用点差法解圆锥曲线问题

浅谈“点差法”在求圆锥曲线范围问题中的应用作者：张伟建来源：《中学教学参考·理科版》2012年第11期圆锥曲线问题是高中数学的难点之一，圆锥曲线的弦的中点有关问题是常考查的内容.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解，过程繁琐，计算量大.“点差法”是由弦的两端点坐标代入圆锥曲线的方程，得到两个等式相减，可得一个与弦的斜率及中点相关的式子，再结合有关条件来求解.当题目涉及弦的中点、斜率，或借助曲线方程中变量的取值范围求其他变量的范围时，一般都可以用“点差法”来求解.这种方法对有关点的坐标设而不求，充分发挥整体思想在解题中的应用，起到简化和优化解题过程的作用.【例1】已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一个顶点A的坐标为（0，-1），且右焦点到直线x-y+22=0的距离为3.（1）求a、b的值；（2）若存在斜率为k的直线l，使l与已知椭圆交于不同两点M、N，且满足|AM|=|AN|，求k的取值范围.解析：由于篇幅有限，常规解法不再赘述.下面使用点差法求解.设M（，），N（，），P（，）.当k≠0时，由|AM|=|AN|知：；①；②；③；④---；⑤由①-②得（）（-）+3（）（-）=0.⑦将③④代入⑦，得-k；⑧将⑧和⑤联立得，-32k，将它们代入⑥得94k2+34解得k∈（-1，1）且k≠0.当k=0时显然成立.故k∈（-1，1）.【例2】如图2所示，某椭圆的焦点是（-4，0）、（4，0），过点并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且，椭圆上不同的两点A（，）、C（，）满足条件：、、成等差数列.（1）求该椭圆方程；（2）求弦AC中点的横坐标；（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.解析：（1）由椭圆定义及条件得，∴a=5.又c=4，∴b2=a2-c2=9.故椭圆方程为x25+y29=1.（2）由a=5，c=4知离心率e=ca=45，-，-依焦半径公式：由、、成等差数列，得5--，解得，∴故弦AC中点的横坐标为4.（3）由第（2）问可知弦AC中点的横坐标，再由弦AC的垂直平分线方程，可表示出AC的方程，然后与椭圆方程联立可将k用AC中点坐标表示，再由中点在y=kx+m上，可将m用弦AC中点的纵坐标表示，然后结合弦AC中点在线段BB′上这一条件，求出m的取值范围.故设弦AC中点为P（4，），所以直线AC的方程为：y--1k（x-4）（x≠0）.将上式代入椭圆方程得（9k2+25）x2-50（）x+25（）2-25×9k2=0，∴（）9k2+25=8，解得（当k=0时也成立），∵点P（4，）在弦AC的垂直平分线上，∴，∴---∵点P（4，）在线段BB′的内部，于是有-95这道题表面上看与“点差法”没多大联系，第（2）问中既然出现了线段的垂直平分线，当然也就有了弦的中点，“点差法”也就有了用武之地.下面使用点差法求解.设弦AC中点为P（4，），由A（，）、C（，）知；①；②；③；④--；⑤；⑥-95由①-②得（）（-）25-（）（-）9=0，将③④代入上式得：---2=-1k，解得（）.又由-95且得-165（注：当k=0时，AC中点为（4，0），此时）综上，m∈（-165，165）.圆锥曲线求参数取值范围问题，常有两种解题思路：1.先求出直线的斜率的变化范围，进而求参数的取值范围.2.借助曲线中变量的取值范围求参数的取值范围在椭圆中，直线与椭圆如果有两个交点，则等价于弦的中点在椭圆内部，换句话说，某点在圆锥曲线的内部，则被该点平分的弦一般存在.本题即根据AC的中点P在椭圆内部，求出的取值范围，进一步求出m的范围.由此可见，中点弦问题中判断“中点”的位置非常重要，而“点差法”是解决此类问题当之无愧的“利剑”.参考文献邵丽云.高中数学疑难全解放入书架[M].南京：南京师范大学出版社，2006.[2]曹兵.高中数学难题新题精讲精练300例[M].上海：上海交通大学出版社，2008.。

巧用 点差法 破解圆锥曲线中点弦和切线问题唐金波(深圳科学高中ꎬ广东深圳５１８１２９)摘㊀要: 点差法 是圆锥曲线中一类非常重要的方法ꎬ代点作差ꎬ模式化强ꎬ计算量少ꎬ能很好地优化解题过程.高中阶段用 点差法 来解决有关圆锥曲线上一点的切线问题易于理解ꎬ且能更好地理解数学的本质ꎬ欣赏到数学之美.关键词:点差法ꎻ中点弦ꎻ切线中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００６０－０３收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:唐金波ꎬ男ꎬ湖南省衡阳人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀在处理直线与圆锥曲线相交所得弦的中点和切线的相关问题时ꎬ我们经常会用到 点差法 :设弦的两个端点坐标ｘ１ꎬｙ１()和ｘ２ꎬｙ２()ꎬ代入圆锥曲线的方程后ꎬ把所得的两个方程相减ꎬ得到弦的中点坐标与弦所在直线斜率的关系ꎬ使问题得到解决.此方法巧妙地将中点坐标公式和斜率公式 珠联璧合 ꎬ设而不求ꎬ代点作差ꎬ减少了计算量ꎬ模式化强ꎬ优化了解题过程ꎬ对解决此类问题有很好的效果[１].１ 点差法 的介绍１.１中点弦问题结论１㊀设ｌ为不过原点Ｏ的直线ꎬ与椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)相交于ＡꎬＢ两点ꎬＭ为线段ＡＢ的中点ꎬ则ｋＡＢ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１(其中ｅ为椭圆的离心率).分析㊀设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬＭｘ０ꎬｙ０()ꎬ则ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１ꎬｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１.ìîíïïïï两式相减ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－ｂ２ａ２ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２＝－ｂ２ａ２ ｘ０ｙ０.所以ｋＡＢ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.说明㊀本篇后续例题等直接引用该表达式ꎬ没有给出推导ꎬ正式解题作答时需要给出推导过程.对于双曲线和抛物线可类似推导如下结论ꎬ有兴趣的读者可以自行推导.结论２㊀设ｌ为不过原点Ｏ的直线ꎬ与双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)相交于ＡꎬＢ两点ꎬＭ为线段ＡＢ的中点ꎬ则ｋＡＢ ｋＯＭ＝ｂ２ａ２＝ｅ２－１(其中ｅ为双曲线的离心率).结论３㊀设点Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()(ｘ１ʂｘ２)是抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)上两点ꎬ则直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝２ｐｙ１＋ｙ２.１.２切线问题结论４㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>０６ｂ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｌ:ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１且ｋｌ ｋＯＰ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.分析㊀设Ｑ(ｘ１ꎬｙ１)为椭圆上不同于点Ｐ的任意一点ꎬ则ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＝１ꎬｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１.ìîíïïïï两式相减ꎬ得ｋＰＱ＝ｙ１－ｙ０ｘ１－ｘ０＝－ｂ２ａ２ ｘ１＋ｘ０ｙ１＋ｙ０.过点Ｐ的切线ｌ可以看作割线ＰＱ当ＱңＰ时的极限位置.①若ｙ０ʂ０ꎬ当ｘ１ңｘ０ꎬｙ１ңｙ０时ꎬｋＰＱң－ｂ２ａ２ｘ０＋ｘ０ｙ０＋ｙ０＝－ｂ２ａ２ ｘ０ｙ０.此时切线ｌ的方程为ｙ－ｙ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０(ｘ－ｘ０).化简得ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１ꎬ并且ｋｌ ｋＯＰ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.②若ｙ０＝０ꎬ容易验证切线ｌ的方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.综上①②ꎬ可知结论成立.通过利用极限的思想结合 点差法 推导椭圆的切线方程ꎬ有助于更好地理解点差法ꎬ挖掘其本质ꎬ进一步说明点差法为什么能解决与中点弦相关的问题ꎬ对提升数学思维和数学核心素养有很大的帮助.本结论也可以通过点差法推广到双曲线和抛物线ꎬ有兴趣的读者可以自行证明.结论５㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｌ:ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１且ｋｌ ｋＯＰ＝ｂ２ａ２＝ｅ２－１.结论６㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｙ０ｙ＝ｐ(ｘ０＋ｘ)且ｋｌ＝ｐｙ０.２ 点差法 的应用２.１应用 点差法 解中点弦问题例１㊀(２０２２年新高考Ⅱ卷 １６)如图１ꎬ已知椭圆ｘ２６＋ｙ２３＝１ꎬ直线ｌ与椭圆在第一象限交于ＡꎬＢ两点ꎬ与ｘ轴ꎬｙ轴分别交于ＭꎬＮ两点ꎬ且ＭＡ＝ＮＢꎬＭＮ＝２３ꎬ则直线ｌ的方程为.解析㊀设ＡＢ的中点为Ｅꎬ因为ＭＡ＝ＮＢꎬ所以ＭＥ＝ＮＥ.图１㊀２０２２年新高考Ⅱ卷１６题图由结论１ꎬ有ｋＯＥ ｋＡＢ＝－１２.设直线ＡＢ:ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬｋ<０ꎬｍ>０ꎬ令ｘ＝０得ｙ＝ｍꎬ令ｙ＝０得ｘ＝－ｍｋ.即Ｍ－ｍｋꎬ０æèçöø÷ꎬＮ０ꎬｍ().所以Ｅ－ｍ２ｋꎬｍ２æèçöø÷.即ｋˑｍ/２－ｍ/２ｋ＝－１２.解得ｋ＝－２２或ｋ＝２２(舍去).又ＭＮ＝２３ꎬ即ＭＮ＝ｍ２＋２ｍ()２＝２３ꎬ解得ｍ＝２或ｍ＝－２(舍去).所以直线ＡＢ:ｙ＝－２２ｘ＋２ꎬ即ｘ＋２ｙ－２２＝０.评注㊀由问题中的条件ＭＡ＝ＮＢꎬ借助几何图形的特点ꎬ可自然联想到取线段ＡＢ的中点Ｅꎬ从而利用椭圆中 点差法 的结论ꎬ得到直线斜率和截距的关系式ꎬ进而解决问题.２.２应用点差法 解切线问题例２㊀(２０２２年淮北中学第一次联考 ２１)已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的右焦点为Ｆ(１ꎬ１６０)ꎬ离心率为１２.(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)若过点Ｆ的直线ｌ交Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬ线段ＡＢ的中点为Ｍꎬ分别过ＡꎬＢ作Ｃ的切线ｌ１ꎬｌ２ꎬ且ｌ１与ｌ２交于点Ｐ.证明:ＯꎬＭꎬＰ三点共线.解析㊀(１)ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎻ(２)当直线ｌ的斜率不存在时ꎬＯꎬＭꎬＰ三点共线显然成立.当直线ｌ的斜率存在设为ｋ(易知ｋʂ０)ꎬ设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ由结论１知ꎬｋ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝－３４ꎬ即ｋＯＭ＝－３４ｋ.由结论２知ꎬｌ１:ｘ１ｘ４＋ｙ１ｙ３＝１ꎬ①ｌ２:ｘ２ｘ４＋ｙ２ｙ３＝１.②由①②ꎬ得ｘ(ｘ１－ｘ２)４＝－ｙ(ｙ１－ｙ２)３.即ｋｏｐ＝ｙｘ＝－３(ｘ１－ｘ２)４(ｙ１－ｙ２)＝－３４ｋ.于是ｋＯＭ＝ｋｏｐꎬ因此ＯꎬＭꎬＰ三点共线.评注㊀上述有关中点弦和曲线上一点的切线问题若借助 点差法 得到直线的斜率与中点到原点的斜率的关系式ꎬ能有效减少计算量.用点差法得到的切线方程也简单易懂ꎬ给我们推导圆锥曲线上一点的切线提供了更为初等的方法ꎬ充分说明了 点差法 的威力ꎬ更能让我们欣赏到数学之美.２.３对 点差法 深入理解例３㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２－ｙ２２＝１ꎬ是否存在过点Ｍ(１ꎬ１)的直线ｌꎬ使ｌ与双曲线交于ＡꎬＢ两点ꎬ且Ｍ是线段ＡＢ的中点?若存在求出ｌ的方程ꎻ若不存在ꎬ说明理由.解析㊀当直线ｌ的斜率不存在时ꎬ显然不合题意.当直线ｌ的斜率存在设为ｋꎬ设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ则由结论２ꎬ知ｋ ｋＯＭ＝２ꎬ即ｋ＝２.于是ꎬ直线ｌ的方程为ｙ＝２ｘ－１.但若将ｙ＝２ｘ－１代入双曲线ｘ２－ｙ２２＝１ꎬ消去ｙꎬ整理ꎬ得２ｘ２－４ｘ＋３＝０ꎬ此方程没有实数解.所以满足题意的直线ｌ不存在.评注㊀解答例３的问题时ꎬ在用点差法求出直线方程后ꎬ认为已经 大功告成 ꎬ这就反应出解题过程中理性思维的缺失.此例体现了 点差法 在应用中的特殊性和局限性ꎬ有助于我们对数学更深入地理解.事实上ꎬ(１)当曲线是椭圆或者抛物线时ꎬ若中点在其内部ꎬ则满足条件的直线存在ꎻ若中点在其外部ꎬ则满足条件的直线不存在.(２)当曲线是双曲线时ꎬ若中点在其内部ꎬ则所求的直线存在ꎻ若中点在其外部ꎬ则满足的条件可能存在ꎬ也可能不存在ꎬ此时需要验证判别式.３总结反思点差法 是一种非常典型且简单易学的方法ꎬ但它仍然不是圆锥曲线中的通解通法.从上述例题的解答过程可以看出ꎬ当遇到中点弦㊁切线等条件时ꎬ我们可以尝试该法.对于联立直线与圆锥曲线方程的通法ꎬ该法过程简洁㊁计算量小ꎬ能进一步提高解题效率.对于圆锥曲线上一点的切线问题也能很好地解决ꎬ是高中阶段非常好用㊁易用㊁实用的好方法.但是该法仍然具有其局限性ꎬ我们在平时的学习过程中ꎬ要结合自身掌握知识的程度和对知识本质理解的程度ꎬ选择最优的解题方法.要学会从不同的解法中汲取不同的数学思想ꎬ加深对数学本质的理解ꎬ从而提高自身的数学核心素养.参考文献:[１]苏立标.圆锥曲线的秘密[Ｍ].杭州:浙江大学出版社ꎬ２０２１.[责任编辑:李㊀璟]２６。

