§3 检验母体方差 3.1 检验正态母体的方差
——2
χ检验
母体),(~2σμN X ，2
,σμ均未知，试对
2
σ与2
0σ有无显著差异作假设检验.
①在母体上作
假设
↔=2
020:σσH 2021:σσ≠H
②检验统计量
)1( ~ )1(22
02
2
--=*n S
n H χσχ
③给定显著水平α，如图存在
)1(22
1--
n α
χ
和)1(2
2
-n αχ，使
2
)}1({)}1({2
2
222
12α
χχχ
χαα
=
->=-<-
n P n P
故取拒绝域
}
)1()1(),,,{(2
2
222
12
21->-<=-
n n x x x W n αα
χχχ
χ或
④决策：当抽样结果是
W
x x x n ∈),,,(21 时，拒绝0
H ，认为2
σ与2
0σ有
显著差异；否则接受0
H ，认为2
σ与20
σ无
显著差异.
例3.3.1 某细纱车间纺出的一种细纱支数的标准差2.10=σ，现从某日纺出的一批细纱中随机抽出16缕进行支数测
量，算得子样标准差1.2*
=s ，问：纱的均
匀度有无显著变化（取05.0=α）？假定
母体分布是正态的。
解: 设该日纺出的纱的支数
),(~2
σμN X ，2
,σμ均未知，
作假设↔=2.1:20σH 2.1:21
≠σH 检验统计量)1(~
)1(22
22
--=
*n S
n H χσ
χ
给定显著水平α，拒绝域为
}
)1()1(),,,{(2
2
222
1221->-<=-n n x x x W n ααχχχχ或
这时16=n ，2.10=σ，1.2*
=s ，从而94.452
=χ，又05.0=α，查表得
262.6)15()1(975.02
1==--
χχ
α
n ，
488.27)15()1(025.02
==-χχαn ，
可见)1(2
2
->n αχχ，故应拒绝0H ，认为
这天细纱的均匀度有显著变化。
例3.3.2
),(~2
σμN X ，
2
,σμ均未知，
当45>n ，作如下假设检验
↔=2
2
0:σσH 2021:σσ≠H
检验统计量取为2
02
2
)1(σχ
*-=
S
n ，证明：给
定显著水平α，则拒绝域为
}
)1(2)1({})1(2)1({2
22
2ααχχu n n u n n W ---≤-+-≥= .
证明：作假设↔=2020:σσH 2
021:σσ≠H ，
0H 成立时检验统计量
)1(~)1(2
20
22
--=
*n S
n H χσ
χ
而45>n ，由2
χ分布的性质知，
)
1,0()
1(2)
1(~
2
N n n U H 近似
---=
χ
给定显著水平α，拒绝域为
}
)
1(2)
1({
}{2
22
ααχu n n u U W ≥---=≥=
}
)1(2)1({})1(2)1({2
22
2ααχχu n n u n n ---≤-+-≥= 证毕.
3.2 检验两个正态母体的方差相等——F 检验
设母体),(~2
11σμN X ，母体),(~2
22σμN Y ，
且X 与Y 相互独立，
2
221σσ，未知，试对21σ与
2
2
σ有无显著差异作假设检验.
①在母体上作假设
↔=22210:σσH 2
2211:σσ≠H
②
检
验
统计量
)
1,1(~ / 212*2*22
212*2*0
--==n n F S
S S S
F H
Y
X H Y
X σσ ③给定显著水平α，如图存在
)1,1(212
1---
n n F α和)1,1(212
--n n F α，使 2
)}1,1({)}1,1({212
212
1α
αα
=
-->=--<-
n n F F P n n F
F P
故取拒绝域
()1,1(),,,;,,,{(1
2
212
1212121>--<=-
n F F n n F
F y y y x x x W n n αα
或
④决策：当抽样结果是W y y y x x x n n ∈),,,;,,,(2
1
2121 时，拒绝0
H ，认
为2
1σ与22σ有显著差异；否则接受0
H ，认为2
1σ与22σ无显著差异.
注①: 在本章检验两个正态母体的均值相等，及在上一章求两个正态母体的均值之差的置信区间时，均须假定两个正态母体的方差相等。——实际问题中，这一假设是否合理，可以用上述方
