一阶微分的形式不变性在一元微分学中的应用一

《数学分析》专升本考试大纲一、课程名称：数学分析二、适用专业：数学与应用数学三、考试方法：闭卷考试四、考试时间：120分钟五、试卷结构：总分：100分；判断题：10分；填空题20分；选择题15分；计算证明应用题：55分六、参考教材：1、林元重著，新编数学分析（上、下册），武汉大学出版社，2015年3月第1版2、陈纪修、於崇华、金路编，数学分析（上、下册），高等教育出版社，2004年6月第二版3、华东师范大学数学系编，数学分析（上、下册），高等教育出版社，2011年5月第四版七、考试内容及基本要求第1章极限论1.1引言(一) 考核要求1. 了解数学分析是什么.2. 掌握实数的性质（有序性，稠密性，阿基米德性．实数的四则运算），掌握实数的基本概念和最常见的不等式.3．掌握函数概念和函数的不同的表示方法．4. 掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性．(二) 考核范围1. 数学分析是什么.2. 实数的基本性质和绝对值的不等式，区间与邻域，集合的上下界.3. 函数的定义与表示法，复合函数与反函数，初等函数．4. 函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性．1.2 数列极限概念(一) 考核要求ε-定义证明极限，学会证明1. 深刻理解并掌握数列极限概念，学会用数列极限的N数列极限的基本方法．2. 掌握数列极限的基本性质，掌握四则运算法则.3. 掌握夹逼准则，理解数集确界及确界原理，掌握单调有界准则，理解柯西收敛准则．(二) 考核范围1. 数列极限概念．2. 数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，四则运算法则．3. 数列极限的夹逼准则和单调有界准则，数集的确界及确界原理，数列的子列及相关定理(包括致密性定理)，柯西收敛准则．1.3 函数极限概念及性质(一) 考核要求1. 正确理解和掌握函数极限的M ε-定义、εδ-定义，掌握极限与左右极限的关系，能够用定义证明和计算函数的极限．2. 理解并掌握函数极限的基本性质（唯一性，有界性，保号性，保不等式性，四则运算法则），会用这些性质计算函数的极限．(二) 考核范围1. 函数极限的M ε-定义、εδ-定义，左右极限.2. 函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，四则运算法则．1.4 函数极限存在的准则与两个重要极限(一) 考核要求1. 理解并掌握函数极限的归结原则，了解函数极限的单调有界定理，理解函数极限的柯西准则．能够写出函数极限的归结原理和柯西准则．2. 熟练掌握两个重要极限.(二) 考核范围1. 函数极限的归结，函数极限的单调有界定理，函数极限的柯西准则．2. 两个重要极限.1.5 无穷小量与无穷大量(一) 考核要求掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．(二) 考核范围无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小，无穷大．1.6 连续性概念(一) 考核要求深刻理解并掌握函数连续性概念．(二) 考核范围1. 函数连续，函数左右连续，区间上函数连续的概念.2. 间断点及其分类.1.7 连续函数的局部性质与初等函数的连续性(一) 考核要求掌握连续函数的局部性质和和初等函数的连续性．(二) 考核范围1. 连续函数的局部有界性，局部保号性，四则运算.2. 复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性.1.8 闭区间上连续函数的性质(一) 考核要求1. 理解闭区间上连续函数的最大最小值定理，介值性定理.2. 理解并掌握一致连续性概念，理解一致连续性定理．(二) 考核范围1. 连续函数的最大最小值定理，介值性定理.2. 一致连续性概念，一致连续性定理．1.9 实数的连续性与上(下)极限(一)考核要求1. 理解区间套定理、聚点定理，了解上（下）极限及其性质.2. 理解有限覆盖定理，了解几个基本定理的等价性.(二)考核范围1. 区间套定理、聚点定理，上（下）极限及其性质.2. 有限覆盖定理，几个基本定理的等价性.