点差法在圆锥曲线中的应用一、考情分析圆锥曲线中的中点弦问题是高考常见题型,在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为x1,y1、x2,y2,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”.二、解题秘籍(一)求以定点为中点的弦所在直线的方程求解此类问题的方法是设出弦端点坐标,代入曲线方程相减求出斜率,再用点斜式写出直线方程.特别提醒：求以定点为中点的双曲线的弦所在直线的方程,求出直线方程后要检验所求直线与双曲线是否有2个交点.【例1】过椭圆x216+y24=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分,求这条弦所在直线的方程.【解析】设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)∵M(2,1)为AB的中点∴x1+x2=4 y1+y2=2∵又A、B两点在椭圆上,则x12+4y12=16,x22+4y22=16两式相减得(x12−x22)+4(y12−y22)=0于是(x1+x2)(x1−x2)+4(y1+y2)(y1−y2)=0∴y1−y2x1−x2=−x1+x24(y1+y2)=−44×2=−12即k AB=−12,故所求直线的方程为y−1=−12(x−2),即x+2y−4=0.【例2】已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),离心率e=3,虚轴长为22．(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点P1,1能否作直线l,使直线l与双曲线C交于A,B两点,且点P为弦AB的中点?若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由．【解析】(1)∵e=ca=3,2b=22,∴c=3a,b=2．∵c2=a2+b2,∴3a2=a2+2．∴a2=1．∴双曲线C的标准方程为x2-y22=1．(2)假设以定点P(1，1)为中点的弦存在,设以定点P(1，1)为中点的弦的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),可得x1+x2=2,y1+y2=2．由A,B在双曲线上,可得：x21-y212=1 x22-y222=1,两式相减可得以定点P(1，1)为中点的弦所在的直线斜率为：k=y2-y1x2-x1=2(x1+x2)y1+y2=2,则以定点P(1，1)为中点的弦所在的直线方程为y-1=2(x-1)．即为y=2x-1,代入双曲线的方程可得2x2-4x+3=0,由Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以不存在这样的直线l ．(二)求弦中点轨迹方程求弦中点轨迹方程基本类型有2类,一是求平行弦的中点轨迹方程,二是求过定点的直线被圆锥曲线截得的弦的中点轨迹方程.【例3】(2023届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 经过点P 0,1 ，且离心率为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点0,-35的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，设坐标原点为O ，线段AB 的中点为M ，求MO 的最大值.【解析】(1)∵椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点P (0,1)，其离心率为32．∴b =1，c a =32⇒1-b 2a2=34，∴b a =12，∴a =2，故椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1；(2)当直线l 斜率不存在时，M 与O 重合，不合题意，当直线l 斜率存在时，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 0,y 0)，则有x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y 22，直线l 的斜率为y 1-y 2x 1-x 2=y 0+35x 0，A ，B 两点在椭圆上，有x 124+y 12=1，x 224+y 22=1，两式相减，x 12-x 224=-y 12-y 22 ，即x 1+x 24y 1+y 2 =-y 1-y 2x 1-x 2，得x 04y 0=-y 0+35x 0，化简得x 02=-4y 02-125y 0，MO =x 02+y 02=-3y 02-125y 0=-3y 0+25 2+1225，∴当y 0=-25时，MO 的最大值为235【例4】直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题,是解析几何重要内容之一,也是高考的一个热点问题.引理：设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 是二次曲线C :Ax 2+By 2+Cx +Dy +F =0上两点,P x 0,y 0 是弦AB 的中点,且弦AB 的斜率存在,则Ax 21+By 21+Cx 1+Dy 1+F =0⋯⋯(1)Ax 22+By 22+Cx 2+Dy 2+F =0⋯⋯(2)由(1)-(2)得A x 1-x 2 x 1+x 2 +B y 1-y 2 y 1+y 2 +C x 1-x 2 +D y 1-y 2 =0,∵x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22,∴x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0∴2Ax 0x 1-x 2 +2By 0y 1-y 2 +C x 1-x 2 +D y 1-y 2 =0,∴2Ax 0+C x 1-x 2 =-2By 0+D y 1-y 2 ,∴直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-2Ax 0+C2By 0+D2B +D ≠0,x 1≠x 2 .二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等．请根据上述求直线斜率的方法(用其他方法也可)作答下题：已知椭圆x 22+y 2=1.(1)求过点P 12,12且被P 点平分的弦所在直线的方程;(2)过点A 2,1 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程.【解析】(1)设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 是椭圆x 22+y 2=1上两点,P x 0,y 0 是弦AB 的中点,则x 122+y 12=1x 222+y 22=1,两式相减得：x 1-x 2 x 1+x 2 +2y 1-y 2 y 1+y 2 =0,∵12=x 1+x 22,12=y 1+y 22,∴x 1+x 2=1,y 1+y 2=1∴x 1-x 2+2y 1-y 2 =0,∴直线AB 的斜率k AB =-12.直线AB 的方程为y -12=-12x -12,即2x +4y -3=0.因为P 12,12在椭圆内部,成立.(2)由题意知：割线的斜率存在,设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 是椭圆x 22+y 2=1上两点,P x ,y 是弦AB 的中点,则x 122+y 12=1x 222+y 22=1 ,两式相减得：x 1-x 2 x 1+x 2 +2y 1-y 2 y 1+y 2 =0,∵x =x 1+x 22,y =y 1+y 22,∴x 1+x 2=2x ,y 1+y 2=2y∴2x x 1-x 2 +4y y 1-y 2 =0,∴直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-x2yx 1≠x 2又k AB =y -1x -2,所以 y -1x -2=-x 2y ,化简得：x 2+2y 2-2x -2y =0-2≤x ≤2 ,所以截得的弦的中点的轨迹方程为x 2+2y 2-2x -2y =0-2≤x ≤2 (三)求直线的斜率一般来说,给出弦中点坐标,可求弦所在直线斜率【例5】已知椭圆C ：x 25+y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点M ,N 在椭圆C 上.(1)若线段MN 的中点坐标为2,13,求直线MN 的斜率；(2)若M ,N ,O 三点共线,直线NF 1与椭圆C 交于N ,P 两点,求△PMN 面积的最大值.【解析】(1)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,则x 215+y 21=1,x 225+y 22=1,两式相减,可得x 1+x 2 x 1-x 25+y 1+y 2 y 1-y 2 =0,则4x 1-x 2 5+2y 1-y 2 3=0,解得k MN =y 1-y 2x 1-x 2=-65,即直线MN 的斜率为-65；(2)显然直线NF 1的斜率不为0,设直线NF 1：x =my -2,N x 3,y 3 ,P x 4,y 4 ,联立x =my -2x 25+y 2=1,消去x 整理得m 2+5 y 2-4my -1=0,显然Δ=20m 2+1 >0,故y 3+y 4=4m m 2+5,y 3⋅y 4=-1m 2+5,故△PMN 的面积S △PMN =2S △OPN =2⋅12OF 1 ⋅y 3-y 4=2⋅4m m 2+5 2-4⋅-1m 2+5=45m 2+1m 2+5,令t =m 2+1,t ≥1,则S △PMN =45t t 2+4=45t +4t≤454=5,当且仅当t =2,即m =±3时等号成立,故△PMN 面积的最大值为5.【例6】已知椭圆x 225+y 29=1上不同的三点A x 1,y 1 ,B 4,95,C x 2,y 2 与焦点F 4,0 的距离成等差数列.(1)求证：x 1+x 2=8；(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k .【解析】(1)证略.(2)解∵x 1+x 2=8,∴设线段AC 的中点为D 4,y 0 .又A 、C 在椭圆上,∴x 1225+y 129=1,(1)x 2225+y 229=1,(2)1 -2 得：x 12-x 2225=-y 12-y 229,∴y 1-y 2x 1-x 2=-9x 1+x 2 25y 1+y 2=-925⋅82y 0=-3625y 0.∴直线DT 的斜率k DT =25y 036,∴直线DT 的方程为y -y 0=25y 036x -4 .令y =0,得x =6425,即T 6425,0 ,∴直线BT 的斜率k =95-04-6425=54.(四)点差法在轴对称中的应用【例7】(2023届江苏省南京市建邺区高三上学期联合统测)已知O 为坐标原点，点1,62 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上，直线l ：y =x +m 与C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为-12．(1)求C 的方程；(2)若m =1，试问C 上是否存在P ，Q 两点关于l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】(1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22 ,k AB =y 1-y 2x 1-x 2=1,k OM=y 1+y 22x 1+x 22=y 1+y 2x 1+x 2=-12∵A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 在椭圆上，则x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1两式相减得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=y 1+y 2x 1+x 2×y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2∴k AB ⋅k OM =-b 2a 2，即-12=-b2a2，则a 2=2b 2又∵点1,62 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1上，则1a 2+32b 2=1联立解得a 2=4,b 2=2∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1(2)不存在，理由如下：假定存在P ，Q 两点关于l ：y =x +1对称，设直线PQ 与直线l 的交点为N ，则N 为线段PQ 的中点，连接ON∵PQ ⊥l ，则k AB ⋅k PQ =-1，即k PQ =-1由(1)可得k ON ⋅k PQ =-12，则k ON =12，即直线ON :y =12x联立方程y =12x y =x +1，解得x =-2y =-1 即N -2,-1∵-2 24+-1 22=32>1，则N -2,-1 在椭圆C 外∴假定不成立，不存在P ，Q 两点关于l 对称【例8】已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点1,62 ，直线l ：y =x +m 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 上存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，求实数m 的范围．【解析】(1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22，即k OM =y 1+y 2x 1+x 2=-12．因为A ，B 在椭圆C 上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，两式相减得x 1+x 2 x 1-x 2 a 2+y 1+y 2 y 1-y 2 b 2=0，即1a 2+y 1+y 2 y 1-y 2b 2x 1+x 2 x 1-x 2=0，又k AB =y 1-y 2x 1-x 2=1，所以1a 2-12b2=0，即a 2=2b 2．又因为椭圆C 过点1,62 ，所以1a 2+32b2=1，解得a 2=4,b 2=2，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1；(2)设P x 3,y 3 ,Q x 4,y 4 ,PQ 的中点为N x 0,y 0 ，所以x 3+x 4=2x 0,y 3+y 4=2y 0，因为P ，Q 关于直线l 对称，所以k PQ =-1且点N 在直线l 上，即y 0=x 0+m ．又因为P ，Q 在椭圆C 上，所以x 234+y 232=1,x 244+y 242=1．两式相减得x 3+x 4 x 3-x 4 4+y 3+y 4 y 3-y 42=0．即x 3+x 44+y 3+y 4 y 3-y 42x 3-x 4=0，所以x 3+x 44=y 3+y 42，即x 0=2y 0．联立x 0=2y 0y 0=x 0+m，解得x 0=-2my 0=-m ，即N (-2m ,-m )．又因为点N 在椭圆C 内，所以(-2m )24+(-m )22<1，所以-63<m <63所以实数m 的范围为-63<m <63．