圆锥曲线点差法

圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论〕，消去四个参数。

如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。

〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)则有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2p*〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。

过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(*,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+的最值。

〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。

y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

点差法及其应用一、方法背景弦的中点问题是解析几何中的一类经典问题，除了联立方程组，利用韦达定理并借助设而不求的方法实现问题的求解外，还可以借助点差法进行求解.点差法是解析几何中一种非常经典的思想方法，是体现解析几何核心思想——设而不求的另一重要载体，在解题中占有重要地位，这种方法将直线与曲线的两个交点代入曲线方程，然后作差并进行因式分解运算，借助斜率与中点公式进行求解，这种方法尤其适用于解决圆锥曲线中涉及弦的中点问题通过研究可发现，点差法不仅可以解决弦的中点问题，对其它相关问题也能较为圆满的解决，如涉及圆锥曲线弦的垂直平方线问题、圆锥曲线直径的斜率问题、切线问题等，并且可以类比点差法的思想方法，得到点乘法，解决一些圆锥曲线中的面积问题 二、方法介绍 1.椭圆中的点差法（1）设点B A ,是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上两点，点),(00y x P 为弦AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在，则=⋅OP AB k k证明：设),(),,(2211y x B y x A ，则2212122121222222221221))(())((11b y y y y a x x x x b y a x b y a x +--=+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+ 2221212121ab x x y y x x y y -=++⋅--⇒=⋅⇒OP AB k k同理可得：（2）设点B A ,是椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 上两点，点),(00y x P 为弦AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在，则=⋅OP AB k k 2.双曲线中的点差法（1）设点B A ,是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上两点，点),(00y x P 为弦AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在，则=⋅OP AB k k（2）设点B A ,是双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 上两点，点),(00y x P 为弦AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在，则=⋅OP AB k k 3.抛物线中的点差法（1）设点B A ,是抛物线px y 22=上两点，点),(00y x P 为弦AB 的中点，若直线AB 的斜率存在，则=AB k（2）设点B A ,是抛物线py x 22=上两点，点),(00y x P 为弦AB 的中点，若直线AB 的斜率存在，则=AB k 三．典例分析例1.（2014年江西卷理15）过点)1,1(M 作斜率为21-的直线，与椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x相交于B A ,两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于例2.（2013年全国Ⅰ卷理10）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,3(F ，过点F 的直线交E 于B A ,两点，若AB 的中点坐标为)1,1(-P ，则E 的方程为（ ）A.1364522=+y x B.1273622=+y x C.1182722=+y x D.191822=+y x例3.（2003年江苏卷文10理8）已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于N M ,两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（ ） A.14322=-y x B.1342=-x C.12522=-y x D.15222=-y x例4.（2014年浙江卷理6）设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =，则双曲线的离心率是例5.（2012年浙江卷理8）如图所示，21,F F 分别是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线B F 1与C 的两条渐近线分别交于Q P ,两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，若221MF F F =，则C 的离心率是（ ）A.332 B.26C.2D.3例6.已知椭圆13422=+y x 上存在两点关于直线m x y +=2对称，则实数m 的取值范围为例7.已知双曲线1322=-y x 上存在两点B A ,关于直线l ：4+=kx y 对称，则实数k 的取值范围为例8.（1992年全国卷理28）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x ，B A ,是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线l 与x 轴交于点)0,(0x P ，求证：ab a x a b a 22022-<<--例9.（2006年福建卷理20）已知椭圆1222=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点 （1）求过点F O ,且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程（2）如图所示，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 的横坐标的取值范围例10.