2019-2020学年上海市长宁区高三年级二模考试数学试卷

上海市长宁区2020届高三二模数学试卷2020.5一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.已知集合(2,1]A ，(0,)B ，则A B2.行列式5182的值等于 3.5(1)x 的二项展开式的第三项的系数是4.若复数z 满足23z ，则||z5.若实数x 、y 满足0022x y x y，则z x y 的最小值为 6.直线2:12x t l y t（t 是参数）的斜率为 7.如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D边长为1，则直线1D B 和底面ABCD 所成的角的大小为8.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a ，714S ，则5a9.已知111{2,1,,,,1,2,3}232，若函数()f x x 在(0,) 上递减且为偶函数，则 10.在听课不停学期间，某校有四位教师参加了三项不同的公益教学活动，每位教师任选、一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为 （结果用数值表示） 11.已知M 、N 在以AB 为直径的圆上，若5AB ，3AM ，2BN ，则AB MN12.已知函数1()||1f x x，若关于x 的方程()f x x b 有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.已知向量(1,,1)a x ，(,1,1)b x ，R x ，则“1x ”是“a ∥b ”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 14.某单位现有职工52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本， 已知6号、32号、45号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为（） A. 18 B. 19 C. 20D. 2115.在直角坐标系xOy 中，角 的始边为x 轴的正半轴，顶点为坐标原点O ，已知角 的终边l 与单位圆交于点(0.6,)A m ，将l 绕原点逆时针旋转2与单位圆交于点(,)B x y ，若4tan 3，则x （ ） A. 0.6 B. 0.8 C. 0.6 D. 0.816.在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线2y x 、x 轴以及直线1x 所围成的曲边区域面积S 的一种方法：把区间[0,1]平均分成n 份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的坐上端点都在抛物线2y x 上（如图），则当n 时，这些小矩形面积之和的极限就是S ，已知22221123(1)(21)6n n n n ，利用此方法计算出的由曲线y 、x 轴以及直线1x 所围成的曲边区域的面积为（ ）A. 3B. 2C. 34 D. 23三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，母线长为（1）求该圆锥的体积；（2）已知AB 为圆锥底面的直径，C 为底面圆周上一点，且90BOC ，M 为线段AC 的中点，求异面直线OM 与PB 所成的角的大小.18.已知函数()sin f x x x ，R x .（1）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若()0f A ，且2b ，3c ，求a 的值；（2）求函数()cos y f x x 的最大值.19.培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N ，已知向水中每投放1个单位的物质N ，x （单位：天）时刻后水中含有物质N 的量增加/ymol L ，y 与x 的函数关系 可近似地表示为16806212612x y x xx ，根据经验，当水中含有物质的量N 不低于4 /mol L 时，物质N 才能有效发挥作用.（1）若在水中首次投放1个单位的物质N ，计算物质N 能持续有效发挥作用几天？（2）若在水中首次投放1个单位的物质N ，第8天再投放1个单位的物质N ，试判断第8天至第12天，水中所含物质N 的量是否始终不超过6/mol L ，并说明理由.20.已知椭圆2222:1x y a b（0a b ）的右焦点的坐标为(2,0)，且长轴长为短轴长的的上、下顶点分别为A 、B ，经过点(0,4)P 的直线l 与椭圆 相交于M 、 N 两点（不同于A 、B 两点）.（1）求椭圆 的方程；（2）若直线BM l ，求点M 的坐标；（3）设直线AN 、BM 相交于点，求证：n 是定值.21.若数列{}n c 满足“对任意正整数i 、j ，i j ，都存在正整数k ，使得k i j c c c ”，则称数列{}n c 具有“性质P ”，已知数列{}n a 为无穷数列.（1）若{}n a 为等比数列，且11a ，判断数列{}n a 是否具有“性质P ”，并说明理由；（2）若{}n a 为等差数列，且公差0d ，求证：数列{}n a 不具有“性质P ”；（3）若等差数列{}n a 具有“性质P ”，且32a ，求数列{}n a 的通项公式n a .参考答案一. 填空题1.(0,1]2.23.104.5.16.27. 48.39.2 10. 4911.1212.(,1)(3,) 二. 选择题13.C14.B 15.B 16.D 三. 解答题17.（1）83 ；（2）3.18.（1）a ；（2）max 12y. 19.（1）物质N 能持续有效发挥作用6天；（2）是.20.（1）22184x y ；（2）(M 或；（3）1n ，证明略. 21.（1）是；（2）证明略；（3）1n a n .。