(五)利用点差法可推导的结论在椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 中,若直线l 与该椭圆交于点A ,B ,点P x 0,y 0 为弦AB 中点,O 为坐标原点,则k AB ⋅k OP =b 2a2,对于双曲线、抛物线也有类似结论,求自行总结.【证明】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 且x 1≠x 2,则x 12a 2+y 12b 2=1,(1)x 22a 2+y 22b2=1,(2)1 -2 得：x 12-x 22a 2=-y 12-y 22b 2,∴y 1-y 2x 1-x 2=-b 2x 1+x 2 a 2y 1+y 2 ,∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-b 2x 1+x 2 a 2y 1+y 2.又k OP =y 1+y 2x 1+x 2,∴k AB =-b 2a 2⋅1k OP ,∴k AB ⋅k OP =-b 2a 2(定值).【例9】(2022届江苏省南通市高三上学期期末)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a 、b为正常数)的右顶点为A ,直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点,且P 、Q 均不是双曲线的顶点,M 为PQ 的中点．(1)设直线PQ 与直线OM 的斜率分别为k 1、k 2,求k 1·k 2的值；(2)若AM PQ=12,试探究直线l 是否过定点？若过定点,求出该定点坐标；否则,说明理由．【解析】(1)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (x 0,y 0),因为P 、Q 在双曲线上,所以x 12a 2-y 12b 2=1,x 22a 2-y 22b2=1,两式作差得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2-(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0,即2x 0(x 1-x 2)a 2=2y 0(y 1-y 2)b 2,即y 0(y 1-y 2)x 0(x 1-x 2)=b 2a2,即k 1·k 2=b 2a 2；(2)因为AM PQ=12,所以△APQ 是以A 为直角顶点的直角三角形,即AP ⊥AQ ；①当直线l 的斜率不存在时,设l ：x =t ,代入x 2a 2-y 2b2=1得,y =±bt 2a 2-1,由|t -a |=b t 2a2-1得,(a 2-b 2)t 2-2a 3t +a 2(a 2+b 2)=0,即[(a 2-b 2)t -a (a 2+b 2)](t -a )=0,得t =a (a 2+b 2)a 2-b 2或a (舍),故直线l 的方程为x =a (a 2+b 2)a 2-b 2；②当直线l 的斜率存在时,设l ：y =kx +m ,代入x 2a 2-y 2b2=1,得(b 2-k 2a 2)x 2-2km a 2x -a 2(m 2+b 2)=0,Δ=a 2b 2(m 2+b 2-k 2a 2)>0,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=2km a 2b 2-k 2a 2,x 1x 2=-a 2(m 2+b 2)b 2-k 2a 2；因为AP ⊥AQ ,所以AP ·AQ =0,即(x 1-a ,y 1)·(x 2-a ,y 2)=0,即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+y 1y 2=0,即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0,即(km -a )(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1x 2+m 2+a 2=0,即-2km a 3-k 2a 2b 2-m 2a 2+m 2b 2-k 2a 4b 2-k 2a 2=0,即a 2(a 2+b 2)k 2+2ma 3k +m 2(a 2-b 2)=0,即[a (a 2+b 2)k +m (a 2-b 2)](ak +m )=0,所以k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)或k =-ma ；当k =-m a 时,直线l 的方程为y =-max +m ,此时经过A ,舍去；当k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)时,直线l 的方程为y =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)x +m ,恒过定点a (a 2+b 2)a 2-b 2,0,经检验满足题意；综上①②,直线l 过定点a (a 2+b 2)a 2-b 2,0．三、跟踪检测1.已知椭圆C :x 22+y 2=1,F 1为右焦点，直线l :y =t (x -1)与椭圆C 相交于A ，B 两点，取A 点关于x 轴的对称点S ，设线段AS 与线段BS 的中垂线交于点Q ．(1)当t =2时，求QF 1 ；(2)当t ≠0时，求QF 1|AB |是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．【解析】(1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，线段AB 的中点M 坐标为x M ,y M ，联立得x 2+2y 2-2=0,y =2(x -1), 消去y 可得：9x 2-16x +6=0，所以x 1+x 2=169,x 1x 2=69,所以x M =89，代入直线AB 方程，求得y M =-29，因为Q 为△ABS 三条中垂线的交点，所以MQ ⊥AB ，有k MQ k AB =-1，直线MQ 方程为y +29=-12×x -89.令y =0,x Q =49，所以Q 49,0 .由椭圆C :x 22+y 2=1可得右焦点F 11,0 ，故QF 1 =59．(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，中点M 坐标为x M ,y M ．x 212+y 21=1,x 222+y 22=1,相减得y 2-y 1x 2-x 1=-12×x 1+x 2y 1+y 2=-x M 2y M ，k AB k OM =-12.又Q 为△ABS 的外心，故MQ ⊥AB ,k MQ k AB =-1，所以k MQ =2k OM =2y M x M ，直线MQ 方程为y -y M =2y Mx Mx -x M ，令y =0,x Q =x M 2=x 1+x 24，所以Q x 1+x 24,0 而F 11,0 ,所以QF 1 =1-14x 1+x 2 ，AF 1 =x 1-1 2+y 21=x 1-1 2+1-x 212=x 212-2x 1+2=2-12x 1，同理BF 1 =2-12x 2，|AB |=AF 1 +BF 1 =22-12x 1+x 2 ，QF 1 |AB |=1-14x 1+x 2 22-12x 1+x 2 =24，所以当t 变化时，QF 1 |AB |为定值24．2.(2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，上顶点为D ，斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，当点M 的坐标为(2,1)时，直线l 恰好经过D 点.(1)求椭圆C 的方程：(2)当l 不过点D 时，若直线DM 与直线l 的斜率互为相反数，求k 的取值范围.【解析】(1)由题意知，离心率e =22，所以a =2b =2c ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，x 21a 2+y 21b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1两式相减得k ⋅k OM =-b 2a 2=-12，所以k =-1；所以直线为y -1=-(x -2)，即y =-x +3，所以b =c =3，椭圆方程为x 218+y 29=1；(2)设直线为y =kx +m ，由y =kx +mx 2+2y 2=18得1+2k 2 x 2+4km x +2m 2-18=0，则x M =x 1+x 22=-2km 1+2k 2，y M =m1+2k2，�=16k 2m 2-41+2k 2 2m 2-18 =818k 2-m 2+9 >0，所以k DM =y M -3x M -0=6k 2+3-m 2km =-k ，解得m =6k 2+31-2k2，1-2k 2≠0，k ≠±22因为l 不过D 点，则6k 2+31-2k 2≠3，即k ≠0则18k 2+9-6k 2+3 21-2k 22>0，化简得4k 4-4k 2-3>0，解得2k 2-3 2k 2+1 >0，k 2>32，所以k >62或k <-62.3.已知椭圆x 22+y 2=1．(1)过椭圆的左焦点F 引椭圆的割线，求截得的弦的中点P 的轨迹方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点Q 的轨迹方程；(3)求过点M 12,12且被M 平分的弦所在直线的方程．【解析】(1)设弦与椭圆两交点坐标分别为A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，设P x ,y ，当x 1=x 2时，P -1,0 ．当x 1≠x 2时，x 22+y 2=1⇒x 2+2y 2=2，x 21+2y 21=2,x 22+2y 22=2, 两式相减得x 1+x 2 x 1-x 2 +2y 1+y 2 y 1-y 2 =0，即1+2⋅y 1+y 2 y 1-y 2 x 1+x 2 x 1-x 2=0(*)，因为y 1-y 2x 1-x 2=k FP =yx +1，x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，所以，代入上式并化简得x 2+x +2y 2=0，显然P -1,0 满足方程.所以点P 的轨迹方程为x 2+x +2y 2=0(在椭圆内部分)．(2)设Q x ,y ，在(1)中式子1+2⋅y 1+y 2 y 1-y 2x 1+x 2 x 1-x 2=0里，将y 1-y 2x 1-x 2=2，x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y 代入上式并化简得点Q 的轨迹方程为x +4y =0(在椭圆内部分)．所以，点Q 的轨迹方程x +4y =0(在椭圆内部分).(3)在(1)中式子1+2⋅y 1+y 2 y 1-y 2x 1+x 2 x 1-x 2=0里，将y 1-y 2x 1-x 2=k ，x 1+x 2=1，y 1+y 2=1代入上式可求得k =-12．所以直线方程为2x +4y -3=0．4.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点1,62 ，直线l ：y =x +m 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-0.5.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当m =1时，椭圆C 上是否存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】(1)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22，即k OM =y 1+y 2x 1+x 2=-12．因为A，B在椭圆C上，所以x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，两式相减得x1+x2x1-x2a2+y1+y2y1-y2b2=0，即1a2+y1+y2y1-y2b2x1+x2x1-x2=0，又k AB=y1-y2x1-x2=1，所以1a2-12b2=0，即a2=2b2．又因为椭圆C过点1,6 2，所以1a2+32b2=1，解得a2=4，b2=2，所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1；(2)由题意可知，直线l的方程为y=x+1．假设椭圆C上存在P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称，设P x3,y3，Q x4,y4，PQ的中点为N x0,y0，所以x3+x4=2x0，y3+y4=2y0，因为P，Q关于直线l对称，所以k PQ=-1且点N在直线l上，即y0=x0+1．又因为P，Q在椭圆C上，所以x234+y232=1，x244+y242=1，两式相减得x3+x4x3-x44+y3+y4y3-y42=0，即x3+x44+y3+y4y3-y42x3-x4=0，所以x3+x44=y3+y42，即x0=2y0．联立x0=2y0y0=x0+1，解得x0=-2y0=-1，即N-2,-1．又因为-224+-122>1，即点N在椭圆C外，这与N是弦PQ的中点矛盾，所以椭圆C上不存在点P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称．5.(2022届广东省清远市高三上学期期末)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A,B两点,若AB的中点到准线l的距离为4．(1)求抛物线C的方程；(2)设P为l上任意一点,过点P作C的切线,切点为Q,试判断F是否在以PQ为直径的圆上．【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2,则y21=2px1, y22=2px2,所以y21-y22=2p x1-x2,整理得y1-y2x1-x2=2py1+y2=1,所以y1+y2=2p．因为直线AB的方程为y=x-p 2,所以x1+x2=y1+y2+p=3p．因为AB的中点到准线l的距离为4,所以x1+x22+p2=2p=4,得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x．(2)设P(-1,t),可知切线PQ的斜率存在且不为0,设切线PQ的方程为x=m(y-t)-1,联立方程组x=m(y-t)-1,y2=4x,得y2-4my+4mt+4=0,由Δ=16m2-16(mt+1)=0,得t=m-1m,即P-1,m-1m,所以方程y 2-4my +4mt +4=y 2-4my +4m 2=0的根为y =2m ,所以x =m 2,即Q m 2,2m ．因为FP =-2,m -1m ,FQ =m 2-1,2m ,所以FP ⋅FQ =-2m 2-1 +2m m -1m=0,所以FP ⊥FQ ,即F 在以PQ 为直径的圆上．6.(2022届河南省中原顶级名校高三上学期1月联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1-1,0 ,F 21,0 ,过点F 1的直线l 1交椭圆C 于A ,B 两点.当直线l 1的斜率为1时,点-47,37是线段AB 的中点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图,若过点F 2的直线l 2交椭圆C 于E ,G 两点,且l 1∥l 2,求四边形ABEG 的面积的最大值.【解析】 (1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .由题意可得b 2x 21+a 2y 21-a 2b 2=0,b 2x 22+a 2y 22-a 2b 2=0.