2.11 函数的奇偶性

高一数学专题复习：函数的奇偶性一、奇偶性的定义：定义：对于函数y＝f(x)的定义域内任意一个值x，若f(－x)＝f(x)恒成立，则函数y＝f(x)就叫做偶函数；若f(－x)＝－f(x)恒成立，则函数y＝f(x)就叫做奇函数.如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。

说明：(1)奇偶性是对整个定义域而言，是函数的整体性质。

定义中的等式f(－x)＝f(x)（或f(－x)＝－f(x)）对定义域里的任意x都要成立，若只对个别x值成立，则不能说这函数是偶函数（或奇函数）(2)其定义域关于原点对称。

等式f(－x)＝f(x)（或f(－x)＝－f(x)）成立，除了表明函数值相等（或互为相反数）外，首先表明对定义域中的任意x来说，-x也应在定义域之中，否则f(－x)无意义。

由此得结论：凡是定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数.(3)奇函数若在0x=时有定义，则f(0)＝0．(4)偶函数f(x)有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)(5)函数f(x)＝0既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足f(－x)＝f(x)也满足f(－x)＝－f(x)。

(6)四类函数：是奇函数不是偶函数，是偶函数不是奇函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数也不是偶函数。

(7)在公共定义域内，奇函数与奇函数的和为奇函数，偶函数与偶函数的和为偶函数，奇函数与奇函数的积为偶函数，偶函数与奇函数的和为奇函数。

二、奇偶函数图象的性质定理定理：①奇函数的图象关于原点对称，反过来，若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；②偶函数的图象关于y轴对称，反过来，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.即f(x)是奇函数⇔函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)是偶函数⇔函数f(x)的图象关于y轴对称；三、函数奇偶性的判断方法判定函数的奇偶性的方法有：(1)定义法，先看定义域是否关于原点对称，如y=x2，x∈［－1，1)，既非奇又非偶函数.(2)特值法，起探路及判定否命题等作用，一方面，若f(－1)=f(1)〔f(－1)=－f(1)〕，则f(x)可能是偶(奇)函数.另一方面，若f(－1)≠f(1)〔f(－1)≠－f(1)〕，则f(x)一定不是偶(奇)函数.(3)和、差法，若f(x)+f(－x)=0，则f(x)为奇函数；若f(－x)－f(x)=0，则f(x)为偶函数.该方法应用的前提是用“特值法”先探路.(4)比值法，若f(x)／f(－x)=1(或－1)，则f(x)为偶(或奇)函数.(5)图象法，可直接根据图象的对称性来判定奇偶性.例：已知函数f(x)满足f(x+y)+ f(x－y)=2f(x)·f(y)(x、y∈R)，且f(0)≠0，试证f(x)是偶函数.证明：令x=y=0，有f(0)+f(0)=2f2(0).∵f(0)≠0，∴f(0)=1.令x=0，f(y)+f(－y)=2f(0)·f(y)=2f(y).∴f(－y)=f(y).∴f(x)是偶函数.1.若y =f (x )在x ∈［0，+∞)上的表达式为y =x (1－x )，且f (x )为奇函数，则x ∈(－∞，0］时f (x )等于 （ ）A.－x (1－x )B.x (1+x )C.－x (1+x )D.x (x －1)2．已知奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值是5，那么f(x)在区间[-7, -3]上是 ( )A.增函数且最小值是-5；B. 增函数且最大值是-5；C.减函数且最小值是-5；D. 减函数且最大值是-5.3．若)(),(x g x q 均为奇函数，),0(1)()()(+∞++=在x bg x aq x f 上有最大值5，则在)0,(-∞上)(x f 有 （ ）A 、最小值-5B 、最小值-2C 、最小值-3D 、最大值-54．已知函数)(x f y =是偶函数，)2(-=x f y ，在[0，2]上是单调递减函数，则 （ ）A 、)2()1()0(f f f <-<B 、)2()0()1(f f f <<-C 、)0()2()1(f f f <<-D 、)0()1()2(f f f <-<5．若函数)(x f y =是偶函数，R x ∈，在0<x 时，y 是增函数，对于||||,0,02121x x x x <><且，则 （ ）A 、)()(21x f x f ->-B 、)()(21x f x f -<-C 、)()(21x f x f -=-D 、)()(21x f x f -≥-6．若f (x )= 121-x +a (x ∈R 且x ≠0)为奇函数，则a =_______________.7.已知f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数，且定义域为［a －1，2a ］，则a =_____________，b =____________.8．若f (x )是偶函数，当x ∈［0，+∞)时，f (x )=x －1，则f (x －1)＜0的解集是_______________.9． 定义在[2,2]-上的偶函数()g x ，当0x ≥时，()g x 为减函数，若(1)()g m g m -<成立，求m 的取值范围。

函数的奇偶性1.偶函数: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫奇函数.奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称判断函数的奇偶性,包括两个必备条件:一是定义域关于原点对称,先考虑定义域是解决问题的前提，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件；二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；(2)确定f(－x)与f(x)的关系；(3)作出相应结论．说明：根据奇偶性,函数可划分为四类：①偶函数②奇函数③既奇又偶函数④非奇非偶函数2.奇函数的性质：○1定义域关于原点对称；○2f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0；○3图象关于原点对称；○4在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；○5如果0在f(x)的定义域内，则一定有f(0)=0偶函数的性质：○1定义域关于原点对称；○2f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0；○3图象关于y轴对称；○4在关于原点对称的区间上具有相反的单调性；○5如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=03.判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在x轴上所示的区间是否关于原点对称呢？答：由定义知，若x是定义域内的一个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域在x轴上所示的区间关于原点对称．即：如果所给函数的定义域在x轴上所示的区间不是关于原点对称，这个函数一定不具有奇偶性．例如：函数f(x)＝x3在R上是奇函数，但在[－2,1]上既不是奇函数也不是偶函数．4.函数奇偶性的判断：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。

函数的奇偶性数学课件函数奇偶性是研究函数的一个重要策略，因此成为函数的重要性质之一，它的研究为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起到了铺垫作用. 奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育都起到非常重要的作用，因此本节课充满数学方法论的渗透教育，同时又是数学美的集中体现. 下面是函数的奇偶性数学课件，欢迎阅读了解。