2020年长宁区高三数学在线学习效果评估试卷考生注意：1.答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码.2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分.3.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合(]2,1A =-，()0,B =+∞，则AB =_______________. 【答案】(]0,1【解析】【分析】直接根据交集的运算即可得出答案.【详解】解：由于(]2,1A =-，()0,B =+∞，则(]0,1A B =.故答案为：(]0,1.【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题.2.行列式5182的值等于____________.【答案】2【解析】【分析】直接根据行列式的运算，即可求得结果. 【详解】解：根据行列式的运算，得512518282=⨯-⨯=.故答案为：2.【点睛】本题考查二阶行列式的计算，属于基础题.3.()51x +的二项展开式的第三项的系数是_____【解析】【分析】由二项展开式的通项公式写出第三项，结合组合数的运算公式，即可求出第三项的系数.【详解】解：()51x +的二项展开式的第三项为： 232222355110T C x C x x ===，则第三项的系数为：10.故答案为：10.【点睛】本题考查根据二项展开式的通项公式求出指定项的系数，属于基础题.4.若复数z 满足23z =-，则z =________.【解析】【分析】设(),z a bi a b R =+∈，代入23z =-，由复数相等的条件列式求得a 和2b ，最后根据复数的模公式，即可求出z .【详解】解：设(),z a bi a b R =+∈，由23z =-，得()23a bi +=-，即：2223a b abi -+=-， 则22320a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得：203a b =⎧⎨=⎩，所以z ==【点睛】本题考查复数的代数形式的乘法运算和复数的模的求法，以及复数相等的条件，属于基础题.5.若实数x y 、满足0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值为________.【答案】1-【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解()0,1A ，把最优解的坐标代入目标函数即可求得z x y =-的最小值.【详解】解：由0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩作出可行域，如下图：将目标函数z x y =-化为y x z =-，由图可知，当直线y x z =-过点()0,1A 时，直线在y 轴上的截距z -最大，z 有最小值，即：min 011z =-=-.故答案为：1-.【点睛】本题考查简单的线性规划求目标函数的最小值，考查数形结合思想.6.直线2:12x t l y t=+⎧⎨=-+⎩（t 是参数）的斜率为_______. 【答案】2【解析】【分析】根据题意，利用消参法将直线的参数方程化为普通方程，即可得出直线的斜率.【详解】解：根据题意，直线l 的参数方程为：212x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 是参数）， 消去参数t ，得出直线l 的普通方程为：()122y x +=-，所以直线l 斜率为：2.故答案为：2.【点睛】本题考查直线的斜率，利用消去参数法将直线的参数方程化为普通方程，以及对直线点斜式方程的理解.7.如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱长为2，底面边长为1，则直线1D B 和底面ABCD 所成的角的大小为___________.【答案】4π 【解析】【分析】根据题意，得出12D D =ABCD 是正方形，1AB AD ==，即可求出BD ，通过线面垂直的性质，由1D D ⊥底面ABCD 得出1D D DB ⊥，从而得出直线1D B 和底面ABCD 所成的角为1D BD ∠，在1Rt D DB △中，求出1D BD ∠的弧度数，即可得出答案.【详解】解：已知正四棱柱1111ABCD A B C D -2，底面边长为1，则12D D =，底面ABCD 是正方形，则1AB AD ==，所以222BD AB AD =+=，而1D D ⊥底面ABCD ，DB ⊂底面ABCD ，所以1D D DB ⊥，则直线1D B 和底面ABCD 所成的角为1D BD ∠，所以在1Rt D DB △中，112tan 12D D D BD BD ∠===， 解得：14D BD π∠=.即直线1D B 和底面ABCD 所成的角的大小为4π. 故答案为：4π. 【点睛】本题考查利用几何法求线面的夹角，以及线面垂直的性质的应用，考查计算能力.8.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若31a =，714S =，则5a =____________.【答案】3【解析】【分析】根据题意，由{}n a 为等差数列，31a =，714S =，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式，列式求出1a 和d ，即可求出5a . 