∴y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2⋅x 1+x 2y 1+y 2=-b 2a 2⋅-43,即4b 23a2=1,∴b 2a2=34.∵a 2-b 2=1,∴a 2=4,b 2=3,∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)根据对称性知AB =EG ,AB ∥EG ,∴四边形ABEG 是平行四边形,又S 四边形ABEG =2S △F 2AB ,∴问题可转化为求S △F 2AB 的最大值.设直线l 1的方程为x =my -1,代入x 24+y 23=1,得3m 2+4 y 2-6my -9=0.则y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4,∴S △F 2AB =12⋅2⋅y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=6m 3m 2+4 2-4⋅-93m 2+4=121+m 23m 2+4.令1+m 2=t ,则t ≥1,且m 2=t 2-1,∴S △F 2AB =12t 3t 2+1=123t +1t .记h t =3t +1tt ≥1 ,易知h t 在1,+∞ 上单调递增.∴h t min =h 1 =4.∴S △F 2AB =123t +1t≤124=3.∴四边形ABEG 的面积的最大值是6.7.如图,AB 是过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的弦,M 是AB 的中点,l 是抛物线的准线,MN ⊥l ,N 为垂足,点N 坐标为(-2,-3).(1)求抛物线的方程；(2)求△AOB 的面积(O 为坐标系原点).【解析】 (1)点N (-2,-3)在准线l 上,所以准线l 方程为：x =-2,则p 2=2,解得p =4,所以抛物线的方程为：y 2=8x ；(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由A 、B 在抛物线y 2=8x 上,所以y 21=8x 1y 22=8x 2 ,则y 1-y 2 y 1+y 2 =8x 1-x 2 ,又MN ⊥l ,所以点M 纵坐标为-3,M 是AB 的中点,所以y 1+y 2=-6,所以-6y 1-y 2 =8x 1-x 2 ,即k AB =-43,又知焦点F 坐标为(2,0),则直线AB 的方程为：4x +3y -8=0,联立抛物线的方程y 2=8x ,得y 2+6y -16=0,解得y =2或y =-8,所以y 1-y 2 =10,所以S △AOB =S △AOF +S △BOF =y 1-y 2 =10.8.在平面直角坐标系xOy 中,设点F (1,0),直线l ：x =-1,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点,RQ ⊥FP ,PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹E 的方程；(2)过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ,设AB 、CD 的中点分别为M 、N .求直线MN 过定点D 的坐标.【解析】 (1)依题意,点P 在直线l ：x =-1上移动,令直线l 交x 轴于点K ,而点F(1,0),又R 是线段PF 与y 轴的交点,当点P 与点K 不重合时,OR ⎳l ,而O 为FK 中点,则点R 是线段FP 的中点,因RQ ⊥FP ,则RQ 是线段FP 的垂直平分线,QP =QF ,又PQ ⊥l 于点P ,即PQ 是点Q到直线l 的距离,当点P 与点K 重合时,点R 与点O 重合,也满足上述结论,于是有点Q 到点F 的距离等于点Q 到直线l 的距离,则动点Q 的轨迹E 是以F为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为：y 2=4x ,所以动点Q 的轨迹E 的方程为y 2=4x .(2)显然直线AB 与直线CD 的斜率都存在,且不为0,设直线AB 的方程为y =k(x -1),k ≠0,令A x A ,y A ,B x B ,y B ,M x M ,y M ,N x N ,y N ,由y 2A =4x A y 2B =4x B 两式相减得：(y A +y B )(y A -y B )=4(x A -x B ),则y A +y B =4k,即y M =2k,代入方程y =k (x -1),解得x M =2k 2+1,即点M 的坐标为2k 2+1,2k ,而CD ⊥AB ,直线CD 方程为y =-1k (x -1),同理可得：N 的坐标为(2k 2+1,-2k ),当2k 2+1=2k 2+1,即k =±1时,直线MN ：x =3,当k ≠1且k ≠-1时,直线MN 的斜率为k MN =y M -y N x M -x N =k 1-k 2,方程为y +2k =k 1-k 2(x -2k 2-1),整理得y 1k -k =x -3,因此,∀k ∈R ,k ≠0,直线MN ：y 1k-k =x -3过点(3,0),所以直线MN 恒过定点D (3,0).9.中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A 2,3 ；②该曲线的渐近线与圆x 2-8x +y 2+4=0相切；③点P 在该双曲线上,F 1、F 2为该双曲线的焦点,当点P 的纵坐标为32时,恰好PF 1⊥PF 2.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)过定点Q 1,1 能否作直线l ,使l 与此双曲线相交于Q 1、Q 2两点,且Q 是弦Q 1Q 2的中点？若存在,求出l 的方程；若不存在,说明理由.【解析】 (1)设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b2=1a >b >0 .选①：由题意可知,双曲线E 的两个焦点分别为F 1-2,0 、F 22,0 ,由双曲线的定义可得2a =AF 1 -AF 2 =42+32-3 =2,则a =1,故b =c 2-a 2=3,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选②：圆x 2-8x +y 2+4=0的标准方程为x -4 2+y 2=12,圆心为4,0 ,半径为23,双曲线E 的渐近线方程为y =±b a x ,由题意可得4b a 1+b a2=23,解得b a =3,即b =3a ,因为c =a 2+b 2=2a =2,则a =1,b =3,因此,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选③：由勾股定理可得PF 1 2+PF 2 2=4c 2=16=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =4a 2+2PF 1 ⋅PF 2 ,所以,PF 1 ⋅PF 2 =2c 2-a 2 =2b 2,则S △F 1PF 2=12PF 1 ⋅PF 2 =b 2=12×32×4,则b =3,故a =c 2-b 2=1,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.(2)假设满足条件的直线l 存在,设点Q 1x 1,y 1 、Q 2x 2,y 2 ,则x 1+x 2=2y 1+y 2=2 ,由题意可得x 21-y 213=1x 22-y 223=1 ,两式作差得x 1-x 2 x 1+x 2 =y 1-y 2 y 1+y 2 3,所以,直线l 的斜率为k =y 1-y 2x 1-x 2=3,所以,直线l 的方程为y -1=3x -1 ,即y =3x -2.联立y =3x -2x 2-y 23=1,整理可得6x 2-12x +7=0,Δ=122-4×6×7<0,因此,直线l 不存在.10.己知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为42,短轴长为2,直线l 过点P -2,1 且与椭圆C 交于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率为1,求弦AB 的长；(3)若过点Q 1,12的直线l 1与椭圆C 交于E 、G 两点,且Q 是弦EG 的中点,求直线l 1的方程．【解析】 (1)依题意,椭圆C 的半焦距c =22,而b =1,则a 2=b 2+c 2=9,所以椭圆C 的方程为：x 29+y 2=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),依题意,直线l 的方程为：y =x +3,由y =x +3x 2+9y 2=9消去y 并整理得：5x 2+27x +36=0,解得x 1=-125,x 2=-3,因此,|AB |=1+12⋅|x 1-x 2|=325,所以弦AB 的长是325.(3)显然,点Q 1,12在椭圆C 内,设E (x 3,y 3),G (x 4,y 4),因E 、G 在椭圆C 上,则x 23+9y 23=9x 24+9y 24=9 ,两式相减得：(x 3-x 4)(x 3+x 4)+9(y 3-y 4)(y 3+y 4)=0,而Q 是弦EG 的中点,即x 3+x 4=2且y 3+y 4=1,则有2(x 3-x 4)+9(y 3-y 4)=0,于是得直线l 1的斜率为y 3-y 4x 3-x 4=-29,直线l 1的方程：y -12=-29(x -1),即4x +18y -13=0,所以直线l 1的方程是4x +18y -13=0.11.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,AB 为椭圆的一条弦,直线y =kx (k >0)经过弦AB 的中点M ,与椭圆C 交于P ,Q 两点,设直线AB 的斜率为k 1,点P 的坐标为1,32(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：k 1k 为定值.【解析】(1)由题意知1a 2+94b 2=1,c a =12,a 2=b 2+c 2, 解得a =2,b =3,c =1,故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)证明：设M x 0,y 0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由于A ,B 为椭圆C 上的点,所以x 214+y 213=1,x 224+y 223=1,两式相减得x 1+x 2 x 1-x 2 4=-y 1+y 2 y 1-y 2 3,所以k 1=y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2 4y 1+y 2=-3x 04y 0.又k =y 0x 0,故k 1k =-34,为定值.12.已知双曲线C ：2x 2-y 2=2与点P 1,2 ．(1)是否存在过点P 的弦AB ,使得AB 的中点为P ；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点,证明：A 、B 、C 、D 四点共圆．【解析】(1)双曲线的标准方程为x 2-y 22=1,∴a 2=1,b 2=2．设存在过点P 的弦AB ,使得AB 的中点为P ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,x 21-y 212=1,x 22-y 222=1两式相减得y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=b 2a 2,即k AB ⋅21=b 2a2得：k ⋅2=2,∴k =1．∴存在这样的弦．这时直线l 的方程为y =x +1．(2)设CD 直线方程为x +y +m =0,则点P 1,2 在直线CD 上．则m =-3,直线CD 的方程为x +y -3=0,设C x 3,y 3 ,D x 4,y 4 ,CD 的中点为Q x 0,y 0 ,x 23-y 232=1,x 24-y 242=1两式相减得k CD ⋅y 0x 0=b 2a2,则-1⋅y 0x 0=2,则y 0=-2x 0又因为Q x 0,y 0 在直线CD 上有x 0+y 0-3=0,解得Q -3,6 ,x -y +1=02x 2-y 2=2 ,解得A -1,0 ,B 3,4 ,x +y -3=02x 2-y 2=2 ,整理得x 2+6x -11=0,则x 3+x 4=-6x 3⋅x 4=-11则CD =1+k 2x 3-x 4 =410由距离公式得QA =QB =QC =QD =210所以A 、B 、C 、D 四点共圆．13.李华找了一条长度为8的细绳,把它的两端固定于平面上两点F 1,F 2处,|F 1F 2|<8,套上铅笔,拉紧细绳,移动笔尖一周,这时笔尖在平面上留下了轨迹C ,当笔尖运动到点M 处时,经测量此时∠F 1MF 2=π2,且△F 1MF 2的面积为4．(1)以F 1,F 2所在直线为x 轴,以F 1F 2的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,求李华笔尖留下的轨迹C 的方程(铅笔大小忽略不计)；(2)若直线l 与轨迹C 交于A ,B 两点,且弦AB 的中点为N (2,1),求△OAB 的面积．【解析】(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),由椭圆的定义知2a =8,故a 2=16．∵在Rt △F 1MF 2中,|F 1F 2|=2c ,假设|MF 1|=x ,|MF 2|=y (x ,y >0),又∵△F 1MF 2的面积为4cm 2,x +y =8xy =8 ,故4c 2=x 2+y 2=(x +y )2-2xy =48,∴c 2=12,b 2=a 2-c 2=4,∴椭圆的标准方程为x 216+y 24=1．(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵弦AB 的中点为N (2,1),∴x 1+x 2=4,y 1+y 2=2 且 x 1≠x 2．又∵A ,B 均在椭圆上,∴x 21+4y 21=16x 22+4y 22=16,得x 21-x 22=-4(y 21-y 22),即(x 1+x 2)⋅(x 1-x 2)=-4(y 1+y 2)⋅(y 1-y 2).∴(x 1-x 2)=-2(y 1-y 2).∵x 1≠x 2,∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-12故直线AB 的方程为：x +2y -4=0．联立 x +2y -4=0x 2+4y 2-16=0,整理得x 2-4x =0．得 x 1=0,x 2=4,∴A (0,2),B (4,0),∴S △OAB =12×2×4=4．∴△OAB 的面积为4cm 2．14.若抛物线C :y 2=x 上存在不同的两点关于直线l :y =m x -3 对称,求实数m 的取值范围.【解析】当m =0时,显然满足.当m ≠0时,设抛物线C 上关于直线l :y =m x -3 对称的两点分别为P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 ,且PQ 的中点为M x 0,y 0 ,则y 12=x 1,(1)y 22=x 2,(2)1 -2 得：y 12-y 22=x 1-x 2,∴k PQ =y 1-y 2x 1-x 2=1y 1+y 2=12y 0,又k PQ =-1m ,∴y 0=-m 2.∵中点M x 0,y 0 在直线l :y =m x -3 上,∴y 0=m x 0-3 ,于是x 0=52.∵中点M 在抛物线y 2=x 区域内∴y 02<x 0,即-m 2 2<52,解得-10<m <10.综上可知,所求实数m 的取值范围是-10,10 .。

