2020届江苏省四校2017级高三下学期4月联考数学试卷(含附加题)及答案

一、单选题1．已知，，（ ）(){,M x y y =={}N y y x ==M N ⋂=A ． B ．C ．D ．(){}0,0(){}1,1()(){}0,0,1,1∅【答案】D【分析】利用集合的表达形式即可得出答案. 【详解】由题知，的代表元素是点，(){,M x y y ==的代表元素是实数，{}N y y x ==两者没有交集. 故选：D2．若复数满足,则（ ） z ()1i 2i z +=z =A ． BC D ．12【答案】B【分析】结合复数的除法运算以及模长公式即可求出结果. 【详解】因为, (1i)2i z +=所以, ()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i ()()1i 2z -+====+++-则z ==故选:B.3．如图所示，某学生社团在公园内测量某建筑的高度，为该建筑顶部.在处测得仰角AE E B ，当沿一固定方向前进60米到达处时测得仰角，再继续前进30米到达30ABE ∠=︒C 45ACE ∠=︒处时测得仰角，已知该建筑底部A 和、、在同一水平面上，则该建筑高度D 60ADE ∠=︒B C D 为（ ）AEA ．B ．C ．45D ．90【答案】D【分析】解直角三角形求得AE 分别与AD ，AC ，AB 的关系，再余弦定理解和即可. ADC △ABC【详解】设，由题意知，所以， AE tan AEADE AD=∠=AD x =同理. tan 1,tan AE AE ACE ABE AC AB =∠==∠=,3AC AB x ==在和中，.ADC △ABC 180ACD ACB ∠+∠=由余弦定理可得：cos ACD ACB ∠=∠=，解得. 0=90x ==故选：D4．某校高中计划举办足球比赛，每个年级有两队，把全校6个队分为甲、乙两组，每组3队，则每个年级的队都不在同一组的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．310253545【答案】B【分析】根据古典概率和组合数计算即可得到答案.【详解】首先计算出总事件数为种，36C 20=而每个年级的队都不在同一组的情况数为种，111222C C C 8⋅⋅=故概率， 82205P ==故选：B.5．已知平面向量，，均为单位向量，且，的取值范围是（ ） a b c 1a b -= ()()23a b a c -⋅- A ． B ．C ．D ．[]4,2-[]22-,[]2,4-[]4,4-【答案】C【分析】由平面向量，，均为单位向量，且，根据向量的减法的几何意义，可判定a b c1a b -= ，与构成等边三角形，，向量夹角为，再化简原式a b ()a b -a b 60 即可求解.()()2313()a b a c c a b -⋅-=-⋅-【详解】由平面向量，，均为单位向量，且，a b c1a b -=根据向量的减法的几何意义，可判定，与构成等边三角形，a b ()a b -所以，向量夹角为，a b 160,11cos 602a b ⋅=⨯⨯=()2()23232313()a b a c a a c a b b c c a b -⋅-=-⋅-⋅+⋅=-⋅- ,1311cos ,c a b =-⨯⨯⨯-所以当与同向时，原式取到最小值； c()a b - 2-当与反向时，原式取到最大值4.c()a b - 故选：C.6．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，()f x R ()21f x +()2f x +[]0,1x ∈.若，则（ ）()x f x a b =+()()031f f +=-A ． B ．1b =-()20231f =-C ．为偶函数 D ．的图象关于对称()f x ()f x 1,02⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据为奇函数，为偶函数，求出函数的周期，并结合()21f x +()2f x +()f x 求出a ，b 的值，即可判断A ；由的周期可求出即可判断B ；()()031f f +=-()f x ()2023f 为偶函数得，结合的周期即可判断C ；由即()2f x +()()22f x f x -+=+()f x (0)(1)10f f +=-≠可判断D.【详解】为奇函数，， ()21f x +Q ()()2121f x f x ∴-+=-+令，则；用替换，则， 0x =()10f =x 2x ()()11f x f x -+=-+又为偶函数，，()2f x + ()()22f x f x ∴-+=+令，则；用替换，则，1x =()()310f f ==1x +x ()()13f x f x -+=+，用替换，则， ()()31f x f x ∴+=-+1x -x ()()2f x f x +=-，则的一个周期为4，()()()42f x f x f x ∴+=-+=()f x 由，解得，故A 错误；(1)0(0)(3)11f a b f f b =+=⎧⎨+=+=-⎩22a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误；()()()20235054330f f f =⨯+==由，得，得为偶函数，故C 正确；()()22f x f x -+=+()()()4f x f x f x -=+=()f x 时，，，不关于对称，故D 错误，[]0,1x ∈ ()22x f x =-∴(0)(1)10f f +=-≠()f x \1,02⎛⎫⎪⎝⎭故选：C.7．设点、分别为椭圆：的左右焦点，点，在椭圆上，若1F 2F C ()222210x y a b a b+=>>M N C ，，则椭圆的离心率为（ ） 1123MF F N = 222MF MN MF =⋅C ABC ．D ．3515【答案】A【分析】根据向量关系得出线段关系，结合椭圆的定义与余弦定理计算即可.【详解】由题意可知，， 1123MF F N = 222cos MF MN M M F ⋅=⋅ 设，13MF x =则， 21222,5,22,23,cos MF F x MN x MF a x NF a N x M MN===-=-=则,，290MF N ∠=()()222222222322253MF NF MN a x a x x a x+=⇒-+-=⇒=∴在中，由余弦定理得12MF F △22222341cos ,525x a a c M e e x a +-==⇒=∴=故选：A8．若关于的不等式对任意的恒成立，则整数的最大值为（ ）x ()e 323xk x x -<+()0,x ∈+∞k A ． B ．0 C ．1 D ．31-【答案】B【分析】参变分离将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求最值可得. 【详解】因为对于任意恒成立，e (3)23x k x x -<+()0,x ∈+∞等价于对于任意恒成立， 323e xk x x <++()0,x ∈+∞令，，则， 3(2)e x x x f x +=+()0,x ∈+∞12()12e 1e e x x x xf x x -'=--=+令，，则，()e 21x g x x =--()0,x ∈+∞()e 2x g x '=-当时，，当时，， (0,ln 2)x ∈()0g x '<(ln 2,)x ∈+∞()0g x '>所以在上单调递减，在上单调递增， ()g x (0,ln 2)(ln 2,)+∞又，，，(0)0g =e 30(1)g =-<2(2)e 50g =->所以在有且仅有一个根，满足，即，()g x ()1,20x 00e 210x x --=0021e xx =+当时，，即，函数单调递减，0(0,)x x ∈()0g x <()0f x '<()f x 时，，即，函数单调递增，0(,)x x ∈+∞()0g x >()0f x '>()f x 所以，000min 00000000222111()()12222331e 112x x x f x f x x x x x x x x +++==+=+=+++++=++由对勾函数可知，即， 00211121121322512x x ++<++++++<0817()35f x <<因为，即，，，所以， 03()k f x <0()3f x k <0()8170<9315f x <<Z k ∈1k ≤当时，不等式为，因为，不合题意；1k =()e 323xx x -<+()e 3123->+所以整数的最大值为0. k 故选：B【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间上有最值，则()f x D （1）恒成立：；； ()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<（2）能成立：；.()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．一组数据5、7、9、11、12、14、15、16、18、20的第80百分位数为17B ．若随机变量，且，则()22,N ξσ ()50.2P ξ>=()150.6P ξ-<<=C ．若随机变量，则方差29,3B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()2D ξ=D ．若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数，则平均数和方差都会发生变化 x 【答案】ABC【分析】利用百分位数的定义可判断A 选项；利用正态密度曲线的对称性可判断B 选项；利用二项分布的方差公式可判断C 选项；利用方差和期望的性质可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，该组数据共个数，且， 10100.88⨯=因此，该组数据的第百分位数为，A 对； 801618172+=对于B 选项，若随机变量，且，()2~2,N ξσ()50.2P ξ>=则，B 对；()()15125120.20.6P P ξξ-<<=->=-⨯=对于C 选项，若随机变量，则，C 对；2~9,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭()219233D ξ=⨯⨯=对于D 选项，在随机变量的每个样本数据上都加个正数， X x 则得到的新数据对应的随机变量为，X x +由期望和方差的性质可得，，()()E X x E X x +=+()()D X x D X +=因此，若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数，则平均数会改变，但方差不变，D 错. x 故选：ABC.10．数列满足，，，为数列的前项和，则（ ） {}n a 11a =112n n n a a +=*N n ∈n S {}n a n A ． B ． C ． D ．414a =7134S =3n S <1n n a a +≤【答案】ACD 【分析】由，，得数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等112n n na a +=212112n n n n n n a a a a a a ++++=={}na 12比数列，由此求解. 【详解】由，,得数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比112n n n a a +=212112n n n n n n a a a a a a ++++=={}n a 12数列，且首项分别为，故，故选项A 正确；1211,2a a ==421124a a =⨯=，故B 选项错误； 7135724611111111()()(1)()2482484S a a a a a a a =++++++=++++++=对于C 中，奇数项通项公式为，1122111()()22n n n a --=⨯=偶数项通项公式为， 122111()()222n nn a -=⨯=当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项n 12n +12n -所以，112211221111[1()][1()]112222[1()]1()311221122n n n n n S +-+-⨯-⨯-=+=⨯-+-<--当为偶数时，奇数项偶数项各有项， n 2n，所以C 选项正确；22221111[1()][1()]112222[1()]1()311221122nnn n n S ⨯-⨯-=+=⨯-+-<--对于D 中，奇数项通项公式为，1122111()()22n n n a --=⨯=偶数项通项公式为， 122111()()222n nn a -=⨯=当为奇数时，为偶数，， n 1n +1122111()()22n n n n a a +-+=<=当为偶数时，为奇数，， n 1n +22111()()22n nn n a a +===所以，所以D 选项正确. 1n n a a +≤故选：ACD.11．将函数的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的()cos f x x =3π4（）倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则函数1ω0ω>()g x ()g x π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭的周期可以是（ ）()g x A ． B ．C ．D ．π3π9π27π【答案】BD【分析】利用三角函数平移问题得到，根据函数在上没有零点，()g x 3πcos 4x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()g x π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭判断的取值范围，进而确定周期的范围，得出答案.ω【详解】向右平移个单位，()cos f x x =3π4得到的图像，3πcos 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭再把图象的横坐标变为原来的（），纵坐标不变，1ω0ω>得函数，即，3πcos 4y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()g x 3πcos 4x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为在上没有零点，()g x π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭所以首先满足，即，， 3ππ222T-≤2πT ≥01ω<<令，即， ()0g x ≠3πππ,Z 42x k k ω-≠+∈所以， π5π,Z 4k x k ωω≠+∈则或， π5π3π,Z 42k k ωω+≥∈π5ππ,Z 42k k ωω+≤∈所以或， 54,Z 2k k ω≥+∈52,Z 63kk ω≤+∈综上，或， 106ω<≤1526ω≤≤所以或，或， 16ω≥6125ω≤≤2π12πω≥12π2π4π5ω≤≤即或. 12πT ≥12π4π5T ≤≤故选：BD12．若函数在其图象上存在不同的两点，，其坐标满足条件：()f x ()11,A x y ()22,B x y0，则称为“柯西函数”，则下列函数中是“柯西函12x x y +()f x 数”的为（ ）A ．（）B ．（） ()e xf x =01x <<()ln f x x =0e x <<C ． D ．()ln xf x x=()sin f x x =【答案】CD【分析】利用向量数量积的坐标表示将问题转化为过原点的直线与函数至少有两个不同交点，一一判断即可.【详解】结合题意可知，12x x y +0OB OA OB ⋅-⋅≤即，当且仅当即或时取得等cos ,0OA OB OA OB OA OB ⋅-⋅≤ cos ,1OA OB =±,0OA OB = π号，即的最大值为0， 12x x y +故“柯西函数”为与过原点的直线至少有两个不同交点的函数. 设，y kx =对于A ，，()()()e 00,1xf x kx k x x -=⇒=∈设，即在上单调递减，不符合题意，故A 错误；()()()2e 1e 0x xx g x g x x x -'=⇒=<()g x ()0,1对于B ，，()()()ln 00,e xf x kx k x x-=⇒=∈设，即在上单调递增，不符合题意，故B 错误； ()()2ln 1ln 0x xg x g x x x -'=⇒=>()g x ()0,e 对于C ， ()()()2ln 00,xf x kx k x x -=⇒=∈+∞设， ()()23ln 12ln x xg x g x x x -'=⇒=令，()(())0,0g x x g x x ''>⇒∈<⇒∈+∞即在上单调递增，在上单调递减，，，()g x ()+∞12eg=()10g =，故当时，符合题意，故C 正确；(),0x g x ∞+→+→10,2e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对于D ，设，即在R 上单调递减， ()()()cos 10g x f x x g x x '=-⇒=-≤()g x 而，故恒成立，()00g =()sin 0x x x ≤≥故结合图象可得当时，有至少两个交点，符合题意，故D 正确；()01y kx k =<<()0g x kx -=故选：CD.三、解答题13．已知函数（）.()()()ln 2221e x f x x m x +=-⋅+-m ∈R (1)当时，求函数的单调区间；0m =()f x (2)已知，若时，恒成立，求的取值范围.()()22e 1x h x x x =+-1x ≥-()()f x h x ≤m 【答案】(1)增区间为，减区间为和； ()2,0-(),2-∞-()0,∞+(2)[]2,1--【分析】（1）求导函数，解不等式即可得单调区间；（2）对式子化简，把恒成立问题转化为恒成立，然后构造函数，()()()212e 2e 10x xx m x -⋅+-+≤求导研究函数的单调性，求出函数的最值即可求解.【详解】（1）当时，，则，0m =()()ln 2221e x f x x x +=-⋅-()()22e x f x x x +'=-令，得，()()22e 0xf x x x +'=->20x -<<令，得或，()()22e 0xf x x x +'=-<<2x -0x >所以函数的增区间为，减区间为和； ()f x ()2,0-(),2-∞-()0,∞+（2）依题意，当时，恒成立，1x ≥-()()f x h x ≤即恒成立，()()()212e 2e 1x xx m x -⋅+≤+即时，恒成立，1x ≥-()()()212e 2e 10x xx m x -⋅+-+≤取代入，则，此时，=1x -()2110e m ⎛⎫-⋅+≤ ⎪⎝⎭1m ≤-取代入，则，此时， 0x =()1220m -⋅-≤2m ≥-所以.21m -≤≤-下面证明，当时，恒成立， 21m -≤≤-()()()212e 2e 10x xx m x -⋅+-+≤构造函数，，()()()()212e 2e 1x xF x x m x =-⋅+-+1x ≥-也即是证明在区间上恒成立. ()0F x ≤[)1,-+∞下面分两种情形进行讨论：情形一：当时，有，1ln2x -≤≤-12e 0x -≥此时：，()()()()()()()2212e 2e 112e 12e 1x x x xF x x m x x x =-⋅+-+≤-⋅--+由于，，，，，1ln2x -≤≤-12e 0x -≥210x -≤e 0x >10x +≥所以，即．()()()212e 12e 10x xx x -⋅--+≤()0F x ≤情形二，当时，，ln2x >-12e 0x -<此时， ()()()()()()()2212e 2e 112e 22e 1x x x xF x x m x x x =-⋅+-+≤-⋅--+设，()()()()()22212e 22e 122e 1x x x t x x x x x x =-⋅--+=--+-则， ()()()222e321e 3xxt x x xx x x ⎡⎤=-+=⋅-+⎣'⎦当时，，此时，0x ≥()e 33x x +≥()()1e 30xt x x x '⎡⎤=⋅-+≤⎣⎦所以在上递减，所以．()t x [)0,∞+()()00t x t ≤=当时，，，递增，ln20x -<<()()e 3xx x ϕ=+()()e 40x x x ϕ=+>'()x ϕ所以， ()()()()ln 211e 3e ln233ln211ln2122x x -+>-+=-=+->所以此时，在上递增，()()1e30xt x x x ⎡⎤=⋅-+>⎣⎦'()t x ()ln2,0-所以，所以当时，. ()()00t x t <=ln2x >-()()0F x t x ≤≤结合情形一和情形二得到：当时，对任意，都有， 21m -≤≤-1x ≥-()0F x ≤综上所述，的取值范围是.m []2,1--【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.14．小徐同学在平面直角坐标系画了一系列直线（）和以点为圆心，为半径x t =0t ≥()1,0F 1t +的圆，如图所示，他发现这些直线和对应同一值的圆的交点形成的轨迹很熟悉．t(1)求上述交点的轨迹的方程；M (2)过点作直线交此轨迹于、两点，点在第一象限，且，轨迹上一点在F M A B A 2AF FB =M P 直线的左侧，求三角形面积的最大值． AB ABP 【答案】(1) 24y x =【分析】（1）先设交点的坐标，再根据已知列方程组，消参即可得轨迹方程；（2）先设直线的方程，再和抛物线联立方程组得两根和及两根积，最后结合向量关系及面积公AB 式求解即可.【详解】（1）设交点为(),x y ()()22211x t x y t =⎧⎪∴⎨-+=+⎪⎩24y x ∴=（2）设直线为，AB ()1y k x =-，，， 211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭10y >20y <， ()241y xy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩204k y y k --= 121244y y k y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，2AF FB =u u u r u u rQ 2212121,21,44y y y y ⎛⎫⎛⎫∴--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12221221242yy y y =-⎧⎪∴⎨-=-⎪⎩2y ∴=1y =，，(2,A ∴1,2B ⎛⎝92AB =直线：，设点，AB )1y x =-()2,2P pp p <<点到直线的距离为P ABd 所以119222ABP S d AB =⋅≤=△15．在中，角、、的对边分别为、、，若． ABC A B C a b c 2A B =(1)求证：； 22a b bc -=(2)若，点为边上一点，，．2cos 3B =D AB 34AD DB =CD =b 【答案】(1)证明见解析 (2) 92b =【分析】（1）由可换成正弦值相等，利用三角恒等变换、正余弦定理求解. 2A B =（2）已知，可求出的值，再由（1）可求出，再由正余弦定理可解三角2cos 3B =sin B sin sin AC 、形.【详解】（1），2A B = sin sin22sin cos A B B B ∴==， 22222a c b a b ac +-∴=⨯()()220b c a b bc ∴---=或220a b bc ∴--=b c =当时，，，即， b c =C B =π222A B C ===2222a b c b bc ∴=+=+22a b bc -=综上22a b bc -=（2），，2cos 3B =sin B ∴=sin sin2A B ==1cos cos29A B ==-()sin sin C A B ∴=+=22cos 27C =，sin sin sin a b c A B C ==362721a b c==设，，，， 36a t =27b t =21c t =9AD t ∴=12DB t =在中： BCD △()()(22223612236123t t t t +-⨯⨯⨯=，16t =92b =16．已知数列的前项和为.{}n a n 122n n n S a +=-(1)求数列的通项公式;{}n a (2)若对一切正整数.不等式恒成立.求的最小值. n 223n n n a λ--≤λ【答案】(1)()12nn a n =+(2) 38【分析】（1）利用与的关系得到,即,再利用等差数列的通项公式求n a n S 122nn n a a -=+11122n n n n a a --=+解即可;（2）根据（1）的结论得到对一切正整数恒成立,分离参数转化为求解数列()22312nn n n λ--≤+n 最小值问题.令,设当时,最大,列不等式组求解即可.232n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭()232n n f n -=n k =()f k 【详解】（1）当时,,得,1n =21122S a =-14a =当时,,2n ≥()()1112222n nn n n n n a S S a a +--==----整理得,122nn n a a -=+等式两边同除得, 2n 11122n n n n a a --=+()2n ≥则数列是以为首项,为公差的等差数列, 2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭122a =1所以, ()2112n nan n =+-=+则.()12nn a n =+（2）不等式对一切正整数恒成立,()22312nn n n λ--≤+n 即对一切正整数恒成立. ()()()()2123232312122n n nn n n n n n n λ+----==≤++n 令,设当时,最大, ()232nn f n -=n k =()f k 则, ()()1121323222132322k k kk k k k k +-⎧+--≥⎪⎪⎨---⎪≥⎪⎩解得, 5722k ≤≤因为, N k *∈所以, 3k =又, ()32333328f ⨯-==则,38λ≥即的最小值为.λ3817．在三棱柱中，侧面，为棱的中点，三角形为等边三角111ABC A B C -AB ⊥11BB C C E 1CC BCE形，．AB =12BB =(1)求证：面面；ABE ⊥11A B E (2)求二面角的平面角的余弦值． 11A EB A --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直判定定理和面面垂直判定定理证明即可； （2）应用空间向量法求二面角余弦值即可.【详解】（1）面，，AB ⊥Q 11BB C C AB BE ∴⊥1AB EB ⊥三棱柱中，，，又为的中点， 111ABC A B C -11//BC B C 112BB CC ==E 1CC 11CE C E ==三角形为等边三角形，，，BCE 1BC CE EB ∴===60BCE ∠=︒11120B C E ︒∴∠=在三角形中，11B C E 22211111112cos1203B E EC B C EC B C =+-⋅⋅︒=在三角形中，，，1BB E 22211134BE B E BB +=+==1BE B E ∴⊥又，，面，面，1AB EB ⊥AB BE B = AB ⊂ABE BE ⊂ABE 面，面,所以面面1B E ∴⊥ABE 1B E ⊂ 11A B E ABE⊥11A B E （2）以点为原点，、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， B 1BC BB 、BA x y z则，，()0,0,0B (A，，，， ()10,2,0B 1,02C ⎫-⎪⎪⎭13,02C ⎫⎪⎪⎭1,02E ⎫⎪⎪⎭因为侧面，,侧面平面，AB ⊥11BB C C 11//AB A B 11A B ∴⊥11BB C C BE ⊂，11BB C C ，,,，11A B BE ∴⊥1BE B E ⊥ 1111A B B E B ⋂=面，面，面， 11A B ⊂11A B E 1B E ⊂11A B E BE ∴⊥11A B E 面的法向量为，11A BE 1,02BE ⎫=⎪⎪⎭设面的法向量为，1AB E (),,n x y z =，1102302n AE x y n B E y ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩ 所以n = 设二面角的平面角为 11A EB A --θ为锐角，cos n n BE BEθθ⋅==cos θ∴=18．博鳌亚洲论坛年会员大会于月日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的名服务志2023328100愿者培训后，组织了一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前名的参赛者进行奖励．