高二数学二项分布及其应用

二项分布及其应用教案定稿第一章：引言1.1 教学目标了解二项分布的背景和意义，理解二项分布的概念及其在实际问题中的应用。

1.2 教学内容1.2.1 二项分布的定义通过具体案例引入二项分布的概念，讲解二项分布的基本性质。

1.2.2 二项分布的概率质量函数推导二项分布的概率质量函数，讲解影响二项分布概率的因素。

1.3 教学方法采用案例分析法，通过具体案例引导学生理解二项分布的概念及其应用。

1.4 教学评估通过小组讨论和课堂练习，检查学生对二项分布的理解程度。

第二章：二项分布的概率质量函数2.1 教学目标掌握二项分布的概率质量函数的推导和运用。

2.2 教学内容2.2.1 二项分布的概率质量函数推导讲解二项分布的概率质量函数的推导过程，引导学生理解各个参数的含义。

2.2.2 二项分布的概率质量函数的应用通过具体案例，讲解如何运用二项分布的概率质量函数解决实际问题。

2.3 教学方法采用讲解法，结合具体案例，引导学生理解和运用二项分布的概率质量函数。

2.4 教学评估通过课堂练习和小组讨论，检查学生对二项分布概率质量函数的掌握程度。

第三章：二项分布的期望和方差3.1 教学目标掌握二项分布的期望和方差的计算方法及其应用。

3.2 教学内容3.2.1 二项分布的期望讲解二项分布的期望的计算方法，引导学生理解期望的含义。

3.2.2 二项分布的方差讲解二项分布的方差的计算方法，引导学生理解方差的概念。

3.3 教学方法采用讲解法，结合具体案例，引导学生理解和运用二项分布的期望和方差。

3.4 教学评估通过课堂练习和小组讨论，检查学生对二项分布的期望和方差的掌握程度。

第四章：二项分布的应用4.1 教学目标了解二项分布在不同领域的应用，提高学生解决实际问题的能力。

4.2 教学内容4.2.1 生物学领域的应用讲解二项分布在生物学领域的应用，如基因遗传等。

4.2.2 医学领域的应用讲解二项分布在医学领域的应用，如药物疗效等。

4.2.3 社会科学领域的应用讲解二项分布在社会科学领域的应用，如民意调查等。

【高中数学】二项分布及其应用一、条件概率1.定义：对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。

记作P(B |A),读作A发生的条件下B的概率。

2.事件的交(积):由事件A和事件B同时发生所构成的事件D,称为事件A与事件B的交(或积)。

记作D=ANB或D=AB3. 条件概率计算公式：P(B | A)相当于把AB发生的概率：若P(A)>0,则P(AB)=P(B | A) · P(A)(乘法公式);O≤P(B | A)≤1 .4. 公式推导过程：5. 解题步骤：例1. 10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率.解：设A={第一个取到次品},B={第二个取到次品}所以，P(B | A)=P(AB)/P(A)=2/9答：第二个又取到次品的概率为2/9.二、相互独立事件1. 定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

说明：(1)判断两事件A、B是否为相互独立事件，关键是看A(或B)发生与否对B(或A)发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立.(2)互斥事件是指不可能同时发生的两个事件.相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响.(3)如果A、B是相互独立事件，则A的补集与B的补集、A与B的补集、A的补集与B也都相互独立.2. 相互独立事件同时发生的概率公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

则有：P(A●B)=P(A)●P(B)说明：(1)使用时，注意使用的前提条件；(2)此公式可作为判断事件是否相互独立的理论依据，即P(A · B )=P(A) · P (B)是A 、B 相互独立的充要条件. (3)如果事件Al,Az, … Aa 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

二项分布及其应用【知识要点】一、条件概率及其性质1、条件概率一般地，设A ，B 为两个事件，且0)(>A P ，称)()()(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。

2、性质（1）任何事件的条件概率都在0和1之间，即1)(0≤≤A B P .（2）如果B 和C 是两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P ==Y 。

【例题1—1】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则=)(A B P （ B ） A 、81 B 、41 C 、52 D 、21 【例题1—2】在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 21 。

【例题1—3】某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ A ）A 、0.8B 、0.75C 、0.6D 、0.45【例题1—4】从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为（ A ）A 、172B 、152C 、51D 、103 【例题1—5】把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则=)(A B P （ A ）A 、21B 、41 C 、61 D 、81 【例题1—6】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则在从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是94 。

