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非线性回归问题两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型。
分析非线性回归问题的具体做法是：〔1〕假设问题中已给出经验公式，这时可以将变量x 进行置换〔换元〕，将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决． 〔2〕假设问题中没有给出经验公式，需要我们画出数据的散点图，通过与各种函数〔如指数函数、对数函数、幂函数等〕的图象作比拟，选择一种与这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，将问题化为线性回归分析问题来解决． 下面举例说明非线性回归分析问题的解法．例1 在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y 与析出银的光学密度x 由公式e b xy A =〔b <0〕表示，现测得实验数据如下：试求对的回归方程．分析：该例是一个非线性回归分析问题，由于题目中已给定了要求的曲线为eb xy A =〔b <0〕类型，我们只要通过所给的11对样本数据求出A 和b ，即可确定x 与y 的相关关系的曲线方程．解：由题意可知，对于给定的公式e bxy A =〔b <0〕两边取自然对数，得ln ln b y A x=+． 与线性回归方程对照可以看出，只要取1u x=，ln v y =，ln a A =，就有v a bu =+，这是v 对u 的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数b 和a ． 题目中所给数据由变量置换1u =，ln v y =变为如表所示的数据：由于｜r ｜=0.998>0.602，可知u 与v 具有很强的线性相关关系． 再求得0.146b =-，0.548a =，∴v =0.5480.146u -，把u 和v 置换回来可得0.146ln 0.548y x=-， ∴0.1460.1460.1460.5480.548e1.73xxxy eee---===，∴回归曲线方程为0.1461.73exy -=．点评：解决此题的思路是通过适当的变量置换把非线性回归方程转化为线性回归方程，然后再套用线性回归分析的解题步骤．例2 为了研究某种细菌随时间x 变化的繁殖个数，收集数据如下：天数x 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y612254995190〔1〕作出这些数据的散点图； 〔2〕求出y 对x 的回归方程． 解析：〔1〕作出散点图如图1所示．〔2〕由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线e bxy c =〔c ＞0〕的周围，那么ln ln y bx c =+．令ln ln z y a c ==，，那么z bx a =+．x1 2 3 4 5 6 z相应的散点图如图2． 从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合．由表中数据得到线性回归方程为0.69 1.115z x =+．因此 细菌的繁殖个数对温度的非线性回归方程为0.69 1.115e x y +=．点评：通过作散点图看出，此题是一个非线性回归问题，通过变量置换转化为线性回归问题求解的．值得注意的是，此题的数据与回归曲线是拟合得相当好的，这说明确定性关系〔如公式、函数关系式〕和相关关系之间并没有一条不可逾越的鸿沟．由于有实验误差、测量误差等存在，变量之间确实定性关系往往通过相关关系表现出来；反过来，在有些问题中，可以研究相关关系来深入了解变量变化的内在规律，从而找到它们确实定性关系．。
非线性回归分析常见曲线及方程Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】非线性回归分析回归分析中，当研究的因果关系只涉及和一个时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析常见非线性规划曲线1.双曲线1bay x =+2.二次曲线3.三次曲线4.幂函数曲线5.指数函数曲线(Gompertz)6.倒指数曲线y=a/e b x其中a>0，7.S型曲线(Logistic)1e x ya b-=+8.对数曲线y=a+b log x,x>09.指数曲线y=a e bx其中参数a>01．回归：（1）确定回归系数的命令[beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha）2．预测和预测误差估计：[Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J）求nlinfit 或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显着性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA.例2 观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s关于t的回归方程2ˆct=.+btas+解：1. 对将要拟合的非线性模型y=a/e b x，建立M文件如下：function yhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输入数据：x=2:16;y=[ 10];beta0=[8 2]';3．求回归系数：[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta即得回归模型为：1.064111.6036e x y-=4．预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r')2．非线性函数的线性化曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数by ax＝ln ln ln c a v x u y＝＝＝ u c bv +＝bx y ae ＝ln ln c a u y＝＝u c bv +＝b xe y a＝1ln ln x c a v u y=＝＝u c bv +＝ln y a b x +＝ln v x u y＝＝ u bv +＝a。
多元线性回归模型一、单项选择题1.在由30n =的一组样本估计的、包含3个解释变量的线性回归模型中，计算得多重决定系数为0.8500，则调整后的多重决定系数为（ D ）A. 0.8603B. 0.8389C. 0.8655D.0.8327 2.下列样本模型中，哪一个模型通常是无效的（B ） A.iC （消费）=500+0.8iI （收入）B. di Q （商品需求）=10+0.8i I （收入）+0.9i P （价格） C. si Q （商品供给）=20+0.75i P （价格）D. iY （产出量）=0.650.6i L （劳动）0.4i K （资本）3.用一组有30个观测值的样本估计模型01122t t t ty b b x b x u =+++后，在0.05的显著性水平上对1b 的显著性作t 检验，则1b 显著地不等于零的条件是其统计量t 大于等于（ C ）A.)30(05.0t B.)28(025.0t C.)27(025.0t D.)28,1(025.0F4.模型tt t u x b b y ++=ln ln ln 10中，1b 的实际含义是（ B ）A.x 关于y 的弹性B. y 关于x 的弹性C. x 关于y 的边际倾向D. y 关于x 的边际倾向5、在多元线性回归模型中，若某个解释变量对其余解释变量的判定系数接近于１，则表明模型中存在（ C ）A.异方差性B.序列相关C.多重共线性D.高拟合优度6.线性回归模型01122......t t t k kt t y b b x b x b x u =+++++ 中，检验0:0(0,1,2,...)t H b i k ==时，所用的统计量服从( C )A.t(n-k+1)B.t(n-k-2)C.t(n-k-1)D.t(n-k+2)7. 调整的判定系数 与多重判定系数之间有如下关系( D )A.2211n R R n k -=-- B. 22111n R R n k -=---C. 2211(1)1n R R n k -=-+-- D. 2211(1)1n R R n k -=----8．关于经济计量模型进行预测出现误差的原因，正确的说法是（ C ）。
