【新教材】新人教A版必修一 两角差的余弦公式 课时作业

第五章 5.5 5.5.1 第1课时A 组·素养自测一、选择题1．计算cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6＝( C )A ．0B ．12C ．22D ．32[解析] cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6＝cos 5π12cos π6＋sin 5π12sin π6＝cos(5π12－π6)＝cos π4＝22.2．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)＝( A ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32[解析] 原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)·sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝12.3．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则22cos(α－π4)＝( B )A ．110B ．710C ．－710D ．－110[解析] α∈(0，π2)，sin α＝35，cos α＝45，原式＝22(cos α·22＋sin α·22) ＝12(cos α＋sin α)＝710. 4．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin(π2＋φ)＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( B )A ．－55B ．55C ．11525D ． 5[解析] ∵sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，可解得：sin θ＝35，cos θ＝－1－sin 2θ＝－45，又∵sin(π2＋φ)＝－255，φ是第三象限角，cos φ＝－255，sin φ＝－1－cos 2φ＝－55，∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝(－45)×(－255)＋35×(－55)＝55.5．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( B ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2xD ．－cos2y[解析] 原式＝cos(x ＋y )cos(x －y )＋sin(x ＋y )·sin(x －y )＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos2y . 6．已知sin(30°＋α)＝35，60°<α<150°，则cos α＝( A )A ．3－4310B ．3＋4310C ．4－3310D ．4＋3310[解析] ∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°， ∴cos(30°＋α)＝－45，又cos α＝cos[(30°＋α)－30°]＝cos(30°＋α)cos30°＋sin(30°＋α)sin30°＝－45×32＋35×12＝3－4310.二、填空题7．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)·sin(31°＋2α)＝2[解析] 原式＝cos[(61°＋2α)－(31°＋2α)] ＝cos 30°＝32.8．已知sin(π3＋α)＝1213，α∈(π6，2π3)，则cos α的值为2631363∴π3＋α∈(π2，π)，cos(π3＋α)＝－513. ∴cos α＝cos[(π3＋α)－π3]＝cos(π3＋α)cos π3＋sin(π3＋α)sin π3＝－513×12＋1213×32＝123－526.9．已知cos(α－π3)＝cos α，则tan α＝3[解析] ∵cos(α－π3)＝cos αcos π3＋sin α·sin π3＝12cos α＋32sin α＝cos α， ∴32sin α＝12cos α，∴sin αcos α＝33， 即tan α＝33. 三、解答题10．已知角α的终边过点P (－4,3)． (1)求tan (3π＋α)sin (5π－α)－cos (π2＋α)的值； (2)若β为第三象限角，且tan β＝43，求cos(α－β)的值．[解析] (1)因为角α的终边过点P (－4,3)． 所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan (3π＋α)sin (5π－α)－cos (π2＋α)＝sin αcos αsin α＋sin α＝12cos α＝－58. (2)因为β为第三象限角，且tan β＝43，所以sin β＝－45，cos β＝－35.由(1)，知sin α＝35，cos α＝－45.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－45×(－35)＋35×(－45)＝0.11．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1213，且π4<α<3π4，求cos α的值．⎝⎭41344∴π2<α＋π4<π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－⎝⎛⎭⎫12132＝－513. ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4 ＝－513×22＋1213×22＝7226.B 组·素养提升一、选择题1．cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α等于( D ) A ．sin α B ．cos α C ．sin βD ．cos β[解析] cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝cos[(α＋β)－α]＝cos β，故选D ．2.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形与大正方形面积之比为4∶9，且直角三角形的两锐角分别为α，β，则cos(α－β)的值为( A )A ．59B ．49C ．23D ．0[解析] 设大正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为4∶9，可得小正方形的边长为23，所以有sin α－cos α＝23，①cos β－sin β＝23，②由图可得cos α＝sin β，sin α＝cos β，①×②可得49＝sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＋cos αsin β＝cos 2β－(cos αcos β＋sin αsin β)＋sin 2β＝1－cos(α－β)，解得cos(α－β)＝59.3．(多选题)满足cos αcos β＝32－sin αsin β的α，β的值可能是( BC ) A ．α＝1312π，β＝3π4B ．α＝π2，β＝π3C ．α＝π3，β＝π6D ．α＝π3，β＝π4[解析] 由条件cos αcos β＝32－sin αsin β得cos αcos β＋sin αsin β＝32，即cos(α－β)＝32，α＝π2，β＝π3，α＝π3，β＝π6都满足，故选BC ． 4．(多选题)已知α，β，γ∈(0，π2)，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是( AC )A ．cos(β－α)＝12B ．cos(β－α)＝－12C ．β－α＝π3D ．β－α＝－π3[解析] 由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝12，∴A 正确，B 错误．∵sinγ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴β－α＝π3，∴C 正确，D 错误，故选AC ． 二、填空题5．已知cos(α－π6)＋sin α＝435，则cos(α－π3)的值是__45__.[解析] cos(α－π6)＋sin α＝32cos α＋32sin α＝435，12cos α＋32sin α＝45， ∴cos(α－π3)＝12cos α＋32sin α＝45.6．已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β＝__－π4__. [解析] ∵α为锐角，sin α＝55，∴cos α＝255. 又β为锐角，cos β＝1010，∴sin β＝31010.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22.又α，β∈(0，π2)，sin α<sin β，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.7．函数f (x )＝sin2x sin π6－cos2x cos 5π6在[－π2，π2]上的单调递增区间为__[－5π12，π12]__.[解析] f (x )＝sin2x sin π6－cos2x cos 5π6＝sin2x sin π6＋cos2x cos π6＝cos(2x －π6)．当2k π－π≤2x－π6≤2k π(k ∈Z )，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数f (x )单调递增．取k ＝0，得－5π12≤x ≤π12，故函数f (x )在[－π2，π2]上的单调递增区间为[－5π12，π12]．三、解答题8．已知α、β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，求cos(α＋π4)的值．[解析] ∵α、β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，∴α＋β∈(3π2，2π)，β－π4∈(π2，3π4)，∴cos(α＋β)＝1－(－35)2＝45，cos(β－π4)＝－1－(1213)2＝－513，∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)·cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)＝45×(－513)＋(－35)×1213＝－5665. 9．已知A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB |＝105. (1)求cos(α－β)的值； (2)若cos α＝35，求cos β的值．[解析] (1)由|AB |＝105，得(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝105， ∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝25，∴cos(α－β)＝45.(2)∵cos α＝35，cos(α－β)＝45，α，β为锐角，∴sin α＝45，sin(α－β)＝±35.当sin(α－β)＝35时，cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝2425.当sin(α－β)＝－35时，cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0.∵β为锐角，∴cos β＝2425.由Ruize收集整理。

