15.初中数学七年级下册 实数全章复习与巩固(基础)知识讲解

七年级下册数学实数知识点一、实数的定义实数包括所有的有理数和无理数。

有理数是可以表示为两个整数之比的数，例如分数和整数。

无理数则不能表示为两个整数之比，它们的小数部分是无限不循环的，例如π和√2。

二、实数的性质1. 有序性：实数具有大小顺序，可以比较大小。

2. 封闭性：实数的加法、减法、乘法和除法（除数不为零）都是封闭的。

3. 完备性：任何实数序列都有极限，即可以找到一个实数作为该序列的极限值。

三、实数的分类1. 正实数：大于零的实数。

2. 负实数：小于零的实数。

3. 零：既不是正数也不是负数的特殊实数。

4. 整数：分正整数、负整数和零。

5. 分数：可以表示为两个整数之比的数。

6. 无理数：无限不循环小数，如π和√2。

四、实数的运算1. 加法：两个实数相加，和的符号由绝对值较大的数决定，同号实数相加保持符号，异号实数相加取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

2. 减法：减去一个实数等于加上这个数的相反数。

3. 乘法：两个正实数相乘得正，两个负实数相乘得正，正实数与负实数相乘得负。

4. 除法：除以一个非零实数，等于乘以这个数的倒数。

五、实数的比较1. 正实数都大于零、负实数和零。

2. 负实数都小于零、正实数和零。

3. 两个负实数比较大小时，绝对值大的反而小。

六、实数的近似表示1. 有效数字：从一个数的最高位开始，到最低位的所有数字（包括零）都是有效数字。

2. 四舍五入：根据要求保留的位数，对下一位进行四舍五入。

3. 科学记数法：表示为a×10^n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数。

七、实数的应用1. 测量和计数：在物理、化学、经济学等领域中，实数用于表示测量结果和统计数据。

2. 几何图形的计算：实数在计算面积、体积等几何属性时非常重要。

3. 工程和科学计算：在工程和科学研究中，实数是进行精确计算的基础。

八、实数的图形表示1. 坐标轴：实数可以在数轴上表示，数轴上的每个点都对应一个实数。

专题6.12 实数（全章复习与巩固）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．在下列各数中，无理数是（ ） A ．237B 38-C 916D ．4π 2．下列说法正确的是（ ） A ．117是无理数 B 5 C ．π2是无理数D ．22是有理数 3．下列等式正确的是（ ） A ．()255-- B 93=± C 382±D 3355--4．一个长、宽，高分别为50cm 、8cm 、20cm 的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是（ ）A ．20cmB ．200cmC ．40cmD 80cm5．若32x =-( ) A ．32x =-B ．32x =-C ．(-x)3=-2D ．x=(-2)36．已知x ，y 为实数，且22994y x x --，则x y -=（ ） A ．﹣1B ．﹣7C ．﹣1或﹣7D ．1或﹣77．若24,a =31b =-，则a b +的值是（ ） A ．1B ．-3C ．1或-3D ．-1或38．已知x ，y 两个实数在数轴上位置如图所示，则化简()2y x x y --（ ）A ．2xB ．2yC ．22x y -D ．22y x -9．如图，在数轴上点A 表示的实数是（ ）A 5B 51C 31D 310．如图，数轴上表示12A 、B ，点B 关于点A 的对称点是C ，设C 点表示的数为x ，则2x ）A ．12B ．1+2C 21D ．2二、填空题1149的算术平方根是______64______． 128x -3x ____________．13()2460x y -+=，那么2x y -的平方根为_______． 14．已知：23+m ，小数部分为n ，则2m n -＝_____．15．已知实数a 、b 在数轴上的对应点如图，化简||a a b c b -++-=_________．16101-89．（填“>”或“<”）17．设 a 、b 是有理数，且满足等式2322152a b b ++=-则a+b=___________． 18．对于能使式子有意义的有理数,a b ，定义新运算：a △b 22a ba b+=-．如果1230x y xz -++=则x △（y △z ）= _____ ．三、解答题19．在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 2，52，038-π-．20．求下列各式中x 的值： (1) 240x -=；(2) 3(1)8x +=．21．化简求值：(1) 已知a 1713b =54ab +(2) 已知：实数a ，b 323(1)2(1)||a b a b -----．22．计算：(1) 2338125(2)---(2) 2722(7)π-(3) 331631270.1251464--(4) 233416(3)22--．23．如图，每个小正方形的边长均为1．(1) 图中阴影部分的面积是______；阴影部分正方形的边长a 是______． (2) 估计边长a 的值在两个相邻整数______与______之间．(3) 我们知道π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此π的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用()3π-表示它的小数部分．设边长a 的整数部分为x ，小数部分为y ，求()x y -的相反数．24．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：操作一：（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：3表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________；操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.参考答案1．D【分析】先对个选项进行化简，再由无理数的概念进行判断即可． 解：237是有理数，故选项A 不符合题意； 382--是有理数，故选项B 不符合题意；93164=是有理数，故选项C 不符合题意； 4π符合无理数的概念，故选项D 符合题意；． 故选：D ．【点拨】此题考查的是算术平方根、立方根及无理数的概念，能够根据算术平方根的概念及立方根进行正确化简是解决此题关键．2．C【分析】根据有理数和无理数的定义，逐一判定即可，有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数．解：A. 117是有理数，故A 选项说法错误； B. 5B 选项说法错误；C. π2是无理数，故C 选项说法正确； D.2D 选项说法错误． 故选：C ．【点拨】本题主要考查了有理数和无理数，解决问题的关键是熟练掌握有理数和无理数的定义．3．D【分析】利用平方根与立方根的定义，逐个计算得结论．解： A 、()22555---，故选项错误，不符合题意；B 9=3，故选项错误，不符合题意；C 38=2，故选项错误，不符合题意；D 335=5--，故选项正确，符合题意． 故选：D ．【点拨】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的性质与化简，掌握平方根和立方根的定义解决本题的关键．4．A【分析】先求出体积，再求立方根即可． 解：∵铁块体积是3508208000(cm )⨯⨯=∴3800020(cm)， 故选：A ．【点拨】本题考查立方根的应用，会求立方根是解题的关键． 5．B【分析】利用立方根的定义分析得出答案． 解：∵3-2， ∴x 3=-2， 故选B ．【点拨】本题考查立方根的定义，正确把握定义是解题关键． 6．C直接利用二次根式的性质得出x ，y 的值，然后讨论进而得出答案． 解：∵22994y x x --， ∴229090x x -≥-≥， ∴290x∴y ＝4， ∴3x =±，当3,4x y ==时，341x y -=-=-； 当3,4=-=x y 时，347x y -=--=-； ∴1x y -=-或7x y -=-， 故选：C ．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件．解答本题的关键由二次根式有意义的条件求出x 、y 的值．7．C【分析】根据题意，利用平方根，立方根的定义求出a ，b 的值，再代入求解即可． 解：24,a =31,b =-2,a ∴=±1b，∴当2,a =-1b时，213a b +=--=-； ∴当2,a =1b 时，211a b +=-=．故选：C ．【点拨】本题考查的知识点是平方根以及立方根的定义，根据定义求出a ，b 的值是解此题的关键．8．D【分析】根据点在数轴的位置判断式子的正负，然后化简． 解：根据图示可知：0x y <<∴0y x∴()2y x x y -+-y x y x 22y x =-故选：D ．【点拨】此题的考查了数轴，绝对值的性质，合并同类项法则，解题的关键是根据点在数轴的位置判断式子的正负．9．B【分析】先根据勾股定理求出PQ 的长，即可求出点A 所表示的数． 解：如图，22125PQ =+由图可知5PA PQ ==， 所以点A 51， 故点A 51． 故选：B【点拨】本题考查勾股定理以及数轴表示数的意义和方法，掌握解答的方法是关键．。