（整理）计量经济学第四章⾮线性回归模型的线性化第四章⾮线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。
但有时候变量之间的关系是⾮线性的。
例如 y t = α 0 + α11βt x + u t y t = α 0 t x e 1α+ u t上述⾮线性回归模型是⽆法⽤最⼩⼆乘法估计参数的。
可采⽤⾮线性⽅法进⾏估计。
估计过程⾮常复杂和困难，在20世纪40年代之前⼏乎不可能实现。
计算机的出现⼤⼤⽅便了⾮线性回归模型的估计。
专⽤软件使这种计算变得⾮常容易。
但本章不是介绍这类模型的估计。
另外还有⼀类⾮线性回归模型。
其形式是⾮线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利⽤线性回归模型的估计与检验⽅法进⾏处理。
称此类模型为可线性化的⾮线性模型。
下⾯介绍⼏种典型的可以线性化的⾮线性模型。
4.1 可线性化的模型⑴指数函数模型y t = t t ubx ae + (4.1)b >0 和b <0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。
显然x t 和y t 的关系是⾮线性的。
对上式等号两侧同取⾃然对数，得Lny t = Lna + b x t + u t (4.2)令Lny t = y t *, Lna = a *, 则y t * = a * + bx t + u t (4.3) 变量y t * 和x t 已变换成为线性关系。
其中u t 表⽰随机误差项。
010203040501234XY 1图4.1 y t =tt u bx ae+, (b > 0) 图4.2 y t =t+, (b < 0)⑵对数函数模型y t = a + b Ln x t+ u t(4.4)b>0和b<0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。
x t和y t的关系是⾮线性的。
令x t* = Lnx t, 则y t = a + b x t* + u t(4.5)变量y t和x t* 已变换成为线性关系。
图4.3 y t = a + b Lnx t + u t , (b > 0) 图4.4 y t = a + b Lnx t + u t , (b < 0)⑶幂函数模型y t= a x t b t u e(4.6) b取不同值的图形分别见图4.5和4.6。
线性回归方程公式线性回归是一种常见的统计学方法，用于建立一个预测目标变量与一个或多个自变量之间的线性关系模型。
它是一种广泛应用的回归方法，适用于各种领域，如经济学、金融学、社会学、生物学和工程学等。
线性回归模型可以表示为以下形式：Y = b0 + b1*X1 + b2*X2+ ... + bp*Xp，其中Y是目标变量，X1、X2、...、Xp是自变量，b0、b1、b2、...、bp是回归系数。
这个方程描述了目标变量Y与自变量X之间的线性关系，通过调整回归系数的值可以拟合数据并预测未知数据的值。
线性回归模型的目标是找到最佳拟合直线，使得预测值与实际观测值之间的误差最小化。
常用的误差衡量指标是残差平方和（RSS），也可以使用其他指标如平均绝对误差（MAE）和均方根误差（RMSE）。
线性回归模型的建立过程包括两个主要步骤：参数估计和模型评估。
参数估计是通过最小化误差来确定回归系数的值。
最常用的方法是最小二乘法，通过最小化残差平方和来估计回归系数。
模型评估是用来评估模型的拟合优度和预测能力，常用的指标包括决定系数（R^2）、调整决定系数（Adjusted R^2）和F统计量。
线性回归模型的假设包括线性关系、误差项的独立性、误差项的方差恒定以及误差项服从正态分布。
如果这些假设不成立，可能会导致模型的拟合效果不佳或不可靠的预测结果。
对于线性回归模型的建立，首先需要收集相关的数据，然后进行数据的处理和变量选择。
数据处理包括缺失值处理、异常值处理和变量转换等。
变量选择是通过统计方法或经验判断来选择对目标变量有影响的自变量。
常见的变量选择方法包括逐步回归、岭回归和lasso回归等。
在建立模型之后，需要对模型进行评估和验证。
评估模型的拟合优度是通过决定系数和F统计量来实现的，较高的决定系数和较小的F统计量表明模型的拟合效果较好。
验证模型的预测能力可以使用交叉验证等方法。
线性回归模型还有一些扩展形式，如多项式回归、加权回归和广义线性回归等。
第23讲 非线性回归方程一、必备秘籍当经验回归方程并非形如y bx a =+(,a b R ∈）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总结如下：1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；2.由经验确定非线性经验回归方程的模型；3.通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）；4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；5.消去新元，得到非线性经验回归方程；6.得出结果后分析残差图是否有异常 ． 二、例题讲解1．（2021·全国高三专题练习（文））人类已经进入大数据时代.目前，数据量级已经从TB (1TB =1024GB )级别跃升到PB (1PB =1024TB )，EB (1EB =1024PB )乃至ZB (1ZB =1024EB )级别.国际数据公司(IDC )研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49ZB ，2009年数据量为0.8ZB ，2010年增长到1.2ZB ，2011年数据量更是高达1.82ZB .下表是国际数据公司(IDC )研究的全球近6年每年产生的数据量(单位：ZB )及相关统计量的值：表中ln i i z y =，16i i z z ==∑.（1）根据上表数据信息判断，方程21c xy c e =⋅(e 是自然对数的底数)更适宜作为该公司统计的年数据量y 关于年份序号x 的回归方程类型，试求此回归方程(2c 精确到0.01).（2）有人预计2021年全世界产生的数据规模将超过2011年的50倍.根据（1）中的回归方程，说明这种判断是否准确，并说明理由.参考数据： 4.5695.58e ≈， 4.5897.51e ≈，回归方程y a bx =+中，斜率最小二乘法公式为()()()1122211n niii ii i nniij i x x y y x y nxyb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.【答案】（1） 1.520.38x y e +=；（2）见解析. 【分析】（1）设ln z y =，则12ln z c c x =+，再根据参考数据及公式即可得解（2）先将8x =代入得预计2021年数据量，进而和2011年的50倍比较大小即可得解 【详解】（1）由21c xy c e =⋅，两边同时取自然对数得()2112ln ln ln c x y c e c c x =⋅=+，设ln z y =，则12ln z c c x =+. 因为 3.5x =， 2.85z =，()62117.58i i x x=-=∑，()()616.7.i i i x x z z =--=∑，所以()()()12216.730.3817.58niii nij x x z z c x x ==--==≈-∑∑，12ln 2.850.38 3.5 1.52c z c x =-=-⨯=.所以 1.520.38ln z x y =+=， 所以 1.520.38x y e +=；（2）令8x =，得 1.520.388 4.56ˆ95.58 1.825091ye e +⨯==≈>⨯=. 预计2021年全世界产生的数据规模会超过2011年的50倍. 【点睛】关键点点睛：对于非线性回归方程的求解，一般要结合题意作变换，转化为线性回归方程来求解，同时也要注意相应数据的变化.((11ii nj x b ===∑∑再直接选择数据，字母x 没有((11n ii nj x b ===∑∑参考数据总选择需要的数据代入计算。
