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复数【知识梳理】一、复数的根本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四那么运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=2、复数的概念〔1〕定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。
全体复数所成的集合C 叫做复数集。
复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R )对于复数的定义要注意以下几点：①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否那么不是代数形式〔2〕分类：例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚局部别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比拟大小，否那么无法比拟大小例题：0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值三、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅ 四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系〔复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量〕相等的向量表示同一个复数例题：〔1〕当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点①位于第三象限；②位于直线x y =上〔2〕复平面内)6,2(=→AB ，→→AB CD //，求→CD 对应的复数3、复数的模：向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =假设bi a z +=1，di c z +=2，那么21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：i z +=2，求i z +-1的值五、复数的运算〔1〕运算法那么：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(dc i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++= 〔2〕OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.六、常用结论〔1〕i ，12-=i ，i i -=3，14=i求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-（3）1)2321(3=±-i ，1)2321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比拟大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.() 【考点自测】1.(2021·安徽)设i是虚数单位，那么复数(1－i)(1＋2i)等于()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2021·课标全国Ⅰ)复数z满足(z－1)i＝1＋i，那么z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.假设C为线段AB的中点，那么点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋ia，b∈R a＋i＝2－b i，那么(a＋b i)2等于()A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.【题型分析】题型一复数的概念例1z＝a－(a∈R)是纯虚数，那么a的值为()(2)a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，假设为纯虚数，那么复数的虚部为()A.1B.iC.(3)假设z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1〞是“z1＝z2〞的()引申探究1.对本例(1)中的复数z，假设|z|＝，求a的值.2.在本例(2)中，假设为实数，那么a＝________.思维升华解决复数概念问题的方法及考前须知(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)假设复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，那么实数x的值为()A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2021·浙江)i是虚数单位，a，b∈R，那么“a＝b＝1〞是“(a＋b i)2＝2i〞的()题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2021·湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.iB.－iC.1D.－1(2)(2021·北京)复数i(2－i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命题点2复数的除法运算例3(1)(2021·湖南)＝1＋i(i为虚数单位)，那么复数z等于()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)()6＋＝________.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2021·天津)i是虚数单位，假设复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，那么实数a的值为________.(2)(2021·江苏)复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，那么z的实部为________.命题点4复数的综合运算例5(1)(2021·安徽)设i是虚数单位，表示复数zz＝1＋i，那么＋i·等于()(2)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()A.－4B.－C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法那么进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2021·山东)假设复数z满足＝i，其中i为虚数单位，那么z等于()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)2021＝________.(3)＋2021＝________.题型三复数的几何意义例6(1)(2021·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，假设复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z 对应的点为△ABC的()思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，那么图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D(2)z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xy i＝4－6i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的根本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最根本的思想方法. (2)此题求解的关键是先把x、y用复数的根本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)此题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.z＝a＋b i(a，b∈R z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两局部去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法那么，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比拟大小.a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.【稳固练习】1.(2021·福建)假设(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，那么a，b的值分别等于()A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4z＝＋i，那么|z|等于()A.B.C.3.(2021·课标全国Ⅱ)假设a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，那么a等于()4.假设i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数的点是()A.EB.FC.GD.H5.(2021·江西)是z的共轭复数，假设z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，那么z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2021·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，那么z的模为________.＝a＋b i(a，b为实数，i为虚数单位)，那么a＋b＝________.8.