二、相互独立事件及n 次独立重复事件1、相互独立事件同时发生的概率(1)相互独立事件的定义：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （A ）发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。

二项分布及其应用1． 相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件．(2)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．(3)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立．2． 二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验， 在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布， 记为X ～B (n ，p )，并称题型一 相互独立事件的概率例1 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率．练：甲、乙两运动员，对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，(1)两人都射中的概率；(2)两人中恰有一人射中的概率； (3)两人中至少一人射中的概率；(4)两人中至多一人射中的概率．甲、乙、丙做一道题，甲做对的概率12，三人都做对的概率124，三人全做错的概率是14. (1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率．题型二 独立重复试验与二项分布例2 某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．练习. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X 为3人中参加过培训的人数，求X 的分布列．粒子A 位于数轴x ＝0处，粒子B 位于数轴x ＝2处，这两颗粒子每隔1秒钟向左或向右移动一个单位，设向右移动的概率为23，向左移动的概率为13. (1)求4秒后，粒子A 在点x ＝2处的概率；(2)求2秒后，粒子A 、B 同时在x ＝2处的概率．基础测试1．两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为15，14，则密码被译出的概率为( ) A ．0.45 B ．0.05 C ．0.4 D ．0.62．一学生通过一种英语听力测试的概率是12，他连续测试两次，恰有一次通过的概率是 A.14 B.13 C.12 D.343．已知随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，则P (X ＝2)等于( ) A.1316 B.4243 C.13243 D.802434.一次测量中出现正误差和负误差的概率都是12，在5次测量中至少3次出现正误差的概率 A.516 B.58 C.23 D.125.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．6．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 A.⎝⎛⎭⎫125 B ．C 25⎝⎛⎭⎫125 C ．C 25⎝⎛⎭⎫123 D ．C 25C 35⎝⎛⎭⎫125 7．一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.164B.5564C.18D.1168.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．9.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．10.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.3411． 明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．12．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13. (1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率．13.甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，(1)乙取胜的概率；(2)比赛打满七局的概率；(3)设比赛局数为ξ，求ξ的分布列．。

高二数学二项分布及其应用试题1.已知随机变量服从二项分布，，则等于( )A．B．C．D．【答案】D【解析】二项分布公式，其中q=1-p依照题意有p=， n=6， k="2" ，q=，所以=，故选D。

【考点】本题主要考查概率的计算及二项分布公式的应用，考查考生的计算能力。

点评：注意运用计算公式时，分清p，q的值。

2. 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第次才取得次红球的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，每一次的抽取是相互独立的，得到本实验符合独立重复试验，直到第n次才取得k（k≤n）次红球，表示前n-1次取到k-1个红球，第n次一定是红球．根据独立重复试验的公式得到P=，故选C．【考点】本题主要考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。

点评：本题考查独立重复试验，是一个易错题，解题时注意直到第n次才取得k（k≤n）次红球，表示前n-1次取到k－1个红球，第n次一定是红球，这个地方容易忽略。

3.甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为，乙投中的概率为，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为，若甲先投，则等于（）A．B．0.24k-1×0.4C．D．【答案】B【解析】∵甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率，∵每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，甲投篮的次数为，甲先投，则=k表示甲第K次投中篮球，而乙前k－1次没有投中，根据相互独立事件同时发生的概率得到0.4k-1×0.6k-1×0.4=0.24k-1×0.4；故选B．【考点】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式．点评：是一个基础题，本题最大的障碍是理解=k的意义，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式。

二项分布概念：二项分布即重复n次独立的伯努利试验。

在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。

该事件发生k次的概率为:P=C(k,n)×p^k×(1-p)^(n-k)，其中C(k,n)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数.，p为事件发生的概率，k是发生的次数，其中k=1,2,3...n，Ek=np，方差:Dk=np(1-p)例6-1某种药物治疗某种非传染性疾病的有效率为0.70，无效率为0.30。

