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变力问题的处理方法（1）力随时间变化：F ＝f （t ）在直角坐标系下，以x方向为例，由牛顿第二定律：()x dv m f t dt=且：t ＝t 0时，v x ＝v 0 ；x ＝x 0则：1()x dv f t dt m =直接积分得：1()()x x v dv f t dt mv t c===+∫∫其中c由初条件确定。
由速度求积分可得到运动学方程：2()x x v dt x t c ==+∫其中c 2由初条件确定。
例：飞机着陆时受到的阻力为F＝－ct（c为常数）且t＝0时，v＝v 0。
求：飞机着陆时的速度。
解：根据牛顿第二定律：－ct ＝m dv / dt212c v dv tdt mc t c m==−=−+∫∫当t ＝0时，v ＝v 0，代入得：v 0＝c 1202c v v t m=−(2)力随速度变化：F＝f（v）直角坐标系中，x 方向f （v ）＝m dv ⁄dt 经过移项可得：()dv dt m f v =等式两边同时积分得：01()()m t t dt dv m dv f v f v −===∫∫∫具体给出f（v）的函数试就可进行积分运算例：质量为m的物体以速度v 0投入粘性流体中，受到阻力f＝－cv （c为常数）而减速，若物体不受其它力，求：物体的运动速度。
解：根据牛顿第二定律：dv cv m dt−=移项变换：－c/m dt ＝dv/v 1ln c dv dt m vc t v c m−=−=+∫∫积分得由初条件定c 1：当t ＝0时，v ＝v 0∴0＝lnv 0＋c 1∴c 1＝－lnv 00ln c t mc v t m v v v e −−==(3)力随位移变化：F ＝f （x）直角坐标系中，x方向：()dv dx dv dv f x m m mv dt dt dx dx===经过移项可得：f （x ）dx ＝mv dv等式两边同时积分得：2201()()2f x dx mvdv m v v ==−∫∫例：光滑的桌面上一质量为M，长为L的匀质链条，有极小一段被推出桌子边缘。
《大学物理》各章练习题及答案解析第1章 质点运动学一、选择题:1.以下五种运动中,加速度a保持不变的运动是 （ D ） (A) 单摆的运动。
(B) 匀速率圆周运动。
(C) 行星的椭圆轨道运动。
(D) 抛体运动。
(E) 圆锥摆运动。
2．下面表述正确的是（ B ）(A)质点作圆周运动,加速度一定与速度垂直； (B) 物体作直线运动,法向加速度必为零； (C)轨道最弯处法向加速度最大； (D)某时刻的速率为零,切向加速度必为零。
3.某质点做匀速率圆周运动，则下列说法正确的是（ C ）(A)质点的速度不变; (B)质点的加速度不变 (C)质点的角速度不变; (D)质点的法向加速度不变4.一运动质点在某瞬时位于矢径()y x r , 的端点处，其速度大小为（ D ）()()(()22⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛dt dy dt dx D C dtrd B dt drA5. 一质点在平面上运动,运动方程为:j t i t r222+=,则该质点作（ B ）(A)匀速直线运动 (B)匀加速直线运动(C)抛物线运动 (D)一般曲线运动6.一质点做曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a表示加速度，s 表示路程，a t 表示切向加速度，对下列表达式,正确的是（ B ）(A)dt dr v = (B) dt ds v = (C) dtdv a = (D) dt vd a t=7. 某质点的运动方程为 3723+-=t t X （SI ）,则该质点作 [ D ](A)匀加速直线运动,加速度沿 x 轴正方向; (B)匀加速直线运动,加速度沿 x 轴负方向; (C)变加速直线运动.加速度沿 x 轴正方向; (D)变加速直线运动,加速度沿 x 轴负方向8．一质点沿x 轴运动，其运动方程为()SI t t x 3235-=，当t=2s 时，该质点正在（ A ）(A)加速 (B)减速 (C)匀速 (D)静止1.D2. B3. C4.D5.B ，6B ，7A 8 A二 、填空题1. 一质点的运动方程为x =2t ，y =4t 2-6t ，写出质点的运动方程（位置矢量）j t t i t r)64(22-+=，t =1s 时的速度j i v22+=，加速度j a 8=，轨迹方程为x x y 32-=。
第一章质点运动学1、(习题：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2x =2t,y =4t 8-。
（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。
