历年高考数学难题

历年高考难题[1984]七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由abB A =cos cos ，运用正弦定理，有 .2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴= 因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即2由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10， 所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系， 则内切圆方程为: (x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ，S 最大值=88-0=88，Y X ）S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=α-=α++α++-α+α++α++-α=cos 880)sin 22()cos 22()4sin 2()cos 22()sin 22()6cos 2(222222因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()1(221 =-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x a n n 那么如果3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n=1,2,…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法由条件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，由条件及2>k x 知,0)]212()[2(0)212(2)212(2)212)(1(22111221≤+--⇔≤+++-⇔+-≤⇔+≤-+k k k k k k k k k k k k x x x x x x x再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式k k x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n nx 对所有的正整数n 成立 证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得 k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为 .43)1311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即34lg 3lgan <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1A ，一动点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP=43π时，点P 的速度为V 求这时点M 的速度解：作CD ⊥AM ，并设AP=x ，，∠COD=θ由假设， AC 的长为x AP 3232=， 半径OC=1，可知θ32=考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDMAP AM =∴而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得 [2002] （22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n（I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式； （II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有 （i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a 解（I ）由21=a ，得311212=+-=a a a 由32=a ，得4122223=+-=a a aA P L由43=a ，得5133234=+-=a a a由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ） （II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k 据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+． （ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a n k k n k k nk k[2001] (20) (本小题满分12分)已知i ，m ，n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n ．(Ⅰ)证明i n i im i P m P n <；(Ⅱ)证明(1＋m ) n ＞ (1＋n ) m ．本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分． （Ⅰ）证明： 对于1＜i ≤m 有i m p = m ·…·(m －i ＋1)，⋅-⋅=mm m m m p i im 1…m i m 1+-⋅，同理 ⋅-⋅=n n n n np i i n 1…n i n 1+-⋅， ……4分由于 m ＜n ，对整数k = 1，2…，i －1，有mkm n k n ->-， 所以 i im i i n mp n p >，即imi i n i p n p m >． ……6分 （Ⅱ）证明由二项式定理有()inni i nC m m ∑==+01， ()i mmi i mCn n ∑==+01， ……8分由 (Ⅰ)知i n i p m ＞im i p n (1＜i ≤m ＜n ＝，而 !i p C i m im=，!i p C in in =， ……10分所以， imi i n i C n C m >(1＜i ≤m ＜n ＝． 因此，∑∑==>mi imi mi iniC n Cm 22． 又 10000==m n C n C m ，mn nC mC m n ==11，()n i m C m in i ≤<>0．∴∑∑==>mi imi ni iniC n Cm 0． 即 (1＋m )n ＞(1＋n )m ． [2001] (22) (本小题满分14分)设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1，x 2∈[0，21]都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)．