七年级数学下册第一章《实数》知识点整理★重点★实数的有关概念及性质，实数的运算☆内容提要☆一、重要概念．数的分类及概念数系表：说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）初中数学复习提纲2）有标准2．非负数：正实数与零的统称。

（表为：x≥0）初中数学复习提纲常见的非负数有：性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3．倒数：①定义及表示法②性质：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;c.0＜a ＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a＜1;D.积为1。

4．相反数：①定义及表示法②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;c.和为0,商为-1。

5．数轴：①定义（“三要素”）②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;c.建立点与实数的一一对应关系。

6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n（n为自然数）初中数学复习提纲7．绝对值：①定义（两种）：代数定义：几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a 的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

二、实数的运算．运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）2．运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律）3．运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”到“右”（如5÷初中数学复习提纲×5）;c.由“小”到“中”到“大”。

三、应用举例（略）附：典型例题．初中数学复习提纲已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│=b-a.2.已知：a-b=-2且ab&lt;0，（a≠0，b≠0），判断a、b 的符号。

实数全章复习与巩固知识点一：平方根和立方根 类型项目平方根 立方根 被开方数 非负数任意实数符号表示3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零； 负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a333333)(aa a a aa -=-==有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数③有特定结构的数，如0.1010010001… 2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（30≥ (0a ≥).非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算：数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则 1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【例题训练】 类型一、算术平方根1.求下列各数的算术平方根 ⑴100 ⑵4964 ⑶0.0001 ⑷0 ⑸124变式：x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 2x ≥ C. 2x > D. 2x ≤提升：已知21a -的算术平方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c 的整数部分，求2a b c +-的算术平方根 课堂小练1、 非负数a 的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____2、____,_____===3、_____, 0.64-的算术平方根____4、 若x 是49的算术平方根，则x =（ ）A. 7B. －7C. 49D.－495、 7=，则x 的算术平方根是（ ）6、 若()2130x y -+++，求,,x y z 的值。

