·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数在图象与反比例函数y kx=（k ＜0）的图象在第二象限交于点A （﹣3，m ），B（n ，2）两点．(1)当m ＝1时，求一次函数的解析式．(2)若点E 在x 轴上，满足∴AEB ＝90°，且AE ＝2﹣m ，分别连接OA ，OB ，求∴OAB 的面积． 【答案】(1)y 23=x +3；(2)289108【分析】（1）将点A 坐标代入反比例函数解析式中求出k ，进而得出点B 坐标，最后用待定系数法求出直线AB 的解析式；（2）先判断出BF ＝AE ，进而得出∴AEG ∴Rt∴BFG （AAS ），得出AG ＝BG ，EG ＝FG ，即BE ＝BG +EG ＝AG +FG ＝AF ，再求出m 23=-n ，进而得出BF ＝223+n ，MN ＝n +3，即BE ＝AF ＝n +3，再判断出∴AME ∴∴ENB ，根据相似三角形的性质得出ME 23=BN ，最后用勾股定理求出m ，根据梯形的面积公式即可得出结论． 【详解】(1)解：当m ＝1时，点A （﹣3，1）， ∴点A 在反比例函数y kx=的图象上，∴k ＝﹣3×1＝﹣3， ∴反比例函数的解析式为y 3x=-； ∴点B （n ，2）在反比例函数y 3x=-图象上，∴2n ＝﹣3，∴n 32=-，设直线AB 的解析式为y ＝ax +b ，则31322b a b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，∴233a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为y 23=x +3； (2)如图，过点A 作AM ∴x 轴于M ，过点B 作BN ∴x 轴于N ，过点A 作AF ∴BN 于F ，交BE 于G ， 则四边形AMNF 是矩形，∴FN ＝AM ，AF ＝MN ， ∴A （﹣3，m ），B （n ，2），∴BF ＝2﹣m ， ∴AE ＝2﹣m ，∴BF ＝AE ，在∴AEG 和∴BFG 中，90AGE BGFAEG BFG AE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴∴AEG ∴∴BFG （AAS ），∴AG ＝BG ，EG ＝FG ，∴BE ＝BG +EG ＝AG +FG ＝AF ，∴点A （﹣3，m ），B （n ，2）在反比例函数y kx=的图象上，∴k ＝﹣3m ＝2n ，∴m 23=-n ，∴BF ＝BN ﹣FN ＝BN ﹣AM ＝2﹣m ＝223+n ，MN ＝n ﹣（﹣3）＝n +3，∴BE ＝AF ＝n +3，∴∴AEM +∴MAE ＝90°，∴AEM +∴BEN ＝90°，∴∴MAE ＝∴NEB ，∴∴AME ＝∴ENB ＝90°，∴∴AME ∴∴ENB ，∴22223333nME AE m BN BE n n +-====++，∴ME 23=BN 43=，在Rt∴AME 中，AM ＝m ，AE ＝2﹣m ，根据勾股定理得，AM 2+ME 2＝AE 2，∴m 2+（43）2＝（2﹣m ）2， ∴m 59=，∴k ＝﹣3m 53=-，∴2n 53=-，∴n 56=-，∴A （﹣3，59），B （56-，2），∴AM 59=，OM ＝3，BN ＝2，ON 56=，∴MN 136=， ∴∴OAB 的面积＝S 四边形AMNB +S △BNO ﹣S △AOM ＝S 四边形AMNB 12=（AM +BN ）•MN 12=⨯（59+2）132896108⨯=．【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的综合应用,解决问题的关键是利用好交点的坐标．8．（2022·江西南昌·一模）如图，反比例函数y 1＝kx（x ＞0）与直线y 2＝ax +b 的图象相交于A ，B 两点，其中点B （3，3），且AB ＝2BC ．(1)求反比例函数解析式．(2)求直线AB 解析式．(3)请根据图象，直接写出当y 1＜y 2时，x 的取值范围． 【答案】(1)19y x=；(2)2312y x =-+；(3)13x << 【分析】（1）将B 点坐标代入反比例函数解析式，求出k 的值即可；（2）过点A 、D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为D ，E ．由此即易证ADC BEC △△，得出BE BCAD AB=．再根据2AB BC =，即得出13BE AD =．结合B 点坐标，即可求出A 点纵坐标，将A 点纵坐标代入反比例函数解析式，即求出A 点横坐标．最后结合A 、B 两点坐标利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式； （3）根据当12y y <时，反比例函数图象在一次函数图象下方，结合图象即可写出x 的取值范围． 【详解】(1)将B 点坐标代入反比例函数解析式得：33k=，解得：9k =． 故反比例函数解析式为：19y x=；(2)如图，过点A 、D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为D ，E ．根据作图易证ADC BEC △△，∴BE BC AD AB =． ∴2AB BC =，∴13BC AC =，即13BE AD =． ∴3B BE y ==，∴39A y AD BE ===，将9A y =代入19y x=，即得出99x =，解得：1x =，即A (1，9)． 将A (1，9)和B (3，3)代入2y ax b =+，得：933a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得：312a b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为2312y x =-+； (3)当12y y <时，即反比例函数图象在一次函数图象下方即可，由图象可知当13x <<时反比例函数图象在一次函数图象下方，∴当13x <<时，12y y <．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合，利用待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质．掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键．9．