30(1)试确定受奖励的分数线；(2)从受奖励的以下和的人中采取分层抽样的方法从中选人在主会场服务，组织者90[]90,1003010又从这人中任选人为贵宾服务，记其中成绩在分以上（含分）的人数为，求的分布列1059090ξξ与数学期望． 【答案】(1)81(2)分布列见解析，数学期望 ()2E ξ=【分析】（1）根据频率分布直方图首先确定奖励分数线所在区间，从而构造方程求得结果； （2）根据分层抽样原则确定人中，分数在分以下和分以上（含分）的人数，从而得到10909090所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根ξξ据数学期望公式可计算得到期望值.【详解】（1）由频率分布直方图知，竞赛成绩在分的人数为； []90,1000.0121010012⨯⨯=竞赛成绩在的人数为，受奖励分数线在之间； [)80,900.021010020⨯⨯=∴[)80,90设受奖励分数线为，则，解得：，x ()900.021000.0121010030x -⨯⨯+⨯⨯=81x =受奖励分数线为．∴81（2）由（1）知：受奖励的人中，分数在分的人数为，则分数在分以下的人数为30[]90,1001290；181230=-从受奖励的人中分层抽样选人在主会场服务，其中分数在分以下的有人，分∴3010901810630⨯=数在的有人， []90,1001210430⨯=人中成绩在分以上（含分）的人数的可能取值为，5∴9090ξ0,1,2,3,4；； ()5064510C C 610C 25242P ξ∴====()4164510C C 6051C 25221P ξ====；；()3264510C C 120102C 25221P ξ====()2364510C C 6053C 25221P ξ====；()1464510C C 614C 25242P ξ====的分布列为：ξ∴ξ 0 1 2 34P 1425211021521142数学期望为. ∴()1510510123424221212142E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=四、填空题19．在四面体中，，，、分别为、ABCD AB CD==5AC BD ==AD BC ==E F AD 的中点．若用一个与直线垂直且与四面体各面均相交的平面去截该四面体，则得到的多BC EF α边形截面面积的最大值为______． 【答案】10【分析】根据题意，将四面体补形为长方体，然后即可得到截面，再结合基本不等式即可得到截面积的最大值.【详解】由题意，将四面体补成一个长方体，设长方体的长宽高分别为，,,x y z 则，解得，则，222222413425x y x z y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩543x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩5,4,3HB HC HA ===由已知条件可得，，由于，所以可得截面为平行四边形，由EF BC ⊥EF AD ⊥EF α⊥KLMN ，可得，由，可得， CB KL //KL AK BC AC=//KN AD NK CKAD AC =所以，所以可得1NK KL AK CKAD BC AC AC+=+=KL KN +=设异面直线与所成角为，则，BC AD θsin θsin sin HFB LKN =Ð=Ð在中，由余弦定理可得，HFB 2229cos 241HF FB HB HFBHF BF +-∠===-⋅所以， 40sin 41θ==则，40sin 1041MNKLS NK KL NKL =⋅∠≤=当且仅当. NK KL ==所以多边形截面的最大面积为.10故答案为：.1020．在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：，动点在直线xOy O 221x y +=1O ()2244x y -+=P 上，过点分别作圆，的切线，切点分别为，，若满足的点有0-=x b P O 1O A B 2PB PA =P 且只有个，则实数的值是______． 1b 【答案】或 4203-【分析】，可求点2PB PA =P轨迹方程，又在直线上，结合圆心到直线的距离等于半径可求的值. P 0-=x b b 【详解】由题意圆：，则圆心，， O 221x y +=()0,0O 11r =圆：，则圆心，，设，1O ()2244xy -+=()14,0O 22r =(),Px y=，，()2222(4)4x y x y ∴-+=+22816033x y x ∴++-=即，圆心坐标为，半径为，2246439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭83动点在直线上，有且只有个点满足，P 0-=x b 1P 2PB PA =直线与圆相切，∴22816033x y x ++-=圆心到直线的距离，或， ∴83d 203b ∴=-4b =即实数的值为或 b 4203-故答案为：或 4203-21．三次函数在其对称中心处的切线的斜截式方程为______．()323f x ax x b =++()1,2-【答案】31y x =--【分析】由的对称中心是，可得，根据，设关于()323f x ax x b =++()1,2-1b a -=-()0f b =()0,b 对称点为，得出，即可得出，再利用切线方程的求解方法求解即可. ()1,2-(),m n 44b a =-10a b =⎧⎨=⎩【详解】因为的对称中心是，()323f x ax x b =++()1,2-所以，， 32a b -++=1b a -=-又，()0f b =设关于对称点为， ()0,b ()1,2-(),m n 则，，，， 012m +=-2m =-22n b+=4n b =-所以在图像上， ()2,4b --()f x 则，，4834b a b -=-+⨯+44b a =-由，解得，441b a b a =-⎧⎨-=-⎩10a b =⎧⎨=⎩，， ()323f x x x ∴=+()236f x x x '=+，()1363f '∴-=-=-则切线方程为，. ()231y x -=-+31y x =--故答案为：31y x =--22．已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中的系数为______．21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+4x 【答案】10【分析】由二项展开式的各项系数和为32，求出，用通项公式求解即可. 5n =【详解】因为的二项展开式的各项系数和为32，21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+令得：，解得，所以.1x =232n=5n =521x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭通项公式为：， ()521031551C C --+⎛⎫== ⎪⎝⎭rrrr rr T xxx 令，得：，1034r -=2r =所以的系数为：.4x 25C 10=故答案为：10。

江苏省南通市2020届高三第四次调研测试数学试题2020．6第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{﹣3，﹣1，1，3}，B ＝{}2230x x x −−=，则AB ＝ ．2．已知复数z 满足(z ﹣2)i ＝4，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ．3．某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了100名女生的体重，所得数据均在区间[48，58]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100名女生中，体重在区间[50，56]的女生数为 ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的值为﹣7，则输入的x 的值为 ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2216416x y −=上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，则点M 到另一个焦点的距离为 ．6．已知区域A ＝{}()2, 2x y x y ≤≤，和B ＝{}()0, 0, 2x y x y x y >>+≤，．若在区域A 内随机取一点，则该点恰好落在区域B 内的概率为 ． 7．若实数x ，y 满足x ＋3y ＝4，则28xy+的最小值为 ． 8．已知数列{}n a 满足112n n n n a a a a +++=−，且119a =，则6a 的值为 ．9．已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数， 且(2)2(8)1f f −=+，则(2020)f的值为 ．10．已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体．著名数学家欧拉研究并证明了多面体的顶点数(V)、棱数(E)、面数(F)之间存在如下关系：V ＋F ﹣E ＝2．利用这个公式，可以证明柏拉图多面体只有5种，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体．若棱长相等的正六面体和正八面体（如图）的外接球的表面积分别为S 1，S 2，则12S S 的值为 ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线l：0x +=与圆C ：224x y += 的两个交点，当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为 ．12．如图，四边形ABCD 是以AB 为直径的圆的内接四边形．若AB ＝2，AD ＝1，则DC ⋅ AB 的取值范围 是 ．13．已知函数230()20x x f x x x x <⎧=⎨−≥⎩，，，则函数(()24)y f f x x =−+的不同零点的个数为．14．已知点G 是△ABC 的重心，且GA ⊥GC ，若111tan A tan C+=，则tanB 的值为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P—ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝10，BC ＝6，AC ＝PC ＝8，E ，F 分别是PA ，PC 的中点，求证：（1）AC ∥平面BEF ； （2）PA ⊥平面BCE ．已知函数2()2cos ()cos(2)46f x x x ππ=+++，x ∈R ．（1）求()f x 的最小值；（2）在△ABC 中，0＜A ＜3π，且1(A)2f =−，若AC ＝2，BC B 的大小．17．（本小题满分14分）如图，在市中心有一矩形空地ABCD ，AB ＝100m ，AD ＝75m ．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．（1）若假山区域面积为400m 2，求喷泉区域面积的最小值； （2）若MN ＝100m ，求假山区域面积的最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22195x y +=与C 2：222136x y b +=(0＜b ＜6)的离心率相等．椭圆C 1的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 1交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆C 2交于点C ，椭圆C 2的右顶点为D ．（1）求椭圆C 2的标准方程；（2）若△ABO AB 的方程； （3）若AF ＝2BF ，求证：四边形AOCD 是平行四边形．已知函数()(1ln )f x x x m =++(m ∈R)． （1）求曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程；（2）设()()f x g x x x=+，求函数()y g x =的单调区间； （3）若()f x mx ≥对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求满足题意的所有整数m 的取值集合． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n n nS b a =(n N *∈)，若{}n b 是公差不为0的等差数列，且2711b b b =．（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n a 是等差数列； （3）记2nn n a S c =，若存在1k ，2N k *∈（12k k ≠），使得12k k c c =成立，求实数1a 的取值范围．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝1 1 4a ⎡⎤⎢⎥−⎣⎦的一个特征值为2． （1）求实数a 的值；（2）求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．若直线l 被椭圆C所截得的弦长为5，求实数m的值．C ．选修4—5：不等式选讲若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝7，求证：2224936a b c ++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知直四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1的棱长均相等，且∠BAD ＝60︒，M 是侧棱DD 1的中点，N 是棱C 1D 1上的点．（1）求异面直线BD 1与AM 所成角的余弦值； （2）若二面角M—AC—N 的大小为4π，试确定点N 的位置．23．（本小题满分10分）设230123(12)kk k x a a x a x a x a x +=+++++（2k ≥，N k *∈）． （1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3：8，求k 的值；（2）设222n n k +−=（N n *∈），且各项系数0a ，1a ，2a ，…，k a 互不相同．现把这k ＋1个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n 列n 个数．设i t 是第i 列中的最小数，其中1i n ≤≤，且i ，n N *∈．记123n t t t t >>>>的概率为n P ．求证：12(1)n P n >−！．江苏省南通市2020届高三第四次调研测试数学试题参考答案1．{﹣1，3} 2．2 3．75 4．1 5．17 6．187．8 8．279．13 10．32 11．223(()122x y ++−= 12．(0，3) 13．5 14．1215．16．17．解：18．19．20．21．ABC22．23．。

,.江苏省南师附中、天一、淮中、海门中学四校联考2017届高三（下）数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知全集I={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={2，3，6}，则（∁I A）∩B= ．2．（5分）复数1+的实部为．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是．4．（5分）某校在市统测后，从高三年级的1000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示．则估计该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的人数为．5．（5分）若双曲线=1的一条渐近线过点（2，1），则双曲线的离心率为．6．（5分）现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则两位数为偶数的概率为．7．（5分）已知点P（x，y）满足，则z=的最大值为．8．（5分）设正项等比数列{a n}满足2a5=a3﹣a4．若存在两项a n、a m，使得a1=4，则m+n的值为．9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AA1中点，Q为CC1的中点，AB=2，则三棱锥B﹣PQD的体积为．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣2x+1，不等式f（x2﹣3）＞f（2x）的解集用区间表示为．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线x﹣y+m=0（m＞0）与圆x2+y2=8交于不同的两点A，B，若圆上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则正数m的值为．12．（5分）已知P是曲线y=x2﹣ln x上的动点，Q是直线y=x ﹣1上的动点，则PQ的最小值为．13．（5分）矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足PA=3，PC=4．矩形对角线AC=6，则= ．14．（5分）在△ABC中，若+=3，则sin A的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知f（x）=2sin x cos x+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值，以及该函数取最大值时x的取值集合；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，且a=1，b=，f（A）=2，求角C．16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每条棱长均相等，D为棱AB的中点，E为侧棱CC1的中点．（1）求证：OD∥平面A1BE；（2）求证：AB1⊥平面A1BE．,.17．（14分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点（0，1）和（1，），圆O：x2+y2=b2（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与圆O相切，切点在第一象限内，且直线l与椭圆C交于A、B两点，△OAB的面积为时，求直线l的方程．18．（16分）如图，在某商业区周边有两条公路l1和l2，在点O处交汇；该商业区为圆心角、半径3km的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路AB，与l1，l2分别交于A，B，要求AB与扇形弧相切，切点T不在l1，l2上．（1）设OA=a km，OB=b km试用a，b表示新建公路AB的长度，求出a，b满足的关系式，并写出a，b的范围；（2）设∠AOT=α，试用α表示新建公路AB的长度，并且确定A，B 的位置，使得新建公路AB的长度最短．19．（16分）设a＞0且a≠1函数f（x）=a x+x2﹣x ln a﹣a（1）当a=e时，求函数f（x）的单调区间；（其中e为自然对数的底数）（2）求函数f（x）的最小值；（3）指出函数f（x）的零点个数，并说明理由．,.20．（16分）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于3，则称这个数列为“S型数列”．（1）已知数列{a n}满足a1=4，a2=8，a n+a n﹣1=8n﹣4（n≥2，n∈N*），求证：数列{a n}是“S型数列”；（2）已知等比数列{a n}的首项与公比q均为正整数，且{a n}为“S型数列”，记b n=a n，当数列{b n}不是“S型数列”时，求数列{a n}的通项公式；（3）是否存在一个正项数列{c n}是“S型数列”，当c2=9，且对任意大于等于2的自然数n都满足（﹣）（2+）≤+≤（﹣）（2+）？如果存在，给出数列{c n}的一个通项公式（不必证明）；如果不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，A，B，C是圆O上不共线的三点，OD⊥AB于D，BC和AC分别交DO的延长线于P和Q，求证：∠OBP=∠CQP．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知a，b∈R，矩阵A=，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=，属于特征值5的一个特征向量为α2=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在极坐标系下，圆C：p=2cos（）与直线l：ρsin（）=，点M为圆C上的动点．求点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知x，y，z均为正数．求证：．三、解答题（共2小题，满分10分）25．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=2，AA1=1，直线BD 与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点．（1）求异面直线AE与BF所成角的余弦值；（2）求平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值．,.26．（10分）设集合S={1，2，3，…，n}（n≥5，n∈N*），集合A={a1，a2，a3}满足a1＜a2＜a3且a3﹣a2≤2，A⊆S（1）若n=6，求满足条件的集合A的个数；（2）对任意的满足条件的n及A，求集合A的个数．,.【参考答案】一、填空题1．{2，6}【解析】因为全集I={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，所以∁I A={2，4，6}，又B={2，3，6}，则（∁I A）∩B={2，6}，故答案是：{2，6}．2．【解析】1+=，则复数1+的实部为：．故答案为：．3．6【解析】模拟程序的运行，可得n=1，执行循环体，n=2不满足条件42＞2017，执行循环体，n=3不满足条件43＞2017，执行循环体，n=4不满足条件44＞2017，执行循环体，n=5不满足条件45＞2017，执行循环体，n=6满足条件46＞2017，退出循环，输出n的值为6．故答案为：6．4．660【解析】由样本频率分布直方图，知：该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的频率为：（0.02+0.026+0.02）×10=0.66，∴估计该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的人数为：1000×0.66=660．故答案为：660．5．【解析】双曲线=1的一条渐近线过点（2，1），可得a=2b，即：a2=4b2=4c2﹣4a2，e＞1，解得e=．故答案为：；6．【解析】从这5张卡片中随机同时抽取两张，用抽出的卡片上的数字组成的两位数为：12；13；14；15；21；23；24；25；31；32；34；35；41；42；43；45；51；52；53；54，共20个，偶数为：12，14，24，32，34，42，52，54，共8个，故两位数是偶数的概率是．故答案为7．3【解析】画出满足条件的平面区域，如图示：由z=表示过平面区域的点（x，y）与（0，0）的直线的斜率，由，得A（1，3），显然直线过A（1，3）时，z取得最大值，z==3，故答案为：3．8．6【解析】正项等比数列{a n}满足2a5=a3﹣a4．则2a3q2=a3（1﹣q），可得2q2+q﹣1=0，q＞1，解得q=．若存在两项a n、a m，使得a1=4，∴a1=4，∴n+m=6．故答案为：6．9．【解析】如图，连接PQ，则PQ∥AC，取PQ中点G，连接BG，DG，,.可得BG⊥PQ，DG⊥PQ，又BG∩DG=G，则PQ⊥平面BGD，在Rt△BPG中，由BP=，PG=，可得BG=，同理可得DG=，则△BDG边BD上的高为，∴，则．故答案为：．10．（﹣1，3）【解析】根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（0）=0，当x＜0时，f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，为减函数，则当x＞0时，f（x）也为减函数，综合可得f（x）在R上为减函数，若f（x2﹣3）＞f（2x），则有x2﹣3＜2x，解可得﹣1＜x＜3，即不等式f（x2﹣3）＞f（2x）的解集为（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．11．2【解析】根据题意画出图形，连接OA，OB，作OD垂直于AB于D 点，因为△ABC为等边三角形，所以∠AOB=120°，由余弦定理知：AB=2，故BD=，所以OD=，所以O（0，0）到直线AB的距离=，解得m=±2，∵m是正数，∴m的值为2故答案为2．12．【解析】函数的定义域为（0，+∞），由y=x2﹣ln x的导数为y′=x﹣，令x﹣=，可得x=2，所以切点为（2，1﹣ln2），它到直线y=x﹣1即3x﹣4y﹣4=0的距离d==．即点P到直线y=x﹣1的距离的最小值为．故答案为：．13．﹣【解析】由题意可得=（+）•（+）=+•+ +=9+•（+）+0=9+=9+3•6•cos（π﹣∠PAC）=9﹣18•=9﹣18•=﹣，故答案为：．14．【解析】在△ABC中，+=3，∴．∴，即，∴．根据正弦定理得：．∴a2=3bc cos A．又根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣2bc cos A=3bc cos A．∴．当且仅当b=c时等号成立，∴．∴，即，∴．故答案为：二、解答题,. 15．解：（1）f（x）=2sin x cos x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2≤2．当=1，即2x+=+2kπ，解得x=kπ+，k∈Z时取等号．∴f（x）的最大值为2，该函数取最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．（2）f（A）=2，∴2sin=2，解得A=kπ+，k∈Z．∵a＜b，∴A为锐角，∴A=．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc cos A，∴12=+c2﹣2c，化为：c+1=0，解得c=．由正弦定理可得：，可得sin C==×=．∴C=15°，75°，或105°．16．解：（1）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD，因为O为AB1的中点，D为AB的中点，所以OD∥BB1，且又E 是CC1中点，则EC∥BB1且，所以EC∥OD且EC=OD．所以四边形ECDO为平行四边形，所以EO∥CD．又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，则CD∥平面A1BE（2）因为正三棱柱，所以BB1⊥平面ABC．因为CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD．由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB．所以CD⊥平面A1ABB1由（1）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A1ABB1所以EO⊥AB1．因为正三棱柱各棱长相等，所以侧面是正方形，所以AB1⊥A1B．又EO∩A1B=O，EO⊂平面A1EB，A1B⊂平面A1EB．所以AB1⊥平面A1BE．17．解：（1），椭圆方程为：（2）因为切点在第一象限，可设直线l为y=kx+m（k＜0，m＞0），联立方程，得（x1，x2分别为A、B横坐标）AB长：=∴∴∴m==，直线l为18．解：（1）在△AOB中，OA=a km，OB=b km，；由余弦定理得：=a2+b2﹣ab；所以；如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，,.则，所以直线AB的方程为，即；因为AB与扇形弧相切，所以，即；a，b∈（3，6）（2）因为OT是圆O的切线，所以OT⊥AB．在Rt△OTA中，AT=3tanα；在Rt△OTB中，；所以，AB=AT+TB=3tanα+3tan（﹣α）（0＜α＜）；所以，AB=3（tanα+）=；设，u∈（1，4），则，当且仅当u=2，即时取等号；此时km．所以，当km时，新建公路AB的长度最短．19．解：（1）当a=e时，f（x）=e x+x2﹣x﹣e，f'（x）=e x+2x﹣1．设g（x）=e x+2x﹣1，则g（0）=0，且g'（x）=e x+2＞0．