2019天津市高二上学期数学期末考试试题

故选：C 【点睛】此题考查椭圆的几何意义，椭圆上的点到两焦点距离之和为定值，求解中要多观察
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图形的几何特征，将所求问题进行转化，简化计算.
6.已知双曲线 C： x2 a2
y2 b2
1 的一条渐近线的倾斜角为 60 ，且与椭圆
椭圆的离心率为______．
1
【答案】
4
【解析】 【分析】 利用已知条件列出方程组，求解 a、c，得到椭圆的离心率． 【详解】解：椭圆 G 的中心在坐标原点，焦距为 4，且椭圆上一点到椭圆焦点的最小距离为 6，
2c 4 a c 6 ，解得 a 8 ， c 2 ， 所以椭圆的离心率为： e c 1 ．
4.抛物线 y2 4x 的焦点坐标是（）
A. 1，0
B. 1，0
C. 2，0
D. 2，0
【答案】B 【解析】
根据抛物线的标准方程为 y2 4x 画出图像可得准线方程为： x 1, 故焦点坐标为 1，0 .
故答案为 B． 5.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 x2 ＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一
y0 ) 是双曲线 C ：
x2 2
y2
1上的一点， F1 ， F2 是 C 的两个焦点，若
MF1 MF2 0 ，则 y0 的取值范围是（ ）
A. ( 3 , 3 ) 33
B. ( 3 , 3 ) 66
C. ( 2 2 , 2 2 )
D.
33
( 2 3 , 2 3) 33
【答案】A
【解析】
由题知
线于 M，

高二数学第一学期期末联考一、选择题（每题 5 分，共 8 小题，共40 分）1 2ii ，则z （）1．复数zi1A． 0 B．C． 1 D．2．已知等差数列an 的公差为2，前项和为，且，则a8 的值为（）A． 16 B． 15 C． 14 D． 133．以下表达中正确的选项是（）A．若a,b, c R ，则“x R, ax2 bx c 0 ”的充足条件是“b2 4ac 0 ”B．若a,b, c R ，则“ab2 cb2”的充要条件是“ a c ”C．命题“x R, x2 0 ”的否认是“x0 R, x0 2 0 ”D．a n是等比数列，则0 q 1是a n 为单一递减数列的充足条件4．已知直线2 2x y 4 2 0 经过椭圆x2y2 1(a b 0) 的左焦点F1，且与椭a 2 b2圆在第二象限的交点为M ，与y轴的交点为N，F2是椭圆的右焦点 ,且MN MF2，则椭圆的方程为（）A． x2 y2 1 B． x2 y 2 1 C． x2 y2 1 D． x2 y2 140 4 5 10 9 5 5．如下图，在长方体ABCD － A 1B1C1D1中， AD ＝AA 1＝ 2，AB ＝ 4，点 E 是棱 AB 的中点，则点 E 到平面 ACD 1的距离为（）A．2B．13D． 2C．36．已知，，则是的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件7．已知函数是定义在 R 上的偶函数，当x 0 时， xf '( x) f ( x) ，若，则不等式 x f (x) 0 的解集为（）A．或B．或C．或D．或8．过双曲线x2y2 1 的左焦点作圆x2 y2 a2的切线，切点为，延伸交a2 b2抛物线 y 2 4cx 于点，若 F1E 1F1P ，则双曲线的离心率是（）2A．15B．123 C． 3 5 D． 52 2 2二、填空题（每题 5 分，共 6 小题，共 30 分）9．已知方程x2 y2 1表示椭圆，则的取值范围为 __________.5 k 4 2k10．设公比为的正项等比数列的前项和为，且，若，则__________.11．在正四周体P ABC 中，棱长为uur uuur2，且 E 是棱中点，则PE BC的值为 __________.．已知，，且 1 1 1 ，则 4a 2b b的最小值等于__________.12 a b a13．设抛物线y2 2 px （p 0 ）的焦点为F，准线为 l .过焦点的直线分别交抛物线于A, B 两点，分别过A, B 作 l 的垂线，垂足为 C , D . 若 AF 3 BF ，且三角形CDF的面积为3，则p的值为 ___________.14．已知函数f ( x) e x3k ln x k(1 x) ，若 x 3是函数独一的极值点，则实数的x3取值范围为 __________.三、解答题（共 6 小题，共80 分）15．（ 13 分）数列的前项和为，已知 a1 1，(2n 1)a n 1 (2 n 3)S n.此中n N *（Ⅰ）证明：数列S n是等比数列；2n 1（Ⅱ）求数列S n的前项和.16 13 分）已知函数 f ( x) ln( x a) x2x在 x0 处获得极值 .．（（Ⅰ）求函数 f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线方程；（Ⅱ）若对于 的方程 f ( x)5 x b 在区间 上恰有两个不一样的实数根，务实数的取2值范围 .．（ 13 分）在如下图的多面体中，EA 平面 ABC ， DB 平面 ABC ， ACBC ，17且AC BC BD 2AE 2，M 是 AB 的中点 .（Ⅰ）求证： CMEM ；（Ⅱ）求平面 EMC 与平面 BCD 所成的二面角的正弦值；（Ⅲ）在棱 DC 上能否存在一点 N ，使得直线 MN 与平面 EMC 所成的角是 60 . 若存在，指出点 N 的地点；若不存在，请说明原因 .18．