第1课时 两角差的余弦公式课后训练巩固提升A.sin 2xB.cos 2y x D.-cos 2y=cos(x+y )cos(x-y )+sin(x+y )·sin(x-y )=cos[(x+y )-(x-y )]=cos2y. 2.已知sin α=2√23,cos(α+β)=-13,且α,β∈(0,π2),则cos β等于( )A.-1B.12C.-13D.79sin α=2√23,cos(α+β)=-13,且α,β∈(0,π2),所以cos α=13,sin(α+β)=2√23. 所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=79,故选D .3.若2sin x+√32cos x=cos(x+φ),则φ的一个可能值是 ( )A.-πB.-π3C.π6D.π3∵12sin x+√32cos x=cos x cos π6+sin x sin π6=cos (x -π6),∴φ的一个可能值为-π6.4.已知cos (θ+π6)=513,0<θ<π3,则cos θ等于( ) A.5√3+1226 B.12-5√313C.5+12√3 D.5+5√313θ∈(0,π3),∴θ+π6∈(π6,π2).∴sin (θ+π6)=√1-cos 2(θ+π6)=1213, ∴cos θ=cos [(θ+π6)-π6]=cos (θ+π6)cos π6+sin (θ+π6)sin π6=5×√32+1213×12=5√3+1226.°sin 78°-cos 18°cos 102°= .°sin78°-cos18°cos102° °sin78°+cos18°cos78°=cos(78°-18°)=cos60°=12.6.已知钝角α,β满足sin α=√1010,cos β=2√55,则cos(α-β)= .α,β是钝角,所以cos α=-3√1010,sin β=√55.α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3√10×2√55+√1010×√55=-√22. -√227.在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于x 轴对称.若sin α=14,则cos(α-β)= .角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于x 轴对称,∴sin α=-sin β=14,cos α=cos β=√154. ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=√15×√154+14×(-14)=1416=78.α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点P (1,t ),且点P 到原点的距离为√62.(1)求实数t 的值;(2)若α,β均为锐角,cos(α+β)=35,求cos β的值.由题意得1+t 2=(√62)2,解得t=±√22.(2)∵α为锐角,∴t=√22,即点P (1,√22). ∴sin α=√x 2+y2=√33.∴cos α=√63. 又α,β为锐角,∴α+β∈(0,π).由cos(α+β)=35,得sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=45.∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=35×√63+45×√33=3√6+4√315.9.已知cos(α-β)=-1213,cos(α+β)=1213,且α-β∈(π2,π),α+β∈(3π2,2π),求角β的值.α-β∈(π2,π),且cos(α-β)=-1213,∴sin(α-β)=513.又α+β∈(3π2,2π),且cos(α+β)=1213,∴sin(α+β)=-513.∴cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=1213×(-1213)+(-513)×513=-1. 又α+β∈(3π2,2π),α-β∈(π2,π),∴2β∈(π,3π).∴2β=π,即β=π.1.已知sin(30°+α)=5,60°<α<150°,则cos α=( ) A.3-4√3 B.3+4√310C.3±4√310D.4±3√31060°<α<150°,∴90°<α+30°<180°.∴sin(30°+α)=35,∴cos(30°+α)=-√1-(35)2=-45.∴cos α=cos[(30°+α)-30°]=cos(30°+α)cos30°+sin(30°+α)sin30°=-45×√32+35×12=3-4√310,.2.已知sin x+√3cos x=65,则cos (π6-x)=( )A.-3B.35C.-45D.45sin x+√3cos x=2(12sinx +√32cosx)=2(sin π6sinx +cos π6cosx)=2cos (π6-x)=65,∴cos (π6-x)=35.3.《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形.若图中直角三角形两锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形面积之比为9∶25,则cos(α-β)的值为( ) A.5 B.49C.916D.16251.9∶25,所以小正方形的边长为35. 所以cos α-sin α=35①, sin β-cos β=35②.因为α+β=π2,所以cos α=sin β,sin α=cos β.所以①×②可得925=cos αsin β+sin αcos β-cos αcos β-sin αsin β=sin 2β+cos 2β-cos(α-β)=1-cos(α-β),解得cos(α-β)=16.α·sin β=1,则cos(α-β)的值为 .sin αsin β=1, ∴{=-1,sinβ=-1或{sinα=1,sinβ=1. ∵cos 2α+sin 2α=1,∴cos α=0. α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β=0+1=1.5.已知sin(3π-θ)=√52sin (π2+θ)(θ∈R ),求cos (θ-π3)的值.sin(3π-θ)=sin θ,sin (π2+θ)=cos θ, 所以sin θ=√52cos θ. 因为sin 2θ+cos 2θ=1,所以{sinθ=√53,cosθ=23或{sinθ=-√53,cosθ=-23.所以cos (θ-π3)=12cos θ+√32sin θ=±(13+√156). 6.如图,在平面直角坐标系xOy 中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆相交于A ,B 两点.(1)如果A ,B 两点的纵坐标分别为45,1213,求cos α和sin β; (1)的条件下,求cos(β-α)的值.∵OA=1,OB=1,且A ,B 两点的纵坐标分别为45,1213,∴sin α=45,sin β=1213.∴cos α=35.(2)∵β为钝角,sin β=1213,∴cos β=-513.∴cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α=-513×35+1213×45=3365.。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.1.1两角差的余弦公式课时作业 新人A 教版必修4基础巩固一、选择题1．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2x D ．－cos2y[答案] B[解析] 原式＝cos(x ＋y )cos(x －y )＋sin(x ＋y )·sin(x －y )＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos2y .2．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( )A ．－55B ．55 C ．11525D ． 5[答案] B[解析] ∵sin(π＋θ)＝－35，且θ是第二象限角，∴sin θ＝35，cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－255，且φ是第三象限角，∴cos φ＝－255，sin φ＝－55.∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＝55. 3．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] D[解析] 由题意，得cos A cos B －sin A sin B >0. 即cos(A ＋B )>0，－cos C >0，cos C <0.又0<C <π，故π2<C <π，△ABC 为钝角三角形．4．若x ，y ∈R ，则cos x cos y ＋sin x sin y 的最大值为( ) A ．2 B ．32 C ．1 D ．12[答案] C[解析] cos x cos y ＋sin x sin y ＝cos(x －y )，故所求最大值为1. 