所以，g（x）在（﹣∞，+∞）上单增，当x＞0时，g（x）＞g（0）=0；当x＜0时，g（x）＜g（0）=0．即当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0．综上，函数f（x）的单增区间是（0，+∞），单减区间是（﹣∞，0）．（2）f'（x）=a x ln a+2x﹣ln a=（a x﹣1）ln a+2x①当a＞1，若x＞0，则a x＞1，ln a＞0，所以f'（x）＞0若x＜0，则a x＜1，ln a＞0，所以f'（x）＜0②当0＜a＜1，若x＞0，则a x＜1，ln a＜0，所以f'（x）＞0若x＜0，则a x＞1，ln a＜0，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，0）上减，（0，+∞）上增．所以f（x）min=f（0）=1﹣a，（3）由（2）得：a＞0，a≠1，f（x）min=1﹣a．（ⅰ）若1﹣a＞0即0＜a＜1时，f（x）min=1﹣a＞0，函数f（x）不存在零点．（ⅱ）若1﹣a＜0即a＞1时，f（x）min=1﹣a＜0．f（x）的图象在定义域是不间断的曲线，f（x）在（﹣∞，0）上单减，在（0，+∞）上单增．f（a）=a a+a2﹣a ln a﹣a＞a2﹣a ln a﹣a=a（a﹣ln a﹣1）．令t（a）=a﹣ln a﹣1，（a＞1），，所以t（a）在（1，+∞）递增；所以t（a）＞t（1）=0．所以f（a）＞0．故f（x）在（0，a）有一个零点．又f（﹣a）＞a2﹣a＞0，故f（x）在（﹣a，0）有一个零点．所以f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）各有一个零点，即f（x）有2个零点．综上：①0＜a＜1时，函数f（x）不存在零点；②a＞1时，函数f（x）有2个零点．20．（1）证明：由题意，a n+1+a n=8n+4 ①，a n+a n﹣1=8n﹣4 ②，②﹣①得a n+1﹣a n﹣1=8所以a2n=8n，a2n﹣1=8n﹣4，因此a n=4n，从而a n﹣a n﹣1=4＞3 所以，数列{a n}是“S型数列”（2）由题意可知a1≥1，且a n﹣a n﹣1=4＞3，因此{a n}单调递增且q≥2而（a n﹣a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣a n﹣2）=a n﹣1（q﹣1）﹣a n﹣2（q﹣1）=（q﹣1）（a n﹣1﹣a n﹣2）＞0所以{a n﹣a n﹣1}单调递增，又b n=a n，因此{b n﹣b n﹣1}单调递增又{b n}不是“S型数列”所以，存在n0，使得﹣≤3，所以b2﹣b1≤﹣≤3，即a1（q﹣1）≤4又因为a2﹣a1＞3，即a1（q﹣1）＞3且a1，q∈N+，,.所以a1（q﹣1）=4从而a1=4，q=2或a1=2，q=3或a1=1，q=5∴a n=2n+1或或（3）可取a n=（n+1）2，验证符合（﹣）（2+）≤+≤（﹣）（2+）条件，而且a n﹣a n﹣1=2n+1＞321．证明：连接OA，因为OD⊥AB，OA=OB，所以，又，所以∠ACB=∠DOB，又因为∠BOP=180°﹣∠DOP，∠QCP=180°﹣∠ACB，所以∠BOP=∠QCP，所以B，O，C，Q四点共圆，所以∠OBP=∠CQP．22．解：由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=，得：=，∴3a﹣b=3，由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α2=，得：，∴a+b=5，解得，即A=．∵→→→→．∴A的逆矩阵A﹣1=．23．解：圆C：p=2cos（）即x2+y2+2y=0，x2+（y+1）2=1，表示圆心为（0，﹣1），半径等于1的圆．直线l：ρsin（）=，即ρcosθ+ρsinθ﹣2=0，即x+y﹣2=0，圆心到直线的距离等于=，故圆上的动点到直线的距离的最大值等于+1．24．证明：因为x，y，z都是为正数，所以①同理可得②③当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得：三、解答题25．解：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知AB=2，AA1=1，可得A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1）．又AD⊥平面AA1B1B，从而BD与平面AA1B1B所成的角为∠DBA=30°．又AB=2，AE⊥BD，AE=1，AD=，由已知得得E（，，0），D（0，，0）=（﹣1，0，1），，∴，即异面直线AE、BF所成的角的余弦值为．（2）平面AA1B的一个法向量为=（0，1，0）．设=（x，y，z）是平面BDF的一个法向量，．由，取．∴所以cos=．平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值为．26．解：（1）n=6时，S={1，2，3，4，5，6}；∵a3﹣a2≤2；,.∴a3﹣a2=2，或a3﹣a2=1；当a3﹣a2=2时，a2和a3可分别为2和4，3和5，4和6；此时对应的a1分别有1个，2个和3个；当a3﹣a2=1时，a2和a3可分别取2和3，3和4，4和5，5和6；对应的a1分别有1个，2个，3个和4个；∴集合A的个数=1+2+3+1+2+3+4=16个；（2）当n≥5时，若a3﹣a2=2，则a2和a3可分别为2和4，3和5，…，n﹣2和n；此时，对应的a1可分别为1个，2个，…，n﹣3个，共有个；同理，a3﹣a2=1时，a1共有个；∴集合A的个数为：==（n﹣2）2，n≥5，n∈N*．。

2020届江苏省泰州中学2017级高三下学期4月模拟考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、填空题：（共14小题,每题5分）1.已知集合{|02}A x x =<<,{|1}B x x =>,则A B =______【答案】{|12}x x <<【解析】直接由集合的交集运算,即可得到本题答案.【详解】因为集合{|02}A x x =<<,{|1}B x x =>,所以{|12}A B x x =<<.故答案为：{|12}x x <<2.已知i 为虚数单位,则复数11z i=-在复平面内对应的点位于第_______象限 【答案】一【解析】先化简得到z ,即可求出本题答案.【详解】由题,得11111(1)(1)22i z i i i i +===+--+, 所以复数z 在复平面对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭,位于第一象限. 故答案为：一3.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况,现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速,所得数据均在区间[]40,80中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的200辆汽车中,时速在区间[)40,60内的汽车有______辆.【答案】80试题分析：时速在区间[40,60)内的汽车有200(0.010.03)1080.⨯+⨯=4.袋中装有5个大小相同的球,其中3个黑球,2个白球,从中一次摸出2个球,则摸出1个黑球和1个白球的概率等于______．【答案】35分析：通过枚举法写出摸出2个球的所有情况,再找出摸出1个黑球和1个白球的情况,由此能求出概率.详解：设3个黑球用A,B,C 表示；2个白球用甲,乙表示,摸出2个球的所有情况：（A,B ）、（A,C ）、（A,甲）、（A,乙）、（B,C ）、（B,甲）、（B,乙）、（C,甲）、（C,乙）、（甲,乙）共10种,其中摸出1个黑球和1个白球的情况有6种,所以,摸出1个黑球和1个白球的概率为63105P ==. 故答案为35. 5.在一次知识竞赛中,抽取5名选手,答对的题数分布情况如表,则这组样本的方差为______． 答对题数4 8 9 10 人数分布1 12 1【答案】225 【解析】根据表中数据计算平均数和方差即可．【详解】根据表中数据,计算平均数为()1x 48921085=⨯++⨯+=,。

2020届江苏省苏锡常镇四市2017级高三一调考试数学试题（含附加题）数学I一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知i 为虚数单位,复数11i z =+,则z ＝ ． 2．已知集合A ＝{}01x x ≤≤,B ＝{}13x a x -≤≤,若A I B 中有且只有一个元素,则实数a 的值为 ．3．已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4,则该组数据的方差是 ．4．在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22214x y a -=(a ＞0)的一条渐近线方程为23y x =,则a ＝ ． 5．甲乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,乙获胜的概率是13,则乙不输的概率是 ．6．右图是一个算法的流程图,则输出的x 的值为 ．7．“直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”是“a ＝2”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,19a =,95495S S -=-,则n a ＝ ． 9．已知点M 是曲线y ＝2ln x ＋x 2﹣3x 上一动点,当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时,该切线的方程为 ．10．已知3cos 24sin()4παα=-,α∈(4π,π),则sin 2α＝ ． 11．如图在矩形ABCD 中,E 为边AD 的中点,AB ＝1,BC ＝2．分别以A,D 为圆心,1为半经作圆弧EB,EC,将两圆弧EB,EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周,所形成的几何体的体积为 ．12．在△ABC 中,(AB AC λ-u u u r u u u r )⊥BC uuu r (λ＞1),若角A 的最大值为6π,则实数λ的值是 ．13．若函数()x f x a =(a ＞0且a ≠1)在定义域[m ,n ]上的值域是[m 2,n 2](1＜m ＜n ),则a 的取值范围是 ．14．如图,在△ABC 中,AB ＝4,D 是AB 的中点,E 在边AC 上,AE ＝2EC,CD 与BE 交于点O,若OB OC,则△ABC 面积的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）在△ABC 中,角A,B,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,且满足cos A sin B 0b =． （1）求A ；（2）已知a ＝＝3π,求△ABC 的面积．。

江苏省南通市2020届四校联盟高三数学模拟测试卷一、填空题（共14题,每题5分,计70分.不写解答过程,把答案写在答题纸指定位置上） 1．已知集合{}A |3|1x x =-≤，{}2B 540x x x =-+≥，则A B =I ▲ ．{}42.复数21z i =-，（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为 ▲ ．1i - 3．设向量a r ＝(l ，k )，b r ＝(﹣2，k ﹣3)，若a r ∥b r，则实数k 的值为 ▲ ．14．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．10115．函数f(x) =)34log 21-x （的定义域为 ▲.(-3/4,1]6．已知命题p ：－1<x －a <1，命题q ：(x －4)(8－x )>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ．[5，7]7．在正四棱锥S ﹣ABCD 中，点O 是底面中心，SO ＝2，侧棱SA ＝2，则该棱锥的体积为 ▲ ．32/38．若函数()cos(2)f x x θ=+(0θπ<<)的图象关于直线12x π=对称，则θ＝▲ ．56π 9．已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率12e =，A 、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+的值为▲ ．1710．在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则PA PBPB PC⋅⋅uu u r uu u ruu u r uuu r = ▲ ． 12- 11.如图，将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表.已知表中的第一列125,,,a a a L 构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列，若3865,524==a a ，则d = ▲ ． 312．己知x ∈(0，3)，则28132x y x x-=+-的最小值为 ▲ ．7213.若函数f (x) = x 3-ax 2-+x , x >0存在零点，则实数a 的取值范围为▲.[2,+∞) 14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件： ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ．(4,2)--二、解答题（共6小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是菱形，点P 是侧棱C 1C 的中点．（1）求证：AC 1∥平面PBD ； （2）求证：BD ⊥A 1P ．（1）证明：连结AC 交BD 于O 点，连结OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO OC =．又因为点P 是侧棱1C C 的中点，所以1CP PC =．在1ACC ∆中，11C PAO OC PC==, 所以1//AC OP ．………………4分又因为OP PBD ⊂面，1AC PBD ⊄面， 所以1//AC 平面PBD ．………………7分 （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱， 所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，PD 1C 1B 1A 1D C BAOPD 1C 1B 1A 1D CBA又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又1AC CC C =I ，111,AC AC CC AC ⊂⊂面面,所以1BD AC ⊥面．………………10分 又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，因为111A ACC A ∈面， 所以11A P AC ⊂面，所以1BD A P ⊥．………………14分16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C 的值；（2）若C －B ＝π4，求sin A 的值．解：（1）解法1：在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝45．………………2分因为c ＝2a ，所以(c2)2＋c 2－b 22c ×c 2＝45，即b 2c 2＝920，所以b c ＝3510．………………4分又由正弦定理得sin B sin C ＝b c ，所以sin B sin C ＝3510．………………6分解法2：因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35．………………2分因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin(B ＋C )＝65cos C ＋85sin C ，即－sin C ＝2cos C ．………………4分又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝255，所以sin B sin C ＝3510．………………6分（2）因为cos B ＝45，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝725．………………8分又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝2425．………………10分因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－(B ＋C )＝3π4－2B ，所以sin A ＝sin(3π4－2B )＝sin 3π4cos2B －cos 3π4sin2B ＝31250．………………14分 17．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x yC a b a b +=＞＞的右焦点为()1,0F ，且过点3(1,)2．过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点P 在椭圆上，且满足()0OA OB tOP t +=u u u r u u u r u u u r＞．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若t =AB 的方程． .解：（1）由题意可知，1c =，且221914a b+=，又因为222a b c =+，解得2,a b ==，………2分所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=………4分； （2）若直线AB 的斜率不存在，则易得33(1,),(1,)22A B -，(2,0)2OA OB OP ∴+==u u u r u u ur ，得P ，显然点P 不在椭圆上，舍去………5分； 因此设直线l 的方程为()1y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=………7分，因为21,22434k x k ±=+，所以2122834k x x k +=+………8分，则由()()1212,k 2OA OB x x x x +=++-=u u u r u u u r u ur ，得1212(2))P x x x x ++-………10分将P 点坐标代入椭圆C 的方程，得22212123()4(2)6x x k x x +++-=()*………11分（第17题）;将2122834k x x k +=+带入等式()*得234k =，2k ∴=±………12分， 因此所求直线AB的方程为)12y x =±-………14分 设直线l 的方程为1x my =+求解亦可18．（16分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB 为地面，,CD CE 为路灯灯杆，CD AB ⊥，2π3DCE ∠=，在E 处安装路灯，且路灯的照明张角π3MEN ∠=．已知4m,2m CD CE ==． （1）当,M D 重合时，求路灯在路面的照明宽度MN ； （2）求此路灯在路面上的照明宽度MN 的最小值． 解：（1）当,M D 重合时， 由余弦定理知，ME DE ==，所以222cos 2CD DE CE CDE CD DE +-∠==⋅……2分，因为π2CDE EMN ∠+∠=，所以sin cos EMN CDE ∠=∠=，因为cos 0EMN ∠＞，所以cos 14EMN ∠==，……4分 因为π3MEN ∠=，所以2πsin sin 3ENM EMN ⎛⎫∠=-∠⎪⎝⎭2π2πsincos cos sin 33EMN EMN =∠-∠=……6分 ∴在EMN ∆中，由正弦定理可知，sin sin MN EMMEN ENM=∠∠，解得MN =……8分； （2）易知E 到地面的距离2ππ42sin 5m 32h ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，……10分 由三角形面积公式可知，11π5sin 223EMN S MN EM EN =⋅⋅=⋅⋅△，MN EM EN =⋅,……12分（第18题）又由余弦定理可知，222π2cos 3MN EM EN EM EN EM EN =+-⋅⋅⋅≥，……13分当且仅当EM EN =时，等号成立，所以2MN MN，解得3MN ≥……14分； 答：（1）路灯在路面的照明宽度为m 2； （2）照明宽度MN的最小值为m 3.……16分 19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 3231)(23+-=（R x ∈）的图象为曲线C ． （1）求曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线C 上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C 同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．【解】（1）34)(2+-='x x x f ，则2()(2)11k f x x '==--≥-， ----------4分（2）由（1）可知，⎪⎩⎪⎨⎧-≥--≥111kk ---------------------------------------------------------6分得：(][)+∞+-∞-∈,22)3,1(22,Y Y x ；-------------------------------9分（3）设存在过点A ),(11y x 的切线曲线C 同时切于两点，另一切点为B ),(22y x ，21x x ≠，过A ),(11y x 的切线方程是： )232()34(2131121x x x x x y +-++-=，-----------------11分同理：过B ),(22y x 的切线方程是)232()34(2232222x x x x x y +-++-=， 则有：3434222121+-=+-x x x x ，得421=+x x ，----------------------13分 又由22322131232232x x x x +-=+-， 即0))((2))((32212122212121=+-+++--x x x x x x x x x x 04)(31222121=+++-x x x x ，即012)(22211=-++x x x x 即0124)4(222=-+⨯-x x ，044222=+-x x得22=x ，由421=+x x 得21=x ，这与21x x ≠矛盾，所以不存在----------16分 20．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111λ+++-=-n n n n n n a S a S a a 对一切*n ∈N 都成立． （1）时；当1=λ，①求数列{}n a 的通项公式；②若,)1(n n a n b +=求数列{}n b 的前n 项的和;n T（2）是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列.如果存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【详解】(1)①若1λ=，因为111n n n n n n a S a S a a λ+++-=- 则()()1111n n n n S a S a +++=+，111a S ==. 又∵0n a >，0n S >，∴1111n n n nS a S a +++=+，∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++， 化简，得1112n n S a +++=. ① ∴当2n ≥时，12n n S a +=. ② ②－①，得12n n a a +=，∴()122n na n a +=≥. ∵当1n =时，22a =，∴1n =时上式也成立，∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n n a -=.………………4分②因为()1n n b n a =+，∴()112n n b n -=+⋅所以012212232422(1)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L 所以123122232422(1)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L将两式相减得：1212222(1)2n n n T n --=++++-+⨯L12(12)2(1)2212n n n n n --=+-+⨯=-⨯-所以2nn T n =⋅………………8分(2)令1n =，得21a λ=+.令2n =，得()231a λ=+. 要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得0λ=. 当0λ=时，()111n n n n S a S a ++=+，且211a a ==.………………10分 当2n ≥时，()()()1111n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+，从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++， 化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=. 综上所述，()*1Nn a n =∈，所以0λ=时，数列{}n a 是等差数列. ………………16分数学附加试卷（满分40分，考试时间30分钟） 21A ．（本小题满分10分） 己知矩阵，其中，点P(2，2)在矩阵的变换下得到的点Q(2，4)·（1)求实数a ，b 的值： （2）求矩阵A 的逆矩阵．解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-422211b a ，所以⎩⎨⎧=+=-422222b a 所以⎩⎨⎧==12b a ．………………5分（2）31112)det(=-=A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-32313131323131311A ．………………10分 21B ．在极坐标系中，已知(A 1，3π)，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积． 解：由题意，线段AB 的中点坐标为(5,)3π，设点(,)P ρθ为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，cos()53πρθ-=，所以，l 的极坐标方程为cos()53πρθ-=，………………5分令0θ=，得10ρ=，即(10,0)C ．（8分）所以，ABC ∆的面积为：1(91)10sin 20323π⨯-⨯⨯=．………………10分22.(本小题満分10分)1()2,0,()12(),0m x x xf x x n x x ⎧+->⎪=⎨⎪++<⎩已知函数是奇函数.（1）求实数m ，n 的值：（2）若对任意实数x ，都有0)()(2≥+xxe f e f λ成立.求实数的取值范围.23．（本小题满分10分）已知()2120121n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n N ∈．记()021nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈，n T 都能被42n +整除．解：（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=．………………3分（2） ∵()()()()()()()()()()121221!212!1C121C 1!!!!n kn kn n n n n n k n k n n k n k n k n k ++++++⋅++=++⋅==+++-+-∴()()()12121002121C21C nnnn k n kn n kn n k k k T k ak k -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212102121C21C21C nnnn k n kn kn n n k k k n k n n k n +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑(()11)()()()()()1221221220221C21C 2212C 21221C 22nnn kn k n nn n nn n nk k n n n n n +++++===+-+=+⋅⋅+-+⋅⋅=+∑∑………………7分∴()()()()1221212121C 21C C 221C nn n n n n n n n T n n n ----=+=++=+． ∵*21C n n N -∈，∴n T 能被42n +整除．………………10分。