第2章一元函数微分学2.1 导数的概念(一) 考核要求1. 理解并掌握导数的定义，掌握导数的几何意义，了解导数的物理意义.2. 了解增量——微分公式，掌握可导与连续的关系.了解费马定理、达布定理．(二) 考核范围1. 变化率——导数，单侧导数，导函数，几个基本导数公式，几何意义．2. 增量——微分公式，可导与连续的关系.2.2 导数的运算法则(一) 考核要求1. 熟练掌握导数的四则运算法则，理解反函数的求导法则.2. 熟练掌握复合函数的求导法则及基本导数公式．3. 知道求分段函数在分段点处的导数.(二) 考核范围1．导数的四则运算法则，反函数的求导法则.2. 复合函数的求导法则，对数求导法，基本导数公式．2.3 参变量函数和隐函数的导数(一) 考核要求掌握参变量函数的求导法则，知道求隐函数的导数，会运用求导法则求相关变化率．(二) 考核范围参变量函数的求导法则，隐函数的求导法，相关变化率．2.4 微分(一) 考核要求1. 深刻理解并掌握微分的概念，掌握微分的运算方法，了解微分在近似计算中的应用．2. 理解微分与导数的关系，会利用微分法则求参变量函数和隐函数的导数.(二) 考核范围1. 微分的概念，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用．2. 利用微分法则求参变量函数和隐函数的导数.2.5 高阶导数与高阶微分(一) 教学目的1. 掌握高阶导数的概念和计算，掌握高阶导数的莱布尼茨公式．2. 了解高阶微分及其计算，知道高阶导数与高阶微分的关系.(二) 考核范围1. 高阶导数及其计算，高阶导数的莱布尼茨公式．2. 高阶微分及其计算.2.6 拉格朗日定理和函数的单调性、极值(一) 考核要求1. 掌握罗尔定理和拉格朗日中值定理的条件、结论及证明方法，会应用中值定理证明一些不等式和一些中值公式，了解达布定理和导数极限定理.2. 掌握求函数的单调区间和极值及最值的一般方法.(二) 考核范围1. 极值概念与费马定理.2. 罗尔定理，拉格朗日中值定理，应用中值定理证明不等式和中值公式举例，达布定理，导数极限定理．3. 函数的单调性与极值，函数的最值，最值应用题举例.2.7 柯西中值定理和不定式极限(一) 考核要求掌握柯西中值定理，掌握罗比达法则，会求各种形式的不定式极限.(二) 考核范围柯西中值定理及其简单应用举例，洛必达法则，不定式极限计算举例．2.8 泰勒公式(一) 考核要求理解带两种余项形式的泰勒公式，掌握基本初等函数的麦克劳林公式(熟记六个)，会利用它们求不定式极限，了解泰勒公式在求高阶导数、函数极值以及近似计算方面的应用.(二) 考核范围1. 带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式和麦克劳林公式，几个基本初等函数的麦克劳林公式．2. 泰勒公式应用举例（不定式极限，高阶导数，函数极值，近似计算）.2.9其它应用(一) 考核要求1. 掌握函数凸性与拐点的概念，会求函数凹凸区间与拐点，了解函数凸性在证明不等式方面的应用.2．会求曲线的渐近线，了解函数作图的一般步骤，会描绘函数的图像.f x=近似解的牛顿切线法．3. 了解求方程()0(二) 考核范围f x=的近似解.函数的凸性与拐点，凸性的判定，渐近线，函数作图，方程()0第3章一元函数积分学3.1 不定积分的概念与线性运算(一) 考核要求理解原函数与不定积分的概念，熟练掌握基本积分公式及不定积分的线性运算法则，了解不定积分的几何意义，了解连续分段函数的原函数的求法.(二) 考核范围原函数与不定积分的概念，基本积分公式与线性运算法则，不定积分的几何意义．3.2 换元积分法与分部积分法(一) 考核要求理解并熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法．(二) 考核范围第一、二换元积分法，分部积分法．3.3 有理函数和三角函数有理式的不定积分(一) 考核要求掌握有理函数不定积分的计算方法，会计算一些三角函数有理式的不定积分，会计算一些简单无理函数的不定积分，了解欧拉变换法．(二) 考核范围有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，两类无理函数的不定积分．3.4 定积分的概念与牛顿——莱布尼茨公式(一) 考核要求-定义，了解定积分的几何1. 深刻理解并掌握定积分的概念，知道定积分概念的εδ意义和物理意义．