5．若sin α·sin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．±1 D ．－1[答案] B[解析] ∵sin αsin β＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1sin β＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1sin β＝1，由cos 2α＋sin 2α＝1得cos α＝0，∴cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β＝0＋1＝1. 6．若32sin x ＋12cos x ＝4－m ，则实数m 的取值范围是( ) A ．3≤m ≤5 B ．－5≤m ≤5 C ．3<m <5 D ．－3≤m ≤3[答案] A [解析] ∵32sin x ＋12cos x ＝32sin x ＋12cos x ＝cos x cos π3＋sin x sin π3＝cos(x －π3)＝4－m ，∴cos(x －π3)＝4－m ，∴|4－m |≤1，解得3≤m ≤5.二、填空题7．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则cos(α－π3)的值是________．[答案] 45[解析] cos(α－π6)＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453，12cos α＋32sin α＝45，∴cos(α－π3)＝12cos α＋32sin α＝45.8．已知tan θ＝34，θ∈(π2，π)，则cos(θ－π3)的值为____________．[答案]33－410[解析] ∵tan θ＝34，∴sin θ＝35，cos θ＝－45，∴cos(θ－π3)＝cos θcos π3＋sin θsin π3＝－45×12＋35×32＝33－410.三、解答题9．已知α、β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，求cos(α＋π4)的值．[解析] ∵α、β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，∴α＋β∈(3π2，2π)，β－π4∈(π2，3π4)，∴cos(α＋β)＝1－－352＝45，cos(β－π4)＝－1－12132＝－513，∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)·cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)＝45×(－513)＋(－35)×1213＝－5665.10．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4，求cos α的值． [解析] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45， 且π4<α<3π4， ∴π2<α＋π4<π. ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35.∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－35×22＋45×22＝210.能力提升一、选择题1．(高考浙江卷)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝( )A ．33B ．－33 C ．539D ．－69[答案] C[解析] 根据条件可得α＋π4∈(π4，34π)，π4－β2∈(π4，π2)，所以sin(α＋π4)＝223，sin(π4－β2)＝63，所以cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)＝13×33＋223×63＝539. 2．若cos(α－β)＝55，cos2α＝1010，且α、β均为锐角，α<β，则α＋β的值为( )A ．π6B ．π4C ．3π4D ．5π6[答案] C[解析] ∵0<α<π2，0<β<π2，α<β，∴－π2<α－β<0.又cos(α－β)＝55，∴sin(α－β)＝－1－cos 2α－β＝－255. 又∵0<2α<π，cos2α＝1010， ∴sin2α＝1－cos 22α＝31010.∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×(－255)＝－22. 又0<α＋β<π，故α＋β＝3π4.3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝35，π3<α<5π6，则cos α的值是( )A ．3－4310B ．4－3310C ．23－35D ．3－235[答案] A[解析] ∵π3<α<5π6，∴π2<π6＋α<π.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－45.∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310.4．已知sin α＋sin β＝45，cos α＋cos β＝35，则cos(α－β)的值为( )A ．925 B ．1625 C ．12 D ．－12[答案] D[解析] 由已知，得(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1，所以2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1，即2＋2cos(α－β)＝1. 所以cos(α－β)＝－12.二、填空题5．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)sin(31°＋2α)＝________. [答案]32[解析] 原式＝cos[(61°＋2α)－(31°＋2α)] ＝cos30°＝32. 6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos α，则tan α＝________. [答案]33[解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3 ＝12cos α＋32sin α＝cos α， ∴32sin α＝12cos α，∴sin αcos α＝33，即tan α＝33. 三、解答题7．设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cosα＋β2.[解析] ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－49＝53. ∴cosα＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－19×53＋23×459＝7527.8．已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0,0<φ<π，x ∈R )的最大值是1，其图象经过点M (π3，12)． (1)求f (x )的解析式；(2)已知α、β∈(0，π2)，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (α－β)的值．[解析] (1)由题意，知A ＝1，则f (x )＝sin(x ＋φ)．将点M (π3，12)代入，得sin(π3＋φ)＝12.而0<φ<π，∴π3＋φ＝56π，∴φ＝π2，故f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x .(2)由题意，有cos α＝35，cos β＝1213.∵α、β∈(0，π2)，∴sin α＝1－352＝45，sin β＝1－12132＝513， ∴f (α－β)＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×1213＋45×513＝5665.。

1.cos 24°cos 36°-cos 66°cos 54°的值等于( B )(A)0 (B)(C)(D)-解析:cos 24°cos 36°-cos 66°cos 54°=sin 66°cos 36°-cos 66°sin 36°=sin(66°-36°)=sin 30°=,故选B.2.设角θ的终边经过点(3,-4),则cos(θ+)等于( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:由三角函数的定义,得sin θ==-,cos θ==,所以cos(θ+)=cos θcos-sin θsin=×-(-)×=.故选C.3.已知锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=-,则cos β等于( B )(A)(B)(C)-(D)-解析:因为锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=-,所以sin α==,sin(α+β)==,所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=,故选B.4.已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,则2α-β等于( C )(A)-(B)(C)-(D)解析:tan α=tan[(α-β)+β]==,tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]==1,因为α∈(0,π)且tan α=<,所以α∈(0,),同理β∈(,π),所以2α-β∈(-π,-),所以2α-β=-π,选C.5.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,0≤x<,则f(x)的最大值为( B )(A)1 (B)2 (C)+1 (D)+2解析:f(x)=cos x+sin x=2(sin x+cos x)=2sin(x+),因为0≤x<,所以≤x+<,所以当x+=,即x=时,f(x)取得最大值2,故选B.6.在△ABC中,有0<tan A·tan B<1,那么tan C的值( B )(A)恒大于0 (B)恒小于0(C)可能为0 (D)可正可负解析:因为0<<1,且A,B,C为△ABC的内角,所以cos Acos B-sin Asin B>0,即cos(A+B)>0,所以cos C<0,所以C为钝角,所以tan C<0.