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i i ii第二章 线性规划的对偶理论和灵敏度分析自测题1. 判断下述说法是否正确(1) 任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题。
(2) 线性规划原问题的对偶问题的对偶是原问题本身。
(3) 原问题的任一可行解对应的目标函数值都不超过其对偶问题的任一可行解对应的目标函数值。
(4) 已知对偶问题的最优解中， y * > 0 ，则原问题中在资源最优配置下，第i 种资源已完全消 耗殆尽。
(5) 已知对偶问题的最优解中， y * = 0 ，则原问题中在资源最优配置下，第 i 种资源一定未 完全消耗。
(6) 影子价格就是市场价格。
(7) 若第 i 种资源的影子价格为 y * > 0 ，则在保持原问题中其它条件不变时，在资源最优配置下，当第i 种资源增加10个单位时，最优值将一定增加10 y * .(8) 在应用对偶单纯形法计算时，若在某一个单纯形表中，出现某行除该行对应的基变量值小于0外，该行其余元素全部大于或等于0，则可以判断该线性规划问题无最优解。
(9) 在应用对偶单纯形法计算时，若在某一个单纯形表中，出现某行除该行对应的基变量值小于0外，该行其余元素全部小于或等于0，则可以判断该线性规划问题的对偶问题无最优解。
(10)线性规划的原问题和其对偶问题的最优值如果存在，则必然相等。
(11)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅某一非基变量在目标函数中的系数变化时，线性规划问题的最优解一定不改变。
(12)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅有某一基变量在目标函数中的系数变化时，线性规划问题的最优解一定不改变。
(13)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅有某一非基变量在系数矩阵中的列变化时，线性规划问题的最优解一定不改变。
(14)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅有某一基变量在系数矩阵中的列变化时，线性规划问题的最优解一定不改变。
(15)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅有某种资源的数量变化时，线性规划问题的最优值一定改变。
对偶问题例题1：某养鸡场所用的混合饲料由n 种天然饲料配合而成。
要求在这批配合饲料中必须含有m 种不同的营养成分，且第i 种营养成分的含量不低于bi 。
已知第i 种营养成分在每单位第j 种天然饲料中的含量为a ij ，每单位第j 天然饲料的价格为c j 。
试问，应如何对这n 种饲料配方，使这批饲料的费用最小? 解 设x j 为第j 种天然饲料的用量。
显然，a ij x j 即为所用第j 种天然饲料中第i 种营养成分的含量，1nij j j a x =∑为这批混合饲料中第i 种营养成分的总含量；它不应低于bi 。
于是，我们得下列线性规划模型(1—1)：1min nj jj f c x ==∑11,,..01,,nij j i j j a x b i m s t x j n=⎧≥=⎪⎨⎪≥=⎩∑现设想有一个饲料加工厂欲把这m 种营养成分分别制成m 种营养丸。
设第i 种营养丸的价格为ui(i ＝1，…，m)。
则养鸡场采购一个单位的第j 种天然饲料，就相当于对这m 种营养丸分别采购数量a 1j ，…a mj ，所化费用为1mij ii a u =∑养鸡场自然希望在用营养丸代替天然饲料时，在价格上能相对地比较便宜，故而饲料加工厂为了能与天然饲料供应者竞争，在制订价格时必然满足下述条件：11,,mij ij i a uc j n =≤=∑另一方面，养鸡场如果全部采购营养丸来代替天然饲料进行配料，则第i 种营养丸就需采购bi 个单位，所化费用为b i u i ，总费用为z=∑b i u i饲料加工厂面临的问题是：应把这m 种营养丸的单价ui(f=1，…，m)定为多少，才能使养鸡场乐意全部采用该厂生产的营养丸来取代这批天然饲料，且使本厂在竞争中得到最大收益。
为该问题建立数学模型，即得如下线性规划(1—2)：1max mi i i z b u ==∑11,,..01,,mij i j i ia u c j n s t u i m =⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑我们称问题(1—2)为原有问题 (1—1)的对偶问题(记为(D))。