2020届江苏省七市2017级高三4月二调考试数学试卷★祝考试顺利★(满分160分,考试时间120分钟)2020．4 参考公式：柱体的体积公式：V柱体＝Sh,其中S为柱体的底面积,h为高．锥体的体积公式：V锥体＝13Sh,其中S为锥体的底面积,h为高．一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分．1. 已知集合A＝{1,4},B＝{a－5,7}．若A∩B＝{4},则实数a的值是________．2. 若复数z满足zi＝2＋i,其中i是虚数单位,则z的模是________．(第4题)3. 在一块土地上种植某种农作物,连续5年的产量(单位：吨)分别为9.4,9.7,9.8,10.3,10.8,则该农作物的年平均产量是________吨．4. 如图是一个算法流程图,则输出S的值是________．5. “石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏,其规则是：在石头、剪子和布中,二人各随机选出一种,若相同则平局；若不同,则石头克剪子,剪子克布,布克石头,甲、乙两人玩一次该游戏,则甲不输的概率是________．6. 在△ABC中,已知B＝2A,AC＝3BC,则A的值是________．7. 在等差数列{an }(n∈N*)中,若a1＝a2＋a4,a8＝－3,则a20的值是________．(第8题)8. 如图,在体积为V的圆柱O1O2中,以线段O1O2上的点O为顶点,上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V1,V2,则V1＋V2V的值是________．9. 在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0,b＞0)的左顶点为A,右焦点为F,过F作x轴的垂线交双曲线于点P,Q.若△APQ为直角三角形,则该双曲线的离心率是________．10. 在平面直角坐标系xOy中,点P在直线y＝2x上,过点P作圆C：(x－4)2＋y2＝8的一条切线,切点为T.若PT＝PO,则PC的长是________．11. 若x＞1,则2x＋9x＋1＋1x－1的最小值是________．12. 在平面直角坐标系xOy中,曲线y＝e x在点P(x0,ex)处的切线与x轴相交于点A,其中e为自然对数的底数．若点B(x0,0),△PAB的面积为3,则x的值是________．13. 如图(1)是第七届国际数学教育大会(ICME7)的会徽图案,它是由一串直角三角形演化而成的(如图(2)),其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1,则A6A7→·A7A8→的。

江苏省姜堰中学、如皋中学、淮阴中学、前黄中学四校联考高 三 数 学 2008.12一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分.)1．若复数z 满足i iz 32+=（i 是虚数单位），则z =__________．2．已知命题P ：“R x ∈∀，0322≥-+x x ”，请写出命题P 的否定: ． 3．已知21sin =α，其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα，则=+)6cos(πα ． 4．若方程ln 62x x =-的解为0x ，则满足0k x ≤的最大整数k = ． 5．已知函数()xf x x e =⋅，则'(0)f = . 6．函数)6(sin 12π--=x y 的最小正周期是 ．7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若41217198a a a a +++= ，则25S 的值为 .8．已知圆()1222=+-y x 经过椭圆 22221x y a b+= ()0a b >>的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e = .9．设直线1l ：220x y -+= 的倾斜角为1α，直线2l ：40mx y -+= 的倾斜角为2α，且 2190αα=+o，则m 的值为 .10．已知存在实数a 满足 2ab a ab >> ，则实数b 的取值范围为 . 11．已知函数b a x a b x x f ++--+=)2()(22是偶函数，则此函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是 ．12．已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，PQ 中点为(,)M x y o o ，且2y x >+o o ，则y x oo的取值范围为 . 13．已知平面上的向量PA u u u r 、PB u u u r满足224PA PB +=u u u r u u u r ,2AB =u u u r ，设向量2PC PA PB =+u u u r u u u r u u u r ，则PC u u u r的最小值是 .14．如果函数2()(31)xxf x a a a =--(0a >且1)a ≠在区间[)0+，∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是 ．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．（本小题满分14分）如图四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ， Q 为PA 的中点. 求证：⑴ PC ∥平面QBD ；⑵ 平面QBD ⊥平面PAC .16．（本小题满分14分）已知O 为原点，向量(3cos ,3sin )OA x x =u u u r ，(3cos ,sin )OB x x =u u u r，(2,0)OC =u u u r ,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求证：()OA OB OC -⊥u u u r u u u r u u u r;⑵ 求tan AOB ∠的最大值及相应的x 值.17．（本小题满分14分）已知以点P 为圆心的圆经过点()1,0A -和()3,4B ，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D，且||CD =. (1)求直线CD 的方程； ⑵求圆P 的方程；⑶设点Q 在圆P 上，试问使△QAB 的面积等于8的点Q 共有几个？证明你的结论.BACDPQO18．（本小题满分16分）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系t x 2000=．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）．（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额2002.0t y =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？19．（本小题满分16分）设函数()ln f x ax x =+，()22g x a x =.⑴当1a =-时，求函数()y f x =图象上的点到直线30x y -+=距离的最小值；⑵是否存在正实数a ，使()()f x g x ≤对一切正实数x 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的各项都是正数，11a =，11112n n n na a a a +++=+ ，2n n n b a a =+ .⑴求数列{}n b 的通项公式；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶求证：()()()122311111111n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+<+++ .附加题21．（本小题满分8分）求由曲线xy 1=，1=y ，2=y ，1=x 所围成的面积．22．（本小题满分8分）解不等式:|21||4|2x x +--<23．（本小题满分12分）已知两曲线x x f cos )(=，x x g 2sin )(=，)2,0(π∈x ．（1）求两曲线的交点坐标；（2）设两曲线在交点处的切线分别与x 轴交于,A B 两点，求AB 的长．24．（本小题满分12分）已知动圆Q 与x 轴相切，且过点()0,2A . ⑴求动圆圆心Q 的轨迹M 方程；⑵设B 、C 为曲线M 上两点，()2,2P ，PB BC ⊥，求点C 横坐标的取值范围.高三数学参考答案一、填空题1．i 23- 2．R x ∈∃,0322<-+x x 3．214．2 5．1 6．π 7．50 8．139．-2 10． (),1-∞- 11．2 12．11,25⎛⎫-- ⎪⎝⎭13．2 14．133<≤a 二、解答题15[解]：证：设 ⋂AC BD=0,连OQ 。

2020届江苏省合作联盟学校高三下学期4月模拟数学试题一、填空题1．满足113z i ≤-+≤的复数z 在复平面上对应的点构成的图形的面积为_______. 【答案】2π【解析】由复数的几何意义，可得113z i ≤-+≤，表示外径为3，内径为1的圆环，结合圆的面积公式，即可求解. 【详解】由题意，设(,)z x yi x y R =+∈，因为113z i ≤-+≤，可得1(1)(1)3x y i ≤-++≤，即221(1)(1)3x y ≤-++≤，所以113z i ≤-+≤表示外径为3，内径为1的圆环， 其中圆环的面积为22(3)12S πππ=⨯-⨯=. 故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义的应用，其中解答中根据复数的结合意义，求得图形的形状，结合圆的面积公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.2．对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图，若一批电子元件中寿命在100~300小时的电子元件的数量为400，则寿命在500~600小时的电子元件的数量为_______.【答案】300【解析】根据小矩形的面积等于这一组的频率，先求出电子元件的寿命在某时段的频率，再乘以样本容量，即可求解.【详解】由题意，寿命在100~300小时的电子元件的频率为131()1002002005+⨯=， 所以样本容量为140020005÷=， 从而寿命在500~600小时的电子元件的数量为32000(100)3002000⨯⨯=件. 故答案为：300. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记小矩形的面积等于这一组的频率是解答的关键，着重考查了数据处理能力和运用意识. 3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为____．【答案】205【解析】根据已知中的程序代码，得到本程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析各个变量的变化规律，可得答案. 【详解】模拟程序语言，运行过程，可得1I =, 满足条件100I <，执行循环体3,9I S ==； 满足条件100I <，执行循环体5,13I S ==；L L满足条件100I <，执行循环体99,201I S ==；满足条件100I <，执行循环体101,21013205I S ==⨯+=， 此时，不满足条件100I <，退出循环，输出S 的值为205， 故答案为205. 【点睛】本题主要考查了程序语言的应用问题，其中解答中应模拟程序语言的运行过程，以便得出输出的计算规律，从而得到计算的结果，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线210x y --=上方的概率为_______.【答案】14【解析】连续掷两次骰子分别得到共有36个基本事件，再根据点P 在直线210x y --=上方，利用列举法，求得基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n ，共有36个基本事件， 其中点P 在直线210x y --=上方，即满足不等式的210x y --<， 有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,6)，共有9个基本事件，所以概率为91364P ==. 故答案为：14. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，利用列举法求得所有事件包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5．若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为“黄金圆锥”，已知一黄金圆锥的侧面积为π，则这个圆锥的高为_______. 【答案】1【解析】设出圆锥的底面半径和高、母线，由题设条件列出关系式，即可求得圆锥的高，得到答案. 【详解】设圆锥底面半径为r ，高为h ，母线为l ，由圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，可得2h l r =⋅， 且圆锥的侧面积为2122S r l r l h πππ=⋅=⋅=，即2h ππ=，解得1h =. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了圆锥的几何结构特征，以及圆锥的侧面积公式的应用，着重考查了推理与运算能力.6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a 2，b 2，c 2成等差数列，则cos B 的最小值为_____.【答案】12【解析】利用等差数列的性质，结合基本不等式，即可求得cos B 的最小值． 【详解】∵a 2，b 2，c 2成等差数列， ∴2b 2＝a 2+c 2，∴22222221cos 222a cb b b B ac ac a c +-==≥=+（当且仅当a ＝c 时等号成立）∴a ＝c 时，cos B 的最小值为12. 故答案为：12． 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查基本不等式的运用，正确运用等差数列的性质是关键. 7．已知函数x y e =的图象在点(, )k ak a e 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++=【答案】-6【解析】分析：先利用导数求出曲线在点(a k ，e a k )处的切线，求出切线与横轴交点的横坐标，得到数列递推式，看出数列是一个等差数列，从而求出所求． 解：∵y=e x ，∴y′=e x ，∴y=e x 在点（a k ，e a k ）处的切线方程是：y-e a k =e a k （x-a k ）， 整理，得e a k x-y-a k e a k +e a k =0， ∵切线与x 轴交点的横坐标为a k+1， ∴a k+1=a k -1，∴{a n }是首项为a 1=0，公差d=-1的等差数列， ∴a 1+a 3+a 5=0-2-4=-6． 故答案为-6．点评：本题主要考查了切线方程以及数列和函数的综合，本题解题的关键是写出数列递推式，求出两个项之间的关系，得到数列是一个等差数列，属于中档题 8．关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，则关于x 的不等式2a bc bx x++>的解集为_______. 【答案】(),0-∞【解析】由不等式的解集，根据根与系数的关系，求得,2b a c a =-=-，且0a <，进而把不等式2a b c bx x ++>转化为2210x x x-+<，即可求解. 【详解】由题意，关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-， 即1,2-是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，可得12120ba ca a ⎧-=-+⎪⎪⎪=-⨯⎨⎪<⎪⎪⎩解得,2b a c a =-=-，且0a <，则关于x 的不等式2a b c bx x ++>可化为2a a ax x ->-，即12x x-<-， 即2221(1)0x x x x x-+-=<，解得0x <，所以不等式的解集为(),0-∞. 故答案为：(),0-∞. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，三个二次式的关系，以及分式不等式的求解，着重考查了推理与运算能力.9．记S k ＝1k +2k +3k +……+n k ，当k ＝1，2，3，……时，观察下列等式：S 112=n 212+n ，S 213=n 312+n 216+n ，S 314=n 412+n 314+n 2，……S 5＝An 612+n 5512+n 4+Bn 2，…可以推测，A ﹣B ＝_____． 【答案】14【解析】观察知各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案. 【详解】根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1， 最高次项的系数为该项次数的倒数， ∴A 16=，A 15212B +++=1，解得B 112=-，所以A ﹣B 1116124=+=．故答案为：14． 【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力. 10．设P 为y 14=x 2﹣2图象C 上任意一点，l 为C 在点P 处的切线，则坐标原点O 到l 距离的最小值为_____. 【答案】2【解析】设出切点P 坐标，由导数求得C 在点P 处的切线方程，由点到直线的距离公式写出坐标原点O 到l 距离，再由基本不等式求最小值. 【详解】设P （200124x x -，）， 由y 14=x 2﹣2，得12y x '=， ∴001|2x x y x ='=， 则C 在点P 处的切线方程为：()200011242y x x x x -+=-， 整理得：2002480x x y x ---=.∴坐标原点O 到l 距离d 221122===122⎫=≥.=x 0＝0时上式等号成立.∴坐标原点O 到l 距离的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了点到直线的距离公式，训练了利用基本不等式求最值，是中档题.11．已知函数()22111x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨+⎩，，＞，若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f （x 1）=f （x 2）成立，则实数a 的取值范围是 ______ ． 【答案】（-∞，1）∪（2，+∞）【解析】分类讨论0a =， 0a <，0a >三种情况，结合题意可知函数不单调，继而求解出结果. 【详解】若∃x 1,x 2∈R ,x 1≠x 2,使得f (x 1)=f (x 2)成立,则说明f (x )在R 上不单调．①当a =0时,()2,11,1x x f x x ⎧-=⎨>⎩…，其图象如图所示，满足题意②当a <0时,函数y =−x 2+2ax 的对称轴x =a <0，其图象如图所示，满足题意③当a >0时,函数y =−x 2+ax 的对称轴x =a >0,其图象如图所示,要使得f (x )在R 上不单调则只要二次函数的对称轴x =a <1,或2112111a a a ⎧⎨-+⨯>⨯+⎩…，∴0<a <1或a >2，综合得a 的取值范围是(−∞,1)∪(2,+∞). 【点睛】本题考查了分段函数的求值问题，考查了函数的单调性，解答过程中需要进行分类讨论，本题属于常考题型，需要掌握解题方法.12．直线32y x =+与圆心为D 的圆()()22131x y -+-=交于A ，B 两点，直线AD ，BD 的倾斜角分别为α，β，则()tan αβ+=______.【答案】34-【解析】由三角形的外角与不相邻的内角的关系，得到,DAB ABD αγγβ∠=-∠=-，再利用圆的性质建立两个倾斜角的等量关系，化简整理得到2αβγ+=，再利用正切的倍角公式，即可求解. 【详解】设直线32y x =+的倾斜角为γ，可得tan 3γ=，由三角形的外角与不相邻的内角的关系，可得,DAB ABD αγγβ∠=-∠=-， 由圆的性质可知，直线,AD BD 过圆心，ABD ∆是等腰三角形， 所以DAB ABD ∠=∠，所以αγγβ-=-，可得2αβγ+=， 所以2233tan()tan 2134αβγ⨯+===--. 故答案为：34-. 【点睛】本题主要考查了圆的方程，直线的方程及直线的倾斜角，正切的倍角公式，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了推理与运算能力.13．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆()22211x y a a+=＞上，其中A （0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为_____． 【答案】3【解析】设直线AB 的方程为y ＝kx +1，则直线AC 的方程可设为y 1k=-x +1，（k ≠0），联立方程得到B （22221a k a k -+，222211a k a k -+），故S 442221211a k ka a k k +=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，令t 1k k =+，得S 42222(1)a a a t t=-+，利用均值不等式得到答案.【详解】设直线AB 的方程为y ＝kx +1，则直线AC 的方程可设为y 1k=-x +1，（k ≠0） 由22211y kx x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得（1+a 2k 2）x 2+2a 2kx ＝0，所以x ＝0或x 22221a k a k -=+ ∵A 的坐标（0，1），∴B 的坐标为（22221a k a k -+，k •22221a k a k -++1），即B （22221a k a k -+，222211a k a k-+）， 因此AB ==22221a k a k+， 同理可得：AC =•22221a kak+. ∴Rt △ABC 的面积为S 12=AB •AC =44422422221221111a k a ka a k a a k k k +=⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令t 1k k =+，得S ()4422422222(1)12a t a a a a t a tt==-++-+.∵t1kk=+≥2，∴S△ABC442222(1)(1)2aa aaa tt≤=--⨯.当且仅当2a tt=，即t21aa-=时，△ABC的面积S有最大值为4227(1)8aa a=-. 解之得a＝3或a329716+=.∵a329716+=时，t21aa-=＜2不符合题意，∴a＝3.故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14．若()01,2,3,4,5ix i≥=，511iix==∑，则{}{}12233445min max,,,x x x x x x x x++++=______.【答案】13【解析】由12x x+和45x x+的地位上相同，同时23x x+和34x x+的地位上也相同，分类讨论，即可求解.【详解】由题意知，12x x+和45x x+的地位上相同，类似的：23x x+和34x x+的地位上也相同，（1）若23x x+最大，设23x x a+=，要使得a最小，则其余的数尽可能的大，其中12x x+最大取a，此时13x x=，剩下45x x+也要尽可能大，取45x x a+=，则31a x a++=，因为23x x a +=，要使得3x 尽可能大，则32,0x a x ==， 此时1a a a ++=，解得13a =； （2）若12x x +最大，设12x x a +=，与（1）中类似，3145,x x x x a =+=时，a 最小，同样121a x +=，要使得a 最小，则1x 最大，此时12,0x a x ==， 可得21a a +=，解得13a =. 综上可得{}{}122334451min max ,,,3x x x x x x x x ++++=. 故答案为：13. 【点睛】本题主要考查了多项式的和的应用，以及不等式和函数的最值问题，着重考查了分类讨论，转化与回归思想，以及推理与运算能力.二、解答题 15．如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠=oo105ADC ∠=o ,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．（Ⅰ）求证：DC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）设CD a =，求三棱锥A －BFE 的体积． 【答案】（1）祥见解析；（2）．【解析】试题分析：（Ⅰ）证明：在图甲中∵AB BD =且45A ∠=o ∴45ADB ∠=o ,90ABD ∠=o即AB BD ⊥在图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ， 且平面ABD ⋂平面BDC ＝BD ∴AB ⊥底面BDC ，∴AB ⊥CD ．又90DCB ∠=o ，∴DC ⊥BC,且AB BC B ⋂= ∴DC ⊥平面ABC ．（Ⅱ）解：∵E 、F 分别为AC 、AD 的中点 ∴EF//CD ，又由（Ⅰ）知，DC ⊥平面ABC ， ∴EF ⊥平面ABC ， ∴13A BFE F AEB AEB V V S FE --∆==⋅ 在图甲中，∵105ADC ∠=o , ∴60BDC ∠=o ,30DBC ∠=o由CD a =得2,BD a BC ==,1122EF CD a ==∴211222ABC S AB BC a ∆=⋅=⋅=∴22AEB S a ∆=∴231132A BFE V a -=⋅=. 【考点】线面垂直，和几何体体积点评：主要是考查了空间中线面垂直的证明，以及三棱锥的体积的求解，属于基础题． 16．已知函数()()()sin f x A x x R ωϕ=+∈（其中0A >，0>ω，02πϕ<<）的图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最高点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式； （2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值及相应的x 的值. 【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）()f x 的最大值为2，此时6x π=【解析】（1）由题意，求得2A =，2ω=，得到()()2sin 2f x x ϕ=+，将2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入求得6π=ϕ，即可得到函数的解析式； （2）由,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到72366x πππ≤+≤，结合三角函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()f x 图象上一个最高点为2(,2)3M π-，可得2A =， 又由函数()f x 图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为2π，即2T ππω==，可得2ω=，此时函数()()2sin 2f x x ϕ=+， 将2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭代入上式，得422sin 3πϕ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即4sin 13πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 因为02πϕ<<，可得6π=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）因为,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72366x πππ≤+≤， 所以当且仅当262x ππ+=，即6x π=时，sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin 226x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即6x π=时，函数()f x 的最大值为2.