专题6.11 实数（全章复习与巩固）（基础篇）（专项练习）一、单选题1．4的算术平方根是（ ） A ．2±B ．2C ．2D 22．下列实数是无理数的是（ ） A 327-B ．13C ．3.14159D 63．下列说法不正确的是（ ） A ．0的平方根是0 B ．一个负数的立方根是一个负数 C ．﹣8的立方根是﹣2D ．8的算术平方根是24．若3m x y -和35n x y 的和是单项式，则()3m n +的平方根是（ ） A ．8B ．8-C ．4±D ．8±5．估计463 ） A ．3与4之间B ．4与5之间C ．5与6之间D ．6与7之间6．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x 为64时，输出的y 是（ ）A ．22B ．32C ．23D ．87．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（ ）A ．22-2B ．2+2C ．2D ．28．若320a =10b =3c =，则a b c 、、的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c<a<bD ．c b a <<9．若a 、b 为实数，则下列说法正确的是（ ）A aB ．有理数与无理数的积一定是无理数C ．若a 、b 均为无理数，则a b +一定为无理数D ．若a 为无理数，且()()220a b ++=，则2b =-10．下面是李华同学做的练习题，他最后的得分是（ ）姓名 李华 得分______填空题（评分标准，每道题5分） （1）16的平方根是4±（2）立方根等于它本身的数有0和1（3）38-的相反数是2（4）3=3--ππA ．5分B ．10分C ．15分D ．20分二、填空题11．16的平方根是___________． 12．计算327________．1321的相反数是__________，3.14π-=____________ 14．若实数a 、b 满足：2a b +，32a b．则()()a b a b +-的值是_____________．15．四个实数2-，023中，最小的实数是______． 16．实数a 在数轴上的位置如图，则|3a =_________．171032（填“＞”，“＜”或“=”）18．找规律填空：02，262103…，______（第n 个数）．三、解答题19．求下列各式中的x ： (1) 2481x =(2) ()3227x +=-20．计算(1) 20223113274-+-(2) 223(3)(3)1664---21．已知：9的平方根是3和5x +，y 13 (1) 求x y +的值；(2) 求22x y +的算术平方根．22．如图，长方形ABCD 的长为2cm ，宽为1cm ．（1）将长方形ABCD 进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据）（2）求所拼正方形的边长．23．【观察】请你观察下列式子． 第111．第2132+=． 第31353++． 第413574+++=． 第5135795++++． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： (1) 写出第7个等式 ．(2) 135(21)n +++++＝ ．(3) 利用（241220284452++++++24．阅读材料，完成下列任务：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π2等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．材料一：479<273<<， ∵1712<． 71的整数部分为1． 7172．材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．我们知道面积是2221>21x =+，可画出如图示意图．由图中面积计算，2211S x x =+⨯⋅+正方形，另一方面由题意知2S =正方形，所以22112x x +⨯⋅+=．略去2x ，得方程212x +=，解得0.5x =2 1.5． 解决问题：(1) 85(2) 5（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）参考答案1．C【分析】根据平方与开平方互为逆运算，可得一个正数的算术平方根． 解：∵22＝4， ∵4的算术平方根是2；故选：C ．【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，平方与开平方互为逆运算是求一个正数的算术平方根的关键．2．D【分析】无理数即为无限不循环小数，初中阶段接触的无理数的表现形式主要有：∵开方开不尽的数；∵含有π的数；∵0.010010001...（每两个1之间依次多个0）这样的数；据此解答即可．解：A 3273--，属于整数，不是无理数，不符合题意； B 、13为分数，不是无理数，不符合题意；C 、3.14159为有限小数，不是无理数，不符合题意；D 6 故选：D ．【点拨】本题考查了无理数的定义以及求一个数的立方根，熟练掌握初中阶段无理数的主要表现形式是解本题的关键．3．D【分析】直接利用算术平方根、平方根、立方根的定义分析得出答案． 解：A 、0的平方根是0，原说法正确，故此选项不符合题意；B 、一个负数的立方根是一个负数，原说法正确，故此选项不符合题意；C 、﹣8的立方根是﹣2，原说法正确，故此选项不符合题意；D 、8的算术平方根是2 故选：D ．【点拨】此题主要考查了算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解题的关键．4．D【分析】根据题意可得3m x y -和35n x y 是同类项，从而得到3,1m n ==，再代入，即可求解．解：∵3m x y -和35n x y 的和是单项式， ∵3m x y -和35n x y 是同类项，∵3,1m n ==，∵()()333164m n +=+=， ∵()3m n +的平方根是8±． 故选：D ．【点拨】本题主要考查了合并同类项，求一个数的平方根，熟练掌握根据题意得到3m x y -和35n x y 是同类项是解题的关键．5．C【分析】先把46332“夹逼法”即可求解． 解：463232== ∵253236＜＜， ∵5326＜＜， 故选：C【点拨】本题考查了无理数的估值问题，“夹逼法”的应用是解题的关键． 6．A解：由题中所给的程序可知：把64取算术平方根，结果为8， ∵8是有理数， ∵8 ∵y 82 故选A ． 7．A2，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2， ∵2，2，∵阴影部分的面积(22224222=⨯--=． 故选A ．【点拨】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长.8．C10320的值的范围，再进行比较即可得出答案． 解：82027<<， 32203∴<<，3104<<，320310<故选：A ．【点拨】本题考查了实数大小比较，估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．9．D【分析】A a B 、有理数与无理数的积不一定是无理数，举例说明； C 、a 、b 均为无理数，a b +不一定还是无理数，举例说明；D 、利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0求出b 的值，即可做出判断． 