解：（1）由x=2t 得，y=4t 2-8 可得： y=x 2-8 即轨道曲线（2）质点的位置 ： 22(48)r ti t j =+-r r r由d /d v r t =r r 则速度： 28v i tj =+r r r由d /d a v t =r r 则加速度： 8a j =r r则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+=rr r rrrrr当t=2s 时，有 48,216,8r i j v i j a j =+=+=r r r r r rr r2、（习题）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时速度为0v ，求运动方程)(t x x =.解：kv dtdv-= ⎰⎰-=t v v kdt dv v 001 t k e v v -=0t k e v dtdx-=0 dt e v dx t k tx-⎰⎰=000)1(0t k e kv x --=3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a 4t (SI)，已知t 0时，质点位于x 10 m处，初速度v0．试求其位置和时间的关系式．解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ⎰⎰=vv 0d 4d tt t v 2=t 2v d =x /d t 2=t 2t t x txx d 2d 020⎰⎰= x 2= t 3 /3+10 (SI)4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；（3）落地前瞬时小球的d d r t v ，d d v t v，tvd d .解：（1） t v x 0= 式（1）2gt 21h y -= 式（2） 201()(h -)2r t v t i gt j =+v v v（2）联立式（1）、式（2）得 22v 2gx h y -=（3）0d -gt d rv i j t=v v v 而落地所用时间 gh2t =所以0d d r v i j t =v vd d v g j t=-v v 2202y 2x )gt (v v v v -+=+=2120212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+= 5、 已知质点位矢随时间变化的函数形式为22r t i tj =+v vv，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
第二章牛顿运动定律一、选择题1.关于惯性有下面四种说法，正确的为（）。
A.物体静止或作匀速运动时才具有惯性B.物体受力作变速运动时才具有惯性C.物体受力作变速运动时才没有惯性D.惯性是物体的一种固有属性，在任何情况下物体均有惯性1.【答案】D。
解析：本题考查对惯性的正确理解。
物体的惯性是物体的自然固有属性，与物理的运动状态和地理位置没有关系，只要有质量的物体都有惯性，质量是一个物体惯性大小的量度，所以本题答案为D。
2.下列四种说法中，正确的为（）。
A.物体在恒力作用下，不可能作曲线运动B.物体在变力作用下，不可能作曲线运动C.物体在垂直于速度方向，且大小不变的力作用下作匀速圆周运动D.物体在不垂直于速度方向的力作用下，不可能作圆周运动2.【答案】C。
解析：本题考查的是物体运动与受力的关系物体的运动受初始条件和受力共同影响，物体受恒力作用但仍然可以作曲线运动，比如平抛运动.对于圆周运动需要有向心力，向心力是改变物体速度方向，当一个物体只受向心力作用时则作匀速圆周运动，所以C选项是正确的。
3.一质点从t=0时刻开始，在力F1=3i+2j（SI单位）和F2=-2i-t j（SI单位）的共同作用下在Oxy平面上运动，则在t=2s时，质点的加速度方向沿（）。
A.x轴正向B.x轴负向C.y轴正向D.y轴负向3.【答案】A。
解析：合力F=F1+F2=i+（2-t）j，在t=2s时，力F=i，沿x轴正方向，加速度也沿同一方向。
4.一人肩扛一重量为P的米袋从高台上往下跳，当其在空中运动时，米袋作用在他肩上的力应为（）。
A.0B.P/4C.PD.P/24.【答案】A。
解析：米袋和人具有相同的加速度，因此米袋作用在他肩上的力应为0。
5.质量分别为m1、和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连接后置于水平桌面上，滑块与桌面间的滑动摩擦因数均为μ，系统在水平拉力F作用下匀速运动，如图2-1所示。
如突然撤销拉力，则撤销后瞬间，二者的加速度a A和a B，分别为（）。
第二章 运动学2-1 有人说：“分子很小，可将其当作质点；地球很大，不能当作质点，只能将其当作刚体。
”这句话对吗？为什么？答：分子作平动可视为质点，分子作转动，振动时不能作质点。
研究地球绕太阳公转，地日距离d r >>地球尺寸，可忽略自转，视为质点。
研究地球自转时，则不能视为质点。
2-2 在一列行驶的火车内，A 、B 两个旅客有这样的对话。
A:我静静地坐在车内半个多小时了，我一点也没有运动。
B:不对，你看看车窗外，铁路边的物体都飞快地向后掠去，火车在快速前进，你也在很快地运动。
试把A 、B 两个旅客讲话的含意阐述得确切一些。
究竟旅客A 是运动，还是静止？你如何理解运动和静止这两个概念？答：A: A 是选择车厢为参考系，则A 相对车厢是静止的。