2. 熟练掌握牛顿——莱布尼茨公式，会利用牛顿——莱布尼茨公式计算一些特殊的和式极限．(二) 考核范围-定义)，牛顿—定积分的几何背景和物理背景，定积分的定义(极限形式的定义和εδ—莱布尼茨公式．3.5 可积函数类与定积分的性质(一) 考核要求1. 理解函数可积的必要条件，函数可积的充要条件(可积准则)，掌握三类可积函数，对这些定理的证明及其证明思路只要求读懂，不作其它较高要求.2. 理解并掌握定积分的若干基本性质，能证明一些简单的积分不等式.(二) 考核范围1. 可积的必要条件，上(下)和与上(下)积分，可积的充要条件(可积准则),可积函数类.2. 定积分的基本性质，积分第一中值定理．3.6 微积分学基本定理、定积分的计算(续)(一) 考核要求1. 掌握微积分学基本定理，会求变上(下)限的定积分的导数．2. 熟练掌握换元积分法与分部积分法.3. 理解积分第二中值定理，理解泰勒公式的积分型余项，了解定积分近似计算．(二) 考核范围变上(下)限的定积分，微积分学基本定理，换元积分法与分部积分法，积分第二中值定理，泰勒公式的积分型余项，定积分近似计算．3.7 (3.8)定积分的应用(一) 考核要求1. 领会微元法的要领，掌握平面图形面积、由平行截面面积求体积、平面曲线弧长的计算公式，了解曲线的曲率，旋转曲面的面积．2. 领会定积分在物理应用方面的基本方法．(二)考核范围1. 微元法概述.2. 平面图形的面积，由平行截面面积求体积，平面曲线的弧长与曲率，旋转曲面面积．3. 功，液体静压力，引力．3.9 无穷积分与瑕积分(一) 考核要求1. 掌握无穷积分与瑕积分的定义和计算.2. 理解无穷积分的基本性质，掌握非负函数无穷积分的收敛性判别的比较判别法，掌握绝对收敛和条件收敛的概念，理解狄利克雷判别法和阿贝尔判别法(不作其它较高要求)．3. 了解瑕积分与无穷积分的关系，了解瑕积分的收敛性判别法．(二) 考核范围1. 无穷积分与瑕积分的定义和计算.2. 无穷积分的基本性质，比较判别法(包括极限形式及特殊形式)，绝对收敛与条件收敛，狄利克雷判别法与阿贝尔判别法．3. 瑕积分的收敛性判别法．第4章 级数论4.1 数项级数的基本概念及性质(一) 考核要求1. 理解数项级数收敛与发散的定义，掌握收敛级数的基本性质，能够根据定义或性质判别一些简单简单级数的敛散性.2. 掌握等比级数与调和级数.3. 理解级数收敛的柯西准则，对应用柯西准则判别级数的敛散性不作较高要求.(二) 考核范围数项级收敛与发散的定义和基本性质，等比级数，调和级数，柯西准则．4.2 正项级数(一) 考核要求1. 掌握判别正项级数敛散性的基本方法：比较判别法，比式判别法和根式判别.2. 了解积分判别法和拉贝判别法．(二) 考核范围1. 比较判别法，比式判别法，根式判别法．2. 积分判别法，拉贝判别法．4.3 变号级数(一) 考核要求1. 掌握交错级数的莱布尼茨判别法，掌握绝对收敛与条件收敛概念.2. 理解狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，对其应用一般不作较高要求．3. 理解绝对收敛级数的两条重要性质，对其应用不作较高要求．(二) 考核范围1. 交错级数及其莱布尼茨判别法，绝对收敛与条件收敛．2. 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法.3. 绝对收敛级数的重排，绝对收敛级数的乘积.4.4 函数项级数及其一致收敛性(一) 考核要求1. 深刻理解并掌握函数列和函数项级数一致收敛性的定义，理解一致收敛的柯西准则.2. 掌握一致收敛的另一充要条件(即lim sup ()()0n n x D f x f x →∞∈-=lim sup ()0n n x DR x →∞∈=)，掌握判别函数项级数的魏尔斯特拉斯判别法即优级数判别法．3. 理解判别函数项级数收敛性的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，对其应用不作较高要求．(二) 考核范围1. 函数列与函数项级数一致收敛性的定义，一致收敛的柯西准则.2. 一致收敛的另一充要条件，魏尔斯特拉斯判别法．3. 函数项级数收敛性的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．