sklearn - 线性回归(正规方程与梯度下降)一: 线性回归方程线性回归（英语：linear regression）是利用称为线性回归方程的最小二乘函数对一个或多个自变量和因变量之间关系进行建模的一种回归分析。
这种函数是一个或多个称为回归系数的模型参数的线性组合。
只有一个自变量的情况称为简单回归，大于一个自变量情况的叫做多元回归在线性回归中，数据使用线性预测函数来建模，并且未知的模型参数也是通过数据来估计。
这些模型被叫做线性模型。
最常用的线性回归建模是给定X值的y的条件均值是X的仿射函数。
不太一般的情况，线性回归模型可以是一个中位数或一些其他的给定X的条件下y的条件分布的分位数作为X的线性函数表示。
像所有形式的回归分析一样，线性回归也把焦点放在给定X值的y的条件概率分布，而不是X 和y的联合概率分布（多元分析领域）。
线性回归有很多实际用途。
分为以下两大类：如果目标是预测或者映射，线性回归可以用来对观测数据集的和X的值拟合出一个预测模型。
当完成这样一个模型以后，对于一个新增的X值，在没有给定与它相配对的y的情况下，可以用这个拟合过的模型预测出一个y给定一个变量y和一些变量X1X1.,XpXp{displaystyleX_{1}}X_1.,{displaystyle X_{p}}X_pX1?X1?.,Xp?Xp?，这些变量有可能与y相关，线性回归分析可以用来量化y与Xj之间相关性的强度，评估出与y不相关的，XjXj{displaystyle X_{j}}X_jXj?Xj?并识别出哪些XjXj{displaystyle X_{j}}X_jXj?Xj?的子集包含了关于y的冗余信息。
使用sklearn线性回归模型(jupyter)这里我们以波士顿的房价数据来进行使用分析(一): 导入sklearnimport numpy as np# 线性回归,拟合方程,求解系数, 一次幂# 线性方程:直来直去,不拐弯from sklearn.linear_model import LinearRegression# 导入数据集from sklearn import datasets# 导入数据分离的方法(获取数据后,一部分数据用来让回归模型学习,另一部分用来预测)from sklearn.model_selection import train_test_split(二): 获取波士顿房价数据# 获取的数据是numpy,ndarray类型data = datasets.load_boston()# 该数据内有完整的影响房价的因素和完整的房价信息,本次实验就是将数据分为两部分, 一部分用来训练模型,另一部分用来预测,最后将预测出来的数据和已有的完整信息进行对比,判断该模型是否适用于这组房价数据data # 查看data的数据结构data.feature_names # 查看影响房价的属性名# x是属性,特征,未知数X = data['data']X.shape # 运行结果是(506, 13), 506表示样本是506个, 每个样本采集了13个属性特征;13个属性,需要构建构建了13元一次方程# y是房价的估值y = data['target']# X, y = datasets.load_boston(True) 获取到X, y的值和以上的一样(三): 使用模型进行预测X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y) # 将数据进行分离(默认是3:1); train_test_split(X, y)函数会随机打乱顺序display(X_train.shape, X_test.shape) # (379, 13) ; (127, 13) # 声明算法linear = LinearRegression()# 训练模型linear.fit(X_train, y_train) # X_train, y_train是之前分离出来用来训练模型的数据y_ = linear.predict(X_test).round(1) # X_test是影响房价的因素,该预测模型能根据影响房价的因素预测剩余部分的房价# 预估数据和实际数据比较print(y_)print(y_test)经过估计数据和实际数据对比,说明算法模型适用于数据(四): 自建方程预测数据与使用线性模型得到的数据对比假设波士顿的房价数据符合线性回归的特性,则我们可以通过构建线性方程来预测波士顿剩余部分的房价信息根据一次线性回归方程: f(X)=Xw+bf(X) = Xw+bf(X)=Xw+b 可推导得出: f(X)=w1x1+W2x2+.+w13x13+b f(X) = w_1x_1+W_2x_2+.+w_{13}x_{13} +bf(X)=w1?x1?+W2?x2?+.+w13?x13?+b (有13个影响房价的因素)代码如下:# 通过训练模型,可从模型中得出系数ww_ = linear.coef_# 通过训练模型,可从模型中得出截距bb_ = linear.intercept_# 自建方程def fun(w_, b_, X):return np.dot(X, w_)+b_# 调用方程得到预估的房价信息fun(w_, b_, X_test).round(1) # round(1)保留一位小数array([31.3, 13.4, 28.6, 20.5, 20.4, 19.4, 32.2, 24. , 25.8, 29.5,24.5,25.2, 31.9, 8.2, 20.9, 29.3, 22.3, 35.2, 16.4, 18.5, 30.8, 41.1,16.2, 13.7, 17.7, 23.8, 7.8, 12. , 20.5, 15.3, 29.3, 26.8, 31.8,26. , 30.4, 39.2, 25.3, 40.7, 11.6, 27.3, 16.7, 18.8, 19.5, 19.9,20.7, 22.8, 17.4, 21.6, 23.3, 30. , 25.2, 23.7, 34.2, 18.2, 33.5,16. , 28.3, 14.1, 24.2, 16.2, 16.7, 23.5, 16. , 21.4, 21.8, 28.2,25.7, 31.2, 18.8, 26.4, 28.3, 21.9, 27.5, 27.1, 27.1, 15. , 26. ,26.3, 13.2, 13.3, 26.1, 20.5, 16.8, 24.3, 36.6, 21.4, 8.3, 27.8,3.6, 19.2, 27.5, 33.6, 28.4, 34.3, 28.2, 13.3, 18. , 23.5, 30.4,32.9, 23.7, 30.5, 19.8, 19.5, 18.7, 30.9, 36.3, 8. , 18.2, 13.9,15. , 26.4, 24. , 30.2, 20. , 5.6, 21.4, 22.9, 17.6, 32.8, 22.1,32.6, 20.9, 19.3, 23.1, 21. , 21.5])# 使用sklesrn中的线性模型得到的预估房价信息linear.predict(X_test).round(1)array([31.3, 13.4, 28.6, 20.5, 20.4, 19.4, 32.2, 24. , 25.8, 29.5,24.5,25.2, 31.9, 8.2, 20.9, 29.3, 22.3, 35.2, 16.4, 18.5, 30.8, 41.1,16.2, 13.7, 17.7, 23.8, 7.8, 12. , 20.5, 15.3, 29.3, 26.8, 31.8,26. , 30.4, 39.2, 25.3, 40.7, 11.6, 27.3, 16.7, 