且f (1) = a ＞0． (Ⅰ)求f (21) 及f (41)； (Ⅱ)证明f (x ) 是周期函数； (Ⅲ)记a n = f (2n ＋n21)，求()n n a ln lim ∞→．本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．（Ⅰ）解：因为对x 1，x 2∈[0，21]，都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)，所以=)(x f f (2x ) · f (2x )≥0，x ∈[0，1]． ∵ =)1(f f (2121+) = f (21) · f (21) = [f (21)]2，f (21)=f (4141+) = f (41) · f (41) = [f (41)]2． ……3分0)1(>=a f ，∴ f (21)21a =，f (41)41a =． ……6分（Ⅱ）证明：依题设y = f (x )关于直线x = 1对称， 故 f (x ) = f (1＋1－x )，即f (x ) = f (2－x )，x ∈R ． ……8分 又由f (x )是偶函数知f (－x ) = f (x ) ，x ∈R ， ∴ f (－x ) = f (2－x ) ，x ∈R ， 将上式中－x 以x 代换，得f (x ) = f (x ＋2)，x ∈R ．这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期． ……10分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x )≥0，x ∈[0，1]．∵ f (21)= f (n ·n 21) = f (n 21＋（n －1）·n 21) = f (n 21) · f (（n －1）·n 21)= f (n 21) · f (n 21) · … ·f (n 21)= [ f (n21)]n，f (21) = 21a ，∴ f (n21) = n a 21．∵ f (x )的一个周期是2，∴ f (2n ＋n 21) = f (n21)，因此a n = n a 21， ……12分∴ ()∞→∞→=n n n a lim ln lim (a nln 21) = 0． ……14分 [1999] 23.（本小题满分14分）已知函数()x f y =的图像是自原点出发的一条折线，当(),2,1,01=+≤≤n n y n 时，该图像是斜率为nb 的线段（其中正常数1≠b ），设数列n x 由()(),2,1==n n x f n 定义.Ⅰ.求1x 、2x 和n x 的表达式；Ⅱ.求()x f 的表达式，并写出其定义域；Ⅲ.证明：()x f y =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点.本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力.Ⅰ.解：依题意()00=f ，又由()11=x f ，当10≤≤y 时，函数()x f y =的图像是斜率为10=b 的线段，故由()()10011=--x f x f得.11=x又由()22=x f ，当21≤≤y 时，函数()x f y =的图像是斜率为b 的线段，故由()()b x x x f x f =--1212，即b x x 112=-得.112b x += 记.00=x 由函数()x f y =图像中第n 段线段的斜率为1-n b，故得()().111---=--n n n n n b x x x f x f 又()()1,1-==-n x f n x f n n ； 所以 .2,1,111=⎪⎭⎫ ⎝⎛=---n b x x n n n由此知数列{}1--n n x x 为等比数列，其首项为1，公比为.1b因,1≠b 得(),111111111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=-=--=-∑b b b b b x x x n n nk k k n即.111-⎪⎭⎫⎝⎛-=-b b b x n nⅡ. 解：当10≤≤y ，从Ⅰ可知,x y =当10≤≤x 时，().x x f = 当1+≤≤n y n 时，即当1+≤≤n n x x x 时，由Ⅰ可知()()().3,2,1,1 =≤≤-+=+n x x x x x b n x f n n n n为求函数()x f 的定义域，须对() ,3,2,1111=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n b b b x n n 进行讨论.当1>b 时，111limlim 1-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∞→∞→b bb b b x n n n n ； 当10<<b 时，n x n ,∞→也趋向于无穷大. 综上，当1>b 时，()x f y =的定义域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,0b b ； 当10<<b 时，()x f y =的定义域为[)+∞,0. Ⅲ. 证法一：首先证明当1>b ，11-<<b bx 时，恒有()x x f >成立. 用数学归纳法证明：（ⅰ）由Ⅱ知当1=n 时,在(]2,1x 上, ()(),11-+==x b x f y 所以()()()011>--=-b x x x f 成立（ⅱ）假设k n =时在(]1,+k k x x 上恒有()x x f >成立. 可得 (),111++>+=k k x k x f在(]21,++k k x x 上,()().111++-++=k k x x b k x f 所以 ()()x x x b k x x f k k --++=-++111()()()011111>-++--=+++k k k x k x x b 也成立.由(ⅰ)与(ⅱ)知,对所有自然数n 在(]1,+n n x x 上都有()x x f >成立. 即 11-<<b bx 时,恒有()x x f >. 其次，当1<b ,仿上述证明,可知当1>x 时,恒有()x x f <成立. 故函数()x f y =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点. 证法二:首先证明当1>b ,11-<<b bx 时,恒有()x x f >成立. 对任意的,1,1⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈b b x 存在n x ,使1+≤<n n x x x ，此时有()()()(),10≥->-=-n x x x x b x f x f n n n所以()().n n x x f x x f ->- 又(),1111n n n x bb n x f =+++>=- 所以()0>-n n x x f ，所以()()0>->-n n x x f x x f ， 即有()x x f >成立.