【详解】解：已知{}n a 为等差数列，31a =，714S =，设公差为d ，则112172114a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：111a d =-⎧⎨=⎩， 所以514143a a d =+=-+=.故答案为：3. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题.9.已知1112,1,,,,1,2,3232 α⎧⎫⎨∈--⎩-⎬⎭.若函数()f x x α=在()0,∞+上递减且为偶函数，则α=________.【答案】2-【解析】【分析】根据题意，由函数()f x x α=在()0,∞+上递减且为偶函数，根据幂函数性质可得0α<，即可得出α的可能值为2-，1-，12-，分别代入并利用定义法判断出对应函数的奇偶性，即可求出结果.【详解】解：由题可知，1112,1,,,,1,2,3232 α⎧⎫⎨∈--⎩-⎬⎭， 且函数()f x x α=在()0,∞+上递减且为偶函数，可知0α<，所以α的可能值为2-，1-，12-， 当2α=-时，函数()()2210f x xx x -==≠， 由于()()()2211f x f x xx -===-，则()f x 为偶函数，符合题意； 当1α=-时，函数()()110f x xx x -==≠， 由于()()()11f x f x x x-==-=--，则()f x 奇函数，不符合题意； 当12α=-时，函数()12f x x -==，此时()f x 的定义域()0,∞+， 所以()f x 为非奇非偶函数，不符合题意；综上可知，满足题意的2α=-.故答案为：2-.【点睛】本题考查幂函数的单调性和奇偶性，以及利用定义法判断函数的奇偶性，属于对概念和性质的考查.10.在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为________（结果用数值表示）. 【答案】49【解析】【分析】根据题意，先求出四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项的所有情况有43种，每个项目都有该校教师参加的情况有2343C A ⋅种，即可求得相应的概率.【详解】解：由于四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项的情况有：433333⨯⨯⨯=（种），而每个项目都有该校教师参加的情况有：234336C A ⋅=（种）， 则每个项目都有该校教师参加的概率为：436439=. 故答案为：49. 【点睛】本题考查概率的计算和分步乘法的计数原理，以及排列组合的应用，考查分析计算能力.11.已知点M N 、在以AB 为直径的圆上，若5AB =，3AM =，2BN =，则AB MN →→⋅=______.【答案】12【解析】【分析】连接AN 、BM 、MN ，根据圆的圆周角性质，可得90AMB ANB ∠=∠=，从而得出AN ==，利用平面向量的线性运算求得AB MN AB AN AM AB AN AB AM →→→→→→→→→⎛⎫⋅=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，最后结合平面向量的数量积公式，即可求出结果.【详解】解：连接AN 、BM 、MN ，如图所示，由于AB 为圆的直径，5AB =，3AM =，2BN =，则90AMB ANB ∠=∠=，AN =，由于AB MN AB AN AM AB AN AB AM →→→→→→→→→⎛⎫⋅=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭ =cos cos AB AN BAN AB AM BAM →→→→⋅⋅∠-⋅⋅∠=ANAM AB AN AB AM AB AB →→→→→→→→⋅⋅-⋅⋅2222=312AN AM →→-=-=，即：12AB MN →→⋅=.故答案为：12.【点睛】本题考查平面向量的线性运算和向量数量积公式，考查转化思想和计算能力.12.已知函数()1||1f x x =-，若关于x 的方程()f x x b -=有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是_____.【答案】()(),13,-∞-+∞ 【解析】【分析】根据题意，()()11||1f x x x =≠±-，画出()f x 的图象，将方程()f x x b -=有三个不同的实数解转化为()()11||1f x x x =≠±-与y x b =+有三个交点，利用导数法和平移法得出y x b =+与()f x 的图象有2个交点时b 的值，即可得出方程()f x x b -=有三个不同的实数解，实数b 的取值范围.【详解】解：由题可知，()()11||1f x x x =≠±-， 作出()f x 的图象如下：由于方程()f x x b -=有三个不同的实数解，则()()11||1f x x x =≠±-与y x b =+有三个交点，由于y x b =+与直线y x =平行，则需将直线y x =向上或向下平移，当y x b =+与()(101f x x x =<--且)1x ≠-的图象相切时，与()f x 的图象有2个交点， 而()()211f x x '=--，所以当()()2111f x x '==--时，解得：2x =-或0，且()21f -=，()01f =-，则当y x b =+过切点()0,1-时，1b =-，此时1y x =-，当y x b =+过切点()2,1-时，3b =，此时3yx ， 要使得()()11||1f x x x =≠±-与y x b =+有三个交点， 只需将1y x =-向下平移或将3y x 向上平移即可，此时1b <-或3b >，所以方程()f x x b -=有三个不同的实数解，则1b <-或3b >，即实数b 的取值范围是：()(),13,-∞-+∞. 