4.5 一致收敛函数序列与函数项级数的性质(一) 考核要求理解并掌握一致收敛函数列和函数项级数的连续性，逐项积分与逐项求导法则．(二) 考核范围一致收敛函数列与函数项级数的连续性，逐项积分与逐项求导法则．4.6 幂级数及其性质(一) 考核要求掌握幂级数的收敛半径及收敛域的求法，掌握幂级数的基本性质和运算法则．(二) 考核范围幂级数的收敛半径，收敛半径的计算公式，收敛区间和收敛域的概念．4.7 函数的幂级数展开(一) 考核要求掌握泰勒级数和麦克劳林级数，熟记一些初等函数的幂级数展开式，掌握初等函数的幂级数展开.(二) 考核范围泰勒级数，麦克劳林级数，五种基本初等函数的幂级数展开式，初等函数的幂级数展开（直接法和间接法）．4.8 傅里叶级数(一) 考核要求1. 理解三角级数和傅里叶级数定义，掌握傅里叶级数的收敛定理，能够按照收敛定理将比较简单的函数展开成傅里叶级数．2. 掌握以2l为周期的函数的展开式，掌握偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开，掌握正弦级数，余弦级数．3. 了解收敛定理的证明，了解傅里叶级数的一致收敛性．(二) 考核范围1. 三角级数；正交函数系，傅里叶级数，收敛定理，傅里叶级数的展开式举例．2. 以2l为周期的函数的展开式，掌握偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开式，函数的奇延拓与偶延拓及正弦级数与余弦级数．3.黎曼引理，收敛定理的证明，贝塞尔不等式，一致收敛性定理．第5章多元函数微分学5.1多元函数与极限(6)(一) 考核要求1. 理解二元及多元函数的定义．了解平面中邻域，开域，闭域的定义.-定义，知道二元函数极限存在的充要条件，了解方向2. 理解二元函数重极限的εδ极限与累次极限，了解重极限与累次极限的区别与联系．(二) 考核范围1. 二元函数及多元函数,平面中的邻域，开域，闭域.2. 二元函数重极限定义，二元函数极限存在的充要条件，方向极限与累次极限.5.2 二元函数的连续性(一) 考核要求1. 理解二元函数的连续性的定义，知道二元初等函数的连续性.R上的完备性定理，知道有界闭区域上连续函数的整体性质．2. 了解有关二维空间2(二) 考核范围1. 二元函数的连续性的定义，二元初等函数的连续性.R中的聚点定理，致密性定理，闭区域套定理，有限覆盖定理.2. 23. 有界闭域上连续函数的最大最小值定理，介值性定理和一致连续性．(1) 基本要求：掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的性质．(2) 较高要求：掌握有界闭域上连续函数性质的证明要点．5.3 偏导数与全微分(一) 考核要求1. 理解并掌握多元函数偏导数的定义，知道偏导数的几何意义，能够熟练的求出初等函数的偏导数和高阶偏导数，能够求二元函数在一些特殊的导数，知道混合偏导数与求导顺序无关的条件.2. 理解并掌握二元函数可微和全微分的定义，掌握微分法则，掌握可微的必要条件，理解可微的充分条件，了解高阶全微分及其运算．(二) 考核范围1. 多元函数偏导数与高阶偏导数，偏导数的几何意义，混合偏导数与求导顺序无关的条件.2. 二元函数可微和全微分的定义，微分法则，可微的必要条件，可微的充分条件，高阶全微分及其运算．5.4 复合函数微分法与方向导数(一) 考核要求理解并熟练掌握复合函数求导的链式法则，掌握方向导数与梯度的定义及其运算，了解二元函数的梯度的几何意义．(二) 考核范围1. 复合函数链式法则，复合函数的全微分，一阶全微分形式不变性．2. 方向导数与梯度5.5 多元函数的泰勒公式(一) 考核要求理解并掌握多元函数的泰勒公式，了解泰勒公式的一个推论——中值定理．(二) 考核范围泰勒公式与中值定理，泰勒公式的计算与应用举例．5.6 隐函数及其微分法(一) 考核要求1. 理解隐函数定理和可微性定理，掌握隐函数微分法．2. 了解隐函数组及其可微性定理，知道求隐函数组的偏导数.(二) 考核范围1. 隐函数存在性定理，隐函数可微性定理．2. 隐函数组及其可微性定理，反函数组定理．5.7 多元函数偏导数的几何应用(一) 考核要求1. 理解空间曲线(两种表示形式)的切线方程的推导，掌握空间曲线的切线与法平面方程的求法，理解曲面(两种表示形式)的切平面方程的推导，掌握曲面的切平面与法线的求法．2. 