一、教学目标（一）通过具体函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论，体验数学概念的建立过程，培养其抽象概括能力.（二）理解、掌握函数奇偶性的定义，奇函数和偶函数图像的特征，并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性.（三）在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、抽象概括能力，体验数学既是抽象的又是具体的.二、任务分析这节内容学生在初中虽没学过，但已经学习过具有奇偶性的具体的函数：正比例函数y=kx,反比例函数，（k工0）,二次函数y=ax ■ ,（a z 0）,故可在此基础上，引入奇、偶函数的概念，便于学生理解. 在引入概念时始终结合具体函数的图像，增强直观性，这样更符合学生的认知规律，同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔. 对于概念可从代数特征与几何特征两个角度去分析，让学生理解：奇函数、偶函数的定义域是关于原点对称的非空数集；对于有定义域奇函数y=f (x), —定有f (0) =0；既是奇函数，又是偶函数的函数有f (x) =0, x€ R.在此基础上，让学生了解：奇函数、偶函数的矛盾概念——非奇非偶函数. 关于单调性与奇偶性关系,引导学生拓展延伸,可以取得理想的效果.三、教学设计(一)问题情景1. 观察如下两图(图略),思考并讨论以下问题：(1)这两个函数图像有什么共同特征？(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？可以看到两个函数的图像都关于y轴对称.从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相同.2. 观察函数f (x)=x和f (x)二的图像，并完成下面的两个函数值对应表,然后说出这两个函数有什么共同特征.可以看到两个函数的图像都关于原点对称. 函数图像的这个特征，反映在解析式上就是：当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f (x)也是一对相反数，即对任一x€ R都有f (-X ) =-f (x). 此时，称函数y=f (x)为奇函数.(二)建立模型由上面的分析讨论引导学生建立奇函数、偶函数的定义.1. 奇、偶函数的定义.如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-X ) =-f (x),那么函数f (x)就叫做奇函数.如果对于函数f (X)的定义域内任意一个X,都有f (-X ) =f (x)，那么函数f (X)就叫做偶函数.2. 提出问题，组织学生讨论.(1)如果定义在R上的函数f (x)满足f (-2) =f (2),那么f (x)是偶函数吗？(f (X)不一定是偶函数)(2)奇、偶函数的图像有什么特征？(奇、偶函数的图像分别关于原点、y 轴对称)(3)奇、偶函数的定义域有什么特征？ (奇、偶函数的定义域关于原点对称)(三)解释应用[ 例题]1. 判断下列函数的奇偶性.注：①规范解题格式；②对于(5)要注意定义域x €(-1 , 1].2. 已知：定义在R上的函数f (x)是奇函数，当x>0时，f (x) =x(1+x),求f (x)的表达式.解：(1)任取xO,「.f (-x ) =-x (1-x )，而f (x)是奇函数，f (-x ) =-f (x),「. f (x) =x (1-x ).(2)当x=0 时，f (-0) =-f (0),二f (0) =-f (0),故f0)=0.3. 已知：函数f (x)是偶函数，且在(-0, 0)上是减函数，判断f (x)在(0, +0)内是增函数，还是减函数，并证明你的结论.解：先结合图像特征：偶函数的图像关于y轴对称，猜想f(x) 在(0, +0)内是增函数,证明如下：••• f (乂)在(0, +0)上是增函数. 思考：奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系？［练习］1. 已知：函数f (x)是奇函数，在［a , b］上是增函数(b>a>0), 问f (x )在［-b , -a］上的单调性如何.4. 设f (x) , g (x)分别是R上的奇函数和偶函数，并且f (x) +g (x) =x (x+1)，求f (x) , g (x)的解析式.(四)拓展延伸1. 有既是奇函数,又是偶函数的函数吗？若有,有多少个？2. 设f (x), g (x)分别是R上的奇函数，偶函数，试研究：(1) F (x) =f (x)・g (x)的奇偶性.(2)G(x) =|f (x) |+g (x)的奇偶性.3. 已知a€ R, f (x) =a-，试确定a的值，使f (x)是奇函数.4. 一个定义在R上的函数，是否都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和的形式？。

数学⾼⼆函数的奇偶性知识点 函数奇偶性是数学学科知识之⼀，同学们在考试过程中也会常常碰到相关的题⽬，下⾯是店铺给⼤家带来的数学⾼⼆函数的奇偶性知识点，希望对你有帮助。

函数的奇偶性基础定义 ⼀般地，对于函数f(x) ⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意⼀个x，都有f(x)=f(-x)或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x)就叫做偶函数。

关于y轴对称，f(-x)=f(x)。

⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意⼀个x，都有f(-x)=-f(x)或f(x)/f(-x)=-1，那么函数f(x)就叫做奇函数。

关于原点对称，-f(x)=f(-x)。

⑶如果对于函数定义域内的任意⼀个x，都有f(x)=f(-x)和f(-x)=-f(x)，(x∈R，且R关于原点对称。

)那么函数f(x)既是奇函数⼜是偶函数，称为既奇⼜偶函数。

⑷如果对于函数定义域内的存在⼀个a，使得f(a)≠f(-a)，存在⼀个b，使得f(-b)≠-f(b)，那么函数f(x)既不是奇函数⼜不是偶函数，称为⾮奇⾮偶函数。

定义域互为相反数，定义域必须关于原点对称 特殊的，f(x)=0既是奇函数，⼜是偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域⽽⾔。

②奇、偶函数的定义域⼀定关于原点对称，如果⼀个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数⼀定不具有奇偶性。

(分析：判断函数的奇偶性，⾸先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)⽐较得出结论) ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

④如果⼀个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值⼀定为0。

并且关于原点对称。

⑤如果函数定义域不关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做⾮奇⾮偶函数。

例如f(x)=x³【-∞，-2】或【0，+∞】(定义域不关于原点对称) ⑥如果函数既符合奇函数⼜符合偶函数，则叫做既奇⼜偶函数。

函数的奇偶性的经典总结归纳1.奇函数：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。

奇函数具有以下性质：-奇函数关于坐标原点对称；-在自变量为0的点上，奇函数的函数值为0；-若函数在定义域内两点x1和x2关于坐标原点对称，则这两点的函数值也对称。

常见的奇函数有：正弦函数sin(x)、正切函数tan(x)、多项式函数f(x) = x^3等。

2.偶函数：若函数f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。

偶函数具有以下性质：-偶函数关于y轴对称；-在自变量为0的点上，偶函数的函数值为常数；-若函数在定义域内两点x1和x2关于y轴对称，则这两点的函数值也对称。

常见的偶函数有：余弦函数cos(x)、正切函数sec(x)、多项式函数f(x) = x^2等。

3.奇偶性的判断：-对于多项式函数：奇次幂项的系数为0，则函数是偶函数，偶次幂项的系数为0，则函数是奇函数；-对于周期函数：若函数的周期为T，则对于任意x，f(x+T)=f(x)。

若f(x)是奇函数，则T必须为2nπ（n为整数）；若f(x)是偶函数，则T必须为nπ（n为整数）；-对于一般函数：可通过函数定义或函数的性质来判断奇偶性。

4.常见函数的奇偶性：-指数函数、对数函数：既不是奇函数也不是偶函数；-幂函数：偶次幂为偶函数，奇次幂为奇函数；-三角函数：正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，正切函数为奇函数；-反三角函数：正弦函数和正切函数为奇函数，余弦函数为偶函数；-双曲函数：正弦双曲函数为奇函数，余弦双曲函数为偶函数，正切双曲函数为奇函数。