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，那么实数m的取值范围是________.9.计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，假设1＋z2是实数，求实数a的值.【能力提升】z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，那么λ的取值范围是()A.[－1,1]B.C.D.f(n)＝n＋n(n∈N*)，那么集合{f(n)}中元素的个数为()z＝x＋y i，且|z－2|＝，那么的最大值为________.a∈R，假设复数z＝＋在复平面内对应的点在直线x＋y＝0上，那么a的值为____________.15.假设1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，那么b＝________，c＝________. 【稳固练习参考答案】1A.2.B.3.B..5.D.6..7.3.8.m<.9.解(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.10.解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.解析由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.答案C12.解析f(n)＝n＋n＝i n＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案 C13.解析∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2max＝＝.14.解析∵z＝＋＝＋i，∴依题意得＋＝0，∴a＝0.15.解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.。
1第十五章 复数复习纲要一．基本概念１．复数的有关概念：１>．复数：①形如ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）的数叫复数．ａ叫复数的实部，记作：Re(z)，ｂ叫复数的虚部，记作：Im(z)．ｉ是虚数单位． ②全体复数构成的集合叫复数集，用Ｃ表示． ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）叫复数的代数形式． ２>．复平面：建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫复平面．ｘ轴叫实轴，ｙ轴除去原点的部分叫虚轴．３>．实数集与复数集的关系：实数集是复数集的真子集．即：Ｒ⊂Ｃ． ２．复数的分类：()()()0,00.00.00b a bi a b R b a a a bi a b a bi a b =+∈≠⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎨⎪⎧=≠⎪⎪⎨⎪+≠≠⎪⎩⎩正实数:>0实数 :=0负实数:<0复数纯虚数: 且虚数非纯虚数: 且ａ＝０是ｚ＝ａ+ｂi 为纯虚数的必要非充分条件.３．两虚数相等的充要条件：a ca bi c dib d=⎧+=+⇔⎨=⎩注：两个复数不能比较大小，即当且仅当两个复数都是实数时，才能比较大小． ４．虚数单位ｉ的幂的性质：244142431.1.. 1..nn n n i iii iii i +++=-===-=-①② 叫的周期性.５．复数的几何意义：①任何一个复数ｚ＝ａ＋ｂｉ．（ａ，ｂ∈Ｒ）与复平面内的一点Ｚ（ａ，ｂ）一一对应． ②任何一个复数ｚ＝ａ＋ｂｉ．（ａ，ｂ∈Ｒ）与以原点为起点，点Ｚ（ａ，ｂ）为终点的向量OZ一一对应．６．复数的模．ｚ＝ａ＋ｂｉ．则z OZ =二．复数的代数形式及运算１．复数代数形式的四则运算：()()()()()()()()()121212122222,.,,,z a bi z c di a b c d R z z a bi c di a c b d i z z a bi c di ac bd ad bc i z a bi ac bd bc adi z c di c d c d=+=+∈±=+±+=±+±⋅=+⋅+=-++++-==++++设 则 ２．复数加减法的几何意义：12z z +是向量12OZ OZ +所对应的复数．12z z -是向量12OZ OZ - 即向量21Z Z所对应的复数．３．复数加法，乘法的运算律()()()()()()()1221123123123123123121312121212.,nmm n m n m m n m mz z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z m n N z z z z z z z z z *+⋅+=+++=++⋅⋅=⋅⋅⋅+=⋅+⋅⋅=⋅∈⋅==⋅=⋅⑴①.②③④⑤⑵若,则①.②.③注意：ｍ，ｎ是正整数，不是分数． ４．模运算性质：()1112122222221212121212122z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ⋅=⋅=++-=+-≤+≤+①.②③④５．共轭复数（１）①定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数，叫共轭复数．②复数ｚ＝ａ＋ｂｉ的共轭复数， 记作z ，即：z a bi =-．（２）共轭复数的性质：①实数的共轭复数是它本身．特别的时()222212121212112222.2.1,1..0z z a z z bi z z z z z zza bz z z z z z z z z z z z z z z z +=-==⋅===+=⋅=±=±⋅=⋅⎛⎫=≠⎪⎝⎭②③④⑤=z ⑥特别的时⑦⑧⑨６．常用运算技巧 （１）ｉ的周期性：()()()44142431231231.. 1..0.1.n n n n n n n n n n n n i i i i i i n N i i i i n N i i i i n N +++++++++===-=-∈+++=∈⋅⋅⋅=∈***① ② ③（２）技巧：()()2111 2...111i iii i i i iabi a bi b ai i b ai+-±=±==--+++=-+-①②③④=-i.⑤=i.⑥i（３）设12ω=-，则有： ()322121..10.n n n n N ωωωωωωωω++==++=+∈*①②③④+=0.ω与ω统称为１的立方虚根，即若ｘ3＝１则：ｘ＝１，ω．ω．而且对ω也有类似上面的等式。
复数的知识点框架总结一、复数的形成规则1. 绝大多数名词在单数形式后加上-s或-es构成复数形式，如：- cat → cats- dog → dogs- book → books- bus → buses- box → boxes- class → classes- girl → girls- watch → watches- brush → brushes- piano → pianos- tomato → tomatoes- radio → radios2. 以-s, -ss, -ch, -sh, -x, -o结尾的名词在单数形式后加-es构成复数形式，如： - kiss → kisses- watch → watches- brush → brushes- box → boxes- potato → potatoes- tomato → tomatoes- hero → heroes3. 以“辅音字母+y”结尾的名词，将y变为i再加-es构成复数形式，如：- baby → babies- city → cities- party → parties- fly → flies- story → stories4. 以“f” 或“fe” 结尾的名词通常要将 f 变为v 加 es构成复数形式，如：- leaf → leaves- wife → wives- shelf → shelves- life → lives- knife → knives- half → halves- wolf → wolves- calf → calves5. 有一些名词的形式是不规则的，如：- man → men- woman → women- child → children- tooth → teeth- foot → feet- mouse → mice- goose → geese- person → people- deer → deer二、不规则复数形式变化除了上述规则之外，还有一些名词复数形式变化是不规则的，需要熟记这些不规则的复数形式，如：- mouse → mice- ox → oxen- child → children- foot → feet- tooth → teeth- woman → women- man → men- person → people- deer → deer三、复数的用法1. 表示数量- There are three cats in the garden.- Many students like playing basketball.- There are some apples on the table.2. 表示不可数名词的复数形式- We have different wines from different countries.- The waters of the river are deep and dangerous.- I have two hairs out of place.3. 表示代替复数名词- The dogs are barking. They want to go out.- Girls, please sit down and be quiet.- The children had their lunch and then went out to play.4. 表示一个群体- The police have arrested the thief.- The cattle are grazing in the field.- The people are celebrating the festival.5. 表示人名、职位、称呼、书名、船名等- The Johnsons are coming to the party.- The Smiths are a very musical family.- The Browns have four children.- The Millers have a beautiful garden.