（ 13 分）已知数列 a n 知足 a 11， a n 111N *，此中 n4a n（Ⅰ）设 b n2 ，求证：数列b n是等差数列，并求出 a n 的通项公式；2a n1（Ⅱ）设 c n4a n ，数列 c n c n 2 的前 n项和为 Tn，能否存在正整数1m ，使得 Tnn 1c mcm 1对于 n N * 恒成立，若存在，求出m 的最小值，若不存在，请说明原因 .．（ 分）已知椭圆x 2y 2的离心率 e1 4,0 ，C ：1(a b 0)，左极点为 A1914a 2b 22过点 A 作斜率为 k k0 的直线 l 交椭圆 C 于点 D ，交 y 轴于点 E . O 点为坐标原点 .（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）已知P 为 AD 的中点，能否存在定点Q ，对于随意的k k 0 都有OP EQ ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明原因；OM（Ⅲ）若过 O 点作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点M，求的最大值.AD AE2014分）已知函数f ( x) ln x 2x ax， a R.．（ 2（Ⅰ）若在处获得极值，求的值；（Ⅱ）设 g (x) f (x) (a 4) x ，试议论函数g(x) 的单一性；（Ⅲ）当时，若存在正实数满足 f (x1) f (x2 ) 3x1 x2 x1 x2，求证：x1 x2 1 . 2高二数学参照答案1 D2 B3 C4 D5 B6 A7 C8 A95 k 2且 k 1111 126436 e310 2 13 14 k3 2 271512 .6 1.-. 716.Q f (1) ln 2 2 f ' ( 1 ) 5 2切线方程为：5x 2 y 1 2ln 2 0 6（Ⅱ）由知，得令则等价于在上恰有两个不一样的实数根，上恰有两个不一样实数根.当当时，时，，于是，于是上单一递加；在上单一递加；依题意有解得. 7分．（Ⅰ）证明：∵ AC BC ，M是AB的中点，∴ CM AB ，17又 EA 平面 ABC ，∴ CM EA ，∵ EA AB A，∴CM 平面 AEM ，∴ CM EM ． 3 分（Ⅱ）以 M 为原点，分别以MB ，MC为x，y 轴，如图成立坐标系M xyz ．则：M 0,0,0 ， C 0, 2,0 ， B 2,0,0 ， D 2,0, 2 ， E 2,0,1 ，ME 2,0,1 ， MC 0, 2,0 ，BD 0,0,2 ，BC 2, 2,0 ，设平面 EMC 的一个法向量m x1, y1 , z12x1 z1 0 ，则：{ ，2 y1 0取 x1 1， y1 0 ， z1 2 ，因此m 1,0, 2 ，设平面 DBC 的一个法向量n x2 , y2 , z2 ，则：2x2 2 y2 0,{2 y2 0,x1 1 y1 1 z1 0n 1,1,0cos m n m n 1 6 m n 2 3 6EMCBCD305 6DCNMNEMC 60N x, y, z DN DC 0 1x 2, y, z 2 2, 2, 2x 2 2y 2z 2 2MN 2 2 , 2,2 2 MN EMC 60cos MN , m2 2 2 2 2sin603 3 2 1 2 2 24 1 2 212DCNMNEMC60NDC 518b n 1 b n 2 2 2 2 4a n 2 22a n 1 1 2a n 1 1 2a n 1 2a n 1 2a n 112 1 4anb na1 1, b1 2 b n 2 n 1 2 2nb n2a nn 12a n 1 2n.6 c n 2cncn 24 2( 1 1 )n n n 2 n n 2T n1 1 1 1 1 1 12 12 4 n 1 n 1 n n 23因此 T n2 1 1 1 1 1 ，2 n n 2由于 nN ，因此 T n 3 恒成立，依题意要使 T n1对于 nm m 13 ，且 m0 解得 m 3 ，c mN *，恒成立，只要 4cm 1m 的最小值为 3 .分719．（Ⅰ）∵左极点为A4,0∴ a4又∵ e1 ∴ c 22又∵ b 2 a 2 c 212∴椭圆 C 的标准方程为 x 2y 2 1 ．3分16 12x 2 y 21kx2（Ⅱ）直线 l 的方程为 yk x 4 ，由{ 1612 消元得 x 2412 1yk x 4 16化简得，x 4 4k 2 3 x 16 k 212，则x 14, x 216k 2 124k 2316k212 时，y k 16k 2 12 424k当x，4k 234k 2 34k 2 316k 212 ， 24k∴ D 4k 23 234k ∵点 P 为AD 的中点∴点 P 的坐标为16k 212k，则 k op 3 0 .4k 2， 2 3 k3 4k4k直 线 l 的 方 程 为 y k x4 ， 令 x 0 ， 得 点 E 的 坐 标 为 0，4k ， 假 设 存在 定 点Q m, n m0使得OPEQ ,则 k OP k EQ1，即 3n 4k14k ? m恒成立，∴ 4m12 k 3n 0 恒成立4m 12 0m -3∴ {0 即 {n3n∴定点 Q 的坐标为 3，0 .5 分（Ⅲ）∵ OM / / lx 2 y 243 ∴ OM 的方程可设为 y kx，由{ 16 1得 M 点的横坐标为 x124k 2 3ykx由 OMl ，得x D x A x E x A 16k 2 1282AD AEx D 2x A 4k 2 31 4k 9 OMx Mx M4 3 34k 2 34k 2314k 2 36 2 2 ，34k 2 3当且仅当6 34k 23即k3时取等号，4k 22∴当 k3时， AD AE2．OM 的最小值为 22因此，原式最大值为2分6420．（Ⅰ）解：由于f ( x) ln x 2 x ax 2 ，因此 f '( x) 12 2ax ，x由于 在 处获得极值，因此 f '(1)1 2 2a3 ．