今用该药治疗该疾病患者10人，试分别计算这10人中有6人、7人、8人有效的概率(《医学统计学》，第三版，孙振球)。

#源代码例6-1：dbinom(6,10,0.7)#二项分布函数dbinom(7,10,0.7)dbinom(8,10,0.7)#其中dbinom(k,n,p)中，k是发生的次数，10是共次数，p是概率>#源代码例6-1：>dbinom(6,10,0.7)[1]0.2001209>dbinom(7,10,0.7)[1]0.2668279>dbinom(8,10,0.7)[1]0.2334744>#其中dbinom(k,n,p)中，k是发生的次数，10是共次数，p是概率例6-2在对13名输卵管结扎的育龄妇女经壶腹部-壶腹部吻合术后，观察其受孕情况，发现有6人受孕，试据此资料估计该吻合术受孕率的95%可信区间。

#源代码例6-2：binom.test(6,13,p=6/13,conf.level=0.95)>#源代码例6-2：>binom.test(6,13,p=6/13,conf.level=0.95)Exact binomial testdata:6and13number of successes=6, number of trials=13, p-value=1alternative hypothesis:true probability of success is not equal to0.461538595percent confidence interval:0.19223240.7486545sample estimates:probability of success0.4615385例6-3在观测一种药物对某种非传染性疾病的治疗效果时，用该药治疗了此种非传染性疾病患者100人，发现55人有效，试据此估计该药物治疗有效率的95%可信区间。

二项分布及其应用二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有着重要的地位：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生K 次的概率为P(X=k)=C n k p k (1-p)n-k ,k=0,1,2,…,n ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B(n,p)，并称p 为成功概率。

二项分布是一种常见的重要离散型随机变量分布列，其识别特点主要有两点：其一是概率的不变性；其二是试验的可重复性，下面加以例谈。

例题1 某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的。

现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50千瓦电力，这10台机床能够不因电力不足而无法工作的概率为多大？在一个工作班的8小时内，不能正常工作的时间大约是多少？解析：设10台机床中实际开动的机床数为随机变量ξ，由题意知满足二项分布，即ξ～B （10，p ），其中p 是每台机床开动的概率，p=516012= ,从而)10,2,1,0()54()51()(1010 ===-k C k P k k k ξ ， 50千瓦电力可同时供5台机床同时开动，因而10台中同时开动数不超过5台都可以正常工作，这一事件的概率55510644107331082210911010010)54()51()54()51()54()51()54()51()54)(51()54()5(C C C C C C P +++++=≤ξ994.0≈。

由以上知，在电力供应为50千瓦的条件下，机床不能正常工作的概率仅为0.006，从而一个工作班的8小时内不能正常工作的时间大约为8×60×0.006=2.88（分钟），这说明，10台机床的工作基本不受电力供应紧张的影响。

高二数学（理）二项分布及其应用人教实验版（A ）【本讲教育信息】一. 教学内容：二项分布及其应用二. 重点、难点： 1. 条件概率在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率)()()|(A P AB P A B P =)|()|()|(A C P A B P A C B P +=⋃2. 独立重复试验n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率k n kk n p P C k P --==)1()(ξ（P 为一次试验成功概率）3. 二项分布n 次独立重复试验中随机变量服从二项分布 X~B （n ，p ） EX=np DX=np （1－p ）【典型例题】[例1] 甲、乙两人投篮投中的概率分别为0.6、0.7两个各投三次，求得分相同的概率)()()()()(33221100B A P B A P B A P B A P D P +++=223213213336.0)7.01(7.0)6.01(6.0)7.01()6.01(C C C +-⋅-+--=321.07.06.0)7.01(7.0)6.01(33223=⋅+-⋅-C[例2] 在四次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为8180，求事件A 在一次试验中发生的概率。

设x A P =)(3142224334444)1()1()1(8180x x C x x C x x C x C -+-+-+=404)1(1x C --= 811)1(4=-x 32=x[例3] 同时抛掷15枚均匀的硬币。

（1）求至多有一枚正面向上的概率；（2）判断正面向上为奇数枚的概率与正面向上为偶数枚的概率是否相等。

（1）)1()0(P P P +=11141151515)21()21()21()21(=⋅⋅+=C C（2）P （奇）=15151521331512331514115)21()21()21()21()21()21)(21(⋅+++⋅+C C C C1515155********)21)((C C C C ++++= 21)21(21514=⋅=∴ )(奇P 21)(==偶P[例4] 在某次测验中共10道判断题，每题10分。