- The doctors are in a meeting.- The Greens have a big house.6. 表示时间、金额、距离等- I will be away for a few days.- The prices of these products are high.- The Goods are to be delivered tomorrow.四、复数名词的注意事项1. 不可数名词的复数形式- beach → beaches (沙滩)- bread → breads (面包)- butter → butters (黄油)- cake → cakes (蛋糕)- cheese → cheeses (奶酪)- fish → fishes / fish (鱼，复数形式可以为fishes或fish) - fruit → fruits (水果)- juice → juices (果汁)- milk → milks (牛奶)- r ice → rices (米饭)- salt → salts (盐)- sugar → sugars (糖)2. 单数形式为复数形式的名词- clothes (衣服) news (新闻) belongings (财产) stairs (楼梯) contents (内容) looks (神情) riches (财富) glasses (眼镜) manners (态度) means (手段)- The series are very popular.3. 不可数名词也可以作为复数名词，表示“各种，各种类型的”，如：- The small rooms are on the third floor.- He gave her a box of chocolates.- We met some rich people at the party.- The bad news is that he has been in an accident.5. 一些名词在单数与复数形式前有其特定的变化fish → fishesstaff → stavesindex → indicescactus → cactisyllabus → syllabi总结：复数形式是英语学习中的基础知识之一，掌握好复数形式的形成规则对英语学习十分重要。
数学复数知识点提纲数学复数知识点提纲复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。
(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。
复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d。
特殊地，a，b∈R时，a+bi=0a=0，b=0.复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。
六年级下册复数知识点提纲一、复数的概念和基础知识1. 复数的定义：复数是指表示两个或两个以上的事物、人或物体的数量或存在状态的名词形式。
2. 复数的标志：一般情况下，在名词的末尾加-s或-es来表示复数。
3. 需特殊处理的复数形式：a. 以s, sh, ch, x, o结尾的名词，在其后加-es表示复数。
b. 以辅音字母+y结尾的名词，将y变为i，再加-es表示复数。
c. 以f或fe结尾的名词，将f或fe变为v，再加-es表示复数。
d. 一些不规则的复数形式需要记忆，如：man-men, woman-women, child-children等。
二、复数的用法和规则1. 表示两个或两个以上的人或物体的数量：a. 表示复数名词作为主语时，谓语动词要使用复数形式。
b. 表示复数名词作为宾语时，动词通常用复数形式。
2. 表示某种存在状态或特定意义的复数名词：a. 表示具有特定意义的复数名词，其谓语动词通常也使用复数形式。
3. 复数形式的定冠词和不定冠词：a. 复数形式的名词前通常使用定冠词"the"。
b. 当复数名词泛指一类事物或人时，可以使用不定冠词"a/an"。
4. 复数名词的所有格形式：a. 表示复数名词所有格时，在名词末尾加上-apostrophe(')和s来表示所有格。
b. 若复数名词已经以s结尾，则在末尾只需要加-apostrophe(')即可。
三、常见复数名词的变化规则1. 以辅音字母+y结尾的名词，变y为i再加-es，如：lady-ladies, party-parties。
2. 以o结尾的名词，大部分需要加-es，如：potato-potatoes, tomato-tomatoes。
3. 以s, sh, ch, x结尾的名词，加-es，如：bus-buses, brush-brushes。
4. 以f或fe结尾的名词，变f或fe为v再加-es，如：wife-wives, leaf-leaves。
复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下：当0,x >arg arctan yz x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二)复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z eθθ==,则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nnin z z n i n z eθθθ=+=。
2）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ （有n 个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.2．复初等函数1）指数函数：()cos sin zxe ey i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
1/ 9复数的知识点总结与题型归纳一、知识要点1．复数的有关概念我们把集合C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．全体复数所成的集合C 叫做复数集．复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z ＝a ＋b i ，以后不作特殊说明都有a ，b ∈R ，其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．说明：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b 而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．2．复数相等在复数集C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .3．复数的分类对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b ) (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) ――――→一一对应平面向量OZ ――→. 5．复数的模(1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模．的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|.(3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)． 说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．6．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)， 则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 7．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 8．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→的终点并指向OZ 1――→的向量所对应的复数．的向量所对应的复数．它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．9．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.10．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 311.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 12．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷i)÷((c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i(c ＋d i ≠0)． 说明：在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．二、题型总结题型一：复数的概念及分类[典例典例]] 实数x 分别取什么值时，复数z＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？纯虚数？[解] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数． (2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0题型二、复数相等[典例典例] ] 已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．[解析] 设a 是原方程的实根，则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ，所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝112.题型三：复数与点的对应关系[典例典例]] 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R)对应的点Z 满足下列条件：满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内．