B: B 是选择地面上的物体为参考系，则A 相对地面上的物体是运动的。
所以选择不同的参考系，描述物体的运动是不同的。
2-3 回答下列问题：（1）位移与路程有什么区别？（2）速度与速率有什么区别？（3）瞬时速度与平均速度有什么区别？二者之间有何联系？答：（1）位移是矢量，路程是标量。
路程是物体运动经历的实际路经，而位移是物体初末位置矢量之差，表示物体位置的改变，一般并不是物体所经历的实际路经。
例如，一物体绕半径为R 一周后回到原位置，其路程为2πR ,而位移却为零。
只有当物体作单向直线运动时，位移的数值才与路程相同。
（2）速度是矢量，即有大小又有方向，两者中有一个变化，速度都有变化。
速率是标量，即速度的大小是速率。
（3）瞬时速度是平均速度的极限值。
0l i m t r d r v t d t→==表示某一时刻的速度，速度的方向沿质点轨迹的切线，并指向质点前进的方向。
平均速度是反映了质点在这段时间内位置矢量对时间的平均变化率，即r v t = 2-4 一质点在Oxy 平面上运动，已知质点运动方程为()()()r t x t i y t j =+在计算质点的速度和加速度的大小时，有人分别给出了以下两种结果：（1） 先求出r 的量值22r x y =+再得出质点的速度和加速度分别为dr v dt= ， 22d r a dt = （2） 先求出速度和加速度的分量，再合成求出结果22dx dy v dt dt ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，222222d x d y a dt dt ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭你认为这两种方法哪一种正确？为什么？答：速度、加速度均是矢量，因此求速度和加速度时，应根据矢量求导法则：()d r d dx dy v xi y j i j dt dt dt dt ==+=+ ()22222222d r d d x d y a xi y j i j dt dt dt dt ==+=+ 在上式求导中，因为i 、j 是单位矢量，且是恒矢量。
0di dt =，0d j dt=。
由此，速度的大小 22dx dy v dt dt ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 加速度的大小 222222d x d y a dt dt ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此，第二种方法是正确的。
2-5 请以实例说明下列问题：（1）物体能否有不变的速率而仍有变化的速度？（2）物体速度为零时，其加速度是否一定为零？反之，物体的加速度为零时，其速度是否一定为零？（3）物体的加速度不断减小，而其速度却不断增大，有可能吗？（4）当物体具有大小和方向都不变的加速度时，其速度的方向是否可以有变化？答：（1）匀速率圆周运动，v 不变，v 方向不断变化。
（2）竖直上抛物体到达顶点时，0,==v g a 。
匀速直线运动时，0,0≠=v a 。
（3）只要0>a ，但↓a ，且a 与v 同号，则质点作加速运动，速度↑v 。
（4）g 竖直向下，抛体运动的速度方向不断变化，加速度是恒矢量。
2-6 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度与时间的关系是否是线性的？该质点的位置矢量与时间的关系是否也是线性的呢？答：已知 加速度 dv a ct dt==初始条件 0t = 0x 0v 则有，速度 020012v t t v dv adt ctdt ct ===⎰⎰⎰ ∴ 2012dx v v ct dt =+= 坐标 0200012x t tx dx vdt v ct dt ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ∴ 30016x x v t ct =++ 可见，速度和坐标与时间不是线性的。
2-7 一物体在0t =时开始自由下落，利用公式212h gt = 求得物体下落距离19.6m h =的时刻为2s +和2s -。
这里的2s -有什么意义？答：由自由下落公式 212h gt = 得出 2h t g=± 一物体在0t =时开始自由下落，则当物体下落距离19.6m h =时，12s t =。
而22s t =-是无意义的，因为时间是为正值的。
2-8 一人站在地面上用枪瞄准悬挂在树上的木偶击发枪机，当子弹从枪口射出时，木偶正好从树上由静止自由下落。
子弹可以射中木偶吗？试说明为什么？ 答：取子弹为坐标原点，在直角坐标系Oxy 中，子弹作抛体运动，其运动方程为 110cos x v t θ= 21101sin 2y v t gt θ=- 木偶初始位置为（20x ，20y ），木偶作自由落体运动，其运动方程为220x x =222012y y gt =- 子弹击中木偶时的条件：12y y =1220x x x ==瞄准时: 2020tan y x θ= 由此解得： 2011010cos cos x x t v v θθ== 2222201101020202101111sin sin tan 2cos 222x y v t gt v gt x gt y gt y v θθθθ=-=-=-=-= 所以，子弹能击中木偶。
