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三、注水原理推导，功率和比特分配算法1、注水原理推导当发射端已知CSI 时，可以采用注水原理来分配各个发送天线的功率，在功率受限的情况下，注水原理可以通过MIMO 信道容量最大化推导出来。
注水原理的推导：（在信道容量推导的基础上）功率满足：m1i i P P ==∑信道容量： 221log 1mii i P C λσ=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ 寻求使容量C 最大化的i P 的值： 利用拉格朗日乘数法引入函数：2211log 1(P )NN i i i i i P Z L P λσ==⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦∑∑ 令0i Z P ∂=∂，有：2210ln 21i i i Z L P P λσλσ∂=•-=∂+ 得：221L ln 2i i iP σσμλλ=-=-•，其中μ为常数 推导得到：+2i i P σμλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 式中，+a 指()0,m ax a ，μ称为注水平面，i λ是信道矩阵的第i 个特征值，2σ是噪声方差。
2、基于注水原理的功率分配算法m 1i i P P ==∑=1221()mm i i i i m σλμσμλ===--∑∑ 21P+=i mi m σλμ=∑+2i i P σμλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 算法可以描述如下：Step1: 初始化，设第k 个时刻定总功率为()1P k =；Step2: 根据)(H SVD =λ并由注水定理可得出每根天线上分配的功率),(k P i 且有)()(1k P k P ri i =∑=；Step3: 对式))(1(log 22σλk P m i i i ⋅Γ+=进行量化可得出每根天线分配到的比特)(k R i ； Step4: 根据式（3.9）计算系统数据速率；Step5 : 1k k =+()1P k =,跳转至Step2实际上这种算法时把信道 H 分解成了))((H rank m 个相互之间独立并行的子信道并根据各个子信道的好坏来分配不同的发送功率。
“注水”定理及其在OFDM 中的应用1“注水”定理阐述“注水”定理适用于如下情形：1. 1信道条件信道输入平稳随机序列12,,N X X X X =，输出的平稳随机序列12,,N Y Y Y Y =，噪声序列为12,,N n n n n =为零均值的高斯加性噪声。
定义组合加性高斯白噪声信道（等价于多维无记忆高斯加型连续信道）为：信道中各单元时刻()1,2,i N =上的加性噪声为均值为零，方差为各不相同的()1,2,ni P i N =的高斯噪声，且各分量统计独立。
1. 2约束条件当且仅当信道输入平稳随机序列12,,N X X X X =中各分量统计独立，各加性噪声为均值为零，方差为各不相同的()1,2,ni P i N =的高斯噪声时，信道容量为：()2max ;1 log 1 (1.1)2ii ns in C I X Y P P =⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭∑ 1. 3“注水”定理各个输入信号的总体平均功率21 N i i E X =⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑受限，因此存在一个约束条件为21 (1.2) N i i P E X =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑要计算()max ;C I X Y =，就是计算式(1.1)在约束条件式(1.2)下的最大值。
引用拉格朗日乘数法求解此问题，做辅助函数()1221,,log 1 (1.3)2iNi i nn s s s s s ii n P J P P P P P λ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 其中2i s i P E X ⎡⎤=⎣⎦为各个时刻的信号平均功率，λ为参数，即拉格朗日乘子，对辅助函数()12,,N s s s J P P P 逐一求i s P 的导数，使之等于零： ()()12,,0 1,2,(1.4)Nis s s s J P P P i N P ∂==∂即得到：()110 1,2,(1.5)2i in s i N P P λ+==+1(1.6)2i i i s n n P P v P λ=--=- 其中v 为常数，由于式（1.6）中的i s P 可能为负值，这表明并联信道中，某一新到的平均噪声功率i n P 大于信道分配到的信号平均功率时，信号将淹没在噪声中而无法利用。
