2015年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷(理科)

高中数学试卷第1页，共14页 2015年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷（理科）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题(本大题共14小题，共56.0分)

1.已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x2-1≥0，x∈R}，则A∩B= ______ ．

【答案】

{x|-2≤x≤-1或1≤x≤2}

【解析】

解：由A中不等式解得：-2≤x≤2，即A={x|-2≤x≤2}，

由B中不等式变形得：（x+1）（x-1）≥0，

解得：x≤-1或x≥1，即B={x|x≤-1或x≥1}，

则A∩B={x|-2≤x≤-1或1≤x≤2}，

故答案为：{x|-2≤x≤-1或1≤x≤2}

求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2.抛物线x2=8y的焦点到准线的距离是 ______ ．

【答案】

4

【解析】

解：抛物线x2=8y，所以p=4，抛物线x2=8y的焦点到准线的距离是：4．

故答案为：4．

直接利用抛物线的性质写出结果即可．

本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．

3.若（1+ai）i=2-bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|= ______ ．

【答案】

【解析】

解：∵（1+ai）i=2-bi，其中a、b∈R，

∴-a+i=2-bi，

∴-a=2，1=-b，

解得a=-2，b=-1．

则|a+bi|=|-2-i|=|2+i|= = ．

故答案为： ．

利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．

本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．

4.已知函数g（x）=2x，若a＞0，b＞0且g（a）g（b）=2，则ab的取值范围是 ______ ．

【答案】

，

【解析】

解：由题意可得a＞0，b＞0且g（a）g（b）=2a•2b=2a+b=2， 高中数学试卷第2页，共14页 ∴a+b=1，∴ab≤

=

当且仅当a=b=

时取等号，

又∵a＞0，b＞0，∴ab＞0，

∴ab的取值范围为： ，

故答案为： ，

由题意和指数的运算可得a+b=1，由基本不等式可得ab的最大值，可得范围．

本题考查基本不等式求最值，属基础题．

5.设等差数列{an}满足a5=11，a12=-3，{an}的前n项和Sn的最大值为M，则lgM= ______ ．

【答案】

2

【解析】

解：设等差数列{an}的公差为d，∵a5=11，a12=-3，

∴ ，d=-2，a1=19．

∴an=19-2（n-1）=21-2n，

令an＞0，

解得

，

因此当n=10时，{an}的前n项和Sn取得最大值M=

=190-90=100，

∴lgM=2．

故答案为：2．

利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得：an，Sn，即可得出．

本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了计算能力，属于中档题．

6.若（a-x）8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8（a∈R），且a5=56，则a0+a1+a2+…+a8= ______ ．

【答案】

256

【解析】

解：（a-x）8展开式通项为Tr+1=（-a）rC8rx8-r．

令8-r=5得a5=（-a）3C85=56，知a=-1，

∴利用赋值法x=1得a0+a1+a2+…+a8=28=256．

故答案为：256．

利用二项展开式的通项求出通项，令x的指数为5求出a5，列出方程求出a，令二项展开式的x=1求出展开式的系数和．

本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题；通过给二项式的x赋值求展开式的系数和．

7.已知对任意n∈N*，向量

，

都是直线y=x的方向向量，设数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，则 = ______ ． 高中数学试卷第3页，共14页 【答案】

2

【解析】

解：∵向量

，

都是直线y=x的方向向量，

∴an+1-

an=

，

∴an+1=

an，

∵a1=1，

∴数列{an}是以1为首项，

为公比的等比数列，

∴ =

=2．

故答案为：2先判断数列{an}是以1为首项，

为公比的等比数列，再利用无穷等比数列的求和公式即可求出 ．

本题考查数列的极限的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列运算公式的灵活运用．

8.已知定义在R上的单调函数f（x）的图象经过点A（-3，2）、B（2，-2），若函数f（x）的反函数为f-1（x），则不等式|2f-1（x-2）+1|＜5的解集为 ______ ．

【答案】

（0，4）

【解析】

解：不等式|2f-1（x-2）+1|＜5可化为-3＜f-1（x-2）＜2，

由f（x）是定义在R上的减函数，以及函数与反函数的关系得：

f（-3）＞x-2＞f（2），即2＞x-2＞-2，0＜x＜4，

∴不等式|2f-1（x-2）+1|＜5的解集为（0，4）．

故答案为：（0，4）．

把要解的不等式去掉绝对值，进行等价转化，再利用反函数与原函数的关系求解不等式．

本题考查了互为反函数的两个函数定义域和值域的关系，考查了数学转化思想方法，考查了不等式的解法，是中档题．

9.已知方程sinx+ cosx=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是 ______ ．

【答案】

，

【解析】

解：m+1=sinx+ cosx=2sin（x+

），

x∈[0，π]，x+

[

，

]，如图：

方程sinx+ cosx=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，2sin（x+

）∈ ， ． 高中数学试卷第4页，共14页 ∴m+1∈ ， ，

可得m∈ ， ．

故答案为： ， ．

通过两角和与差的三角函数化简左侧表达式，通过三角函数的最值，得到表达式，然后求解m的范围．

他考查函数的恒成立，三角函数的最值函数的图象的应用，考查分析问题解决问题的能力．

10.随机变量ξ的分布列如下：

ξ -1 0

1

P a b c

其中a，b，c成等差数列，若

．则Dξ的值是 ______ ．

【答案】

【解析】

解：∵a，b，c成等差数列，

∴2b=a+c，

∵a+b+c=1，

Eξ=-1×a+1×c=c-a=

．

联立三式得

，

，

，

∴

．

故答案为：

要求这组数据的方差，需要先求出分布列中变量的概率，这里有三个条件，一个是三个数成等差数列，一个是概率之和是1，一个是这组数据的期望，联立方程解出结果．

这是一个综合题目，包括等差数列，离散型随机变量的期望和方差，主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望的公式．

11.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为

______ ．（用数字作答）

【答案】

472

【解析】

解：由题意，不考虑特殊情况，共有 种取法，其中每一种卡片各取三张，有4 种取法，

两张红色卡片，共有 种取法，

故所求的取法共有 -4 - =560-16-72=472种．

故答案为：472．

利用间接法，先选取没有条件限制的，再排除有条件限制的，问题得以解决． 高中数学试卷第5页，共14页 本题考查了组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．

12.在平面直角坐标系xOy中，点P（xP，yP）和点Q（xQ，yQ）满足 按此规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”．在此变换下，若

=m，向量 与 的夹角为θ，其中O为坐标原点，则msinθ的值为 ______ ．

【答案】

【解析】

解：依题意，（

）2=

=（

）2

∵

∴

=（

）2

∴m=

∵向量 与 的夹角为θ，

∴cosθ=

=

•

=

∴θ=

，

∴msinθ=

，

故答案为：

．

先利用两点间的距离公式及已知的点变换公式，计算m的值，再利用向量夹角公式和点变换公式计算∠POQ=θ 的值，即可求出msinθ的值．

本题综合考查了理解题意的能力，两点间的距离公式，向量夹角公式，具有较强的代数变换能力是解决本题的关键．

13.设定义域为R的函数，若关于x的函数f（x）= ，若关于x的函数y=2f2（x）+2bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是 ______ ．

【答案】

-

＜b＜

【解析】

解：令t=f（x），则原函数等价为y=2t2+2bt+1．做出函数f（x）的图象如图，

图象可知当由0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个交点．

要使关于x的函数y=2f2（x）+2bf（x）+1有8个不同的零点，则函数y=2t2+2bt+1有两个根t1，t2，