3.11 简单的重叠计数

叠加的使用技巧叠加是一种常用的数学技巧，它可以用于解决各种复杂的数学问题。

无论是在计算、代数、几何、概率还是统计学中，叠加技巧都发挥着重要的作用。

下面将介绍叠加技巧在不同领域的具体应用，并总结一些使用叠加的技巧和方法。

在计算中，叠加技巧常用于求和运算。

例如，当我们需要计算1到100的所有整数之和时，可以利用叠加技巧得到结果。

首先，将1和100分别相加得到101，然后将2和99相加得到101，以此类推，最后将50和51相加得到101。

因此，1到100的所有整数之和为101乘以50，即5050。

在代数中，叠加技巧可以用于简化复杂的多项式表达式。

例如，当我们需要计算n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + ... + (n+k)^2时，可以利用叠加技巧得到简化形式。

首先，将每一项展开得到n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) + ... + (n^2 + 2kn + k^2)，然后将相同项合并得到kn^2 + 2n(1 + 2 + ... + k) + (1^2 + 2^2 + ... + k^2)。

通过应用等差数列求和公式，可以进一步简化为kn^2 + n(k(k+1)/2) + (k(k+1)(2k+1)/6)。

在几何中，叠加技巧可以用于计算复杂的图形面积和体积。

例如，当我们需要计算多边形的面积时，可以将多边形划分为若干个简单的形状，然后计算每个形状的面积并相加。

同样地，当我们需要计算复杂的立体图形的体积时，可以将立体图形划分为若干个简单的部分，然后计算每个部分的体积并相加。

在概率中，叠加技巧常用于计算多个事件的概率之和。

例如，当我们需要计算同时满足两个事件A和B的概率时，可以利用概率的叠加性得到结果。

根据概率的定义，同时发生两个事件的概率等于两个事件各自发生的概率的乘积。

因此，事件A和B同时发生的概率为P(A) ×P(B)。

在统计学中，叠加技巧常用于计算累积频率和累积概率。

标题：三年级下数学教学设计——重叠问题——人教新课标一、教学目标1. 让学生理解重叠问题的概念，能够识别和解决简单的重叠问题。

2. 培养学生运用数学语言描述重叠问题的能力，提高学生的逻辑思维和解决问题的能力。

3. 通过解决重叠问题，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学内容1. 重叠问题的概念：两个集合中，有一部分元素同时属于这两个集合。

2. 重叠问题的解决方法：画韦恩图，找出重叠部分。

3. 重叠问题的应用：解决生活中的实际问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点：理解重叠问题的概念，掌握解决重叠问题的方法。

2. 教学难点：画韦恩图，找出重叠部分。

四、教学过程1. 导入新课通过生活中的实例，让学生感受重叠问题的存在，例如：一个班级中既是篮球队员又是足球队员的学生。

2. 探究新知（1）让学生观察实例，尝试用数学语言描述重叠问题。

（2）引导学生画韦恩图，找出重叠部分。

（3）总结重叠问题的解决方法。

3. 巩固练习（1）让学生独立解决一些简单的重叠问题。

（2）教师对学生的解答进行点评，指导学生正确画韦恩图，找出重叠部分。

4. 应用拓展（1）让学生找出生活中的重叠问题，尝试用所学知识解决。

（2）鼓励学生分享自己的发现和解决方法。

5. 总结反馈（1）让学生谈谈对本节课内容的理解和收获。

（2）教师对本节课进行总结，强调重叠问题的概念和解决方法。

五、作业布置1. 完成课后练习题。

2. 观察生活中的重叠问题，尝试用所学知识解决，下节课与同学分享。

六、课后反思1. 教师反思：本节课的教学目标是否达到，教学过程中是否存在问题，如何改进。

2. 学生反思：自己对本节课内容的掌握程度，学习中遇到的困难，如何解决。

通过本节课的教学，让学生掌握重叠问题的概念和解决方法，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力，激发学生学习数学的兴趣。