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。

解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x 1,y 1)∖ B(x 2,y 2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差， 得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子， 可以大大 减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为"点差法” 。

一、以定点为中点的弦所在直线的方程2 2例1、过椭圆内一点M (2,1)引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所在直线 16 4的方程。

解：设直线与椭圆的交点为 A(x 1,y 1)∖ B(x 2,y 2)T M (2,1)为 AB 的中点 F -F χ1 + X 2 =4y 1 + y 2 = 22 2 2 2幕又A 、B 两点在椭圆上，则 x 1 ■ 4y 1 =16， x 2 - 4y 2 =16 两式相减得(χ11 2 _x 22) ∙ 4(y 12 _ y 22) =O 于是(X 1X 2)(X 1 - X 2) 4( % y 2)( y 1 - y 2) =0y 1 - y 2 X 1 X 24 1 ■ ■ — * — —X 1 —X 24(y 1 ■ y 2)4 221 1即k AB ，故所求直线的方程为 y -1(x - 2)，即X ∙ 2y —4 =0 。

222例2、已知双曲线X 2 —L =1，经过点M (1 1)能否作一条直线l ,使丨与双曲线交于A 、B ，2 且点M 是线段AB 的中点。

若存在这样的直线 丨，求出它的方程，若不存在，说明理由。

策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。

本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。

解：设存在被点M 平分的弦AB ,且A(x 1,y 1)' B(x 2, y 2)则 X 1 + X 2 =2 y 1 + y 2 = 22X 1y1 2=1，X2—12222 2.点M 的坐标为(1,-1)。

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题
胡文敏
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2013(000)010
【摘要】与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A（x1,y1）、B（x2,y2）,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为＂点差法＂.一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1过椭圆x2/16＋y2/4=1内一点M（2,1）引一条弦,使弦被M 点平分,求这条弦所在直线的方程.
【总页数】1页(P23-23)
【作者】胡文敏
【作者单位】南昌市八一中学,330006
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.用“点差法”妙解圆锥曲线“中点弦”的问题
2."点差法"解决圆锥曲线的中点弦问题
3.巧用点差法解决圆锥曲线中点弦问题
4.点差法解圆锥曲线中点弦问题新发
现5.构造中点弦妙解圆锥曲线问题
——中点弦结论的拓展运用
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圆锥曲线点差法是一种用于计算圆锥曲线曲率半径的方法。

圆锥曲线是一种曲率较大的曲线，常用于在建筑、交通和机械设计中。

圆锥曲线点差法的基本步骤如下：
1.确定圆锥曲线的顶点坐标以及沿着曲线的方向。

2.在圆锥曲线上选择两个相距较近的点。

3.计算这两个点的纵坐标差值（或横坐标差值），并记作Δy（或Δx）。

4.计算这两个点的距离，并记作Δs。

5.使用公式R = (Δy / Δs^2) * (1 + (Δy / Δs)^2)^(-3/2)计算圆锥曲线的曲率半径。

在使用圆锥曲线点差法时，较小的Δs值意味着较大的计算精度，但同时也意味着较大的计算量。

因此，在选择Δs值时需要考虑平衡精度和计算量的关系。

思路探寻中点弦问题是指与圆锥曲线的弦的中点有关的问题.这类问题通常要求我们求弦的中点的坐标、弦所在直线的方程、圆锥曲线的方程，侧重于考查一元二次方程的根与系数的关系、线段中点的坐标公式、直线的斜率公式的应用，以及直线与圆锥曲线的位置关系.解答圆锥曲线中点弦问题，通常运用点差法.若直线与椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，且AB 的中点M (x 0,y 0)，运用点差法解答中点弦问题的步骤为：1.把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程，得：x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b2=1②；2.将①②两式作差，得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=1，即()x1-x 2()x 1+x 2a 2+()y1-y 2()y 1+y 2b 2=1，可得y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a 2(x 1+x 2y 1+y 2)=()-b 2a 2æèççççöø÷÷÷÷x 1+x 22y 1+y 22=()-b 2a2(x 0y 0)③；3.根据线段中点的坐标公式可得x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y 22，将其代入③得y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a 2()x 0y 0，即为直线AB 的斜率.类似地，对于焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2+x 2b2=1（a >b >0），运用点差法可得直线AB 的斜率k AB =()-a 2b 2()x 0y 0；对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2-y 2b2=1（a >0,b >0），由点差法可得直线AB 的斜率k AB =()b 2a 2()x 0y 0；焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2-x2b2=1（a >0,b >0），由点差法可得直线AB 的斜率k AB =()a 2b 2()x 0y 0.利用点差法，由弦AB 所在直线的斜率和圆锥曲线的方程，可以得到弦AB 中点的横坐标x 0与纵坐标y 0之间的关系式.例1.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为ìíîx =2cos θ,y =4sin θ,其中θ为参数，直线l 的参数方程为ìíîx =1+t cos θ,y =2+t sin θ,其中t 为参数.若曲线C 截直线l 所得线段的中点为（1，2），求直线l 的斜率.解：由ìíîïïïïx2=cos θ,y 4=sin θ,可得曲线C 的直角坐标方程是y 216+x 24=1，当直线l 的倾斜角θ≠π2时，由ìíîx -1=t cos θ,y -2=t sin θ,得y -2x -1=tan θ，则直线l 的直角坐标方程是y =x tan θ+2-tan θ.当直线l 的倾斜角θ=π2时，直线l 的斜率不存在，其方程是x =1，设直线l 与曲线C 相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，因为AB 的中点的坐标为（1，2），所以x 1+x 22=2，y 1+y 22=4，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程中，得x 1216+y 124=1①，x 2216+y 224=1②，将①②两式作差得x 12-x 2216+y 12-y 224=1，可得直线l 的斜率k AB=()-164()x 1+x 2y 1+y 2=()-164×()12=-2.运用点差法，由弦的中点坐标和曲线的方程，可以直接通过整体代换，快速求得弦所在直线的斜率，这样可以大大减少运算量.例2.已知双曲线x 2-y 22=1，那么过点P (1，1)能否45思路探寻作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB的中点.解：设直线l 与双曲线相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，因为AB 的中点的坐标为（1，1），所以x 1+x 22=2，y 1+y 22=2，把A 、B 两点的坐标代入双曲线的方程，得x 12+y 122=1①，x 22+y 222=1②，将①②两式作差得()x 12-x 22+y 12-y 222=1，可得k AB =2()x 1+x 2y 1+y 2=2.得直线l 的方程为y -1=2(x -1)，即y =2x -1.联立直线与双曲线的方程，得ìíîïïy =2x -1,x 2-y 22=1,消去y ，得2x 2-4x +3=0，所以△=16-24=-8<0，则方程无解.所以直线l ：y =2x -1与双曲线x 2-y 22=1相离，故不存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.本题涉及了双曲线的弦、中点，属于中点弦问题，需运用点差法求解.将直线与双曲线的两个交点的坐标分别代入双曲线的方程中，并作差，从而求得弦所在直线的斜率和方程.最后还需构造出一元二次方程，根据方程的判别式来判断直线与双曲线是否有两个交点，检验所求的直线方程是否满足题意.例3.已知椭圆x 22+y 2=1上的两点A 、B 关于直线y =mx +12对称，求实数m 的取值范围.解：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程，得x 122+y 12=1①，x 222+y 22=1②，将①②两式作差得()x12-x 222+()y 12-y 22=1，可得-1m =()-12()x 1+x 2y 1+y 2.设弦AB 的中点M (x 0,y 0)，则y 0=mx 0+12③，可得-1m =(-12)(x 0y 0)④，由③④可得ìíîïïïïx 0=-1m,y 0=-12,即M (-1m ,-12)，因为弦AB 的中点M 必在椭圆内部，所以()-1m22+()-122<1,解得mm <由于A 、B 两点关于直线对称，所以A 、B 两点的中点在直线上.本题实质上是中点弦问题，需运用点差法求解.先将两点的坐标代入椭圆的方程中，并作差，即可求出直线的斜率；然后建立关于AB 中点坐标的方程组，求得中点的坐标；再将其代入椭圆的方程中，根据椭圆与点的位置关系，求得参数m 的取值范围.例4.已知直线AB 与椭圆x 2a 2+y 2b2=1交于A 、B 两点，B 与B '关于原点O 对称，证明：直线AB 与直线AB '的斜率之积为定值.证明：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程中，得：x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b2=1②，将①②两式作差，得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=1，即y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a2(x 1+x 2y 1+y 2)，变形得y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)=-b 2a2，而直线AB 的斜率为k AB =y 1-y 2x 1-x 2，直线AB '的斜率为k AB '=y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)，所以k AB ⋅k AB '=y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)=-b 2a2.解答本题，需灵活运用点差法和直线的斜率公式，建立关于直线AB 和直线AB '的斜率的关系式，从而证明结论.运用点差法解题，只需通过简单的整体代换，即可求得直线的斜率、弦中点的坐标，这样可以有效地提升解题的效率.但是点差法的适用范围较窄，只适用于求解中点弦问题，且其中的x 1、x 2、y 1、y 2不一定是实数，有可能是虚数，因此在运用点差法解题时，还需检验所得的结果是否满足题意.（作者单位：陕西省宝鸡市岐山县蔡家坡高级中学）46。