（2010年天津卷文理21）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率23=e ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4（1）求椭圆的方程（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点B A ,，已知点A 的坐标为)0,(a -，),0(0y Q 在线段AB 的垂直平分线上，且4=⋅QB QA ，求0y 的值例11.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，离心率为21，A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），21F AF ∆的面积的最大值为3 （1）求椭圆C 的方程（2）设过点1F 的直线l （l 的斜率存在且不为0）与椭圆C 相交于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，试判断ABPF 1是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由注：设圆锥曲线Γ的离心率为e ，过其焦点F 且不与轴垂直的弦AB 的垂直平分线交焦点所在的轴于点P ，则=ABFP例12.（2011年江苏卷文理18）在平面直线坐标系xOy 中，N M ,是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于A P ,两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC 并延长，交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k（1）当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值 （2）当2=k 时，求点P 到直线AB 的距离d （3）对任意0>k ，求证：PB PA ⊥例13.（2015年上海卷理21）已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点B A ,和D C ,，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S（1）设),(),,(2211y x C y x A ，用C A ,的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明：12212y x y x S -=（2）设21,l l 的斜率之积为21-，求S 的值例14.（2013年山东卷文22）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22 （1）求椭圆C 的方程（2）B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆的面积为46的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OE t OP =，求实数t 的值例15.（2011年山东卷理21）已知动直线l 与椭圆C ：12322=+y x 交于两不同点),(11y x P ，),(22y x Q ，且OPQ ∆的面积26=∆OPQ S ，其中O 为坐标原点 （1）证明：2221x x +和2221y y +均为定值（2）设线段PQ 的中点为M ，求PQ OM ⋅的最大值（3）椭圆C 上是否存在点G E D ,,，使得26===∆∆∆OEG ODG ODE S S S ？若存在，判断DEG ∆的形状；若不存在，请说明理由练习：例1.（2010年全国新课标卷理12）已知双曲线E 的中心为原点，)0,3(F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于B A ,两点，且AB 的中点为)15,12(--N ，则E 的方程为（ ） A.16322=-y x B.15422=-y x C.13622=-y x D.14522=-y x例2.（2006年北京卷文19）椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为21,F F ，点P 在椭圆C 上，且211F F PF ⊥，341=PF ，3142=PF （1）求椭圆C 的方程（2）若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆C 于B A ,两点，且B A ,关于点M 对称，求直线l 的方程例3.（2014年浙江卷理21）如图所示，设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限（1）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标（2）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -例4.（2015年陕西卷理20）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的半焦距为c ，原点O 到经过两点),0(),0,(b c 的直线的距离为c 21 （1）求椭圆E 的离心率（2）如图所示，AB 是圆M ：25)1()2(22=-++y x 的一条直径，若椭圆E 经过B A ,两点，求椭圆E 的方程例5.（2019年全国II 卷理21）已知),(),0,2(),0,2(y x M B A -为坐标系内任意一点，且满足直线MA 和MB 的斜率之积为21-，设M 的轨迹为曲线C （1）求C 的方程，并说明表示什么曲线（2）过坐标原点的直线交C 于Q P ,，点P 在第一象限，⊥PE x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G（i ）证明：PQG ∆为直角三角形（ii ）求PQG ∆面积的最大值例6.（2012年湖北卷文理21）设A 是单位圆122=+y x 上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足0(>=m DA m DM ，且)1≠m ，当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C（1）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标（2）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于Q P ,两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H ，是否存在m ，使得对任意的0>k ，都有PH PQ ⊥若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由。

