2020高考模拟数学试题(全国Ⅱ卷)—文科

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷（全国2卷）( 第二次模拟考试 )注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{}{}1|B 3,2,1,0,1-A >==x x ，，则A B I 的元素个数为 A ．0B ．2C ．3D ．52．复数ii z 2)2(-=(i 为虚数单位)，则A ．5B ．5C ． 25D ．41 3．函数1cos 22sin )(2+-=x x x f 的最小正周期为 A. πB. 2πC. 3πD. 4π4. 已知向量＝(－1,2)，＝(3,1)，）（4,x c =，若⊥-)(，则x ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 2=,则其离心率为A ．2B ．3C ．2D ．3 6．已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示， 则该几何体的体积是A ．1B ．32 C ．2 D ．3 7．若x 、y 满足约束条件，⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤-+00203y y x y x 则y x z 34-=的最小值为A ．0B ．-1C ．-2D ．-38．已知x ＝ln π，y ＝log 52，12=ez -，则A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x9．在数学解题中，常会碰到形如“xyyx -+1”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设b a ,是非零实数，且满足158tan 5sin5cos 5cos5sin π=π-ππ+πb a b a ，则a b ＝A ．4B ．15C ．2D ．3 10．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A ．i i ,iS S ,i 2120=-=< B ． i i ,iS S ,i 2120=-=≤ C ．1220+==<i i ,S S ,i D ．1220+==≤i i ,S S ,i 11．从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是 A ．101 B ．103C ．53 D ．52 12. 已知点A (0,2)，抛物线C 1：)0(2>=a ax y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为 A ．14 B ．12 C ．1 D ．4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数x x x f sin 2)(-=，当[]1,0∈x 时，函数)(x f y =的最大值为_________. 14．已知函数)x (f 是奇函数，当))(f (f ,x lg )x (f x 10010则时，=>的值为_________. 15．已知直三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=6，AC=10，AC AB ⊥,,521=AA 则球O 的表面积为 .16．在△ABC 中，已知 (a ＋b )∶(c ＋a )∶(b ＋c )＝6∶5∶4，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1532. 其中正确结论的序号是 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分) 17．(12分)已知等差数列{}n a 中，1673-=a a ，064=+a a （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求{}n a 的前n 项和n S . 18．(12分)如图所示，四棱锥S-ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，CD AB //,,3===AB AC AD ,4==CD SA P 为线段AB 上一点，,2PB AP = SQ=QC . （1）证明：PQ//平面SAD ; （2）求四面体C-DPQ 的体积. 19．(12分)某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x (万人)与餐厅所用原材料数量y (袋)，得到如下统计表：第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 参会人数x (万人) 13 9 8 10 12 原材料y (袋)3223182428（1）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x by ˆˆ+=； （2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t (袋)的关系为⎩⎨⎧∈≥∈<<-=)(36,380)(360,20400N t t t N t t t C ，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L ＝销售收入－原材料费用）.参考公式： x b y axn x yx n yx x x y y x xbni i ni ii ni i ni i iˆˆ,)())((ˆ1221121-=--=---=∑∑∑∑====. 参考数据：511343i i i x y ==∑，521558ii x ==∑，5213237i i y ==∑.20．(12分)已知椭圆14522=+y x 的右焦点为F ，设直线l :5=x 与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线1l 与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线1l 的倾斜角为π4，求|AB |的值； (2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 21．(12分)已知函数).1ln()(+-=x a x x f （1）的单调区间；求时当)(,2x f a =;（2）当a =1时，关于x 的不等式)(2x f kx ≥在），∞+0[上恒成立，求k 的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分. 22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的方程为1)1(22=+-y x ，的方程为3=+y x ，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求与的极坐标方程；（2）若与的一个公共点为（异于点），与的一个公共点为， 求OBOA 3-的取值范围.O A O B23．[选修4－5：不等式选讲](10分) （1）,1,,,=++∈+c b a R c b a 且已知证明；9111≥++cb a （2）,abc ,R c ,b ,a 1=∈+且已知证明cb ac b a 111++≤++.全国2卷2020届高三第二次模拟数学(文科)试题答案一.选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BAAABBCDDDCD13．2－sin1 14．2lg - 15． 16 ②③17解：设{a n }的公差为d ，则1111(2)(6)16,350,a d a d a d a d ++=-⎧⎨+++=⎩1212181216,4.a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩即118,8,2 2.a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩解得或 （1）a n = 2n-10， a n= －2n +10.（2）S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9). 18 解析：(1)证明: 由已知得AP ＝23AB ＝2.如图，取DS 的中点T ，连接AT ，TQ ，由N 为PC 中点知TQ ∥DC ，TQ ＝12DC ＝2.又AB ∥DC ，故TQ ||=AP ，,,//SAD AT AT MN 平面又⊂∴Θ从而证得PQ//平面SAD ;(2)因为SA ⊥平面ABCD ，Q 为SC 的中点，所以Q 到平面ABCD 的距离为12SA .如图，取DC 的中点E ，连接AE .由AD ＝AC ＝3得AE ⊥DC ，则AE ＝ 5.故S △BCP ＝12×4×5＝2 5.所以四面体C-DPQ 的体积V C-DPQ ＝13×S △D CP ×PA 2＝453.S 球＝4πR 2＝36π.19【答案】（1）15.2-=x y ；（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元.