1.1功率注水算法注水算法是根据某种准则，并根据信道状况对发送功率进行自适应分配，通常是信道状况好的时刻，多分配功率，信道差的时候，少分配功率，从而最大化传输速率。
实现功率的“注水”分配，发送端必须知道CSI 。
当接收端完全知道信道而发送端不知道信号时，发送天线阵列中的功率平均分配是合理的。
当发送端知道信道，可以增加信道容量。
考虑一个1⨯r 维的零均值循环对称复高斯信号向量s ~，r 为发送信道的秩。
向量在传送之前被乘以矩阵V (H V U H ∑=)。
在接收端，接受到的信号向量y 被乘以H U 。
这个系统的有效输入输出关系式由下式给出：n s M E n U s V V U U M E n U s HV U M E y Ts H H HTs H H T s ~~~~~+∑=+∑=+=s其中y ~是1⨯r 维的变换的接受信号向量，n ~是协方差矩阵为rH I N n n 0}~~{=ξ的零均值循环对称复高斯1⨯r 变换噪声向量。
向量s ~必须满足T HM s s =}~~{ξ已限制总的发送能量。
可以看出ii i Tsi n s M E y ~~~+=λ，i=1,2,…,r MIMO 信道的容量是单个平行SISO 信道容量之和，由下式给出∑=+=ri i T is N M E C 12)1(log λγ其中}{2i i s ξγ=(i=1,2,…,r)反映了第i 个子信道的发送能量，且满足T ri iM =∑=1γ。
可以在子信道中分配可变的能量来最大化互信息。
现在互信息最大化问题就变成了：∑==+∑==ri i T i s M N M E C r i T i 1)2)1(log max 1λγγ最大化目标在变量),..,1(r i i =γ中是凹的，用拉格朗日法最大化。
最佳能量分配政策}0),max {(0is T opt i E N M λμγ-= ∑==ri T opt iM 1γ注水算法：Step1:迭代计数p=1,计算]11[1110∑+-++-=p r isTE N p r M λμStep2:用μ计算is T i E N M λμγ0-=，i=1,2,…,r -p+1 Step3:若分配到最小增益的信道能量为负值,即设01=+-p r γ，p=p+1，转至Step1. 若任意i γ非负，即得到最佳注水功率分配策略。
1.1功率注水算法注水算法是根据某种准则，并根据信道状况对发送功率进行自适应分配，通常是信道状况好的时刻，多分配功率，信道差的时候，少分配功率，从而最大化传输速率。
实现功率的“注水”分配，发送端必须知道CSI。
当接收端完全知道信道而发送端不知道信号时，发送天线阵列中的功率平均分配是合理的。
当发送端知道信道，可以增加信道容量。
考虑一个维的零均值循环对称复高斯信号向量，r为发送信道的秩。
向量在传送之前被乘以矩阵()。
在接收端，接受到的信号向量y被乘以。
这个系统的有效输入输出关系式由下式给出：其中是维的变换的接受信号向量，是协方差矩阵为的零均值循环对称复高斯变换噪声向量。
向量必须满足已限制总的发送能量。
可以看出，i=1,2,…,rMIMO信道的容量是单个平行SISO信道容量之和，由下式给出其中(i=1,2,…,r)反映了第i个子信道的发送能量，且满足。
可以在子信道中分配可变的能量来最大化互信息。
现在互信息最大化问题就变成了：最大化目标在变量中是凹的，用拉格朗日法最大化。
最佳能量分配政策注水算法：Step1:迭代计数p=1,计算Step2:用μ计算，i=1,2,…,r-p+1Step3:若分配到最小增益的信道能量为负值,即设，p=p+1，转至Step1.若任意非负，即得到最佳注水功率分配策略。
1.2 发送端知道信道时的信道容量% in this programe a highly scattered enviroment is considered. The% Capacity of a MIMO channel with nt transmit antenna and nr recieve% antenna is analyzed. The power in parallel channel (after % decomposition) is distributed as water-filling algorithm clear allclose allclcnt_V = [1 2 3 2 4];nr_V = [1 2 2 3 4];N0 = 1e-4;B = 1;Iteration = 1e2; % must be grater than 1e2SNR_V_db = [-10:3:20];SNR_V = 10.