18.8, 19.5, 19.9,20.7, 22.8, 17.4, 21.6, 23.3, 30. , 25.2, 23.7, 34.2, 18.2, 33.5,16. , 28.3, 14.1, 24.2, 16.2, 16.7, 23.5, 16. , 21.4, 21.8, 28.2,25.7, 31.2, 18.8, 26.4, 28.3, 21.9, 27.5, 27.1, 27.1, 15. , 26. ,26.3, 13.2, 13.3, 26.1, 20.5, 16.8, 24.3, 36.6, 21.4, 8.3, 27.8,3.6, 19.2, 27.5, 33.6, 28.4, 34.3, 28.2, 13.3, 18. , 23.5, 30.4,32.9, 23.7, 30.5, 19.8, 19.5, 18.7, 30.9, 36.3, 8. , 18.2, 13.9,15. , 26.4, 24. , 30.2, 20. , 5.6, 21.4, 22.9, 17.6, 32.8, 22.1,32.6, 20.9, 19.3, 23.1, 21. , 21.5])通过自建模型获取预估数据与使用模型获取预估数据进行比较,两组数据完全一致;(五): 使用线性回归,求解斜率和截距根据最小二乘法: min?w∣∣Xw?y∣∣22min_{w}||Xw-y||_2^2wmin?∣∣Xw?y∣∣22? 推到得出公式: w=(XTX)?1XTyw = (X^TX)^{-1}X^Tyw=(XTX)?1XTy 以上公式只能求出w,我们可以先求出w再计算出b;但此处我们有更简单的方法:根据线性回归方程f(x)=w1x1+w2x2+b f(x) = w_1x_1+w_2x_2+bf(x)=w1?x1?+w2?x2?+b 我们可以将方程中的b看成是w3x30w_3x_3^0w3?x30?,所以可得: f(x)=w1x11+w2x21+w3x30f(x) = w_1x_1^1+w_2x_2^1+w_3x_3^0f(x)=w1?x11?+w2?x21?+w3?x30?代码如下:import numpy as npfrom sklearn.linear_model import LinearRegressionfrom sklearn import datasetsX, y = datasets.load_boston(True)linear = LinearRegression()linear.fit(X,y)w_ = linear.coef_b_ = linear.intercept_# 向X中插入一列全是1的数据(任何数的0次方都是1)X = np.concatenate([X, np.ones(shape = (506, 1))], axis=1) # 根据最小二乘法的推导公式:w和b的值为(最后一个值是b)w = ((np.linalg.inv(X.T.dot(X))).dot(X.T)).dot(y)# 以上w的写法过于装逼,所以分解为:# A = X.T.dot(X) 求X和转置后的X的内积(公式中的XTX)# B = np.linalg.inv(A) 求A的逆矩阵(公式中的-1次方)# C = B.dot(X.T) 求以上矩阵和X的转置矩阵的内积(公式中的XT) # w = C.dot(y) 与y求内积,得出w和b运行结果:array([-1.08011358e-01, 4.64204584e-02, 2.05586264e-02, 2.68673382e+00,-1.77666112e+01, 3.80986521e+00, 6.92224640e-04, -1.47556685e+00,3.06049479e-01, -1.23345939e-02, -9.52747232e-01,9.31168327e-03,-5.24758378e-01, 3.64594884e+01])print(b_)运行结果:36.45948838509001扩展一: 最小二乘法和向量范数min?w∣∣Xw?y∣∣22min_{w}||Xw-y||_2^2wmi n?∣∣Xw?y∣∣22?右上角的2是平方右下角的2是向量2范数竖线内的表达式是向量根据最小二乘法的公式, 推导得出w=(XTX)?1XTyw = (X^TX)^{-1}X^Tyw=(XTX)?1XTy向量的1-范数(表示各个元素的绝对值的和)∣∣X∣∣1=∑i=1n∣xi∣||X||_1 = sumlimits_{i=1}^n |x_i|∣∣X∣∣1?=i=1∑n?∣xi?∣向量的2-范数(表示每个元素的平方和再开平方)∣∣X∣∣2=∑i=1nxi2||X||_2 = sqrt{suml imits_{i=1}^n x_i^2}∣∣X∣∣2?=i=1∑n?xi2?向量的无穷范数(所有向量元素绝对值中的最大值)∣∣X∣∣∞=max?1≥i≤n∣Xi∣||X||_{infty} = maxlimits_{1 geq i leq n}|X_i|∣∣X∣∣∞?=1≥i≤nmax?∣Xi?∣扩展二: 导数, 偏导数对函数f(x)=x2+3x+8f(x) = x^2+3x+8f(x)=x2+3x+8 求导得: f(x)′=2x+3f(x)' = 2x+3f(x)′=2x+3求导规则:参数求导为0参数乘变量求导为常数变量的次方求导: xyx^yxy求导为yxy?1yx^{y-1}yxy?1复合函数求导:$$(x^2-x)^2$$求导: 先将括号看成一个整体求导, 结果再乘以括号内的求导结果$$2(x^2-x)(2x-1)$$有多个变量得函数求导:对函数: f(x,y)=x2+xy+y2f(x, y) = x^2+xy+y^2f(x,y)=x2+xy+y2 求导:求导规则: 多变量函数只能针对某一个变量求导,此时将其他变量看成常数将x看成常数a: fa(y)=a2+ay+y2f_a(y) = a^2+ay+y^2fa?(y)=a2+ay+y2求导得:fa′(y)=a+2yf_a'(y) = a+2yfa′?(y)=a+2y故求导得: ?f?y(x,y)=x+2yfrac{partial f}{partial y}(x,y)=x+2y?y?f?(x,y)=x+2y实现线性回归的两种方式:正规方程梯度下降二: 正规方程(一): 损失函数最小二乘法:min?w∣∣Xw?y∣∣22minlimits_{w}||Xw-y||_2^2wmin?∣∣Xw?y∣∣22?当X和y都是常数时,按照向量2范数将上面的最小二乘法解开:f(w)=(Xw?y)2f(w)=(Xw-y)^2f(w)=(Xw?y)2将X,y替换成常数a,bf(w)=(aw?b)2f(w)=(aw-b)^2f(w)=(aw?b)2f(w)=a2w2?2abw+b2f(w)=a^2w^2 - 2abw + b^2f(w)=a2w2?2abw+b2 由于最小二乘法方程的函数值都是大雨或等于0的,所以此时得到一个开口向上的抛物线(一元二次方程)此时的f(w)f(w)f(w)就是损失函数,在此时求该函数的导数(抛物线函数顶点的导数为0)就能得到该函数的最小值,也就是最小损失f′(w)=2a2w?2ab=0f'(w)=2a^2w-2ab=0f′(w)=2a2w?2ab=0(二): 矩阵常用求导公式X的转置矩阵对X矩阵求导, 求解出来是单位矩阵dXTdX=Ifrac{dX^T}{dX} = IdXdXT?=IdXdXT=Ifrac{dX}{dX^T} = IdXTdX?=IX的转置矩阵和一个常数矩阵相乘再对X矩阵求导, 求解出来就是改常数矩阵dXTAdX=Afrac{dX^TA}{dX} = AdXdXTA?=AdAXdX=ATfrac{dAX}{dX} = A^TdXdAX?=ATdXAdX=ATfrac{dXA}{dX} = A^TdXdXA?=ATdAXdXT=Afrac{dAX}{dX^T} = AdXTdAX?=A(三): 正规方程矩阵推导过程此时X,w,y都是矩阵1: 公式化简1: 最小二乘法:f(w)=∣∣Xw?y∣∣22f(w) = ||Xw-y||_2^2f(w)=∣∣Xw?y∣∣22?2: 向量2范数:∣∣X∣∣2=∑i=1nxi2||X||_2 = sqrt{sumlimits_{i = 1}^nx_i^2}∣∣X∣∣2?