通过了解函数的奇偶性，可以方便地推导出函数的性质，进行函数的分析和计算。

在求函数的积分、奇偶拆分和简化复杂表达式等问题中，奇偶性的运用会使得计算更加简便和直观。

注意：当定义域存在上下对称时，函数的奇偶性不再成立，此时不能简单地根据函数表达式判断奇偶性。

在这种情况下，应根据函数的性质和定义进行判断。

总结起来，函数的奇偶性是函数在定义域内点的函数值关于坐标轴对称的性质。

函数的奇偶性知识点总结本节主要知识点 （1）函数的奇偶性; （2）函数奇偶性的判定; （3）奇函数和偶函数的性质; （4）函数的奇偶性的应用. 知识点一 函数的奇偶性常见函数的奇偶性（1）二次函数和都是偶函数;()0)(2≠=a ax x f ()0)(2≠+=a c ax x f （2）正比例函数和反比例函数都是奇函数. ()0)(≠=k kx x f ()0)(≠=k xkx f 一个函数是奇函数或偶函数,我们就说这个函数具有奇偶性.对函数奇偶性定义的理解（1）注意定义中的的任意性,如果函数的定义域中存在,有,或x )(x f 0x )()(00x f x f ≠-,则函数不是偶函数或奇函数.)()(00x f x f -≠-)(x f （2）函数的奇偶性和单调性都是函数的重要性质.单调性是函数的局部性质,是研究函数值随自变量的变化趋势;而奇偶性是函数的整体性质,是研究函数的图象在整个定义域上的对称性.（3）偶函数和奇函数的定义域都是关于原点对称的,所以在判断一个函数的奇偶性时,要先确定函数的定义域,若定义域关于原点对称,则根据奇、偶函数的定义接着往下判断)(x f -与的关系;若定义域关于原点不对称,则函数既不是偶函数,也不是奇函数. )(x f 即判断函数的奇偶性仍然遵循“定义域优先”的原则.（4）如果函数是偶函数,则,若,则还有;如果)(x f 0)()(=--x f x f 0)(≠x f 1)()(=-x f x f 函数是奇函数,则,若,则还有. )(x f 0)()(=+-x f x f 0)(≠x f 1)()(-=-x f x f （5）既是偶函数,又是奇函数的函数只有一类,即,D ,且D 关于原点对称. 0)(=x f ∈x （6）偶函数的图象关于轴对称,反过来,图象关于轴对称的函数是偶函数;奇函数的图y y 象关于原点对称,反过来,图象关于原点对称的函数是奇函数.因此,对于比较容易画出图象的函数,我们可以利用图象法来判断函数的奇偶性. （7）若函数是偶函数,点在函数的图象上,则点,即)(x f ())(,a f a )(x f ())(,a f a --也在函数的图象上,点与点关于轴对称;())(,a f a -)(x f ())(,a f a ())(,a f a -y 若函数是奇函数,点在函数的图象上,则点,即)(x f ())(,a f a )(x f ())(,a f a --也在函数的图象上.点与点关于原点对称.())(,a f a --)(x f ())(,a f a ())(,a f a --★（8）如果函数在区间或上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相)(x f []b a ,()b a ,反数,即（因为这个区间关于原点对称）.0=+b a （9）特别说明,若函数是偶函数,则有. )(x f ()x f x f x f ==-)()(偶函数的图象特征若一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形;反之,若一个函y 数的图象关于轴对称,则这个函数是偶函数.y 下面分别是函数和函数的图象,它们都是偶函数.4x y =1+=x y奇函数的图象特征若一个函数是奇函数,则这个函数的图象关于原点对称;反之,若一个函数的图象关于原点对称,则这个函数是奇函数. 下面分别是函数和对勾函数的图象,它们都是奇函数. x y 2=xx y 4+=知识点二 函数奇偶性的判定判断函数奇偶性的方法有三种:定义法、图象法和性质法. 用定义法判断函数的奇偶性（1）求 求函数的定义域,若定义域关于原点对称,则进行第（2）步;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.（2）判 求出,然后根据与的关系,确定函数的奇偶性;)(x f -)(x f -)(x f ①若,或,或（）,则函数是偶)()(x f x f =-0)()(=--x f x f 1)()(=-x f x f 0)(≠x f )(x f 函数;②若,或,或（）,则函数是)()(x f x f -=-0)()(=+-x f x f 1)()(-=-x f x f 0)(≠x f )(x f 奇函数;③若,则函数是非奇非偶函数.)()(x f x f ±≠-)(x f 说明: 若要说明一个函数不是偶函数（或奇函数）,只需在函数定义域内找到一个数,有a （或）即可.(见后面的相关例题))()(a f a f ≠-)()(a f a f -≠-图象法判断函数的奇偶性对于容易画出图象的函数,若函数的图象关于轴对称,则它是偶函数;若函数的图象关于y 原点对称,则它是奇函数. 性质法判断函数的奇偶性两个在公共定义域上具有奇偶性的函数,它们的和与积所构成的函数的奇偶性为: 奇奇奇; 偶偶偶;（一奇一偶的和的单调性不能确定） +=+=奇奇偶; 偶偶偶; 奇偶奇. ⨯=⨯=⨯=知识点三 奇函数和偶函数的性质（1）定义域的对称性 奇函数和偶函数的定义域都关于原点对称;（2）图象的对称性 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称; y （3）单调性的“奇同偶异”性如果函数是奇函数,那么函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;如果)(x f )(x f 函数是偶函数,那么函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.简记为)(x f )(x f “奇同偶异”.函数的奇偶性与函数值及最值的关系与函数值的关系 当函数的自变量互为相反数时,偶函数的函数值相等,奇函数的函数值互为相反数.与最值的关系 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数（其中一个是最大值,另一个是最小值）;偶函数在关于原点对称的区间上具有相同的最值. 复合函数的奇偶性对于复合函数,若为偶函数,则为偶函数;若为奇函数,则())(x g f )(x g ())(x g f )(x g 的奇偶性与的奇偶性相同.其中的定义域关于原点对称.())(x g f )(x f ())(x g f题型一 已知函数解析式用定义法判断函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性:（1）; （2）; （3）.1)(23--=x x x x f x x x f 1)(-=22)(+--=x x x f 分析:例1中三个函数的解析式结构都比较简单,可以用定义法判断其奇偶性.先求出函数的定义域,若定义域关于原点对称,则继续往下判断;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.解:（1）函数的定义域为,不关于原点对称,所以该1)(23--=x x x x f ()()+∞∞-,11, 函数是非奇非偶函数; （2）函数的定义域为,关于原点对称. xx x f 1)(-=()()+∞∞-,00, ∵ )(111)(x f x x x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=---=-∴该函数是奇函数;（3）函数的定义域为R ,关于原点对称.22)(+--=x x x f ∵ ()())(222222)(x f x x x x x x x f -=--+=---+-=+----=-∴该函数是奇函数. 例2. 判断函数（R ）的奇偶性. xax x f +=2)(∈a 分析:该函数的解析式里面含有参数,当参数影响到判断与的关系时,要a )(x f -)(x f 对参数进行分类讨论.x当时, 0=a 2)(x x f =∵())()(22x f x x x f ==-=-∴为偶函数; )(x f 当时,,且. 0≠a ())()(22x f x a x x a x x f ≠-=-+-=-xa x x f x f --=-≠-2)()(∴函数是非奇非偶函数.)(x f 综上所述,当时,函数为偶函数;当时,函数是非奇非偶函数. 0=a )(x f 0≠a )(x f 例3. 已知函数,R ,为实数,判断的奇偶性. 1)(2+-+=a x x x f ∈x a )(x f 分析:上面例2已经提到:对于含有参数的函数的奇偶性的判断,要充分考虑参数的不同取值情况,看是否会影响到与的关系,必要时要对参数进行分类讨论.)(x f -)(x f 在判断函数的奇偶性时,若在函数的定义域内能找到一个,使或a )()(a f a f ≠-,则函数就不是偶函数或减函数. )()(a f a f -≠-)(x f 解:由题意可知函数的定义域关于原点对称. )(x f 当时,. 0=a 11)(22++=+-+=x x a x x x f ∵())(11)(22x f x x x x x f =++=+-+-=-∴函数为偶函数;)(x f 当时,∵, 0≠a 1)(2+=a a f 12)(2++=-a a a f ∴,且 )()(a f a f ≠-1)()(2--=-≠-a a f a f ∴函数为非奇非偶函数.)(x f 综上所述,当时,函数为偶函数;当时, 函数既不是奇函数,也0=a )(x f 0≠a )(x f 不是偶函数.例4. 已知函数,其中为实数,判断函数的奇偶性. xax x f 1)(2+=a )(x fx当时,,函数为奇函数; 0=a xx f 1)(=)(x f 当时,∵ 0≠a ()xax x x a x f 11)(22-=-+-=-∴,且 )()(x f x f ≠-)()(x f x f -≠-∴函数既不是偶函数,也不是奇函数.)(x f 综上所述,当时, 函数为奇函数;当时,函数既不是偶函数,也0=a )(x f 0≠a )(x f 不是奇函数. 例5. 判断函数的奇偶性.1111)(22+++-++=x x x x x f 分析:该函数的解析式结构较为复杂,如果用定义法来判断其奇偶性,研究与)(x f -的关系时会比较困难,我们可以研究与的和、差、商,来进行奇偶)(x f )(x f -)(x f 性的判断.解:函数的定义域为R ,关于原点对称. )(x f ∵11111111)()(2222+++-++++-+--+=+-x x x x x x x x x f x f()()()()()()()()11111211211111111122222222222222=++++-+-+-++---+=++++-+--+++-+=x x x xx x x x x x x x x x x x x x ∴ )()(x f x f -=-∴函数为奇函数.)