^(SNR_V_db/10);color = ['b';'r';'g';'k';'m'];notation = ['-o';'->';'<-';'-^';'-s'];for(k = 1 : 5)nt = nt_V(k);nr = nr_V(k);for(i = 1 : length(SNR_V))Pt = N0 * SNR_V(i);for(j = 1 : Iteration)H = random('rayleigh',1,nr,nt);[S V D] = svd(H);landas(:,j) = diag(V);[Capacity(i,j) PowerAllo] = WaterFilling_alg(Pt,landas(:,j),B,N0); endendf1 = figure(1);hold onplot(SNR_V_db,mean(Capacity'),notation(k,:),'color',color(k,:)) clear landasendf1 = figure(1)legend_str = [];for( i = 1 : length(nt_V))legend_str =[ legend_str ;...{['nt = ',num2str(nt_V(i)),' , nr = ',num2str(nr_V(i))]}];endlegend(legend_str)grid onset(f1,'color',[1 1 1])xlabel('SNR in dB')ylabel('Capacity bits/s/Hz')注水算法子函数function [Capacity PowerAllo] = WaterFilling_alg(PtotA,ChA,B,N0); %% WaterFilling in Optimising the Capacity%===============% Initialization%===============ChA = ChA + eps;NA = length(ChA); % the number of subchannels allocated toH = ChA.^2/(B*N0); % the parameter relate to SNR in subchannels % assign the power to subchannelPowerAllo = (PtotA + sum(1./H))/NA - 1./H;while(length(find(PowerAllo < 0 ))>0)IndexN = find(PowerAllo <= 0 );IndexP = find(PowerAllo > 0);MP = length(IndexP);PowerAllo(IndexN) = 0;ChAT = ChA(IndexP);HT = ChAT.^2/(B*N0);PowerAlloT = (PtotA + sum(1./HT))/MP - 1./HT;PowerAllo(IndexP) = PowerAlloT;endPowerAllo = PowerAllo.';Capacity = sum(log2(1+ PowerAllo.' .* H));注意：是的奇异值，所以对H奇异值分解后要平方ChA.^21.3 发送端不知道信道时的信道容量功率均等发送，信道容量的表达式为clear allclcnt_V = [1 2 3 2 4];nr_V = [1 2 2 3 4];N0 = 1e-4;B = 1;Iteration = 1e2; % must be grater than 1e2SNR_V_db = [-10:3:20];SNR_V = 10.^(SNR_V_db/10);color = ['b';'r';'g';'k';'m'];notation = [':o';':>';'<:';':^';':s'];for(k = 1 : length(nt_V))nt = nt_V(k);nr = nr_V(k);for(i = 1 : length(SNR_V))Pt = N0 * SNR_V(i);for(j = 1 : Iteration)H = random('rayleigh',1,nr,nt);Capacity(i,j)=log2(det(eye(nr)+Pt/(nt*B*N0)* H*H')); endendf2= figure(2);hold onplot(SNR_V_db,mean(Capacity'),notation(k,:),'color',color(k,:)) clear landasendf2= figure(2)legend_str = [];for( i = 1 : length(nt_V))legend_str =[ legend_str ;...{['nt = ',num2str(nt_V(i)),' , nr = ',num2str(nr_V(i))]}];endlegend(legend_str)grid onset(f2,'color',[1 1 1])xlabel('SNR in dB')ylabel('Capacity bits/s/Hz')1.4 已知信道和未知信道容量比较clear allclose allclcnt_V = [1 2 3 2 4];nr_V = [1 2 2 3 4];N0 = 1e-4;B = 1;Iteration = 1e2; % must be greater than 1e2 SNR_V_db = [-10:3:20];SNR_V = 10.