【点睛】本题主要考查了三角函数解析式的求解，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.17．如图，某校打算在长为1千米的主干道AB 一侧的一片区域内临时搭建一个强基计划高校咨询和宣传台，该区域由直角三角形区域ACB （ACB ∠为直角）和以BC 为直径的半圆形区域组成，点P （异于B ，C ）为半圆弧上一点，点H 在线段AB 上，且满足CH AB ⊥.已知60PBA ∠=︒，设ABC θ∠=，且,183ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.初步设想把咨询台安排在线段CH ，CP 上，把宣传海报悬挂在弧CP 和线段CH 上.（1）若为了让学生获得更多的咨询机会，让更多的省内高校参展，打算让CH CP +最大，求该最大值；（2）若为了让学生了解更多的省外高校，贴出更多高校的海报，打算让弧CP 和线段CH 的长度之和最大，求此时的θ的值.【答案】（1； （2）18πθ=【解析】（1）由题意，结合三角恒等变换的公式，求得1sin 223CH CP πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，再利用三角函数的性质，即可求解；（2）由题意，取线段BC 的中点O ，连接OP ，求得弧长»CP和线段CH 的长度之和表达式cos sin 3y πθθθ⎛⎫-+⎝=⎪⎭，设()sin 3f πθθθ=-+，()cos g θθ=，得到()()y f g θθ=，结合导数求得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】（1）由题意，在Rt ACB V 中，可得1cos cos BC θθ=⨯=， 在Rt CBH △中，可得cos sin sin cos CH θθθθ=⨯=， 在Rt CBP V 中，可得cos sin 3CP πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以sin cos cos sin 3CH CP πθθθθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭1sin cos cos sin 2θθθθθ⎫=+-⎪⎪⎝⎭21sin cos 2θθθ=+11cos 2sin 242θθ+=+1sin 223πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为,183ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则4293ππθπ≤+<，所以当且仅当232ππθ+=，即12πθ=时，CH CP +取得最大值，千米.（2）取线段BC 的中点O ，连接OP ，则222233COP CBP ππθθ⎛⎫∠=∠=-=- ⎪⎝⎭. 由（1）知，11cos 22CO BC θ==，sin cos CH θθ= 故»CP的长为12cos 2cos cos 233ππθθθθθ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，则»CP 和线段CH 的长度之和 cos cos sin cos 3y πθθθθθ=-+cos sin 3πθθθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，,183ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 设()sin 3f πθθθ=-+，,183ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()cos g θθ=，,183ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 则()()y fg θθ=，因为()'1cos f θθ=-+，,183ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以()'1cos 0f θθ=-+<， 故函数()f θ在区间,183ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，故3()18x f f πθ⎛⎫<≤⎪⎝⎭. 易知函数()g θ在区间,183ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上也单调递减，所以()1218g g πθ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，所以()()1818f g f g ππθθ⎛⎫⎛⎫≤⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当且仅当18πθ=时，»CP和线段CH 的长度之和最大. 【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用问题，以及利用导数求解函数的单调性与最值的应用，其中解答中认真审题，根据题意求得函数的解析式，结合三角函数的性质和导数的运算求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.18．已知椭圆()222210x y C a b a b +=：＞＞的离心率3e =，椭圆C 的上、下顶点分别为A 1，A 2，左、右顶点分别为B 1，B 2，左、右焦点分别为F 1，F 2.原点到直线A 2B 2的距离为25.（1）求椭圆C 的方程；（2）P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点，直线PA 1，PA 2，分别交x 轴于点N ，M ，若直线OT 与以MN 为直径的圆G 相切，切点为T .证明：线段OT 的长为定值，并求出该定值.【答案】（1）24x +y 2＝1（2）证明见解析；定值2【解析】（1）设a ＝2m ，c =，则b ＝m .直线A 2B 2方程为mx ﹣2my ﹣2m 2＝0.由点到直线距离公式能求出m ＝1.由此能求出椭圆方程.（2）由A 1（0，1）A 2（0，﹣1），设P （x 0，y 0），分别求出直线P A 1和直线P A 2，设圆G 的圆心为00001,0211x x y y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，利用圆的性质能证明线段OT 的长度为定值2； 【详解】（1）因为椭圆C 的离心率e 2=，故设a ＝2m ，c =，则b ＝m . 直线A 2B 2方程为bx ﹣ay ﹣ab ＝0，即mx ﹣2my ﹣2m 2＝0.2=，解得m ＝1. 所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为24x +y 2＝1；（2）由（1）可知A 1（0，1）A 2（0，﹣1），设P （x 0，y 0）， 直线P A 1：y ﹣1001y x -=x ，令y ＝0，得x N 001x y =--，直线P A 2：y +1001y x +=x ，令y ＝0，得x M 001x y =+， 设圆G 的圆心为00001,0211x x y y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭， 则2200000012111x x x r y y y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪+--⎢⎥⎝⎭⎣⎦14=2000011x x y y ⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭. OG 214=2000011xx y y ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭.OT 2＝OG 2﹣r 214=2000011x x y y ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭14-2000011x x y y ⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭20201x y =-.而204x +y 02＝1，所以x 02＝4（1﹣y 02），所以OT 2＝4， 所以OT ＝2，即线段OT 的长度为定值2. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、圆、点到直线距离公式、切割线定理等知识点的合理运用. 19．已知函数2312()23f x x ax =-，函数()()2(1)x g x f x e x =+-，函数()()g x g x '的导函数为（1）当函数()y f x =在(1,)+∞区间时为减函数，求a 的范围； （2）若a=e(e 为自然对数的底数）； ①求函数g(x)的单调区间； ②证明：【答案】（1）12a ≥.（2）①单调増区间为(0,);+∞单调减区间为(,0).-∞；②证明见解析.【解析】试题分析：（1）题意转化为2'()20f x x ax =-≤在(1,)+∞上恒成立；（2）a e =，①2312()2(1)23x g x x ex e x =-+-，则2'()22(122)x xg x x ex xe x ex e =-+=-+，现在要讨论'()0g x >（或0<）的解，关键是函数()122xh x ex e =-+，同样我们用导数来研究()h x ，'()22xh x e e =-+，当1x <时'()0h x <，()h x 为减函数，当1x >时'()0h x >，()h x 为增函数，所以对任意x R ∈，()(1)10h x h ≥=>，从而知当0x <时'()0g x <，当0x >，'()0g x >；②这一题比较特殊，要证不等式，即证(122)xx ex e -+1ln x ≥+，即证1ln 122xxex e x+-+≥，考虑到在①中已证明122x ex e -+的最小值为1，那么下面我们如果能求出的最大值不大于1（最多等于1），命题即证.这同样利用导数知识可证明.试题解析：（1）因为函数()y f x =在(1,)+∞区间时为减函数，所以()0f x '≤.2()2(12)0f x x ax x ax =-=-≤'.因为1x ≥,所以120ax -≤,12a x ≥即12a ≥.①当a=e 时，所以2()22x g x x ex xe '=-+=(122)xx ex e -+记()221x h x e ex =-+，则()2()xh x e e '=-，当(1,)()0,()x h x h x ∈+∞>'时，为增函数；当(-,1)()0,()x h x h x ∈'∞<时，为减函数；所以()(1)1h x h ≥=>0. 所以在(0,)()0g x >'+∞上，,在(,0)()0g x -'∞<上，； 即g(x)的单调増区间为(0,);+∞单调减区间为(,0).-∞ ②证明：由①得2()22x g x x ex xe '=-+欲证，只需证(122)1ln xx ex e x -+≥+ 即证ln 1122xx ex e x+-+≥. 记，则2ln ()xp x x -'=当(0,1),()0x p x '∈>，()p x 为增函数，当(1,),()0x p x +'∈∞<，()p x 为减函数．即()(1)1p x p ≤= 由①得()(1)1h x h ≥=.所以.【考点】函数的单调性，函数的最值，不等式恒成立问题.20．设数列{a n }，对任意n ∈N 都有（kn +b ）（a 1+a n ）+p ＝2（a 1+a 2…+a n ），（其中k 、b 、p 是常数）.（1）当k ＝0，b ＝3，p ＝﹣4时，求a 1+a 2+a 3+…+a n ；（2）当k ＝1，b ＝0，p ＝0时，若a 3＝3，a 9＝15，求数列{a n }的通项公式；（3）若数列{a n }中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当k ＝1，b ＝0，p ＝0时，设S n 是数列{a n }的前n 项和，a 2﹣a 1＝2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n }，使得对任意n ∈N ，都有S n ≠0，且12311111111218n S S S S <++++<L .若存在，求数列{a n }的首项a 1的所有取值；若不存在，说明理由.【答案】（1）312n -（2）a n ＝2n ﹣3（3）存在；a 1＝4或a 1＝6或a 1＝8或a 1＝10【解析】（1）当k ＝0，b ＝3，p ＝﹣4时，3（a 1+a n ）﹣4＝2（a 1+a 2+…+a n ），再写一式，两式相减，可得数列{a n }是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a 1+a 2+a 3+…+a n ； （2）当k ＝1，b ＝0，p ＝0时，n （a 1+a n ）＝2（a 1+a 2+…+a n ），再写一式，两式相减，可得数列{a n }是等差数列，从而可求数列{a n }的通项公式；（3）确定数列{a n }的通项，利用{a n }是“封闭数列”，得a 1是偶数，从而可得1181211a <<，再利用12311111111218n S S S S <++++<L ，验证，可求数列{a n }的首项a 1的所有取值. 【详解】（1）当k ＝0，b ＝3，p ＝﹣4时，3（a 1+a n ）﹣4＝2（a 1+a 2+…+a n ），① 用n +1去代n 得，3（a 1+a n +1）﹣4＝2（a 1+a 2+…+a n +a n +1），② ②﹣①得，3（a n +1﹣a n ）＝2a n +1，a n +1＝3a n ，在①中令n ＝1得，a 1＝1，则a n ≠0，∴13n na a +=， ∴数列{a n }是以首项为1，公比为3的等比数列，∴a 1+a 2+a 3+…+a n 312n -=；（2）当k ＝1，b ＝0，p ＝0时，n （a 1+a n ）＝2（a 1+a 2+…+a n ），③ 用n +1去代n 得，（n +1）（a 1+a n +1）＝2（a 1+a 2+…+a n +a n +1），④ ④﹣③得，（n ﹣1）a n +1﹣na n +a 1＝0，⑤ 用n +1去代n 得，na n +2﹣（n +1）a n +1+a 1＝0，⑥⑥﹣⑤得，na n +2﹣2na n +1+na n ＝0，即a n +2﹣a n +1＝a n +1﹣a n ， ∴数列{a n }是等差数列. ∵a 3＝3，a 9＝15，∴公差93293a a d -==-，∴a n ＝2n ﹣3. （3）由（2）知数列{a n }是等差数列，∵a 2﹣a 1＝2，∴a n ＝a 1+2（n ﹣1）.又{a n }是“封闭数列”，得：对任意m ，n ∈N ，必存在p ∈N 使a 1+2（n ﹣1）+a 1+2（m ﹣1）＝a 1+2（p ﹣1），得a 1＝2（p ﹣m ﹣n +1），故a 1是偶数， 又由已知，111111218S <<，故1181211a <<， 一方面，当1181211a <<时，数列{a n }中每一项均为正数，故对任意n ∈N ，都有123111111112n S S S S S ++++≥>L ， 另一方面，当a 1＝2时，S n ＝n （n +1），1111n S n n =-+， 则1231111111n S S S S n ++++=-+L ， 取n ＝2，则1211121113318S S +=-=>，不合题意； 当a 1＝4时，S n ＝n （n +3），111133n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则12311111111111118312318n S S S S n n n ⎛⎫++++=-++< ⎪+++⎝⎭L ，符合题意； 当a 1≥6时，S n ＝n （n +a 1﹣1）＞n （n +3），111133n S n n ⎛⎫<- ⎪+⎝⎭，12311111111111118312318n S S S S n n n ⎛⎫++++<-++< ⎪+++⎝⎭L ， 则当a 1≥6时，均符合题意； 又1181211a <<， ∴a 1＝4或a 1＝6或a 1＝8或a 1＝10. 【点睛】本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题.21．已知矩阵1001M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.（1）求矩阵M 的特征值和特征向量；（2）设23β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r，求99M βu r .【答案】（1）答案不唯一，见解析 （2）9923Mβ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u r【解析】（1）令()1001f λλλ-==+，求得11λ=或21λ=-，分类讨论，即可求解；（2）由（1）知1223βαα=+u r u r u r ，根据矩阵的运算性质，即可求解.【详解】（1）由题意，令()10(1)(1)001f λλλλλ-==-+=+，解得11λ=或21λ=-，当11λ=时，由000020x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+=⎩，取10x y =⎧⎨=⎩，即110α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r ， 当21λ=-时，由200000x y x y -⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩，取01x y =⎧⎨=⎩，即201α⎡⎤⎢⎥⎣=⎦u r . （2）因为1223βαα=+u r u ru r ，所以999999121212223233M λαλααβα⎡⎤=+=-=⎢⎥-⎣⎦u r u r u r u r u r . 【点睛】本题主要考查了矩阵的特征值和特征向量的计算，即矩阵的运算性质及应用，着重考查了推理与运算能力.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），点A （1，0），B （3，，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，x 轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系.（1）求直线AB 的极坐标方程；（2）求直线AB 与曲线C 交点的极坐标.【答案】（1cos 2sin θρθ+=2）2,33π⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）由点A 、B 写出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可； （2）把曲线C 的参数方程化为普通方程，求出直线与曲线的交点，再化为极坐标即可.【详解】（1）由点A （1，0），B （3，，所以直线AB20y +-=，cos 2sin θρθ+=（2）曲线C的参数方程是x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数，化为普通方程是：y 2＝x （y ≥0）；由()220y y x y +==≥⎪⎩，解得13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即交点的直角坐标为13⎛ ⎝⎭； 化为极坐标是：2,33π⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了直角坐标与参数方程和极坐标的互化问题，是综合性题目.23．过直线y ＝﹣1上的动点A （a ，﹣1）作抛物线y ＝x 2的两切线AP ，AQ ，P ，Q 为切点.（1）若切线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1•k 2为定值.（2）求证：直线PQ 过定点.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）设过A 作抛物线y ＝x 2的切线的斜率为k ，用选定系数法给出切线的方程，与抛物线方程联立消元得到关于x 的一元二次方程，此一元二次方程仅有一根，故其判别式为0，得到关于k 的一元二次方程，k 1，k 2必为其二根，由根系关系可求得两根之积为定值，即k 1•k 2为定值；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），用其坐标表示出两个切线的方程，因为A 点是两切线的交点将其坐标代入两切线方程，观察发现P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）的坐标都适合方程2ax ﹣y +1＝0上，因为两点确定一条直线，故可得过这两点的直线方程必为2ax ﹣y +1＝0，该线过定点（0，1）故证得.【详解】（1）设过A 作抛物线y ＝x 2的切线的斜率为k ，则切线的方程为y +1＝k （x ﹣a ），与方程y ＝x 2联立，消去y ，得x 2﹣kx +ak +1＝0.因为直线与抛物线相切，所以△＝k 2﹣4（ak +1）＝0，即k 2﹣4ak ﹣4＝0.由题意知，此方程两根为k 1，k 2，∴k 1k 2＝﹣4（定值）；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由y ＝x 2，得y ′＝2x .所以在P 点处的切线斜率为：11|2x x y x ='=，因此，切线方程为：y ﹣y 1＝2x 1（x ﹣x 1）.由y 1＝x 12，化简可得，2x 1x ﹣y ﹣y 1＝0.同理，得在点Q 处的切线方程为2x 2x ﹣y ﹣y 2＝0.因为两切线的交点为A （a ，﹣1），故2x 1a ﹣y 1+1＝0，2x 2a ﹣y 2+1＝0.∴P ，Q 两点在直线2ax ﹣y +1＝0上，即直线PQ 的方程为：2ax ﹣y +1＝0.当x ＝0时，y ＝1，所以直线PQ 经过定点（0，1）.【点睛】本题考查转化的技巧，（1）将两斜率之积为定值的问题转化成了两根之积来求，（2）中将求两动点的连线过定点的问题转化成了求直线系过定点的问题，转化巧妙，有艺术性. 24．对有()4n n ≥个元素的总体{}1,2,3,,n ⋅⋅⋅进行抽样，先将总体分成两个子总体{}1,2,3,,m ⋅⋅⋅和{}1,2,,m m n ++⋅⋅⋅（m 是给定的正整数，且22m n ≤≤-），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率.（1）求1n P 的表达式（用m ，n 表示）； （2）求所有()1ij P i j n ≤<≤的和.【答案】（1）()14n P m n m =- ；（2）6 【解析】（1）根据组合数的公式，以及古典概型的概率计算公式和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；（2）当,i j 都在{}1,2,,m ⋅⋅⋅中时求得ij P 的和为1，当,i j 同时在{}1,2,,m m n ++⋅⋅⋅中时，求得ij P 的和为1，当i 在{}1,2,,m ⋅⋅⋅中，j 在{}1,2,,m m n ++⋅⋅⋅中时得到ij P 的和为4，即可求解.【详解】（1）由题意，从m 和m m -个式子中随机抽取2个，分别有2m C 和2n m C -个基本事件， 所以1n P 的表达式为()122114n m n mm n m P C C m n m ----=⋅=-. （2）当,i j 都在{}1,2,,m ⋅⋅⋅中时，可得21ij mP C =， 而从{}1,2,,m ⋅⋅⋅中选两个数的不同方法数为2m C ，则ij P 的和为1；当,i j 同时在{}1,2,,m m n ++⋅⋅⋅中时，同理可得ij P 的和为1；当i 在{}1,2,,m ⋅⋅⋅中，j 在{}1,2,,m m n ++⋅⋅⋅中时，()4ij P m n m =-， 而从{}1,2,,m ⋅⋅⋅中选取一个数，从{}1,2,,m m n ++⋅⋅⋅中选一个数的不同方法数为()m n m -，则ij P 的和为4，所以所有ij P 的和为1146++=.【点睛】本题主要考查了组合数公式的应用，以及概率的综合应用，其中解答中认真审题，根据题意，结合组合数公式和古典概型的概率计算公式，以及独立事件的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.。