在复平面的第二象限内．(2)在复平面内的x 轴上方．轴上方．[解] (1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.题型四：复数的模[典例典例]] (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2iB ．－1－2iC ．±1±1±2i 2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)，由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝ a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5，所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1，即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B题型五：复数与复平面内向量的关系[典例典例]] 向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i[解析] 因为向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，所以OZ 1――→＝(－5, 4), OZ 2――→＝(5, －4)，所以OZ 2――→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是0.[答案] C题型六：复数代数形式的加、减运算[典例典例]] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝ 2. [答案] (1)－2－i (2)2题型七：复数加减运算的几何意义[典例典例]] 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C分别表示0,3+2i ，-2+4i.求：求：(1) AO ――→表示的复数；表示的复数； (2)对角线CA ――→表示的复数；表示的复数； (3)对角线OB ――→表示的复数．表示的复数． [解] (1)因为AO ――→＝－OA ――→，所以AO ――→表示的复数为－3－2i.(2)因为CA ――→＝OA ――→－－OC ――→，所以对角线CA ――→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB ――→＝OA ――→＋OC ――→，所以对角线OB ――→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.题型八：复数模的最值问题[典例典例]] (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B.B.112 C ．2D. 5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．的最大值和最小值．[解析] (1)设复数-i ，i ，-1-i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3， 因为|z+i|+|z-i|=2，|Z 1Z 2|=2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|=1. 所以|z+i+1|min=1. [答案] A(2)解：如图所示，解：如图所示， |OM ――→|＝(－3)2＋(－1)2＝2.所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.题型九：复数代数形式的乘法运算[典例典例]](1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( )A．2 B.1 2C．－12D．－2(2)(江苏高考)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．[解析](1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a＋(1＋2a)i，要使复数为纯虚数，所以有2－a＝0,1＋2a≠0，解得a＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i 2＝5＋5i，所以z的实部是5.题型十：复数代数形式的除法运算[典例典例]](1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为() A．3＋5i B．3－5iC．－3＋5i D．－3－5i(2)设i是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a为()A．2 B．－2C．－12 D.12[解析](1)∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝11＋7i2－i＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i5＝3＋5i.(2)1＋a i2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a5＋1＋2a5i，由1＋a i2－i是纯虚数，则2－a5＝0，1＋2a5≠0，所以a＝2.[答案](1)A(2)A题型十一：i的乘方的周期性及应用[典例典例]](1)(湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数为() A．i B．－iC．1 D．－1(2)计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 016＝________.[解析](1)因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i 2 016)1－i ＝i[1－(i2)1 008]1－i＝i(1－1)1－i＝0.法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，∴i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)，∴i 1＋i2＋i3＋…＋i2 016，＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0. [答案](1)A(2)0说明：虚数单位i的周期性(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)(2)i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)。
数学复数复习知识点总结1. 复数的定义复数是由实数和虚数单位i（i^2=-1）组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，a被称为实部，b被称为虚部。
2. 复数的运算（1）复数的加法：将实部相加，虚部相加（2）复数的减法：将实部相减，虚部相减（3）复数的乘法：将实部和虚部分别相乘，虚部的i^2替换为-1（4）复数的除法：将分子和分母同乘以分母的共轭复数，然后进行分数的除法运算3. 复数的共轭一个复数a+bi的共轭是a-bi，共轭复数的实部相同，虚部的符号相反4. 复数的模及幅角（1）复数的模：复数a+bi的模是|a+bi|=√(a^2+b^2)，表示复数到原点的距离（2）复数的幅角：复数a+bi的幅角是∠arg(a+bi)=arctan(b/a)，表示复数与实轴的夹角5. 复数的指数形式复数a+bi可以表示为模与幅角的指数形式：a+bi=r(cosθ+isinθ)，其中r是模，θ是幅角6. 复数的三角形式（1）复数的三角形式：a+bi可以表示为r(cos(θ)+isin(θ))的形式（2）复数的三角形式乘法：将复数表示为三角形式后，可以直接进行复数的乘法运算（3）复数的三角形式除法：将复数表示为三角形式后，可以直接进行复数的除法运算7. 欧拉公式欧拉公式是数学中一个重要的公式，它表示为e^(iθ)=cos(θ)+isin(θ)，其中e是自然对数的底，i是虚数单位8. 复数的根求复数的根时，一般先将复数表示为指数形式，然后用求实数的根的方法求解，再将结果表示为复数的形式9. 复系数方程（1）求复系数方程的解时，可以将方程中的复数用a+bi的形式表示，然后进行实数方程的求解（2）复系数方程的解的共轭性10. 复数在几何中的应用（1）复数的表示：在复平面中，将复数a+bi表示为点(x,y)，x是实部，y是虚部（2）复数的运算：在复平面中，将复数的加法、减法等运算表示为向量的相加减（3）复数的模：在复平面中，复数的模表示为复数到原点的距离（4）复数的幅角：在复平面中，复数的幅角表示为复数与实轴的夹角11. 复数的应用（1）在电路分析中，复数可以表示电阻、电感、电容等元件的阻抗，进行交流电路的分析（2）在振动学中，复数可以表示振动的幅度和相位，进行振动的分析（3）在信号处理中，复数可以表示信号的频率和相位，进行信号的处理12. 复数数学等式（1）德摩弗公式：e^(iθ)=cos(θ)+isin(θ)，是欧拉公式的特殊情况（2）欧拉公式：e^(iπ)+1=0，被称为数学中最美丽的等式总结复数是数学中一个重要的概念，它不仅可以用于解决实际问题，还可以用于简化数学运算。
数学复数知识点归纳总结一、基本概念1. 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i是虚数单位。
在这里，a和b都是实数，i是虚数单位，虚数单位i满足i²=-1。
任何一个复数都可以写成a+bi的形式。
2. 实部、虚部对于复数a+bi来说，a称为它的实部，b称为它的虚部。
我们用Re(z)来表示复数z的实部，用Im(z)来表示复数z的虚部。
3. 共轭复数如果有复数z=a+bi，那么它的共轭复数可以表示为z的上横线，即z=a-bi。
共轭复数的实部相同，而虚部正好相反。
4. 复平面复数可以用复平面上的点来表示。
复平面将实数轴和虚数轴垂直放在一起。
复数a+bi就对应于复平面上的点(x,y)，其中x=a，y=b。
在复平面上，实部对应于x轴，虚部对应于y 轴。
5. 极坐标形式除了用a+bi的形式表示复数外，我们还可以用极坐标形式来表示复数。