=i=1∑n?xi2?3: 将向量2范数的公式带入到最小二乘法中得:f(w)=((Xw?y)2)2f(w)=(sqrt{(Xw-y)^2})^2f(w)=((Xw?y)2?)2f(w)=(Xw?y)2f(w)=(Xw-y)^2f(w)=(Xw?y)2由于X, w, y都是矩阵, 运算后还是矩阵; 矩阵得乘法是一个矩阵得行和另一个矩阵得列相乘; 所以矩阵的平方就是该矩阵乘以他本身的转置矩阵f(w)=(Xw?y)T(Xw?y)f(w)=(Xw-y)^T(Xw-y)f(w)=(Xw?y)T(Xw?y)注意: 整体转置变成每个元素都转置时,若是有乘法, 则相乘的两个矩阵要交换位置; 如下所示!f(w)=(wTXT?yT)(Xw?y)f(w)=(w^TX^T-y^T)(Xw-y)f(w)=(wTXT?yT)(Xw y)f(w)=wTXTXw?wTXTy?yTXw+yTyf(w)=w^TX^TXw-w^TX^Ty-y^TXw+y^Tyf( w)=wTXTXw?wTXTy?yTXw+yTy注意: 若想交换两个相乘的矩阵在算式中的位置,则交换之后双方都需要转置一次; 如下所示!f(w)=wTXTXw?(XTy)T(wT)T?yTXw+yTyf(w)=w^TX^TXw-(X^Ty)^T(w^T)^ T-y^TXw+y^Tyf(w)=wTXTXw?(XTy)T(wT)T?yTXw+yTyf(w)=wTXTXw?yTXw?yTXw+yTyf(w)=w^TX^TXw-y^TXw-y^TXw+y^Tyf(w)= wTXTXw?yTXw?yTXw+yTyf(w)=wTXTXw?2yTXw+yTyf(w) = w^TX^TXw - 2y^TXw + y^Ty f(w)=wTXTXw?2yTXw+yTyf(w)=wTXTXw?2yTXw+yTyf(w) = w^TX^TXw - 2y^TXw + y^Ty f(w)=wTXTXw?2yTXw+yTy这里 yTyy^TyyTy 是常数求导后为02yTXw2y^TXw2yTXw 求导:d(2yTX)wdw=(2yTX)T=2XT(yT)T=2XTyfrac{d(2y^TX)w}{dw}=(2y^TX)^ T=2X^T(y^T)^T=2X^Tydwd(2yTX)w?=(2yTX)T=2XT(yT)T=2XTy wTXTXww^TX^TXwwTXTXw求导:dwTXTXwdw=d(wTXTX)wdw+dwT(XTXw)dw=(wTXTX)T+XTXw=XT(XT)T(wT)T +XTXw=2XTXwfrac{dw^TX^TXw}{dw}=frac{d(w^TX^TX)w}{dw}+frac{dw^T(X^TXw)}{dw}=(w^TX^TX)^T+X^TXw=X^T(X^T)^T(w^T)^T+X^TXw=2X^TXwdwd wTXTXw?=dwd(wTXTX)w?+dwdwT(XTXw)?=(wTXTX)T+XTXw=XT(XT)T(wT)T+XT Xw=2XTXwf′(w)=2XTXw?2XTyf'(w) = 2X^TXw - 2X^Tyf′(w)=2XTXw?2XTy令f′(w)=0f'(w)=0f′(w)=0,则:2XTXw?2XTy=02X^TXw - 2X^Ty = 02XTXw?2XTy=0XTXw=XTyX^TXw=X^TyXTXw=XTy矩阵运算没有除法,可以用逆矩阵实现除法的效果等式两边同时乘以XTXX^TXXTX的逆矩阵(XTX)?1(X^TX)^{-1}(XTX)?1 (XTX)?1(XTX)w=(XTX)?1XTy(X^TX)^{-1}(X^TX)w=(X^TX)^{-1}X^Ty(X TX)?1(XTX)w=(XTX)?1XTyIw=(XTX)?1XTyIw=(X^TX)^{-1}X^TyIw=(XTX)?1XTy I是单位矩阵得到正规方程:w=(XTX)?1XTyw=(X^TX)^{-1}X^Tyw=(XTX)?1XTy(四): 数据挖掘实例(预测2020年淘宝双十一交易额)import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn.linear_model import LinearRegressionX = np.arange(2009, 2020) # 年份X = X -2008 # 年份数值太大,差别不明显y = np.array([0.5, 9.36, 52, 191, 350, 571, 912, 1207, 1682, 2135, 2684]) # 09年到19年的交易额假设X和y之间是一元三次的关系(按照前几年的数据走势提出的假设)f(x)=w1x+w2x2+w3x3+bf(x)=w_1x+w_2x^2+w_3x^3+bf(x)=w1?x+w2?x2 +w3?x3+bf(x)=w0x0+w1x1+w2x2+w3x3f(x)=w_0x^0+w_1x^1+w_2x^2+w_3x^3f(x) =w0?x0+w1?x1+w2?x2+w3?x3# X_oo = np.concatenate([a,a]) # 横着级联X_train = np.c_[X**0, X**1, X**2, X**3] # 竖着级联array([[ 1, 1, 1, 1],[ 1, 2, 4, 8],[ 1, 3, 9, 27],[ 1, 4, 16, 64],[ 1, 5, 25, 125],[ 1, 6, 36, 216],[ 1, 7, 49, 343],[ 1, 8, 64, 512],[ 1, 9, 81, 729],[ 1, 10, 100, 1000],[ 1, 11, 121, 1331]], dtype=int32)linear = LinearRegression(fit_intercept=False) # 声明算法; fit_intercept=False将截距设置为0, w0就是截距linear.fit(X_train, y) # 训练w_ = linear.coef_print(linear.coef_.round(2)) # 获取系数print(linear.intercept_) # 获取截距[ 58.77 -84.06 27.95 0.13]可以得到方程:f(x)=58.77?84.06x+27.95x2+0.13x3f(x)=58.77-84.06x+27.95x^2+0 .13x^3f(x)=58.77?84.06x+27.95x2+0.13x3X_test = np.linspace(0,12,126) # 线性分割(将0,12之间分成126分)等差数列包含1和12X_test = np.c_[X_test**0, X_test**1, X_test**2, X_test**3] # 和训练数据保持一致y_ = linear.predict(X_test) # 使用模型预测plt.plot(np.linspace(0,12,126), y_, color='g') # 绘制预测方程曲线plt.scatter(np.arange(1,12), y, color='red') # 绘制每年的真实销量# 定义函数fun = lambda x : w_[0] + w_[1]*x + w_[2]*x**2 + w_[-1]*x**3 '''3294.2775757576132'''三: 梯度下降梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程。
高中数学知识点：线性回归方程
线性回归方程是高中数学中的一个重要知识点。
其中，回归直线是指通过散点图中心的一条直线，表示两个变量之间的线性相关关系。
回归直线方程可以通过最小二乘法求得。
具体地，可以设与n个观测点（xi，yi）最接近的直线方程为
y=bx+a，其中a、b是待定系数。
然后，通过计算n个偏差的平方和来求出使Q为最小值时的a、b的值。
最终得到的直线方程即为回归直线方程。
需要注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义。
因此，在进行线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性。
另外，求回归直线方程时，需要仔细谨慎地进行计算，避免因计算产生失误。