【解析】 (1)由所给数据可得：1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，························2分515222151343510.425 2.5558510.45i ii ii x yx y bxx==--⨯⨯===-⨯-∑∑$，$25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-$， 则y 关于x 的线性回归方程为$$2.51y x =- (2)由(1)中求出的线性回归方程知，当15x =时，36.5y =，即预计需要原材料36.5袋， 因为40020,036,380,36,NNt t t C t t t -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，所以当36t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+， 当35t =时, 利润L=300×35+20=10520 当36t ≥时，利润L ＝700t －380t ，当36t =时，利润.L=700×36-380×36=11520 当t=37时，利润L=700×36.5-380×37=11490综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元. 20．由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)．(1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1. ∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53. ∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×354)910(2⨯+＝1659.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2. 设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3.而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)x 1－3－k (x 2－1) ＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5k x 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0. ∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .21.解：（1）当a=2时，),x ln(x )x (f 12+-=11121+-=+-=x x x )x (f '，()()是减函数，（时，当x f )x f ,x '011<-∈， 是增函数函数；，，，)x (f )x (f ),(x '01>+∞∈()),1[1,1)(+∞-，增区间为的减区间为所以，x f（1）.0)1ln()()1ln()(122≥++-≥+-==x x kx x f kx x x x f a ，即，时，当.)0[0)(0)1ln()(2恒成立即可，在，则只需，设∞+≥≥++-=x g x x x kx x g易知.x xx x ]x k [x x kx )x (g )(g '0101112111200≥+≥+-+=++-==，所以，因为）（， ）上单调递减，，在，此时时，当∞+<≤0[)(0)(0'x g x g k 与题设矛盾；所以,0)0()(=<g x g)(2110(02110)(210''<+-∈>+-==<<x g kx k x x g k ）时，，，当得时，由当，与题设矛盾；时，，（上单调递减，所以，当，在，此时时，，当0)0()()2110)2110()(0)()211('=<+-∈+->∞++-∈g x g kx k x g x g k x 0)0()(0[)(0)(21'=≥∞+≥≥g x g x g x g k ）上单调递增，所以，在，故时，当恒成立.综上，.21≥k22.解：（1）曲线的方程为1)1(22=+-y x ，1C 的极坐标方程为θρcos 2=的方程为3=+y x ，其极坐标方程为θθρsin cos 3+=（2）是一条过原点且斜率为正值的直线，的极坐标方程为⎪⎭⎫⎝⎛∈=20πααθ，，联立1C 与3C 的极坐标方程⎩⎨⎧==αθθρcos 2，得αρcos 2=，即αcos 2=OA联立1C 与2C 的极坐标方程⎪⎩⎪⎨⎧α=θθ+θ=ρsin cos 3，得α+α=ρsin cos 3，即α+α=sin cos OB 3 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛π+α=α-α-α=-4223cos sin cos cos OB OA又⎪⎭⎫ ⎝⎛π∈α20，，所以),(OB OA 113-∈-23. 证明： （1）因为=++++++++=++cc b a b c b a a c b a c b a 111 111++++++++c bc a b c b a a c a b 时等号成立，当3193===≥++++++=c b a a c c a b c c b b a a b （2）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=++bc ac ab c b c a b a c b a 1212122111111121111 又因为,abc 1=所以c ab =1，b ac =1，a bc =1()a b c cb a ++≥++∴111当1===c b a 时等号成立，即原不等式成立。

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标II ）一、选择题1．已知集合{||3,}A x x x Z =<∈，{||1,}B x x x Z =>∈，则A B ⋂= （ ）A.∅B.{3,2,2,3}--C.{2,0,2}-D.{2,2}-【答案】D【解析】{|1||3,}{2,2}A B x x x Z ⋂=<<∈=-，故选D ． 2．4(1)i -= （ ）A.4-B.4C.4i -D.4i【答案】A【解析】42(1)(2)4i i -=-=-，故选A ．3．如图，将钢琴上的12个键依次记为1212,,...,a a a ，设112i j k ≤<<≤．若3k j -=且4j i -=，则称,,i j k a a a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称,,i j k a a a 为原位小三和弦，用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 （ ）A. 5B. 8C.10D. 15【答案】C【解析】原位大三和弦：1i =，5j =，8k =；2i =，6j =，9k =；3i =，7j =，10k =；4i =，8j =，11k =；5i =，9j =，12k =共5个；原位小三和弦：1i =，4j =，8k =；2i =，5j =，9k =；3i =，6j =，10k =；4i =，7j =，11k =；5i =，8j =，12k =共5个；总计10个．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 （ ）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B【解析】积压500份订单未配货，次日产生新订单超过1600份的概率为0.05，其中1200份不需要志愿者配货，志愿者只需负责400份配货，也就是需要志愿者配货的为900份，故需要18名志愿者．5．已知单位向量a ，b 的夹角为60︒，则在下列向量中， 与b 垂直的是 （ ）A.2a b +B.2a b +C.2a b -D.2a b -【答案】D【解析】21(2)2211102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯⨯⨯-=，故选D ． 6．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若5312a a -=，6424a a -=，则nnS a = （ ）A.21n- B.122n--C.122n -- D.121n--【答案】 B 【解析】设等比数列{}n a 的通项公式为11n n a a q -=，根据5312a a -=，6424a a -=．解得11a =，2q =，故12n n a -=，122112nn n S -==--，可得122n n n S a -=- ，故选B ．7．执行右面的程序框图，若输入0k =，0a =，则输出的k 为 （ ）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】当0k =，0a =运行后：1a =，1k =，再次运行后： 3a =，2k =，再次运行后： 7a =，3k =，再次运行后：15a =，4k =，此时达到输出条件，所以输出4k =，故选C ．8．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 （ ）A.5B.5C.5D.5【答案】B【解析】依题意，因为点(2,1)在直线230x y --=上，结合题意可设圆心坐标为(,)a a ，则222(2)(1)a a a -+-=，即2650a a -+=，所以1a =，或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，当圆心坐标为(1,1)时，其到直线230x y --==标为(5,5)时，其到直线230x y --==，综上，可知B 正确． 