复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r是z的模，θ是z的辐角。
二、复数的运算1. 加法和减法复数的加法和减法与实数的运算类似。
假设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i，z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i。
2. 乘法复数的乘法可以用分配律展开。
假设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则z1*z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i。
3. 除法复数的除法通常是通过乘以共轭数来实现的。
假设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，那么z1/z2=(a1a2+b1b2)/(a2^2+b2^2)+((a2b1-a1b2)/(a2^2+b2^2))i。
4. 幂与根复数的幂次运算和开方运算可以通过极坐标形式来实现。
假设z=r(cosθ+isinθ)，那么z的n次幂可以表示为z^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ))。
而z的n次根可以表示为z^(1/n)=r^(1/n)(cos(θ/n)+isin(θ/n))。
高考必考专题2：复数一、课堂重点1、复数的代数形式： a bi a, b R ，a叫实部， b 叫虚部，实部和虚部都是实数。
2、复数相等：a bi c di a c且 b=d ； a bi 0 a 0且 b=0实数 (b=0)3、复数的分类：复数Z a bi一般虚数 (b 0,a0) 虚数 (b 0)0, a 0)纯虚数 (b4、复数的模：若向量uur uur| a bi | a2 b2 OZ表示复数z，则称 OZ的模r为复数z的模，z ；5、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
6、复数的几何意义：复数 z a bi a,b R 一一对应复平面内的点Z (a,b)7、复数的四则运算加法： z1 +z2=( a+bi )+( c+di )=( a+c)+( b+d) i . a, b, c, d R减法： z - z =( a+bi )-( c+di )=( a- c)+( b- d) i . a, b, c, d R1 2乘法： z1z2= ( a+bi )( c+di )=( ac－bd)+( bc+ad) i .a, b, c, d R复数的加法运算满足交换律和结合律；复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
除法：z1(a+bi) (c+di)=a bi=ac bd bc adi a, b, c, d R z2 c di c2 d 2 c2 d 28、常用算式：1i ， (1 i )2 2i ， (1 i) 2 2i ，1 i i ，1i i i 1 i 1 i二、例题精讲1. （ 2008 上海）若复数z 满足 z (1+i) =1-i (I 是虚数单位 ) ，则其共轭复数z =____________.2. （ 2009 浙江）设z 1 i （ i 是虚数单位），则2z2 ( ) zA ．1 iB ． 1 iC ． 1 iD ． 1 i3. （北京理）在复平面内，复数z i (1 2i ) 对应的点位于（）A ．第一象限 B4. (2012 年山东 ) 复数 3 i1 i ．第二象限C．第三象限D．第四象限. 等于（）A ．1 2i B. 1 2i C. 2 i D. 2 i5. 若复数z1 4 29i , z2 6 9i, 其中i是虚数单位，则复数( z1 z2 )i 的实部为.6. (2012 年四川 ) 复数（）A. B.7.（安徽理） i 是虚数单位，若D.1 7i2a bi (a,b R) ，则乘积 ab 的值是( )iA. －15B. －3C. 38.(2015 高考北京 ) 复数i 2 i （）A ． 1 2i B． 1 2i C． 1 2i D． 1 2i－ 3+i9. （ 2013 年新课标文）复数z＝2+i 的共轭复数是（）+i － i C. － 1+i D. － 1－ i 10. （ 2014 年新课标文）已知复数，其中i 是虚数单位，则 = .11．（ 2013 年高考辽宁卷（文））复数的Z1模为（）i 1A ．1B． 2 C． 2 D．2 2 212．（ 2013 年高考课标Ⅱ卷（文）） ||= （）A ． 2 B． 2 C．D． 1113．（ 2013 年高考湖南）复数z=i · (1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限214．（ 2013 年高考四川卷）如图, 在复平面内, 点A表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是（）A．A B．B C．C D．D315．（ 2013 年高考课标Ⅰ卷）1 2i（）(1 i )2A．1 1 i B．11i C．11i D．11i2 2 2 2416．（ 2013 年高考北京卷）在复平面内, 复数i (2 i) 对应的点位于（）A．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限517．（ 2013 年高考山东卷）复数, 则（）A． 25 B．C． 5 D．618．（ 2013 年高考江西卷）复数z=i(-2-i)(i 为虚数单位 ) 在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限719．（ 2013 年高考浙江卷）已知i 是虚数单位 , 则(2+i)(3+i)= （）A． 5-5i B． 7-5i C． 5+5i D． 7+5i208．（ 2013 年高考安徽）设 i 是虚数单位,若复数a 10 ( a R) 是纯虚数,则a的值为（）3 iA． -3 B． -1 C． 1 D． 3219．（ 2013 年高考福建卷）复数z 1 2i (i为虚数单位)在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2210．（ 2013 年高考广东卷）若i ( x yi ) 3 4i , x, y R ,则复数 x yi 的模是（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 52311．（ 2013 年高考天津卷） i 是虚数单位 . 复数 (3 + i)(1-2i) = ______.2412．（ 2013 年高考重庆卷）已知复数z 1 2i ( i 是虚数单位),则z ____________.2513（． 2013 年上海）设m R , m2 m 2 m2 1 i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 m ________. 2614 ．（ 2013 年高考湖北卷）i 为虚数单位,设复数z1, z2 在复平面内对应的点关于原点对称, 若z1 2 3i , 则 z2 __________.27．（ 2012 年高考浙江）已知i 是虚数单位 , 则3i = （）1 iA． 1-2i B． 2-i C． 2+i D． 1+2i28．（ 2012 年高考天津） i 是虚数单位 , 复数53i （）4 iA ． 1 iB ． 1 iC ． 1 iD ． 1 i i29． (2015 高考四川 ) 设 i 是虚数单位，则复数i 32()i30．（ 2012 年高考山东）若复数 z 满足 z(2i ) 11 7i(i 为虚数单位 ), 则 z 为 （）A ． 3+5iB ． 3-5iC ． -3+5iD ． -3-5i31．（ 2012 年高考辽宁）复数（）A ．B ．C ．D ．32．（ 2012 年高考课标）复数 z=3i 的共轭复数是 （）2 iA ． 2 iB ． 2 iC ． 1 iD ． 1 i33．（ 2012 年高考江西）若复数 z=1+i (i为虚数单位 )z 是 z 的共轭复数 ,则 z 2 + z 2的虚部为（）A ． 0B ．1C ． 1D ． 234．（ 2012 年高考湖南）复数 z=i(i+1)(i为虚数单位 ) 的共轭复数是（）A ． -1-iB ． -1+iC ． 1-iD ． 1+i35．（ 2012 年高考广东） ( 复数 ) 设 i 为虚数单位 , 则复数34i（）iA ． 4 3iB ． 4 3iC ． 4 3iD ． 4 3i36．（ 2012 年高考（福建文） ）复数 (2 i )2 等于（）A ． 3 4iB ． 5 4iC ． 3 2iD ． 5 2i37．（ 2012 年高考北京）在复平面内 , 复数10i对应的点坐标为（）3 iA ． (1,3)B ． (3,1)C ． ( 1,3)D ． (3, 1)38．（ 2012 年高考安徽）复数 z 满足 : ( z i )i2 i ; 则 z（）A ． 1 iB ． 1 iC ．iD ．i39．（ 2012 年高考上海）计算 :3 i=_______(i为虚数单位 ).1 i40．（ 2012 年高考湖北）若3 bi a bi ( a, b 为实数 , i 为虚数单位 ), 则 a b ____________.1 i41． (2015 高考广东 ) 若复数z i 3 2i ( i 是虚数单位)，则z （）A ．3 2iB ． 3 2iC ． 2 3iD ． 2 3i 42．（浙江）把复数的共轭复数记作，i 为虚数单位，若 =（）A． 3-i B． 3+i C． 1+3i D． 343．（天津）是虚数单位，复数=（A． B ． C ．D．44.（四川）复数 =（）A．B．C． 0 D．45. （山东）复数z=（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限46. （全国新课标）复数（）A. B. C. D.47. （全国大纲）复数，为的共轭复数，则（）A．B．C．D．48. （辽宁）为正实数，为虚数单位，，则（）B. C.49. （江西）若，则复数（）A． B ．C．D．50. （湖南）若，为虚数单位，且则（）A．，B．C． D ．51. （湖北）为虚数单位，则 =（）A． - B． -1 C．D．152. （福建） i 是虚数单位，若集合S=，则（）A．B．C． D ．53. （广东）设复数满足，其中为虚数单位，则=（）A．B．C．D．54. （北京）复数（）A． i B． -i C ．