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基于微粒群算法的有理Bézier曲线降阶

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中图分类号 ： Ｐ ９ Ｔ３ １
文献标 识码 ： Ａ
Ｐ ｒｉｌ ｗａ ｍ ｐ ｉ ｚ ｔ ｎ ｂ ｓ ｄ ｄ ｇ ｅ ｅ ｕ ｔ ｎ ｏ ａ ｉｎ ｌＢ６ ｉｒ ｃ ｒ ｅ ａ ｔ ｅｓ ｒ ｏ ｔ ｃ ｍｉａ ｉ ａ ｅ ｅ ｒ ｅ ｒ ｄ ｃｉ ｆｒ ｔ ａ ｚｅ ｕ ｖ ｓ ｏ ｏ ｏ
ｔ ｓ ａ ｄ ｔｅ ｒ ｕ ｅ ｉｒＣ ｒ ｅ ａ ｅ ｒ ｐ ｅ ｅ ｔ ｄ ｅ ｐ ｉ ｉ ｙ ｉ ｎ ｅ ｃ Ｂ ｚ ｕＶ Ｓ ｃ ｎ ｂ ｅ ｒ ｓ ｎ ｅ ｘ ｌ ｔ ．Ｔｈ Ｓ ｇ ｒ ｈ Ｗ ｏ ａ ｅ ｔ ｅ ｅｉ ｇ ｒ ｈ ｍｅ ｈ ｄ ｄ ｅ ｃｌ ｅ Ｐ Ｏ ａ ｏ ｔ ｍ ａ ｃ ｍｐ ｒ ｗｉ ｇ ｎ ｔｃ ａ ｏ ｔ ｍ， ｌ ｉ ｓ ｄ ｈ ｌ ｉ
维普资讯
第２ ７卷 第 ６期
２０ ０ ７年 ６月
文章编号 ：０ １— ０ １ ２０ ） ６—１２ ０ １０ ９ ８ （０ ７ ０ ５４－ ３
计 算机应 用
Ｃｏ ｕ ｅ ｍｐ ｔｒ Ａｐｐ ｉａｉ ｎ ｌｃ ｔ ｓ ｏ
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ ６ １２ ．
Ｊ ｎ ０ ７ ｕ ｅ２ ０
基 于微 粒 群算 法 的有理 Ｂ ｚ ｒ ６ｉ 曲线 降 阶 ｅ
江 明 ， 予频 ， 士元 罗 杨
（ 清华大学 自 动化 系， 北京 １０ ８ ） ００ ４
（ｍ ｎ９ ＠ｍ ｉ ．ｓ ｇｕ ．ｄ ． ｎ ｊ ｉｇ ９ ａｌ ｔ ｎｈ ａ ｅｕ ａ ） ｓ ｉ 摘 要： 从最优化思想 出 ， 发 把有理 Ｂ ｚ ｒ ６ｉ 曲线的降阶问题转化 为求解优化 问题 ， ｅ 并基 于微粒群 算法， 出有理 Ｂ ｚ ｒ 给 ６ ｅ 曲线降阶的一种新方法。该方法可以实现 多次降阶 ， ｉ 且降阶后 的有理 Ｂ ｚ ｒ ６ｉ 曲 ｅ 线直接 以显式给 出。最后结合 实例 ， 与使用遗传算法进行有理 Ｂｚ ｒ ６ ｅ 曲线降阶的结果进行对比， ｉ 实验 结果表明了微粒群算法的有效性。 关键词 ： 理 Ｂｚ ｒ 有 ６ｉ 曲线 ； ｅ 降阶 ； 化 ； 粒群 算 法 ； 传算 法 优 微 遗
Ａｂ ｔａ ｔ ｙ ｍｅ ｎ ｆ ｏ ｔ ｚ ｔ ｎ ｍｅｈ ｄ ， ｄ ｇｅ ｅ ｕ ｔ ｎ ｏ ａｉｎ ６ ｉｒ Ｃ ｒｅ ａ ｅ ｎ ｔ ｎ ｆｒ ｄ ｔ ｎ ｓ ｒ ｃ ：Ｂ ａ ｓ ｏ ｐ ｉ ａ ｉ ｔ ｏ ｓ ｍｉ ｏ ｅ ｒ ｅ ｒ ｄ ｃ ｏ ｆ ｒ ｔ ａ Ｂ ｚ ｕｖ ｓ ｈ ｓ ｂ ｅ ｒ ｓ ｍｅ ｏ ａ ｉ ｏｌ ｅ ａ ｏ