故选B.7.设α,β为钝角,且sin α=,cos β=-,则α+β的值为( C )(A)(B)(C)(D)或解析:因为α,β为钝角,所以由sin α=,得cos α=-=-=-.由cos β=-,得sin β===,所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=(-)×(-)-×=.又因为π<α+β<2π,所以α+β=.8.已知函数f(x)=sin x-cos x,x∈R,若f(x)≥1,则x的取值范围为( B )(A)(B)(C)(D)解析:f(x)=2sin(x-),因为f(x)≥1,所以2sin(x-)≥1,即sin(x-)≥,由图象可知需满足+2kπ≤x-≤+2kπ(k∈Z),解得+2kπ≤x≤π+2kπ(k∈Z).故选B.9.函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为.解析:f(x)=2cos x+sin x=sin(x+ )≤.答案:10.tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°= .解析:因为=tan 60°=tan(20°+40°)=,所以-tan 20°tan 40°=tan 20°+tan 40°,所以tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°=.答案:11.函数y=sin x+cos x(x∈[0,])的单调递增区间是. 解析:化简可得y=sin xcos +cos xsin =sin (x+),由2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z可得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,由x∈[0,]可得函数的单调递增区间为[0,].答案:[0,]12.= .解析:=-=-.答案:-13.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,求的值.解:因为sin(α+β)=,所以sin αcos β+cos αsin β=.①因为sin(α-β)=,所以sin αcos β-cos αsin β=.②由①,②解得sin αcos β=,cos αsin β=,所以===5.14.已知α+β=,且α,β满足(tan αtan β+a)+2tan α+3tan β=0,则tan α等于( D )(A)(1-a) (B)(1+a)(C)(1-a) (D)(1+a)解析:因为(tan αtan β+a)+2tan α+3tan β=0,所以tan αtan β+3(tan α+tan β)=tan α-a,①因为tan(α+β)==,所以3(tan α+tan β)=(1-tan αtan β), ②把②代入①得=tan α-a,所以tan α=+a=(1+a).故选D.15.已知tan α和tan(-α)是方程ax2+bx+c=0的两个根,则a,b,c的关系是( A )(A)c=b+a (B)2b=a+c(C)b=a+c (D)c=ab解析:由题意得所以tan =tan[(-α)+α]==1,所以-=1-,所以-b=a-c,所以c=a+b.故选A.16.已知点A(4,1),将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,设C(1,0),∠COB=α,则tan α= .解析:由题意,设直线OA的倾斜角为θ,则tan θ==,α=θ+,tan α=tan(θ+)==.答案:17.已知α,β都是锐角,cos α=,cos(α+β)=-,则tan α= , cos β= . 解析:α是锐角,cos α=,所以sin α=,所以tan α=4,因为0<α+β<π,cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=,所以cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=.答案:418.(1)证明α+β=45°时,(1+tan α)(1+tan β)=2;(2)求(1+tan 1°)(1+tan 2°)(1+tan 3°)…(1+tan 44°)的值.(1)证明:(1+tan α)(1+tan β)=1+(tan α+tan β)+tan αtan β=1+tan(α+β)(1-tan αtan β)+tan αtan β,因为α+β=45°,所以上式=1+(1-tan αtan β)+tan αtan β=2.(2)解:由(1)知(1+tan 1°)(1+tan 44°)=2,(1+tan 2°)(1+tan 43°)=2,…(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,所以原式==222.19.已知sin(α-)=,sin(β-)=,且α-∈(0,),β-∈(0,),求的值. 解:因为α-∈(0,),β-∈(0,),所以0<<π,cos(α-)=,Cos(β-)=,因为cos=cos[(α-)+(β-)]=cos(α-)cos(β-)-Sin(α-)sin(β-)=×-×=.所以=.20.是否存在锐角α和β,使(1)α+2β=π;(2)tan tan β=2-同时成立?若存在,求出α和β的值;若不存在,请说明理由.解:存在.α+2β=π,则+β=,所以tan(+β)==.又因为tan tan β=2-,所以tan +tan β=3-,所以tan ,tan β是一元二次方程x2-(3-)x+2-=0的两根, 所以x1=1,x2=2-.因为若tan =1,由于α是锐角,即0<<,故这是不可能的,所以tan =2-,tan β=1.因为0<β<,所以β=,α=-2β=,所以存在这样的锐角α=,β=.。

第1课时 两角差的余弦公式必备知识基础练1．cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)sin (25°＋α)的值为( ) A ．－12 B ．12C ．－32 D ．322．[2022·重庆高一期末]sin 20°cos 40°＋sin 70°sin 40°＝( ) A ．14 B ．34 C ．12 D ．323.12cos 15°＋32sin 15°的值是( ) A ．22 B ．－22 C ．62 D ．－624．已知角α为第二象限角,sin α＝35,则cos (α－π6)的值为( )A ．4＋3310B ．4－3310C ．3－4310D ．－4－33105．已知cos α＝－45,α∈(π2,π),则cos (π4－α)＝( )A ．210B ．－210C －7210D ．72106．cos 165°＝________．7．若cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－45,则cos (5π＋β)＝________．关键能力综合练1．[2022·江苏宿迁高一期中]cos (α－β)cos α＋sin (α－β)sin α等于( )A ．sin (2α－β)B ．cos (2α－β)C ．cos βD ．－cos β2．已知sin (α＋60°)＝45,30°<α<120°,则cos α＝( )A ．43－310B ．－43＋310C ．4－3310D ．－4＋33103．已知α,β都是锐角,sin α＝35,cos (α＋β)＝－513,则cos β＝( )A.1 B ．－5665 C ．1665 D ．56654．若0<α<π2<β<π,且cos β＝－13,sin (α＋β)＝13,则 cos α＝( )A ．229B ．－229C ．－429D ．4295．已知sin α＋sin β＝12,cos α＋cos β＝13,则cos (α－β)的值等于( )A ．－712B ．－1718C ．－5972D ．－109726．[2022·山东临沂一中高一月考](多选)已知cos α＝35,cos (α＋β)＝－1213,则cosβ的值可能为( )A ．－5665B ．－2065C ．－1665D ．15657．化简：sin (π2＋α)cos (α－π3)＋sin (π－α)sin (α－π3)＝________．8．已知α∈(－π6,5π6),且cos (α＋π6)＝513,则cos α＝________．9．已知α,β为锐角,sin α＝45,cos (α＋β)＝－55,求cos (α－β)的值．10．已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (－35,－45). 若角β满足sin (α＋β)＝513,求cos β的值．核心素养升级练1．已知sin α－sin β＝13,cos α－cos β＝－223,α,β∈(0,π2),则α－β＝( )A ．－π3B ．－π6C ．π3D ．±π32．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0,cos α＋cos β＋cos γ＝0,则cos (α－β)的值是________．3．已知锐角α,β满足cos (α＋β)＝－1114,若sin (α－β)＝437,求β的值．第1课时 两角差的余弦公式必备知识基础练1．答案：B解析：由余弦的差角公式得cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)sin (25°＋α)＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos (－60°)＝12.2．答案：D解析：sin 20°＝sin (90°－70°)＝cos 70°,原式＝cos 70°cos 40°＋sin 70°sin 40°＝cos (70°－40°) ＝cos 30°＝32. 3．答案：A解析：原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos (60°－15°)＝cos 45°＝22. 4．答案：C解析：∵sin α＝35,α是第二象限角,∴cos α＝－45,∴cos (α－π6) ＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310.5．答案：B解析：∵cos α＝－45,α∈(π2,π),sin 2α＋cos 2α＝1,∴sin α＝35,∴cos (π4－α)＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22×(－45)＋22×35＝－210.6．