了解二元函数全微分的几何意义，了解三元函数梯度的几何意义.(二) 考核范围1. 空间曲线的切线与法平面方程，曲面的切平面与法线方程．2. 二元函数全微分的几何意义，、三元函数梯度的几何意义.5.8多元函数的极值与条件极值(一) 考核要求1. 掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件．2. 了解拉格朗日乘数法，会用拉格朗日乘数法求条件极值．(二) 考核范围1. 二元函数的极值，必要条件与充分条件．2. 条件极值，拉格朗日乘数法，用条件极值的方法证明不等式．第6章多元函数积分学6.1 二重积分(一) 考核要求1. 了解平面点集的面积定义及其性质，理解二重积分的定义和性质，理解有界闭区域上的连续函数可积的结论，理解并熟练掌握化二重积分为累次积分的计算公式．2. 理解二重积分变量变换公式的证明，掌握用极坐标计算二重积分．(二) 考核范围1. 二重积分的定义和性质，化二重积分为累次积分的计算公式．2. 二重积分的变量变换公式，用极坐标计算二重积分．6.2 三重积分(一) 考核要求1. 掌握三重积分的定义，了解三重积分的性质，熟练掌握化三重积分为累次积分的计算公式(柱体法和截面法).2. 了解三重积分变量变换公式，掌握用球坐标和柱坐标计算三重积分．(二) 考核范围1. 三重积分的定义，化三重积分为累次积分的计算公式(柱体法和截面法).2. 三重积分变量变换公式，柱坐标变换公式，球坐标变换公式．6.3 n重积分和广义重积分(一) 考核要求了解n重积分和广义二重积分的概念和性质，了解广义二重积分的收敛性判别．(二) 考核范围n重积分的定义，计算公式，广义二重积分的性质，收敛性判别．6.4 重积分的应用(一) 考核要求掌握用重积分计算计算面积和体积，掌握曲面面积的计算公式，了解物体的重心，转动惯量与引力及其计算公式．(二) 考核范围平面区域的面积，立体的体积，曲面的面积，物体重心，转动惯量，引力．6.5 第一型曲线积分(一) 考核要求理解并掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式．(二) 考核范围第一型曲线积分的定义，性质和计算公式．6.6 第二型曲线积分(一) 考核要求1. 理解并掌握第二型曲线积分的定义，性质，坐标形式和计算公式.2. 了解两类曲线积分之间的联系.(二) 考核范围1. 第二型曲线积分的定义，性质，坐标形式和计算公式.2. 两类曲线积分之间的联系.6.7 格林公式(一) 考核要求理解并掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件．(二) 考核范围格林公式，曲线积分与路线无关的条件．6.8 第一型曲面积分(一) 考核要求理解并掌握第一型曲面积分的定义和计算公式．(二) 考核范围第一型曲面积分的定义和计算公式．6.9 第二型曲面积分(一) 考核要求理解并掌握第二型曲面积分的定义、性质，了解两类曲面积分的联系，掌握第二型曲面积分的计算公式．(二) 考核范围有向曲面的概念，第二型曲面积分的定义、性质，两类曲面积分的联系，第二型曲面积分的计算公式．6.10 高斯公式与斯托克斯公式(一) 考核要求理解并掌握高斯公式和斯托克斯公式．(二) 考核范围高斯公式，斯托克斯公式，沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件．*6.11 含参变量的积分(一) 考核要求1. 理解并掌握含参变量的定积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握计算含参变量的定积分基本方法.2. 了解含参变量的广义积分的一致收敛性概念和性质，了解一致收敛性判别法（魏尔斯特拉斯判别法，狄里克雷判别法和阿贝尔判别法．3. 了解含参变量的广义积分的连续性，可微性与可积性定理，了解含参变量的定积分基本方法.4. 了解Γ函数与β函数的定义、性质及其联系．(二) 考核范围1. 含参变量的定积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，定理的应用.2. 含参变量的广义积分的一致收敛性概念和性质，一致收敛性判别法．3. 连续性，可微性与可积性定理，定理的应用.4．Γ函数与β函数的定义、性质及其联系，余元公式．萍乡学院工程与管理学院2019年3月20日。