故答案为：()(),13,-∞-+∞.【点睛】本题考查方程的零点个数问题，将方程零点个数转化为函数的交点个数问题，考查数形结合思想和运算能力.二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知向量()1,,1a x →=-，(),1,1b x →=，x ∈R ，则“1x =-”是“ //a b →→”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】C【解析】【分析】根据题意，若1x =-时，则()1,1,1a →=--，()1,1,1b →=-，得出a b →→=-，得出//a b →→，反之//a b →→，则a b λ→→=，列式求出1x =-，结合充要条件的判定，即可得出结论.【详解】解：已知()1,,1a x →=-，(),1,1b x →=，若1x =-，则()1,1,1a →=--，()1,1,1b →=-，可得a b →→=-，则有//a b →→，所以充分条件成立，反之，若//a b →→，则a b λ→→=，即：()()1,,1,1,1x x λ-= 即：11x x λλλ=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得：1x =-，所以必要条件成立，综合可得：“1x =-”是“ //a b →→”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查充要条件的判断，以及空间向量共线的运算，考查运算能力.14. 某单位有职工52人，现将所有职工随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号职工在样本中，则样本中另外一个职工的编号是( )A. 19B. 20C. 18D. 21 【答案】A【解析】设样本中另外一个职工的编号是x ，则用系统抽样抽出的4个职工的号码从小到大依次为：6，x,32,45，它们构成等差数列，所以6＋45＝x ＋32，x ＝6＋45－32＝19，因此另外一个职工的编号是19．故选A ．15.在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的正半轴，顶点为坐标原点O ，已知角α的终边l 与单位圆交于点()0.6,A m ，将l 绕原点逆时针旋转2π与单位圆交于点(),B x y ，若4tan 3α=-，则 x =（ ）A. 0.6B. 0.8C. -0.6D. -0.8【答案】B 【解析】 【分析】已知角α的终边l 与单位圆交于点()0.6,A m ，且4tan 3α=-，利用三角函数的定义，求出0.8m =-，得出()0.6,0.8A -在第四象限，l 绕原点逆时针旋转2π与单位圆交于点(),B x y ， 可知点(),B x y 在第一象限，则2BOx πα∠=+，再利用三角函数的定义和诱导公式进行化简计算，即可求出x 的值.【详解】解：已知角α的终边l 与单位圆交于点()0.6,A m ，且4tan 3α=-， 则4tan 0.63m α==-，解得：0.8m =-， 所以()0.6,0.8A -在第四象限，角α为第四象限角，l 绕原点逆时针旋转2π与单位圆交于点(),B x y ， 可知点(),B x y 在第一象限，则2BOx πα∠=+， 所以cos cos sin 2BOx παα⎛⎫∠=+=- ⎪⎝⎭，即：0.811x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 解得：0.8x =. 故选：B.【点睛】本题考查单位圆中任意角的三角函数的定义的应用以及运用诱导公式化简，考查计算能力.16.在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线2y x =、x 轴以及直线1x =所围成的曲边区域面积S 的一种方法：把区间[]0,1平均分成n 份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线2y x 上（如图），则当n →∞时，这些小矩形面积之和的极限就是S .已知()()222211231216n n n n ++++=++.利用此方法计算出的由曲线y x =、x 轴以及直线1x =所围成的曲边区域的面积为（ ）A.63B.32C.34D.23【答案】D 【解析】 【分析】 由于[],0,1y x x =∈与[]2,0,1y x x =∈互为反函数，画出[]2,0,1y x x =∈的图象，所求的曲边区域的面积等于图中阴影部分的面积，再通过对区间[]0,1进行分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出抛物线2yx 、x 轴及直线1x =所围成的曲边区域面积S ，即可得出阴影部分的面积，即可得出曲线y x =x 轴及直线1x =所围成的曲边区域的面积.