解：A a 42=，错误；B 、有理数与无理数的积不一定是无理数，例如：020，错误；C 、a 、b 均为无理数，a b +不一定还是无理数，，例如：220-=，错误；D 、若a 为无理数，且()()220a b ++=，得到20a +≠，20b +=，解得：2b =-，正确，故选：D ．【点拨】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．B【分析】直接利用平方根、立方根、绝对值、相反数的性质分别判断得出答案． 解：（1164=的平方根是2±，故此选项错误；（2）立方根等于它本身的数有0和1、 1-，故此选项错误；（3382--的相反数是2，故此选项正确；（4）()3=3=3----πππ，故此选项正确． 李华最后得分为10分， 故选：B ．【点拨】此题主要考查了实数的性质，绝对值的性质，平方根和立方根概念，正确化简各数是解题关键．11．4±【分析】根据平方根的定义即可求解． 解：即：16的平方根是16=4± 故填：4±【点拨】此题主要考查平方根，解题的关键是熟知平方根的定义． 12．-3【分析】根据立方根的性质计算即可． 解：327--3， 故答案为：-3．【点拨】本题考查了立方根的性质，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0，熟记立方根的性质是解题的关键．13． 12- 3.14π-【分析】根据相反数的定义及去绝对值符合号法则，即可求得． 21的相反数是)2112-=>3.14π，3.14<0π∴-，()3.14 3.14 3.14πππ∴-=--=-，故答案为：12 3.14π-．【点拨】本题考查了相反数的定义及去绝对值符合号法则，掌握和灵活运用相反数的定义及去绝对值符合号法则是解决本题的关键．14．32【分析】根据算术平方根和立方根的性质得到a +b =4，a －b =8，进而直接代入求解即可．解：∵实数a 、b 2a b +=32a b ，∵a +b =4，a －b =8， ∵()()a b a b +-=4×8=32， 故答案为：32．【点拨】本题考查了算式平方根、立方根、代数式求值，理解算式平方根和立方根的性质是解答的关键．15．-2【分析】根据实数大小比较的方法解答即可． 解：∵2-2<3， ∵最小的实数是-2 故答案为：-2．【点拨】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．163a【分析】根据数轴上点的位置判断出3a 利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．解：∵a ＜0，∵30a ＜，则原式3a ， 3a 17．>103>，进而即可求解． 解：∵109>， 103>， 1032>， 故答案为：>．10 18()21n -【分析】除第一个数外，其他数变成二次根式后，根号下面的数都是2的倍数，第二个数为2的1倍，第三个数为2的2倍，依此类推，第n 个数为2的()1n -倍，从而得出答案．解：由题意得：由题意得： 第一项：00200==⨯=； 2212⨯ 第三项：24224=⨯= 6236=⨯……第n ()()2121n n ⨯-=-()21n -【点拨】本题考查了算术平方根，解题的关键是发现题目中数据的变化规律，要熟练掌握．19．(1)92x =± (2)5x =-【分析】（1）利用平方根解方程即可；（2）利用立方根解方程．（1）解：2481x =，∵2814x =， ∵81942x =±=±； （2）解：()3227x +=-，∵3227x +=-23x，解得：5x =-．【点拨】本题考查开方法解方程．熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键． 20．33 (2)8-【分析】（1）先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可．（2）先计算开方与乘方，再计算加减即可．（1）解：原式13132=-+++33；（2）解：原式3344=---8=-．【点拨】本题考查实数的混合运算，求绝对值，平方根和立方根，熟练掌握实数运算法则是解题的关键．21．(1)5- 73【分析】（1）先根据平方根的意义可得350x ++=，从而求出x 的值，13值的范围，从而求出y 的值，然后代入式子中进行计算即可解答；（2）把x ，y 的值代入式子中求出22xy +的值，然后再利用算术平方根的意义，进行计算即可解答．（1）解：9的平方根是3和5x +， 350x ∴++=，解得：8x =-，91316<<，3134∴<<，y 133y ∴=，835x y ∴+=-+=-，x y ∴+的值为5-；（2）当8x =-，3y =时，2222(8)364973x y +=-+=+=，22x y ∴+73【点拨】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．22．（1）分割方法不唯一，如图，见分析；（22cm .【分析】（1）根据AB=2AD ，可找到CD 的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形；（2）设拼成的正方形边长为cm x ，根据面积相等得到方程，即可求解．解：（1）如图，∵AB=2AD ，找到CD,AB 的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形；（2）设拼成的正方形边长为cm x ，根据题意得2122x =⨯=，∵2x2cm ．【点拨】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割． 23．135791113++++++7 (2)n +1(3)14 【分析】（1）根据规律直接写出式子即可；（2135(21)n +++++n +1个式子，根据规律即可得； （3）41220283644524(1357891113)+++++++++++++利用规律即可得．（1）解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13， ∵第7135711137+++++，135711137+++++=； （2(21)1135(21)12n n n +++++++=+，故答案为：1n +；（3）解：根据（2）中的规律知， 11341220283644524(1357891113)4142++++++++++++++=． 【点拨】本题考查了数字变化规律类，解题的关键是掌握是式子的规律．24．859 (2)2.25【分析】（1）根据材料一中的方法求解即可；（2）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可．（1）解：8185100<98510<<，859． 85859．（2）解：我们知道面积是5552>，52x =+，可画出如图示意图．由图中面积计算，2224S x x =+⨯+正方形，另一方面由题意知5S =正方形，所以2445x x ++=．略去2x ，得方程410x -=，解得0.25x =5 2.25．【点拨】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目给出的方法，熟练进行计算．。