ｐ ｏ ｌｍ ｅ ｒ ｅ ｒ ｄ ｃ ｏ ａｉｎ ６ ｉｒＣ ｒ ｅ ，Ｂ ｓｎ ｉ ｍｅ ｏ ．ｔ ｅ ｒ ｔ ｎ ６ ｉｒＣ ｒ ｅ ａ ｅ ｒ ｄ ｃ ｎ ｒｂ ｅ ｏ ｄ ｇ ｅ ｕ ｔ ｎ ｏ ｒｔ ａ Ｂ ｚ ｕ ｖ ｓ ｙ ｕ ｉ ｇ ｔ ｓ ｆ ｅ ｉ ｆ ｏｌ ｅ ｈ ｔ ｄ ｈ ａ ｏ ａ Ｂ ｚ ｕ ｖ ｓ ｃ ｎ ｂ ｅ ｕ ｅ ｍａ ｙ ｈ ｉ ｌ ｅ ｄ
０ 引言
参数 曲线 、 曲面的降阶 问题在 Ｃ Ｄ和 Ｃ Ｇ Ａ Ａ Ｄ领域 中一 直 是重要的研究热 点之一 ‘ ， 仅具 有重 要 的理论 意义 ， 且 】不 Ｊ 而
也有着重要 的实际应 用价值 。 Ｂｚ ｒ ６ｉ 曲线是 Ｃ Ｄ Ｃ Ｍ系统 中广泛应 用的主要 造型 工 ｅ Ａ／Ａ
ｏ ｔ ｉ ｔ ｎｐｏ ｌ ｐ ｍｚｉ ｒｂ ｍ．Ｂ ｅ ｎ Ｐｒｃ ｗ ｒ ｐｉ ｚｔ ｎ（ Ｓ ） ａ ｏｉ ｍ， ａｎｗ ｍ ｔｏ ａ ｒｐｓｄｔ ｏ ｅｔｅ ｉ ａｏ ｅ ｓ ａ ｄ ｏ ａｔ ｌ Ｓ ａｍ Ｏ ｔ ａｏ Ｐ Ｏ ｌ ｒ ｉｅ ｉ ｍ ｉ ｇ ｔ ｈ ｅ ｅ ｄＷ ｐ ｏｅ ｏｓｌ ｈ ｈ ｓ ｏ ｖ
降多阶的问题及保 端点 的情 况。文献 ［５ 应 用遗 传算 法 实 １］
现 了有 理 Ｂ ｚ ｒ ６ｉ 曲线保端点插值的多次 降阶。 ｅ
ＪＡＮＧ Ｍｉｇ ＵＯ Ｙｕ ｐｎ Ｉ ｎ ，Ｌ —ｉ ，ＹＡＮＧ Ｓ ｉ ｕ ｎ ｈ— ａ ｙ
（ ｅａｔ ｅｔｆＡ ｔｍ ｔ ｎ ｓ ｇ ｕ ｎ ｅ ｈ，Ｂ Ｏｎ ０ ０４ Ｃ ｉ ） Ｄｐ ｒ ｎ ｏ ｕｏ ａｉ ，Ｔｉ ｈａ Ｕ ￣ ｍ ｙ ｅ＇ｇ １０ ８， ｈｎ ｍ ｏ ｎ ｉ ａ
ｎ ｈ ｘ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｅ ｐ ｒｍｅ ｔ ｓ ｌ ｈ ｗ ｔ ａ Ｓ ｇ ｒ ｍ ｓｍｏ ｆ ｃ ｖ ． ｉ ｎ ａ ｒ ｕｔ ｓ ｏ ｔＰ Ｏ ａ ｏ ｔ ｌｅ ｓ ｈ ｌ ｉ ｈ ｉ ｒ ｅ ｅ ｔ ｅ ｅ ｉ Ｋｅ ｒ ｓ ａ ｔ ｎ ６ ｉｒｃ ｒ ｅ ；ｄ ｇ ｅ ｄ ｃ ｉｎ ｐ ｉ ｚ ｔ ｎ ａ ｔ ｌ ｗ ｎｔｏ ｔ ｚ ｔ ｎ ｅ ｅ ｃ ａｇ ｒ ｈ ｙ ｗｏ ｄ ：ｒ ｉ ａ Ｂ ｚｅ ｕ ｖ ｓ ｅ ｒ ｅ ｒ ｕ ｔ ；ｏ ｔ ｏｌ ｅ ｏ ｉ ｍ ａ ｉ ；ｐ ｒｉ ｅ ｓ ａ ｑ ｐ ｍ ａ ｏ ；ｇ ｎ ｔ ｏ ｉ ｏ ｃ ｌ ｉ ｉ ｉ ｉ ｌ ｔ ｍ
有理表示的复杂性 ， 直接对其进行降 阶处 理相当困难 ， 因而 目 前 对有理 Ｂ ｚ ｒ ６ｉ 曲线 的降阶所展开 的研 究很少。文献 ［４ 以 ｅ １］
Ｃ ｅ￣ｈｖ多项式 理论 为基础 ， ｈｂｒ ｅ ｓ Ｂ ｚ ｒ ６ｉ 曲线 的一 种 降阶方 法 。但 文献 ［４］ 出 的方 ｅ １ 给 法 计算 繁琐 ， 涉及到符号运算和多项式方程求 根 ， 且没有讨论