【详解】解：由于[],0,1y x x ∈与[]2,0,1y x x =∈互为反函数，可知，所求的曲边区域的面积等于下图中阴影部分的面积， 根据题意，抛物线2yx 、x 轴及直线1x =所围成的曲边区域面积S ，可知这些小矩形的底边长都是1n ，高依次为222121n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，222111211lim x n S n n n n n n →∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⋅+⋅++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()2222331121123116lim lim 3x x n n n n n n →∞→∞--++++-===， 所以，阴影部分的面积为：121133S -=-=，即曲线y x =、x 轴及直线1x =所围成的曲边区域的面积为：23.故选：D.【点睛】本题考查类比推理和定积分的概念，通过对区间进行分割、近似代替、求和、取极限的方法求曲边区域的面积，考查化归转化思想和计算能力.三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，母线长为22（1）求该圆锥的体积；（2）已知AB 为圆锥底面的直径，C 为底面圆周上一点，且90BOC ∠=°，M 为线段AC 的中点，求异面直线OM 与PB 所成的角的大小. 【答案】（1）83π.（2）3π.【解析】 【分析】（1）由题可知， 22PB =2OB =，根据勾股定理求得222PO PB OB -=，则圆锥的高2h =，再根据圆锥的体积公式计算，即可求出圆锥的体积；（2）法一：联结,PC BC ，由O 是AB 的中点，M 为线段AC 的中点，根据三角形中位线的性质可得出//OM BC ，所以异面直线OM 与PB 所成的角就是直线BC 与PB 所成的角，根据条件得90POC ∠=︒，90BOC ∠=°，求得22PB BC PC ===，则PBC 为等边三角形，即3PBC π∠=，即可得出结果；法二：以O 为坐标原点，以OC OB OP 、、为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求得() 0,2,2PB →=-，()1,1,0OM →=-，根据空间向量法求异面直线的夹角公式，即可求得异面直线OM 与PB 所成的角.【详解】（1）解：如图，由题意得 22PB =，2OB r ==， 在Rt POB 中，22842PO PB OB =-=-=， 即该圆锥的高2h PO ==， 由圆锥的体积公式得：2211822333V r h πππ==⨯⨯=， 即该圆锥的体积为83π. （2）解法1：联结,PC BC ，如图所示，由于AB 为圆锥底面的直径，O 是AB 的中点， 而M 为线段AC 的中点，则//OM BC ，所以异面直线OM 与PB 所成的角就是直线BC 与PB 所成的角， 因为90POC ∠=︒，90BOC ∠=°， 所以2222PC PO OC =+=2222BC OB OC =+=在PBC 中，22PB BC PC ===所以PBC 为等边三角形，即3PBC π∠=，因此异面直线OM 与PB 所成的角的大小为3π. 解法2：以O 为坐标原点，以OC OB OP 、、为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，可得()0,0,0O，()0,2,0A -，()2,0,0C ，()0,2,0B ，()002P ,,，因为M 为线段AC 的中点，得()1,1,0M -， 所以() 0,2,2PB →=-，()1,1,0OM →=-， 设异面直线OM 与PB 所成的角为02πθθ⎛⎫<≤⎪⎝⎭，向量PB →与OM →的夹角为ϕ，则1cos 2222PB OM PB OMϕ→→→→⋅===-⨯，又1cos cos 2θϕ==，所以3πθ=， 即异面直线OM 与PB 所成的角的大小为3π. 【点睛】本题考查圆锥的体积和异面直线的夹角，空间夹角问题一般利用几何法或空间向量法解决，考查转化思想和运算能力. 18.已知函数()sin 3f x x x =-，.x R ∈（1）设ABC 的内角、、A B C 所对的边长分别为a b c 、、，若()0f A =，且2b =，3c =，求a 的值；（2）求函数()cos y f x x =的最大值.【答案】（1）7.a =（2）31【解析】 【分析】（1）由()sin f x x x =-和()0f A =，可求得tan A =，且A 为ABC 的内角，所以3A π=，再利用余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即可求出a 的值；（2）根据题意，得出()2sin cos sin cos y x x x x x x ==，再利用二倍角公式和辅助角公式化简求得sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，结合三角函数的性质即可求出最大值.【详解】解：（1）由于()sin f x x x =-，()0f A =，2b =，3c =，则sin 0A A =，得tan A = 因为A 为ABC 的内角，所以3A π=，由余弦定理得：222222cos 23223cos73a b c bc A π=+-=+-⨯⨯⨯=，即：27a =，所以a =（2）由题意得()sin cos y x x x =2sin cos x x x =-11cos 2sin 222x x +=-sin 232x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为x ∈R ，所以当sin 213x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，y 的最大值为12-. 