9．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的两边渐近线分别交于D ，E 两点．若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =． 10．设函数331()f x x x=-，则()f x （ ）A.是奇函数，且在(0,)+∞单调递增B.是奇函数，且在(0,)+∞单调递减C.是偶函数，且在(0,)+∞单调递增D.是偶函数，且在(0,)+∞单调递减【答案】A【解析】因为331()f x x x=-，所以()333311()()()0f x f x x x x x +-=-+--=-，所以函数()f x 是奇函数．又因为331()f x x x =-由函数31y x =（为(0,)+∞增函数）加上函数231y x =-（为(0,)+∞增函数）得到，所以函数331()f x x x =-为(0,)+∞增函数，故选A ． 判断单调性时也可以这样处理：因为当(0,)x ∈+∞，243()30f x x x '=+>，所以()f x 在(0,)+∞上是单调递增的．11．已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为 （ ）B.32C.1【答案】C【解析】2ABC S AB ∆==3AB =．设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得2R =．设O 在ABC ∆内的射影为'O ，'O 是ABC ∆的重心，故2'3O A ==O 到平面ABC 的距离1h ==，故选C ．12． 若2233x y x y ---<-，则（ ）A.ln(1)0y x -+>B.ln(1)0y x -+<C.ln ||0x y ->D.ln ||0x y -<【答案】A【解析】11223323232233xyxy x x y y x y x y -----<-⇒-<-⇒-<-．设1()23xx f x =-，已知()f x 是定义在R 上的增函数，故由112233xyx y -<-可得x y <，所以011y x y x ->⇒-+>，从而ln(1)0y x -+>，故选A ．二、填空题 13．若2sin 3x =-，则cos2x = ． 【答案】19【解析】22281cos 212sin 12()1399x x =-=--=-=． 14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =-，262a a +=，则10S =______． 【答案】25【解析】由262a a +=，可得1152a d a d +++=，因为12a =-，可求出1d =，由数列的前n 项和公式得1010(101)21012045252S ⨯-=-⨯+⨯=-+=． 15．若x ，y 满足约束条件1121x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是_______．【答案】8【解析】方法一：如图当2x =，3y =时，max 8z =．方法二：联立11x y x y +=-⎧⎨-=-⎩，得(1,0)-，联立121x y x y +=-⎧⎨-=⎩，得(0,1)-，联立121x y x y -=-⎧⎨-=⎩，得(2,3)，代入验证可得当2x =，3y =时，max 8z =． 16．设有下列四个命题：1:p 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2:p 过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3:p 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4:p 若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥．则下列命题中所有真命题的序号是 ． ①14p p ∧ ②21p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④【解析】对于1:p 可设1l 与2l 相交，所得平面为α．若3l 与1l 相交，则交点A 必在α内，同理，3l 与2l 交点B 也在α内，故AB 直线在α内，即3l 在α内，故1p 为真命题． 对于2:p 过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数多平面，故2p 为假命题． 对于3:p 空间中两条直线的位置关系有相交、平行、异面，故3p 为假命题． 对于4:p 若m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内的所有直线，故m l ⊥，故4p 为真命题．综上可知：14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题，故正确的有：①③④．三、解答题17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）3b c a -=，证明：ABC ∆是直角三角形． 【解析】（1）由25cos ()cos 24A A π++=可得：25sin cos 4A A +=，2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2A A A A -+=⇒-=⇒=，∵(0,)A π∈，∴3A π=．（2）解法1：由b c -=可得)a b c =-，又2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=，∴2223()b c b c bc +--=，(2)(2)0b c b c ⇒--=，∴2b c =或2c b=（舍），∴a =，即222a c b +=，故三角形为直角三角形．解法2：因为b c -=，由正弦定理得1sin sin 2B C A -==，由于A B C π++=，于是1sin()sin 32C C π+-=，又因为1sin()sin sin sin 32C C C C C π+-=+-1sin sin()23C C C π=-=-,又因为(,)333C πππ-∈-，于是36C ππ-=，6C π=，所以()2B AC ππ=-+=，故三角形为直角三角形．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据,1,2(,...,0)2)(i i x y i =，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160ii x==∑，2011200i i y ==∑，2021()80ii x x =-=∑，2021()9000i i y y =-=∑，201()()800i i i x x y y =--=∑，(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本,1,2(,...,0)2)(i i x y i =的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数：()()niix x y y r --=∑1.414≈【解析】(1) 由题意可知，1个样区这种野生动物数量的平均数12006020==，故这种野生动物数量的估计值6020012000=⨯=；（2）由参考公式得()()0.94niix x yy r --===≈∑；(3)由题意可知，各地块间植物覆盖面积差异很大，因此在调查时，先确定该地区各地块间植物覆盖面积大小并且由小到大排序，每十个分为一组,采用系统抽样的方法抽取20个地块作为样区进行样本统计．19．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C 、D 两点，且4||||3CD AB =． （1）求1C 的离心率；（2）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为12，求1C 与2C 的标准方程．【解析】（1）由题意知：222242232b p a p c a b c ⎧=⋅⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，∴ 24243b c a =⋅，∴ 2232()ac a c =-，即222320c ac a +-=，∴22320e e +-=，∴12e =或2e =-，∵01e <<，即1C 的离心率为12． （2）设1C 的四个顶点到2C 的准线距离为1d ，2d ，3d ，4d ，则：∵123422d a c d a c p d c p d c =-⎧⎪=+⎪⎪⎨==⎪⎪==⎪⎩，又∵ 123412d d d d +++=∴122a c a c c c pc -++++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴6a c += ∵12c a = ∴26c c +=∴216a =，24c =，24p c == ∴212b =∴221:11612x y C +=，22:8C y x =．20．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F （1）证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为111A B C ∆的中心，若6AO AB ==，//AO 平面11EB C F ，且3MPN π∠=，求四棱锥11B EB C F -的体积．