，解得 a2考证：当 a3 时， 在处获得极大值．3分2（Ⅱ）解：由于 g( x) f ( x) (a4) xln x ax 2 ( a 2)x因此．①若，则当时， ，因此函数在上单一递加；当 时，， 函数在上单一递减．②若，，当时，易得函数在和上单一递加，在上单一递减；当时，恒成立，因此函数在上单一递加；当时，易得函数在和上单一递加，在上单一递减． 5 分（Ⅲ）证明：当时，f ( x) ln x 2x ax2，由于 f (x1) f (x2 ) 3x1 x2 x1 x2，因此，即，因此．令，，则，当时，，因此函数在上单一递减；当时，，因此函数在上单一递加．因此函数在时，获得最小值，最小值为．因此，即，因此或．由于为正实数，因此．当时，，此时不存在知足条件，因此． 6 分倚窗远眺，眼光眼光尽处必有一座山，那隐隐约约的黛绿色的影，是春季的颜色。

天津市部分区2019-2020学年上学期期末考试高二数学试卷一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为（）A. （﹣3，0），（3，0）B. （0，﹣3），（0，3）C. （﹣，0），（，0）D. （0，﹣），（0，）2.命题“∃x 0∈（0，+∞），使得＜”的否定是（）∈（0，+∞），使得A. ∃xB. ∃x∈（0，+∞），使得C. ∀x∈（0，+∞），均有e x＞xD. ∀x∈（0，+∞），均有e x≥x3.若复数（为虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.4.设R，则“＞1”是“＞1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.设公比为﹣2的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝，则a4等于（）A. 8B. 4C. ﹣4D. ﹣86.已知函数f（x）＝lnx﹣，则f（x）（）A. 有极小值，无极大值B. 无极小值有极大值C. 既有极小值，又有极大值D. 既无极小值，又无极大值7.在数列{a n}中，a1＝3，a n+1＝2a n﹣1（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A. a n＝2n+1B. a n＝4n﹣1C. a n＝2n+1D. a n＝2n﹣1+28.在空间四边形ABCD中，向量＝（0，2，﹣1），＝（﹣1，2，0），＝（0﹣2，0），则直线AD与平面ABC所成角的正弦值为（）A. B. C. － D. －9.已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝8x的准线分别交于M，N两点，A为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且△AMN为正三角形，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.10.已知f（x）是定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，且满足f′（x）+f（x）＜0，设g（x）＝e x•f（x），若不等式g（1+t2）＜g（mt）对于任意的实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A. （﹣∞，0）∪（4，+∞）B. （0，1）C. （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D. （﹣2，2）二、填空题．11.曲线f（x）＝2x+在点（1，3）处的切线方程为____．12.已知向量＝（2，﹣1，3）与＝（3，λ，）平行，则实数λ的值为____．13.已知a，b均为正数，4是2a和b的等比中项，则a+b的最小值为_____．14.设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝2，S9＝6a8，则数列{}的前10项的和为_____．15.已知离心率为的椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若＝0，且△PF1F2的面积为4，则椭圆的方程为_____．三、解答题：解答应写出文宇说明、证明过程成演算步骤．16.已知复数z＝（m2+2m）+（m2﹣2m﹣3）i，m∈R（i为虚数单位）．（Ⅰ）当m＝1时，求复数的值；（Ⅱ）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝（n∈N*），正项等比数列{b n}满足b1＝a1，b5＝a6．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设∁n＝a n•b n，求数列{∁n}的前n项和T n．18.如图，已知多面体ABC﹣A1B1C1中，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，AB⊥AC，AA1＝4，CC1＝1，AB＝AC ＝BB＝2．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值．19.已知椭圆C：+y2＝1．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）若直线l：y＝x+m（m为常数）与C交于不同的两点A和B，且，其中O为坐标原点，求线段AB的长．20.已知函数f（x）＝x3﹣x2+x，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x）在区间[，2]上单调递增，求a的取值范围；（Ⅲ）当m＜0时，试判断函数g（x）＝-其中f′（x）是f（x）的导函数）是否存在零点，并说明理由．天津市部分区2019-2020学年上学期期末考试高二数学试卷参考答案一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为（）A. （﹣3，0），（3，0）B. （0，﹣3），（0，3）C. （﹣，0），（，0）D. （0，﹣），（0，）【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的标准方程直接计算。