关于圆锥曲线中点差法的总结概括与推广
2018届江苏省淮州中学高三某学生
圆锥曲线中的点差法应用广泛，我在读了了很多文章后，发现其灵活巧妙，尤其是圆锥曲线中的中点弦问题，而与此同时，我想就其中一个定理提出自己的总结发现，当然这定理不是我自创，因而我只是加以总结提炼，还有就是这篇文章是我所写，绝无抄袭。

下面直切正题。

我们先来看这样几个例子。

1.在任意圆中，如⊙A：x2+y2=r2（r＞0）中有一条不经过圆心的直线l与⊙A交于M、N两点，连接AM、AN、MN，取MN中点P，连接AP，在初中时我们便知道垂径定理的应用,所以我们不难得出MN⊥AP,即k MN∙k AP=-1
如图所示，这是在圆中的例子我们先放在这，注意我说了直线不过圆心，否则不存在直线AP了。

x²y²。

圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

如：（1）与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有。

（2）与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有（3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线。

过A （2，1）的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中点P 的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，，。

（1）求证离心率；（2）求的最值。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

典型例题（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

(,)x y 11(,)x y 22)0(12222>>=+b a b y a x 02020=+k b y a x )0,0(12222>>=-b a b y a x 02020=-k b y a x x y 2221-=P 1P 2P 1P 2F 1F 2x a y b 22221+=F c 10(,)-F c 20(,)∠=PF F 12α∠=PF F 21ββαβαsin sin )sin(++=e |||PF PF 1323+抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。

点差法的推导过程
点差法的推导过程如下：
1、点差法是设出直线与曲线的两个交点的坐标Px1y1Qx2y2，后将其分别代入曲线方程中，再两式相减后，分解因式，利用
k=y1-y2/x1-x2x1+x2=2x0y1+y2=2y0其中点x0y0为线段PQ的中点坐标，整体消元。

它主要是解决中点弦问题，对称问题这两类问题，能起简化计算的作用。

2、点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，
并作差。

求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好。

3、在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程. 这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。

圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，其中离心率的求解是常考知识点之一。

本文将介绍圆锥曲线中离心率的14种求解方法，包括定义法、两点法、点差法、判别式法、参数方程法、切线法、弦长公式法、基本不等式法等。

每种方法都有其适用条件和优缺点，同学们可以根据具体情况选择合适的方法进行解题。

方法一：定义法定义法是通过利用圆锥曲线的定义来求解离心率的。

对于椭圆和双曲线，可以利用椭圆和双曲线的中心和对称性，以及长度的不减性来求解离心率的范围。

这种方法适用于简单的情况，但在复杂的情况下需要结合其他方法进行求解。

方法二：两点法两点法适用于求解椭圆的离心率。

当焦点在x 轴上时，设左、右两个顶点分别为A1、A2，焦距为F1、F2，通过求出丨FA1丨-丨FA2丨来求出离心率e 的范围。

当焦点在y 轴上时，同样利用左右顶点及中心来解题。

这种方法简单直观，但需要学生掌握椭圆的性质。

方法三：点差法点差法适用于求解圆锥曲线的离心率的范围。

通过将圆锥曲线上两个点的坐标进行差分，得到关于离心率的方程，从而求解离心率的值或范围。

这种方法需要学生具有一定的技巧和经验，但对于一些较为复杂的问题，能够得到事半功倍的效果。

方法四：判别式法对于双曲线和抛物线，判别式法是一种常用的求解离心率的简便方法。

通过将圆锥曲线的方程化简为二次方程或一元二次方程，利用判别式小于零得到离心率的范围。

这种方法简单易行，但需要学生具有一定的数学基础和解题技巧。

方法五：参数方程法对于一些较为复杂的圆锥曲线，可以使用参数方程来求解离心率的值或范围。

通过将圆锥曲线转化为参数方程的形式，利用参数的几何意义或结合不等式进行求解。

这种方法能够解决一些较为困难的问题，但需要学生掌握参数方程的相关知识和技巧。

方法六：利用切线法求椭圆离心率根据椭圆的性质，椭圆的左、右焦点到相应准线的距离称为离心率；若过椭圆上某点作坐标轴的垂线，与以该点为起点的直角三角形相似，则此直角三角形的另一顶点在焦点上，此定点即为椭圆的上下顶点；而椭圆上的点到左右顶点的距离之和为定值（2a）。

圆锥曲线点差法是一种用于计算圆锥曲线曲率半径的方法。

圆锥曲线是一种曲率较大的曲线，常用于在建筑、交通和机械设计中。

圆锥曲线点差法的基本步骤如下：
1.确定圆锥曲线的顶点坐标以及沿着曲线的方向。

2.在圆锥曲线上选择两个相距较近的点。

3.计算这两个点的纵坐标差值（或横坐标差值），并记作Δy（或Δx）。

4.计算这两个点的距离，并记作Δs。

5.使用公式R = (Δy / Δs^2) * (1 + (Δy / Δs)^2)^(-3/2)计算圆锥曲线的曲率半径。

在使用圆锥曲线点差法时，较小的Δs值意味着较大的计算精度，但同时也意味着较大的计算量。

因此，在选择Δs值时需要考虑平衡精度和计算量的关系。