2-9 质点在平面上运动，其运动方程为()r r t =，速度为()v v t =。
（1） 如果0dr dt=，0d r dt ≠，质点作什么运动？ （2） 如果0dv dt =，0d v dt ≠，质点作什么运动？ 答：（1）因为 0dr dt=，所以 r =恒量，则质点作半径为r 的圆周运动。
（2）因为 0dv dt=，所以 v =恒量，则质点作匀速率曲线运动。
2-10 一质点作匀速率圆周运动，取圆心为坐标原点。
质点的位置矢量与速度、位置矢量与加速度、速度与加速度的方向之间有何关系？答：一质点作匀速率圆周运动，其加速度为 2n n v a a e r== 速度为 t v ve =位矢为 n r re =-且 t n e e ⊥所以 r v ⊥ ， r a 但方向相反， v a ⊥。
2-10 下列说法是否正确？（1） 质点作圆周运动时，其加速度指向圆心；（2） 质点作匀速率圆周运动时，其加速度为恒量；（3） 只有法向加速度，而无切向加速度的运动，一定是圆周运动；（4） 只有切向加速度，而无法向加速度的运动，一定是直线运动。
答：（1）错。
因为质点作圆周运动时，其加速度为t t n n a a e a e =+加速度的方向为 arctan n ta a θ= θ：为总加速度与切向加速度的夹角，所以，加速度不是指向圆心。
（2） 错。
因为匀速率圆周运动不是匀加速运动，匀加速运动一般理解为加速度为常值的运动，这要求加速度的大小和方向均不变；而匀速率圆周运动速率不变，但速度的方向时刻在变，故加速度不是恒量。
（3）不一定。
因为只有法向加速度，而无切向加速度的运动，其加速度为2n n v a a e r== 当r =恒量时，是圆周运动；当r ≠恒量时，不是圆周运动。
（4）对。
因为只有切向加速度，而无法向加速度的运动，其加速度为t t dv a a e dt==速度为 t v ve =因为 a v 则一定是直线运动。
2-11 质点作圆周运动时，其加速度的方向是否一定与速度的方向垂直?如果不一定，在什么情况下,加速度的方向偏向运动的前方？在什么情况下，加速度的方向偏向运动的后方？答：质点作圆周运动，其加速度为 t t n n a a e a e =+加速度的方向为 arctan n ta a θ= θ：为总加速度与切向加速度的夹角，所以，加速度不是指向圆心。
而速度为 t v ve =所以，加速度的方向不一定与速度方向垂直。
在加速情况下，t a 与v 同向，加速度的方向偏向运动的前方；在减速的情况下，t a 与v 反向，加速度的方向偏向运动的后方。
2-13 在地球的赤道上，有一质点随地球自转的加速度为E a ；而此质点随地球绕太阳公转的加速度为s a 。
设想地球绕太阳的轨道可视为圆形，这两个加速度之比是多少？答：地球自转的加速度为 22E E E E E 2a R R T πω⎛⎫== ⎪⎝⎭地球绕太阳公转的加速度为 22S S S S S 2a R R T πω⎛⎫== ⎪⎝⎭则这两个加速度之比为 2S E E S S E 5.66T a R a R T ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 2-14 以恒定角速度转动的飞轮上有两个点，一个点在飞轮的边缘，另一个点在转轴与边缘之间的一半处。
试问：在t 时间内，哪一个点运动的路程较长？哪一个点转过的角度较大？哪一个点具有较大的线速度、角速度、线加速度和角加速度？答：在刚体中，各点的角位移θ、角速度ω、角加速度β都一样，所以 路程 A A S R θ= B S B R θ=因为 A B R R > 所以 A B S S >速度 A A v R ω= B B v R ω=因为 A B R R > 所以 A B v v >线加速度 A A t a R β= ，B B t a R β=， 2A A n a R ω=，2B B n a R ω=因为 A B R R > 所以 tA tB a a >， A B n n a a >2-15 一艘轮船以恒定速度向前行驶，此轮船上有一个人竖直向上抛出一粒石子，此石子是否能落回到人的手中？答：由于轮船以恒定速度向前行驶，故是一个较好的惯性系，此轮船中的运动规律应与地面上一样，所以，此轮船上有一个人竖直向上抛出一粒石子，此石子能落回到人的手中。
在轮船上静止的观察者看到石子运动的轨迹是垂直线，在地面上的观察者看到石子运动的轨迹是抛物线。
2-16 一只鸟在空中水平面上沿直线以恒定速率相对地面飞行，在公路上有一行驶着的汽车，在什么情况下，汽车上的观察者观察到鸟是静止不动的？在什么情况下，他观察到小鸟向前飞行？在什么情况下，他观察到小鸟似乎往回飞？答：设小鸟在空中水平面上沿直线的恒定速率为1v ，在公路上行驶着的汽车的恒定速率为2v ，则：当21v v =时，汽车上的观察者观察到小鸟是静止不动的；当21v v <时，他观察到小鸟向前飞行；当21v v >时，他观察到小鸟似乎往回飞。
