bezier曲线表达式

计 算 机 图 形 学

实 验 报 告

专 业： 信息与计算科学

班 级： 1002班

学 号： **********

姓 名： ****

实验目的：

（1） 掌握直线的参数表示法。

（2） 掌握德卡斯特里奥算法的几何意义。

（3） 掌握绘制二维Bezier曲线的方法。

实验要求：

（1） 使用鼠标左键绘制个数为10以内的任意控制点，使用直线连接构成控制多边形。

（2） 使用鼠标右键绘制Bezier曲线。

（3） 在状态栏显示鼠标的位置坐标。

（4） Bezier曲线使用德卡斯特里奥算法绘制。

实验算法：

Bezier曲线的分割递推德卡斯特里奥算法

给定空间n+1个点Pi(i=0,1,2,…,n)及参数t，有

Pri(t)=(1-t)P1-ri(t)+tP1-r1i(t)

式中，r=1,2,…,n;i=0,1,…,n-r;t∈[0,1]。

且规定当r=0时，P0i(t)=Pi, Pn0(t)是在曲线上具有参数t的点。

德卡斯特里奥算法的基础就是在矢量PP10上选择一个点P，使得P点划分矢量PP10为|PP0|：|PP1|=t：1-t，给定点P0、P1的坐标以及t的值，点P的坐标为P=P0+t(P1-P0)=(1-t)P0+tP1。式中，t∈[0，1]。

定义贝塞尔曲线的控制点编号为Pri，其中，r表示迭代次数。德卡斯特里奥证明了，当r=n时，Pn0表示Bezier曲线上的点。

函数功能介绍

1.德卡斯特里奥函数：

long CMy12View::DeCasteliau(double t,long *p)

{

double P[N_MAX_POINT][N_MAX_POINT];

int n=CtrlPNum-1;

for(int k=0;k<=n;k++)

- 1 - 简述bezier曲线的性质

对于一条单摆曲线，如果存在一点P(x， y)使得Q(x， y)=P，那么这个曲线叫做平面内的bezier曲线。它是曲线中一个重要的图形，是数学中常用的工具。

bezier曲线的概念及几何意义：

1、性质1，在某点P（ x， y）， P（ y， x）两点之间的所有bezier曲线的积的集合；

经验表明，在平面内，把一条已知曲线的一个点N（ t， n）任意向左或右移动相同的距离，得到的曲线和原曲线比较，就可以发现：两者差别的总和正好等于原曲线长度的四倍，即：曲线和原曲线的差别=所移动的距离÷原曲线的长度。因此，根据这个原理，当n不为0时，两曲线差别的总和为1。因此我们将一条已知曲线P（ x， y）向左或向右平移一个固定值M（ x， y）后得到的曲线称为bezier曲线。

在曲线上，对于任意的M，都有：

经验表明，在曲线上，把一条已知曲线的一个点N（ t， n）任意向左或右移动相同的距离，得到的曲线和原曲线比较，就可以发现：两者差别的总和正好等于原曲线长度的四倍，即：曲线和原曲线的差别=所移动的距离÷原曲线的长度。因此我们将一条已知曲线P（ x，

y）向左或向右平移一个固定值M（ x， y）后得到的曲线称为bezier曲线。

在曲线上，对于任意的M，都有：当mN时，对应点坐标在x=M处时，曲线与原曲线相差一段距离；当M=N时，对应点坐标在x=M处时，曲线与原曲线相差无穷远。 3、性质2：当a， b， c， d， e为五个整数，并且a＜b＜c＜d＜e时， bezier曲线上存在唯一的bezier点P（ x， y）；

经验表明，在平面内，把一条已知曲线的一个点N（ t， n）任意向左或向右移动相同的距离，得到的曲线和原曲线比较，就可以发现：两者差别的总和正好等于原曲线长度的四倍，即：曲线和原曲线的差别=所移动的距离÷原曲线的长度。因此我们将一条已知曲线P（ x， y）向左或向右平移一个固定值M（ x， y）后得到的曲线称为bezier曲线。

Bezier曲线生成算法的实现

有两种方法：

1）基于递推分割法的编程

float decas(float *p, float t, int n)

{ int i,r;

float q[10];

for(i=0;i<=n;i++) q[i]=p[i];

for(r=1;r<=n;r++)

{ for(i=0;i<=n-r;i++)

{ q[i]=(1-t)*q[i]+t*q[i+1];

}

}

return(q[0]);

}

main( )

{ int i,n,k;

float t,x,y,px[10],py[10];

scanf(“%d,%d”,&n,&k);

for(i=0;i<=n;i++) scanf(“%f,%f”,&px[i],&py[i]);

for(i=0;i<=k;i++)

{ t=(float)i/k;

x=decas(px,t,n); y=decas(py,t,n);

if (i==0) moveto(x,y);

else lineto(x,y);

}

}

2）基于定义的编程

求 t i 的函数：

float pow(float t int i)

{ float p=1; int k;

for ( k=1; k<=i; k++) p=p*t;

return(p);

}

求 Cni 的函数

int cni ( int n, int i)

{ if ( i = = 0 | | i = = n ) return(1)

else

return(cni(n-1,i)+cni(n-1,i-1)); }

main( )

{ int i,j,k;

float x,y,t;

for(j=0; j<=k; j++）

{ t=(float)j/k;

x=0; y=0;

for(i=0; i<=n; i++)

{ x=x+cni(i,n)*pow(t,i)*pow(1-t,n-i)*px[i];

实验6Bezier曲线生成

1. 实验目的

了解曲线的生成原理，掌握几种常见的曲线生成算法，利用VC++OpenGL实现Bezier曲线生成算法。

2. 实验内容

(1) 结合示范代码了解曲线生成原理与算法实现，尤其是Beizier曲线。

(2) 调试，编译，修改示范程序。

3. 实验原理

Beizer曲线是通过一组多边形折线的顶点来定义的。如果折线的顶点固定不变，则由其定义的Bezier曲线是唯一的。在折线的各定顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上且作为曲线的起始点和终止点，其他点用于控制曲线的形状及阶次。曲线的形状趋向于多边形折线的形状，要修改曲线，只要修改折线的各顶点就可以了。因此，多边形折线又称Bezier曲线的控制多边形，其顶点称为控制点。

三次Bezier曲线，有四个控制点，其数学表示如下：

Q t = 𝑃𝑖𝐵𝑖,3 𝑡 =3𝑖𝑃0𝐵0,3 𝑡 +𝑃1𝐵1,3 𝑡 +𝑃2𝐵2,3 𝑡 +𝑃3𝐵3,3 𝑡

=(1−𝑡)3𝑃0+3𝑡(1−𝑡)2𝑃1+3𝑡2 1−t 𝑃2+𝑡3𝑃3 𝑡∈ 0,1

4. 实验代码

#include

#include

#include

#include

using namespace std;

struct Point{

int x,y;

};

Point pt[4],bz[11];

vector vpt;

bool bDraw;

int nInput;

void CalcBZPoints(){

float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3;

a0=pt[0].x;

a1=-3*pt[0].x+3*pt[1].x; a2=3*pt[0].x-6*pt[1].x+3*pt[2].x;

a3=-pt[0].x+3*pt[1].x-3*pt[2].x+pt[3].x;