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基于改进性遗传算法的Bezier曲线笛卡尔空间轨迹规划

基于改进性遗传算法的Bezier曲线笛卡尔空间轨迹规划

基于改进性遗传算法的Bezier曲线笛卡尔空间轨迹规划周苑【摘要】Robot path planning requires a precise robot path curve in the Cartesian space planning.However,many curves cannot meet the precision requirements.To solve the problem,a genetic algorithm is proposed to track various sections of the Bezier curve,making the robot's operation path smooth with faster execution of the genetic algorithm.%针对机器人轨迹笛卡尔空间规划中需要精确规划出机器人路径曲线,且在需要精确跟踪轨迹场合却有很多曲线往往达不到精度要求的问题,利用改进性遗传算法,分段跟踪Bezier曲线的各部分,使机器人运行平稳,路径圆滑平顺。

仿真实验表明,改进后算法收敛效果明显。

【期刊名称】《上海电机学院学报》【年(卷),期】2012(015)004【总页数】4页(P237-240)【关键词】机器人轨迹规划;遗传算法;Bezier曲线【作者】周苑【作者单位】上海交通大学电子信息与电气工程学院,上海200240【正文语种】中文【中图分类】TP242.6一般而言，对于机械手臂的空间轨迹规划可分为关节空间规划和笛卡尔空间规划两种[1]。

其中，关节空间规划计算量小，且在关节空间的轨迹规划中能满足机器人运动学约束条件，从而能够保证机器人运动平稳，对机器人的冲击小；笛卡尔空间轨迹规划则能更好地满足运动精度的要求，能对机器人运行的轨迹做更精确地跟踪，在很多需要提高轨迹精度的场合，如一些焊接机器人上，一般都采用笛卡尔空间轨迹规划。

广义bezier曲线

广义bezier曲线


Key Words: Curve and surface modeling; Lupas q-analogue of Bernstein operator; B´ ezier curves and surfaces; Shape parameter; Weight factors; Degree evaluation formula; De Casteljau algorithm
VI
目 录
摘要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 第一章 绪论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 研究背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 经典的参数曲线曲面造型方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 带形状参数的广义B´ ezier曲线曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 基于q-整数的广义B´ ezier方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
《信息与电脑》基于局部性原理的可变步长Bezier曲线生成算法