其次，当1<b ，仿上述证明，可知当1>x 时，恒有()x x f <成立. 故函数()x f 的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点. [1996]25．已知a 、b 、c 是实数，函数f (x )=ax 2+bx +c ，g (x )=ax +b ，当－1≤x ≤1时，│f (x )│≤1．(Ⅰ)证明：│c │≤1；(Ⅱ)证明：当－1≤x ≤1时，│g (x )│≤2；(Ⅲ)设a >0，当－1≤x ≤1时，g (x )的最大值为2，求f (x )．本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力．满分12分．(Ⅰ)证明：由条件当－1≤x ≤1时，│f (x )│≤1，取x =0得 │c │=│f (0)│≤1， 即│c │≤1． ——2分(Ⅱ)证法一：当a >0时，g (x )=ax +b 在[－1，1]上是增函数， ∴g (－1)≤g (x )≤g (1)，∵│f (x )│≤1 (－1≤x ≤1)，│c │≤1， ∴g (1)=a +b =f (1)－c ≤│f (1)│+│c │≤2，g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≥－(│f (－1)│+│c │)≥－2， 由此得│g (x )│≤2;——5分 当a <0时，g (x )=ax +b 在[－1，1]上是减函数， ∴g (－1)≥g (x )≥g (1)，∵│f (x )│≤1 (－1≤x ≤1)，│c │≤1，∴g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≤│f (－1)│+│c │≤2， g (1)=a +b =f (1)－c ≥－(│f (1)│+│c │)≥－2， 由此得│g (x )│≤2;——7分 当a =0时，g (x )=b ，f (x )=bx +c ． ∵－1≤x ≤1，∴│g (x )│=│f (1)－c │≤│f (1)│+│c │≤2． 综上得│g (x )│≤2． ——8分证法二：由4)1()1(22--+=x x x ，可得b ax x g +=)( )2121(])21()21[(22--++--+=x x b x x a])21()21([])21()21([22c x b x a c x b x a +-+--++++= ),21()21(--+=x f x f——6分当－1≤x ≤1时，有,0211,1210≤-≤-≤+≤x x 根据含绝对值的不等式的性质，得2)21()21()21()21(≤-++≤--+x f x f x f x f 即│g (x )│≤2．——8分(Ⅲ)因为a >0，g (x )在[－1，1]上是增函数，当x =1时取得最大值2， 即g (1)=a +b =f (1)－f (0)=2． ① ∵－1≤f (0)=f (1)－2≤1－2=－1， ∴c =f (0)=－1．——10分因为当－1≤x ≤1时，f (x )≥－1，即f (x )≥f (0)，根据二次函数的性质，直线x =0为f (x )的图像的对称轴，由此得0,02==-b ab即 由① 得a =2． 所以 f (x )=2x 2－1． ——12分[1997]24．(本小题满分12分)设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0),方程f (x )－x =0的两个根x 1,x 2满足0<x 1<x 2<a1． I ．当x ∈(0, x 1)时，证明x <f (x )<x 1；II ．设函数f (x )的图像关于直线x =x 0对称，证明x 0<21x ． 本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x ．因为x 1，x 2是方程f(x)－x =0的根，所以 F(x)=a(x －x 1)(x －x 2)．当x ∈(0，x 1)时，由于x 1<x 2，得(x －x 1)(x －x 2)>0，又a >0，得 F (x )=a (x －x 1)(x －x 2)>0， 即x <f(x)．)](1)[())(()]([)(2121111x x a x x x x x x a x x x F x x x f x -+-=--+-=+-=-因为ax x x 1021<<<< 所以x 1－x >0，1+a (x －x 2)=1+ax －ax 2>1－ax 2>0． 得 x 1－f(x)>0． 由此得f(x)<x 1． (Ⅱ)依题意知ab x 20-= 因为x 1，x 2是方程f (x )－x =0的根，即x 1，x 2是方程ax 2+(b －1)x +c =0的根． ∴ab x x 121--=+， aax ax a x x a a b x 2121)(221210-+=-+=-= 因为ax 2<1，所以22110x a ax x =<． [1986]已知x 1＞0,x 1≠1，且).,2,1(,13)3(221=++=+n x x x x n n n n 试证：数列{x n }或者对任意自然数n 都满足x n ＜x n+1,或者对任意自然数n 都满足x n ＞x n+1.证：首先，,13)1(213)3(22221+-=-++=-+n n n n n n n n n x x x x x x x x x 由于x 1＞0，由数列{x n }的定义可知 x n ＞0，（n=1,2,…） 所以，x n+1-x n 与1-x n 2的符号相同（1）假定x 1<1,我们用数学归纳法证明1-x n 2＞0（N n ∈) 显然，n=1时，1-x 12＞0设n=k 时1-x k 2＞0,那么当n=k+1时,0)13()1(13)3(11223222221>+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-+k k k k k k x x x x x x 因此，对一切自然数n 都有1-x n 2＞0， 从而对一切自然数n 都有x n ＜x n+1（2）若x 1＞1,用理可证，一切自然数n 都有x n ＞x n+1.[1985]八．