301数学一考试大纲一、高等数学（一）函数极限连续1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．（二）一元函数微分学1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分. 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数. 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数. 5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理. 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法. 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用. 8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间内，设函数具有二阶导数。

当f''(x)>0 时，f(x) 的图形是凹的;当f"(x) <0时，f(x) 的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形. 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.（三）一元函数积分学考试要求1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念. 2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法. 3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分. 4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式. 5.了解反常积分的概念，会计算反常积分. 6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值.（四）向量代数和空间解析几何考试要求1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2.掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，了解两个向量垂直、平行的条件. 3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法. 4.掌握平面方程和直线方程及其求法. 5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题. 6.会求点到直线以及点到平面的距离. 7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念. 8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程. 9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程. （五）多元函数微分学考试要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质. 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性. 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程. 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.（六）多元函数积分学考试要求1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理. 2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标). 3.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.4.掌握计算两类曲线积分的方法.5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分.7.了解散度与旋度的概念，并会计算.8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、、形心、转动惯量、引力、功及流量等).（七）无穷级数考试要求1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件. 2.掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件. 3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法. 4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法. 5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系. 6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念. 7.理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法. 8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和. 9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件. 10.掌握，，，及的麦克劳林(Maclaurin)展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数. 11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式.（八）常微分方程考试要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念. 2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法. 3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程. 4.会用降阶法解下列形式的微分方程： . 5.理解线性微分方程解的性质及解的结构. 6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程. 7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程. 8.会解欧拉方程. 9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.二、线性代数（一）行列式考试内容：行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求：1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．（二）矩阵考试内容：矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵等价分块矩阵及其运算考试要求：1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质. 3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．理解矩阵的初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．（三）向量考试内容：向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间以及相关概念n维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质考试要求：1．理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系5．了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念．6．了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．7．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．8．了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质．（四）线性方程组考试内容: 线性方程组的克莱姆（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解考试要求l．会用克莱姆法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法. 4．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．（五）矩阵的特征值及特征向量考试内容: 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵考试要求: 1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量. 2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．（六）二次型考试内容：二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求：1．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变化和合同矩阵的概念了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理．2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法三、概率论与数理统计（一）随机事件和概率考试内容：随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求：1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯(Bayes)公式．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．（二）随机变量及其分布考试内容：随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求：1．理解随机变量的概念．理解分布函数的概念及性质．会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用．3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布. 4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为λ（λ>0）的指数分布的概率密度为5．会求随机变量函数的分布．（三）多维随机变量及其分布考试内容多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质. 理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率．2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件. 3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义．4．会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.（四）随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征2.会求随机变量函数的数学期望.（五）大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫（Chebyshev）不等式切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli)大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre－laplace）定理列维－林德伯格（Levy-Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫不等式．2．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律) . 3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理) . （六）数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为：2．了解分布、分布和分布的概念及性质，了解上侧分位数的概念并会查表计算．3．了解正态总体的常用抽样分布．（七）参数估计考试内容点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计法估计量的评选标准区间估计的概念单个正态总体的均值和方差的区间估计两个正态总体的均值差和方差比的区间估计考试要求1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．3．了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性．4．理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.（八）假设检验考试内容显著性检验假设检验的两类错误单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验考试要求1．理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误．2．掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。