(x f 解法二:函数的定义域为R ,关于原点对称. )(x f 当时,;当时,0=x 0)(=x f 0≠x 0)(≠x f∵ ()()()()1111111111111111)()(22222222-+++-++++--+=+++-+++-+--+=-x xx xx x x x x x x x x x x x x f x f 1221211212222-=-=-+-+---+=xx x x x x x x ∴)()(x f x f -=-综上所述,函数为奇函数.)(x f 注意:的前提是. 1)()(-=-x f x f 0)(≠x f 题型二 分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性,可以用定义法,也可以用图象法.用定义法时,必须验证在每一段内都有或成立,而不能只验证一段解析式. )()(x f x f =-)(-)(x f x f =- 在判断时,要特别注意与的范围,然后选择合适的解析式代入.x x -总结 若,则,把代入上的解析式即可得到.[]b a x ,∈[]a b x --∈-,x -[]a b --,)(x f -例6. 判断函数的奇偶性.()()⎩⎨⎧>+<-=0,10,1)(x x x x x x x f 解:由题意可知,函数的定义域为,关于原点对称. )(x f ()()+∞∞-,00, 当时,0>x 0<-x ∴; ())(1)(x f x x x f -=+-=-当时,0<x 0>-x ∴. ())(1)(x f x x x f -=--=-综上所述,函数为奇函数.)(x f 例7. 函数,则【 】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->+=0,1210,121)(22x x x x x f )(x f （A ）是奇函数（B ）是偶函数（C ）既不是奇函数,也不是偶函数 （D ）无法判断解:由题意可知函数的定义域为,关于原点对称. )(x f ()()+∞∞-,00, 当时, 0>x 0<-x ∴; ())(121121)(22x f x x x f -=--=---=-当时, 0<x 0>-x ∴. ())(121121)(22x f x x x f -=+=+-=-综上所述,函数是奇函数.选择【 A 】.)(x f 方法二:（图象法）,函数的图象如下图所示,其图象关于原点对称,所以函数)(x f 是奇函数.)(x f例8. 已知函数是奇函数,则_________.⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f =m 解:当时,0>x 0<-x ∴()mx x mx x x f -=--=-22)(∵函数是奇函数,∴ )(x f )()(x f x f -=-∴ ()x x x x mx x 22222-=+--=-∴.2=m 题型三 抽象函数奇偶性的判断例9. 已知函数,R ,若对于任意实数,都有.)(x f ∈x b a ,)()()(b f a f b a f +=+求证:为奇函数.)(x f 分析:该函数的定义域是关于原点对称的,所以只需要判断与的关系即)(x f -)(x f 可.考虑到,所以我们可以先求出的值. 0=+-x x )0(f 证明:由题意可知的定义域关于原点对称. )(x f 令0==b a ∵对于任意实数,都有 b a ,)()()(b f a f b a f +=+∴ )0()0()00(f f f +=+∴0)0(=f 令,则 x b x a =-=,0)()()0()(=+-==+-x f x f f x x f ∴ )()(x f x f -=-∴函数为奇函数.)(x f 例10. 已知函数,R ,若对于任意实数,都有:)(x f ∈x 21,x x .()()()()2121212x f x f x x f x x f ⋅=-++求证:为偶函数.)(x f 证明: 由题意可知的定义域关于原点对称. )(x f 令,则有0,21==x x x ① )0()(2)(2)()(f x f x f x f x f ⋅==+令,则有:x x x ==21,0② )()0(2)()(x f f x f x f ⋅=-+由①②得:)()()(2x f x f x f -+=∴ )()(x f x f =-∴函数为偶函数.)(x f例11. 已知是定义在上的函数,且满足对任意,都有)(x f ()2,2-()2,2,-∈y x .)(5)(y f xy y x f x f -⎪⎭⎫⎝⎛-+=（1）求的值;)0(f （2）判断的奇偶性并证明. )(x f （1）解:令0==y x ∵对任意,都有()2,2,-∈y x )(5)(y f xy y x f x f -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∴; ()0)0(0)0(=-=f f f （2）函数为奇函数.)(x f 理由如下:由题意可知,函数的定义域关于原点对称. )(x f ()2,2-令,则有 x y -=)(0)()0()(x f x f f x f --=--=∴ )()(x f x f -=-∴函数为奇函数.)(x f 例12. 已知对一切都成立,且,试判断)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++y x ,0)0(≠f 的奇偶性.)(x f 解:由题意可知函数的定义域为R ,关于原点对称. )(x f 令,则有 0==y x )0()0(2)0()0(f f f f =+∴, )0(2)0(22f f =()01)0()0(=-f f ∵,∴0)0(≠f 1)0(=f 令,则有 0=x )()0(2)()(y f f y f y f =-+∴ )(2)()(y f y f y f =-+∴)()(y f y f =-∴函数为偶函数.)(x f 注意本题与例10的区别及联系.例13. 已知是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意R ,都满足)(x f b a ,∈. )()()(a bf b af ab f +=（1）求,的值;)0(f )1(f （2）判断的奇偶性,并证明你的结论.)(x f （1）解:令,则. 0==b a 0)0(0)0(0)0(=⨯+⨯=f f f 令,则,∴; 1==b a )1(2)1(1)1(1)1(f f f f =⨯+⨯=0)1(=f （2）函数为奇函数.)(x f 理由如下:由题意可知函数的定义域关于原点对称. )(x f 令,则有 1-==b a 0)1(2)1()1()1(=--=----=f f f f ∴0)1(=-f 令,则有 1,-==b x a )()(0)()1()(x f x f x f xf x f -=-=--=-∴函数为奇函数.)(x f 例14. 若函数的定义域是R ,且对任意R 都有成)(x f ∈y x ,)()()(y f x f y x f +=+立.（1）试判断的奇偶性;)(x f （2）若,求的值.4)8(=f ⎪⎭⎫⎝⎛-21f 解:（1）∵函数的定义域是R )(x f ∴其定义域关于原点对称.令,则有 0==y x )0(2)0()0()0(f f f f =+=∴0)0(=f令,则有 x y -=0)()()0(=-+=x f x f f ∴ )()(x f x f -=-∴函数为奇函数;)(x f （2）令,则有 y x =)(2)()()2(x f x f x f x f =+=∴ 2)2()(x f x f =∵ 4)8(=f ∴,,, 2242)8()4(===f f 1222)4()2(===f f 212)2()1(==f f 412)1(21==⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ∵函数为奇函数)(x f ∴.412121-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f 例15. 已知函数,R 对任意实数都有,且当时,)(x f ∈x b a ,)()()(b f a f ab f +=1>x .0)(>x f （1）试判断函数的奇偶性;)(x f （2）求证:函数在上是增函数.)(x f ()+∞,0（1）解:由题意可知函数的定义域关于原点对称. )(x f 令,则,∴.1==b a )1(2)1()1()1(f f f f =+=0)1(=f 令,则,∴. 1-==b a 0)1(2)1()1()1(=-=-+-=f f f f 0)1(=-f 令,则 1,-==b x a )()1()()(x f f x f x f =-+=-∴函数为偶函数;)(x f （2）任取,且,则∈21,x x ()+∞,021x x <112>x x ∵当时,,∴1>x 0)(>x f 012>⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x f∴ ()()()()()0121121112112>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=-x x f x f x x f x f x f xx x f x f x f ∴()()21x f x f <∴函数在上是增函数. )(x f ()+∞,0题型四 函数奇偶性的应用 （1）求函数值; （2）求函数解析式;（3）求参数的值或取值范围; （4）求函数的值域或最值. 应用1 求函数值例16.（1）已知为奇函数,,,则_________; )(x f 9)()(+=x f x g 3)2(=-g =)2(f （2）设函数的最大值为M ,最小值为,则_________.()11)(22++=x x x f m =+m M 解:（1）∵为奇函数,∴ )(x f )()(x f x f -=-∵, 9)()(+=x f x g 3)2(=-g ∴ 6939)2()2(-=-=--=-g f ∴.6)2()2(=--=f f （2） ()12112111)(22222++=+++=++=x xx x x x x x f 设,其定义域为R ,关于原点对称. 12)(2+=x xx g ∵ )(12)(2x g x xx g -=+-=-∴为奇函数)(x g ∵奇函数在关于原点对称的区间上的最大值与最小值互为相反数 ∴0)()(min max =+x g x g ∴.2))(1())(1(min max =+++=+x g x g m M重要结论（1） 若函数为奇函数,则在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,即)(x f )(x f .0)()(min max =+x f x f （2）若函数为奇函数,（为常数）,则.)(x f k x f x g +=)()(k ()k x g x g 2)(min max =+例17. 