同时，让学生感受数学与生活的紧密联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

重叠数简便计算方法
以下是 6 条关于重叠数简便计算方法：
1. 嘿，你知道吗，有一种神奇的方法能让那些重叠数的计算变得超级简单！比如 232323 除以 23，这不就相当于 10101 嘛，一下子答案就出来啦，多厉害呀！
2. 哇塞，跟你说哦，遇到重叠数计算不用愁啦！像 454545 乘以 5，那不就是嘛，是不是特别容易呀？
3. 哎呀呀，重叠数简便计算方法可太好用啦！就像 666666 减去333333，答案显而易见呀，是 333333 呢，难道不好玩吗？
4. 嘿呀，重叠数简便计算方法真的绝了！比如说 343434 加上 121212，这不就是 464646 嘛，太有意思啦！
5. 哇哦，掌握了重叠数简便计算方法就像有了一把钥匙！你看 565656 除以 7，一下就能算出是 80808，这多神奇呀！
6. 哈哈，重叠数的简便计算方法可太实用啦！好比 787878 乘以 2，那不就是嘛，这多轻松就能算出来呀！
我的观点结论就是：重叠数简便计算方法真的超级实用，能让计算变得轻松又有趣，大家一定要好好掌握呀！。

小学数学教案重叠数教学内容：重叠数教学目标：1. 能够理解重叠数的概念。

2. 能够使用不同方法解决重叠数问题。

3. 能够在日常生活中应用重叠数的知识。

教学重点：1. 重叠数的概念。

2. 解决重叠数问题的方法。

3. 在实际生活中应用重叠数知识。

教学难点：1. 理解和应用重叠数概念。

2. 运用不同方法解决重叠数问题。

教学准备：图纸、彩色纸、剪刀、铅笔、教学PPT等。

教学过程：一、引入新知识（5分钟）1. 老师介绍重叠数的概念，示范用图纸上画数字进行解释。

二、讲解重叠数的特点及解决方法（10分钟）1. 老师讲解重叠数的特点，并介绍解决重叠数问题的不同方法。

2. 学生跟随老师一起练习解决重叠数问题。

三、练习与训练（15分钟）1. 学生在小组内互相练习解决重叠数问题，老师巡视指导。

2. 学生可以用彩色纸、剪刀等工具进行实践操作，加深对重叠数的理解。

四、巩固与拓展（10分钟）1. 老师出示几个有趣的重叠数问题，让学生进行思考和解答。

2. 学生可以自行设计一些重叠数问题，与同桌伙伴一起解决。

五、总结与延伸（5分钟）1. 老师引导学生总结本节课的重要内容和解决方法。

2. 学生可以在日常生活中寻找和应用重叠数知识。

六、作业布置（2分钟）1. 布置相关的练习题，加深学生对重叠数的理解和应用。

2. 鼓励学生积极参与实践操作，多维度掌握重叠数的知识。

教学反思：在教学过程中，要注重引导学生积极思考和动手操作，加深对重叠数概念的理解和掌握，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

重复计数高中数学教案
教学目标：
1. 了解重复计数的概念；
2. 掌握通过排列组合计算重复计数的方法；
3. 能够利用重复计数解决相关问题。

教学重点：
1. 重复计数的定义；
2. 排列组合的基本原理。

教学难点：
1. 复杂问题的重复计数；
2. 不重复排列的计算。

教学准备：
1. 教材《高中数学教材》；
2. 黑板、彩色粉笔；
3. 讲义。

教学过程：
Step 1：引入重复计数的概念（5分钟）
教师向学生解释重复计数的概念，并给出一些简单的例子让学生理解。

Step 2：排列组合的基本原理（10分钟）
教师通过讲解排列组合的基本原理，引导学生了解如何通过排列组合计算重复计数。

Step 3：解决问题的方法（15分钟）
教师通过实例演示，教导学生如何利用排列组合的方法解决复杂问题。

Step 4：练习与讨论（15分钟）
教师让学生自主练习，并在实践中引导学生掌握解决问题的方法，同时引导学生讨论不同解题方法的优缺点。

Step 5：总结与拓展（5分钟）
教师对本节课的知识点进行总结，并引导学生拓展更多相关问题的思考，并鼓励学生在课后继续学习。

教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握重复计数的基本概念和解决问题的方法，同时也能够在实践中灵活运用排列组合的知识解决问题。