【解析】（1）证明∵M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，底面为正三角形，∴1B N BM =，四边形1BB NM 为矩形，∴1//BB MN ，而11//AA BB ，∴1//AA MN ，可得1,,,A A M N 共面，由四边形1BB NM 为矩形，得11MN B C ⊥，由11B N NC =,得111A N B C ⊥，又1MN A N N ⋂=，得11B C ⊥面1A AMN ，11B C ⊂面11EB C F ∴面1A AMN ⊥面11EB C F ；（2）因为//AO 平面11EB C F ，AO ⊂平面1A NMA ，平面1A NMA平面11EB C F NP =，所以//AO NP ，又因为//NO AP ，所以四边形AONP 为平行四边形,6AO NP ==，ON AP ==M 做MH 垂直于NP ，垂足为H ，因为平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN ，所以MH⊥平面11EB C F，由PM =,6AO =,MN =,得PM MNMH PN⋅==11111()242EB C FS B C EF NP =+⋅=，由//BC 平面11EB C F，所以11111113B EB F M EBC FB C C E F V V S MH --==⋅⋅= 21．已知函数()2ln 1f x x =+，（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．【解析】（1）()2f x x c ≤+等价于2ln 21x x c -≤-，设()2ln 2h x x x =-，22(1)'()2x h x x x-=-=， 当01x <<时，()0h x '>，所以()h x 在(0,1)上递增， 当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在(1,)+∞递减，故max ()(1)2h x h ==-，所以12c -≥-．即1c ≥-，所以c 的取值范围是[1,)-+∞； （2）2(ln ln )()(0,,0)x a g x x x a a x a-=>≠>-，所以2222()2ln 2ln 2ln 2ln 2'()()()a x a x a x a x x g x x a x a --+--++==--，令2()2ln 2ln 2(0)a w x x a x x =--++>，则22222()'()a a x w x x x x -=-=， 令'()0w x >得0x a <<，'()0w x <得x a >，所以()w x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减，所以，()()0w x w a ≤=，即'()0g x <，所以，()g x 在(0,)a 和(,)a +∞上单调递减．四、选做题22．已知1C ，2C 的参数方程分别为2124cos :4sin x C y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），21:1x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，（t 为参数）（1）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设1C ，2C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【解析】（1）由题：1C 的普通方程为：40x y +-=，(0,0)x y ≥≥； 因为222222212:12x t t C y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，故2C 的普通方程为：224x y -=；联立1C ，2C ，22404x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点P 坐标为：53(,)22P ，设以设所求圆圆心为(,0)Q a ，半径为a ，故圆心(,0)Q a 到53(,)22P 的距离a =，得1710a =，所以圆Q 的圆心为17(,0)10Q ，半径为1710，圆Q 的直角坐标方程为：2221717()1010()x y -+=，即221705x y x +-=，所以所求圆的极坐标方程为：17cos 5ρθ=．23.已知函数2()|||21|f x x a x a =-+-+.(1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若()4f x ≥，求a 的取值范围.【解析】当2a =时，()|4||3|f x x x =-+-，即 ()27,31,3427,4x x f x x x x -+<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩所以()4f x ≥的解集为32x ≤或112x ≥. （2）222()|||21||(21)||(1)|f x x a x a x a x a a =-+-+≥---+=-，又()4f x ≥，所以2|(1)|4a -≥，则3a ≥或1a ≤-.。

2020年新课标II 高考仿真模拟卷数学（文科） 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数32(1)izi =-，则z 在复平面内对应点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}2|30,{|14}A x x xB x x =-<=<<，则A B =IA ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3)3．椭圆2221x my -=的一个焦点坐标为(0,，则实数m = A ．23 B ．25 C ．23- D ．25-4．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站从中国5个传统节日(春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节)中随机选取3个节日来讲解其文化内涵，那么春节和中秋节都被选中的概率是 A ．310B ．25C ．35D ．7105．在四棱锥P ABCD -中，2PB PD ==，1AB AD ==，3PC ==，则AC =A ．2B．CD．6．若sin 12πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．12B ．12-C．2D． 7．在平行四边形ABCD 中，60,BAD ︒∠=3AB AD =，E 为线段CD 的中点，若6AE AB ⋅=u u u r u u u r，则AC BD ⋅=u u u r u u u rA ．-4B ．-6C ．-8D ．-98．我国古代名著《九章算术》中用“更相减损术“求两个正整数的最大公约数，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入a ＝2916，b ＝1998时输出的a ＝A ．18B ．24C ．27D ．549．将奇函数()3sin(2)cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ+-+<<的图象向右平移ϕ个单位，得到()y g x =的图象，则()g x 的一个单调减区间为A ．5(,)1212ππ-B ．5(,)1212ππ-C ．7(,)1212ππD ．511(,)1212ππ 10．已知函数()ln f x x x ax =+，过点()1,1P 可作两条直线与()f x 的图象相切，则a 的取值范围是 A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．3y x =± B ．3y x =C ．2y x =±D ．2y x =12．已知定义在R上的奇函数()f x恒有(1)(1)f x f x-=+，当[0,1)x∈时，21()21xxf x-=+，则当函数1()()3g x f x kx=--在[0,7]上有三个零点时，k的取值范围是（）A．12,415⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B．22,915⎛⎤--⎥⎝⎦C．22,915⎛⎤--⎥⎝⎦D．221,9153⎛⎤⎧⎫--⋃-⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭第II卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020新课标2高考压轴卷数学（文）一、 选择题（本大题共12小题. 每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合A ＝｛x N ∈｜0≤x ≤3｝，B ＝｛x ∈R ｜－2＜x ＜2｝则A ∩B ( ) A. {0,1}B. {1}C. [0,1]D. [0,2)2.已知复数z 的共轭复数112iz i -=+，则复数z 的虚部是（ ） A.35B.35i C. 35-D. 35i -3.