已知,且,则【 】 8)(35-++=bx ax x x f 10)2(=-f =)2(f （A ）（B ）（C ）（D ）1026-18-10-解法一:设,易知函数为奇函数. bx ax x x g ++=35)()(x g ∴,)()(x g x g -=-8)()(-=x g x f ∵,∴,. 10)2(=-f 108)2(=--g 18)2(=-g ∴18)2()2(-=--=g g ∴.选择【 A 】. 268188)2()2(-=--=-=g f 解法二:①8222)2(35-++=b a f ②()()()8222)2(35--+-+-=-b a f ①②得: +16)2()2(-=-+f f ∵10)2(=-f ∴.261016)2(16)2(-=--=---=f f 例18. 已知,其中是偶函数,且,则【 】 1)()(--=x x f x g )(x g 1)2(=f =-)2(f （A ）（B ）1（C ）（D ）31-3-解:∵是偶函数,∴. )(x g )()(x g x g =-∵,∴1)()(--=x x f x g 1)()(++=x x g x f ∵,∴ 13)2(12)2()2(=+=++=g g f 2)2()2(-=-=g g ∴.选择【 C 】.312212)2()2(-=+--=+--=-g f 例19. 已知,均为R 上的奇函数,且在上)(x f )(x g 2)()()(++=x bg x af x F ()+∞,0的最大值为5,则在上的最小值为_________. )(x F ()0,∞-解:设,则 )()()(x bg x af x G +=2)()(+=x G x F ∵,均为R 上的奇函数)(x f )(x g ∴也是R 上的奇函数 )()()(x bg x af x G +=∵当时, ∈x ()+∞,052)()(max max =+=x G x F ∴3)(max =x G ∴根据奇函数图象的对称性,在的最小值为 )(x G ()0,∞-3)()(max min -=-=x G x G ∴.1232)()(min min -=+-=+=x G x F 注意:本题利用结论: 若函数为奇函数,（为常数）,则)(x f k x f x g +=)()(k .可以快速得出结果.()k x g x g 2)(min max =+例20. 已知是奇函数,则_________.⎩⎨⎧<>-=0),(0,3)(2x x g x x x f ()=-)3(g f 分析:先求出当时,函数的解析式,然后代入求值. 0<x )(x g 解:当时,0<x 0>-x ∴())(33)(22x f x x x f -=-=--=-∴3)(2+-=x x f ∴,∴⎩⎨⎧<+->-=0,30,3)(22x x x x x f 3)(2+-=x x g ∴()633)3(2-=+--=-g ∴.()()3336)6()3(2-=+--=-=-f g f 应用2 求函数解析式利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是:（1）“求谁设谁”,即求函数在哪个区间上的解析式,就设在哪个区间上; x （2）利用已知区间的函数解析式矩形化简,得到的解析式;)(x f -（3）利用函数的奇偶性写出或,即可得到函数的解析式. )(x f )(x f -)(x f )(x f 注意:若是R 上的奇函数时,不要遗漏的情形.)(x f 0=x 例21. 已知是R 上的奇函数,当时,. )(x f 0>x 132)(2++-=x x x f （1）求的值; （2）求函数的解析式. )0(f )(x f 解:（1）∵是R 上的奇函数 )(x f ∴, )0()0()0(f f f -==-0)0(2=f ∴;0)0(=f （2）当时,则0<x 0>-x ∴ ())(132132)(22x f x x x x x f -=-+-=+--=-∴.132)(2-+=x x x f ∴函数的解析式为.)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<-+=>++-=0,1320,00,132)(22x x x x x x x x f 例22. 若函数是偶函数,函数是奇函数,且,求函数)(x f )(x g 11)()(-=+x x g x f 的解析式.)(x f 解:∵函数是偶函数,函数是奇函数 )(x f )(x g ∴,)()(x f x f =-)()(x g x g -=-∵ 11)()(-=+x x g x f ∴,11)()(--=-+-x x g x f 11)()(+-=-x x g x f 解方程组得:.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=+11)()(11)()(x x g x f x x g x f 11)(2-=x x f ∴函数的解析式为. )(x f 11)(2-=x x f 例23. 已知是定义在R 上的偶函数,且≤0时,.)(x f x 1)(+-=x x f（1）求,; )0(f )2(f （2）求函数的解析式.)(x f 解:（1）∵当≤0时,,∴.x 1)(+-=x x f 1)0(=f ∵是定义在R 上的偶函数,∴; )(x f 31)2()2()2(=+--=-=f f （2）当时,则 0>x 0<-x ∴.()11)(+=+--=-x x x f ∴函数的解析式为.)(x f ⎩⎨⎧>+≤+-=0,10,1)(x x x x x f 例24. 已知函数是定义在R 上的奇函数,当时,,则函)(x f y =0>x x x x f 2)(2-=数在R 上的解析式为____________.)(x f 结论 若奇函数在原点处有定义,则.0)0(=f 解:∵函数是定义在R 上的奇函数∴. )(x f y =0)0(=f ∵当时,0>x x x x f 2)(2-=∴当时,, 0<x 0>-x ())(22)(22x f x x x x x f -=---=+=-∴.x x x f 2)(2--=∴函数的解析式为.)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<--=>-0,20,00,222x x x x x x x 例25. 函数为R 上的奇函数,且. 1)(2++=x b ax x f 5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f （1）求函数的解析式;)(x f （2）若≤在区间上恒成立,求的取值范围.)(x f 532-m []4,2m 解:（1）∵函数为R 上的奇函数1)(2++=x bax x f ∴,∴0)0(==b f 1)(2+=x axx f∵,∴,解之得:. 5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 5252121212==+⎪⎭⎫ ⎝⎛a a1=a ∴函数的解析式为; )(x f 1)(2+=x xx f （2）∵≤在区间上恒成立)(x f 532-m []4,2∴≤恒成立 12+x x 532-m 设,只需≤即可.1)(2+=x x x g max )(x g 532-m 任取,且,则有[]4,2,21∈x x 21x x < ()()()()()()()()111111111)()(22212121222121222122221121++--=+++-+=+-+=-x x x x x x x x x x x x x x x x x g x g ∵,且[]4,2,21∈x x 21x x <∴ ()()011,01,022212121>++<-<-x x x x x x ∴,∴ 0)()(21>-x g x g ()()21x g x g >∴函数在上为减函数 )(x g []4,2∴ 52122)2()(2max =+==g x g ∴≤,解之得:≥1或≤. 52532-m m m 1-∴实数的取值范围是.m (][)+∞-∞-,11, 例26. 已知函数是定义在R 上的奇函数,当时,,求. )(x f 0>x 32)(x x x f +=)(x f 解:∵函数是定义在R 上的奇函数,∴. )(x f 0)0(=f ∵当时,0>x 32)(x x x f +=∴当时,，∴.0<x ,0>-x ())()(3232x f x x x x x f -=+--=-=-32)(x x x f +-=∴.⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>+=0,0,00,)(3232x x x x x x x x f应用3 求参数的值例27. 已知函数为偶函数,其定义域为,则()b a x b ax x f ++-+=31)(2[]a a 2,1-的值为_________.b a +结论 如果函数在区间或上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相)(x f []b a ,()b a ,反数,即（因为这个区间关于原点对称）.0=+b a 解:∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴,解之得:. 021=+-a a 31=a ∴ ()b x b x x f ++-+=1131)(2∵)()(x f x f =-∴ ()()b x b x b x b x ++-+=++--1131113122∴,解之得: ()11-=--b b 1=b ∴. 34131=+=+b a 例28. 若函数为奇函数,则_________.()()a x x xx f -+=12)(=a 解:∵函数为奇函数 )(x f ∴, )()(x f x f -=-()()()()a x x xa x x x -+-=--+--1212∴ ()()()()a x x a x x -+=--+-1212展开并整理得: ()()x a x a 2112-=-∴,解之得:. a a 2112-=-21=a 例29. 若函数为偶函数,则_________. ()()a x x x f -+=1)(=a 解:∵函数为偶函数,∴ )(x f )()(x f x f =-∴ ()()()()a x x a x x -+=--+-11∴()()x a x a -=-11∴,解之得:.a a -=-111=a 例30. 若函数为偶函数,则函数在区间上()321)(2++-=mx x m x f )(x f ()3,5--【 】（A ）先增后减 （B ）先减后增 （C ）单调递减（D ）单调递增分析: 结论 对于函数：c bx ax y ++=2（1）当时,它是偶函数; 0=b （2）当时,它是奇函数.0==c a 对于本题,因为函数为偶函数,所以不难得到. ()321)(2++-=mx x m x f 0=m 解:∵函数为偶函数()321)(2++-=mx x m x f ∴, )()(x f x f =-()()32132122++-=+--mx x m mx x m ∴,解之得:m m 22=-0=m ∴,其图象开口向下,对称轴为轴. 3)(2+-=x x f y ∵函数在区间单调递增.