（本题满分12分） 设a ,b 是两个实数，A={(x,y)|x=n,y=n a +b,n 是整数}， B={(x,y)|x=m,y=3m 2+15,m 是整数}， C={(x,y)|x 2+y 2≤144}，是平面XOY 内的点集合，讨论是否存在a 和b 使得 （1）A ∩B ≠φ（φ表示空集）， （2）（a ,b)∈C 同时成立解：如果实数a 和b 使得（1）成立，于是存在整数m 和n 使得(n,n a +b)=(m,3m 2+15), 即⎩⎨⎧+=+=.153,2m b na m n 由此得出，存在整数n 使得n a +b=3n 2+15, 或写成n a +b-(3n 2+15)=0这个等式表明点P （a ,b)在直线L ：nx+y-(3n 2+15)=0上，记从原点到直线L 的距离为d ，于是12)1221(611532222≥+++=++=n n n n d 当且仅当3,12122==+n n 即时上式中等号才成立由于n 是整数，因此32≠n ，所以上式中等号不可能成立即12>d因为点P 在直线L 上，点P 到原点的距离22b a +必满足.1222>≥+d b a而（2）成立要求a 2+b 2≤144，即1222≤+b a 由此可见使得（1）成立的a 和b 必不能使（2）成立所以，不存在实数a 和b 使得（1），（2）同时成立 九．（附加题，本题满分10分，）已知曲线y=x 3-6x 2+11x-6.在它对应于]2,0[∈x 的弧段上求一点P ，使得曲线在该点的切线在y 轴上的截距为最小，并求出这个最小值解：已知曲线方程是y=x 3-6x 2+11x-6，因此y ＇=3x 2-12x+11 在曲线上任取一点P(x 0,y 0),则点P 处切线的斜率是y ＇|x=x0=3x 02-12x 0+11 点P 处切线方程是y=(3x 02-12x 0+11)(x-x 0)+y 0 设这切线与y 轴的截距为r ，则r=(3x 02-12x 0+11)(-x 0)+(x 03-6x 02+11x 0-6)=-2x 03+6x 02-6根据题意，要求r （它是以x 0为自变量的函数）在区间[0，2]上的最小值因为r ＇=-6x 02+12x 0=-6x 0(x 0-2)当0＜x0＜2时r＇＞0，因此r是增函数，故r在区间[0，2]的左端点x0=0处取到最小值即在点P（0，-6）处切线在y轴上的截距最小这个最小值是r最小值=-6[1990]n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围;(Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+…(n-1)x+n x a>0x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数,在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值也就是a的取值范围为(Ⅱ)证法一:2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.即[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a]a∈(0,1],x≠0.②现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当n=2时②式成立.假如0<a<1,x≠0,则(1+2x a)2=1+2·2x a+22x a2≤2(1+22x)<2(1+22x a).假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以因而当n=2时②式成立.（B ）假如当n=k(k ≥2)时②式成立,即有[1+2x +…+(k-1)x +k x a]2<k[1+22x +…+(k-1)2x a] a ∈(0,1],x ≠0, 那么,当a ∈(0,1],x ≠0时 [(1+2x +…+k x )+(k+1)xa]2=(1+2x +…+k x )2+2(1+2x +…+k x )(k+1)x a+(k+1)2x a 2 <k(1+22x +…+k 2x )+2(1+2x +…+k x )(k+1)x a+(k+1)2x a 2 =k(1+22x +…+k 2x )+[2·1·(k+1)x a+2·2x (k+1)x a+… +2k x (k+1)x a]+(k+1)2x a 2<k(1+22x +…+k 2x )+{[1+(k+1)2x a 2]+[22x +(k+1)2x a 2]+…+[k 2x +(k+1)2x a 2]}+(k+1)2x a 2]=(k+1)[1+22x +…+k 2x +(k+1)2x a 2] ≤(k+1)[1+22x +…+k 2x+(k+1)2x a], 这就是说,当n=k+1时②式也成立.根据(A),(B)可知,②式对任何n ≥2(n ∈N)都成立.即有 2f(x)<f(2x) a ∈(0,1],x ≠0. 证法二:只需证明n ≥2时因为其中等号当且仅当a 1=a 2=…=a n 时成立.利用上面结果知,当a=1,x ≠0时,因1≠2x ,所以有 [1+2x +…+(n-1)x +n x ]2<n[1+22x +…+(n-1)2x +n 2x ]. 当0<a<1,x ≠0时,因a 2<a,所以有 [1+2x +…+(n-1)x +n x a]2≤n[1+22x +…+(n-1)2x +n 2x a 2]<n[1+22x +…+(n-1)2x +n 2x a]. 即有 2f(x)<f(2x) a ∈(0,1],x ≠0.[2000](19) (本小题满分12分)设函数()ax x x f -+=12，其中0>a ．(I) 解不等式()1≤x f ；(II) 求a 的取值范围，使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数．本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．解：(Ⅰ)不等式f (x ) ≤1即12+x ≤1＋ax ，由此得1≤1＋ax ，即ax ≥0，其中常数a ＞0． 所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x ——3分所以，当0＜a ＜1时，所给不等式的解集为{x |0212a ax -≤≤}； 当a ≥1时，所给不等式的解集为{x |x ≥0}． ——6分 (Ⅱ)在区间[0，+∞]上任取x 1、x 2，使得x 1＜x 2．f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )． ——8分(ⅰ)当a ≥1时 ∵11222121++++x x x x <1∴ 11222121++++x x x x －a <0，又x 1－x 2<0， ∴ f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．所以，当a ≥1时，函数f (x )在区间),0[+∞上是单调递减函数． ——10分 (ii)当0<a <1时，在区间),0[+∞上存在两点x 1=0,x 2=212aa-，满足f (x 1)=1，f (x 2)=1，即f (x 1)=f (x 2)，所以函数f (x )在区间),0[+∞上不是单调函数．