微积分中的函数形式不变性作者：平国庆王志芹来源：《课程教育研究·中》2013年第02期【摘要】一阶微分形式不变性是微积分的一个重要性质，本文将形式不变性推广到微积分的函数中，然后给出了利用函数形式不变性的一些解题技巧。

【关键词】形式不变性复合函数中间变量【中图分类号】O172 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）02-0146-02哲学中说，运动是绝对的，而静止是相对的。

运动使世界千变万化、丰富多彩，同时也让我们难于掌控。

我们总希望能用简单而有效的方法来处理这个世界中的复杂问题。

微积分这门课程，由于其考虑问题的角度是从运动和变化出发的，使得习惯于静止思维方式的初学者较难理解和掌握。

俗语云，以不变应万变。

实际上，在学习微积分的过程中，我们还是有许多“不变”的规律可循的。

说起微积分中的“不变”，我们首先想起的便是一阶微分形式不变性，它是微积分中的一个重要知识点。

一、一阶（全）微分形式不变下面我们分别介绍一元函数的一阶微分形式不变和多元函数的一阶全微分形式不变。

1.一元函数的一阶微分形式不变函数y=f（□）的微分为dy=f1（□）d□，无论符号“□”是自变量还是中间变量，其形式始终是不变的。

2.多元函数的一阶全微分形式不变事实上，除了一阶微分形式不变，微积分中的“不变”还有许多，我们下面就介绍一种。

二、函数形式不变对于函数y=f（u），当u取值于定义域（即u为自变量）时，就是我们定义的一般函数f （u）；而当u取值于另一个函数g（x）的值域（即u为中间变量）时，就是我们定义的复合函数f[g（x）]。

总之，无论是一般函数还是复合函数，函数形式y=f（□）始终是不变的。

例1 已知函数y=sinu，u=1n（x2-1），求由y和n复合而成的复合函数。

解：复合函数为y=sin[1n（x2-1）]，定义域为{x‖x|>1} 。

当z≥2 时，定义域不存在，从而函数f（x，z-x）不存在.由上面的例题可见，两个函数复合而成一个复合函数，实质上就是将一个函数代入另一个函数得到一个新的函数。

2020考研数学复习：高数必考的38个知识点2020考研数学复习：高数必考的38个知识点一、函数极限连续1、正确理解函数的概念，了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性，理解复合函数、反函数及隐函数的概念。