选择【 D 】.)(x f ()3,5--例31. 设为常数,函数.若为偶函数,则_________. a 34)(2+-=x x x f ()a x f +=a 分析:将函数的图象向左或向右平移个单位长度,即可得到)(x f ()0>a ()0<a a 函数的图象.偶函数的图象关于轴对称.()a x f +y 结论 若函数满足,则函数的图象关于直线对称.)(x f )()(x a f x a f -=+)(x f a x =解法一:∵()1234)(22--=+-=x x x x f ∴()()122--+=+a x a x f ∵为偶函数()a x f +∴其图象的对称轴为轴,∴,解之得:.y 02=-a 2=a 解法二:,其图象的对称轴为直线.()1234)(22--=+-=x x x x f 2=x ∵为偶函数()a x f +∴,即 )()(a x f a x f +=+-)()(x a f x a f +=-∴函数的图象关于直线对称. )(x f a x =∴. 2=a例32. 已知是定义在上的偶函数,则_______. ()231)(bx x a x f +-=[]b b +2,=+b a 解:∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴,解之得: 02=++b b 1-=b ∴()231)(x x a x f --=∵,∴ )()(x f x f =-()()232311x x a x x a --=---∴,解之得:. ()11-=--a a 1=a ∴0.=+b a 例33. 已知函数是奇函数,则_________.⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f =m 解:当时,,∴ 0<x 0>-x x x x f 2)(2--=-∵函数是奇函数 )(x f ∴ )(2)(2x f x x x f -=--=-∴（） mx x x x x f +=+=222)(0<x ∴.2=m 例34. 已知函数为偶函数.()()21)(xt x x x f -+=（1）求实数的值;t （2）是否存在实数,使得当时,函数的值域为?0>>a b ∈x []b a ,)(x f ⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.b a ,分析:,设,因为与均为()()21)(x t x x x f -+=()()()t x x x h x x g -+==1,1)(2)(x f )(x g 偶函数,所以也是偶函数,故,得到. ()t x t x x h --+=1)(201=-t 1=t 解:∵函数为偶函数()()21)(xt x x x f -+=∴()()()()2211)(x t x x x t x x x f -+=--+-=-∴ ()()()()t x x t x x -+=--+-11∴,解之得:. t t -=-111=t ∴; ()()222211111)(xx x x x x x f -=-=-+=（2）∵ 0>>a b ∴函数在区间上为增函数 211)(xx f -=[]b a ,∴,2min11)()(a a f x f -==2max 11)()(bb f x f -==∵函数的值域为)(x f ⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22∴,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-b b a a 2211221122⎩⎨⎧==11b a ∵0>>a b ∴不存在实数,使得当时,函数的值域为.0>>a b ∈x []b a ,)(x f ⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22例35. 已知函数是R 上的偶函数. 211)(x mx x f ++=（1）求实数的值;m （2）判断并用定义法证明函数在上的单调性.)(x f y =()0,∞-解:（1）∵函数是R 上的偶函数 211)(x mx x f ++=∴,)()(x f x f =-221111x mx x mx ++=++-∴,,解之得:;11+=+-mx mx m m =-0=m（2）由（1）知:. 211)(x x f +=函数在上为增函数,理由如下: )(x f y =()0,∞-任取,且,则有()0,,21∞-∈x x 21x x < ()()()()()()()()222112122221212222212111111111x x x x x x x x x x x x x f x f ++-+=++-=+-+=-∵,且()0,,21∞-∈x x 21x x <∴ ()()011,0,022211212>++>-<+x x x x x x ∴ ()()()()2121,0x f x f x f x f <<-∴函数在上为增函数.)(x f y =()0,∞-例36. 已知函数是奇函数,且,其中R .nmx x x f ++=2)(23)1(=f ∈n m ,（1）求的值;n m ,（2）判断在上的单调性,并加以证明. )(x f (]2,-∞-解:（1）∵,∴,∴. 3)1(=f 33=+nm 1=+n m ∵函数为奇函数)(x f ∴, )()(x f x f -=-nmx x n mx x --+=+-+2222∴,解之得:n n -=0=n 解方程组得:;⎩⎨⎧==+01n n m ⎩⎨⎧==01n m （2）由（1）可知:（可见函数为对勾函数）xx x x x f 22)(2+=+=)(x f 函数在上为增函数,理由如下: )(x f (]2,-∞-任取,且,则有∈21,x x (]2,-∞-21x x <()()()()()212121212122112122222x x x x x x x x x x x x x x x f x f --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-∵,且 ∈21,x x (]2,-∞-21x x <∴ 02,0,0212121>-<->x x x x x x ∴∴ ()()()()2121,0x f x f x f x f <<-∴函数在上为增函数. )(x f y =()0,∞-应用4 函数的奇偶性与单调性的综合例37. 已知在定义域上是奇函数,又是减函数,若)(x f []1,1-,求实数的取值范围.()()0112<-+-a f a f a 解:∵ ()()0112<-+-a f a f ∴()()a f a f --<-112∵在定义域上是奇函数 )(x f []1,1-∴ ()()()1)1(1-=--=--a f a f a f ∴()()112-<-a f a f 由题意可得:,解之得:0≤.⎪⎩⎪⎨⎧->-≤-≤-≤-≤-1111111122a a a a 1<a ∴实数的取值范围是.a [)1,0例38. 定义在上的偶函数在上单调递减,若,求实[]2,2-)(x f []2,0()()m f m f <-1数的取值范围.m 结论:若函数为偶函数,则有.)(x f ()x f x f x f ==-)()(解:∵函数是定义在上的偶函数)(x f []2,2-∴,,.()()m f m f -=-11()()m f m f =[]2,0,1∈-m m∵在上单调递减, )(x f []2,0()()m f m f <-1∴,.()()m f m f <-1m m >-1由题意可得:,解之得:≤.⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-≤-≤-mm m m 1222121-m 21<∴实数的取值范围是.m ⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,1注意:的同解不等式为.m m >-1()221m m >-例39. 定义在R 上的奇函数,满足,且在上单调递减,求不等)(x f 021=⎪⎭⎫⎝⎛f ()+∞,0式的解集.0)(>x xf 分析:奇函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.解:∵定义在R 上的奇函数,满足)(x f 021=⎪⎭⎫⎝⎛f ∴021=⎪⎭⎫⎝⎛-f ∵函数在上单调递减 )(x f ()+∞,0∴函数在上单调递增 )(x f ()0,∞-∴当时,;当时, 210<<x 0)(>x f 021<<-x 0)(<x f ∴不等式的解集为.0)(>x xf ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,00,21 注意:对于奇函数的理解,可结合下面的图象.图中.)(x f 0)0(=f例40. 已知奇函数,是减函数,解不等式. )(x f y =∈x ()1,1-0)31()1(<-+-x f x f 解:∵ 0)31()1(<-+-x f x f ∴ )31()1(x f x f --<-∵是奇函数)(x f y =∴ ()()13)31()31(-=--=--x f x f x f ∴)13()1(-<-x f x f 由题意可得:,解之得:.⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-1311311111x x x x 210<<x ∴不等式的解集为. 0)31()1(<-+-x f x f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210x x 例41. 已知偶函数在上单调递减,,若,则的取值)(x f [)+∞,0()02=f ()01>-x f x 范围是__________.解:由题意可得的解集为 0)(>x f ()2,2-∵()01>-x f ∴,解之得: 212<-<-x 31<<-x ∴的取值范围是.x ()3,1-例42. 已知函数是定义在上的偶函数,且当≥0时,单调递增,)(x f []a a 2,1-x )(x f则关于的不等式的解集为【 】x ()()a f x f >-1（A ）（B ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,34⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,3432,31 （C ）（D ）随的值的变化而变化⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--32,3131,32 a 解:∵函数是定义在上的偶函数 )(x f []a a 2,1-∴,解之得: 021=+-a a 31=a ∴函数的定义域为)(x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,32∵,∴,∴ ()()a f x f >-1()⎪⎭⎫⎝⎛>-311f x f ()⎪⎭⎫ ⎝⎛>-311f x f ∵当≥0时,单调递增,≥0 x )(x f 1-x ∴. 