^(SNR_V_db/10);color = ['b';'r';'g';'k';'m'];notation = ['-o';'->';'<-';'-^';'-s'];notation_uninf= [':o';':>';'<:';':^';':s'];for(k = 1 : length(nt_V))nt = nt_V(k);nr = nr_V(k);for(i = 1 : length(SNR_V))Pt = N0 * SNR_V(i);for(j = 1 : Iteration)H = random('rayleigh',1,nr,nt);[S V D] = svd(H);landas(:,j) = diag(V);Capacity_uninf(i,j)=log2(det(eye(nr)+Pt/(nt*B*N0)* H*H')); [Capacity(i,j) PowerAllo] = WaterFilling_alg(Pt,landas(:,j),B,N0); endendf1 = figure(1);hold onplot(SNR_V_db,mean(Capacity'),notation(k,:),'color',color(k,:)) hold onplot(SNR_V_db,mean(Capacity_uninf'),notation_uninf(k,:),'color',color(k,:))clear landasendgrid onset(f1,'color',[1 1 1])xlabel('SNR in dB')ylabel('Capacity bits/s/Hz')f1 = figure(1)legend_str = [];for( i = 1 : length(nt_V))legend_str =[ legend_str ;...{['nt = ',num2str(nt_V(i)),' , nr = ',num2str(nr_V(i))]}];endlegend(legend_str)grid onset(f1,'color',[1 1 1])xlabel('SNR in dB')ylabel('Capacity bits/s/Hz')由图形中可以看出：1. 在小信噪比时，相同信噪比下利用CSI的功率注水算法获得容量优于未知CSI的平均功率分配算法；相同容量下已知CSI信噪比比未知CSI时的信噪比小3dB.2. 当信噪比增大到一定程度时，功率注水算法所获得的信道容量将收敛到平均功率分配的信道容量。
MIMO信道容量及注水算法MIMO Channel Capacity and Water Flooding Algorithm方小川 201522010231摘要：多入多出（MIMO）是指在发送端有多根天线，接收端也有多根天线的通信系统，在无线衰落环境下，采用多个收发天线的MIMO系统具有极高的信道容量。
无线MIMO系统可以有效地提高信道容量，发射和接收端信号处理算法的合理设计进一步提高MIMO系统的性能，MIMO通信系统的性能很大程度上取决于无线信道的衰落特性。
故本文主要研究无线MIMO 衰落信道的建模、信道容量、信道估计以及分析注水算法对MIMO信道容量的影响。
关键词：多入多出（MIMO），信道容量，信道模型，注水算法Abstract：Multiple Input Multiple Output (MIMO) refers that a communication system has multiple antennas in both the sender and the receiver. In the wireless fading environment, using multiple antennas in sender and receiver has a very high channel capacity of MIMO system. Wireless MIMO system can improve the capacity of channel effectively. The reasonable design of transmit and receive signal processing algorithm improve the performance of the MIMO system further. The performance of the MIMO system depends largely on the fading characteristics of wireless channel. Thus this paper researches wireless MIMO fading channel model, channel capacity, channel estimation and analyzes of the effect