【点睛】本题考查根据余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式和辅助角公式化简三角函数，还涉及三角函数最值，考查运算能力.19.培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N ，已知向水中每投放1个单位的物质N ，x （单位：天）时刻后水中含有物质N 的量增加mol/L y ，y 与x 的函数关系可近似地表示为关系可近似地表示为168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩.根据经验，当水中含有物质N 的量不低4mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用.（1）若在水中首次投放1个单位的物质N ，计算物质N 能持续有效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放1个单位的物质N ，第8天再投放1个单位的物质N ，试判断第8天至第12天，水中所含物质N 的量是否始终不超过6mol/L ，并说明理由.【答案】（1）6天.（2）第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6mol/L .见解析 【解析】 【分析】（1）由题可知168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，分类讨论求解满足4y ≥时的x 的范围，即可得出在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用的天数；（2）根据已知求出函数解析式()16162014666y x x x x ⎡⎤=--=--+⎢⎥--⎣⎦，利用基本不等式即可求得当10x =时，max 6y =，从而得出结论.【详解】解：（1）由题意，x (单位：天)时刻后水中含有物质N 的量为：168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，由于当水中含有物质N 的量不低4mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用， 即需4y ≥， 则当06x ≤≤时，16842x -≥+且当612x <≤时，124x -≥， 解得：28x ≤≤，所以若在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用的时间为：8-2=6天. （2）设第()812x x ≤≤天水中所含物质N 的量为mol/L y ，则()1220(8)26 16168y x x x x ⎡⎤-⎢⎣=-+=--+⎦--⎥，()161461466y x x ⎡⎤=--+≤-=⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当1666x x -=-，即[]108,12x =∈时，等号成立， 即当10x =时，max 6y =，所以第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6mol/L .【点睛】本题考查利用函数解决实际问题，考查分段函数和基本不等式的应用，确定函数的解析式是关键.20.已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点的坐标为()2,0，倍.椭圆Γ的上、下顶点分别为A B 、，经过点()0,4P 的直线l 与椭圆相交于M N 、两点(不同于A B 、两点).（1）求椭圆的方程；（2）若直线BM l ⊥，求点M 的坐标；（3）设直线AN BM 、相交于点(),Q m n ，求证：n 是定值.【答案】（1）22184x y +=（2）M 的坐标为()-或().（3）见解析【解析】 【分析】（1）根据题意，可得2c =，a =，224a b -=，求出a =2b =，即可求得椭圆Γ的方程；（2）由（1）得出点B 的坐标为()0,2-，设点(),M x y ，根据BM MP ⊥，得出()()2240x y y ++⋅-=，与椭圆方程22184x y +=联立，即可求出点M 的坐标；（3）设()11,M x y ，()22,N x y ，则直线l 的方程为4y kx =+，与椭圆方程22184x y +=联立，得到关于x 的一元二次方程，写出韦达定理1221612k x x k +=-+，1222412x x k =+，分别求出直线AN 和直线BM 的方程，从而求得m 和n 的关系式，化简整理得出1n =，即n 为定值.【详解】解：（1）根据题意，已知椭圆右焦点的坐标为()2,0倍， 得2c =，a =，224a b -=，解得：a =2b =，所以椭圆Γ的方程为：22184x y +=.