点差法与圆锥曲线第三定义的应用举例尹伟云(贵州省仁怀市周林高中ꎬ贵州仁怀５６４５９９)摘㊀要:点差法是解决圆锥曲线中点弦问题的有效工具ꎬ亦是高考的常考对象.本文从点差法入手ꎬ探究点差法与圆锥曲线第三定义的联系ꎬ给出５个经典结论及其证明ꎬ并以实例阐述其应用.关键词:点差法ꎻ中点弦ꎻ圆锥曲线第三定义中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００８６－０５收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:严伟云ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀圆锥曲线中的中点弦和直径问题是高考经常考查的对象.在某些与中点及直径有关的相交弦问题中ꎬ利用点差法或圆锥曲线第三定义可快速得到两直线的斜率之积ꎬ尤其是在小题中ꎬ直接利用结论求解ꎬ可大大地节省解题时间.下面就这些问题进行探讨.１点差法的原理１.１点差法在椭圆中点弦问题中的应用结论１㊀设直线ｌ(不与坐标轴垂直且不过原点)与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)相交于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬＰ(ｘ０ꎬｙ０)为弦ＡＢ的中点ꎬ如图１ꎬ则ｋＯＰ ｋＡＢ＝ｙ０ｘ０ ｋＡＢ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１ꎻ若椭圆方程为ｙ２ａ２＋ｘ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬ如图２ꎬ则ｋＯＰ ｋＡＢ＝ｙ０ｘ０ ｋＡＢ＝－ａ２ｂ２＝１ｅ２－１.证明㊀由ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１ꎬｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１ꎬìîíïïïï两式相减ꎬ得图１㊀椭圆焦点在ｘ轴㊀㊀㊀㊀㊀图２㊀椭圆焦点在ｙ轴ｘ２１－ｘ２２ａ２＋ｙ２１－ｙ２２ｂ２＝０.即(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)ａ２＋(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)ｂ２＝０.化为(ｙ１＋ｙ２)/２(ｘ１＋ｘ２)/２ ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－ｂ２ａ２.所以ｙ０ｘ０ ｋＡＢ＝－ｂ２ａ２.故ｋＯＰ ｋＡＢ＝－ｂ２ａ２＝－ａ２－ｃ２ａ２＝ｅ２－１.如图２ꎬ当椭圆的焦点在ｙ轴上时ꎬ同理得ｋＯＰ ｋＡＢ＝ｙ０ｘ０ ｋＡＢ＝－ａ２ｂ２＝１ｅ２－１.１.２点差法在双曲线中点弦问题中的应用结论２㊀设直线ｌ(不与坐标轴垂直且不过原点)与双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)相交于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬＰ(ｘ０ꎬｙ０)为弦ＡＢ的中点ꎬ如图３和图４ꎬ仿照结论１的证明方法ꎬ容易得到ｋＯＰ ｋＡＢ＝ｙ０ｘ０ ｋＡＢ＝ｂ２ａ２＝ｅ２－１.若双曲线方程为ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)ꎬ则ｋＯＰ ｋＡＢ＝ｙ０ｘ０ ｋＡＢ＝ａ２ｂ２＝１ｅ２－１.图３㊀双曲线中点弦问题㊀㊀㊀㊀图４㊀双曲线中点弦问题根据结论１和结论２ꎬ容易知道椭圆㊁双曲线中点差法的统一公式:设曲线Ｃ:ｘ２ｍ＋ｙ２ｎ＝１ꎬ其中ｍｎʂ０ꎬ直线ｌ(不与坐标轴垂直且不过原点)与曲线Ｃ相交于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬＰ(ｘ０ꎬｙ０)为弦ＡＢ的中点ꎬ则ｋＯＰ ｋＡＢ＝－ｎｍ.①当ｍ＝ｎ>０时ꎬ方程ｘ２ｍ＋ｙ２ｎ＝１表示圆ꎬ由垂径定理可知ꎬｋＰＡ ｋＰＢ＝－１ꎻ②当ｍʂｎ且ｍ>０ꎬｎ>０时ꎬ方程ｘ２ｍ＋ｙ２ｎ＝１表示椭圆ꎻ③当ｍｎ<０时ꎬ方程ｘ２ｍ＋ｙ２ｎ＝１表示双曲线ꎻ④当ｍ<０ꎬｎ<０时ꎬ方程ｘ２ｍ＋ｙ２ｎ＝１不表示任何曲线.１.３点差法在抛物线中点弦问题中的应用结论３㊀设直线ｌ(不与抛物线对称轴垂直)与抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)相交于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ ｙ２)两点ꎬＰ(ｘ０ꎬｙ０)为弦ＡＢ的中点ꎬ如图５ꎬ则ｙ０ ｋＡＢ＝ｐ.若抛物线方程为ｘ２＝２ｐｙ(ｐ>０)ꎬ则ｘ０ｋＡＢ＝ｐ.图５㊀抛物线中点弦问题证明㊀由ｙ２１＝２ｐｘ１ꎬｙ２２＝２ｐｘ２ꎬ{两式相减ꎬ得ｙ２１－ｙ２２＝２ｐ(ｘ１－ｘ２).化简为ｙ１＋ｙ２２ ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝ｐ.即得ｙ０ ｋＡＢ＝ｐ.若抛物线方程为ｘ２＝２ｐｙ(ｐ>０)ꎬ同理可证ｘ０ｋＡＢ＝ｐ.２圆锥曲线的第三定义已知ＡꎬＢ是ｘ轴上关于原点Ｏ对称的两点ꎬ设｜ＡＢ｜＝２ａ.若平面内异于ＡꎬＢ的动点Ｐ满足ｋＰＡ ｋＰＢ为定值λꎬ则当－１<λ<０时ꎬ点Ｐ的轨迹为椭圆(不含长轴端点ＡꎬＢ)ꎬ设短轴长为２ｂꎬ则λ＝－ｂ２ａ２ꎻ当λ>０时ꎬ点Ｐ的轨迹为双曲线(不含实轴端点ＡꎬＢ)ꎬ设虚轴长为２ｂꎬ则λ＝ｂ２ａ２.由上知ꎬλ＝ｅ２－１ꎬ其中ｅ为对应轨迹的离心率.将圆锥曲线第三定义进行推广ꎬ得到如下结论:结论４㊀如图６ꎬ过原点的直线与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)相交于ＡꎬＢ两点ꎬＰ为椭圆上异于ＡꎬＢ的动点ꎬ当直线ＰＡꎬＰＢ的斜率均存在时ꎬ有ｋＰＡ ｋＰＢ＝ｅ２－１＝－ｂ２ａ２.当椭圆的焦点在ｙ轴上时ꎬ有ｋＰＡ ｋＰＢ＝１ｅ２－１＝－ａ２ｂ２.证法１㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬ则Ｂ(－ｘ１ꎬ图６㊀结论４图－ｙ１)ꎬ从而直线ＰＡꎬＰＢ的斜率之积为ｋＰＡ ｋＰＢ＝ｙ０－ｙ１ｘ０－ｘ１ｙ０＋ｙ１ｘ０＋ｘ１＝ｙ２０－ｙ２１ｘ２０－ｘ２１＝ｂ２１－(ｘ２０/ａ２)[]－ｂ２１－(ｘ２１/ａ２)[]ｘ２０－ｘ２１＝－ｂ２ａ２.证法２㊀取ＡＰ的中点Ｍꎬ连接ＯＭꎬ由点差法ꎬ得ｋＰＡ ｋＰＢ＝ｋＰＡ ｋＯＭ＝ｅ２－１＝－ｂ２ａ２.当椭圆的焦点在ｙ轴上时ꎬ同理可证ｋＰＡ ｋＰＢ＝１ｅ２－１＝－ａ２ｂ２.结论５㊀如图７ꎬ过原点的直线与双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)相交于ＡꎬＢ两点ꎬＰ为双曲线上异于ＡꎬＢ的动点ꎬ当直线ＰＡꎬＰＢ的斜率均存在时ꎬ有ｋＰＡ ｋＰＢ＝ｅ２－１＝ｂ２ａ２.图７㊀结论５图当双曲线的焦点在ｙ轴上时ꎬ有ｋＰＡ ｋＰＢ＝１ｅ２－１＝ａ２ｂ２.证法１㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬ则Ｂ(－ｘ１ꎬ－ｙ１)ꎬ则ｋＰＡ ｋＰＢ＝ｙ０－ｙ１ｘ０－ｘ１ｙ０＋ｙ１ｘ０＋ｘ１＝ｂ２(ｘ２０/ａ２)－１[]－ｂ２(ｘ２１/ａ２)－１[]ｘ２０－ｘ２１＝ｂ２ａ２.证法２㊀取ＰＡ的中点Ｍꎬ连接ＯＭꎬ由点差法ꎬ得ｋＰＡ ｋＰＢ＝ｋＰＡ ｋＯＭ＝ｅ２－１＝ｂ２ａ２.当椭圆的焦点在ｙ轴上时ꎬ同理可证ｋＰＡ ｋＰＢ＝１ｅ２－１＝ａ２ｂ２.３实例分析例１㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２＝１上存在两点ＡꎬＢ关于直线ｌ:ｘ＝ｍｙ＋１对称ꎬ则实数ｍ的取值范围是.解析㊀由题意知ꎬ直线ＡＢ与ｌ互相垂直ꎬ所以ｋＡＢ ｋｌ＝－１ꎬ得ｋＡＢ＝－ｍ.设线段ＡＢ的中点为Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ由点差法ꎬ得ｋＡＢ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２.即(－ｍ)ｙ０ｘ０＝－１４.与ｘ０＝ｍｙ０＋１联立ꎬ得ｘ０＝４３ꎬｙ０＝１３ｍ.ìîíïïïï因为点Ｍ４３ꎬ１３ｍæèçöø÷在椭圆Ｃ的内部ꎬ所以１６４ˑ９＋１３ｍæèçöø÷２<１.解得ｍ>５５ꎬ或ｍ<－５５.所以实数ｍ的取值范围是－¥ꎬ－５５æèçöø÷ɣ５５ꎬ＋¥æèçöø÷.评注㊀在椭圆中ꎬ由点差法得到的式子 ｋＡＢｋＯＭ＝－ｂ２ａ２ 是相交弦中点与原点连线的斜率与弦所在直线斜率的一个等量关系.ｋＡＢ与直线ＡＢ直接相关联ꎬ－ｂ２ａ２与椭圆Ｃ相关联ꎬ因此ꎬ点差法搭建了直线与椭圆之间的桥梁.在本题中ꎬ点差法为弦中点的表示创造了重要条件ꎬ从而通过中点与椭圆的位置关系建立不等关系.例２㊀已知Ｆ１(－ｃꎬ０)ꎬＦ２(ｃꎬ０)分别为双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的左㊁右焦点ꎬ直线ｌ:ｘｃ＋ｙｂ＝１与Ｃ交于ＭꎬＮ两点ꎬ线段ＭＮ的垂直平分线与ｘ轴交于点Ｔ(－５ｃꎬ０)ꎬ则Ｃ的离心率为.解析㊀设线段ＭＮ与其垂直平分线交于点Ｐꎬ连接ＯＰꎬ如图８.图８㊀例２解析图则ｋＰＴ ｋＭＮ＝－１ꎬｋＯＰ ｋＭＮ＝ｂ２ａ２.ìîíïïï①②两式相比ꎬ得ｋＰＴｋＯＰ＝－ａ２ｂ２.即ｙ０ｘ０＋５ｃ ｘ０ｙ０＝－ａ２ｂ２ꎬ解得ｘ０＝－５ａ２ｃ.又由①得ｙ０ｘ０＋５ｃ －ｂｃæèçöø÷＝ｙ０－５ａ２/ｃ＋５ｃ －ｂｃæèçöø÷＝－１.解得ｙ０＝５ｂ.将ｘ０＝－５ａ２ｃꎬｙ０＝５ｂꎬìîíïïï代入ｘｃ＋ｙｂ＝１中ꎬ得－５ａ２ｃ２＋５ｂｂ＝１.化简为ｃ２ａ２＝５４.所以ｅ＝ｃａ＝５２.评注㊀求离心率的关键是找到关于ａꎬｂꎬｃ的一个齐次等量关系ꎬ而点差法的结论 ｋＯＰ ｋＭＮ＝ｂ２ａ２ 中恰好含有ａ与ｂ的齐二次关系.对于结论中两直线的斜率ꎬ一般有两种转化途径:一是转化为点的坐标ꎬ二是利用几何图形的特征或位置关系进行转化.本题就是通过点的坐标以及两直线的垂直关系与点的共线关系进行转化.例３㊀抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后ꎬ沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线Ｃ:ｘ２＝８ｙꎬ如图９ꎬ一平行于ｙ轴的光线从上方射向抛物线上的点Ｐꎬ经抛物线２次反射ꎬ最后从抛物线上的点Ｑ沿平行于ｙ轴方向射出.若直线ｌ:ｙ＝ｘ＋ｍ与抛物线Ｃ交于ＡꎬＢ两点ꎬ在坐标平面内作әＡＢＮꎬ使әＡＢＮ的外接圆圆心的坐标为Ｉ－１２ꎬ１１æèçöø÷ꎬ求弦ＡＢ的长度.图９㊀例３解析图解析㊀设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ线段ＡＢ的中点为Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｘ２１＝８ｙ１ꎬｘ２２＝８ｙ２.两式相减ꎬ得ｘ２１－ｘ２２＝８(ｙ１－ｙ２).化简为ｘ１＋ｘ２２＝４(ｙ１－ｙ２)ｘ１－ｘ２.解得ｘ０＝４ｋＡＢ＝４.即得ｋＡＢ＝１ꎬ从而ｙ０＝４＋ｍ.由垂径定理ꎬ得ＡＢʅＭＩ.所以ｋＡＢ ｋＭＩ＝－１.即１ ４＋ｍ－１１４＋１/２＝－１ꎬ解得ｍ＝５２.联立ｙ＝ｘ＋５２与ｘ２＝８ｙꎬ消去ｙꎬ得ｘ２－８ｘ－２０＝０.从而｜ＡＢ｜＝ｋ２＋１ ｜ｘ１－ｘ２｜＝ｋ２＋１(ｘ１＋ｘ２)２－４ｘ１ｘ２＝１２＋１ ８２－４ˑ(－２０)＝１２２.评注㊀抛物线中点差法的结论ｘ０ｋ＝ｐ 体现了相交弦中点横坐标与弦所在直线斜率的等量关系.本题中ꎬ求直线ｌ方程中ｍ的值是关键.点差法与垂径定理的联合ꎬ将问题转化为点的坐标运算ꎬ从而求出ｍ的值.应注意ꎬ对于解答题ꎬ需写出点差法的推导过程ꎬ即先将弦的两端点坐标代入曲线方程中ꎬ作差后再利用平方差公式和中点坐标公式化为中点坐标与斜率的关系[１].例４㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２１６＋ｙ２１２＝１ꎬ点Ａ(－４ꎬ０)ꎬＢ(４ꎬ０)ꎬ点Ｐ和Ｑ分别是椭圆Ｃ和圆Ｍ:ｘ２＋ｙ２＝１６上不同于ＡꎬＢ的两点ꎬ设直线ＰＢꎬＱＢ的斜率分别为ｋ１ꎬｋ２ꎬ且ｋ１＝３４ｋ２ꎬ求证:ＡꎬＰꎬＱ三点共线.解析㊀在椭圆Ｃ中ꎬ由椭圆第三定义ꎬ得ｋＰＢ ｋＰＡ＝－ｂ２ａ２.即ｋ１ ｋＰＡ＝－３４.又ｋ１＝３４ｋ２ꎬ所以３４ｋ２ ｋＰＡ＝－３４ꎬ得ｋＰＡ＝－１ｋ２.在圆Ｍ中ꎬ由ｋＱＡ ｋＱＢ＝－１ꎬ即ｋＱＡ ｋ２＝－１ꎬ得ｋＱＡ＝－１ｋ２.所以ｋＰＡ＝ｋＱＡ.又直线ＰＡ与ＱＡ共点Ａꎬ所以ＡꎬＰꎬＱ三点共线.评注㊀如果圆的弦经过该圆圆心ꎬ则称该弦为该圆的直径ꎬ类似地ꎬ椭圆的弦经过该椭圆的中心ꎬ则称该弦为该椭圆的直径.本题中ꎬ线段ＡＢ是椭圆的直径ꎬ通过椭圆第三定义得到椭圆上一点与另两点连线的两斜率之积.如果把圆看作是特殊的椭圆ꎬ那么在圆中 ｋＱＢ ｋＱＡ＝－１ 可看作是椭圆中ｋＰＢ ｋＰＡ＝－ｂ２ａ２ 的特殊情形ꎬ由这两组斜率关系和条件中的斜率关系推出的新的斜率关系ꎬ恰好达到证明的目的.例５㊀在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ已知直线ｌ:３ｘ＋ｙ＋ｍ＝０与双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的右支交于ＭꎬＮ两点(点Ｍ在第一象限).若点Ｑ满足ＯＭң＋ＯＱң＝０ꎬ且øＭＮＱ＝３０ʎꎬ则双曲线Ｃ的渐近线方程为.解析㊀由３ｘ＋ｙ＋ｍ＝０ꎬ得ｌ的斜率为－３ꎬ故ｌ的倾斜角为１２０ʎ.又øＭＮＱ＝３０ʎꎬ所以直线ＱＮ的倾斜角为１２０ʎ＋３０ʎ＝１５０ʎꎬ如图１０.图１０㊀例５解析图由ＯＭң＋ＯＱң＝０知ꎬＯ为线段ＭＱ的中点.由双曲线第三定义得ｋＭＮ ｋＱＮ＝ｂ２ａ２.即ｂ２ａ２＝－３ ｔａｎ１５０ʎ＝１ꎬ即ｂａ＝１.所以双曲线Ｃ的渐近线方程为ｙ＝ʃｘ.评注㊀本题由双曲线第三定义快速得到关于ａꎬｂ的齐次分式与ｋＭＮꎬｋＱＮ的等量关系ꎬ再由直线ＭＮ的倾斜角及条件中的已知角求得ｋＱＮꎬ从而得到关于ａꎬｂ的齐次方程ꎬ即得双曲线的渐近线方程.利用双曲线第三定义解题ꎬ首先要寻找过双曲线中心的相交弦ꎬ其次在双曲线上另找一点ꎬ向弦两端点引直线ꎬ再将这两直线的斜率转化为可求的量.参考文献:[１]任栋.圆锥曲线第三定义及点差法的应用[Ｊ].中学数学ꎬ２０１９(１５):４８－４９.[责任编辑:李㊀璟]。