311>-x 由题意可得: ,解之得:≤或≤.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤-≤-31132132x x 3132<x x <3435∴不等式的解集为.选择【 B 】.()()a f x f >-1⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,3432,31 例43. 已知是定义在R 上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数满)(x f (]0,∞-a 足,则的取值范围是【 】()⎪⎭⎫⎝⎛->-211f a f a （A ）（B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2321, （C ）（D ）⎪⎭⎫⎝⎛23,21⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23解:∵是定义在R 上的偶函数,且在区间上单调递增)(x f (]0,∞-∴在区间上单调递减,. )(x f [)+∞,0⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-2121f f ∵()⎪⎭⎫⎝⎛->-211f a f ∴,∴,解之得:.()⎪⎭⎫⎝⎛>-211f a f 211<-a 2321<<a ∴的取值范围是.选择【 C 】.a ⎪⎭⎫⎝⎛23,21☆例44. 已知函数的定义域为,且是奇函数.)(x f ()+∞,0⎩⎨⎧><+=0),(0,2)(2x x f x x x x g （1）求的表达式;)(x f （2）若在上的值域是,求值:是方程的两个根.)(x f []b a ,⎦⎤⎢⎣⎡a b 1,1b a ,x x f 1)(=解:当时, 0>x 0<-x ∴ ()x x x g 22-=-∵是奇函数)(x g ∴ ()()()x g x x x g -=+--=-22∴（） x x x g 2)(2+-=0>x ∴（）; x x x f 2)(2+-=0>x （2）证明:由题意可知: 0>>a b ∵≤1()112)(22+--=+-=x x x x f ∴≤1,∴≥1 a1a ∴在上单调递减)(x f []b a ,∴, ()a a f 1=()bb f 1=∴是方程的两个根.b a ,xx f 1)(=例45. 设函数对任意R 都有,且当时,)(x f ∈y x ,()()()y f x f y x f +=+0>x,. 0)(<x f 2)1(-=f （1）证明:为奇函数; )(x f （2）证明:在R 上是减函数;)(x f （3）若,求的取值范围; ()()47652>-++x f x f x （4）求在上的最大值与最小值.)(x f []3,3-（1）证明:令,则,∴ 0==y x )0(2)0()0()0(f f f f =+=0)0(=f 令,则有 x y -=0)()()0(=-+=x f x f f ∴)()(x f x f -=-∵函数的定义域为R ,关于原点对称 )(x f ∴函数为奇函数;)(x f （2）证明:任取R ,且,则 ∈21,x x 21x x <012>-x x ∵当时,,∴0>x 0)(<x f ()012<-x x f ∴()()()()()()()1112211212)(x f x f x x f x f x x x f x f x f -+-=-+-=-.()012<-=x x f ∴,∴. ()()012<-x f x f ()()21x f x f >∴在R 上是减函数;)(x f （3）解:由（1）可知:2)1()1(=--=-f f 令,则 1-==y x 4)1(2)1()1()2(=-=-+-=-f f f f ∵()()47652>-++x f x f ∴, ())2(7652->-++f x x f ())2(511->-f x f ∵在R 上是减函数 )(x f ∴,解之得:. 2511-<-x 513>x∴的取值范围是; x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,513（4）令,则1,2-=-=y x 624)1()2()3(=+=-+-=-f f f ∵在R 上是减函数)(x f ∴在上的最大值为6)(x f []3,3-∵奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数∴在上的最小值为.)(x f []3,3-6-例46. 函数对任意R 都有,并且当时,)(x f ∈b a ,()()()1-+=+b f a f b a f 0>x .1)(>x f （1）判断函数是否为奇函数;)(x f （2）证明:在R 上是增函数;)(x f （3）解不等式.()1232<--m m f （1）解:令,则0==b a 1)0(21)0()0()0(-=-+=f f f f ∴01)0(≠=f ∴函数不是奇函数;)(x f （2）任取R ,且,则∈21,x x 21x x <012>-x x ∵当时,,∴0>x 1)(>x f ()112>-x x f ∴ ()()()()()()()11121112121)(x f x f x x f x f x x x f x f x f --+-=-+-=-()0112>--=x x f ∴()()12x f x f >∴在R 上是增函数;)(x f （3）由（1）可知:1)0(=f ∵()1232<--m m f∴())0(232f m m f <--∵在R 上是增函数)(x f ∴,解之得: 0232<--m m 132<<-m ∴不等式的解集为. ()1232<--m m f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32例47. 设是定义在上的减函数,且满足, )(x f y =()+∞,0())()(y f x f xy f +=. 131=⎪⎭⎫ ⎝⎛f （1）求,,的值; )1(f ⎪⎭⎫ ⎝⎛91f )9(f （2）若,求的取值范围.2)2()(<--x f x f x 解:（1）令,则有,∴;1==y x )1(2)1()1()1(f f f f =+=0)1(=f 令,则有; 31==y x 212313191=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f ∵ 01)3(31)3(313)1(=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=f f f f f ∴1)3(-=f ∴;()2)3(2)3()3(33)9(-==+=⨯=f f f f f （2）∵2)2()(<--x f x f ∴ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<91)2()(f x f x f ∴ ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-<x f x f 291)(∵是定义在上的减函数)(x f y =()+∞,0∴()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->>->x x x x 29102910,解之得:251<<x . ∴的取值范围是. x ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,51☆例48. 设是定义在上的函数,且满足,当)(x f ()()+∞∞-,00, ()()()y f x f xy f +=时,.1>x ()0<x f （1）求的值,并证明是偶函数;)1(f )(x f （2）证明函数在上单调递减;)(x f ()+∞,0（3）若,≥,求的取值范围.1)3(-=f )8()(-+x f x f 2-x 解:（1）令,则有,∴;1==y x )1(2)1()1()1(f f f f =+=0)1(=f ∵是定义在上的函数)(x f ()()+∞∞-,00, ∴其定义域关于原点对称.令,则有,∴.1-==y x ()()()01211)1(=-=-+-=f f f f ()01=-f 令,则有1-=y ()())(1)(x f f x f x f =-+=-∴是偶函数;)(x f （2）证明:任取,且,则 ∈21,x x ()+∞,021x x <112>x x ∵当时,,∴ 1>x ()0<x f 012<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f ∴ ()()()()()0121112111212<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f ∴.()()21x f x f >∴函数在上单调递减;)(x f ()+∞,0（3）解:∵1)3(-=f ∴令,则有 3==y x 2)3(2)3()3()9(-==+=f f f f ∴≥)8()(-+x f x f )9(f ∴≥())8(-x x f )9(f ∵函数是偶函数)(x f ∴≥()()8-x x f )9(f ∵函数在上单调递减;)(x f ()+∞,0∴,解之得:≤≤或≤≤9,且,. ()()⎩⎨⎧≠-≤-0898x x x x 1-x 74-74+x 0≠x 8≠x ∴的取值范围是. x [)(][)(]9,88,7474,00,1 +--例49. 若函数为区间上的奇函数,则它在这一区间上的最大1)(++-=bx a x x f []1,1-值为_________.解:∵函数为区间上的奇函数)(x f []1,1-∴,∴0)0(=f 0=a ∴ 1)(+-=bx x x f ∵,∴,解之得: ())1(1f f --1111+=+---b b 0=b ∴,在区间上为减函数x x f -=)([]1,1-∴.()11)(max =-=f x f 例50. 已知函数.32)(2-+-=x x x f （1）求在区间上的最小值; )(x f []2,12-a ()a g （2）求的最大值.)(a g 解:（1）由题意可知:,解之得:. 212<-a 23<a ,其图象的开口向下,对称轴为直线. ()2132)(22---=-+-=x x x x f 1=x当,即时, 12212<+-a 21<a 684)12()(2min -+-=-=a a a f x f ∴;()6842-+-=a a a g 当≥1,即≤时, 2212+-a 2123<a ()()32min -==f x f ∴.3)(-=a g 综上所述,; ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<-+-=2321,321,684)(2a a a a a g （2）由（1）可知:.3)(max -=a g。