综上，当且仅当a ≤1时，函数f (x )在区间),0[+∞上是单调函数． ——12分 [1989]24．（本小题满分10分）设f(x)是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对Z k ∈,用kI 表示区间],1k 2,1k 2(+-已知当0I x ∈时，f(x)=x 2. （1）求f(x)在k I 上的解析表达式;（2）对自然数k,求集合上有两个在使方程k k I ax )x (f |a {M ==不等的实根}解：（1）∵f(x)是以2为周期的函数， ∴当Z k ∈时，2k 也是f(x)的周期又∵当k I x ∈时，0I )k 2x (∈-， ∴.)k 2x ()k 2x (f )x (f 2-=-=即对Z k ∈，当k I x ∈时，.)k 2x ()x (f 2-=（2）当Z k ∈且k I x ∈时，利用（1）的结论可得方程).k 8a (a k 16)a k 4(.0k 4)a k 4(x :,ax )k 2x (22222+=-+=∆=++-=-它的判别式是整理得上述方程在区间k I 上恰有两个不相等的实根的充要条件是a 满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++≥++-+<->+].)k 8a (a a k 4[211k 2],)k 8a (a a k 4[211k 2,0)k 8a (a ⎪⎩⎪⎨⎧-≤++<+>+).3(,a 2)k 8a (a )2(,a 2)k 8a (a )1(,0)k 8a (a 化简得由（1）知a>0，或a<-8k.当a>0时：因2+a>2-a ，故从（2），（3） 可得,a 2)k 8a (a -≤+即1k 21a 0.2a ,1)1k 2(.0a 2,)a 2()k 8a (a 2+≤<⎩⎨⎧<≤+⎩⎨⎧>--≤+即即 当a ＜-8k 时：,0k 82a 2<-<+ 易知a 2)k 8a (a +<+无解， 综上所述，a 应满足1k 21a 0+≤<故所求集合}1k 21a 0|a {M k +≤<= [1981]（附加题，本题满分20分，计入总分）已知以AB 为直径的半圆有一个内接正方形CDEF ，其边长为1（如图）设AC=a ，BC=b ，作数列u 1=a-b ，u 2=a 2-ab+b 2, u 3=a 3-a 2b+ab 2-b 3,…………，u k =a k -a k-1b+a k-2b 2-……+(-1)k b k ; 求证：u n =u n-1+u n-2(n ≥3) 证：通项公式可写成u k =a k-a k-1b+a k-2b 2-……+(-1)kb k=ba b a k k k +--+++111)1(因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1, ab=AC ·BC=CD 2=11112111n 11n 111112(1)(1) aba (1) ,(1)(1)()a (1)(1) (1)n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n a b u a ba b a bb ab a ba b a b u a b a b a b a b ab b a ba u u ---------+++++----=+--=+--=+----==-++-----=+--+=故得于是有11.n n b u a b+=+[2001上海春] 21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分7分已知椭圆C 的方程为1222=+y x ，点),(b a P 的坐标满足222≤+b a 过点P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求：（1）点Q 的轨迹方程；（2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数．21．解（1）设点A 、B 的坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，点Q 的坐标为),(y x Q ．当21x x ≠时，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为b a x k y +-=)(由已知12,1222222121=+=+y x y x （1） b a x k y b a x k y +-=+-=)(,)(2211（2） 由（1）得0))((21))((21212121=-++-+y y y y x x x x ， （3）由（2）得b ak x x k y y 22)(2121+-+=+， （4）由（3）、（4）及221x x x +=，221y y y +=，2121x x y y k --=， 得点Q 的坐标满足方程2222=--+by ax y x （5）当21x x =时，k 不存在，此时l 平行于y 轴，因此AB 的中点Q 一定落在x 轴上，即Q 的坐标为（a ，0）显然点Q 的坐标满足方程（5）综上所述，点Q 的坐标满足方程2222=--+by ax y x设方程（5）所表示的曲线为L ，则由⎪⎩⎪⎨⎧=+=--+,12,0222222y x by ax y x 得24)2(2222=-+-+b ax x b a因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∆128222b a b ，由已知1222≤+b a ，所以当1222=+b a 时，△=0，曲线L 与椭圆C 有且只有一个交点P （a ，b ） 当1222<+b a 时，△＜0，曲线L 与椭圆C 没有交点 因为（0，0）在椭圆C 内，又在曲线L 上，所以曲线L 在椭圆C 内故点Q 的轨迹方程为02222=--+by ax y x（2）由⎩⎨⎧==--+,0,02222x by ax y x 解得曲线L 与y 轴交于点（0，0），（0，b ）由⎩⎨⎧==--+,0,02222y by ax y x 解得曲线L 与x 轴交于点（0，0），（a ，0） 当a =0，b =0，即点P （a ，b ）为原点时，（a ，0）、（0，b ）与（0，0）重点，曲线L 与坐标轴只有一个交点（0，0）当a =0且20≤<b ，即点P （a ，b ）不在椭圆C 外且在除去原点的y 轴上时，点（a ，0）与（0，0）重合，曲线L 与坐标轴有两个交点（0，b ）与（0，0）同理，当b =0且10≤<a ，即点P （a ，b ）不在椭圆C 外且在除去原点的x 轴上时，曲线L 与坐标轴有两个交点（a ，0）与（0，0）当10<<a 且)1(202a b -<<，即点P （a ，b ）在椭圆C 内且不在坐标轴上时，曲线L 与坐标轴有三个交点（a ，0）、（0，b ）与（0，0） [2000春]（22）（本小题满分12分）如图，设点A 