of water flooding algorithm for MIMO channel capacity.Key words：Multiple Input Multiple Output (MIMO), Channel Capacity, Channel Model, Water Flooding Algorithm引言：在传统的无线通信系统中,发射端和接收端通常是各使用一根天线，这种单天线系统也称为单输入和单输出(SISO, Single Input Single Output)系统，对于这样的系统香农于1948年在“通信的数学理论”一文中提出了一个信道容量的计算公式：C=W log2(1+S/N)，其中W代表信道带宽，S/N代表接收端的信噪比，用W归一化后，得到带宽利用率：ŋ=log2(1+S/N)，它确定了在有噪声的信道中，进行可靠通信的上限速率。
注水定理算法步骤
注水定理在信息论等领域可是个很有趣的东西呢。
那它的算法步骤大概是这样的。
我们得先确定一些东西哦。
要知道信道的一些特性，就像是你要了解一个小伙伴的脾气秉性一样。
这里要知道信道的噪声功率谱密度之类的参数。
然后呢，我们要构建一个关于功率分配的函数。
这个函数就像是一个魔法配方，根据不同的信道状况，把总功率分配到不同的子信道上去。
这就好比你有一堆糖果，要根据小伙伴们的喜好，分给不同的小伙伴。
接着呀，这个函数会在一些条件的约束下达到最优。
比如说，总功率是有限制的，不能无限制地分配。
这就像你手里的糖果数量是有限的，不能凭空变出来更多去分给大家。
在实际计算的时候，我们可能会用到一些数学工具，像拉格朗日乘子法之类的。
不过可别被这个名字吓到啦，就把它当成一个小帮手。
它能帮助我们找到那个最优的功率分配方案。
再然后呢，根据计算出来的结果，我们就知道每个子信道应该分配多少功率啦。
就像是每个小伙伴都拿到了属于自己的那份糖果，大家都开开心心的。
“注水”定理及其在OFDM 中的应用1“注水”定理阐述“注水”定理适用于如下情形：1. 1信道条件信道输入平稳随机序列12,,N X X X X = ，输出的平稳随机序列12,,N Y Y Y Y = ，噪声序列为12,,N n n n n = 为零均值的高斯加性噪声。
定义组合加性高斯白噪声信道（等价于多维无记忆高斯加型连续信道）为：信道中各单元时刻()1,2,i N = 上的加性噪声为均值为零，方差为各不相同的()1,2,ni P i N = 的高斯噪声，且各分量统计独立。
1. 2约束条件当且仅当信道输入平稳随机序列12,,N X X X X = 中各分量统计独立，各加性噪声为均值为零，方差为各不相同的()1,2,ni P i N = 的高斯噪声时，信道容量为： ()2max ;1 log 1 (1.1)2ii ns in C I X Y P P =⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭∑ 1. 3“注水”定理各个输入信号的总体平均功率21 N i i E X =⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑受限，因此存在一个约束条件为21 (1.2) N i i P E X =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑要计算()max ;C I X Y =，就是计算式(1.1)在约束条件式(1.2)下的最大值。
引用拉格朗日乘数法求解此问题，做辅助函数()1221,,log 1 (1.3)2iNi i nn s s s s s ii n P J P P P P P λ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 其中2i s i P E X ⎡⎤=⎣⎦为各个时刻的信号平均功率，λ为参数，即拉格朗日乘子，对辅助函数()12,,N s s s J P P P 逐一求i s P 的导数，使之等于零：()()12,,0 1,2, (1.4)Nis s s s J P P P i N P ∂==∂即得到：()110 1,2, (1.5)2i in s i N P P λ+==+1(1.6)2i i i s n n P P v P λ=--=- 其中v 为常数，由于式（1.6）中的i s P 可能为负值，这表明并联信道中，某一新到的平均噪声功率i n P 大于信道分配到的信号平均功率时，信号将淹没在噪声中而无法利用。
注水算法解决信道功率分配问题严红，学号：9340023，2012级，***摘要：无线通信技术的日新月异是人类文明发展和社会进步的一个重要展现。
自从1948年香农建立信息论开始，到现在通信已经进入飞速发展的年代，短短的几十年间，无线通信技术在人类社会的各个方面得到了无处不在的应用。
无线通信过程中，在具有多径衰落的短波无线电信道上，即使传输低速（1200波特）的数字信号，也会产生严重的码间串扰。