七年级下册实数全章知识点实数是指包括有理数和无理数在内的所有数的集合，是数学中一个重要的基础概念。

在七年级下册中，学生将接触到实数的相关知识点。

本文将对全章的实数知识进行详细介绍。

一、有理数在数轴上，有理数可以表示为有限小数或无限循环小数。

有理数包括正整数、负整数、正分数、负分数等。

下面是有理数的一些基本运算法则。

1、加减法：对于有理数a、b、c，有如下加减法法则：a +b = b + a(a + b) + c = a + (b + c)a + 0 = aa + (-a) = 0a -b = a + (-b)2、乘法：对于有理数a、b、c，有如下乘法法则：a · b = b · a(a · b) · c = a · (b · c)a · 1 = a0 · a = a · 0 = 0a · (-b) = (-a) ·b = -(a · b)3、除法：对于有理数a、b(c≠0)，有如下除法法则：a/b = (a·c)/(b·c)当b=a时，有1/b=1/a二、无理数无理数是指不是有理数的数，无法表示成有限小数或无限循环小数。

常见的无理数有π、e、√2、√3等等。

下面是无理数的一些基本概念和性质。

1、无理数的加减法：无理数的加减法只能通过近似的方法来计算，即先将近似值带入计算，再将结果近似到足够的精度。

2、无理数的乘法：无理数的乘法可以进行近似计算，但无论多少次近似，都无法得到精确的结果。

因此，无理数的乘法可以用根式表示。

3、无理数的除法：无理数的除法同样需要用到根式表示。

三、实数运算实数运算包括加、减、乘、除等操作。

实数的基本性质如下：1、加法性质：对于任意实数a、b、c，有如下加法性质：a +b = b + a(a + b) + c = a + (b + c)存在“零元素”，即0+a=a对于任意实数a，存在一个元素-b，使得a+b=02、乘法性质：对于任意实数a、b、c，有如下乘法性质：a ·b = b · a(a · b) · c = a · (b · c)存在“单位元素”，即1 · a = a对于任意实数a（a≠0），存在一个元素1/a，使得a · 1/a = 1 3、分配律：对于任意实数a、b、c，有如下分配律：a · (b + c) = a · b + a · c(b + c) · a = b · a + c · a四、实数的大小比较实数的大小比较有以下三种情况：1、对于任意整数a、b，有a<b，当且仅当b-a是正整数；2、对于任意有理数a、b，有a<b，当且仅当a+b<0；3、对于任意实数a、b，有a<b，当且仅当a-b<0。