高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．62．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．23．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．25．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．510．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为．12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k 的取值范围是．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：由题意可得：==1，解得a=5．故选：C．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．2【分析】利用双曲线方程求解实半轴的长，半焦距的长，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线=1，可知a=2，b=1，c==，所以双曲线的离心率是=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．3．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是：∀m∈N，曲线=1不是椭圆．故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），，∴=0﹣3+3（3+λ）=0，解得实数λ=﹣2．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据线面垂直的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵直线a与平面M垂直，∴直线a与平面M内的任意一条直线都垂直，则直线a与平面M内的无数条直线都垂直成立，即充分性成立，反之不成立，即“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的定义是解决本题的关键．6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为，则半径可求，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为，∴该四棱锥外接球的半径r=，表面积为．故选：D．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关【分析】先判断直线过定点（1，0），然后判断定点和圆的位置关系即可．【解答】解：直线y=kx﹣k=k（x﹣1）过定点A（1，0），圆心坐标为C（2，0），半径r=，则|AC|=2﹣1=1＜，则点A在圆内，则直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3恒相交，故选：A【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，根据直线过定点，判断定点和圆的位置关系是解决本题的关键．8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α【分析】根据空间线面位置关系的判定或性质进行判断．【解答】解：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n异面或m与n相交，故A错误；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故B正确；若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故C错误；若m⊥n，m∥α，则n⊥α或n⊂α或n∥α，故D错误．故选：B．【点评】本题考查了空间线面位置关系，属于中档题．9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程．M的坐标，然后求解即可．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线方程为：y2=4x，抛物线的准线方程为x=﹣1．AB的方程为：y=x﹣1M（3，3），则点M到该抛物线的准线的距离为：3+1=4．故选：C．【点评】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识．10．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]【分析】依题意知，该椭圆的焦点F（3，0），由题意可知：|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，由a﹣c≤|PF|≤a+c，即可求得|PM|的取值范围．