在教学中，应注意引导学生理解重复计数的原理，并帮助学生形成解决问题的思维模式。

《重叠问题》教学设计【教学内容】人教版三年级数学下册第108页例1《数学广角——重叠问题》。

【教学目标】1、学会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题，并能用数学语言进行描述。

2、经历用直观图表示重叠问题的探究过程，体会图示的形象直观性。

渗透集合的思想，学会解决重复问题的一些基本策略，体验解决问题策略的重要性和多样性。

3、培养学生的建模意识和能力，发展形象思维，使学生养成善于思考的良好习惯，提高学习数学的兴趣。

【教学重点】理解集合图的各部分意义及解决简单问题的计算方法。

【教学难点】用集合图表示重叠问题。

【教材分析】“数学广角——重叠问题”是人教版数学3年级下册新增设的一个内容。

“重叠问题”是日常生活中应用比较广泛的数学知识。

教材主要是让学生通过实际生活中容易理解的题材，初步体会集合思想方法。

集合是一种比较系统、抽象的数学思想方法。

而教材例1编排的意图是借助学生熟悉的题材，通过统计表的方式列出参加语文小组和数学小组的学生名单，这与实际参加这两个课外小组的总人数不相符合，从而使学生学会利用集合图来解决这个问题。

在此基础上，掌握解决此类问题的计算方法及含义。

本节课的设计，立足于培养学生良好的数学思维能力，从学生的生活经验和知识经验出发，在观察、交流、反思、体验等数学活动中寻找解决问题的方法，在解决问题中初步体会数学方法的应用价值，从而真正落实在自主探究中学生的数学思维得以提升的目标。

【学情分析】集合思想对三年级的学生而言，既熟悉又陌生。

熟悉，是因为学生在3年的学习过程中，其实早就已经在体验和运用集合的思想了。

例如，学生在学习分类时，学会将同一种物品圈在同一个圈里；在学习数数时，学会将5棵树、6枝笔、8只小鸟圈在一个封闭圈中，其实这些都蕴涵着集合思想的原型。

陌生，是因为学生此前对集合从没有主动、充分地感知过，教材中的集合图也仅仅是以单个圈（或框）的方式来呈现的，而本节课学习的却是含交集的集合图。

重叠问题解答重叠问题要用到数学问题中的一个重要原理-----------包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

解答重叠问题的应用题时，必须要从条件入手认真的分析，有时还要画出示意图，借助图形去思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求得是哪部分，从而找出解题的方法。

1.同学们排队做操，每行人数同样多。

小明的位置从左数是第4个，从右面数是第3个，从前面数是第5个，从后面数是第6个。

做操的同学共有多少人？2.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。

小红的位置无论从前数，从后数，从左数，从右边数都是第3个。

共有多少个同学跳舞？3.为庆祝六一，同学们排成每行人数相同的鲜花队。

小华的位置是从左数第2个，从右数是第4个，从前数是第3个，从后数是第5个。

鲜花队共有多少人？4.三（4）班排成每行人数相同的队伍参加学校运动会。

梅梅的位置是从前数是第6个，从后数是第5个，从左数、从右数都是第3个。

三（4）班共有学生多少人？5.把两块同样长的模板如下图这样钉在一起，使其成为了一块木板。

如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分的长度是16厘米。

这两块木板各长多少厘米？6.把两段一样长的纸条黏在一起，使其成为一段更长的纸条。

这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分的长度是6厘米。

原来两段纸条各长多少厘米？7.把两块同样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板，中间重叠部分长11厘米。

这两块木板各长多少厘米？8.学校进行大扫除，由于鸡毛掸子不够长，为了能够掸掉灰尘，小明想了一个好办法，将鸡毛掸子和木棒绑在一起，使其从头到尾共长180厘米，其中鸡毛掸子长85厘米，鸡毛掸子与木棒重叠部分长20厘米。

木棒有多长？9.一次数学测试，全班36人中做对一道题的有21人，做对两道题的有18人，没人至少做对了一道题。

两道题都做对的有几人？10.三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一项比赛。

三年级奥数：重叠问题，包含与排除问题的解题方法
在日常生活中，我们经常需要统计一些数据，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现。

