北 京 四 中
编 稿：宋建生 审 稿：谷 丹 责 编：姚一民
梯形、三角形中位线
一.梯形、三角形中位线在证明平行、线段相等及线段的倍、半问题中起了重要的作用，对此我们应给予足够的重视。
二.知识要点：
1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。
2.三角形中位线：
（1）定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（2）三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
3.梯形中位线：
（1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。
（2）梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
三.例题
例1.如图，△ABC中，D是AB中点，E是AC上的点，且3AE=2AC，CD、BE交于O点。
求证：OE=BE。
分析：已知D是AB中点，遇到中点我们应当考虑到可能要用中位线，有中位线就可以得到线段的一半，同样可能再得到线段的一半，从而可以得到某线段的；又已知3AE=2AC，得AE=AC，如果取AE中点F，连结DF就可得到△ABE的一条中位线。 证明：取AE中点F，连结DF，∵ D是AB中点，∴ DF是△ABE的中位线
∴ DF=BE且DF//BE（三角形中位线定理）
∵ 3AE=2AC，
∴ AE=AC
∴ AF=FE=EC=AC
在△CFD中，
∵ EF=EC且DF//BE即OE//DF，
∴ CO=DO（过三角形一边中点，与另一边平行的直线，必平分第三边）
∴ OE是△CDF的中位线
∴ OE=DF
∴ OE=BE。
说明：本题我们做了一条中位线，使得在两个三角形中可使用中位线定理。遇中点，作中位线是常见的辅助线。
创新三维学习法让您全面发展
~ 1 ~ 主课题：三角形、梯形的中位线
教学目标：
1. 使学生掌握三角形中位线定理并能熟练地应用它解决有关问题．
2. 能够用综合法证明梯形中位线定理。
3. 运用综合法来证明一些图形的中点四边形的形状。
教学重点：
1. 三角形中位线的概念与性质定理．
2. 梯形中位线定理的证明及应用。
教学难点：
证明梯形中位线定理时添加辅助线的方法和技巧。
考点及考试要求：
三角形与梯形在中位线定理在考试中占据重要位置，题型不仅仅是填空题和选择题，大题中也有综合应用证明。
三角形、梯形的中位线
知识精要
一、三角形的中位线
1）、三角形的中位线定义： 联结三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线 。
创新三维学习法让您全面发展
~ 2 ~ 在△ABC中①、BCABFE、为、的中点 ②、∵M、N分别是BC、AC的中点
∴线段EF是 △ABC的中位线 ∴ 线段MN是△ABC的中位线
2）、三角形有 3 条中位线，它们构成的三角形叫中点三角形。
3）、三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。
4）、在△ABC中，AB=3，BC=5，CA=7，顺次连结三边中点得△DEF的周长为___7.5______.
5）、在△ABC中，D、E、F分别 为AB、BC、CA的中点，△DEF的周长为10，则△ABC的周长是 20 。
6）、三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是__ 24 。
结论：中点三角形的周长等于原三角形的 一半 .
7）、一个三角形的面积是40，则它的中点三角形的面积是__10
结论：中点三角形的面积是原三角形面积的_
二、中点四边形
1、定义：顺次连接四边形各边中点的四边形叫 中点四边形
2、中点四边形的形状与原四边形的对角线数量和位置有关
3. 三角形的中位线(1)
一、学生知识状况分析
本节课是在学生学习了全等三角形、平行四边形的性质与判定的基础上学习三角形中位线的概念和性质。三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段。三角形中位线定理为证明直线的平行和线段的倍分关系提供了新的方法和依据，也是后续研究梯形中位线的基础。三角形中位线定理所显示的特点既有线段的位置关系又有线段的数量关系，因此对实际问题可进行定性和定量的描述，在生活中有着广泛的应用。
二、教学任务分析
本节课以“问题情境——建立模型——巩固训练——拓展延伸”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。
利用制作的多媒体课件，让学生通过课件进行探究活动，使他们直观、具体、形象地感知知识，进而达到化解难点、突破重点的目的。
教学目标
1、认知目标
（1） 知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。
（2） 理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。
（3） 通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力．
2、能力目标
引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生
观察问题、分析问题和解决问题的能力。
3、德育目标
对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。
4、情感目标
利用制作的Powerpoint课件，创设问题情景，激发学生的热情和兴趣，
激活学生思维。
教学重难点
【重点】：三角形中位线定理
【难点】：难点是证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的灵活应用．
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情景,导入课题；第二环节：教师讲授、传授新知；第三环节：师生共析、证明定理；第四环节：灵活运用、自我检测；第五环节：回顾小结、共同提升；第六环节：分层作业，拓展延伸；第七环节：课后反思。
三角形、梯形的中位线
知识精要
一、三角形的中位线
1）、三角形的中位线定义：
在△ABC中①、BCABFE、为、的中点 ②、∵M、N分别是BC、AC的中点
∴线段EF是 △ABC的 ∴ 线段MN是△ABC的
2）、三角形有 条中位线，它们构成的三角形叫 。
3）、三角形的中位线定理：
4）、在△ABC中，AB=3，BC=5，CA=7，顺次连结三边中点得△DEF的周长为___ ______.
5）、在△ABC中，D、E、F分别 为AB、BC、CA的中点，△DEF的周长为10，则△ABC的周长是
6）、三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是_
结论：中点三角形的周长等于原三角形的 .
7）、一个三角形的面积是40，则它的中点三角形的面积是__
结论：中点三角形的面积是原三角形面积的_
二、中点四边形
1、定义：顺次连接四边形各边中点的四边形叫
2、中点四边形的形状与原四边形的对角线数量和位置有关
1）、原四边形的对角线相等时，中点四边形是 ；
2）、原四边形的对角线垂直时，中点四边形是 ；
3）、原四边形的对角线既相等又垂直时，中点四边形是 ；
4）、原四边形的对角线既不相等又不垂直时，中点四边形是 。
5）、任意四边形的中点四边形是 ；菱形的中点四边形是 ；
矩形、等腰梯形的中点四边形是 ；正方形的中点四边形是 。