y y 2点差法巧解圆锥曲线高中部 周钢点差法是指在求解圆锥曲线时，题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标，利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程并作差， 求出直线的斜率， 然后利用中点求出直线方程的一种特殊方法。

点差法在解决特定问题时， 可以减少很多的运算，因此对于这种方法，我们应该予以重视。

例 1：过点P 4,1 作抛物线 y 28x 的弦 AB ，恰被点 P 平分， 求 AB 所在直线的方程 .解：法一、设AB 所在直线的方程为 y k x 4 1 k 0 ，y k x 4 12由2，消去 x 并整理，得 kyy8x8 y 32k 8 0 .8 设 A x 1 , y 1 ， B x 2 , y 2 ，由根与系数的关系，得y 1 y 2，k又 P 是 AB 的中点，所以y 1 y 228 1 . 所以2kk 4 ，所以直线AB 的方程为 y 1 4 x 4 ，即 4 x y 15 0 .法二、设 A x 1 , y 1 ， B x 2 , y 2 2，则有 18 x 1 ， 2 8x 2 ， 两式相减，得y 1 y 2 y 1y 2 8 x 1x 2 ， 又 y 1 y 22 ，则 ky 2 y 1 x 2x 184 ， y 1y 2所以直线 AB 的方程为 y 1 4 x 4 ，即 4 x y 15 0 .通过例 1 可以看出：法一为传统解法，在联立求解过程中，可能出现计算失误导致最 终结果的偏差；法二为点差法，利用中点直接解出直线斜率，计算简便。

例 1 比较简单，传统方法亦可解决，但已经能够看出点差法在计算方面的优势。

例 2 ：已知椭圆C 的两个焦点分别为 F 1 1,0 ， F 2 1,0 ， M 是此椭圆上的一点，且xxyxyxxx y MF 1MF 2 ， MF 1 MF 28 .（1） ）求椭圆 C 的方程；（2） ）点 B 是椭圆 C 短轴的一个端点，且其纵坐标大于零，M 、 N 是椭圆 C 上不同于点 B的两点 .若MBN 的重心是椭圆 C 的右焦点，求直线 MN 的方程 .x2y2y解：（ 1 ）解答过程略，椭圆C 的方程为15 4B（ 2 ）设 M x 1 , y 1 ， N x 2 , y 2 ，由（ 1 ）知B 0,2 ，xNM因为 F 2 1,0 是MBN 的重心，故各点坐标满足x 1 x 2 0 1 3y 1y 2 23x 1 x 2 y 1y 23，故 M 、 N 中点坐标为23, 1 ， 22M 、 N 在椭圆上应满足152 2 11 ，2452 21 ，两式相减得4x 1 x 2 x 1x 2 5y 1 y 2 y 1y 240 ky 1 y 2 x 1x 24 x 1 x 2 6 ，5 y 1y 2 5所以直线 MN 的方程为 y16 x53 ，即 6x 25 y 14 0 .例 2 第二问的重点在于对重心的理解以及重心坐标公式的应用， 利用重心求出弦MN 的中点坐标，再利用点差法即可求出直线方程，简化了大量的计算。

点差法巧解圆锥曲线点差法是指在求解圆锥曲线时，题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标，利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程并作差，求出，然后利用中点求出的一种特殊方式。

点差法在解决特定问题时，能够减少很多的运算，因此对于这种方式，咱们应该予以重视。

例1：过点()1,4P 作抛物线x y 82=的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 所在直线的方程.解：法一、设AB 所在直线的方程为()()014≠+-=k x k y ，由()⎩⎨⎧=+-=xy x k y 8142，消去x 并整理，得083282=+--k y ky .设()11,y x A ，()22,y x B ，由根与系数的关系，得ky y 821=+， 又P 是AB 的中点，所以1221=+y y . 所以428=⇒=k k， 所以直线AB 的方程为()441-=-x y ，即0154=--y x .法二、设()11,y x A ，()22,y x B ，则有1218x y =，2228x y =，两式相减，得()()()2121218x x y y y y -=+-， 又221=+y y ，则48211212=+=--=y y x x y y k ，所以直线AB 的方程为()441-=-x y ，即0154=--y x .通过例1能够看出：法一为传统解法，在联立求解进程中，可能出现计算失误致使最终结果的误差；法二为点差法，利用中点直接解出直线斜率，计算简便。

例1比较简单，传统方式亦可解决，但已经能够看出点差法在计算方面的优势。

例2：已知椭圆C 的两个核心别离为()0,11-F ，()0,12F ，M 是此椭圆上的一点，且21MF MF ⊥8=.（1）求椭圆C 的方程；（2）点B 是椭圆C 短轴的一个端点，且其纵坐标大于零，M 、N 是椭圆C 上不同于点B 的两点.若MBN ∆的重心是椭圆C 的右核心，求直线MN 的方程.解：（1）解答进程略，椭圆C 的方程为14522=+y x （2）设()11,y x M ，()22,y x N ，由（1）知()2,0B ，因为()0,12F 是MBN ∆的重心，故各点坐标知足⎩⎨⎧-=+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++230321321212121y y x x y y x x ，故M 、N 中点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,23， M 、N 在椭圆上应知足1452121=+y x ，1452222=+y x ，两式相减得 ()()()()04521212121=-++-+y y y y x x x x ⇒()()565421212121=++-=--=y y x x x x y y k ，所以直线MN 的方程为()⎪⎭⎫⎝⎛-=--23561x y ，即01456=--y x . 例2第二问的重点在于对重心的理解和重心坐标公式的应用，利用重心求出弦MN 的中点坐标，再利用点差法即可求出直线方程，简化了大量的计算。