答案：－6＋24 解析：cos 165°＝cos (180°－15°)＝－cos 15°＝－cos (45°－30°) ＝－(cos 45°cos 30°＋sin 45° sin 30°) ＝－(22×32＋22×12)＝－6＋24. 7．答案：45解析：cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝cos (α＋β－α)＝cos β＝－45,cos (5π＋β)＝－cos β＝45.关键能力综合练1．答案：C解析：cos (α－β)cos α＋sin (α－β)sin α＝cos [(α－β)－α]＝cos (－β)＝cos β.2．答案：A解析：∵30°<α<120°,∴90°<α＋60°<180°, 又sin (α＋60°)＝45,∴cos (α＋60°)＝－35,∴cos α＝cos [(α＋60°)－60°]＝cos (α＋60°)cos 60°＋sin (α＋60°)sin 60°＝－35×12＋45×32＝43－310.3．答案：C解析：因为α,β都是锐角, 所以0<α＋β<π,又sin α＝35,cos (α＋β)＝－513,所以cos α＝45,sin (α＋β)＝1213,所以cos β＝cos [(α＋β)－α],＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α, ＝－513×45＋1213×35＝1665.4．答案：D解析：因为0<α<π2<β<π,所以π2<α＋β<3π2,又因为cos β＝－13,所以sin β＝223,因为sin (α＋β)＝13,所以cos (α＋β)＝－223,所以cos α＝cos [(α＋β)－β]＝cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)sin β ＝(－223)×(－13)＋223×13＝429.5．答案：C解析：sin α＋sin β＝12⇒sin 2α＋sin 2β＋2sin αsin β＝14 ①,cos α＋cos β＝13⇒cos 2α＋cos 2β＋2cos αcos β＝19②,①＋②得,2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1336⇒cos (α－β)＝12×(1336－2)＝－5972. 6．答案：AC解析：因cos α＝35,则sin α＝±1－cos 2α＝±45,又cos(α＋β)＝－1213,则sin (α＋β)＝±1－cos 2（α＋β）＝±513,cos(α＋β)cos α＝－1213×35＝－3665,而cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α, sin α与sin (α＋β)同号,即sin (α＋β)sin α＝2065,则cos β＝－1665,sin α与sin (α＋β)异号,即sin (α＋β)sin α＝－2065,则cos β＝－5665,所以cos β的值可能为－5665或－1665.7．答案：12解析：sin (π2＋α)cos (α－π3)＋sin (π－α)sin (α－π3)＝cos αcos (α－π3)＋sin αsin (α－π3)＝cos [α－(α－π3)]＝cos π3＝12.8．答案：53＋1226解析：因为α∈(－π6,5π6),所以α＋π6∈(0,π),所以sin (α＋π6)＝1213.所以cos α＝cos [(α＋π6)－π6]＝513×32＋1213×12＝53＋1226.9．解析：∵α∈(0,π2),sin α＝45,∴cos α＝1－sin 2α＝35,∵β∈(0,π2),∴α＋β∈(0,π),∴sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255, ∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝－55×35＋255×45＝55, ∴sin β＝1－cos 2β＝255,∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×55＋45×255＝11525.10．解析：由角α的终边过点P (－35,－45)得sin α＝－45,cos α＝－35,由sin (α＋β)＝513可得cos (α＋β)＝±1213.当cos (α＋β)＝1213时,cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝1213×(－35)＋513×(－45)＝－5665； 当cos (α＋β)＝－1213时,cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝(－1213)×(－35)＋513×(－45)＝1665.核心素养升级练1．答案：C解析：因为sin α－sin β＝13,cos α－cos β＝－223,所以(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝(13)2＋(－223)2,⇒sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＋cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝1, ⇒1＝2sin αsin β＋2cos αcos β⇒2cos (α－β)＝1⇒cos (α－β)＝12,因为α,β∈(0,π2),所以－π2<α－β<π2,因为sin α－sin β＝13>0,而α,β∈(0,π2),所以α>β,因此0<α－β<π2,故α－β＝π3. 2．答案：－12解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ ①，cos α＋cos β＝－cos γ ②，①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos (α－β)＝－12.3．解析：因α,β是锐角,则0<α＋β<π,－π2<α－β<π2,又cos (α＋β)＝－1114,sin (α－β)＝437,因此,sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝1－（－1114）2＝5314,cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1－（437）2＝17,则cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)＝－1114×17＋5314×437＝12,显然0<2β<π,于是得：2β＝π3,解得β＝π6,所以β的值为π6.。

5.5 三角恒等变换5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式第一课时 两角差的余弦公式基础达标一、选择题1.化简－sin(x ＋y )sin(x －y )－cos(x ＋y )cos(x －y )的结果为( ) A.sin 2x B.cos 2x C.－cos 2xD.－cos 2y『解 析』 原式＝－cos 『(x ＋y )－(x －y )』＝－cos 2y ，故选D. 『答 案』 D2.满足cos αcos β＝32－sin αsin β的一组α，β的值是( ) A.α＝13π12，β＝3π4 B.α＝π2，β＝π3 C.α＝π2，β＝π6D.α＝π3，β＝π4『解 析』 由已知得cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝32，故选B. 『答 案』 B3.已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝－1213，β是第四象限角，则cos(β－α)的值是( ) A.－3365 B.6365 C.－6365D.－1665『解 析』 由条件可得sin α＝45，cos β＝513，则cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×45＝－6365.『答 案』 C4.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝( )A.－233 B.±233 C.－1D.±1『解 析』 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos x cos π6＋sin x sin π6＝32cos x ＋12sin x ＝－33.∴cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋cos x ·cos π3＋sin x sin π3＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝－33×3＝－1，故选C. 『答 案』 C5.已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为( ) A.3365 B.－3365 C.5465D.－5465『解 析』 ∵α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，∴cos(2π－β)＝cos β＝cos 『(α＋β)－α』＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×35＋1213×45＝3365.故选A. 『答 案』 A 二、填空题6.化简－cos(－50°)cos 129°＋cos 400°cos 39°＝________.『解 析』 原式＝－cos 50°cos (90°＋39°)＋cos 40°cos 39°＝－sin 40°(－sin 39°)＋cos 40°cos 39°＝cos 40°cos 39°＋sin 40°sin 39°＝cos(40°－39°)＝cos 1°. 『答 案』 cos 1°7.已知α，β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，则α－β＝________. 『解 析』 由条件得sin α＝55，sin β＝31010.