回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用。
这种方程可以将非确定性问题转化为确定性问题，从而使“无序”变得“有序”，并对情况进行估测和补充。
因此，研究回归直线方程后，学生应更加重视其在解决相关实际问题中的应用。
注：原文已经没有格式错误和明显有问题的段落。
回归线性方程公式
回归线性方程是统计学中反映数据之间关系的重要统计模型，它
具有表达力强，数值运算简单的特性。
它是利用建立数据之间关系的
拟合性模型，以数学的方式描述一个数量和另一个数据之间的联系，
从而找到一个具有可预测作用的测量模型。
线性回归方程可以用一个
函数来描述离散点或一组数据点之间的联系，通过线性拟合法来确定
线性回归方程。
回归线性方程的一般形式为：y = ax + b，其中ax+b是系数，y
是自变量（x）的应变量，a是斜率，b是常数项。
基于已有的观测值
来求解系数时，需要使用最小二乘法来解决，系数的最优解为使得误
差平方和最小的可行解。
例如，已知一组观测数据的x和y的坐标，
假设存在一个未知的函数，其输入是x，输出是y，则经过多次观测，
可以找到该函数的表达式为y=ax+b，其中a与b是待求参数。
回归线性方程不仅可以用于反映数据之间的相关性，还可以运用
在统计学中，用来分析两个变量之间的关系，并进行预测。
回归线性
方程是统计学家根据已有数据提出一种对数据进行统计推断的先进方式。
它不但提供了一个简单易用的方法来把数据和理论结合，而且也
可以智能地逃避直接的、实证的假设。
回归线性方程是统计学的重要工具，它利用模型来表达数据之间
的关系，从而帮助提高对现实情况的预测能力。
它是一种强大、易用
的统计分析方式，能够有效地帮助人们分析数据，并作出正确地预测，以更好地利用数据资源。
高中数学线性回归方程
线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一。
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线性回归方程的分析方法
分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
线性回归方程的例题求解
用最小二乘法估计参数b,设服从正态分布,分别求对a、b的偏导数并令它们等于零，得方程组解得。
其中，且为观测值的样本方差.线性方程称为关于的线性回归方程,称为回归系数,对应的直线称为回归直线.顺便指出,将来还需用到,其中为观测值的样本方差。
先求x,y的平均值。
利用公式求解：b=把x,y的平均数带入a=y-bx。
求出a=是总的公式y=bx+a线性回归方程y=bx+a过定点。
(x为xi的平均数，y为yi的平均数)
线性回归方程两个重要公式。
非线性化模型的线性化方法总结在学习计量经济学过程中，我们所接触的经济学模型不仅仅是线性的，许多实际经济活动中的经济模型都是非线性的，例如恩格尔曲线表现为幂函数曲线形式，菲利普斯曲线表现为双曲线形式，下面介绍三种非线性模型的转化方法，分别适应于不同的模型：一、直接置换法：直接替换模型中原有的非线性变量。
适用模型如下：（1）倒数（双曲线）模型：0111u Q P ββ=++，可以用1Y Q =,1X P=来置换，变为01Y X u ββ=++（2）多项式模型：2012Y t t u βββ=+++，可以用212,X t X t ==来置换变为： 0122Y X X u βββ=+++（3）对数模型： 01ln Y X u ββ=++，将1ln X X=带入原式进行置换，得到：011Y X u ββ=++二、函数变换法：通过函数变化，如取对数、移项等方式对原模型进行变形以得到线性化模型：12(,,,)k Y f X X X u =⋅⋅⋅+（1） 幂函数模型：u Q AK L e αβ=，方程两边取对数，得到：ln ln ln ln Q A K L u αβ=+++再对上式进行置换。
（2）指数函数模型：Q uC ab e =，方程两边取对数得到：ln ln ln C a Q b u =++，再对上式进行置换。
三、级数展开法：如CES 函数112()p p u pQ A K L e δδ---=+，方程两边取对数得到：121ln ln ln()p p Q A K L u pδδ--=-++，将式中12ln()p p K L δδ--+在p=0处展开泰勒级数，取关于p 的线性项，即得到一个线性近似式，如取0阶、1阶、2阶项，可得:212121ln ln ln ln [ln()]2K Y A K L p Lδδδδ=++- （备注：无法线性化的模型一般为：12(,,,)k Y f X X X u =⋅⋅⋅+，其中12(,,,)k f X X X ⋅⋅⋅为非线性函数）。
线性回归方程——非线性方程转化为线性方程例1．(2015·高考全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x i 和年销售量y i (i =1,2,⋯,8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.x̅ y ̅ w ̅46.6 563 6.8289.81.61469108.8表中w i =√x i ，w ̅ =18∑w i 8i=1．（I ）根据散点图判断，y =a +bx 与y =c +d √x ，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z =0.2y −x ，根据（II ）的结果回答下列问题： （i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2)，…，(u n ,v n ),其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β̂=∑(u i −u)(v i −v)ni=1∑(u i −u)2ni=1，α̂=v −β̂u . 【答案】(Ⅰ)y =c +d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；(Ⅱ)y ̂=100.6+68√x ；(Ⅲ)(i)答案见解析；(ii)46.24千元.【解析】（I ）由散点图可以判断，y =c +d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.（II ）令w =√x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d ̂=∑(w i −w)(y i −y)8i=1∑(w i −w)28i=1=108.81.6=68， ∴ĉ=y −d ̂w =563−68×6.8=100.6， ∴y 关于w 的线性回归方程为y ̂=100.6+68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ̂=100.6+68√x .（III ）(ⅰ)由（II ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值y ̂=100.6+68√49=576.6， 年利润z 的预报值为ẑ=576.6×0.2−49=66.32.（ⅱ）根据（II ）的结果知，年利润z 的预报值ẑ=0.2(100.6+68√x)−x =−x +13.6√x +20.12， 所以当√x =13.62=6.8，即x =46.24时，ẑ取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.例2．某地级市共有200000中小学生，其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5:3:2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元。
概率统计——非线性回归方程非线性回归是通过非线性函数来建立因变量与自变量之间的关系。
在实际问题中，很多现象都无法用简单的线性模型来描述，因此非线性回归成为了统计学中重要的工具之一、在本文中，我们将介绍非线性回归方程的学生版。