浅谈点差法在高中数学中的应用汤伊静(浙江省杭州市学军中学㊀３１００００)摘㊀要:点差法作为解析几何的基本方法ꎬ在高考数学圆锥曲线题中屡次涉及.２０１５年４月浙江学考数学㊁２０１８年６月浙江高考数学中的圆锥曲线题用点差法均能较快作答.笔者就自身做题经验ꎬ浅谈如何运用点差法快速解答圆锥曲线题ꎬ希望能对考生们起到帮助.关键词:点差法ꎻ高中数学ꎻ圆锥曲线中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０４－０００９－０２收稿日期:２０１８－１１－１５作者简介:汤伊静(２００１－)ꎬ女ꎬ浙江省杭州人ꎬ在校学生.㊀㊀一㊁点差法解答圆锥曲线基本原理一般而言ꎬ高中圆锥曲线设法有两种ꎬ一是参数法ꎬ也就是我们常说的设ｋ值ꎬ设直线方程解答.二是点差法ꎬ设点坐标求解.表述如下:二次曲线ｍｘ２＋ｎｙ２＝１上两点ＭꎬＮꎬ设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＭＮ的中点Ｑ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬＭＮ的斜率为ｋ.ｍｘ２１＋ｎｙ２１＝１ꎬ㊀(１)ｍｘ２２＋ｎｙ２２＝１ꎬ㊀(２){由(１)－(２)得ꎬｍ(ｘ１－ｘ２)(ｘ１＋ｘ２)＋ｎ(ｙ１－ｙ２)(ｙ１＋ｙ２)＝０.又ȵｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝ｋ(ｘ１ʂｘ２)ꎬʑｍｘ０＋ｎｋｙ０＝０ꎬ这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式.㊀㊀二㊁点差法的基本应用与弦中点相关的问题有三种:平行弦的中点轨迹ꎻ过定点的弦的中点轨迹ꎻ过定点且被定点平分的弦所在直线方程.其他问题都是由这三类问题衍生出来的.１.已知弦中点求弦所在直线方程此类问题是点差法的基本应用ꎬ题目会明确告知中点.由点差法的原理可知ꎬ在二次曲线ｘ２ｍ＋ｙ２ｎ＝１中ꎬＱ为其上两点ＭꎬＮ的中点ꎬ则有ｋＯＱ ｋＭＮ＝－ｎｍ.例题１㊀过点Ｍ(３ꎬ－１)且被点Ｍ平分的双曲线ｘ２４－ｙ２＝１的弦所在直线方程为.解㊀设弦是ＡＢꎬ由点差法的小结论可知:ȵｋＯＭ＝－１３ꎬｋＯＭ ｋＡＢ＝１４ꎬʑｋＡＢ＝－３４.ʑ直线ｌ:ｙ＝－３４(ｘ－３)＋１ꎬ即ｙ＝－３４ｘ＋１３４.由此可见ꎬ具有斜率的弦中点问题ꎬ常常用点差法作答ꎬ设而不求ꎬ消去多个参数ꎬ得出最终答案.注意ꎬ如果是曲线的存在性问题ꎬ判断点Ｍ的位置至关重要ꎬ如果点Ｍ在曲线外ꎬ中点弦将不存在.２.巧用点差法解对称点题型一般地ꎬ求对称直线ꎬ对称点的题目ꎬ用点差法较为方便.牢牢抓住两ｋ值相乘等于－１.ｋＯＱ ｋＭＮ＝－ｎｍ即可求解.例题２㊀已知椭圆方程为ｘ２４＋ｙ２＝１ꎬ如图ꎬ直线ｌ与椭圆相交于Ａ㊁Ｂ两点ꎬ且与圆Ｃ相切于点Ｍꎬ若满足Ｍ为线段ＡＢ中点的直线ｌ有４条ꎬ求半径ｒ的取值范围.解㊀当直线ＡＢ斜率不存在时且与椭圆Ｃ相切时ꎬＭ在ｘ轴上ꎬ故满足条件的直线有两条.当直线ＡＢ斜率存在时ꎬ设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＭ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ由ｘ２１４＋ｙ２１＝１ꎬｘ２２４＋ｙ２２＝１ꎬ{整理得:ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－１４ˑｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２ꎬ则ｋＡＢ９＝－ｘ０４ｙ０.ｋＭＣ＝ｙ０ｘ０－１ꎬｋＭＣˑｋＡＢ＝－１ꎬ则ｋＡＢˑｋＭＣ＝－ｘ０４ｙ０ˑｙ０ｘ０－１＝－１ꎬ解得:ｘ０＝４３.由Ｍ在椭圆内部ꎬ则ｘ２０４＋ｙ２０<１ꎬ解得:ｙ２０<５９.由ｒ２＝(ｘ０－１)２＋ｙ２０<２３ꎬʑ１９<ｒ２<２３ꎬ解得１３<ｒ<６３.ʑ半径ｒ的取值范围(１３ꎬ６３).点评㊀此题看上去偏难偏怪ꎬ初看题让人无从下手ꎬ不知道怎么对 满足Ｍ为线段ＡＢ中点的直线ｌ有４条 的条件下手ꎬ但只要抓住中点在椭圆内ꎬ一定会有４条直线ꎬ可以快速求得范围.３.运用点差法证明定值存在性问题此类问题中ꎬ一般是已知中点ꎬ运用点差法证明问题ꎬ同样的ꎬ设点坐标ꎬ写出两定点过直线的方程ꎬ相加减即可得出答案.同时ꎬ如果是二次曲线与直线相交ꎬ韦达定理也为我们提供解题的途径.以２０１８年高考数学题为例:如图ꎬ已知点Ｐ是ｙ轴左侧(不含ｙ轴)一点ꎬ抛物线Ｃ:ｙ２＝４ｘ上存在不同的两点Ａ㊁Ｂ满足ＰＡ㊁ＰＢ的中点均在Ｃ上.设ＡＢ的中点为Ｍꎬ证明:ＰＭ垂直于ｙ轴.证明㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬＡ(１４ｙ２１ꎬｙ１)ꎬＢ(１４ｙ２２ꎬｙ２).因为ＰＡꎬＰＢ的中点在抛物线上ꎬ所以ｙ１ꎬｙ２为方程(ｙ＋ｙ０２)２＝４ １４ｙ２＋ｘ０２即ｙ２－２ｙ０ｙ＋８ｘ０－ｙ２０＝０的两个不同的实数根.所以ｙ１＋ｙ２＝２ｙ０.因此ꎬＰＭ垂直于ｙ轴.４.利用点差法求解取值范围在高中数学中ꎬ求取值范围都是热门考点ꎬ一般题目设直线方程即可求解ꎬ但遇到两种二次曲线共存的题目或是有ｎ个交点的题目ꎬ设直线方程的方法就很繁琐ꎬ此时ꎬ设点坐标求解较为便捷ꎬ同时注意中点的构造.例题３㊀如图ꎬ设椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１).若任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆至多有３个公共点ꎬ求椭圆离心率的取值范围.此题有一个陷阱:许多学生会想当然的把圆与椭圆交于(０ꎬ１)ꎬ(０ꎬ－１)的点当做临界条件ꎬ但这么做是不对的.运用 正难则反 的思想ꎬ最多有３个公共点等同于求４个公共点范围.假设圆与椭圆在ｘ<０处有两个交点ＰꎬＱꎬ同样的ꎬ在ｘ>０处也有两个交点.设ＰＱ中点为Ｍ.Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则有ｙ０ｘ０ ｋＰＱ＝－１ａ２ꎬｙ０－１ｘ０ ｋＰＱ＝－１ꎬ所以ａ２＝ｙ０－１ｙ０＝１－１ｙ０.因为ＰꎬＱ只能在第三象限ꎬ那么－１<ｙ０<０ꎬａ２ɪ(２ꎬ＋ɕ)ꎬａɪ(２ꎬ＋ɕ)ꎬ离心率ｅɪ０ꎬ２２æèç].点评㊀此题运用设直线方程法也能求解ꎬ但是比较慢ꎬ容易出现计算错误ꎬ此处自己构造中点ꎬ熟练运用基本数学思想ꎬ大大简化的计算步骤ꎬ提高了正确率.５.点差法与其他方法的联系在点差法的记忆中ꎬ笔者发现它与隐函数求导有着千丝万缕的联系ꎬ对圆锥曲线进行求导ꎬ代入ｘ０ꎬｙ０(ｘ０ꎬｙ０为中点)ꎬ把ｙᶄ换成ｋꎬ可以得到点差法的式子.下面给出隐函数求导过程:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬ２ｘａ２＋２ｙｙᶄｂ２＝０ꎬｘ０ａ２＋ｋｙ０ｂ２＝０.ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１①ꎬｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１②.由①－②得(ｘ１＋ｘ２) (ｘ１－ｘ２)ａ２＋(ｙ１＋ｙ２) (ｙ１－ｙ２)ｂ２＝０ꎬｘ０ａ２＋ｋｙ０ｂ２＝０.由此可见ꎬ虽然隐函数求的是切线的斜率ꎬ点差法求的是中点弦的斜率ꎬ但仍有较大相似处.其中ꎬ隐函数求导的方法ꎬ在计算二次曲线与直线相切的题目中有着广泛应用.综上所述ꎬ点差法在各式各样的题目中均有较大应用ꎬ同时作为一种基础数学方法ꎬ它与其它数学方法之间有着极大的相关性ꎬ这是我们在解题过程中所不能忽视的ꎬ要学会融会贯通ꎬ举一反三ꎬ在学习点差法的解题技巧过程中熟练掌握运用其它方法ꎬ高中数学学习才能达到事半功倍的效果.㊀㊀参考文献:[１]罗碎海.虚中隐实㊁实中含虚 弦中点问题探幽[Ｊ].中学数学研究:华南师范大学版ꎬ２０１７(０３):３３－３４.[责任编辑:杨惠民]０１。

专题复习：利用点差法处理圆锥曲线的“中点弦问题”【知识要点】已知直线与圆锥曲线交于,A B 两点，点00(,)P x y 为弦AB 的中点，由点差法可得出以下公式：1. 椭圆：(1)焦点x 在轴上：22221x y a b += 2020AB x b k a y =-⋅(2)焦点y 在轴上：22221y x a b += 2020AB x a k b y =-⋅2. 双曲线：(1)焦点x 在轴上：22221x y a b -= 2020AB x b k a y =⋅(2)焦点y 在轴上：22221y x a b -= 2020AB x a k b y =⋅3. 抛物线: (1)焦点x 在轴上：2y mx = 02AB mk y =(2)焦点y 在轴上：2x my = 02AB m k x =【例题分析】类型1：已知曲线及弦的中点,求直线【例1】 已知直线l 与椭圆22164x y +=交于过点,A B 两点，若线段AB 的中点恰好为点(21)P ，， 则直线l 的方程为 .【实战演练】(2009新课标全国卷)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为(1,0)F ，直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为 .类型2：已知直线及弦的中点，求曲线【例2】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 0），直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程为 .【实战演练1】(2014江西高考)过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>交于,A B 两点，若M 是的中点，则椭圆的离心率为 .【实战演练2】（2013新课标全国I 卷）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交E 于,A B 两点，若AB 的中点为(1,1)-，则E 的方程为 . 类型3：已知曲线及直线,求弦的中点【例3】已知直线3y x =-+与抛物线22y x =交于,A B 两点，则AB 中点坐标为 . 【实战演练】（2013浙江高考）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点(1,0)P -的直线l 交抛物线于,A B 两点，点Q 为AB 的中点，若2FQ =，则直线l 的斜率为 .【题型强化训练】1.（1）若椭圆2212x y +=的弦被点)21,21(-平分，则这条弦所在直线方程为 . (2)若直线1y x =+与椭圆22142x y +=相交于,A B 两点，则AB 中点坐标为 . 2. 已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点横坐标为21，则该椭圆的方程为 .3.已知直线3y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于,A B 两点，若AB 中点为(2,1)，则该椭圆的离心率为 .4. 直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()2:1f y x =+的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 .5．已知抛物线2:4C y x =，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若线段AB 的中点坐标为(2,2)，则直线l 的方程为 ．6. 已知直线l 与抛物线28y x =交于,A B 两点，点(2,2)M 为AB 中点，则AOB S ∆= .7.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于,A B 两点，若弦AB 的垂直平分线过点(0,2)，则AOB ∆的面积AOB S ∆= .8. 已知椭圆13422=+y x 上总有不同的两点关于直线m x y +=4对称,则实数m 的取值范围为 .9.已知椭圆C: 22221x y a b+= (0a b >>)的右焦点为F(2,0),且过点). 直线l 过点F 且交椭圆C 于A 、B 两点.若线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点为M(1,02),则直线l 的方程为 . 11.已知双曲线2222:1(0,0)x y T a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F，且经过点(3R ，ABC ∆的三顶点都在双曲线T 上，O 为坐标原点，设ABC ∆三条边,,AB BC AC 的中点分别为,,M N P ，且三条边所在直线的斜率分别为123,,k k k ，若1OM ON OP k k k++=-，则123111k k k ++= . 12. 已知ABC ∆的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ，且ABC ∆的重心G 是抛物线的焦点，求直线BC 的方程.13．过点()0,2的直线l 与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为2的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线12y x =过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称． （1）求直线l 的方程； （2）求椭圆C 的方程．14.已知椭圆221259x y +=上三点()()11229,,4,,,5A x y B C x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭与焦点()4,0F 的距离成等差数列.（1）求证：128x x +=；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴交于点T ，求直线BT 的斜率k .15. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F，离心率为2，短轴长为2。

圆锥曲线定比点差法是一种用于求解圆锥曲线的方法。

圆锥曲线是一种三维曲线，它的轨迹是圆锥面上的一条线段。

在工程和几何学中，圆锥曲线经常被用来描述物体在空间中的运动。

圆锥曲线定比点差法的基本原理是将圆锥曲线划分为若干个线段，并在每个线段上找到一个定比点。

这个定比点是在线段上离起点最近的点，满足这个点到起点的比值等于线段长度与线段上的另一个点到起点的比值。

这样就可以通过确定定比点来确定圆锥曲线上的其他点。

圆锥曲线定比点差法的实现过程主要分为两步：第一步是将圆锥曲线划分为若干个线段，第二步是在每个线段上找到定比点。

第一步可以使用等距法或等长法来实现，第二步可以使用数学公式或数值方法来计算。

圆锥曲线定比点差法的优点是能够精确地描述圆锥曲线的形状，并且运算量较小。

但是，如果线段过多或者线段长度过小，可能会导致计算误差增大。

此外，在某些情况下，例如计算高度很高的圆锥曲线时，圆锥曲线定比点差法可能不太适用。

在工程和几何学领域中，圆锥曲线定比点差法被广泛应用于机械运动模拟、航天器轨迹设计、空间机器人运动控制等领域。

例如，在机械运动模拟中，圆锥曲线定比点差法可以用来模拟机械臂的运动轨迹；在航天器轨迹设计中，圆锥曲线定比点差法可以用来设计航天器的飞行轨迹；在空间机器人运动控制中，圆锥曲线定比点差法可以用来控制机器人在空间中的运动。

总之，圆锥曲线定比点差法是一种高效、精确的圆锥曲线求解方法，在工程和几何学领域中有着重要的应用。