（2021·山东青岛·一模）如图，直线y 1＝k 1x +b 与双曲线y 2＝2k x在第一象限内交于A 、B 两点，已知A （1，m ），B （2，1）．(1)分别求出直线和双曲线的解析式；(2)设点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作PD ∴x 轴于点D ，E 是y 轴上一点，当∴PED 的面积最大时，请直接写出此时P 点的坐标为 ． 【答案】(1)y 1＝﹣x +3，22y x =；(2)33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到m 和2k 的值，再根据待定系数法即可得出直线AB 的解析式；（2）设点P (x ，﹣x+3），用含x 的代数式表示出△PED 的面积，即可求解．【详解】(1)解：∴点B (2，1)在双曲线上，∴2k ＝2×1＝2，∴双曲线的解析式为22y x=， ∴A （1，m ）在双曲线22y x =，∴m ＝2，∴A (1，2）． ∴直线AB ：y 1＝k 1x +b 过A （1，2）、B （2，1）两点，则11221k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得113k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +3；(2)解：设点P (x ，﹣x +3），且1≤x ≤2，∴PED 的面积＝12PD •OD ＝12x (﹣x +3)＝﹣12(x ﹣32)2+98， 当x ＝32时，∴PED 的面积取得最大值，此时点P 的坐标为(32，32）， 故答案为：(32，32）． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，二次函数的最值以及三角形的面积公式，求出直线AB 的解析式是解题的关键.10．（2021·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数y ＝k x（k ＞0，x ＞0）的图象上，CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知CD ＝2．(1)点A 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；(2)若该反比例函数图象与DE 交于点Q ，求点Q 的横坐标．【答案】(1)点A 在反比例函数图象上，理由见解析；(2)Q 317+【分析】（1）过点P 作x 轴垂线PG ，连接BP ，可得BP ＝2，G 是CD 的中点，所以P （23； （2）易求D （3，0），E （43，待定系数法求出DE 的解析式为y 3﹣3次函数即可求点Q ．【详解】(1)解：点A 在该反比例函数的图象上，理由如下：过点P 作x 轴垂线PG ，连接BP ，∴P 是正六边形ABCDEF 的对称中心，CD ＝2，∴BP ＝2，G 是CD 的中点，∴PG=BO=BC 3sin 602︒=3∴P （23， ∴P 在反比例函数y ＝k x （k ＞0，x ＞0）的图象上，∴k ＝3∴y 23 由正六边形的性质，A （1，3，∴点A 在反比例函数图象上；(2)解：由（1）得D （3，0），E （43，设DE 的解析式为y ＝mx +b ，∴3043m b m b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴333m b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，∴y 3﹣3 由方程23333y y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得x 317+，∴Q 317+ ．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键．11．（2021·广东清远·二模）如图，一次函数y 1＝k 1x +4与反比例函数22k y x =的图象交于点A (2,m )和B (-6,-2)，与y 轴交于点C ．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)过点A 作AD ∴x 轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP 与线段AD 交于点E ，当S 四边形ODAC :S △ODE ＝4:1时，求点P 的坐标；(3)点M 是y 轴上的一个动点，当∴MBC 为直角三角形时，直接写出点M 的坐标．【答案】(1)y =x +4，12y x =；(2)41515⎝；(3)(0,−2)或(0,−8) 【分析】(1)根据点B 的坐标，利用待定系数法即可求出k 1、k 2的值；(2)根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A 、C 的坐标，根据梯形的面积公式求出S 四边形ODAC 的值，进而即可得出S △ODE 的值，结合三角形的面积公式即可得出点E 的坐标，利用待定系数法即可求出直线OP 的解析式，再联立直线OP 与双曲线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P 的坐标；(3)分∴CMB =90°或∴CBM =90°两种情况考虑，当∴CMB =90°时，根据点B 的坐标即可找出点M 的坐标；当∴CBM =90°时，由直线AB 的解析式可得出∴BCM 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质结合点A 、B 的坐标即可得出点M 的坐标，综上即可得出结论．【详解】(1)解：将点B (−6,−2)代入y 1=k 1x +4，−2=−6k 1+4，解得：k 1=1，故一次函数的解析式为；y =x +4 将点B (−6,−2)代入22k y x =①，226k -=-，解得：k 2=12， 故反比例函数的解析式为12y x=； (2)解：依照题意，画出图形，如图2所示．