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1010×255＋55×31010＝22， 又α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α－β＝±π4， 又因为cos α>cos β，α，β均为锐角， 所以α<β，则α－β＝－π4. 『答 案』 －π48.化简2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________.『解 析』 原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.『答 案』 3三、解答题9.已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求cos(α－β). 解 由cos α－cos β＝12两边平方得(cos α－cos β)2＝cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝14.① 由sin α－sin β＝－13两边平方得(sin α－sin β)2＝sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝19.②①＋②得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1336.∴cos αcos β＋sin αsin β＝5972，∴cos(α－β)＝5972.10.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知点A ，B 的横坐标分别为210，255.求cos(α－β)的值. 解 依题意，得cos α＝210，cos β＝255. 因为α，β为锐角，所以sin α＝7210，sin β＝55，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝210×255＋7210×55＝91050.能力提升11.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.『解 析』 因为角α与角β均以Ox 为始边，终边关于y 轴对称， 所以sin β＝sin α＝13，cos β＝－cos α， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝－(1－sin 2α)＋sin 2α＝2sin 2α－1 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.『答 案』 －7912.已知α，β为锐角且（cos α－cos β）2＋（sin α－sin β）2＝105.(1)求cos(α－β)的值； (2)若cos α＝35，求cos β的值. 解 (1)∵（cos α－cos β）2＋（sin α－sin β）2＝105，∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝25，∴cos(α－β)＝45. (2)∵cos α＝35，cos(α－β)＝45，α，β为锐角， ∴sin α＝45，sin(α－β)＝±35.当sin(α－β)＝35时，cos β＝cos 『α－(α－β)』＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝2425； 当sin(α－β)＝－35时，cos β＝cos 『α－(α－β)』＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0. ∵β为锐角，∴cos β＝2425.创新猜想13.(多空题)在△ABC 中，sin A ＝45，cos B ＝－1213，则sin B ＝________，cos(A －B )＝________.『解 析』 因为cos B ＝－1213，且0<B <π， 所以π2<B <π， 所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝513， 且0<A <π2， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 所以cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝－1665.『答 案』 513 －166514.(多空题)已知△ABC 中，sin(A ＋B )＝45，cos B ＝－23，则sin B ＝________，cos A高中数学人教A 版（新教材）必修第一册＝________.『解 析』 在△ABC 中，因为cos B ＝－23<0，所以B 为钝角， 则sin B ＝53，所以A ＋B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，由sin(A ＋B )＝45，得cos(A ＋B )＝－35， 所以cos A ＝cos 『(A ＋B )－B 』 ＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋45×53＝6＋4515.『答 案』 536＋4515。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1.cos 45°·cos 15°＋sin 45°·sin 15°等于( ) A.12 B.32C.33D. 3 解析： 原式＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32. 答案： B2.sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为( ) A.32B.12C.1＋32D.3－12解析： sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°＝cos 11°cos 71°＋sin 11°sin 71°＝cos(11°－71°)＝cos(－60°)＝12.故选B.答案： B3.(2016·南昌校级二模)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3等于( )A.－233B.±233C.－1D.±1解析： 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33.所以cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.故选C.答案： C4.已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若a ＝(cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，sin B )且a ·b＝1，则△ABC 一定是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析： 因为a ·b ＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B )＝1，且A ，B ，C 是三角形的内角，所以A ＝B ，即△ABC 一定是等腰三角形.故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共15分)5.cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°＝ . 解析： cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50° ＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40° ＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝32. 答案：326.化简cos(α－55°)·cos(α＋5°)＋sin(α－55°)·sin(α＋5°)＝ . 解析： 原式＝cos[(α－55°)－(α＋5°)]＝cos(－60°)＝12.答案： 127.已知sin α＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为 .解析： ∵sin α＝1517，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫15172＝－817， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－817＋22×1517＝7234. 答案：7234三、解答题(每小题10分，共20分) 8.化简下列三角函数式的值. (1)32cos 75°＋12sin 75°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋θ°cos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋θsin θ. 解析： (1)32cos 75°＋12sin 75° ＝cos 30°cos 75°＋sin 30°sin 75° ＝cos(30°－75°) ＝cos(－45°) ＝22. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋θcos θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋θsin θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋θ－θ＝cos3π4＝－22. 9.已知α，β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos β的值.解析： 因为0＜α，β＜π2，所以0＜α＋β＜π.由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365.又因为cos α＝45，所以sin α＝35.所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1665×45＋6365×35＝513. 尖子生题库☆☆☆10.若x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，且sin x ＝45，求2cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＋2cos x 的值.解析： ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，sin x ＝45，∴cos x ＝－35.∴2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3＋2cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x cos2π3＋sin x sin 2π3＋2cos x ＝2⎝⎛⎭⎫－12cos x ＋32sin x ＋2cos x＝3sin x ＋cos x ＝435－35＝43－35.。