2、理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念以及极限存在与左右极限之间的关系。

掌握利用两个重要极限求极限的方法。

理解无穷小、无穷大以及无穷小阶的概念，会用等价无穷小求极限。

3、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。

了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最.大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。

重点是数列极限与函数极限的概念，两个重要的极限：lim （sinx/x）=1，lim（1+1/x）=e，连续函数的概念及闭区间上连续函数的性质。

难点是分段函，复合函数，极限的概念及用定义证明极限的等式。

二、一元函数微分学1、理解导数和微分的概念，导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程，理解函数可导性与连续性之间的关系。

2、掌握导数的四则运算法则和一阶微分的形式不变性。

了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数，分段函数的一阶、二阶导数。

会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数及反函数的导数。

3、理解并会用罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，了解并会用柯西中值定理。

4、理解函数极值的概念，掌握函数最.大值和最小值的求法及简单应用，会用导数判断函数的凹凸性和拐点，会求函数图形水平铅直和斜渐近线。

5、了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径及两曲线的交角。

6、掌握用罗必塔法则求未定式极限的方法，重点是导数和微分的概念，平面曲线的切线和法线方程函数的可导性与连续性之间的关系，一阶微分形式的不变性，分段函数的导数。

罗必塔法则函数的极值和最.大值、最小值的概念及其求法，函数的凹凸性判别和拐点的求法。

难点是复合函数的求导法则隐函数以及参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的计算。

三、一元函数积分学1、理解原函数和不定积分和定积分的概念。

《高等数学》课程学习指导（部分）绪论《高等数学》(基本内容是微积分)是同学们来到高校要学习的第一门数学课，也是理工科院校高校生最重要的基础课之一。

在起先学习这门课程的时候，假如对该课程探讨的对象是什么及探讨的基本思想方法是什么能有一个初步的了解，那么，对今后如何学习该课程是大有好处的！假如将学习这门课看作是对微积分这座神奇的科学殿堂的一次探究，那么，这个绪论就是为了大家描绘一张简洁的导游图！本次课的目的就是向同学们简要介绍微积分探讨的对象和基本思想在此基础上，我们还将简要说明本课程的教学方法，并就如何学习这门课程向同学们提几点建议。

一、教学内容微积分探讨的对象和方法，关于本课程的教学方法和学习方法。

二、教学要求1．了解初等数学探讨的对象是：常数或常量，简洁的规则几何形体(如直线、直边形、直面形等)，而高等数学探讨的对象是：变数或变量、函数，困难的不规则几何形体(如曲线、曲面、曲边形、曲面形等)。

2．初步理解微积分的基本探讨方法——微元分析法，即(1) 在微小局部，“以匀代不匀”，求得所求量的近似值；(2) 通过极限，将近似值转化为精确值。

3．导数是探讨函数在一点处改变的快慢程度(改变率)。

在匀称改变状况下，需用除法计算的量，在非匀称改变的状况下，往往可用导数来计算，因此，导数可看作初等数学中商(除法)的推广；积分是探讨函数在某一区间内改变的大小，它可看作初等数学中积(乘法)的推广。

4．函数是微积分探讨的对象，极取是微积分的理论基础。

5．学习方法的建议：(1) 培育自学的实力，在学习过程中特殊要特殊留意概念、理论和思想方法的理解；(2) 勤于思索，敢于和擅长发觉问题，大胆提出问题，发表自己的见解，培育自己的创新精神和创新实力。

(3) 培育应用数学的意识、爱好和实力。

第一章映射与函数，极限与连续函数(18-20学时)函数是微积分探讨的对象，它刻画了客观世界变量之间相互联系相互依靠的关系；极限是刻画变量在改变过程中的改变趋势，它既是一个重要概念，又是学习微积分的重要工具和思想方法；函数的连续性是借助于极限概念揭示出来的变量在改变过程中的一个基本性态，连续函数是微积分探讨的主要对象。