首先，我们来回顾一下线性回归方程的基本形式。
线性回归方程可以表示为：y = β0 + β1*x1 + β2*x2 + ... + βn*xn + ε其中，y表示因变量，x1, x2, ..., xn 表示自变量，β0,β1, ..., βn表示线性回归方程的系数，ε表示误差项。
而非线性回归方程则基于线性回归方程进行了一定的扩展和变化，使其可以更好地描述实际问题中的非线性关系。
非线性回归方程的形式可以表示为：y = f(x1, x2, ..., xn; β1, β2, ..., βk) + ε其中，f(x1, x2, ..., xn; β1, β2, ..., βk) 表示非线性回归方程的非线性函数部分，β1, β2, ..., βk 表示非线性回归方程的系数，ε表示误差项。
在实际问题中，非线性回归方程的形式是根据具体问题的特点而确定的，因此不同的问题可能会有不同的非线性函数形式。
常见的非线性函数形式有指数函数、对数函数、幂函数、多项式函数等。
在建立非线性回归方程时，一般需要经过以下几个步骤：1.数据的收集和准备：首先需要收集相关的样本数据，并对数据进行清洗和整理。
2.模型的选择：根据问题的特点，选择合适的非线性函数形式来建立非线性回归方程。
这一步需要依靠相关的统计方法和领域知识来确定。
3.参数的估计：利用最小二乘法或其他合适的统计方法来估计非线性回归方程中的参数。
参数的估计可以通过解析法、迭代法、数值优化算法等来实现。
4.模型的检验和评估：在参数估计之后，需要对建立的非线性回归方程进行检验和评估。
常见的方法有残差分析、拟合优度检验、参数显著性检验等。
这些方法可以用来评估模型的拟合程度和可靠性。
线性回归方程——非线性方程转化为线性方程例1．(2015·高考全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x i 和年销售量y i (i =1,2,⋯,8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.x̅ y ̅ w ̅46.6 563 6.8289.81.61469108.8表中w i =√x i ，w ̅ =18 ∑w i 8i=1，，I ）根据散点图判断，y =a +bx 与y =c +d √x ，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；，II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z =0.2y −x ，根据（II ）的结果回答下列问题： （i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1,v 1) (u 2,v 2) ，…，(u n ,v n ) 其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β̂=∑(u i −u)(v i −v)ni=1∑(u i −u)2ni=1，α̂=v −β̂u . 【答案】(Ⅰ)y =c +d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；(Ⅱ)y ̂=100.6+68√x ；(Ⅲ)(i)答案见解析；(ii)46.24千元.【解析】（I ）由散点图可以判断，y =c +d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型. （II ）令w =√x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d̂=∑(w i −w)(y i −y)8i=1∑(w i −w)28i=1=108.81.6=68，∴ĉ=y −d ̂w =563−68×6.8=100.6， ∴y 关于w 的线性回归方程为y ̂=100.6+68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ̂=100.6+68√x .（III ）(ⅰ)由（II ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值y ̂=100.6+68√49=576.6， 年利润z 的预报值为ẑ=576.6×0.2−49=66.32.，ⅱ）根据（II ）的结果知，年利润z 的预报值ẑ=0.2(100.6+68√x)−x =−x +13.6√x +20.12， 所以当√x =13.62=6.8，即x =46.24时，ẑ取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.例2．某地级市共有200000中小学生，其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5:3:2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元。
经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加n%，一般困难的学生中有3n%会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有2n%转为一般困难，特别困难的学生中有n%转为很困难。
现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份x取13时代表2013年，x与y（万元）近似满足关系式y=C1⋅2C2x，其中C1,C2为常数。
（2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变）其中k i=log2y i，k̅=15∑5i=1k i（Ⅰ）估计该市2018年人均可支配年收入；（Ⅰ）求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？附：对于一组具有线性相关关系的数据(u1,v1),(u2,v2),⋯,(u n,v n)，其回归直线方程v=βu+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为β̂=∑ni=1(u i−u̅)(v i−v̅)∑n i=1(u i−u̅)2,α̂=v̅−β̂u̅.【答案】（Ⅰ）2.8（万）;（Ⅱ）1624万.【详解】（Ⅰ）因为x̅=15(13+14+15+16+17)=15，所以∑5i=1(x i−x̅)2=(−2)2+(−1)2+12+22=10.由k=log2y得k=log2C1+C2x，所以C2=∑5i=1(x i−x̅)(k i−k̅)∑5i=1(x i−x̅)2=110，log2C1=k̅−C2x̅=1.2−110×15=−0.3，所以C1=2−0.3=0.8，所以y=0.8×2x10.当x=18时，2018年人均可支配年收入y=0.8×21.8=0.8×3.5=2.8（万）（Ⅱ）由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共200000×7%=14000人一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人， 2018年人均可支配收入比2017年增长0.8×21.8−0.8×21.70.8×21.7=20.1−1=0.1=10%所以2018年该市特别困难的中学生有2800×(1-10%)=2520人，很困难的学生有4200×(1-20%)+2800×10%=3640人一般困难的学生有7000×(1-30%)+4200×20%=5740人.所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为5740×1000+3640×1500+2520×2000=1624万.例3．近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表l 所示： 表1根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图．