5.5.1.1 两角差的余弦公式一、选择题1．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( ) A ．cos 100° B．sin 100° C.32 D.12解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝32.故选C.答案：C2．cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6的值是( )A ．0 B.12C.22 D.32解析：5π12和π12不是特殊角，但5π12＋π12＝π2，所以本题可利用角的互余关系转化函数名，逆用C (α－β)求值．cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6＝cos 5π12cos π6＋sin 5π12sin π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝cos π4＝22. 答案：C3．sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( ) A ．－25 B ．－210C ．－7210D ．－725解析：由条件可得cos α＝－45，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22cos α＋22sin α＝22(cos α＋sin α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝－210， 故选B. 答案：B4．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，则cos β等于( ) A.22 B ．－210 C.22或－210 D.22或210解析：因为α，β都是锐角，且cos α＝55， sin(α－β)＝1010， 所以sin α＝1－cos 2α＝255；同理可得cos(α－β)＝31010，所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22，故选A.答案：A 二、填空题5．求值：cos 15°cos 105°－sin 15°sin 105°＝________. 解析：原式＝cos(15°＋105°)＝cos 120°＝－12.答案：－126．计算：cos 555°＝________.解析：cos 555°＝cos(720°－165°)＝cos 165° ＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝－cos(45°－30°) ＝－(cos 45°cos 30°＋sin 45° sin 30°) ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫22×32＋22×12 ＝－6＋24.答案：－6＋247．已知sin α＝1517，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为________．解析：∵sin α＝1517，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫15172＝－817，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－817＋22×1517＝7234. 答案：7234三、解答题8．计算下列各式的值：(1)cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°； (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θsin θ.解析：(1)cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26° ＝cos(56°－26°)＝cos 30°＝32. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θsin θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－θ＝cos π4＝22.9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3的值．解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453，所以12cos α＋32sin α＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝45. [尖子生题库]10．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值．解析：由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437，由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，所以β＝π3.。

课后作业(四十七)复习巩固一、选择题1．下列函数中，周期为4π的是( ) A．y ＝sin4x B ．y ＝cos2x C ．y ＝tan x2D ．y ＝sin x2[解析] D 中：T ＝2π12＝4π，故选D.[答案] D2．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) A ．－4 3 B ．±4 3 C. 3D ．4 3[解析] ∵tan600°＝a－4＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝3，∴a ＝－4 3.[答案] A3．若将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3[解析] 因为T ＝2π2＝π，T 4＝π4，y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6，所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.故选D. [答案] D4．对于函数f (x )＝sin2x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上是递增的B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2[解析] 因为f (－x )＝sin(－2x )＝－sin2x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故f (x )的图象关于原点对称，选B.[答案] B5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π [解析] y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤32π＋2k π(k ∈Z )， 可得π3＋k π≤x ≤56π＋k π(k ∈Z )，∵x ∈[0，π]，∴单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.[答案] C 二、填空题6．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝_____________. [解析] 由tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，联立得cos 2α＝15，由α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2知cos α<0，所以cos α＝－55. [答案] －557．函数y ＝16－x 2＋sin x 的定义域为______________．[解析] 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧16－x 2≥0，sin x ≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z . 如图，可得函数的定义域为[－4，－π]∪[0，π]．[答案] [－4，－π]∪[0，π]8．若f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin x ，则f (x )的解析式是__________________．[解析] 任取x <0，则－x >0，∴f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ，又f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝－sin x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0－sin x ，x <0[答案] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0－sin x ，x <0三、解答题 9．已知tan α＝－34.(1)求2＋sin αcos α－cos 2α的值；(2)求sin (4π－α)cos (3π＋α)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫152π－αcos (π－α)sin (3π－α)sin (－π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫132π＋α的值．