为了解决这个问题，除了采用均衡器外，途径之一就是采用多个载波，将信道分成许多个子信道。
将基带码元均匀的分散地对每个子信道的载波调制。
随着要求传输的码元速率不断提高，传输带宽也越来越宽。
今日多媒体通信的信息传输速率要求已经达到若干Mb/s，并且移动通信的传输信道可能是在大城市中多径衰落严重的无线信道。
为了解决这个问题，并行调制的体制再次受到重视。
正交频分复用（OFDM，Orthogonal Frequency Division Multiplexing）就是在这种形式下得到发展的。
在有限的频谱资源的条件下，由于电磁环境是复杂多变的，不同信道的质量也是不同的，如果直接将信号发射出去，信道的容量将不会很高。
因此，在系统中增加资源调度模块根据信道增益自适应地进行资源配置，可明显提高系统吞吐量。
文章介绍了使用MATLAB的cvx工具箱来解决注水算法的功率分配的凸优化问题。
关键字：正交频分复用（OFDM），信道容量，功率分配，凸优化一、OFDM发展史OFDM技术是由多载波调制技术发展而来的，既可以看作是一种调制技术，也可看作是一种复用技术。
OFDM最早起源于二十世纪五十年代中期，早先主要应用在军用无线通信系统中；二十世纪七十年代，Weinstein和Ebert提出了使用离散傅里叶变换来实现多载波调制，但当时还没有出现实时傅里叶变换的设备，OFDM技术没有在实际中得到广泛应用；二十世纪八十年代，Cimini使得FFT技术可以快速简单地实现，OFDM在无线移动通信中的应用得到了快速发展；二十世纪九十年代以來，OFDM技术开始在欧洲国家广泛应用，在1999年，IEEE802.11a通过了一个５GHz的无线局域网标准，其中就采用了OFDM技术作为物理层标准，OFDM技术的实用化加快了脚部[1]。
在数据进行并行传输的过程中，按照发射信号功率谱之间的重叠程度，多载波调制技术经历了三个频带的划分阶段。
第一阶段，1957年Collins Kineplex提出了高速并行数据传输系统使用若干个子载波来同时传输几个独立的数据流，这些子载波的功率谱之间完全独立，互不重叠。
由于各子载波间保留了一定宽度的保护间隔，限制了系统频谱利用率的提高。
图一：传统频分复用第二阶段，为了提高频谱利用率，子载波采用了相互交错的正交幅度调制技术，相邻子载波的功率谱在3dB 处重叠，与Collins Kineplex 系统相比，频谱利用率提高了一倍。
图二：3dB 频分复用第三阶段，正交频分复用的多载波传输系统被提出来了。
系统中的每个子载波的功率谱都是sinc 函数，功率谱之间相互重叠。
子载波的频谱间隔是保持各子载波之间正交性的最小间隔，极大地提高了系统的频谱利用率。
图三：正交频分复用二、OFDM 原理设在一个OFDM 系统中有N 个子信道，每个子信道采用的子载波为：1,...,1,0)2cos()(-=+=N k t f B t x k k k k ϕπ （1）其中k B 为第k 路子载波的振幅，受基带码元的调制；k f 为第k 路子载波的频率；k ϕ为第k 路在载波的初始相位。
系统中的N 路子信道之和为（复数表示）：∑∑∑-=+-=-==+==1)2(1010)2()()(N k t f j k N k N k k k k k k k e B t f B t x t e ϕπϕπ （2）图片表示：图四：单个OFDM 子带频谱图五：OFDM 信号频谱在上图中，各路子载波的频谱重叠，但是在一个码元持续时间内它们是正交的，在接收端利用正交特性将各路子载波分离开。
在码元持续时间T B 内任意两个子载波都正交的条件是[2]：0])(2cos[(21])(2cos[(21)2cos()2cos(0)2cos()2cos(000=++++-+-=++=++⎰⎰⎰⎰dt t f f t f f dt t f t f dt t f t f BB B BT i k i k i T k i k i i k T k i i k T k ϕϕπϕϕπϕπϕπϕπϕπ即，（3）为整数即，子载波满足：解出：积分结果为：k T k f T n m f T n m f f f f f f f T f f f f T f f B k i k i k i k i k i k i k i k B i k i k i k B i k ,2/2/)(,2/)()(2)sin()(2)sin()(2])(2sin[)(2])(2sin[=-=+=---++---+-+++++πϕϕπϕϕπϕϕππϕϕπBB i k T f T n f f f /1/min =∆=-=∆隔为：故要求的最小子载波间且要求子载波间隔：时域OFDM 符号间的子载波：⎩⎨⎧≠===+=⎩⎨⎧≠=≠=++⎰⎰⎰-nm nm dt eeT T f t f T dt t f ik i k dt t f t f Bm n B B BT tjw tjw BB T k k B T k i i k T k 01·12|4)4sin(212)2(cos 00)2cos()2cos(00020πππϕπϕπ般的：位不影响正交性，故一传输过程中，幅值和相 （4）系统实现：图六：OFDM 系统knN j N n knN j N k en x Nk X DFT ek X Nn x IDFT )/2(10~~)/2(10~~][1][:][1][:ππ--=-=∑∑==（5）三、优化算法：凸优化技术介绍 3.1 基本概念与定义凸集的定义：设S 是n 维实空间n 中的一个集合。