【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，而|MF|=1，∴当|PF|最小时，切线长|PM|最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．∴|PM|==，当|PF|最大时，切线长|PM|最大．当点P为左顶点（﹣5，0）时，|PF|最小，最小值为：5+3=8，∴|PM|==3，|PM|的取值范围[，3]，故选D．【点评】本题考查椭圆的标准方程、圆的方程，考查椭圆的性质，焦半径的取值范围，考查转化思想，属于中档题．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0）．【分析】先根据抛物线的方程判断出抛物线的开口方向，进而利用抛物线标准方程求得p，则焦点方程可得．【解答】解：根据抛物线的性质可知根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且2P=4，即p=2，开口向左∴焦点坐标为（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，解题过程中注意抛物线的开口方向，焦点所在的位置12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．【分析】先根据椭圆的方程求得P的坐标，进而根据椭圆的定义求得答案．【解答】解：椭圆的左焦点坐标（﹣1，0），不妨P（﹣1，）即：P（﹣1，），由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a=4∴|PF2|=4﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查椭圆的简单性质．解答的关键是利用椭圆的定义．属基础题．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为﹣1．【分析】利用平行与垂直与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：∵l1∥l2，∴=﹣2，解得m=1．∵l1⊥l3，m=n=0不满足题意，舍去，∴﹣×=﹣1，解得n=﹣2．则m+n=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了平行与垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．【分析】取AC，A1C1的中点分别为E，H．可得BE⊥AC，即可得到BE⊥面ACC1A1，过点D作DF⊥EH于F，则DF⊥面ACC1A1，连接FA，则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角，解△AFD即可．【解答】解：取AC，A1C1的中点分别为E，H．∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，且AB=1，∴BE⊥AC，即可得到BE⊥面ACC1A1，过点D作DF⊥EH于F，则DF⊥面ACC1A1，连接FA，则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角，AF=，DF=，∴∴．故答案为：【点评】本题考查了空间线面角的求解，属于中档题．15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是∪．【分析】由题意可得质点在抛物线上：y2=4x．过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线方程为：y=k（x+2）．联立，化为：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，（k≠0）．根据质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则△＜0，即可得出．【解答】解：由题意可得质点在抛物线上：y2=4x．过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线方程为：y=k（x+2）．联立，化为：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，（k≠0）．∵质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则△=（4k2﹣4）2﹣16k4＜0，化为：k2，解得k或k．∴k的取值范围是∪．故答案为：∪．【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．【分析】（1）根据圆的一般方程的定义进行求解即可．（2）求出圆心和半径，结合直线的弦长公式进行计算．【解答】解：（1）由题意知D2+E2﹣4F=（﹣2）2+22﹣4（m﹣3）=﹣4m+20＞0，解得m＜5．…（4分）（2）当m=1时，由x2+y2﹣2x+2y﹣2=0得（x﹣1）2+（y+1）2=4，…（6分）所以圆心坐标为（1，﹣1），半径r=2，圆心到直线x﹣y﹣4=0的距离为d===，…（8分）所以弦长l=2=2=2…（10分）则弦长为2…（12分）【点评】本题主要考查圆的一般方程以及直线和圆相交时的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．【分析】（1）将直线AB的方程代入抛物线的方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；（2）分别求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式，即可求出．