七年级下册实数知识点总结实数是数学中的一个重要概念，它描述了所有可能存在的数。

实数包含了所有正数、负数和0。

本文将对七年级下册实数知识点进行总结，分别包括实数的定义、实数的分类、小数的位数与精度、绝对值、数轴、交集和并集等方面。

一、实数的定义实数是指所有可能存在的数，包括正数、负数和0，同时也包括全部的分数、无理数和代数数。

在实数中，每一个数都可以表示为十进制小数，也都能在数轴上表示出来。

二、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。

其中，有理数可以表示成两个整数之间的比例，包括正整数、负整数、分数和0；无理数则是不能表示成两个整数之间的比例，主要包括无限不循环小数和代数数。

三、小数的位数与精度小数是实数的一种常见表现形式，它是十进制数在小数点右边的数字，可以表示任意大小的实数。

小数的位数与精度是小数的重要概念。

位数指小数点后面的数字位数，而精度则是指小数的表示精度，直接影响到数值的精度，越高的精度会使得数值更加准确。

四、绝对值绝对值是一个数和0的距离，它与原始数的正负性无关。

对于任何实数a，其绝对值都是一个非负数，一般用两个竖杠表示，即|a|。

五、数轴数轴是一条直线，用于表示所有实数。

数轴上的点与实数一一对应，比如，数轴上1和-1对应的分别是正1和负1这两个数。

数轴上的点按照大小顺序排列，可以帮助我们更好的理解实数之间的关系。

六、交集和并集在集合中，交集指的是两个集合中共有的元素构成的新集合，而并集则是两个集合中所有元素组成的集合。

在实数中，交集和并集的概念同样也适用，可以通过数轴上的区间表示。

以上便是七年级下册实数知识点的总结，希望能够帮助各位同学更好地理解实数的概念和分类，为今后的数学学习打下良好的基础。

人教版七年级下册第六章实数知识点在人教版七年级下册数学教材中，第六章是实数。

实数是数学中的基本概念之一，是包含有理数和无理数的数系。

在此章节中，我们将学习实数的定义、性质、大小比较、绝对值等基本概念，为以后的数学学习打下坚实的基础。

以下是本章的知识点和拓展内容：1. 实数的定义：实数是包括有理数和无理数的数系。

其中，有理数是可以表示为两个整数的比例，无理数则不能表示为有理数。

2. 实数的表示：实数可以用小数、分数、百分数等多种方式表示。

3. 科学计数法：科学计数法是一种用于表示极大数或极小数的方法，能够简化计算和阅读。

例如，1.23×10^5表示为123000，0.00005表示为5×10^-5。

4. 实数的大小比较：在实数中，有理数和无理数之间没有大小比较。

但是，有理数之间和无理数之间可以通过大小比较符号进行比较。

5. 绝对值：绝对值表示一个数的距离原点的距离，用符号“|x|”表示。

例如，|3|=3，|-5|=5。

绝对值有以下性质：①|a|≥0，且|a|=0当且仅当a=0；②|ab|=|a|×|b|；③|a+b|≤|a|+|b|。

6. 实数的运算：实数的运算包括加、减、乘、除等。

其中，加法和乘法满足交换律、结合律和分配律，减法和除法不满足交换律和结合律。

7. 小数的进位和舍位：小数进位和舍位是数学中的常见概念。

在小数的运算中，需要注意正确的进位和舍位方法。

以上是本章的基础知识点和拓展内容。

实数是数学中的基本概念之一，是学习高中数学的必备基础。

通过本章的学习，可以帮助学生建立正确的实数观念和解决实际问题的能力。

七年级下册数学实数知识点归纳数学是一门重要的学科，它伴随着我们的成长与发展。

在学习数学的过程中，实数是我们必须掌握的基础知识，因为实数在日常生活中得到广泛的应用。

本文着重介绍了七年级下册数学中实数的相关知识点。

一、实数的概念实数是指所有的有理数和无理数的总和，它包括了正数、负数和零。

实数构成了数轴上的所有点，在数学上称为实数线，它是我们熟知的数学概念之一。

二、实数的分类实数可以分为有理数和无理数。

1. 有理数：有理数是能用两个整数的比表示的数，包括正整数、负整数、零和分数，如1/2，3，-4等。

2. 无理数：无理数是不能表示为整数比值的实数，如√2，π等。

三、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。

1. 加法运算两个实数相加就是把它们相应位置上的数合在一起，得到一个新的数。

例如2+3=5。

2. 减法运算两个实数相减就是在数轴上将它们所处的位置之间的距离相减得到新数。

例如6-2=4。

3. 乘法运算两个实数相乘就是将它们对应位置上的数相乘，得到一个新的数。

例如2×3=6。

4. 除法运算两个实数相除就是将它们对应位置上的数相除，得到一个新的数。

例如8 ÷ 4=2。

四、实数的性质实数具有很多特殊的性质，包括：1. 交换律实数加法和乘法都满足交换律，即a + b = b + a，a × b = b × a。

2. 结合律实数加法和乘法都满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)，(a ×b) × c = a × (b × c)。

3. 分配律乘法对加法有分配律，即a × (b + c) = a × b + a × c。

4. 加法与乘法的逆元素对于实数a，存在它的相反数-b，使得a + (-b) = 0，也称-a为a 的相反数。

对于非零实数a，存在它的倒数1/a，使得a × 1/a = 1，也称1/a为a的倒数。

七年级数学下实数知识点数学是学生们经常感到头疼的学科。

在数学的世界里，实数是非常重要的概念。

实数是指所有有理数和无理数的集合。

我们可以把实数看做是一条数轴。

一、有理数有理数是指可以表示成两个整数比值的数，其中分母不为零。

有理数包括正有理数、负有理数和零。

例如：-5/3，1，2/5等都是有理数。

二、无理数无理数是指不能表示成两个整数比值的数。

例如，根号2，π，e等都是无理数。

无理数无法表示成分数，因此它们的位值小数部分是无限不循环的。

三、实数基本运算实数的四则混合运算包括加、减、乘、除和幂运算。

它们的运算规律和有理数类似。

四、实数的绝对值实数a的绝对值是a到原点的距离，当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。

五、实数的比大小实数之间可以进行大小比较。

两个实数a、b的大小有以下三种关系：1. a>b，即a减去b是正数。

2. a<b，即a减去b是负数。

3. a=b，即a减去b是零。

我们需要掌握判断大小的方法和技巧，它们可以使你更好地完成数学作业。

六、实数的分段函数分段函数指的是在定义域的不同区间使用不同函数来代表一个函数。

总体来说，分段函数可以用于模拟实际问题的情况，例如收费、数量限制等等。

七、实数的四舍五入四舍五入是实数运算中经常用到的一种技巧。

在四舍五入后，保留小数点后面的数字位数变少了。

八、实数的科学计数法科学计数法是指将数表示为它的有效数位与10的幂的乘积的形式，科学计数法可以使表示非常大或非常小的数时更加方便。

结论：实数知识点广泛，掌握实数知识点可以帮助我们更好地理解数学问题，更好地完成数学作业。

在实际生活中，也需要运用实数的概念，所以学好实数概念是非常重要的。

最新人教版七年级下册数学《实数》知识归纳实数本章知识结构：基础知识：1.算术平方根算术平方根是指一个正数的平方等于a时，这个正数x叫做a的算术平方根。

记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。

规定的算术平方根是。

性质：算术平方根a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0；②算术平方根a本身是非负数，即a≥0.也就是说，任何正数的算术平方根是一个正数，负数没有算术平方根。

2.平方根平方根是指一个数的平方等于a时，这个数叫做a的平方根或二次方根。

非负数a的平方根的表示方法为±a。

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数。

只有一个平方根，它是。

负数没有平方根。

平方根有三种表示形式：±a，a，-a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。

要特别注意：a≠±a。

3.平方根与算术平方根的区别与联系区别：①定义不同，算术平方根要求是正数；②个数不同，平方根有2个，算术平方根1个；③表示方法不同，算术平方根为a，平方根为±a。