D．55. （安徽）设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为（）C. D.56.（江苏）设复数ｚ满足（ i 是虚数单位），则的实部是 _________.57. （上海）复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，则等于 _________.58. （湖南）复数2等于（）1 iA. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i59. （全国 2 卷）复数（ ） A.B.C.D.60. （陕西）复数 z= i 在复平面上对应的点位于 （）1 iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限61. （辽宁）设 a,b 为实数，若复数1+2i1 i ，则（）a3, b 1bi1, b 3A. aB.a 3,b 1C.aD.a 1,b32 22 262. （江西）已知（ x+i ）（ 1-i ） =y ，则实数 x ，y 分别为（ ）=-1 ， y=1B. x=-1， y=2 C. x=1，y=1D. x=1， y=263. （安徽）已知，则 i()= （ ）A.B.C. D.64. （浙江）设 i 为虚数单位，则5 i （）1 i+3i+3i65. （山东）已知a2ib i a, b R ，其中 i 为虚数单位，则 a b （）iA.1B. 1C. 2D. 366. （北京）复平面内，复数 6+5i, -2+3i对应的点分别为 A, 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是（ ）+8i+2i+4i +i67. （四川） i 是虚数单位，计算 i ＋ i 2 ＋i 3＝（ ）A. － 1C.iD.i68. （天津） i 是虚数单位，复数 3i=（）1 i+2i +4i69. （广东）若复数 z 1=1+i ， z 2=3-i ，则 z 1·z 2=（ ）A． 4+2iB. 2+iC. 2+2i70. （福建数） i 是虚数单位 , (1 i)4 等于 ()1-iA ． iB ． -iC ． 1D ． -171. （全国 1 卷）复数32i（）2 3iB.i i+13i （）72. （山东）已知a 2ibi （a,b ∈ R ），其中 i 为虚数单位，则 a+b=（）i73. （安徽） i 是虚数单位，i（）33iA.13i B.13i C. 1 3i D.1 3 i4 124 12262674. （湖北）若 i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数 Z ，则表示复数z的点是（）1 iA ． E75. （上海）若复数z 1 2i （ i 为虚数单位），则 z z z.76. （重庆）（已知复数 z=1+i，则2z =____________.2i z77. （北京）在复平面内，复数对应的点的坐标为.1 i78. （江苏）设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i （其中 i 为虚数单位） ，则 z 的模为 ___________.79． [2014 ·重庆卷 ] 复平面内表示复数 i(1 － 2i)的点位于 ()A ．第一象限B．第二象限 C．第三象限D ．第四象限10i80． [2014 ·全国卷 ] 设 z ＝ 3＋ i ，则 z 的共轭复数为 ()A ．－ 1＋ 3iB．－ 1－ 3iC ． 1＋ 3iD ．1－ 3i81． [2014 ·安徽卷 ] 设 i 是虚数单位，－z－＝()z 表示复数 z 的共轭复数．若z ＝1＋ i ，则 ＋ i · ziA ．－2B．－ 2iC ．2D． 2i1＋i 282． [2014 ·北京卷 ] 复数 1－i ＝ ________．83． [2014 ·福建卷 ] 复数 z ＝ (3 － 2i)i的共轭复数 z 等于 ( ) A ．－ 2－ 3iB．－ 2＋ 3iC． 2－ 3iD． 2＋3i 84． [2014 ·广东卷 ] 已知复数 z 满足 (3 ＋ 4i)z ＝ 25，则 z ＝ ()A ．－ 3＋ 4iB．－ 3－ 4i C ． 3＋ 4iD． 3－ 4i85． [2014 ·湖北卷 ] i1－ i 2)为虚数单位，＝ (1＋ iA ．－ 1B ． 1C ．－ iD ． iz ＋i86． [2014 ·湖南卷 ] 满足z ＝ i(i为虚数单位 ) 的复数 z ＝ ()11 1 1 11＋ 2i－ 2iC．－ 2＋ 2iD．－ 2－ 2i87． [2014 ·江西卷 ] － 是 z 的共轭复数，若－ －＝ 2(i 为虚数单位 ) ，则 z ＝() zz ＋ z ＝ 2，(z － z )i A ． 1＋iB．－ 1－ i C．－ 1＋ iD． 1－ i88． [2014 ·辽宁卷 ] 设复数 z 满足 (z － 2i)(2 －i) ＝ 5，则 z ＝ () A ． 2＋3iB． 2－ 3i C．3＋ 2i D． 3－ 2i（ 1＋ i ） 389． [2014 ·新课标全国卷Ⅰ ] （ 1－ i ） 2＝()A ． 1＋i B． 1－ i C90． [2014 ·新课标全国卷Ⅱ ] 设复数．－ 1＋ iD．－ 1－ iz 1， z 2 在复平面内的对应点关于虚轴对称， z 1＝ 2＋ i ，则 z 1z 2＝()A ．－ 5B ． 5C ．－ 4＋ iD．－ 4－i91．[2014 ·山东卷 ] 已知 a ，b ∈ R ，i 是虚数单位， 若 a － i 与 2＋ bi 互为共轭复数， 则 (a ＋ bi)2＝()A ． 5－4iB ． 5＋4i C．3－ 4iD．3＋ 4i2－2i92． [2014 ·四川卷 ] 复数 1＋ i ＝ ________．7＋ i93． [2014 ·天津卷 ] i 是虚数单位，复数 3＋ 4i ＝()A ． 1－iB ．－ 1＋ i31 D17 25＋ i．－ ＋ i25 7794. (2011 年四川 ) 已知复数，则 =（ ）A.B.C. 195. （ 2012 年上海）若 1 2 i 是关于 x 的实系数方程x2bx c 0的一个复数根 , 则（）A ． b 2, c 3 .B ． b 2, c 1 .C ． b2, c1 . D ． b2, c 3 .96. （重庆）复数（）A ．B ．C ．D ．97.(2015 高考新课标 ) 若 a 为实数且 (2 ai )( a 2i )4i ，则 a （）A ．1B ．0C ．1D ．298.(2015 高考新课标 1) 设复数 z 满足1 z= i ，则 |z|=()1 zB.2C.399.(2015 高考湖北 ) 为虚数单位， 607的共轭复数 为（ ）i．．．．A ．B ．C ．1D ．100.(2015 高考山东 ) 若复数 z 满足z 为虚数为单位，则 z =（）i ，其中 i1 iA. 1 iB.1 iC.1 iD.1 i101.(2015 高考安徽 ) 设 i 是虚数单位，则复数2i 在复平面内所对应的点位于（ ）1 iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限102.(2015 高考重庆 ) 设复数 +（ ，b ）的模为3 ，则（ + ）（ - bi ）=________.a bi a Ra bi a103.(2015 高考天津 ) i 是虚数单位，若复数 1 2i a i 是纯虚数，则实数 a 的值为.104.(2015 江苏高考 ) 设复数 z 满足 z23 4i （ i 是虚数单位），则 z 的模为 _______.1 2105.(2015 i1i （ i 为虚数单位），则复数 z =（高考湖南 ) 已知）zA. 1 iB.1 iC.1 iD.1 i106.(2015 高考上海 ) 若复数 z 满足 3z z 1 i ，其中 i 为虚数单位，则 z．107.(2015 高考上海 ) 设 z 1 ，z 2 C ，则“ z 1 、z 2 中至少有一个数是虚数” 是“ z 1 z 2 是虚数” 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D．既非充分又非必要条件。
复数知识点复习复数是数学中的一个重要概念，在许多领域都有着广泛的应用。
下面咱们就来好好复习一下复数的相关知识。
一、复数的定义形如 a ＋ bi 的数叫做复数，其中 a 和 b 均为实数，i 为虚数单位，满足 i²＝－1。
a 被称为实部，记作 Re(z)；b 被称为虚部，记作 Im(z)。
当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 就变成了实数 a；当 a ＝ 0 且b ≠ 0 时，复数就称为纯虚数 bi。
二、复数的表示形式1、代数形式就是咱们最常见的 a ＋ bi 这种形式。
2、几何形式在平面直角坐标系中，以 x 轴为实轴，y 轴为虚轴，复数 a ＋ bi 可以用坐标（a, b) 来表示。
3、三角形式复数 a ＋ bi 可以表示为r(cosθ ＋isinθ)，其中 r ＝√（a²＋ b²)，θ是复数的辐角。
4、指数形式根据欧拉公式 e^（iθ) ＝cosθ ＋isinθ，复数又可以写成 r e^（iθ) 的形式。
三、复数的运算1、加法和减法（a ＋ bi) ±（c ＋ di) ＝（a ± c) ＋（b ± d)i2、乘法（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i3、除法（a ＋ bi) ÷（c ＋ di) ＝（ac ＋ bd) ／（c²＋ d²) ＋（bc ad) ／（c²＋ d²)i四、复数的模和辐角1、复数的模复数 z ＝ a ＋ bi 的模记作｜z|，｜z| ＝√（a²＋ b²)模的几何意义就是复数对应的点到原点的距离。
2、复数的辐角以 x 轴正半轴为始边，向量 OZ 所在的射线为终边的角θ 叫做复数z ＝ a ＋ bi 的辐角。
辐角主值通常用 arg z 表示，并且规定在0 ≤ arg z ＜2π 的范围内。
五、复数的性质1、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