下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“x R ∃∈，使210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x +->”D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题4.角α的终边在直线2y x =上，则()()()()sin cos sin cos αππαπαπα-+-=+--（ ）A.13B. 1C. 3D. －15. 已知向量()1,1a =-r ，()1,b m =r ，若向量a -r与b a -r r 的夹角为4π，则实数m =（ ）A.3 B. 1C. －1D. 36.设变量想x 、y 满足约束条件为2600x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则目标函数3z x y =-的最大值为( )A. 0B. -3C. 18D. 217.一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 1B. 3C. 6D. 28.执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A. 36B. 45C. －36D. －459.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。

2020高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷1一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{2，3，4，6}，B ＝{1，4，7，8}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{4}B ．{2，3，6}C ．{2，3，7}D ．{2，3，4，7}2．（5分）若复数z 满足z （i ﹣1）＝2i （i 为虚数单位），则z 为（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i3．（5分）已知数列{a n }的前n 项和公式是S n =2n 2+3n ，则（ ） A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为3的等差数列C ．是公差为4的等差数列D ．不是等差数列4．（5分）已知m 为实数，直线l 1：mx +y ﹣1＝0，l 2：（3m ﹣2）x +my ﹣2＝0，则“m ＝1”是“l 1∥l 2”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）已知三棱锥D ﹣ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥D ﹣ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为（ ） A ．5π3B ．2πC ．5πD ．20π36．（5分）从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．457．（5分）设曲线在某点的切线斜率为负数，则此切线的倾斜角（ ） A ．小于90° B ．大于90° C ．不超过90°D ．大于等于90°8．（5分）已知函数f （x ）为定义在（一∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝（x ﹣2e ）lnx ．若函数g （x ）＝f （x ）﹣m 存在四个不同的零点，则m 的取值范围为（ ） A ．（﹣e ，e ）B ．[﹣e ，e ]C ．（﹣1，1）D ．[﹣1，1]9．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏10．（5分）已知空间四边形ABCD ，∠BAC =23π，AB ＝AC ＝2√3，BD ＝4，CD ＝2√5，且平面ABC ⊥平面BCD ，则该几 何体的外接球的表面积为（ ） A ．24πB ．48πC ．64πD ．96π11．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的虚轴为（ ） A ．1B ．2C ．√3D ．2√312．（5分）已知定义域为R 的奇函数f （x ）的导函数为f '（x ），当x ＞0时，xf '（x ）＞f （x ）．若a =f(−log 23)−log 23，b =f(log 46)log 46，c =f(sin π8)sin π8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．c ＜b ＜a D ．b ＜c ＜a二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知AB →=(2，k)，CB →=(1，3)，CD →=（2，﹣1），若A ，B ，D 三点共线，则k ＝ ．14．（5分）已知集合A ＝{﹣2，﹣1，−12，13，12，1，2，3}，任取k ∈A ，则幂函数f （x ）＝x k 为偶函数的概率为 （结果用数值表示）．15．（5分）函数的图象是函数f （x ）＝sin2x −√3cos2x 的图象向右平移π3个单位得到的，则函数的图象的对称轴可以为 ． 16．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，以F 为圆心的圆：x 2+y 2﹣4x ﹣32＝0恰好与椭圆的右准线相切，则该椭圆的离心率为 ． 三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定，考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式，随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来，为了研究某种理财工具的使用情况，现对[20，70]年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组，[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]，并整理得到频率分布直方图：（Ⅰ）求图中的a值；（Ⅱ）求被调查人员的年龄的中位数和平均数；（Ⅲ）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，在抽取的8人中随机抽取2人，则这2人都来自于第三组的概率是多少？18．（12分）锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(a2+b2−c2)tanC=√3ab．（1）求C；（2）若3sin A＝4sin B，且△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长．19．（12分）如图，已知抛物线y2＝4x，过焦点F且斜率不为零的直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2））两点，且与其准线交于点D．（1）若|AB|＝8，求直线l的方程；（2）若点M在抛物线上且|MF|＝2．求证：对任意的直线l，直线MA，MD，MB的斜率依次成等差数列．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，P A ＝AD＝4，G为PD的中点，点E在AB上，平面PDC⊥平面PEC．（1）求证：AG⊥平面PCD；（2）求三棱锥A﹣PEC的体积．21．（12分）函数f(x)=e x −1e x ，ℎ(x)=xx+1（1）判断x ＞0时，f （x ）﹣h （x ）的零点个数，并加以说明； （2）正项数列{a n }满足a 1=1，a n e −a n+1=f(a n ) ①判断数列{a n }的单调性并加以证明．②证明：∑ n+1i=1a i ＜2−(12)n．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程为：{x =3+2t y =−1+t （t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程； （2）若点P （3，﹣1），求1|PM|−1|PN|的值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x +1|+|ax ﹣1|．（Ⅰ）当a ＝1时，求不等式f （x ）≤4的解集；（Ⅱ）当x ≥1时，不等式f （x ）≤3x +b 成立，证明：a +b ≥0．2020高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷1参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，4，6}，B＝{1，4，7，8}，则A∩（∁U B）＝（）A．{4}B．{2，3，6}C．{2，3，7}D．{2，3，4，7}【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{2，3，4，6}，B＝{1，4，7，8}，∴∁U B＝{2，3，5，6}，A∩（∁U B）＝{2，3，6}．故选：B．2．