联系：①具有包含关系，平方根包含算术平方根；②存在条件相同，a≥0；③的平方根和算术平方根都是。

4.a²的算术平方根的性质从算术平方根的定义可得：(a)²=a (a≥0)。

a²的算术平方根为a，(a≥0)。

5.立方根立方根是指一个数的立方等于a时，这个数叫做a的立方根或三次方根。

数a的立方根的表示方法为³√a。

互为相反数的两个数的立方根之间的关系为互为相反数。

³√(-a)=-³√a (a为任何数)。

两个重要的公式为33a=a (a为任何数)。

6.开方运算开方运算有两种：①开平方运算，求一个数a的平方根的运算叫做开平方；②开立方运算，求一个数立方根的运算叫做开立方。

平方与开平方是互逆关系，故在运算结果中可以相互检验。

7.无理数的定义无理数是指无限不循环小数。

七年级实数相关知识点实数是数学中非常重要的一个概念，在七年级数学中也有着非常重要的地位。

本篇文章将带您了解七年级实数相关知识点，掌握实数的基础概念、性质及其在数学中的应用。

一、实数的基本概念实数是指可以表示成有限小数或无限循环小数的数，它包括有理数和无理数两部分。

其中有理数可以表示为两个整数之比，而无理数是不能被有理数表示的数。

实数是数学中最常用的数集，包含了所有我们熟知的数字，如自然数、整数、分数等。

二、实数的性质1. 实数具有封闭性，即两个实数进行基本运算（加、减、乘、除）的结果仍然是实数。

2. 实数具有可加性和可乘性，即它们满足加法和乘法的交换律、结合律和分配律。

3. 实数具有存在唯一逆元的性质，即任何实数都存在加法逆元和乘法逆元。

4. 实数具有实数序列的收敛性，即一个实数序列满足有界性和单调性，它就一定收敛于一个实数。

5. 实数与自然数、整数、有理数和无理数之间存在包含关系。

三、实数的应用实数不仅仅是数学中的基础概念，它也在其他领域中有着广泛的应用。

1. 在物理学中，实数代表实际存在的质量、长度、时间等物理量。

2. 在经济学中，实数被用来描述货币、价格等实际物品和劳务的数量。

3. 在工程学中，实数用来描述电路电荷、电压、电阻等的实际值。

4. 在计算机科学中，实数被广泛应用于机器学习、神经网络等人工智能领域中。

总结实数是数学中非常基础的概念，也是数学运算中不可或缺的一部分。

它的基本概念和性质需要我们掌握，并在实践中加以应用。

值得一提的是，实数在我们日常生活以及其他学科领域中也有着广泛的应用，我们需要认真学习并灵活运用。

七年级数学下册知识点实数实数是指有理数和无理数的统称。

有理数是可以表示成两整数之比的数，而无理数则不能。

在这篇文章中，我们将详细讨论七年级数学下册的实数知识点。

一、有理数有理数是可以写成分数形式的数。

其中，整数也是有理数的一种。

有理数可以用加、减、乘、除四种基本运算得到。

例如，1/2、-1、2/3、0 都是有理数，而根号2、根号3、π 则不是。

下面是一些有理数的性质：1. 有理数的加法满足交换律和结合律，0 是加法的单位元素，每个有理数都有相反数。

2. 有理数的乘法满足交换律和结合律，1 是乘法的单位元素，每个非零有理数都有倒数。

3. 有理数满足分配律和消去律。

4. 有理数可以用数轴上的点表示。

二、无理数无理数指不能表示成两整数之比的数。

无理数可以用小数表示，但是它们是无限不循环的。

无理数的表示形式有两种：无限不循环小数和根式。

例如，根号2 和π 都是无理数。

下面是一些无理数的性质：1. 无理数和有理数混合在一起可以组成实数。

2. 无理数的加、减和乘法都满足结合律、交换律和分配律。

3. 无理数的除法不一定满足交换律，因为无理数的倒数也是无理数。

三、实数的运算实数可以进行四则运算和乘方运算。

以下是实数的运算规律：1. 实数加法、乘法和乘方运算满足交换律和结合律。

2. 实数加法、乘法满足分配律。

3. 实数乘法的单位元素是 1，实数加法的单位元素是 0，每个实数都有相反数和倒数。

4. 实数乘方的运算结果只可能是正数或零。

四、实数的大小比较实数可以比较大小，规律如下：1. 如果两个实数的差为正数，则前者大于后者。

2. 如果两个实数的差为 0，则两个数相等。

3. 如果两个实数的差为负数，则后者大于前者。

除此之外，我们还可以用数轴来比较实数的大小，越靠近数轴右侧的实数越大。

五、实数的分段函数实数的分段函数是一种常见的数学函数形式，它的基本形式为：f(x) ={x + 1, x < -12x + 3, -1 ≤ x < 0x^2 –1, x ≥ 0}上面这个函数有三段，每一段的函数表达式都不相同。

人教版七年级下册第六章实数知识点
实数是数学中非常重要的一个概念，其涉及到数学中的各个领域。

在七年级下册的第六章中，我们主要学习了实数的相关知识。

1. 实数的概念
实数是指所有可以表示成有限小数、无限循环小数或无限不循环小数的数。

简单来说，实数包括整数、分数、小数、无理数等。

2. 实数的分类
根据实数的性质，可以将实数分为有理数和无理数两类。

有理数是可以表示成分数形式的实数，包括整数、分数和循环小数。

无理数是不能表示成分数形式的实数，例如根号2、π等。

3. 实数的运算
实数的运算包括加、减、乘、除四种基本运算。

对于任意两个实数a和b，它们的和、差、积、商分别为：
a+b，a-b，ab，a÷b（b≠0）
此外还有实数的乘方运算，即a的n次方（n为正整数），表示a 连乘n次的结果。

