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i i ii第二章 线性规划的对偶理论和灵敏度分析自测题1. 判断下述说法是否正确(1) 任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题。
(2) 线性规划原问题的对偶问题的对偶是原问题本身。
(3) 原问题的任一可行解对应的目标函数值都不超过其对偶问题的任一可行解对应的目标函数值。
(4) 已知对偶问题的最优解中， y * > 0 ，则原问题中在资源最优配置下，第i 种资源已完全消 耗殆尽。
(5) 已知对偶问题的最优解中， y * = 0 ，则原问题中在资源最优配置下，第 i 种资源一定未 完全消耗。
(6) 影子价格就是市场价格。
(7) 若第 i 种资源的影子价格为 y * > 0 ，则在保持原问题中其它条件不变时，在资源最优配置下，当第i 种资源增加10个单位时，最优值将一定增加10 y * .(8) 在应用对偶单纯形法计算时，若在某一个单纯形表中，出现某行除该行对应的基变量值小于0外，该行其余元素全部大于或等于0，则可以判断该线性规划问题无最优解。
(9) 在应用对偶单纯形法计算时，若在某一个单纯形表中，出现某行除该行对应的基变量值小于0外，该行其余元素全部小于或等于0，则可以判断该线性规划问题的对偶问题无最优解。
(10)线性规划的原问题和其对偶问题的最优值如果存在，则必然相等。
(11)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅某一非基变量在目标函数中的系数变化时，线性规划问题的最优解一定不改变。
(12)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅有某一基变量在目标函数中的系数变化时，线性规划问题的最优解一定不改变。
(13)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅有某一非基变量在系数矩阵中的列变化时，线性规划问题的最优解一定不改变。
(14)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅有某一基变量在系数矩阵中的列变化时，线性规划问题的最优解一定不改变。
(15)线性规划问题的最终单纯形表中，当仅有某种资源的数量变化时，线性规划问题的最优值一定改变。
对偶问题例题1：某养鸡场所用的混合饲料由n 种天然饲料配合而成。
要求在这批配合饲料中必须含有m 种不同的营养成分，且第i 种营养成分的含量不低于bi 。
已知第i 种营养成分在每单位第j 种天然饲料中的含量为a ij ，每单位第j 天然饲料的价格为c j 。
试问，应如何对这n 种饲料配方，使这批饲料的费用最小? 解 设x j 为第j 种天然饲料的用量。
显然，a ij x j 即为所用第j 种天然饲料中第i 种营养成分的含量，1nij j j a x =∑为这批混合饲料中第i 种营养成分的总含量；它不应低于bi 。
于是，我们得下列线性规划模型(1—1)：1min nj jj f c x ==∑11,,..01,,nij j i j j a x b i m s t x j n=⎧≥=⎪⎨⎪≥=⎩∑现设想有一个饲料加工厂欲把这m 种营养成分分别制成m 种营养丸。
设第i 种营养丸的价格为ui(i ＝1，…，m)。
则养鸡场采购一个单位的第j 种天然饲料，就相当于对这m 种营养丸分别采购数量a 1j ，…a mj ，所化费用为1mij ii a u =∑养鸡场自然希望在用营养丸代替天然饲料时，在价格上能相对地比较便宜，故而饲料加工厂为了能与天然饲料供应者竞争，在制订价格时必然满足下述条件：11,,mij ij i a uc j n =≤=∑另一方面，养鸡场如果全部采购营养丸来代替天然饲料进行配料，则第i 种营养丸就需采购bi 个单位，所化费用为b i u i ，总费用为z=∑b i u i饲料加工厂面临的问题是：应把这m 种营养丸的单价ui(f=1，…，m)定为多少，才能使养鸡场乐意全部采用该厂生产的营养丸来取代这批天然饲料，且使本厂在竞争中得到最大收益。
为该问题建立数学模型，即得如下线性规划(1—2)：1max mi i i z b u ==∑11,,..01,,mij i j i ia u c j n s t u i m =⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑我们称问题(1—2)为原有问题 (1—1)的对偶问题(记为(D))。
线性规划中的对偶问题与灵敏度分析线性规划是一种优化方法，广泛应用于各个领域的决策问题。