和B 为抛物线()042>=p px y 上原点以外的两个动点， 已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线本方法以及方程化简的基本技能满分12分解：如图，点A ，B 在抛物线px y 42=上，设 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B B A A y p y B y p y A ,4,,422，OA 、OB 的斜率分别为OA k 、OB k∴ B OBA A A OA y pk y p py y k 4,442===———2分 由OA ⊥AB ，得1162-==⋅BA OBOA y y p k k ① ———4分 依点A 在AB 上，得直线AB 方程()(),442⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-+p y x p y y y y A A B A ② ———6分由OM ⊥AB ，得直线OM 方程 x py y y BA 4-+=③ ———8分 设点M ()y x ,，则y x ,满足②、③两式，将②式两边同时乘以px4-，并利用③式整理得().04222=+-+y x yy y px A A ④ ———10分由③、④两式得 ().0422=+--y x y y pxB A 由①式知， 216p y y B A -= ∴ 0422=-+px y x因为A 、B 是原点以外的两点，所以.0≠x所以M 的轨迹是以（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点 ——12分 [2002春]（理）已知某椭圆的焦点是F 1(–4,0)、F 2(4,0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B|+|F 2B|=10，椭圆上不同的两点A(x 1,y 1)、C(x 2,y 2)满足条件：|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列． （Ⅰ）求该椭圆方程；（Ⅱ）求弦AC 中点的横坐标；（Ⅲ）设弦AC 的垂直平分线的方程为y=kx+m ，求m 的取值范围． （Ⅰ）x 2/25+y 2/9=1；（Ⅱ）x 0=4；（Ⅲ）–16<m<16/5；[2003北京春] 22．（本小题满分13分）已知动圆过定点P （1，0），且与定直线1:-=x l 相切，点C 在l 上. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（Ⅱ）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A ，B 两点.（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由； （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.解：（Ⅰ）依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为x y 42=.（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=xy x y x y 4)1(3)1(32由消y 得 .3,31,03103212===+-x x x x 解得所以A 点坐标为)332,31(，B 点坐标为（3，32-）， .3162||21=++=x x AB 假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++222222)316()32()131(,)316()32()13(y y 由①－②得,)332()34()32(42222-+=++y y.9314-=y 解得 但9314-=y 不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形， 由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 得， 即当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，故32≠y .又2222334928)332()311(||y y y AC +-=-+--=，22223428)32()13(||y y y BC ++=+++=， 9256)316(||22==AB . 当222||||||AB AC BC +>，即9256334928342822++->++y y y y ，即CAB y ∠>,392时为钝角. 当222||||||AB BC AC +>，即9256342833492822+++>+-y y y y ， 即CBA y ∠-<时3310为钝角.又222||||||BC AC AB +>，即2234283349289256y y y y++++->， 即0)32(,03433422<+<++y y y . 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角. 因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或. 解法二：以AB 为直径的圆的方程为222)38()332()35(=++-y x .圆心)332,35(-到直线1:-=x l 的距离为38，所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G )332,1(--. ① ②当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G点不重合，且A ，B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角.过点A 且与AB 垂直的直线方程为9321).31(33332=-=-=-y x x y 得令. 过点B 且与AB 垂直的直线方程为)3(3332-=+x y . 令33101-=-=y x 得. 又由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 解得，所以，当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是).32(9323310≠>-<y y y 或[2003]22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts + t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 6 9 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .Ⅰ）解：用(t,s)表示22ts+，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3) — — — —…………（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640解法二：设0022100ts a +=，只须确定正整数.,00t s数列}{n a 中小于02t的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M 现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r其元素个数为310C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C另法：规定222r t s++=（r,t,s ），10731160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝ （0,1,2） 22C 依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3） 23C （0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4） 24C…………（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C（0,1,10）（0,2,10）.........（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10） (2)7C +422222397()4145.k C C C C =+++++=[2003北京]19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇分别位于A 、B 、C 三点处，且a AC AB ==，b BC 2=，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处（建立坐标系如图）．（Ⅰ）若希望点P 到三镇距离的平方和最小，则P 应位于何处？ （Ⅱ）若希望点P 到三镇的最远距离为最小，则P 应位于何处？（Ⅰ）解：由题设条件a>b>0,设P 的坐标为（0，y ），则P 至三镇距离的平方和为22222)()(2)(y b a y b y f --++= =2222223b a y b a y ++--所以，当322b a y -=时，函数)(y f 取得最小值. 答:点P 的坐标是)3,0(22b a -（Ⅱ）解：记22b a h -=P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|||,||,|,)(222222y h y b y h y h y b y b x g 当当由||22y h y b -≥+解得,222h b h y -≥记,222*hb h y -= 于是⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.|,|,,)(**22y y y h y y y b x g 当当 当0222*≥-=hb h y ，即b h ≥时， 因为22y b +在[),*+∞y 上是增函数，而]y ,(-||*∞-在y h 上是减函数.所以*y y =时,函数)(y g 取得最小值. 点P 的坐标是)2,0(22hb h - y xOB C AP(-b,0)(b,0)y xOB C AP(-b,0)(b,0)当0222*<-=hb h y ，即b h <时，因为22y b +在[),*+∞y上当y=0函数)(y g 取得最小值b ，而]y ,(-||*∞-在y h 上是减函数,且 b ||>-y h ，所以0=y 时, 函数)(y g 取得最小值.答：当b h ≥时，点P 的坐标是)2,0(22hb h - 当b h <时，点P 的坐标是)0,0(，其中22b a h -=20．（本小题满分14分）设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件， ①0)1()1(==-f f②对任意的u 、]1,1[-∈v ，都有|||)()(|v u v f u f -≤- （Ⅰ）证明：对任意]1,1[-∈x ，都有x x f x -≤≤-1)(1 （Ⅱ）证明：对任意的]1,1[,-∈v u 都有1|)()(|≤-v f u f（Ⅲ）在区间]1,1[-上是否存在满足题设条件的奇函数)(x f y =且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-]1,21[ |||)()(|]21,0[ |||)()(|uv v u v f u f uv v u v f u f 若存在请举一例，若不存在，请说明理由．20．本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当]1,1[-∈x 时，有,1|1||)1()(||)(|x x f x f x f -=-≤-=即.1)(1x x f x -≤≤- （Ⅱ）对任意的]1,1[,-∈v u ，当1|||)()(|,1|u |≤-≤-≤-v u v f u f v 有时 当,1|u |时≤-v 0,u <⋅v 不妨设],1,0(),0,1[∈-∈v u 则1>-u v 从而有)1()()1()(|)()(|f v f f u f v f u f -+--≤-1)(2|1||1|<--=-++≤u v v u总上可知，对任意的]1,1[,-∈v u ，都有1|)()(|≤-v f u f（Ⅲ）答：这样满足所述条件的函数不存在.理由如下：假设存在函数)(x f 满足条件，则由.|||)()(|v u v f u f -=- ]1,21[,∈v u 得21|121||)1()21(|=-=-f f又0)1(=f ，所以21|)21(|=f ①又因为)(x f 为奇函数，所以0)0(=f ， 由条件.|||)()(|v u v f u f -<- ]21,0[,∈v u 得21|021||)0()21(||)21(|=-<-=f f f所以 21|)21(|<f ②①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.[2003江苏]22．（本小题满分14分）设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =，C 上的点Q 1的横坐标为1a （a a <<10）.从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y 轴，交曲线C 于点Q n+1.Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a （Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）当21,11≤=a a 时，证明∑=++<-nk k k k a a a 121321)(（Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-nk k k ka a a121.31)(本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.（Ⅰ）解：∵).1,1(),,1(),,(422122121n n n n n n n n n a aa a Q a a a P a a Q ⋅⋅++-1a ∴,121n n a a a ⋅=+ ∴2222122221)1()1(11-+--=⋅=⋅=n n n n a a a a a a a a ==⋅=-++-+3222222122321)1()1()1(n n a aa a a a=1111221211221221)()1()1(---+-==-+++n n n n n a a a a a a a ， ∴.)(121-=n aa a a n（Ⅱ）证明：由a =1知,21n n a a =+ ∵,211≤a ∴.161,4132≤≤a a ∵当.161,132≤≤≥+a a k k 时 ∴∑∑=++=++<-=-≤-nk n k k n k k k ka a a a a a a1111121.321)(161)(161)( （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a =1时，,121-=n a a n因此∑∑∑=++-==++-≤-=-+-nk i i i i nk k k ka a a aa aa a an k k k 1221111121212121121)()()(11∑-=-⋅-<-=1213131211312111)1()1(n i i a a a a a a a = .31121151<++a a a[2004全国2](22)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ，g (x )＝x ln x ． (1)求函数f (x )的最大值；(2)设0＜a ＜b ，证明：0＜g (a )＋g (b )－2g (2ba +)＜(b －a )ln2．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),'f (x)=111-+x.令'f (x)=0，解得x=0，当-1<x<0时, 'f (x)>0,当x>0时,'f (x)<0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0(II)证法一：g(a)+g(b)-2g(2b a +)=alna+blnb-(a+b)ln 2b a +=a ba bb b a a +++2ln 2ln .由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x ≠0)，由题设0<a<b,得021,02<-<->-bba a ab ,因此a a b a a b b a a 2)21ln (2ln -->-+-=+,bb a b b a b a b 2)21ln(2ln -->-+-=+. 所以a b a b b b a a +++2ln 2ln >-022=---ba ab . 又,22b b a b a a +<+ a b a b b b a a +++2ln 2ln <a .2ln )(2ln )(2ln 2ln a b ba ba b b a b b b b a -<+-=+++ 综上0<g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.(II)证法二：g(x)=xlnx,1ln )('+=x x g ,设F(x)= g(a)+g(x)-2g(2xa +),则.2ln ln )]'2([2)(')('xa x x a g x g x F +==+-=当0<x<a 时,0)('<x F 因此F(x)在(0,a)内为减函数x>a 时,0)('>x F 因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a 时，F(x)有极小值F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g(2ba +). 设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则).ln(ln 2ln 2lnln )('x a x xa x x G +-=-+-=当x>0时,0)('<x G ,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2. [2004全国3](22)（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n =2a n +(-1)n ,n ≥1.⑴写出求数列{a n }的前3项a 1,a 2,a 3； ⑵求数列{a n }的通项公式； ⑶证明：对任意的整数m >4，有4511178m a a a +++< . 22.解：⑴当n =1时,有：S 1=a 1=2a 1+(-1)⇒ a 1=1；当n =2时,有：S 2=a 1+a 2=2a 2+(-1)2⇒a 2=0； 当n =3时,有：S 3=a 1+a 2+a 3=2a 3+(-1)3⇒a 3=2； 综上可知a 1=1,a 2=0,a 3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+---- 化简得：1122(1)n n n a a --=+-上式可化为：1122(1)2[(1)]33n n n n a a --+-=+- 故数列{2(1)3n n a +-}是以112(1)3a +-为首项, 公比为2的等比数列.故121(1)233n n n a -+-= ∴121222(1)[2(1)]333n n n nn a --=--=--数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n nn a -=--.⑶由已知得：232451113111[]221212(1)m m m a a a -+++=+++-+-- 23111111[]2391533632(1)m m -=++++++-- 11111[1]2351121=+++++ 11111[1]2351020<+++++ 511(1)1452[]12312m --=+-514221[]23552m -=+-51311131041057()1552151201208m -=-<=<= .。