为了使重复的部分不被重复计算，人们研究出一种新的计算方法，然后再把重复计算的数目排除，使得计算的结果既不重复也不遗漏。

解决重叠问题时，我们常常利用韦恩图（圆圈图）来帮助分析死牢，关键是找出重复的次数。

木板重叠问题
两块一样长的木块叠在一起，求每块木块的长度时，用重叠后的总长度加上重叠部分的长度，然后再除以2；两块不一样长的木块重叠在一起，求其中一块木块的长度时，用重叠后的总长度加上重叠部分的长度，然后再减去另一块木块的长度。

韦恩图解题
韦恩图解题
做这类重叠问题时，首先根据题目条件画出韦恩图：
总人数=分别参加两项的人数-两项都参加的人数；
两项都参加的人数=分别参加两项的人数和-总人数；
参加某一项的人数=总人数+两项都参加的人数-参加另一项的人数。

韦恩图解题
当题目中提到至少存在一种情况的时候，那么总人数中还可能会有两种情况都不存在的情况。

此时候的总人数=至少参加一项的人数+两项都不参加的人数。

重叠问题教学目标：1、能利用集合的思想方法来解决简单的重叠问题。

2、经历用韦恩图解决问题的过程，感受用图解决问题的直观性。

3、经历韦恩图的产生过程，初步体会集合的思想方法。

教学重点：使学生借助直观图，初步体会集合的思想方法，感知韦恩图的产生过程。

教学难点：理解集合圈各部分的含义。

教学过程：一、课前谈话同学们，上课之前老师先来猜几个脑筋急转弯，看看同学们思维转的快不快好吗？仔细听好。

两个爸爸和两个儿子要去看电影，他们只买了三张电影票就顺利进去了，你知道这是为什么吗?（因为爸爸既是儿子又是爸爸）二、创设情境，引发问题出示幻灯片：动物园要举办一场运动会。

报名参加跑步比赛的有……（幻灯片依次出现动物图片加编号），报名参加游泳比赛的有……（幻灯片出示加编号）师：参加跑步比赛的动物有几只？（4种）参加游泳比赛的动物有几只？（5种）师：那么一共有几只呢？（9只，7只）师：有不同的答案，看来这样放不容易让人一眼就能看出一共有几只，那你们有没有更好的办法让人一眼就能看出一共是几只呢？三、经历探究，建构新知1、创造集合图师：有吗？试试看！要求：1、拿出信封中的动物图片放在白纸上。

2、同桌先商量如何表示。

3、然后摆一摆，再写一写、画一画或圈一圈。

（学生独立操作，教师巡视引导，及时了解学生的情况）预设汇报：先让放在同一个方向的学生汇报。

让学生质疑。

教师表示肯定（你的方法很有创意）质疑：你是怎样让人一眼就能看出一共有几只的？反馈：他的方法你们能看懂吗？表扬：不错，挺有创意的。

（反馈：向他这样，能让人一眼就能看出一共是几只吗？）准备反馈：有没有谁认为自己的方法比他还要好？你的方法比他好在哪里？（同学们同意吗）反馈：对他们的方法你还有什么建议吗？质疑：但是这些图同一只青蛙和乌龟都用了两次，能不能更简单一些，用一次就可以呢？l如果学生没有方法，教师自己出示7只动物。

师：既然他们重复了我干脆把他们去掉，一看就是7只嘛。

师：老师这样做你有没有什么意见？那怎么表示好呢？（制造左右为难）l如果有就让学生汇报反馈：有道理，同学们认为他的方法好吗？质疑：这样能让人看出青蛙和乌龟同时报了游泳和跑步吗？反馈：就用7只动物谁还有不同的表示方法？（教师拿出摆好的7只动物）l如果有另外的方法就让学生来汇报（你是怎么让人看出青蛙和乌龟同时报了跑步和游泳的？）这种方法你是怎么想到的？师：这种方法就是韦恩……l如果没有另外的方法就说师：英国著名的数学家韦恩，创造了一种很好的表示方法，同学们想知道吗？（原来是一样的，看来同学们很有数学家的天分啊）2、理解集合图师：这幅图你看的懂吗？各部分分别表示什么呢？指明说一说3、用图解决问题师：根据图，你能列式计算“这批动物标本一共有几种”吗？试试看。