江苏省2020年高三数学4月模拟卷（二）注意事项：1. 本试卷共160分，考试时间150分钟．2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，若(z ＋z )(z －z )＝8i ，则ab 的值为________．2. 已知集合M ＝{y |y ＝2－x＋1，x ∈R}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x 13≥1 ，则M ∩N ＝________．3. 某人打同一款游戏通关的时间分别为x ，9，10，11，9(单位：min)，已知这组数据的平均数为10，则方差为________．4. 某马戏团有大猩猩2只，猴子3只，现从中任选3只去外地参加表演，则大猩猩和猴子都被选中的概率为________．(第5题)5. 根据如图所示的伪代码，可知输出的S 的值为________．6. 已知等差数列{a n }满足a 5＝2，a 11＝11，则a 28 －a 22 ＝________．7. 函数f (x )＝1＋ln x1－ln x的定义域为________．8. 设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a ＋2b|＝________．9. 已知F 1，F 2是双曲线x 2m 2 －y 24－m 2 ＝1(0<m <2)的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1，PF 2是一元二次方程t 2－5t ＋5＝0的两根，则m 的值为________．10. 已知P (s ，t )在函数f (x )＝1－x 2的图象上运动，则s 2＋（t －2）2＋（s －1）2＋t 2的最小值为________．11. 对任意的θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，不等式1sin 2θ ＋4cos 2θ ≥|2x －1|恒成立，则实数x 的取值范围是________．12．用扇形铁皮卷成一个圆锥筒(假设扇形半径可变化)，已知扇形面积为定值S ，要使卷成的圆锥筒体积最大，则该扇形的半径R 为________．13. 设当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2（x －1）2，0≤x ≤2，1＋1x ，x >2， 若函数y ＝f (|x |)－m 有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且AD 平分△ABC 的面积，若90°>∠BAD ≥90°－C ，AC >AB ，则∠BAC 的取值范围为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知向量a ＝(sin x ，cos x )，x ∈[－π，π]. (1) 已知b ＝(1，－3 )，若a ，b 所成的角为π3 ，求x 的值；(2) 已知c ＝(3 ，－1)，记f (x )＝(a ＋c)·(a－2c)，求f (x )的值域．16. (本小题满分14分)如图，在平行四边形ABCD中，已知直线BC⊥平面ABE，F为CE 的中点．(1) 求证：直线AE∥平面BDF；(2) 若∠AEB＝90°，求证：平面BDF⊥平面BCE.(第16题)17. (本小题满分14分)如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1是一个棱长为2的空心蔬菜大棚， 由8个钢结构(地面没有)组合搭建而成的，四个侧面及顶上均被可采光的薄膜覆盖．已知E 为柱AA 1上一点(不在点A ，A 1处)，EA ＝t .菜农需要在地面正方形ABCD 内画出一条曲线l 将菜地分隔为两个不同的区域来种植不同品种的蔬菜以加强管理，现已知点P 为地面正方形ABCD 内的曲线l 上任意一点，设α，β分别为在P 点观测E 和D 1的仰角．(1) 若α＝β，请说明曲线l 是何种曲线，为什么？(2) 若E 为柱AA 1的中点，且α<β时，请求出点P 所在区域的面积．(第17题)18. (本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a >b >0)的长轴端点分别为A 1，A 2，椭圆C 的离心率为e ＝23，两条准线之间的距离为9.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设P 是曲线C 上的一点，∠PA 1A 2＝α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 ，过A 2作A 2R ⊥A 1P 于点R ，设A 2R与曲线C 交于点Q ，连接PQ ，求直线PQ 的斜率的取值范围．19. (本小题满分16分)设f (x )＝a e x－a ，g (x )＝ax －x 2(a 为与自变量x 无关的正实数). (1) 证明：函数f (x )与g (x )的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线； (2) 是否存在实数k ，使得f （x ）＋a ax －ln x －1>k x 对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 恒成立？若存在，求出k 的取值范围，否则请说明理由．20. (本小题满分16分)若对任意的n ∈N *，存在一个常数M ，使得a n ≤M 成立，则称M 为a n 的一个上界；若对任意的n ∈N *，a n ＋1≤a n ＋a n ＋22成立，则称数列{a n }为“凹数列”．(1) ①求证：任意一个正项等比数列{b n }为“凹数列”；②构造一个正项“凹数列”{c n }，但数列{c n }不是等比数列，并给出证明；(2) 设无穷正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若1为S n 的一个上界(n ∈N *)，且数列{a n }为“凹数列”，求证：0≤a n －a n ＋1≤2n （n ＋1）(n ∈N *).绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二)数学Ⅱ(附加题)注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用．2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 共3小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4－2：矩阵与变换(本小题满分10分)已知T 变换将曲线C 1：x 24＋y 2＝1变换为单位圆x 2＋y 2＝1，S 变换将曲线C 2：x 29－y 24＝1变换为双曲线x 2－y 2＝1，求ST 对应的矩阵．B. 选修4－4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在极坐标系中，已知直线ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 与圆O ：ρ＝8sin θ相交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．C. 选修4－5：不等式选讲(本小题满分10分)已知实数x ，y ，z 为正实数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋z 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋y 5＋6z >93255 .【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)设P ，Q 为抛物线C ：y 2＝4x 上的两点，点P ，Q 的纵坐标之和为4.(1) 求直线PQ 的倾斜角；(2) 已知M 是抛物线C 上的动点，过M 作垂直于x 轴的直线，与直线y ＝x 交于点A ，点B 满足MB → ＝2MA →，连接OB (其中O 为原点)交抛物线C 于点N ，试问：直线MN 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．23. (本小题满分10分)设a ，b ∈R，a ≠0，a ＋b ≥0，数列{c r }的通项公式为c r ＝ab(an－r b r)(1≤r ≤n ＋1)，n ∈N *.令{c r }的各项之和为S n ＋1，f n (a ，b )＝S n ＋1n ＋1.(1) 计算：f 1(a ，b )，f 2(a ，b )，f 3(a ，b )，验证不等式f n (a ，b )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n 对n ＝1，2，3成立；(2) 证明不等式：f n (a ，b )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n ，并给出等号成立的充要条件．2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二)数学Ⅰ参考答案及评分标准1. 2 【解析】 由z ＝a ＋b i ，得z ＝a －b i ，因为(z ＋z )(z －z )＝8i ，所以(a ＋b i ＋a －b i)[a ＋b i －(a －b i)]＝4ab i ＝8i ，所以ab ＝2.2. {y |y >1} 【解析】 因为M ＝{y |y >1}，N ＝{x |x 13≥1}＝{x |x ≥1}，所以M ∩N ＝{y |y >1}．3. 0.8 【解析】 因为这组数据的平均数为10，所以x ＋9＋10＋11＋95＝10，解得x＝11，所以这5个数据的方差为15 [(11－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]＝0.8.4. 910 【解析】 记2只大猩猩分别为A ，B ，3只猴子分别为C ，D ，E ，运用枚举法得从中任意选3只构成的基本事件有10个，其中大猩猩和猴子都被选中的有9个，所以大猩猩和猴子都被选中的概率为910.5. 55 【解析】 i ＝1时，运行结果为S ＝0＋12＝1，i ＝2；i ＝2时，运行结果为S ＝1＋22＝5，i ＝3；i ＝3时，运行结果为S ＝5＋32＝14，i ＝4；i ＝4时，运行结果为S ＝14＋42＝30，i ＝5；i ＝5时，运行结果为S ＝30＋52＝55，i ＝6，退出循环，所以输出的S 的值为55.6. 36 【解析】 设公差为d ，因为a 5＝2，a 11＝11，所以6d ＝a 11－a 5＝9，所以a 28 －a 22 ＝(a 8＋a 2)(a 8－a 2)＝2a 5·6d ＝ 36.7. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，e 【解析】 要使函数f (x )＝1＋ln x 1－ln x 有意义，则1＋ln x1－ln x≥0⎩⎪⎨⎪⎧（1＋ln x ）（1－ln x ）≥0，1－ln x ≠0⎩⎪⎨⎪⎧（1＋ln x ）（ln x －1）≤0，1－ln x ≠0－1≤lnx <11e≤x <e ，所以函数f (x )＝1＋ln x 1－ln x 的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，e . 8. 3 【解析】 |a ＋2b|＝|a ＋2b|2＝a 2＋4a·b＋4b 2＝1－2＋4 ＝3 . 9.52【解析】 因为PF 1，PF 2是一元二次方程t 2－5t ＋5＝0的两根，所以|PF 1－PF 2|＝52－4×5 ＝5 .因为点P 在双曲线x 2m 2 －y 24－m2 ＝1(0<m <2)上，所以|PF 1－PF 2|＝2m ，所以2m ＝5 ，即m ＝52. 10. 5 【解析】 函数f (x )＝1－x 2的图象为圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方的部分(包含x 轴上的点)，s 2＋（t －2）2 ＋（s －1）2＋t 2 表示点P 到点M (0，2)的距离与点P 到点N (1，0)的距离之和，即s 2＋（t －2）2 ＋（s －1）2＋t 2 ＝PM ＋PN ≥MN ＝5 .11. [－4，5] 【解析】 1sin 2θ ＋4cos 2θ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋4cos 2θ (sin 2θ＋cos 2θ)＝5＋cos 2θsin 2θ ＋4sin 2θcos 2θ≥5＋2cos 2θsin 2θ×4sin 2θcos 2θ ＝9，当且仅当cos 2θsin 2θ ＝4sin 2θcos 2θ，即cos 2θ＝23 ，sin 2θ＝13时取等号，所以|2x －1|≤9，解得－4≤x ≤5. 12.43 ·Sπ【解析】 由题意知，圆锥母线长为R ，设圆锥底面的半径为r ，高为h ，则r 2＋h 2＝R 2，且12 ·2πr ·R ＝S ，R ＝S πr .圆锥筒的体积V ＝πr 2h 3 ＝πr23R 2－r 2 ＝πr23⎝ ⎛⎭⎪⎫S πr 2－r 2 ＝13 S 2r 2－π2r 6 ，令r 2＝t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，S π ，u ＝S 2r 2－π2r 6＝S 2t －π2t 3，令u ′＝S 2－3π2t 2＝0，得t ＝S 3π ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，S π ，当0<t <S 3π 时，u ′>0，当S 3π<t <S π 时，u ′<0，所以当且仅当t ＝S3π，即r 2＝S3π时，u 取得最大值，即这个圆锥筒的体积最大，此时扇形的半径R ＝Sπr＝43 ·Sπ.13. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |0<m ≤1或32≤m <2 【解析】 函数y ＝f (|x |)－m 有4个不同的零点等价于y ＝f (|x |)的图象与直线y ＝m 的图象有4个不同的公共点．因为f (|x |)为偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2（x －1）2，0≤x ≤2，1＋1x ，x >2， 所以可以作出函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图可知若函数y ＝f (|x |)－m 有4个不同的零点时，则实数m 的取值范围是{m |0<m ≤1或32≤m <2}．(第13题)14. [90°，180°) 【解析】 设∠BAD ＝α，∠CAD ＝β.因为∠BAD ≥90°－C ，所以α≥90°－C ，β≤90°－B .因为AC >AB ，所以B >C ，所以0°<β<α.因为90°>∠BAD ，所以0°<β<α<90°，所以sin α≥sin (90°－C )＝cos C ，sin β≤sin (90°－B )＝cos B .因为D 为BC 边上的一点，且AD 平分△ABC 的面积，即S △ABD ＝S △ACD ，所以12 c ·AD sin α＝12b ·AD sin β，所以c sin α＝b sin β，所以c cos C ≤b cos B .在△ABC 中，由正弦定理得sin C cos C ≤sin B cos B ，所以sin 2C ≤sin 2B .因为β≤90°－B ，所以B ≤90°－β<90°.因为C <B ，所以C <90°，所以2B ，2C ∈(0°，180°).因为sin 2C ≤sin 2B ，所以|2C －90°|≥|2B －90°|，所以(2C －90°)2≥(2B －90°)2，所以(2C ＋2B －180°)(2C －2B )≥0.因为B >C ，所以2C ＋2B －180°≤0，所以B ＋C ≤90°，所以∠BAC 的取值范围是[90°，180°).15. 【解答】 (1) 因为向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(1，－3 )，a ，b 所成的角为π3 ，所以a·b＝sin x －3 cos x ＝（sin x ）2＋（cos x ）2·12＋（－3）2·cos π3，(2分) 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝12 .(4分)因为x ∈[－π，π]，所以x －π3 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，2π3 ，所以x －π3 ＝－7π6 或x －π3 ＝π6，(6分)所以x ＝－5π6 或x ＝π2.(7分)(2) f (x )＝(a ＋c)·(a－2c)＝a 2－a·c－2c 2＝(sin x )2＋(cos x )2－(3 sin x －cos x )－2[(3 )2＋(－1)2]＝－7－(3 sin x －cos x )＝－7－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 ，(9分)因为x ∈[－π，π]，所以x －π6 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6，5π6 ，(11分)所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 ≤1，(13分)所以f (x )的值域为[－9，－5].(14分)16. 【解答】(1) 如图，连接AC ，设AC ∩BD ＝G ，连接FG . 由四边形ABCD 为平行四边形，得G 是AC 的中点． 又因为F 是CE 的中点，所以在△ACE 中，FG ∥AE .因为AE 平面BDF ，FG 平面BDF ，所以AE ∥平面BDF .(7分)(第16题)(2) 因为∠AEB ＝90°，所以AE ⊥BE .又因为直线BC ⊥平面ABE ，AE 平面ABE ，所以AE ⊥BC . 又BC ∩BE ＝B ，BC ，BE 平面BCE ， 所以直线AE ⊥平面BCE .由(1) 知，FG ∥AE ，所以直线FG ⊥平面BCE .因为直线FG 平面BDF ，所以平面BDF ⊥平面BCE .(14分)17. 【解答】 (1) 如图(1)，连接PA ，PD ，则∠EPA ＝α，∠D 1PD ＝β.(第17题(1))因为α＝β，所以tan α＝tan β，(2分) 所以AE PA ＝DD 1DP ，所以t PA ＝2PD ，所以PD ＝2t·PA ，(3分) 令2t＝λ>1，则PD ＝λPA .(4分)如图(2)，建立平面直角坐标系，(第17题(2))则A (0，0)，D (0，2)，设P (x ，y )，则x 2＋（y －2）2＝λx 2＋y 2，(5分) 化简得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －21－λ2 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2λλ2－1 2，所以P 点的轨迹，即曲线l 是在正方形ABCD 内的一段圆弧．(7分) (2) 由(1)知当E 为柱AA 1的中点时，t ＝1，所以λ＝2，(1)中圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋23 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43 2，(8分)因为α<β，所以tan α<tan β，所以AE PA <DD 1PD ，所以1PA <2PD，所以PD <2PA ，(10分)所以点P 在圆弧x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋23 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43 2外，(12分)所以点P 所在区域的面积为4－[16 π⎝ ⎛⎭⎪⎫43 2 －12 ×23 ×233 ]＝108＋63－8π27 .(14分)18. 【解答】 (1) 由椭圆C 的离心率为e ＝23，两条准线之间的距离为9，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝23，2a2c ＝9，a 2＝b 2＋c 2，(2分) 令c ＝2k ，a ＝3k (k >0)，则b ＝5 k ， 代入2a2c＝9，得k ＝1，所以a ＝3，b ＝5 ，所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 25＝1.(4分)(2) 设直线A 1P 的斜率是k ，则k ∈[1，3 ]，(6分) 设P ，Q 的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则直线A 1P 的方程是y ＝k (x ＋3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 25＝1，y ＝k （x ＋3），消去y ，得 (9k 2＋5)x 2＋54k 2x ＋9(9k 2－5)＝0，(8分)解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3（5－9k 2）5＋9k2，y 1＝30k5＋9k 2．(10分)同理，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3（9－5k 2）9＋5k2，y 2＝30k9＋5k 2，(12分)所以k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝30k 5＋9k 2－30k 9＋5k 23（5－9k 2）5＋9k 2－3（9－5k 2）9＋5k 2＝514 (k －1k)，(15分) 因为g (k )＝k －1k在[1，3 ]上单调递增，所以k PQ ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5321 .(16分)19. 【解答】 (1) 因为f (0)＝a e 0－a ＝0，g (0)＝0，所以f (x )＝a e x－a ，g (x )＝ax －x 2的图象存在一个公共的定点O (0，0).(2分)因为f ′(x )＝a e x，g ′(x )＝a －2x ，所以f ′(0)＝a ，g ′(0)＝a ，所以在定点O (0，0)处有一条公切线，为直线y ＝ax .(4分)(2) 假设存在实数k ，使得f （x ）＋a ax －ln x －1>k x 对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 恒成立，即存在实数k ，使得k <e x－x ln x －x 对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 恒成立．(5分)令h (x )＝e x－x ln x －x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ ，则h ′(x )＝e x－ln x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ ，(6分)令m (x )＝e x－ln x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ ，则m ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ ，(8分)令y ＝x e x －1，则y ′＝e x(1＋x )>0在x ∈(12，＋∞)上恒成立，所以y ＝x e x－1在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 上单调递增．(10分)因为12 e 12－1＝e 12－22<0，1·e 1－1>0，所以存在唯一实数x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 ，使得x 0e x 0－1＝0，即m ′(x 0)＝0，且x 0＝e －x 0， 所以h ′(x )在x 0处取得最小值h ′(x 0)＝e x 0－ln x 0－2＝e x 0－ln e －x 0－2＝e x 0＋x 0－2>e 12 ＋12 －2＝e －32＝e －94>0，(12分) 所以h (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 上单调递增， 所以h (x )>h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝e ＋ln 2－12 .(14分)因为k <e x－x ln x －x 对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 恒成立，所以k ≤e ＋ln 2－12 ，所以存在k ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，e ＋ln 2－12 ，使得f （x ）＋a ax －ln x －1>k x 对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 恒成立．(16分)20. 【解答】 (1) ①设正项等比数列{b n }的公比为q ，则b n ＋1－b n ＋b n ＋22＝b n q －b n ＋b n q 22＝－b n ·（q －1）22≤0，所以正项等比数列{b n }为“凹数列”．(2分)②设c n ＝d n ＋e n ，其中{d n }，{e n }分别为两个正项等比数列，公比分别为q 1，q 2，且q 1≠q 2， 显然c n >0(n ∈N *)，c n ＋1－c n ＋c n ＋22＝(d n ＋1＋e n ＋1)－（d n ＋e n ）＋（d n ＋2＋e n ＋2）2＝⎝⎛⎭⎪⎫d n ＋1－d n ＋d n ＋22＋(e n ＋1－e n ＋e n ＋22)＝⎝⎛⎭⎪⎫d n q 1－d n ＋d n q 21 2＋⎝⎛⎭⎪⎫e n q 2－e n ＋e n q 22 2＝－[d n ·（q 1－1）22＋e n ·（q 2－1）22]≤0，所以正项数列{c n }为“凹数列”．(4分) 下面证明：正项数列{c n }不是等比数列．若{c n }是等比数列，则(d n ＋1＋e n ＋1)2＝(d n ＋e n )·(d n ＋2＋e n ＋2)(n ∈N *)，所以d 2n ＋1 ＋e 2n ＋1 ＋2d n ＋1e n ＋1＝d n d n ＋2＋e n e n ＋2＋d n e n ＋2＋d n ＋2e n (n ∈N *)，因为数列{d n }，{e n }分别为两个正项等比数列， 所以d 2n ＋1 ＝d n d n ＋2，e 2n ＋1 ＝e n e n ＋2， 所以2d n ＋1e n ＋1＝d n e n ＋2＋d n ＋2e n ， 所以2d n e n q 1q 2＝d n e n q 22 ＋d n e n q 21 ，因为d n e n ≠0，所以2q 1q 2＝q 22 ＋q 21 ，所以(q 2－q 1)2＝0，所以q 2＝q 1，与q 1≠q 2矛盾， 所以数列{c n }不是等比数列．(6分)(2) 若存在一个常数k ∈N *，使得a 1≥a 2≥a 3≥…≥a k ，但a k <a k ＋1，(7分) 将a n ＋1≤a n ＋a n ＋22(n ∈N *)中的n 换成k ，得a k ＋1≤a k ＋a k ＋22，进一步得a k ＋1－a k ≤a k ＋2－a k＋1.由不等式的传递性得，a k ＋1<a k ＋2，(8分) 同理可得，a k ＋2<a k ＋3<a k ＋4<…<a n <…， 所以a k <a k ＋1<a k ＋2<a k ＋3<a k ＋4<…<a n <…，所以数列{a n }从a 1项到a k 项递减，从a k 项开始向后递增， 所以a 1＋a 2＋…＋a k －1＋a k ＋a k ＋1＋…＋a n >na k .(10分) 因为正常数k 是固定的，且a k >0，所以当n 足够大时，必有a 1＋a 2＋…＋a n >1(n >k )， 与题设a 1＋a 2＋…＋a n ≤1矛盾， 所以{a n }不可能从某一项开始递增， 所以a n －a n ＋1≥0(n ∈N *).(12分)令b k ＝a k －a k ＋1(k ∈N *)，a k ＝b k ＋a k ＋1(k ∈N *)， 由a k ＋1－a k ≤a k ＋2－a k ＋1，得b k ≥b k ＋1，b k ≥0(k ∈N *)，所以1≥a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(b 1＋a 2)＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝b 1＋2a 2＋a 3＋…＋a n＝b 1＋2(b 2＋a 3)＋a 3＋…＋a n ＝b 1＋2b 2＋3a 3＋…＋a n ＝…＝b 1＋2b 2＋…＋(n －1)b n －1＋na n ＝b 1＋2b 2＋…＋(n －1)b n －1＋n (b n ＋a n ＋1) ＝b 1＋2b 2＋…＋(n －1)b n －1＋nb n ＋na n ＋1 ≥b 1＋2b 2＋…＋(n －1)b n －1＋nb n ≥b n ＋2b n ＋…＋(n －1)b n ＋nb n ＝[1＋2＋…＋(n －1)＋n ]b n ＝n （n ＋1）2b n ，所以b n ≤2n （n ＋1）对一切n ∈N *成立．综上，对一切n ∈N *，0≤a n －a n ＋1≤2n （n ＋1）成立．(16分)2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二)数学Ⅱ(附加题)参考答案及评分标准21. A. 【解答】 因为T 变换将曲线C 1：x 24＋y 2＝1变换为单位圆x 2＋y 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝y ， 所以T 变换对应的矩阵为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001 .(3分) 因为S 变换将曲线C 2：x 29－y 24＝1变换为等轴双曲线x 2－y 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3，y ′＝y2，所以T 变换对应的矩阵为N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤130012，(6分) 所以变换ST 对应的矩阵为NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤130012 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤160012 .(10分) B. 【解答】 以极点为坐标原点，极轴为x 轴，建立平面直角坐标系，将直线ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 化为普通方程得ρcos θcos π4 ＋ρsin θsin π4 ＝2 ，即x ＋y －2＝0，(3分)将圆O ：ρ＝8sin θ化为普通方程得x 2＋y 2－8y ＝0， 即x 2＋(y －4)2＝16.(6分)因为圆心O (0，4)到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|0＋4－2|2 ＝2 ，所以AB ＝2r 2－d 2＝216－（2）2＝214 ，(9分) 所以△OAB 的面积为12 AB ·d ＝12×214 ×2 ＝27 .(10分)C. 【解答】 因为实数x ，y ，z 为正实数，所以1x ＋2y ＋z3 ≥331x ·2y ·z 3 ＝3·32z 3xy①，(3分)x 4 ＋y 5 ＋6z ≥3·3x 4·y 5·6z ＝3·33xy 10z②，(6分) 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋z 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋y 5＋6z ≥3·32z 3xy ·3·33xy 10z ，(9分)因为①②中的等号不同时成立，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋z 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋y 5＋6z >93255 .(10分)22. 【解答】 (1) 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫s 24，s ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t (s ≠t )， 因为P 与Q 的纵坐标之和为4，所以s ＋t ＝4.又直线PQ 的倾斜角不等于π2 ，所以直线PQ 的斜率为t －s t 24－s 24 ＝4t ＋s＝1，(3分)所以直线PQ 的倾斜角为π4.(4分)(2) 设M (x 1，y 1)(y 1≠0，4)，则A (x 1，x 1)，因为MB → ＝2MA →，所以点A 是BM 的中点，即B (x 1，2x 1－y 1)，所以直线OB ：y ＝2x 1－y 1x 1x .