4. 实数的比较
实数之间可以进行大小比较。

对于任意两个实数a和b，若a>b，则a称为大于b，b称为小于a。

若a=b，则a与b相等。

若a<b，则a称为小于b，b称为大于a。

5. 实数的表示
实数可以用数轴上的点表示。

数轴是一条直线，上面的每个点都
与一个实数一一对应。

数轴上的原点表示0，向右表示正数，向左表示负数。

以上就是七年级下册第六章实数的相关知识点。

实数是数学中非常基础的概念，掌握好实数的相关知识对于后续的学习非常重要。

七年级下册数学实数知识点实数，是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上点相对应的数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。

下面是整理的七年级下册数学实数知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。

七年级下册数学实数知识点1、实数的概念及分类①实数的分类②无理数无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：开方开不尽的数，如√7 ,3 √2等;有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π /₃+8等; 有特定结构的数，如0.1010010001…等;某些三角函数值，如sin60°等2、实数的倒数、相反数和绝对值①相反数实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

②绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

|a|≥0。

0的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0。

③倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

0没有倒数。

④数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

⑤估算3、平方根、算数平方根和立方根①算术平方根一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x 就叫做a的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，0的算术平方根是0。

②平方根一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。

七年级下数学实数知识点在七年级下学期的数学课程中，实数是一个必须学习的知识点。

实数是指一切有理数和无理数的集合，它们都可以用实数轴上的点来表示。

下面我们来详细了解实数的相关知识。

一、有理数有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括正整数、负整数、零、正分数和负分数。

它们可以用带分数的形式来表示，如-3、5/4和2 1/3。

在实数的集合中，有理数是构成实数的基础。

有理数的加减乘除运算都可以用基本的四则运算法则进行计算。

二、无理数无理数是不能表示为两个整数之比的数，例如正的平方根√2、圆周率π等等。

无理数可以用小数的形式来表示，但是它们的小数位数是无限的、不重复的且循环不断的。

因为无理数不能用有限的小数或分数来表示，所以无理数的加减乘除运算比有理数的运算要复杂得多。

三、实数的表示实数可以用实数轴上的点来表示。

在实数轴上，原点表示零，正半轴表示正数，负半轴表示负数。

有理数和无理数都可以点的位置来表示。

例如√2可以表示为实数轴上到原点距离为√2的点，-3可以表示为实数轴上距离原点3个单位的负方向的点。

四、实数的运算有理数和无理数的加减运算可以分开进行，然后再将它们的结果合并。

例如：√2 + 3/4 = √2 + 0.75 = 2.0752.1 - √3 = 2.1 + (-√3) = 2.1 - 1.732 = 0.368有理数和无理数的乘除运算可以通过有理数的乘除规则来计算，如果两个无理数相乘，需要使用另一种特殊的运算方法，称为乘法公式。

五、实数的比较实数的比较是一个十分重要的概念。

当我们比较两个实数时，需要注意它们的符号和大小关系。

比较实数大小的方法是对它们进行减法运算。

当一个实数小于另一个实数时，我们称它的值小于它的另一个。

当一个实数大于另一个实数时，我们称它的值大于它的另一个。

六、实数的应用实数的知识在生活中有着广泛的应用。

例如在购物时，需要计算物品价格及其折扣；在建造时，需要计算材料的长度和面积等等。

七年级下册实数单元知识点实数是数学中一个重要的概念，是我们在学习数学的过程中必须要掌握的知识点之一。

本文将为大家详细介绍七年级下册实数单元的知识点。

一、实数的定义实数是指有理数和无理数的总称，可以表示为小数的数称为有限小数或无限循环小数。

无法表示为小数的称为无理数。

二、实数的分类实数可以根据其性质分为正数、负数和零三类。

其中，正数是指大于零的实数；负数是指小于零的实数；零是指数值为零的实数。

三、实数的运算实数的运算包括加、减、乘、除以及乘方等多种计算方式。

在实数的运算过程中，需要注意运算顺序和运算法则。

1. 加法实数的加法规则为“同号相加，异号相减”，即两个正数相加为正数，两个负数相加为负数，正数和负数相加时结果的符号取决于绝对值的大小。

2. 减法实数的减法可以转化为加法，即 a-b = a+(-b)。

3. 乘法实数的乘法规则为“同号得正，异号得负”，即两个正数相乘为正数，两个负数相乘为正数，正数和负数相乘时结果为负数。

4. 除法实数的除法也有规则，除法的计算需要根据具体的数字进行计算。

需要注意的是，除数不能为零。

5. 乘方实数的乘方是指将一个数自乘两次、三次等操作。

乘方有多种形式，如 2²表示为 2的平方，2³表示为2的立方。

四、实数的绝对值实数的绝对值是指实数对应的数轴上到原点的距离。

对于一个实数 a，其绝对值为 |a|，始终为正数。

五、实数的比较实数的比较是指在数轴上比较两个实数的大小关系。

当两个实数在数轴上的位置不同，我们可以通过数轴上的大小关系来进行比较。

以上就是七年级下册实数单元的知识点。

掌握好实数的概念和各种运算规则，能够更好地理解和应用数学知识。