（5分）若复数z满足z（i﹣1）＝2i（i为虚数单位），则z为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：Z（i﹣1）＝2i（i为虚数单位），∴﹣Z（1﹣i）（1+i）＝2i（1+i），∴﹣2z＝2（i﹣1），解得z＝1﹣i．则z=1+i．故选：A．3．（5分）已知数列{a n}的前n项和公式是S n=2n2+3n，则（）A．是公差为2的等差数列B．是公差为3的等差数列C．是公差为4的等差数列D．不是等差数列【解答】解：n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n2+3n﹣2（n﹣1）2﹣3（n﹣1）＝4n+1，n＝1时，a1＝S1＝2×12+3×1＝5，符合上式，∴a n＝4n+1．故选：C．4．（5分）已知m为实数，直线l1：mx+y﹣1＝0，l2：（3m﹣2）x+my﹣2＝0，则“m＝1”是“l1∥l2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当m＝1时，两直线方程分别为直线l1：x+y﹣1＝0，l2：x+y﹣2＝0满足l1∥l 2，即充分性成立，当m ＝0时，两直线方程分别为y ﹣1＝0，和﹣2x ﹣2＝0，不满足条件． 当m ≠0时，则l 1∥l 2⇒3m−2m=m 1≠−2−1，由3m−2m =m 1得m 2﹣3m +2＝0得m ＝1或m ＝2，由m 1≠−2−1得m ≠2，则m ＝1，即“m ＝1”是“l 1∥l 2”的充要条件， 故选：A ．5．（5分）已知三棱锥D ﹣ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥D ﹣ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为（ ） A ．5π3B ．2πC ．5πD ．20π3【解答】解：如图，当三棱锥D ﹣ABC 的体积取到最大值时，则平面ABC ⊥平面DBC ， 取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，则AG ⊥BC ，DG ⊥BC分别取△ABC 与△DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的 垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心， 由AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，得正方形OEGF 的边长为√36，则OG =√66 ∴四面体A ﹣BCD 的外接球的半径R =√OG 2+BG 2=(√66)2+(12)2=√512∴球O 的表面积为=4π×(√512)2=5π3， 故选：A ．6．（5分）从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【解答】解：从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，基本事件总数n =C 52=10，选中的2人是1名男同学1名女同学包含的基本事件个数m =C 21C 31=6，则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是p =m n =610=35． 故选：C ．7．（5分）设曲线在某点的切线斜率为负数，则此切线的倾斜角（ ） A ．小于90° B ．大于90° C ．不超过90°D ．大于等于90°【解答】解：设此切线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），θ≠90°． ∵曲线在某点的切线斜率为负数， ∴tan α＜0，∴α∈（90°，180°）， 故选：B ．8．（5分）已知函数f （x ）为定义在（一∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝（x ﹣2e ）lnx ．若函数g （x ）＝f （x ）﹣m 存在四个不同的零点，则m 的取值范围为（ ） A ．（﹣e ，e ）B ．[﹣e ，e ]C ．（﹣1，1）D ．[﹣1，1]【解答】解：A 当x ＞0时，f ′(x)=lnx +1−2ex ．f′(x)=1x +2ex 2＞0，故f '（x ）在（0，+∞）上单调递增，因为f '（e ）＝0．故ff （x ）在（0，e ）上单调递战，在（e ，+∞）上单调递增． 如图为f （x ）大致图象．由g （x ）＝f （x ）﹣m 存在四个不同的零点知 y ＝m 与y ＝f （x ）的图象有四个不同交点， 故m ∈（﹣e ，e ）， 故选：A ．9．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【解答】解：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，∴S7=a1(1−27)1−2=381，解得a1＝3．故选：B．10．（5分）已知空间四边形ABCD，∠BAC=23π，AB＝AC＝2√3，BD＝4，CD＝2√5，且平面ABC⊥平面BCD，则该几何体的外接球的表面积为（）A．24πB．48πC．64πD．96π【解答】解：在三角形ABC中，∠BAC=23π，AB＝AC＝2√3，由余弦定理可得BC=√AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos23π=6，而在三角形BCD中，BD＝4，CD＝2√5，∴BD2+CD2＝BC2，即△BCD为直角三角形，且BC为斜边，因为平面ABC⊥平面BCD，所以几何体的外接球的球心为为三角形ABC的外接圆的圆心，设外接球的半径为R，则2R=BCsin23π=4√3，即R＝2√3，所以外接球的表面积S＝4πR2＝48π，故选：B．11．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的虚轴为（ ） A ．1B ．2C ．√3D ．2√3【解答】解：抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为（2，0），准线方程为直线x ＝﹣2， ∵双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，∴双曲线的右焦点坐标为F （2，0）， ∴双曲线的左焦点坐标为F ′（﹣2，0）， ∵|PF |＝5，∴点P 的横坐标为3，代入抛物线y 2＝8x ，y ＝±2√6， 不妨设P （3，2√6），∴根据双曲线的定义，|PF '|﹣|PF |＝2a 得出√25+24−√1+24=2a ， ∴a ＝1， ∵c ＝2， ∴b =√3，∴双曲线的虚轴长为：2√3． 故选：D ．12．（5分）已知定义域为R 的奇函数f （x ）的导函数为f '（x ），当x ＞0时，xf '（x ）＞f （x ）．若a =f(−log 23)−log 23，b =f(log 46)log 46，c =f(sin π8)sin π8，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a【解答】解：令g （x ）=f(x)x（x ≠0）， 由于f （x ）为R 上的奇函数，所以g （x ）=f(x)x （x ≠0）为定义域上的偶函数， 又当x ＞0时，xf '（x ）＞f （x ）， 所以，当x ＞0时，g ′（x ）=xf′(x)−f(x)x 2＞0，所以，偶函数g （x ）在（0，+∞）上单调递增； 又0＜sin π8＜1＜log 46＜log 49＝log 23，所以g （sin π8）＜g （log 46）＜g （log 49）＝g （log 23）＝g （﹣log 23），即c ＜b ＜a ， 故选：C ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知AB →=(2，k)，CB →=(1，3)，CD →=（2，﹣1），若A ，B ，D 三点共线，则k ＝ ﹣8 ．【解答】解：∵AB →=(2，k)，CB →=(1，3)，CD →=（2，﹣1）， ∴BD →=CD →−CB →=（1，﹣4）， ∵A ，B ，D 三点共线，∴21=k −4．解得k ＝﹣8． 故答案为：﹣8．14．（5分）已知集合A ＝{﹣2，﹣1，−12，13，12，1，2，3}，任取k ∈A ，则幂函数f （x ）＝x k 为偶函数的概率为14（结果用数值表示）．【解答】解：集合A ＝{﹣2，﹣1，−12，13，12，1，2，3}，任取k ∈A ， 基本事件总数n ＝8，幂函数f （x ）＝x k 为偶函数包含的基本事件个数m ＝2， ∴幂函数f （x ）＝x k 为偶函数的概率为P =m n =28=14． 故答案为：14．15．（5分）函数的图象是函数f （x ）＝sin2x −√3cos2x 的图象向右平移π3个单位得到的，则函数的图象的对称轴可以为 x =kπ2+π4，k ∈Z ． 【解答】解：∵f （x ）＝sin2x −√3cos2x ＝2sin （2x −π3），∴向右平移π3个单位得到的函数解析式为y ＝2sin[2（x −π3）−π3]＝﹣2sin2x ，∴令2x ＝k π+π2，k ∈Z ，可解得x =kπ2+π4，k ∈Z ， 故答案为：x =kπ2+π4，k ∈Z ．16．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，以F 为圆心的圆：x 2+y 2﹣4x﹣32＝0恰好与椭圆的右准线相切，则该椭圆的离心率为12．