因为x 1＝y 21 4 ，所以直线OB ：y ＝2y 1－4y 1x .(6分)设N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 1－4y 1x ，y 2＝4x ， 可得y ＝2y 1y 1－2 ，所以y 2＝2y 1y 1－2 ，(8分)所以k MN ＝y 2－y 1x 2－x 1 ＝y 2－y 1y 22 4－y 21 4＝4y 2＋y 1 ＝42y 1y 1－2＋y 1 ＝4（y 1－2）y 21，所以直线MN ：y ＝4（y 1－2）y 21 (x －x 1)＋y 1＝4（y 1－2）y 21 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 21 4 ＋y 1＝4（y 1－2）y 21 x ＋2，所以直线MN 恒过定点(0，2).(10分)23. 【解答】 (1) 因为f n (a ，b )＝S n ＋1n ＋1 ＝∑r ＝1n ＋1 ab （a n －r b r）n ＋1 ＝a b ∑r ＝1n ＋1a n －r brn ＋1，所以f 1(a ，b )＝a ＋b2≥a ＋b2，(1分)因为f 2(a ，b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2＝a 2＋ab ＋b 23 －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2＝（a －b ）212 ≥0，所以f 2(a ，b )≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2，(2分)因为f 3(a ，b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 3＝a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 34 －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 3＝（a ＋b ）（a －b ）28 ，a ＋b ≥0， 所以f 3(a ，b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 3＝（a ＋b ）（a －b ）28 ≥0，即f 3(a ，b )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 3.(3分) (2) 当a ＝b 时，f n (a ，b )＝（n ＋1）a nn ＋1 ＝a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n ，所以f n (a ，b )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n 成立．(4分)当a ≠b 时，由等比数列的求和公式得，f n (a ，b )＝a n ＋1－b n ＋1（a －b ）（n ＋1），因为an ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＋a －b 2 n ＋1＝i ＝0n ＋1 C i n ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n ＋1－i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2 i ， b n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2－a －b 2 n ＋1＝i ＝0n ＋1 (－1)i C in ＋1 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n ＋1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2 i ，(5分) f n (a ，b )＝a n ＋1－b n ＋1（a －b ）（n ＋1） ＝2（a －b ）（n ＋1） [C 1n ＋1 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2 ＋C 3n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2 3＋C 5n ＋1 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n －4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2 5＋…]＝2n ＋1 [C 1n ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n 12 ＋C 3n ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2 212 ＋C 5n ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n －4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2 412＋…]＝1n ＋1 [C 1n ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n ＋C 3n ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2 2＋C 5n ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n －4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2 4＋…](*)，(7分)因为a ＋b ≥0，所以(*)≥C 1n ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n ，当且仅当n ＝1或a ＋b ＝0时取等号．(9分) 综上，a ，b ∈R，a ≠0，a ＋b ≥0，n ∈N *，f n (a ，b )≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 n 成立，当且仅当n ＝1或a ＝b 或a ＋b ＝0时取等号．(10分)。

江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学2020届高三下学期四校4月联考数学试题参考公式:一组数据12,,,n x x x L 的方差为:2211(),n i i s x x n ==-∑其中x 是数据12,,,n x x x L 的平均数. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分｡请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合A={x|-1<x≤1}, B={-1,0,1},则A∩B=___.2.已知复数z 满足(1-i)z=|1+i|(i 为虚数单位),则z 的实部为____.3.若一组样本数据8, 9, x, 9, 10的平均数为9,则该组数据的方差为__.4.根据如图所示伪代码,最后输出的i 的值为____.5.从2名男同学和3名女同学中选2人参加某项活动,则至少有1名女同学被选中的概率为____.6.双曲线2213y x -=的准线方程为____. 7.已知*){}(n a n ∈N )为等差数列,其公差为-2,且6a 是2a 与8a 的等比中项,n S 为{}n a 的前n 项和,则10S 的值为_____. 8.已知函数21()ln 2f x x x ax =-+,若函数f(x)在区间(1,2)上存在极值,则实数a 的取值范围为____. 9.给出下列命题:①如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;②如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;③如果两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m 垂直;④如果两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中真命题的序号是_____.10. 已知函数()2cos()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象过点2),且在区间[0,]2π上单调递减,则ω的最大值为____ 11. 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆22:(2)4,C x y -+=点A 是直线x-y+2=0上的一个动点,直线AP,AQ分别切圆C 于P,Q 两点,则线段PQ 长的取值范围为_____.12. 已知正实数x, y 满足2()1,xy x y -=则x+y 的最小值为____.13. 如图,在梯形ABCD 中,AB//CD 且DC=2AB=2BC,E 为BC 的中点, AC 与DE 交于点O.若125,CB CD OA OD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 则∠BCD 的余弦值为____.14. 已知周期为6的函数f(x)满足f(4+x)= f(4-x),当x ∈[1,4]时,ln (),x f x x =则当323a e <≤时(e 为自然对数的底数),关于x 的不等式2()()0f x af x -<在区间[1,15]上的整数解的个数为_____.二､解答题:本大题共6小题,共90分｡请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡15. (本小题满分14分)如图,在四棱锥P- ABCD 中,底面ABCD 是菱形,M 为PC 的中点｡(1)求证:PA//平面BDM;(2)若PA=PC,求证:平面PBD ⊥平面ABCD.16.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知角a 的顶点在坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过一点P(-3,t)｡(1)若t=4,求:sin()4πα+的值; (2)若3t =且α∈(0,2π),求f(x)= sin(x + α) + cos x 的单调增区间.17. (本小题满分14分)如图,某大型厂区有三个值班室A,B,C.值班室A 在值班室B 的正北方向3千米处,值班室C 在值班室B 的正东方向4千米处｡(1)保安甲沿CA 从值班室C 出发行至点P 处,此时PC=2,求PB 的距离;(2)保安甲沿CA 从值班室C 出发前往值班室A,保安乙沿AB 从值班室A 出发前往值班室B,甲乙同时出发,甲的速度为5千米/小时,乙的速度为3千米/小时,若甲乙两人通过对讲机联系,对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米(含3千米),试问有多长时间两人不能通话?18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的方程为2221(02)4x y b b+=<<,且直线2y x =+与以原点为圆心,椭圆C 短轴长为直径的圆相切.(1) 求b 的值;(2)若椭圆C 左右顶点分别为M,N,过点P(-2,2)作直线l 与椭圆交于A, B 两点,且A,B 位于第一象限,A 在线段BP 上.①若△AOM 和△BON 的面积分别为12,,S S 问是否存在这样的直线l 使得121S S +=?请说明理由;②直线OP 与直线NA 交于点C,连结MB,MC,记直线MB,MC 的斜率分别为1,k 2.k 求证:12k k 为定值.19. (本小题满分16分)已知数列*{}()n a n ∈N 的前n 项和为S n ,()2nn n S a λ=+(λ为常数)对于任意的*n ∈N 恒成立. (1)若11,a =求λ的值;(2)证明:数列{}n a 是等差数列; (3)若22,a =关于m 的不等式|2|1m S m m -<+有且仅有两个不同的整数解,求λ的取值范围.20. (本小题满分16分) 已知函数ln ()(1x f x a ax =∈+R ,且a 为常数). (1)若函数y=f(x)的图象在x=e 处的切线的斜率为21(1)e e -(e 为自然对数的底数),求a 的值; (2)若函数y= f(x)在区间(1,2)上单调递增,求a 的取值范围;(3)已知x,y ∈(1,2), 且x+y=3.求证:(23)ln (23)ln 011x x y y x y --+≤--.21. [选做题]本题包括A ､B ､C 共3小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.A. [选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分) 曲线221x y +=在矩阵0(0,0)0a A a b b ⎡⎤=>>⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到曲线22 1.9x y += (1)求矩阵A;(2)求矩阵A 的特征向量.B. [选修4-4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程:12212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),以原点为极点,x 轴非负半轴为极轴(取相同单位长度)建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为: ρ+ 2cosθ=0.(1)将直线l 的参数方程化为普通方程,圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值.C. [选修4-5:不等式选讲] (本小题满分10分)已知a,b,c 为正实数,满足a+b+c=3,求149a b c++的最小值.[必做题]第22题､第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)五个自然数1､2､3､4､5按照一定的顺序排成一列.(1)求2和4不相邻的概率;(2)定义:若两个数的和为6且相邻,称这两个数为一组“友好数”.随机变量ξ表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数"的组数,求ξ的概率分布和数学期望E(ξ).23. (本小题满分10分)已知*,n ∈N 数列T 12:,,,n a a a L 中的每一项均在集合M ={1,2,…,n}中,且任意两项不相等,又对于任意的整数i,j(1≤i<j≤n),均有.i j i a j a +≤+例如n=2时,数列T 为1,2或2,1.(1)当n=3时,试求满足条件的数列T 的个数;(2)当*,n ∈N 求所有满足条件的数列T 的个数.。

某某省某某市2020届高三数学下学期第四次调研测试试题（含解析）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合{}3,1,1,3A =--，{}2230B x x x =--=∣，则A B =________．【答案】{1,3}-【解析】【分析】解一元二次方程求得集合B ，由此求得A B . 【详解】由()()223310x x x x --=-+=解得1x =-或3x =，所以{}1,3B =-，所以A B ={1,3}-故答案为：{1,3}-【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.已知复数z 满足()24z i -=，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．【答案】2【解析】【分析】由已知求出24z i =-，即得z 的实部. 【详解】由题得24424i z i i i-===-， 所以24z i =-，所以z 的实部为2.故答案为：2【点睛】本题主要考查复数的运算和复数实部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了100名女生的体重，所得数据均在区间[]48,58中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100名女生中，体重在区间[]50,56的女生数为________．【答案】75【解析】【分析】先根据频率分布直方图求出所求区间的频率，然后乘以总人数即为所求.【详解】由频率分布直方图可知，体重在区间[]50,56的频率为()20.1000.1500.1250.75++=，所以体重在区间[]50,56的女生数为0.7510075.⨯= 故答案为：75【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的值为7-，则输入的x 的值为________．【答案】1【解析】【分析】模拟程序的运行过程可知该程序的功能是求分段函数的函数值，利用分类讨论即可求出答案．【详解】解：模拟程序的运行过程可知，该程序的功能是求分段函数6,228,23x x y x x-≥⎧⎪=⎨-<⎪-⎩的函数值，当2x ≥时，67x -=-，得1x =-，不符合题意；当2x <时，2873x-=--，得1x =，符合题意； ∴输入的x 的值为1， 故答案为：1．【点睛】本题主要考查程序与算法的应用，属于基础题．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2216416x y -=上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，则点M 到另一个焦点的距离为________．【答案】17【解析】【分析】设双曲线的左右焦点分别为12,F F ,由题得12||||||16MF MF -=，令2||1MF =即得解.【详解】设双曲线的左右焦点分别为12,F F ,由题得12||||||2816MF MF -=⨯=,所以11|||1|2816||17MF MF -=⨯=∴=，或15-（舍）. 所以点M 到另一个焦点的距离为17.故答案为：17.【点睛】本题主要考查双曲线的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6.已知区域{(,)|||2A x y x =，||2}y 和{(,)|0B x y x =>，0y >，2}x y +，若在区域A 内随机取一点，则该点恰好落在区域B 内的概率为________． 【答案】18【解析】【分析】分别求出集合A ，B 所对应的区域的面积，然后根据几何概型的概率公式即可求解．【详解】因为{(,)|||2A x y x =，||2}y 表示的区域是以4为边长的正方形，面积为16， 由{(,)|0B x y x =>，0y >，2}x y +可知，其区域为如图所示的阴影部分，面积12222S =⨯⨯=， 故在区域A 内随机取一点，则该点恰好落在区域B 内的概率21168P ==. 故答案为：18.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析数学问题的能力.7.若实数x ，y 满足34x y +=，则28x y +的最小值为________．【答案】8【解析】【分析】利用基本不等式求得所求表达式的最小值. 【详解】依题意3334282222222228x y x y x y x y ++=+≥⋅===，当且仅当322x y =，即32x y ==时等号成立.所以28x y +的最小值为8.故答案为：8【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.8.已知数列{}n a 满足112n n n n a a a a +++=-，且119a =，则6a 的值为________． 【答案】27【解析】【分析】根据已知条件判断出数列{}n a 是等比数列，进而求得6a 的值.【详解】由于112n n n na a a a +++=-，1122n n n n a a a a +++=-，13n n a a +=， 所以13n n a a +=，所以数列{}n a 是首项为119a =，公比为3q =的等比数列， 所以55361133279a a q =⋅=⨯==. 故答案为：27 【点睛】本小题主要考查根据递推关系求某一项的值，考查等比数列的定义，属于基础题.9.已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数，且(2)2(8)1f f -=+，则(2020)f 的值为________． 【答案】13【解析】【分析】根据题意可知函数的周期为3，可得()()()(2)1,81-==-f f f f ，然后根据函数的奇偶性可得()1f ，最后利用函数的周期性可得(2020)f【详解】由题可知：函数()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数所以()()()()(2)1,811-==-=-f f f f f ，又(2)2(8)1f f -=+所以(1)2(1)1=-+f f ，则1(1)3f = 所以()()1(2020)6733113=⨯+==f f f 故答案为：13【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的综合应用，关键在于观察，利用函数的周期性，把大数变小数，属基础题.10.已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体．著名数学家欧拉研究并证明了多面体的顶点数（V）、棱数（E）、面数（F）之间存在如下关系：2V F E+-=．利用这个公式，可以证明柏拉图多面体只有5种，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体．若棱长相等的正六面体和正八面体（如图）的外接球的表面积分别为12,S S，则12SS的值为________．【答案】32【解析】【分析】设棱长为a，分别求出正六面体和正八面体的外接球半径即可.【详解】设棱长为a正六面体即正方体，它的外接球的半径等于体对角线的一半，所以13R a=对于正八面体，易得AC BD EF==，故其外接球的球心为AC中点，所以222R a=所以2211222234342424a S R S R a ππ=== 故答案为：32【点睛】本题考查的是几何体外接球，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M经过直线:0x l -+=与圆22:4C x y +=的两个交点，当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为________．【答案】223122x y ⎛⎛⎫++-=⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】【分析】直线l 的方程与圆C 方程联立，求出两交点,A B ，当圆M 的面积最小时，圆M 以AB 为直径，可求得圆的标准方程.【详解】由:0x l +=与22:4C x y +=联立得224y -+=， 得1y =或2y =，则两交点坐标为((0,2)A B ，当圆M 的面积最小时，圆M 以AB 为直径，则圆心3()2，半径为12AB =， 圆M 的标准方程为22312x y ⎛⎛⎫++-= ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：22312x y ⎛⎛⎫++-= ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查了求直线与圆的交点坐标，求以两点的线段为直径的圆的标准方程，属于基础题. 12.如图，四边形ABCD 是以AB 为直径的圆的内接四边形．若2,1AB AD ==，则DC AB ⋅的取值X 围是________．【答案】(0,3)【解析】【分析】 连接,,BD BC AC ，则()2DC AB DA AB AB BC AC CB ⋅=⋅++⋅+，再由直径AB 可得1cos 2DAB ∠=，90ACB ∠=︒，从而可求DC AB ⋅的值. 【详解】连接,,BD BC AC因为AB 为直径，故90ADB ∠=︒，而2,1AB AD ==，所以1cos 2DAB ∠=. 同理90ACB ∠=︒. ()2DC AB DA AB BC AB DA AB AB BC AB ⋅=++⋅=⋅++⋅()2112432BC AC CB CB ⎛⎫=⨯⨯-++⋅+=- ⎪⎝⎭， 因为C 在BD 之间（异于,B D 两点），故(3BC ∈，所以()0,3DC AB ⋅∈，故答案为：(0,3).【点睛】本题考查向量的数量积，其计算方法有定义法、坐标法、基底法等，解题中注意向已知的向量转化.13.已知函数23,0()2,0x x f x x x x <⎧=⎨-≥⎩，则函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数为________．【答案】5【解析】【分析】先求得()f x 的零点，然后由(()24)0y f f x x =-+=，求得函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数.【详解】由于函数23,0()2,0x x f x x x x <⎧=⎨-≥⎩，当0x <时，30x <，没有零点.当0x ≥时，220x x -=，解得10x =或22x =.令(()24)0y f f x x =-+=，则()240f x x -+=或()242f x x -+=，即()24f x x =-或()22f x x =-.由3240x x x =-⎧⎨<⎩或22240x x x x ⎧-=-⎨≥⎩或3220x x x =-⎧⎨<⎩或22220x x x x ⎧-=-⎨≥⎩. 解得4x =-或2x =，或2x =-，或2x =±所以函数(()24)y f f x x =-+的不同零点的个数为5.故答案为：5 【点睛】本小题主要考查分段函数零点问题，属于中档题.14.已知点G 是ABC 的重心，且GA GC ⊥，若111tan tan A C+=，则tan B 的值为________． 【答案】12 【解析】【分析】由GA GC ⊥得到0GA GC ⋅=，结合G 是ABC 的重心，得到2225b a c =+，结合余弦定理和正弦定理，求得tan B 的值.【详解】依题意GA GC ⊥，所以0GA GC ⋅=，所以()()0BA BG BC BG -⋅-=①， 因为G 是三角形ABC 的中心，所以()13BG BA BC =+②， 把②代入①并化简得5AC AC BC BC AB AB ⋅=⋅+⋅，即2225b a c =+，由余弦定理得2222cos a c b ac B +=+，所以242cos b ac B =，由正弦定理得22sin sin sin cos B A C B =③，已知111tan tan A C+=， 所以cos cos sin cos cos sin sin sin sin sin A C A C A C A C A C ++=()sin sin 1sin sin sin sin A C B A C A C+===， 所以sin sin sin B A C =④，由③④得2sin cos B B =，所以1tan 2B =. 故答案为：12【点睛】本小题主要考查向量线性运算、数量积的运算，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查同角三角函数关系以及三角恒等变换，属于难题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面,10,6,8ABC AB BC AC PC ====，E ，F 分别是,PA PC 的中点，求证：（1）//AC 平面BEF ；（2）PA ⊥平面BCE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先证明//EF AC ，//AC 平面BEF 即得证；（2）先证明BC PA ⊥，PA EC ⊥，PA ⊥平面BCE 即得证．【详解】（1）在PAC 中，E ，F 分别是,PA PC 的中点，所以//EF AC ．又因为EF ⊂平面BEF ，AC ⊄平面BEF ，所以//AC 平面BEF ．（2）在ABC 中，10,6,8AB BC AC === ，所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥．因为PC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PC BC ⊥．又因为,,BC PC AC PC C AC ⊥⋂=⊂平面,PAC PC ⊂平面PAC ．所以BC ⊥平面PAC ．因为PA ⊂平面PAC ，所以BC PA ⊥在PAC 中，因为AC PC =，E 为PA 的中点，所以PA EC ⊥．又因为,,PA BC CE BC C CE ⊥⋂=⊂平面,BCE BC ⊂平面BCE ．所以PA ⊥平面BCE ．