《信息与电脑》基于局部性原理的可变步长Bezier曲线生成算法

1 引言曲线的生成算法是计算机图形学的重要内容。

1971年法国雷诺汽车公司的工程师Bezier 提出了一种新的参数曲线表示法。

这种方法能方便地控制输入参数(控制点)以改变曲线的形状，被称为Bezier曲线，数学原理使用了伯恩斯坦多项式。

Bezier曲线是一种采用样条逼近的方法描述的曲线，它的许多性质使它在外形设计中更加好用，更容易实现。

所以，Bezier样条在许多图形系统和CAD系统中得以广泛应用。

对于Bezier曲线的绘制，现在经常采用的是基于几何的算法，对某一变量的每次增加一个步长并计算其他变量的值以便算出曲线上的点，然后将这些点用小直线段，折线相连而生成曲线，该算法需要浮点运算，以及所绘制的曲线不能细致，曲线光滑性差，计算量大，另一常用算法是基于像素的算法，用整数运算来逐点计算曲线图的像素，减少了计算量，能够保持曲线的光滑性，但由于自由曲线是不确定的，即曲线每一段的走向是没有规律的，要绘制自由曲线就要更多地依赖计算机自动判断方向，并且算法复杂。

本文通过对Bezier曲线算法的原理及性质进行了分析，对于实验数据，采用统计分析的方法，大胆提出了可变参数的曲线生成算法，使计算机量大大减少，提高了曲线生成速度，而且准确性依然较高。

2 Bezier曲线生成算法分析投稿加微信 LSN20202.1 Bezier曲线生成原理Bezier曲线的形状是通过一组多边折线(控制多边形)的各顶点P0，P1，…，Pm所定义出来的。

在多边折线的各顶点中，只有第一点P0和最后一点Pm在曲线上，其余的点则用以定义曲线的阶次。

如果给定n+1个控制点：，则逼近由这些控制点构成的特征多边形的n次Bezier曲线可表示为：（1）其中，为控制点向量，为Bezier混合函数，它是用伯恩斯坦（Bernstein）多项式来定义的，即：（2）其中（3）（4）（5）（6） 2.2 Bezier曲线的性质Bezier曲线具有以下性质：1)端点性当t=0时，）P(0)=P0，故P0决定曲线的起点，当t=1时，P(1。

基于微粒群算法的NURBS曲线降阶

基于微粒群算法的NURBS曲线降阶

提 出 了 Ｂ样 条 的 降 阶公 式 和 近 似 降 价 方 法 和 算 法． 但对 ＮＵＲ Ｓ曲线 ， Ｂ 由于其 比较复杂 ， 它的 降 对 阶问题研 究得 比较少．
条 ｓｓ ｒ （ ＜ ）次 ＮＵＲ Ｓ曲线 ． Ｂ
∑ Ｐ Ｎ （ — ￡ ）
厂￡ （）一 ———一
∑ 面Ｎ ￡ （ ）
第２ ８卷 第 ２期
２１ 年 ０ 月 ００ ３
佳 木 斯 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｉｍ ｕ ｉ ｉｅｓｔ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｉｉｎ ｏ ｒ ａ ａ ｓ Ｕｎｖ ｒ ｉ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅＥｄｔｏ ） ｏ Ｊ ｙ Ｓ
Ｖｏ ． ８ Ｎｏ ２ Ｉ２ ．
算 法 ， 出 ＮＵＲ Ｓ曲 线 降 阶 的 一 种 新 方 法 ． 方 法 可 以 实现 多 次 降 阶 ， 降 阶 后 的 ＮＵＲ Ｓ 曲 给 Ｂ 该 且 Ｂ
线 直 接 以 显 式 给 出．
关键词 ： 最优 化 ； ＮＵＲ Ｓ曲线 ； Ｂ 降阶 ； 粒群 微 中图分类 号 ： Ｔ ３ １ ４ Ｐ ９ ． 文献标识 码 ： Ａ
Ｏ 引 言
参数 曲线 、 曲面 的降 阶问 题在 Ｃ ＡＤ 和 Ｃ ＡＧＤ 领域 中一直是重 要 的研究 热点 之一 ［ ， １ 不仅 具有 重 ］
要 的理论 意义 ， 而且也有 着重 要的实 际应用 价值．
∑ ｊ （ Ｎ ￡ ）
厂 ￡ ＝ 上｝———一 （ ） （） １
顶点 、 权和节 点定义 的 ｒ （ ＋ １阶 ） 次 ｒ ＮＵＲ ｓ曲线 Ｂ
的参 数方程为
① 牧 稿 日期 ：０ ０ １ ２ ２ １ —０ － ９ 作 者简 介 ： 瑛 （９ ４ ， ， 徽 安 庆人 ， 肥 工业 大 学 研 究 生． 潘 １８ 一） 女 安 合