若对S 中任意两点，连接它们的线段仍然属于S ；也就是说，对集合S 中任意两点)1(x ,)2(x ∈S ，有实数]1,0[∈λ，都有S x x ∈-+)2()1()1(λλ（6）则称S 为凸集，而)2()1()1(x x λλ-+称为)1(x ,)2(x 的凸组合。
任意多个凸集相交仍然是一个凸集。
凸函数的定义：设S 是n 维度实空间n 中的一个集合。
f 是定义在S 上的实函数。
如果对任意的)1(x ,)2(x∈S 及每个实数]1,0[∈λ，都有)()1()())()1(()2()1()2()1(x f x f x f x f λλλλ-+≤-+（7）则称f 是集合S 上的凸函数，且-f 为S 上的凹函数。
凸函数的判别：设S 是n 维实空间n 中的一个非空凸集，函数f 在S 上一阶连续可微，则f 为凸函数的充要条件是对任意两点)1(x ,)2(x ∈S ，都满足下列不等式：)()()()()1()2()1()2()1(x x x f x f x f T -∇+≥（8）其中)()1(x f ∇表示函数f 在点)1(x 处的梯度。
3.2 凸优化问题凸优化问题的定义，当问题为最小化问题时：.,...,1,0)(,,...,1,0)(..)(min 0l j x h m i x f t s x f i i ===≤（9）若m i x f i ,...,1),(=是凸函数，)(x h i 是线性函数，则优化问题的可行域为：},...,1,0)(;,..,1,0)(|{l j x h m i x f x S i i ===≤=（10）由于)(x f i 是凸函数，因此满足0)(≤x f i 的x 的集合是凸集。
根据凸函数和凹函数的定义，线性函数)(x h i 即是凸函数又是凹函数，因此满足0)(=x h i 的点的集合也是凸集。
由于S 是m+l 个凸集的交集，因此也是一个凸集。
因此，公式（9）中的问题被称为凸优化问题。
3.3 拉格朗日对偶法假设公式（9）中的问题为原始问题，将满足所有约束条件的解x 称为原始向量，并假设*p 是上述原始问题的全局最小值。
通过引入对偶变量λ∈n和ν∈l将约束条件放松，可以得到下面的拉格朗日函数：∑∑==++=m i lj j j i i x h x f x f x L 110)()()(),,(νλνλ（11）可得对偶函数),(νλg :),,(min),(νλνλx L g Sx ∈=（12）当满足0≥λ且),(νλg 有限，则称变量),(νλ可达。
3.4 KKT 条件KKT 条件用于判别一个局部极值是否最优的必要条件。
通过互补松弛定理[3]：假设原始最优解*x 和对偶最优解),(**νλ均可达并且相等，则下面的条件必然成立：m i x f i i ,...,1,0)(**==λ（13）进一步：m i x f i i ,...,1),(0**=∀⇒>λ（14）令S =,则点*x 的凸优化问题局部极值点的必要条件的存在对偶变量),(**νλ使得下面的5个条件成立：m i x f i ,..,1,0)(*=∀≤（15） l j x h j ,...,1,0)(*=∀=（16） 0*≥λ（17） m i x f i i ,...,1,0)(**==λ（18）0)()()(11****0=∇+∇+∇∑∑==mi lj j i x h x f x f j i νλ（19）上述条件就是KKT （Karush-Kuhn-Tucker ）最优条件。
四、注水算法注水算法是最大化系统吞吐量的最佳功率分配方案[4]。
在发射功率限定、信号带宽一定的条件下，注水算法提供了实现信道容量最大化目标下功率的最优分配[5]。
注水算法是通过调整发射端的功率获取最佳的信道传输性能。
当信噪比在某段频率附近较高时，可以分配较多的功率，传输较多的信息；反之，当信道的质量非常恶劣、信噪比非常下时，该信道不分配功率，不进行信息传输。
发射端的总功率一定，功率值优先分配给传输性能优良、信噪比较高的信道[5]。
注水算法的表示（假设0>i α）：11,0)log(minimize 1=+-∑=x x to subjectx Tni i i α （20）存在∈λn ,∈ν，由KKT 条件可得：νλλαλλ=++=i ii i i x 1,00，（21）如果i i i i x ανλαν-==</10:/1且； 如果0/1:/1=-=>i i i i x 且ανλαν； 定义：1}/1,0max{11=-=∑=ni i Tx αν仿真示例图：图七：注水算法仿真示例五、主要研究内容功率注水算法的大致思想是：根据信道状况发送功率进行自适应分配，通常是信道状态好时多分配功率，信道差时分配少功率，从而最大化传输速率[6]。