（2）由题意得，点B 的坐标为()0,2-，设点(),M x y ， 由于经过点()0,4P直线l 与椭圆相交于M N 、两点，已知BM l ⊥，则BM MP ⊥，所以0BM MP →→=, 因为(),2BM x y →=+，(),4MP x y →=--， 则()()2240BM MP x y y →→=-++-= 整理得：()()2240x y y ++⋅-=，又22184x y +=，解得：0x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩02x y =⎧⎨=-⎩（舍去）， 所以所求点M 的坐标为()-或().（3）由于经过点()0,4P 的直线l 与椭圆相交于M N 、两点(不同于A B 、两点)， 设直线l 的斜率为k ，可知斜率k 存在，则直线l 的方程为4y kx =+， 由题可知，()()0,2,0,2A B -，设()11,M x y ，()22,N x y ，由方程组224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221216240k x kx +++=，所以1221612k x x k +=-+，1222412x x k =+， 由于直线AN BM 、相交于点(),Q m n ，直线AN 的方程为2222y y x x --=⋅，得()2222x m n kx =-⋅+， 直线BM 的方程为1122y y x x ++=⋅，得()1126x m n kx =+⋅+， 所以121212423kx x x n x x -=+-，因为()12122482312kkx x x x k==-++， 得()121213422113x x x n x x -++=+=-=-，所以n 为定值1.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和根据直线与椭圆的位置关系解决定值问题，还涉及椭圆的简单几何性质、联立方程组、韦达定理和直线的方程，考查化简运算能力.21.若数列{}n c 满足“对任意正整数,,i j i j ≠，都存在正整数k ，使得k i j c c c =”，则称数列{}n c 具有“性质P ”.已知数列{}n a 为无穷数列.（1）若{}n a 为等比数列，且11a =，判断数列{}n a 是否具有“性质P ”，并说明理由； （2）若{}n a 为等差数列，且公差0d <，求证：数列{}n a 不具有“性质P ”； （3）若等差数列{}n a 具有“性质P ”，且32a =，求数列{}n a 的通项公式n a . 【答案】（1）数列{}n a 具有“性质P ”.见解析（2）见解析（3）1n a n =- 【解析】 【分析】（1）由题可知，{}n a 为等比数列，且11a =，设数列{}n a 的公比为q ，则1n n a q -=，*n ∈N ，根据条件整理得出1=i j i j a a a +-，所以数列{}n a 具有“性质P ”；（2）由于{}n a 为等差数列，且公差0d <，则()11n a a n l d a =+-≤，分类讨论10a ≤和10a >时，都得出不存在正整数k ，使得23k a a a =，则当0d <时，数列{}n a 不具有“性质P ”； （3）已知等差数列{}n a 具有“性质P ”，且32a =，设数列{}n a 的公差为d ，则()23n a n d =+-，且对任意*n ∈N ，都存在正整数k ，使得3k n a a a =，结合条件可求出1d =或2d =，即可求出数列{}n a 的通项公式n a .【详解】（1）解：数列{}n a 具有“性质P ”.由题可知，{}n a 为等比数列，且11a =，设数列{}n a 的公比为q ，则1n n a q -=，*n ∈N ，对任意正整数,i j ，i j ≠，2i j i j a a q +-=，因为12i j +-≥，所以21=i i j j a q +-+-，则1=i j i j a a a +-，即对任意正整数,i j ，i j ≠，存在1k i j N *=+-∈，使得=i k j a a a ，所以数列{}n a 具有“性质P ”.（2）证明：由于{}n a 为等差数列，且公差0d <，则()111n a a n d a =+-≤，①若10a ≤，则320a a <<，2310a a a >≥，所以不存在正整数k ，使得23k a a a =.②若10a >，则当1n >+时，1n n a a +<<11n n a a a +>，所以不存在正整数k ，使得23k a a a =；综上，当0d <时，数列{}n a 不具有“性质P ”.（3） 解：已知等差数列{}n a 具有“性质P ”，且32a =，设数列{}n a 的公差为d ，则()23n a n d =+-，由已知，对任意*n ∈N ，都存在正整数k ，使得3k n a a a =，即()()23223k d n d +-=+-⎡⎤⎣⎦，所以0d ≠，且223k n d=-+∈Z ① 对任意n a ，设()11k n n n n a a a a a d +==+，()222k n n n n a a a a a d +==+，*12,,n k k ∈N ，所以()2121k k n k k d a a a d -=-=，得121a k k =-∈Z ，因此1n n d a a +=-∈Z ②由（2）知0d ≥，又由①、②可得1d =或2d =，当2d =时，12a =-，1314n a a a a =-<≤，不满足要求，所以1d =，1n a n =-，可以验证1n a n =-满足要求.【点睛】本题考查与数列相关的新定义题，还涉及等差数列和等边数列的通项公式，考查分析和运算能力.。