二项分布及其应用【知识要点】1、条件概率的定义和性质（1）定义：一般地，设A,B 为两个事件，且 ，称)()()(A P AB P A B P =为在 的条件下， 的条件，)(A B P 读作A 发生的条件下B 发生的概率。

（2）性质：①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即 ②如果B 和C 是两个互斥事件，则2、事件的相互独立性设A ，B 为两个事件，如果 ，则称事件A 与事件B 相互独立。

如果事件A 与B ，那么A 与-B ,-A 与B ，-A 与-B 也都3、n 次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n 次试验成为 。

4、二项分布若设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为()__________,P X k ==其中k 的取值为_________.此时随机就是X 服从二项分布，记为 ，并称P 为成功概率。

【典型例题】1、甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%求：甲市为雨天，乙市也为雨天的概率 乙市为雨天，甲市也为雨天的概率2、加工某种零件需经过三道工序。

设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87，且各道工序互不影响。

(1) 求该种零件的合格率；(2) 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。

3、某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）： （1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率4、从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加计算机理论测试，每位同学通过测试的概率为0.7，试求：（Ⅰ）选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；（Ⅱ）选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率； （Ⅲ）设选出的三位同学中男同学的人数为ξ，求ξ的概率分布.【巩固练习】1、一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为 （ ） A.41004901C C - B.4100390110490010C C C C C + C.4100110C C D.4100390110C C C .2、已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( ) A.310 B.29 C.78 D.793、国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ) A.5960 B.35 C.12 D.1604、如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率 都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为 ( )A.18B.14C.12D.1165、位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 （ )A ．(12)3B ．25C (12)5 C ．35C (12)3D ．25C 35C (12)56、甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 （ ）A. 0．216B.0．36C.0．432D.0．648 7、已知随机变量服从二项分布，，则(等于 ( )A.B. C.D.8、设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第次首次测到正品，则等于 ( )A. B. C. D.9、设随机变量的概率分布列为，则的值为 （ ）A B C D10、甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为，乙投中的概率为，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为，若甲先投，则等于（ ）A.B.C.D.二. 填空题1、设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________________．2、有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．3、某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击4次，至少击中3次的概率是________．4、三人独立地破译一个密码，它们能译出的概率分别为、、，则能够将此密码译出的概率为________．三. 解答题1、甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．2、一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被该考生正确做出的概率都是34.(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；(2)若该考生至少正确作出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．3、某单位有6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立） （1）求至少3人同时上网的概率；（2）至少几个人同时上网的概率小于0.3。

二项分布的原理及应用1. 什么是二项分布？二项分布是概率论中的一种离散概率分布，描述了在一系列独立的伯努利试验中成功的次数。

在每次试验中，只有两个可能结果，成功（记为S）和失败（记为F），且这两个结果的概率是固定不变的。

二项分布将这些独立的试验作为一系列重复的伯努利试验，并计算在给定试验次数和成功概率下，成功次数的概率分布。

2. 二项分布的概率计算公式设每次伯努利试验中成功的概率为p，失败的概率为q=1-p。

进行n次独立的伯努利试验，成功的次数X服从二项分布。

其概率计算公式为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)其中，C(n, k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数。