复数专题复习(经典、全面)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March复数专题复习一、复数的概念及运算：1、复数的概念：（1）虚数单位i ；（2）实部：z Re ，虚部：z Im ；（3）复数的分类(bi a z +=)()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈⎩⎨⎧≠=≠⎩⎨⎧=R b a a a b b ,)0()0()0()0(非纯虚数纯虚数虚数无理数有理数实数；（4）相等的复数：2、复数的几何意义：3、复数的加、减、乘、除法则：（1）加减法具有交换律和结合律；（2）乘法具有交换律、结合律、分配律；（3）除法：)0(2222≠++-+++=++di c i d c ad bc d c bdac di c bia 。
4、复数的共轭与模：（1）z z R z =⇔∈；z 是纯虚数z z -=⇒，反之不成立；（2）复数bi a z +=与点()b a Z ,是一一对应关系，另：z 与z 关于x 轴对称，z表示z 对应点与原点的距离。
5、复数共轭运算性质：212121212121,,z z z z z z z z z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅+=+；6、复数模的运算性质：nn z z z z z z z z z z z z =≠==),0(,22121121。
7、复数的模与共轭的练习：z z z ⋅=2。
二、典型问题分析：考点1：复数的基本运算1.（ ）A ．iB ．i - Ci Di2. 已知复数z＋3i ）z ＝3i ，则z ＝ （ ）A．32B. 34C. 32D.343. 3(1－i)2＝ （ ） A. 32i B. 32i - C.i D.－i4.复数(1+i)21－i 等于 （ ）－i +i C.－1+ i D.－1－i5. 复数4)11(i +的值是 （ ）A ．4iB ．－4iC ．4D ．－4考点2：复数的模长运算1.已知复数z =，则z 等于 （ ）A. 14B. 12 C. 1 D. 22. 已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是 （ ）A ．(15)，B ．(13)，C ．(1D ．(1考点3：复数的实部与虚部1. 复数3(1)i -的虚部为 （ ）B.－3 D.－2考点4：复数与复平面内的点关系1. 在复平面内，复数1ii +对应的点位于 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 在复平面内，复数i i+-12对应的点位于 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4. 若()()i x x x x z 653222+-+--=对应的点在虚轴上，则实数=x （ ）A ．1- B. 3 C. 1- 或 3 D. 2或 3考点5：共轭复数1.复数512i +的共轭复数是 （ ）A ．51033i -- B ．51033i -+ C ．12i - D ．12i +2. 若2a bi -+与3a i -互为共轭复数，则实数a 、b 的值分别为3. 把复数z 的共轭复数记作z ，已知i z i 34)21(+=+,则z 等于考点6：复数的周期1.已知()n n f n i i -=-()n N ∈，则集合{}()f n 的元素个数是 （）A ．2 B. 3 C. 4 D. 无数个考点7：复数相等1. 已知21(1)()x y i x y x y i -++=-+--，求实数x 、y 的值。
第1讲 复 数一、高考方向：复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，难度较小．二、复习要点：1．复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义．2．要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数除法的运算，如：复数幂的运算与加法、除法的结合，复数的乘法与共轭复数的性质相结合等．因考题较容易，所以重在练基础．三、基础知识：1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ；b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复数的模：向量OZ→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的四则运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；(4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i ) ＝ (ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2 (c ＋d i ≠0)． 3、常用结论：(1)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(2)(1±i)2＝±2i ， 1＋i1－i ＝i ， 1－i1＋i ＝－i.四、知识应用：考点一 虚数单位i 的性质【例1】(2007·新课标全国)已知i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++= ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，）【解析】：238i 2i 3i 8i i -2-3i +4+5i -6+7i +8=4-4i.++++=【答案】：44i - 练习1(2011·辽宁)1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝…………………………………………( )．A 、0B ．2iC ．－2iD ．4i考点二 复数的有关概念：【例2】复数1＋a i 2－i为纯虚数，则实数a 为…………………………………( )． A ．2 B ．－2 C ．－12 D.12解析 1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a 5＋2a ＋15i ， 由纯虚数的概念知：2－a 5＝0，∴a ＝2. 答案 A方法归纳：复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程即可．练习2.1、 已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为________．练习2.2、复数 i 2(1＋i)的实部是________．练习2.3、复数－i 1＋2i(i 是虚数单位)的实部是………………………………..( )． A.15 B ．－15 C ．－15i D 、－25考点三 复数的几何意义：【例3】在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是………………………………………….( )．A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i解析 复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i. 答案 C方法归纳：复数的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向量、解析几何有机的结合在一起，能够更加灵活的解决问题．高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应点的位置、加减法的几何意义、模的意义等．练习3.1、 复数1＋i 1－i ＋i 2 012对应的点位于复平面内的第________象限．练习3.2复数z ＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为……( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D 、第四象限练习3.3复数z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是…………………………………………………………………..( )．A 、3＋iB ．2＋iC ．1＋iD ．i考点四 复数的运算【例4】已知复数z 1，满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2=解 由(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，得z 1－2＝1－i 1＋i＝－i ， ∴z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i(a ∈R )，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R .∴a ＝4. ∴z 2＝4＋2i.方法归纳：复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．练习4.1复数1－3i 1－i＝…………………………………………………………..( )．A 、2－iB ．2＋iC ．－1－2iD ．－1＋2i练习4.2(2011·新课标全国)复数5i 1－2i＝……………………………………( )． A ．2－i B ．1－2i C 、－2＋i D ．－1＋2i练习4.3 (2010·新课标全国)已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，则|z |＝……………( )．A.14 B 、12 C ．1 D ．2练习4.4(2013·..（ ）B.2 C D.1练习5.5(2014·新课标全国)131i i+=-……………………………………………（ ） A.12i + B 、12i -+ C.1-2i D .1-2i - 练习4.6(2008·新课标全国)已知复数1z i =-，则21z z =-……………………（ ） A.、2 B. －2 C. 2i D. －2i练习(2009·新课标全国)复数3223i i+=-……………………………………….（ ） A.1 B.1- C 、i D.i -。
复数一、知识点梳理： 1、i 的周期性： i 4=1，所以，i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i 4n=1()n Z ∈()44142430n n n n i i i i n Z ++++++=∈2、复数的代数形式：(),a bi a b R +∈，a 叫实部，b 叫虚部，实部和虚部都是实数。