【解答】解：以F 为圆心的圆：x 2+y 2﹣4x ﹣32＝0可得：（x ﹣2）2+y 2＝36，半径为6，圆心F （2，0），椭圆的右准线x =a 2c =a 22，所以由题意可得：a 22−2＝6，解得a ＝4，所以离心率e =c a =12， 故答案为：12．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定，考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式，随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来，为了研究某种理财工具的使用情况，现对[20，70]年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组，[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]，并整理得到频率分布直方图： （Ⅰ）求图中的a 值；（Ⅱ）求被调查人员的年龄的中位数和平均数；（Ⅲ）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，在抽取的8人中随机抽取2人，则这2人都来自于第三组的概率是多少？【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得： （0.005+a +0.04+a +0.015）×10＝1， 解得a ＝0.02．（Ⅱ）由频率分布直方图得频率在[20，40）的频率为：（0.005+0.02）×10＝0.25，[40，50）的频率为：0.04×10＝0.4，∴被调查人员的年龄的中位数为：40+0.5−0.250.4×10=46.25，被调查人员的年龄的平均数为：25×0.005×10+35×0.02×10+45×0.04×10+55×0.02×10+65×0.015×10＝47．（Ⅲ）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，第二组抽取：8×0.020.02+0.04+0.02=2人，第三组抽取：8×0.040.02+0.04+0.02=4人，第四组抽取：8×0.020.02+0.04+0.02=2人，在抽取的8人中随机抽取2人，基本事件总数为：n=C82=28．这2人都来自于第三组包含的基本事件个数m=C42=6，则这2人都来自于第三组的概率是p=mn=628=314．18．（12分）锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(a2+b2−c2)tanC=√3ab．（1）求C；（2）若3sin A＝4sin B，且△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）∵(a2+b2−c2)tanC=√3ab，∴2ab cos C tan C=√3ab，即sin C=√3 2，由已知可知，C为锐角，故C=13π，（2）因为3sin A＝4sin B，由正弦定理可得3a＝4b，由三角形的面积公式可得，3√3=12absinC=12×a×3a4×√32，解可得，a＝4，b＝3，由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝16+9﹣2×4×3×12=13，所以c=√13，三角形的周长7+√13．19．（12分）如图，已知抛物线y2＝4x，过焦点F且斜率不为零的直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2））两点，且与其准线交于点D．（1）若|AB|＝8，求直线l的方程；（2）若点M 在抛物线上且|MF |＝2．求证：对任意的直线l ，直线MA ，MD ，MB 的斜率依次成等差数列．【解答】解：（1）因为抛物线y 2＝4x ，所以抛物线焦点坐标为F （1，0）， ∵直线l 的斜率不为0，所以设直线l 的方程为：x ＝my +1， 由{x =my +1y 2=4x得y 2﹣4my ﹣4＝0， 所以y 1+y 2＝4m ，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2， ∴|AB |=x 1+x 2+2=4m 2+4=8，∴m 2＝1， ∴m ＝±1，∴直线l 的方程为x ﹣y ﹣1＝0或x +y ﹣1＝0；（2）证明：因为|MF |＝2，所以由抛物线的定义可得，点M 的横坐标为1， 故M （1，2）或M （1，﹣2），由（1）知D （−1，−2m）， ①M （1，2）时，则k MA=y 1−2x 1−1=4y 1+2，k MB =y 2−2x 2−1=4y 2+2，k MD =2+2m 2=m+1m， 因为k MA +k MB =4y 1+2+4y 2+2=4⋅y 1+y 2+4(y 1+2)(y 2+2)=4⋅y 1+y 2+4y 1y 2+2(y 1+y 2)+4， 由（1）知y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，代入上式得k MA +k MB =2m+2m， 显然2k MD ＝k MA +k MB ，②若M （1，﹣2）时，仿上（或由对称性）可得2k MD ＝k MA +k MB ，综上可得，对任意的直线f （0）＝1，直线a +b +c ＝1，a ，b 的斜率始终依次成等差数列． 20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，P A ＝AD ＝4，G 为PD 的中点，点E 在AB 上，平面PDC ⊥平面PEC ． （1）求证：AG ⊥平面PCD ； （2）求三棱锥A ﹣PEC 的体积．【解答】解：（1）证明：∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD，又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥AG，∵P A＝AD，G为PD的中点，∴AG⊥PD，∴AG⊥平面PCD．（2）解：作EF⊥PC于F，∵平面PEC⊥平面PDC，∴EF⊥面PDC，由（1）知AG⊥平面PDC，∴AG∥EF，∵AG⊄平面PEC，∴AG∥平面PEC，∵AE∥CD，CD⊂面PCD，AE⊄平面PCD，∴AE∥平面PCD，∵平面AEFG∩平面PCD＝FG，AF⊂平面AEFG，∴AE∥FG，∴四边形AEFG是平行四边形，∵P A＝AD，G为PD的中点，∴AE＝FG=12CD=2，S△AEC=12×AE×AD=4，∴V P−AEC=13×S△AEC×PA=13×4×4=163，∴三棱锥A﹣PEC的体积：V A﹣PEC＝V P﹣AEC=16 3．21．（12分）函数f(x)=e x −1e x ，ℎ(x)=xx+1（1）判断x ＞0时，f （x ）﹣h （x ）的零点个数，并加以说明； （2）正项数列{a n }满足a 1=1，a n e −a n+1=f(a n ) ①判断数列{a n }的单调性并加以证明．②证明：∑ n+1i=1a i ＜2−(12)n．【解答】解：（1）当x ＞0时，f （x ）﹣h （x ）=e x −x−1e x (x+1)，令t （x ）＝e x ﹣x ﹣1，x ＞0，则t ′（x ）＝e x ﹣1＞0，故t （x ）在（0，+∞）上单调递增， 所以t （x ）＞t （0）＝0，所以f （x ）﹣h （x ）＞0即零点个数为0， （2）①数列{a n }为递减数列，证明如下： 因为a 1=1，a n e −a n+1=f(a n )， 所以a n+1=−ln 1−e −a na n，要证明数列{a n }为递减数列，只要证明a n +1＜a n ，即a n+1=−ln 1−e −a na n＜a n ，只要证﹣ln 1−e −xx＜x ，x ＞0，即1﹣e ﹣x ＞xe ﹣x ，由f （x ）=e x −1e x=1−e −x ， 所以1﹣e ﹣x＞xe ﹣x＝x [1﹣（1﹣e ﹣x）]即f （x ）=e x −1ex =1−e −x ＞h （x ），由（1）可知结论成立，②要证明：∑ n+1i=1a i ＜2−(12)n，由a 1＝1，只要证明a n+1＜12n ，只要证a n+1＜12a n ， 由于a 1＝1，此时a n+1＜12a n ＜a n−122＜⋯＜a 12n =12n c 成立， 所以即证﹣ln1−e −a na n＜12a n ，即﹣ln1−e −xx＜12x ，即1−e −xx＞e −x 2，即e x 2−e−x2＞x ，（x ＞0），令m （x ）=ex 2−e−x2−x ，（x ＞0），则m′(x)=12(e x 2+e −x 2)−1＞0， 因此m （x ）在（0，+∞）上单调递增， 所以m （x ）＞m （0）＝0，于是ex 2−e−x2＞x成立，原不等式成立．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程为：{x =3+2t y =−1+t （t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程； （2）若点P （3，﹣1），求1|PM|−1|PN|的值．