3. 二项分布的特征与性质•期望：二项分布的期望为n*p，即试验次数乘以成功的概率。

•方差：二项分布的方差为n p q，其中q=1-p。

•归一性：二项分布的概率和为1，即所有可能的事件的概率之和等于1。

•对称性：若p=0.5，则二项分布是对称的，即成功和失败的概率相等。

4. 二项分布的应用二项分布在实际中有广泛的应用，并且具有很高的实用性。

以下列举了几个常见的应用场景：4.1 质量控制在质量控制领域，二项分布被广泛用于评估和控制产品的质量。

例如，一家医药公司生产的药丸中，有5%的概率出现无效的药丸（成功），95%的概率是有效的药丸（失败）。

为了控制产品质量，公司每次从生产线上随机抽取50个药丸进行检验。

利用二项分布，可以计算出在这50个样本中出现指定个数的成功（无效药丸）的概率。

如果成功的个数超过了一定的阈值，就需要进一步调查和控制生产过程。

4.2 市场调研二项分布还可以用于市场调研中，用来确定产品推广的成功率。

例如，一个公司推出了一个新产品，通过市场调研得知每个潜在客户购买该产品的概率为0.2。

为了确定在推广活动中需要投入的资源和费用，可以利用二项分布来计算在不同投入条件下，达到指定销量目标的概率。

这样可以帮助公司制定合适的推广策略，并为销售预期做出合理的评估。

二项分布性质及应用二项分布是一种概率分布，主要用来描述在进行一系列独立重复试验中，成功事件发生的次数在固定次数试验中出现的概率分布。

二项分布具有以下一些性质：1. 试验结果只有两种可能的结果，称为成功和失败，记为S和F。

2. 每次试验都是独立的，一次成功试验的结果不影响下一次试验的结果。

3. 每次试验的成功概率相同，并且在不同试验中保持不变。

根据以上性质，二项分布可以用来回答以下问题：1. 成功事件在一定次数试验中发生的概率：在进行一定次数的试验中，成功事件发生的概率可以用二项分布来计算。

例如，在投掷硬币的试验中，成功事件为正面朝上，可以根据硬币正反面的概率来计算在若干次投掷中，正面朝上的次数的概率。

2. 成功事件在某特定次数发生的概率：在进行若干次试验中，计算特定次数（例如恰好出现2次、3次等）成功事件发生的概率。

例如，在连续进行5次二项分布试验中，计算正面朝上出现2次的概率。

3. 成功事件在一定次数范围内发生的概率：在进行若干次试验后，计算成功事件在某个范围内（例如至少出现3次、最多出现4次等）发生的概率。

例如，在连续进行10次二项分布试验中，计算正面朝上至少出现3次的概率。

二项分布的应用非常广泛，以下是一些具体的应用场景：1. 市场调查：对于一个新产品的市场调查可以使用二项分布来判断在一定数量的受访者中，有多少人会购买该产品。

2. 投票预测：在选举前，可以使用二项分布来预测每个候选人获得特定票数的概率，以便进行选情分析。

3. 品质控制：在生产过程中，可以使用二项分布来判断产品在一定数量检验中有多少个不合格品。

4. 策略：在场景中，可以使用二项分布来计算在一定回合中成功的概率，以制定更有效的策略。

5. 统计推断：在进行A/B测试时，可以使用二项分布来计算不同测试组中成功事件的概率，以评估不同策略的效果。

总之，二项分布作为一种概率分布，可以用来描述成功事件在一定次数试验中的概率分布，并在许多领域中具有广泛的应用。

专题：二项分布及其应用1． 条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P (AB )P (A )(P (A )>0)． 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB )n (A ). (2)条件概率具有的性质：①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．2． 相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件．(2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B )．(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．(4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立．3． 二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．1. 如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12， 且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_______________．2． 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．3． 某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．—⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪—元件1——元件2——元件3— 4． 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( ) A.12 B.14 C.16 D.185． 如果X ～B ⎝⎛⎭⎫15，14，则使P (X ＝k )取最大值的k 值为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．3或4题型一 条件概率例1 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.题型二 相互独立事件的概率例2 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．题型三 独立重复试验与二项分布例3 某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X 为3人中参加过培训的人数，求X 的分布列．典例：一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13. (1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列．A 组 专项基础训练一、选择题1． 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( ) A.18 B.14 C.25D.12 2． 如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.5763． 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.344． 已知随机变量X 服从二项分布X ～B (6，13)，则P (X ＝2)等于 ( ) A.1316B.4243C.13243D.80243二、填空题 5． 明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．6． 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．7． 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是________．三、解答题8． 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．9． 某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13. (1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率．B 组 专项能力提升一、选择题1． 某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，使用寿命超过2年的概率为0.3，则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为( ) A ．0.3 B ．0.5 C ．0.6 D ．12． 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 ( )A.⎝⎛⎭⎫125 B ．C 25⎝⎛⎭⎫12 5 C ．C 35⎝⎛⎭⎫123 D ．C 25C 35⎝⎛⎭⎫125 3． 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12B.512C.14D.16二、填空题4. 在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，则这段时间内线路正常工作的概率为_______．5. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．6． 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．三、解答题7． 某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．(1)求该公司决定对该项目投资的概率；(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．P (C )＋P (D )＝1327.。