【解答】解：（1）证明：将直线y=k（x﹣2）代入抛物线的方程y2=2x，消去y可得，k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=4+，x1x2=4，y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2+4﹣2（x1+x2）]=k2（4+4﹣8﹣）=﹣4即有x1x2+y1y2=0，则•=0=0，即有OA⊥OB；（2）因为k=，由（1）可得x1=1，x2=4，代入直线方程可得y1=﹣，y2=2，∴A（1，﹣），B（4，2），∴|OA|==，|OB|==2，=•|OA|•|OB|=××2=3．∴S△OAB【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，属于中档题．18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明BD⊥AD，根据面面垂直的性质可得BD ⊥平面PAD，故而平面MBD⊥平面PAD；（2）求出P到平面ABCD的高和△ABD的高，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】（1）证明：在△ABD中，∵BD=2AD=4，AB=2DC=2，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，又BD⊂平面BDM，∴平面MBD⊥平面PAD．（2）解：过P作PO⊥AD，则O为AD的中点，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P﹣BCD的高．又△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO=．在Rt△ABD中，斜边AB边上的高为=，又AB∥DC，∴△BCD的边CD上的高为．==2．∴S△BCD==．∴V P﹣BCD【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．【分析】（1）以D为原点，建立的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=2a，=（0，﹣1，﹣1），=（a，1，﹣1），由此能证明C1D⊥D1E．（2）由动点M满足（0＜λ＜1），得M（2a，0，λ），连接BM，求出平面AD1E的法向量，利用向量法能法语出结果．（3）连接AB1，B1E，求出平面B1AE的法向量，利用向量法能求出AD．【解答】证明：（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=2a，则D（0，0，0），A（2a，0，0），B（2a，1，0），A1（2a，0，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），B1（2a，1，1），E（a，1，0），∴=（0，﹣1，﹣1），=（a，1，﹣1），∴=0，∴C1D⊥D1E．…（3分）解：（2）由动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，∴M（2a，0，λ），连接BM，∴=（0，﹣1，λ），=（﹣a，1，0），=（﹣2a，0，1），设平面AD1E的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，a，2a），∵BM∥平面AD1E，∴⊥，即=﹣a+2λa=0，解得λ=．…（7分）（3）连接AB1，B1E，设平面B1AE的法向量为=（x，y，z），=（﹣a，1，0），=（0，1，1），则，取x=1，得=（1，a，﹣a），…（9分）∵二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，∴⊥，∴=1+a2﹣2a2=0，∵a＞0，∴a=1，∴AD=2．…（12分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的实数值的求法，考查满足二面角的棱长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）根据椭圆的离心率及通径公式即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得m=﹣k，则直线l的方程为y=k（x﹣），则直线过定点（，0）．【解答】解：（1）由题意可得e===，则=，由椭圆的通径=3，解得：a=2，b=，∴所求椭圆C的方程为；…（3分）（2）设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∵△＞0，∴3+4k2﹣m2＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，（6分）∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，∴k AD•k BD=﹣1，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴7m2+16mk+4k2=0，∴m1=﹣2k，m2=﹣k，且均满足3+4k2﹣m2＞0，（9分）当m1=﹣2k时，l的方程为y=k（x﹣2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾，当m1=﹣k时，l的方程为y=k（x﹣），则直线过定点（，0）∴直线l过定点，定点坐标为（，0）．（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量坐标运算，考查转化思想，属于中档题．。