【解答】解：（1）∵曲线C ：ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2＝4x ， 即（x ﹣2）2+y 2＝4，∵直线l 的参数方程为：{x =3+2t y =−1+t （t 为参数），∴直线l 的普通方程为：x ﹣2y ﹣5＝0（2）∵直线l 的参数方程为：{x =3+2ty =−1+t（t 为参数），∴{x =32√5y =−1+1√5， 代入x 2+y 2＝4x ，得t 2√5−2=0∴t 1+t 2=√5t 1t 2=−2， ∴1|PM|−1|PN|=1|t 1|−1|t 2|=|t 2|−|t 1||t 1||t 2|=±|t 2+t 1||t 1t 2|=±√55． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x +1|+|ax ﹣1|．（Ⅰ）当a ＝1时，求不等式f （x ）≤4的解集；（Ⅱ）当x ≥1时，不等式f （x ）≤3x +b 成立，证明：a +b ≥0．【解答】（Ⅰ）解：当a ＝1时，f （x ）＝|x +1|+|x ﹣1|={2x ，x ＞12，−1≤x ≤1−2x ，x ＜−1．∵f （x ）≤4，∴{2x ≤4x ＞1或﹣1≤x ≤1或{−2x ≤4x ＜−1，∴1＜x ≤2或﹣1≤x ≤1或﹣2≤x ＜﹣1，∴﹣2≤x ≤2， ∴不等式的解集为{x |﹣2≤x ≤2}．（Ⅱ）证明：当x ≥1时，不等式f （x ）≤3x +b 成立， 则x +1+|ax ﹣1|≤3x +b ， ∴|ax ﹣1|≤2x +b ﹣1，∴﹣2x ﹣b +1≤ax ﹣1≤2x +b ﹣1， ∴{(a +2)x ≥2−b(a −2)x ≤b， ∵x ≥1，∴{a +2≥0a +2≥2−ba −2≤0a −2−b ≤0，∴{−2≤a ≤2a +b ≥0a −2≤b ，∴a +b ≥0．。

2020年高考数学模拟卷（全国Ⅱ卷文科）时间：120分钟满分：160分命卷人：* 审核人：一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知集合,,则( )A. B.C. D.2. 若复数满足,则在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知圆,直线,若圆上总存在到直线的距离为的点,则实数的取值范围为A.B.C.D.4. 《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作,在《算经》中有一题:某女子善于织布,一天比一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布尺,天共织布尺,则该女子织布每天增加( )A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺5. 已知直线与双曲线无公共点,则双曲线离心率的取值范围为( )A. B.C. D.6. 某兴趣小组合作用纸片制作了一个封闭的手工制品,并将其绘制成如图所示的三视图,其中侧视图中的圆的半径为,则制作该手工制品所需材料最少为( )A. B.C. D.7. 在中,,,,则( )A. B.C. 或D. 或8. 从某中学抽取名学生进行阅读调查,发现每年读短篇文章量都在篇至篇之间,频率分布直方为( )图如图所示,则对这名学生的阅读量判断正确的ArrayA. 的值为B. 平均数约为C. 中位数大约为D. 众数约为9. 已知椭圆左、右焦点分别为、,为椭圆上一点,且,若的最小值为,则椭圆的离心率为( )A. B.C. D.10. 已知函数,若正实数满,则的最小值是( )A. B.C. D.11. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直.执行如图所示的程序框图,若输出的的值为,则判断框中的值可以为( )A. B.C. D.12. 已知定义在上的函数,其导函数为,且对任意都有.若,则不等式的解集为( )A. B.C. D.二、填空题（每小题5分,共20分）13. 设,满足约束条件,若目标函数的最大值与最小值分别为,,则__________.14. ,,,的夹角为,则与的夹角为__________.15. 在三棱锥中,平面,,,则三棱锥外接球的表面积为__________.16. 已知点到直线的最大距离为,则____.三、解答题（每小题12分,共84分）17. 在正项等比数列中,已知,. (1)求数列的通项公式; (2)令,求数列的前项和.18. 新高考最大的特点就是取消文理科,除语文、数学、外语之外,从物理、化学、生物、政治、历史、地理这科中自由选择三门科目作为选考科目.某研究机构为了了解学生对全理(选择物理、化学、生物)的选择是否与性别有关,觉得从某学校高一年级的名学生中随机抽取男生,女生各人进行模拟选科.经表.统计,选择全理的人数比不选全理的人数多人. (1)请完成下面的列联Array(2)估计有多大把握认为选择全理与性别有关,并说明理由; (3)现从这名学生中已经选取了男生名,女生名进行座谈,从中抽取名代表作问卷调查,求至少抽到一名女生的概率. 附:,其中.20. 已知抛物线,其焦点为,直线过点与交于、两点,当的斜率为时,.(1)求的值; (2)在轴上是否存在一点始终满足(点为坐标原点)?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.21. 已知函数,. (1)设函数,若是函数的唯一极值点,求实数的取值范围; (2)若函数有两个零点,,证明:.22. 在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (1)求曲线的普通方程; (2)已知,直线与曲线交于,两点,求的最大值.,若存在使成立,求实数的取值范围.第1题：【答案】A【解析】由得,,即,由,得,所以,所以.第2题：【答案】A【解析】由,得,所以在复平面内对应的点位于第一象限.第3题：【答案】B【解析】若圆上只有一点到直线的距离为时,圆心到直线的距离为,故要使圆上总存在到直线的距离为的点,则圆心到直线的距离,即,即.第4题：【答案】B【解析】本题可以转为等差数列问题:已知首项,前项的和,求公差,由等差数列的前项公式可得,,解得.第5题：【答案】B【解析】双曲线的一条渐近线为,因为直线与双曲线无公共点,故有,即,,所以,所以.第6题：【答案】D【解析】由三视图可知,该手工制品是由两部分构成,每一部分都是相同圆锥的四分之一,且圆锥的底面半径为,高为,故母线长为,故每部分的表面积为,故两部分表面积为.第7题：【答案】D【解析】,所以,所以或,当时,由余弦定理可得,,同理,时,.第8题：【答案】C【解析】由,解得,故A错; 由A可知,,所以平均数为,故B错误;居民月用电量在的频率为:,居民月用电量在的频率为:,∴这户居民月用电量的中位数大约为,故C正确;由频率分布直方图可知,众数大约为,故D第9题：【答案】C【解析】由,得,当最小且最大时,取得最小值,所以,所以,所以离心率.第10题：【答案】A【解析】因为, 所以, 所以函数为奇函数,又若正实数满,所以, 所以, 当且仅当,即时,取等号.故选A.第11题：【答案】B【解析】,则的图象在处的切线斜率,由于切线与直线垂直,则有,则,所以,所以,所以,由于输出的的值为,故总共循环了次,此时,故的值可以为.第12题：【答案】B【解析】由,得, 即,即,亦即, 设,即,故在上单调递增.因为,所以.不等式,即,所以,即所求不等式的解集为,故选B.第13题：【答案】【解析】,满足约束条件的可行域如下图,由,得由,得,将目标函数化为,由图可知,当直线经过点时目标函数取得最小值,所以;当直线经过点时目标函数取得最大值,所以,所以有.第14题：【答案】【解析】,所以,设与的夹角为,则,又因为,所以.第15题：【答案】【解析】设外接圆的半径为,则,∴,设三棱锥外接球的半径为,则,故外接球的表面积.第16题：【答案】或【解析】点到直线的距离,当时,,所以;当时,,所以.综上,或.第17题：【答案】略【解析】(1)设公比为,则由题意可知:,又,所以,所以=. (2),∴.第18题：【答案】见解析【解析】(1)依题意可得列联表:(2),∴的把握认为选择全理与性别有关; (3)设名男生分别为,,,两名女生分别为,.从名学生中抽取名所有的可能为:,共种,不包含女生的基本事件有,共种,故所求概率.第19题：【答案】略【解析】(1)∵平面,平面,∴,∵,是的中点,∴,又,∴平面. (2)∵,平面,∴平面,∴,∴.同理在中,,在梯形中,易得.所以等腰底边上的高为,所以,又,∵,平面,∴平面,∴点到平面的距离等于点到平面的距离,∵,∴.设点到平面的距离为,则由,得,所以.∵点为的中点,∴点到平面的距离为.第11页，共11页第20题：【答案】略【解析】(1),当直线的斜率为时,其方程为,设,,由,得,把代入抛物线方程得, 所以,所以,所以. (2)由(1)可知,抛物线,,由题意可知,直线的斜率存在,设其方程为,将其代入抛物线方程为,则,,假设在轴上存在一点满足,则,即,即,所以,即,由于,所以,即,即在轴上存在点始终满足.第21题：【答案】略 【解析】由,可得,∵函数有唯一极值点,∴,即恒成立,设,则, 当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增,所以,所以,即实数的取值范围是. (2),∵,是函数的两个零点,∴,,∴,.要证,即证.设,则等价于,即证,令,且,即证,则,则,令,则,故在上单调递增,故,所以函数在上单调递增,所以.即对任意恒成立,所以. 第22题： 【答案】见解答 【解析】(1)∵,∴,∴,即. (2)将直线的参数方程(为参数)代入的普通方程,得,则,,所以,所以,即的最大值为. 第23题： 【答案】略 【解析】(1)当时,原不等式可化为,无解; 当时,原不等式可化为,从而; 当时,原不等式可化为,从而. 综上,原不等式的解集为. (2)由得,又, 所以,即,解得,所以的取值范围为.。