当x =2时，m =2+4=6，∴点A 的坐标为(2,6)；当x =0时，y 1=x +4=4，∴点C 的坐标为(0,4)，∴()114621022()ODAC S OC AD OD =+⋅=⨯+⨯=四边形，S 四边形ODAC :S △ODE ＝4:1， ∴111210224ODE S OD DE DE =⋅=⨯=⨯，∴DE =2.5，即点EE 的坐标为(2,2.5)， 设直线OP 的解析式为y =kx ，将点E (2,2.5)代入y =kx ，得2.5=2k ，解得：54k =，∴直线OP 的解析式为54y x =， 1254y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：1141515x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩2241515x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴点P 在第一象限，∴点P 的坐标为41515⎝； (3)解：依照题意画出图形，如图3所示．当∴CMB =90°时，BM x ∥轴，∴点M 的坐标为(0,−2)；当90CBM ∠'=︒时，∴B (-6,-2)，C (0,4)，6BM CM ∴==，∴∴BCM =45°，∴∴BCM 为等腰直角三角形，BC=BM ，∴=6M M CM '=，∴点M 的坐标为(0,−8)，综上所述：当∴MBC 为直角三角形时，点M 的坐标为(0,−2)或(0,−8)．【点睛】本题考查了待定系数法求出一次及反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、梯形(三角形)的面积公式，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线． 12．（2021·四川眉山·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）与反比例函数y m x=（m ≠0）的图象相交于A ，B 两点，过点A 作AD ∴x 轴于点D ，AO ＝5，OD ：AD ＝3：4，B 点的坐标为（﹣6，n ）(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求∴AOB的面积；(3)P是y轴上一点，且∴AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．【答案】(1)y23=x+2，y12x=；；(2)∴AOB的面积S9=；(3)P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，258）【分析】（1）设OD=3a，AD=4a，则AO=5a=5，解得：a=1，故点A（3，4），故反比例函数的表达式为：y=12x，故B（-6，2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可求解；（2）∴AOB的面积S=12×OM×（xA-xB）=12×2×（3+6）=9；（3）分AP=AO、AO=PO、AP=PO三种情况，分别求解即可．【详解】(1) AO＝5，OD：AD＝3：4，设：OD＝3a，AD＝4a，则AD＝5a＝5，解得：a＝1，故点A（3，4），则m＝3×4＝12，故反比例函数的表达式为：y12x=，故B（﹣6，﹣2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：4326k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：232kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，故一次函数的表达式为：y23=x+2；(2)解：设一次函数y23=x+2交y轴于点M（0，2），∴点A （3，4），B （﹣6，﹣2），∴∴AOB 的面积S 12=⨯OM ×（xA ﹣xB ）12=⨯2×（3+6）＝9； (3)解：设点P （0，m ），而点A 、O 的坐标分别为：（3，4）、（0，0），AP 2＝9+（m ﹣4）2，AO 2＝25，PO 2＝m 2，当AP ＝AO 时，9+（m ﹣4）2＝25，解得：m ＝8或0（舍去0）；当AO ＝PO 时，同理可得：m ＝±5；当AP ＝PO 时，同理可得：m 258=； 综上，P 点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，258）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．13．（2021·广东云浮·一模）如图，反比例函数k y x=图像和一次函数y ax b =+经过()1,6M 和()2,N a ．(1)求一次函数解析式：(2)一次函数y ax b =+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，求证：AM BN =．【答案】(1)39y x =-+；(2)见解析【分析】(1)把两点的坐标分别代入两解析式，即可求得a 的值，再利用待定系数法确定一次函数的关系式即可；(2)求出A 、B 两点坐标，再根据坐标特征可证得APM NQB ≌，即可证得结论．【详解】(1)解：∴(1,6)和(2,a )经过反比例函数k y x =，∴6=2k k a ⎧⎪⎨=⎪⎩，解得63k a =⎧⎨=⎩ ，∴N (2,3)， 又∴一次函数y ax b =+经过M (1,6)和N (2,3)，∴623a b a b +=⎧⎨+=⎩ 得到39a b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为39y x =-+； (2)解：如图：过M 作MC ∴y 轴，垂足为点C ；过点N 作ND ∴x 轴，垂足为点D ；∴90ACM NDB ∠=∠=︒在一次函数解析式39y x =-+中，令x =0，得y =9；令y =0，得x =3，即A (0,9)，B (3,0),∴AO =9，BO =3, ∴M (1,6)和N (2,3)，∴CO =6，MC =1,DO =2,ND =3,∴AC =AO -CO =9-6=3，BD =BO -DO =3-2=1,∴AC =ND =3，MC =BD =1,在∴APM 和∴NQB 中，90AP NQ APM NQB PM QB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴()APM NQB SAS ≌，∴AMNB =． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数关系式，全等三角形的判定与性质，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法，将坐标转化为线段的长是解决问题的关键．。