{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。
N Z Q R C.3、复数相等：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ；00a bi a +=⇔=且b=04、复数的分类：0,0)0)0,0)Z a bi a a ⎧⎪=+≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b虚数不能比较大小，只有等与不等。
即使是3,62i i ++也没有大小。
5、复数的模：若向量u u r OZ 表示复数z ，则称u u rOZ 的模r 为复数z 的模， 22||z a bi a b =+=+；积或商的模可利用模的性质（1）112n n z z z z z ⋅=⋅⋅⋅L L ，（2）()112220z z zz z =≠6、复数的几何意义：复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b (),Z a bi a b R =+∈↔u u r一一对应复数平面向量OZ ， 7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算复数z 1与z 2的和：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数z 1与z 2的差：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义：复数z 1=a +bi ，z 2=c +di (),,,a b c d R ∈；OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i复数减法的几何意义：复数z 1-z 2的差(a －c )+(b －d )i 对应1212Z Z OZ OZ =-u u r u r u u u u r u u u u r，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.9. 特别地，AB z =u u u r z B －z A .，B A ABz AB z z ==-u u u r 为两点间的距离。
12||||z z z z -=-z 对应的点的轨迹是线段12Z Z 的垂直平分线；0||z z r -=， z 对应的点的轨迹是一个圆；()1212||||22z z z z a Z Z a -+-=<， z 对应的点的轨迹是一个椭圆；()1212||||22z z z z a Z Z a ---=>， z 对应的点的轨迹是双曲线。
10、显然有公式：()12121222221212122z z z z z z z z z z z z -≤±≤+++-=+11、复数的乘除法运算：复数的乘法：z 1z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . (),,,a b c d R ∈ 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
实数集R 中正整数指数的运算律,在复数集C 中仍然成立.即对z 1,z 2,z 3∈C 及m,n ∈N *有:z m z n =z m+n , (z m )n =z mn , (z 1z 2)n =z 1n z 2n .复数的除法：12z z =(a+bi)÷(c+di)=di c bi a ++=2222ac bd bc adi c d c d +-+++ (),,,a b c d R ∈，分母实数化是常规方法12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；(),,z a bi z a bi a b R =+=-∈，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。
||z z ==2222,z z a b R z z z z ⋅=+∈⋅==，111212121222,,z z z z z z z z z z z z ⎛⎫±=±⋅=⋅= ⎪⎝⎭ 13、熟记常用算式：1i i=-，i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-，i ii =-+11，i i i-=+-11 14、复数的代数式运算技巧：（1）①i i 2)1(2=+ ②i i 2)1(2-=- ③i i i =-+11 ④i i i-=+-11（2）“1”的立方根i2321±-=ω的性质：①13=ω ②ωω=2③012=++ωω ④11-=+ωω ⑤ωω=115、实系数一元二次方程的根问题：（1）当042≥-=∆ac b 时，方程有两个实根 21,x x 。
（2）当042<-=∆ac b 时，方程有两个共轭虚根，其中 21x x =。
此时有 acx x x x ===212221且a i b x 22,1∆-±-=。
注意两种题型：21x x (1)- 21x x (2)+虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。
但仍然适用韦达定理。
已知12x x -是实系数一元二次方程0c bx ax 2=++的两个根，求12x x -的方法： （1）当042≥-=∆ac b 时，aacb x x x x x x 44)(22122112-=-+=-(2)当042<-=∆ac b 时，ab ac x x x x x x 2212211244)(-=-+=-已知21x ,x 是实系数一元二次方程0c bx ax 2=++的两个根，求12x x +的方法：（1）当042≥-=∆ac b 时，①,021≥⋅x x 即0≥ac，则 a b x x x x =+=+2112②,021<⋅x x 即0<a c ，则 aac b x x x x x x x x 44)(2212212112-=-+=-=+（2）当042<-=∆ac b 时，a c x x x x x 22221112=⋅==+二、典例分析：例1．（1）复数(1+i)21－i等于( )A.1－iB.1+iC.－1+ iD.－1－i解析: 复数(1+i)21－i =2(1)11i i i i i =+=-+-，选C ． （2）若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ ． 解：已知2211i Z iZ i Z i i⇒-=⇒==--；（3）设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a +b i)(c +d i)为实数的充要条件是A.ad －bc =0B.ac －bd =0C. ac +bd =0D.ad +bc =0解析：（1）,,,a b c R ∈复数()()a bi c di ++=()()ac bd ad bc i -++为实数，∴0ad bc +=，选D ； （4）已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11（ ） (A)1+2i (B) 1－2i (C)2+i (D)2－i 解析：()()i n n m ni i m-++=⇒-=+1111，由m 、n 是实数，得⎩⎨⎧=+=-m n n 101， ∴i ni m m n +=+⇒⎩⎨⎧==221，故选择C 。
（5）设,x y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += 。
解析：(1)(12)2()()112252525x y x i y i x y x y i i i +++=+=+++--， 而55(13)13131022i i i +==+- 所以123252252x y x y +=+=且，解得x ＝－1，y ＝5， 所以x ＋y ＝4。
点评：本题考查复数的运算及性质，基础题。
例2：（1）计算：19961232132⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++-i i i答案：i +-1（2）设复数z 满足关系i z z +=+2||，求z ；解：设z=a+bi （a,b 为实数），由已知可得i b a bi a +=+++222由复数相等可得：⎪⎩⎪⎨⎧==++1222b b a a ，解得1,43==b a ，所以i z +=43设z=a+bi-x+yi （a,b 为实数）复数问题实数化。
（3）若C x ∈，解方程x i x -+=31||解：设x=a+bi (a,b ∈R)代入条件得:i b a b a )3(122-+-=+,由复数相等的定义可得： ⎩⎨⎧=--=+03122b a b a ,∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i 。
例3：(1)复数z 满足1||||22=--+i z i z ，则z 对应的点在复平面内表示的图形为（A ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线解：令z=x+yi （x ，y∈R），则x 2+(y+1)2－[x 2+(y －1)2]=1，∴y=1/4。
故选A 。
（2）设复数z 满足：3|33|=-+i z ，求|z|的最大值与最小值；解：|z|的最大值为33，最小值为3；（3）已知z ∈C ，|z －2|=1且复数z －2对应的点落在直线y=x 上，求z 。
解：设z －2=a+ai ，∵|z －2|=1，∴22±=a ， ∴i z 22222++=或i z 22222--=。
【思维点拨】从整体出发利用条件，可简化运算，本题也可设z=a+bi 再利用条件，但运算复杂。
(4)设2||1,≤≤∈z C z ，则复数)1(i z u +=，在复平面内对应的图形面积为_______。
解：∵|u|=|z |•|1+i|=2|z|，∴2≤|u|≤2，故面积S=ππ2])2(2[22=-。
【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。
例4：已知z=1+i ，a ，b 为实数， (1)若ω=z 2+3z －4,求|ω|;(2)若i z z baz z -=+-++1122，求a ，b 的值。
解：（1）ω=(1+i)2+3(1－i)－4=―1―i ，∴2||=ω。
（2）由条件i i i a b a -=+++1)2()(，∴i i a b a +=+++1)2()(，∴⎩⎨⎧=-=21b a 。