(1)根据散点图判断，在推广期内，y =a +bx 与y =c ⋅d x (c，d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)，(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，求y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次； 参考数据：其中υi =1gy i ,υ=17∑υi 7i=1参考公式：对于一组数据(u 1,υ1),(u 2,υ2),⋅⋅⋅,(u n ,υn )，其回归直线υ̂=a ̂+β̂u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β̂=∑u i υi −nuυni=1∑u i 2−nu 2ni=1,a ̂=υ−β̂u ̂. 【答案】（1）y =c ⋅d x ，2，3470【详解】（1）根据散点图判断，y =c ⋅d x 适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型； （2）∵y =c ⋅d x ，两边同时取常用对数得：1gy =1g(c ⋅d x ) =1gc +1gd ⋅x ， 设1gy =v, ∴v =1gc +1gd ⋅x∵x =4,v =1.54, ∑x i 27i=1=140， ∴l g ̂d =∑x i v i 7i=1−7xv ∑x i2−7x 27i=1=50.12−7×4×1.54140−7×42=728=0.25，把样本中心点(4,1.54)代入v =1gc +1gd ⋅x ,得: l g ̂c =0.54， ∴v ̂=0.54+0.25x ，∴l g ̂y =0.54+0.25x ，∴y 关于x 的回归方程式：y ̂=100.54+0.25x =100.54×(100.25)x =3.47×100.25x，把x =8代入上式，y ̂=3.47×102=347， 活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470，例4．近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．图1 图2（1）记“在2017年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在(8 , 16]”为事件A ，试估计A 的概率； （2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中x (单位：年)表示二手车的使用时间，y (单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用y =e a+bx 作为二手车平均交易价格y 关于其使用年限x 的回归方程，相关数据如下表（表中Y i =lny i ，Y =110∑Yi 10i=1，，①根据回归方程类型及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格4%的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格10%的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．附注：①对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),⋯(u n ,v n )，其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β̂=∑u i v i n i=1−nu̅ v ̅∑u i 2ni=1−nu ̅2,α̂=v̅−β̂ u ̅， ②参考数据：e 2.95≈19.1 , e 1.75≈5.75 , e 0.55≈1.73 , e −0.65≈0.52 , e −1.85≈0.16，【答案】（1）0.40；（2）y ̂=e 3.55−0.3x 0.29万元【详解】（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在(8,12]的频率为0.07×4=0.28，在(12,16]的频率为0.03×4=0.12 ,所以P (A )=0.28+0.12=0.40，（2）①由y =e a+bx 得lny =a +bx ，即Y 关于x 的线性回归方程为Ŷ=a +bx ， 因为b ̂=∑x i Y i −10x̅⋅Y ̅10i=1∑x i 2−10x̅210i=1=79.75−10×5.5×1.9385−10×5.52=−0.3，a ̂=Y ̅−b ̂⋅x̅=1.9−(−0.3)×5.5=3.55 所以Y 关于x 的线性回归方程为Y ̂=3.55−0.3x ， 即y 关于x 的回归方程为y ̂=e 3.55−0.3x ②根据①中的回归方程y ̂=e 3.55−0.3x 和图1，对成交的二手车可预测：使用时间在(0，4]的平均成交价格为e 3.55−0.3×2=e 2.95≈19.1，对应的频率为0.2， 使用时间在(4，8]的平均成交价格为e 3.55−0.3×6=e 1.75≈5.75，对应的频率为0.36， 使用时间在(8，12]的平均成交价格为e 3.55−0.3×10=e 0.55≈1.73，对应的频率为0.28，使用时间在(12，16]的平均成交价格为e3.55−0.3×14=e−0.65≈0.52，对应的频率为0.12，使用时间在(16，20]的平均成交价格为e3.55−0.3×18=e−1.85≈0.16，对应的频率为0.04所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为(0.2×19.1+0.36×5.75)×4%+(0.28×1.73+0.12×0.52+0.04×0.16)×10% =0.29092≈0.29万元例5．菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x(单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y(单位：微克)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． y （微克）x （千克）其中ω=x 2（I ）根据散点图判断，y ̂=bx +a 与y ̂=dx 2+c ，哪一个适宜作为蔬菜农药残量y ̂与用水量x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；(Ⅱ)若用解析式y ̂=dx 2+c 作为蔬菜农药残量y ̂与用水量x 的回归方程，求出y ̂与x 的回归方程．(c ，d 精确到0.1) (Ⅲ)对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精确到0.1，参考数据√5≈2.236) 附：参考公式：回归方程y ̂=a ̂+b̂x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b ̂=∑(x i −x̅)(y i −y ̅)n i=1∑(x i −x̅)2n i=1, a ̂=y ̅−b ̂x̅ 【答案】（1）见解析； （2）y ̂=−2.0x 2+60.0；（3）需要用4．5千克的清水清洗一千克蔬菜. 【详解】（I ）根据散点图判断y ̂=dx 2+c 适宜作为蔬菜农药残量y ̂与用水量x 的回归方程类型； （Ⅱ）令w =x 2，先建立y 关于w 的线性回归方程， 由于d̂=∑(w i −w )8i=1(y i −y )∑(w i −w )8i=12=−751374≈−2.0，∴ĉ=y −d̂w =38+2×11=60． ∴y 关于w 的线性回归方程为y ̂=−2.0w +60.0， ∴y 关于x 的回归方程为y ̂=−2.0x 2+60.0．(Ⅲ)当y ̂<20时，−2.0x 2+60.0<20 ，x >2√5≈4.5∴为了放心食用该蔬菜，估计需要用4．5千克的清水清洗一千克蔬菜。