函数的奇偶性的归纳总结考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。

教学目标：1、理解函数奇偶性的概念；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。

教学重点：1、理解奇偶函数的定义；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。

教学难点：1、对奇偶性定义的理解；2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。

教学过程：一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。

理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。

这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。

奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。

偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b ）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增）④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

函数的奇偶性_高中_数学_教材分析_学情分析_教学设计内容选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》B版必修1第二章第四节;函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此成为函数的重要性质之一,它的研究既是函数概念的延续与拓展也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用;奇偶性安排在单调性之后，所以在教学上承接了研究单调性的方法——从形到数，由数到形，数形结合。

无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。

学情分析1、已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。

尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识；2、在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识；3、高一学生具备一定的观察能力，但观察的深刻性及稳定性也都还有待于提高；4、高一学生的学习心理具备一定的稳定性,有明确的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容。

函数的奇偶性教学设计一．教材分析1 . 教材的地位与作用内容选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》B版必修1第二章第四节;函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此成为函数的重要性质之一,它的研究既是函数概念的延续与拓展也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用;奇偶性安排在单调性之后，所以在教学上承接了研究单调性的方法——从形到数，由数到形，数形结合。

无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。

2 . 学情分析已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。

尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识；在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识；高一学生具备一定的观察能力，但观察的深刻性及稳定性也都还有待于提高；高一学生的学习心理具备一定的稳定性,有明确的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容。

判断函数奇偶性知识点总结函数奇偶性是高中数学中的一类重要的概念和方法，对于理解函数的性质和解题有着重要的指导作用。

掌握函数奇偶性的判断方法，可以帮助我们更好地分析和解决数学问题。

本文将总结判断函数奇偶性的相关知识点，包括奇偶函数的定义、判断方法及常见函数的奇偶性。

一、奇偶函数的定义1. 定义函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称或关于原点对称的性质。

具体而言，对于定义域中的任意实数x，若函数满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若函数满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

2. 奇函数的性质（1）奇函数在原点对称，即函数图像关于原点对称；（2）如果函数是奇函数，且存在一个值x0使得f(x0) = 0，那么f(-x0) = 0。

3. 偶函数的性质（1）偶函数在y轴对称，即函数图像关于y轴对称；（2）如果函数是偶函数，且存在一个值x0使得f(x0) = 0，那么f(-x0) = 0。

二、判断函数奇偶性的方法1. 使用定义判断要判断函数奇偶性，可以使用定义进行判断。

即对于定义域中的任意实数x，如果满足f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；如果无法满足以上两个条件，则函数既不是奇函数也不是偶函数。

2. 使用图像判断利用函数图像的对称性质，我们可以判断函数的奇偶性。

具体而言，对于函数的图像图形，如果它关于y轴对称，则函数为偶函数；如果它关于原点对称，则函数为奇函数；如果既不关于y轴对称也不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。

3. 使用性质判断对于一些特定的函数，可以利用其性质来判断其奇偶性。

（1）多项式函数：多项式函数中的偶次幂项为偶函数，奇次幂项为奇函数。

（2）三角函数：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

（3）指数函数和对数函数：指数函数和对数函数既可以是奇函数，也可以是偶函数，具体与函数的定义和参数相关。