【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化能力.16.已知函数2()2cos cos 2,46f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求()f x 的最小值；（2）在ABC 中，03A π<<，且1()2f A =-，若2,AC BC ==B 的大小．【答案】（1）1-（2）2B π=.【解析】【分析】 （1）用降次公式，两角和与差公式，辅助角公式化简()f x ，再求得最小值；（2）由1()2f A =-，求得角A ，再由正弦定理求得角B . 【详解】（1）2()2cos cos 246f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 2cos2cos sin 2sin 266x x x πππ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭11sin 2sin 22x x x =-+-331cos2sin 22x x =+-13cos 23x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 因为当()3x k k Z ππ=+∈时，cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为1-， 所以()f x 的最小值为13-（2）由（1）知，1()13cos 232f A A π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，即3cos 232A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 因为03A π<<，所以233A πππ<+<，所以5236A ππ+=，即4A π=． 在ABC 中，因为2AC =，2BC =，由正弦定理sin sin AC BC B A =，得22sin sin 4B π=，所以sin 1B =． 因为0B π<<，所以2B π=．【点睛】本题考查了降次公式，两角和与差公式，辅助角公式，已知三角函数值求角，正弦定理，属于中档题.17.如图，在市中心有一矩形空地,100m,75m ABCD AB AD ==．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边,AD AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．（1）若假山区域面积为2400m ，求喷泉区域面积的最小值；（2）若100m MN =，求假山区域面积的最大值．【答案】（1）2200m π；（2）2.【解析】【分析】（1）设,0,2ANM πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，半圆的直径2MN r =，根据假山区域面积为2400m ，找到r 与θ的关系，再表示出喷泉区域面积，求最值，注意验证半圆是否在矩形空地ABCD 内，即验证是否能取到最小值；（2）由（1）根据以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内，求得θ的X 围，再将假山区域面积用θ表示出来，再求最值.【详解】解：（1）设,0,2ANM πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，半圆的直径2MN r =，半圆的圆心为O ． 在直角三角形AMN 中，2MAN π∠=，所以2sin ,2cos AM r AN r θθ==． 因为假山区域面积为2400m ， 所以2112sin 2cos sin 240022AM AN r r r θθθ⋅=⨯⨯== 所以2400sin 2r θ=，所以喷泉区域面积22002002sin 2S r πππθ==喷泉， 当且仅当sin 21θ=，即4πθ=时取等号．此时20r =．因为点O 到CD 的距离112d AD AM =-，点O 到BC 的距离212d AB AN =-，所以175sin 7520d r r θ=-=->=，即1d r >，2100cos 10020d r r θ=-=->=，即2d r >．所以以MN 为直径的半圆区域一定在矩形广场内．所以当4πθ=时，S 喷泉取得最小值2200m π．喷泉区域面积的最小值为2200m π．（2）由（1）知，若100m MN =，则2100,100sin ,100cos r AM AN θθ===． 所以点O 到CD 的距离175sin 7550sin d r θθ=-=-，点O 到BC 的距离210050cos d θ=-，因为以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内，所以12,,d r d r ⎧⎨⎩即7550sin 50,10050cos 50,θθ-⎧⎨-⎩所以1sin 2θ≤． 又因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 所以假山区域面积11100sin 100cos 2500sin 222S AM AN θθθ=⋅=⨯⨯=假山， 因为0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以20,3πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以当6πθ=时，假山区域面积的最大值为2．【点睛】本题是三角函数在几何中的应用题，结合考查了直线与圆的位置关系，二倍角公式，还考查了学生的分析理解能力，运算能力，属于中档题.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y bC b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程； （2）若ABO 10，求直线AB 的方程；（3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．【答案】（1）2213620x y +=；（2）515100x ±-=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题得223636b -=，解方程即得b 的值，即得椭圆2C 的标准方程； （2）设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，得到韦达定理，再根据ABO AOF BOF S S S =+11||2OF y =21||2OF y +求出m 的值，即得直线AB 的方程； （3）设()()1122,,,,A x y B x y 先求出,,A B C 的坐标，得到53OA CD k k ==所以//OA CD ，又53AD OC k k ==，所以//OC AD ．即得四边形AOCD 是平行四边形． 【详解】（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长1225b =22111224c a b =-=，椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b ，焦距222236c b =-．因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即223636b -=因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=． （2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线，设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=， 消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>， 所以1,2259259y m m ==++， 即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++． 因为121212111||||||222ABO AOFBOF S S S OFy OF y O y y y F y =+=+=-=-===， 化简得4259m =，所以m =， 所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=． （3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩ 因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上，所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =． 代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =，从而得，113,44x y ==，即321,,,4488A B ⎛⎫⎛- ⎪ ⎝⎭⎝⎭．所以OC k =，直线OC的方程为y x =， 联立2213620x y +=，得244116x =． 由题知0x >，所以21,4x y ==21,44C ⎛- ⎝⎭． 又(6,0)D，所以3OA CD k k ==． 又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又21AD OC k k ==-，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ． 所以四边形AOCD 是平行四边形．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和面积的计算，考查直线方程的求法和位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.19.已知函数()(1ln )()m R f x x x m =++∈．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）设()()f x g x x x=+，求函数()y g x =的单调区间；（3）若()f x mx ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求满足题意的所有整数m 的取值集合．【答案】（1）21y x m =+-；（2）答案见解析；（3）{1,2,3}.【解析】【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）求得()g x 的表达式，利用()'g x ，对m 分成0m ≤，0m >两种情况进行分类讨论，由此求得()g x 的单调区间.（3）由()f x mx ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，得到(1ln )0x x mx m +-+≥对(0,)x ∀∈+∞成立，由此构造函数()(1ln )m x x x mx m =+-+，利用来导数研究()m x 的单调区间和最值，由此求得整数m 的取值集合.【详解】（1）()2ln '=+f x x ，所以(1)2f '=，()11f m =+，所以所求切线方程为()121y m x --=-，即21y x m =+-．（2）由已知，()()1ln f x m g x x x x x x=+=+++， 所以2221()1m x x m g x x x x +-'=-+=． 当0m ≤时，()()0,g x g x '>的单调递增区间为(0,)+∞；当0m >时，令()0g x '=，得x =或x =（舍去），10,2x ⎛-+∈ ⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；12x ⎛⎫-∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增． 综上，当0m ≤时，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞；当0m >时，函数的单调递减区间为10,2⎛-+ ⎝⎭，函数的单调递增区间为12⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭． （3）由已知(1ln )0x x mx m +-+≥对(0,)x ∀∈+∞成立， 设()(1ln )m x x x mx m =+-+，令()'ln 20m x x m =+-=，得2m x e -=．当()20,m x e -∈时，()'0,()m x m x <单调递减；当()2,m x e-∈+∞时，()'0,()m x m x >单调递增．所以()min 22[()]m m m x m e m e--==-，设2()m h m m e-=-，令2()10m h m e -'=-=，得2m =．当),(2m ∈-∞时，()()0,h m h m '>单调递增； 当(2,)m ∈+∞时，()()0,h m h m '<单调递减． 又(0)0h <，1(1)10h e-=->，0(2)20h e =->，(3)30h e =->，2(4)40h e =-<，所以满足题意的整数m 构成的集合为{1,2,3}．【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数求单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，nn nS b a =()N n *∈，若{}n b 是公差不为0的等差数列，且2711b b b =．（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n a 是等差数列； （3）记2nn n a S c =，若存在1k ，2N k *∈（12k k ≠），使得12k k c c =成立，某某数1a 的取值X围．【答案】（1）1(1)2n b n =+；（2）证明见解析；（3）(]20,log 3.【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得1b 和数列{}n b 的公差，由此求得数列{}n b 的通项公式. （2）由（1）得到*1(1),2n n S n n N a =+∈，进而得到数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，求得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而证得数列{}n a 是等差数列.（3）先求得n c 的表达式，然后求得1n n c c +-的表达式，对1a 进行分类讨论，结合数列{}n c 的单调性，求得1a 的取值X 围.【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d ，因为1111S b a ==，所以1(1)n b n d =+-． 由2711b b b =得，(1)(16)110d d d ++=+，即220d d -=， 因为0d ≠，所以12d =，从而1(1)2n b n =+． （2）由（1）知，*1(1),2n n S n n N a =+∈， 即有2(1)n n S n a =+， ① 所以112(2)n n S n a ++=+， ②②-①得，112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得1(1)n n na n a +=+． 两边除以(1)n n +得，()*101n na a n N n n+-=∈+， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列．所以111n a a a n ==，即1n a na =， 所以11n n a a a +-=， 所以数列{}n a 是等差数列．（3）因为n n n S b a =，所以11(1)22n n n n n S a a ++==， 所以111(1)22n n n na a S n n a c ++==． 因为111111111111(1)(2)(1)(1)(2)122222n n na a na na a n n a n n a n n a n c c n ++++++++++⎛⎫-=-=- ⎪+⎝⎭，当*n N ∈时，211,1223n n n ⎡⎫=-∈⎪⎢++⎣⎭． 显然10a ≠，①若10a <，则11111,0222a a nn >->+恒成立， 所以10n n c c +-<，即*1,n n c c n N +<∈，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =； ②若12log 3a >，则111,02322k ka a n n <-<+恒成立， 所以10n n c c +-<，即*1,n n c c n N +<∈，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =； ③若21log 3=a ，则1123k a =，所以当1n =，11022a n n -=+成立， 所以存在12c c =． ④若120log 3a <<，则111132a <<．当1221a n <-，且*n N ∈时，1n n c c +>，{}n c 单调递增； 当1221a n >-，且*n N ∈时，1n n c c +<，{}n c 单调递减， 不妨取()*0120002log ,2k a k N k k +=∈，则001k k c c +=． 综上，若存在*12,k k N ∈，使得12k k c c =成立，则1a 的取值X 围是(]20,log 3.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求法，考查由递推关系证明等差数列，考查数列的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.第II 卷（附加题，共40分）【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4-2：矩阵与变换 21.已知矩阵 1 1 4a A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2． （1）某某数a 的值；（2）求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．【答案】（1）2a =；（2）矩阵A 的另一个特征值为3，其对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）根据矩阵A 的特征多项式列方程，结合矩阵A 的特征值求得a 的值. （2）由（1）求得另一个特征值，根据特征向量的求法，求得对应的特征向量. 【详解】（1）由已知，矩阵A 的特征多项式为1()(1)(4)14af a λλλλλ--==--+-，令()0f λ=得，2540a λλ-++=．因为矩阵A 的一个特征值为2，所以上述方程有一个实数解2λ=， 所以2a =．（2）由（1）得，2560λλ-+=，解得122,3λλ==， 所以另一个特征值为3λ=． 设其对应的一个特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则12314x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，取1x =，则1y =． 所以矩阵A 的另一个特征值为3，其对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本小题主要考查根据特征值求参数，考查特征值和特征向量的求法，属于中档题. B.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．若直线l 被椭圆C所截得的弦长为5，某某数m 的值．【答案】2m =±． 【解析】 【分析】将椭圆C 的参数方程化为普通方程，将直线l 的参数方程代入椭圆方程，结合直线的参数方程中参数的几何意义与韦达定理即可求出答案．【详解】解：将椭圆C 的参数方程2cos ,sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）化为普通方程得2214xy +=，将直线l 的参数方程代入椭圆方程得2244022m t t ⎛⎫⎛⎫++⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即225402t m ++-=，由()22524402m m ∆=-⋅->得，m < 设12,t t 为两交点对应的参数，∴()2121224,55m t t t t -+=-=， ∴()()()()222221212128482048425525m mm t t t t t t ---=+-=-=，∵直线l ， ∴()28204322525m -=，2m =±，符合>0∆， ∴2m =±．【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查直线的参数方程的应用，属于中档题．C ．选修4-5：不等式选讲23.若实数a ，b ，c 满足7a b c ++=，求证：2224936a b c ++≥． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】利用柯西不等式证得不等式成立【详解】因为()22222221111149232323a b c a b c⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅+⋅⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以2222()4911149a b ca b c++++++．又7a b c++=，所以2224936a b c++【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式证明不等式，属于中档题.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24.已知直四棱柱1111ABCD A B C D-的棱长均相等，且60BAD∠=︒，M是侧棱1DD的中点，N是棱11C D上的点．（1）求异面直线1BD与AM所成角的余弦值；（2）若二面角M AC N--的大小为4π，试确定点N的位置．【答案】（1）105；（2）点N与点1C重合.【解析】【分析】连结BD，取AB的中点E，连接DE，可以证明DE DC⊥，11,D D DC D D DE⊥⊥，从而建立如图所示的空间直角坐标系.（1）算出1,BD AM 的坐标后可求1,BD AM 的余弦值，从而得到异面直线所成角的余弦值. （2）算出平面AMC 的法向量和平面ACN 的法向量后再计算它们夹角的余弦值，从而可得二面角的余弦值.【详解】连结BD ，取AB 的中点E ，连接DE ， 因为直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等， 所以底面ABCD 是菱形．又60BAD ∠=︒，所以ABD △是正三角形， 所以DE AB ⊥，因为//AB DC ，所以DE DC ⊥． 因为直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，DC ，DE ⊂平面ABCD ，所以11,D D DC D D DE ⊥⊥．分别以直线1,,DE DC DD 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．（1）设直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，则1(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,0,1)D A B C D M -．所以1(3,1,2),(3,1,1)BD AM =--=-， 设异面直线1BD 与AM 所成角的大小为θ，则1113cos |cos ,|5||||2BD AM BD AM BD AM θ⋅=〈〉===⋅，所以异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值为5． （2）由（1）知，(3,3,0),(3,1,1)AC AM =-=-． 设平面AMC 的法向量为()1111,,n xy z =，则11n AC n AM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即11n AC n AM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，所以1111130,0.y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩ 取13x =，则111,2y z ==，即平面AMC 的一个法向量为1(3,1,2)n =． 设(0,,2),02N λλ，则(0,2,2)CN λ=-．设平面ACN 的法向量为()2222,,n x y z =，则22n AC n CN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即2200n AC n CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以222230,(2)20.y y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩取23x =，则2221,2y z λ-==， 即平面ACN 的一个法向量为223,1,2nλ-⎛⎫= ⎪⎭． 则121212coscos 422n n n n n n π⋅=<⋅>===⋅， 解得2λ=．所以当二面角M AC N --的大小为4π，点N 与点1C 重合． 【点睛】本题考查空间角的计算，此类问题我们可以借助于空间中直线的方向向量和平面的法向量来帮助计算，比如异面直线所成角的的余弦值就是它们所在直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值，二面角的平面角的余弦值就是两个平面的法向量的夹角的余弦值或其相反数（结合二面角的大小来考虑）.25.设230123(12)kk k x a a x a x a x a x +=+++++ （2k ≥，k *∈N ）．（1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，求k 的值；（2）设222n n k +-=（n *∈N ），且各项系数0a ，1a ，2a ，…，k a 互不相同．现把这1k +个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n 列n 个数．设i t 是第i 列中的最小数，其中1i n ≤≤，且i ，n *∈N ．记123n t t t t >>>>的概率为n P ．求证：12(1)!n P n >-．【答案】（1）9k =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用题目所给展开式中第5项与第7项的系数之比列方程，解方程求得k 的值. （2）利用相互独立事件概率乘法公式，求得n P 的表达式，构造数列()*(1)22,2n n n n a n n N +=-∈，判断出数列{}n a 的单调性，由此证得不等式成立 【详解】（1）因为在展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，即44662328k k C C ⋅=⋅，所以4632k k C C =，即303(4)(5)2k k =--，所以292020k k -+=，解得0k =或9k =．因为*2,k k N ≥∈，所以9k =．（2）由题意，最小数在第n 列的概率为2212n n n n =++，高考- 31 - / 31 去掉第n 列已经排好的n 个数， 则余下的(1)(1)22n n n n n +--=个数中最小值在第1n -列的概率为12(1)2n n n n -=-， …………以此类推，余下的数中最小数在第2列的概率为23， 所以12222213(1)3(1)!n n n P n n n n n -=⨯⨯⨯==++⨯⨯⨯+． 由于2222n n k +-=，所以2n ≥． 设()*(1)22,2n n n n a n n N +=-∈， 所以()*1212,n n n a a n n n N+-=--∈．记()*212,n n b n n n N =--∈，所以1210n n n b b +-=->，所以{}n b 是递增数列，所以210n b b =>；{}n a 是递增数列，所以21n a a =，所以(1)22nn n +>，所以2(1)1(1)!2(1)!2(1)!n n n n n n +>=++-，即12(1)!n P n >-． 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的系数，考查相互独立事件概率计算，考查数列的单调性，属于难题.。