2020年上海市长宁区高考数学二模试卷一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）已知集合(2A =-，1]，(0,)B =+∞，则A B =I ． 2．（4分）行列式5182的值等于 ． 3．（4分）5(1)x +的二项展开式的第三项的系数是 ．4．（4分）若复数z 满足23z =-，则||z = ．5．（4分）若实数x 、y 满足0022x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩……„，则z x y =-的最小值为 ．6．（4分）直线2:(12x t l t y t=+⎧⎨=-+⎩是参数）的斜率为 ． 7．（5分）如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱长为2，底面边长为1，则直线1D B 和底面ABCD 所成的角的大小为 ．8．（5分）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若31a =，714S =，则5a = ．9．（5分）已知{2α∈-，1-，12-，13，12，1，2，3}．若函数()f x x α=在(0,)+∞上递减且为偶函数，则α= ．10．（5分）在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为 （结果用数值表示）．11．（5分）已知点M 、N 在以AB 为直径的圆上．若5AB =，3AM =，2BN =，则AB MN =u u u r u u u u r g ．12．（5分）已知函数1()||1f x x =-．若关于x 的方程()f x x b -=有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是 ．二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）已知向量(1,,1)a x =-r ，(,1,1)b x =r ，x R ∈，则“1x =-”是“//a b r r ”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．（5分）某单位现有职工52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知6号、32号、45号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为( )A ．19B ．20C ．18D ．2115．（5分）在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的正半轴，顶点为坐标原点O ．已知角α的终边l 与单位圆交于点(0.6,)A m ，将l 绕原点逆时针旋转2π与单位圆交于点(,)B x y ，若4tan 3α=-，则(x = ) A ．0.6 B ．0.8 C ．0.6- D ．0.8-16．（5分）在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线2y x =、x 轴以及直线1x =所围成的曲边区域面积S 的一种方法：把区间[0，1]平均分成n 份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线2y x =上（如图），则当n →∞时，这些小矩形面积之和的极限就是S ．已知22221123(1)(21)6n n n n +++⋯+=++．利用此方法计算出的由曲线y x =、x 轴以及直线1x =所围成的曲边区域的面积为( )A 6B 3C ．34D ．23三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，母线长为22．（1）求该圆锥的体积；（2）已知AB 为圆锥底面的直径，C 为底面圆周上一点，且90BOC ∠=︒，M 为线段AC 的中点，求异面直线OM 与PB 所成的角的大小．18．（14分）已知函数()sin 3f x x x =，x R ∈．（1）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ．若f （A ）0=，且2b =，3c =，求a 的值；（2）求函数()cos y f x x =的最大值．19．（14分）培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N ．已知向水中每投放1个单位的物质N ，x （单位：天）时刻后水中含有物质N 的量增加/ymol L ，y 与x 的函数关系可近似地表示为168,06212,612x y x x x ⎧-⎪=+⎨⎪-<⎩剟…．根据经验，当水中含有物质N 的量不低于4/mol L 时，物质N 才能有效发挥作用．（1）若在水中首次投放1个单位的物质N ，计算物质N 能持续有效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放1个单位的物质N ，第8天再投放1个单位的物质N ，试判断第8天至第12天，水中所含物质N 的量是否始终不超过6/mol L ，并说明理由．20．（16分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右焦点的坐标为(2,0)，且长轴长为短轴长2Γ的上、下顶点分别为A 、B ，经过点(0,4)P 的直线l 与椭圆Γ相交于M 、N 两点（不同于A 、B 两点）． （1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线BM l ⊥，求点M 的坐标；（3）设直线AN 、BM 相交于点(,)Q m n ，求证：n 是定值．21．（18分）若数列{}n c 满足“对任意正整数i ，j ，i j ≠，都存在正整数k ，使得k i j c c c =”，则称数列{}n c 具有“性质P ”．已知数列{}n a 为无穷数列．。

即“x＝2”是“x≥1”的充分不必要条件，故选 A．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．
2．参数方程

x y

3t t2
24 2
（
t
为参数，且
0

t

3
）所表示的曲线是（
）
A．直线 B．圆弧 C．线段 D．双曲线的一支 【答案】C 【解析】根据题意，由参数方程中 t 的范围分析可得 x、y 的范围，结合参数方程消去参数可得 x﹣3y＝10， 结合 x、y 的范围分析可得答案． 【详解】
【详解】
①当点
P
在
AB
上时，如图：
y

1 2

x 1

1 2
x0

x

1
.
②当点 P 在 BC 上时，如图：
∵ PB x 1 ， PC 2 x ，∴ y S正方形ABCD S ADM S ABP S PCM
1
1 2

1 2

1 2
x
1

1 2

1 2
xnr
( 1 )r x
Cnr
xn2r
．
∵展开式中的第 3 项为常数项，
∴n﹣4＝0，得 n＝4．
故答案为 4．
【点睛】
本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
7．已知复数 z 满足 z2 = 4 + 3i （ i 为虚数单位），则 z ____________．
轨迹方程为____________．
9．已知数列{an} 是首项为1，公差为