在线性规划中，对偶问题与灵敏度分析是两个重要的概念和工具，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
1. 对偶问题在线性规划中，对偶问题是指与原始问题相对应的一个问题。
它通过转换原始问题并构造一个新的问题，以便从不同的角度来解释和解决原始问题。
对偶问题能够提供原始问题的一些有用信息，并且在某些情况下，对偶问题的解与原始问题的解是相等的。
对偶问题的构造可以通过拉格朗日对偶性理论来完成。
该理论通过构造一个拉格朗日函数，将原始问题中的约束条件转化为拉格朗日乘子，从而得到对偶问题。
对偶问题的目标函数是原始问题的约束条件的线性组合。
解决对偶问题可以通过求解拉格朗日函数的最优化问题来实现。
对于线性规划问题，对偶问题的解可以通过求解一组线性方程或线性不等式来获得。
对偶问题的解不仅可以提供原始问题的一些信息，还可以用于检验原始问题的解的可行性和最优性。
2. 灵敏度分析灵敏度分析是在线性规划中评估解决方案对问题参数变化的响应程度的方法。
它可以帮助我们了解如果问题的参数发生变化，对解决方案的影响有多大，并做出相应的调整和决策。
灵敏度分析可以通过改变单个参数或多个参数来进行。
其中，常见的灵敏度分析包括目标函数系数的变化、约束条件右侧常量的变化和新增或取消约束条件。
这些变化可以用来模拟实际情况中可能发生的条件变化，以及评估解决方案的稳定性和可行性。
在进行灵敏度分析时，我们可以通过计算变动参数对解决方案的影响程度来得到一些关键指标。
例如，参数的变化导致目标函数值的变化量称为“影子价格”，而约束条件右侧常量的变化导致解决方案中相应决策变量的变化量，则称为“机会成本”。
灵敏度分析的结果可以帮助我们确定参数的重要性，判断解决方案的可行性和稳定性，以及找到最佳的决策方案。
在实际应用中，灵敏度分析可以帮助我们应对不确定性和风险，做出更加准确和可靠的决策。
实验二线性规划模型的对偶问题及灵敏度分析一、实验目的：进一步掌握线性规划模型的基本原理，理解线性规划的对偶问题，掌握R软件在线性规划问题灵敏度分析中的运用。
二、实验内容：（1）教材P127 习题1。
利用线性规划的最终单纯形表，对目标函数系数和约束方程的常数项进行灵敏度分析，并在R软件中验证你的计算结果；（2）教材P131 习题11。
写出该问题的对偶问题，并用R 软件求解原问题和对偶问题。
指出二者最优解与对偶价格之间的联系。
（3）建立教材P130 习题7的数学模型并用R软件分析。
三、实验要求：（1）利用线性规划基本原理对所求解问题建立数学模型；（2）熟练写出线性规划问题的对偶问题；（3）给出R软件中的输入并求解；（4）对目标函数系数及约束方程的常数项进行灵敏度分析四、实验报告要求：实验过程描述（包括变量定义、分析过程、分析结果及其解释、实验过程遇到的问题及体会）。
（1）maxz=20X1+8X2+6X38X1+3X2+2X3<=2502X1+X2<=504X1+3X3<=150X 1,X2,X3>=0> library(lpSolve)> obj<-c(20,8,6)> mat<-matrix(c(8,3,2,2,1,0,4,0,3),nrow=3,byrow=T) > dir<-c("<=","<=","<=")> rhs<-c(250,50,150)> x<-lp("max",obj,mat,dir,rhs,compute.sens=1)> x$status;x$solution;x$objval[1] 0[1] 0 50 50[1] 700> x$sens.coef.from;x$sens.coef.to[1] -1e+30 6e+00 3e+00[1] 2.4e+01 1.0e+30 1.0e+30C1范围是（-∞，24），C2范围是（6，+∞），C3范围是（3，+∞）> library(lpSolve)> obj<-c(20,8,6)> mat<-matrix(c(8,3,2,2,1,0,4,0,3),nrow=3,byrow=T) > dir<-c("<=","<=","<=")> rhs<-c(250,50,150)> x<-lp("max",obj,mat,dir,rhs,compute.sens=1)> x$status;x$solution;x$objval[1] 0[1] 0 50 50[1] 700> x$duals;x$duals.from;x$duals.to[1] 0 8 2 -4 0 0[1] -1.000000e+30 7.105427e-15 -2.842171e-14 0.000000e +00 -1.000000e+30 -1.000000e+30[1] 1.0e+30 5.0e+01 1.5e+02 2.5e+01 1.0e+30 1.0e+30b1,b2,b3的对偶价格分别为0、8、2；b1范围为(250，∞)，b2范围为(0, 50)，b3范围为(0, 150)。