[解] (1)2＋sin αcos α－cos 2α ＝2(sin 2α＋cos 2α)＋sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2α＋sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋tan α＋11＋tan 2α，把tan α＝－34代入，得原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋11＋⎝⎛⎭⎪⎫－342＝98－34＋11＋916＝2225.(2)原式＝(－sin α)(－cos α)(－sin α)cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－cos α)sin (π－α)[－sin (π＋α)]sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin 2αcos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－cos α)sin α[－(－sin α)]sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin 2αcos αsin α－cos αsin 2αcos α＝－sin αcos α＝－tan α， 把tan α＝－34代入，得原式＝34.10．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x 的区间． ①y >1；②y <1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．[解]列表如下：x －π－π20π2πsin x 0－10101－2sin x 131－1 1(1)由图象可知图象在直线y＝1上方部分时y>1，在直线y＝1下方部分时y<1，所以①当x∈(－π，0)时，y>1；②当x∈(0，π)时，y<1.(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1<a<3或－1<a<1，所以a的取值范围是(－1,1)∪(1,3)．综合运用11．化简1－2sin(π＋4)cos(π＋4)等于()A．sin4－cos4 B．cos4－sin4C．－sin4－cos4 D．sin4＋cos4[解析]原式＝1－2sin4cos4＝(sin4－cos4)2＝|sin4－cos4|，因为54π<4<32π，所以cos4>sin4.所以|sin4－cos4|＝cos4－sin4.故选B. [答案] B12．函数y ＝lncos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2<x <π2的大致图象是( )[解析] ∵lncos π4＝lncos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝ln 22<ln1＝0，故选A.[答案] A13．在△ABC 中，C >π2，若函数y ＝f (x )在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是( )A ．f (cos A )>f (cosB ) B ．f (sin A )>f (sin B )C ．f (sin A )>f (cos B )D ．f (sin A )<f (cos B )[解析] 由题意，在△ABC 中，由C >π2，可得0<A ＋B <π2，从而可得，0<A <π2－B ⇒sin0<sin A <sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B <1，即0<sin A <cos B <1，根据题意函数y ＝f (x )在[0,1]上为单调递减函数，故f (sin A )>f (cos B )，即C 正确．[答案] C14．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x <cos x ，下列命题中正确的是( )A ．该函数的值域是[－1,1]B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数取得最大值1 C ．当且仅当x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，函数取得最小值－1D ．当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2(k ∈Z )时，f (x )<0[解析] 画出此函数的图象(图略)，由图象容易看出：该函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1；当且仅当x ＝2k π＋π2或x ＝2k π，k ∈Z 时，函数取得最大值1；当且仅当x ＝2k π＋5π4，k ∈Z 时，函数取得最小值－22；当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )<0，可知A ，B ，C 不正确，故选D.[答案] D15．函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g (a )(a ∈R )． (1)求g (a )；(2)若g (a )＝12，求a 及此时f (x )的最大值．[解] (1)∵f (x )＝2cos 2x －2a cos x －2a －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22－a 22－2a－1，且cos x ∈[－1,1]．当a2<－1时，则a <－2时，g (a )＝1； 当－1≤a2≤1，即－2≤a ≤2时， g (a )＝－a 22－2a －1；当a2>1，即a >2时，g (a )＝－4a ＋1.∴g (a )＝⎩⎨⎧1，a <－2，－a22－2a －1，－2≤a ≤2，－4a ＋1，a >2.(2)g (a )＝12，则a ＝－1.∴f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋122＋12，∴f (x )max ＝5.由Ruize收集整理。

最新高中数学-课时分层作业-两角差的余弦公式-新人教A版必修————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：课时分层作业(二十四) 两角差的余弦公式（建议用时：４0分钟)[学业达标练]一、选择题1.满足cos αcos β＝错误!－sin αsin β的一组α,β的值是( )A.α=１３π1２，β＝＼f(3π,4) ﻩB.α=错误!，β=错误!Ｃ．α＝错误!，β=错误!Ｄ．α＝错误!,β=错误!Ｂ ［由已知得ｃos(α-β)=cos αcos β＋ｓin αｓin β=错误!,检验知选B.]2．若ａ＝(cos 7８°,sin 78°)，b ＝(ｃos 18°,ｓin 18°)，则a·b =( ) A ．＼f(2，2)B.1２C.错误!Ｄ．-错误!B [a·b =cos 78°ｃｏs 18°＋ｓin 7８°ｓi ｎ １８°=cos（78°-18°)＝ｃos ６0°=＼f(1,２).]3．已知ｓｉn α=＼f(1,3),α是第二象限角，则co ｓ(α-６0°)＝（ )【导学号:8435２301】Ａ.错误! ﻩB.错误!C.错误! ﻩD ．错误!B [因为s ｉn α＝错误!，α是第二象限角,所以cos α＝-错误!，故c ｏs(α－6０°)＝c ｏs αｃos 60°+sin αsin 6０°＝错误!×错误!+错误!×错误!=错误!．]4．已知点P （１，＼r(２))是角α终边上一点,则cos错误!等于( )Ａ．错误!B.错误!C.-＼ｆ(3＋＼r（6）,6) ﻩD．错误!A［由题意可得siｎα=错误!，ｃoｓα=错误!，ｃoｓ错误!=ｃos错误!cｏs α+sｉn错误!sin α＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!．]5.已知cos错误!=错误!,０＜θ＜错误!，则cos θ等于( )【导学号：84352302】A.错误!B.错误!Ｃ．错误!ﻩD.错误!A［∵θ∈错误!,∴θ＋＼f（π,6)∈错误!，∴ｓin错误!＝错误!＝错误!．cos θ＝ｃｏs错误!＝cos错误!coｓ错误!＋sｉn错误!ｓin错误!＝错误!×错误!+错误!×错误!=错误!．]二、填空题６.化简:sin（α－β)siｎ(β-γ)+ｃos(α－β)cos(γ－β)=＿__＿__＿_.cｏs(α+γ－２β) ［原式＝sin(α-β)sｉn(β－γ)＋cｏs（α－β)coｓ(β－γ）＝cos(α-β)ｃos(β-γ）+sin(α－β）sin(β-γ)＝cｏs[（α－β)－(β-γ）]＝ｃos（α+γ-２β）.］7．在△ABＣ中，ｓｉn Ａ=错误!，ｃoｓB＝-错误!,则cos(A-Ｂ）＝______＿_.【导学号:8４352303】－＼f(16,65）［因为ｃoｓB＝－错误!,且0＜B<π，所以错误!<B<π，所以siｎB=错误!＝错误!=错误!，且０<A<错误!，所以ｃos A＝＼r（1-sin2A）=错误!=错误!，所以cos(A－B)＝coｓA coｓＢ+siｎＡsin B,=错误!×错误!＋错误!×错误!＝-错误!.]8．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ｏx为始边,它们的终边关于ｙ轴对称.若siｎα=错误!，则cos（α－β）=__＿____＿.-＼f(7,9) [因为角α与角β均以Ox为始边，终边关于y轴对称，所以sｉn β=ｓin α＝错误!,cｏs β=-cｏs α，所以cｏｓ(α－β)＝cos αcｏs β+sin αsin β=－coｓ2α＋ｓｉｎ2α＝-(1－sin2α)+sin２α＝2ｓin2α-1=２×错误!２-1＝-错误!.]三、解答题9.已知cos α＝错误!，cos(α＋β）＝－错误!，且α,β∈错误!,求ｃoｓβ的值.【导学号:８４3５23０4】[解]∵α，β∈错误!,∴α+β∈（０,π),又cｏs α＝＼f(1,7),cos(α+β)＝-错误!，∴sin α＝错误!＝错误!,ｓin(α＋β）＝1－cos ２α＋β=错误!．又β＝(α＋β)-α,∴cos β=cos[（α＋β）－α]=co ｓ(α+β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!．1０.已知cos(α-β)＝-错误!，s ｉn(α+β）＝-错误!，错误!<α-β<π,错误!<α+β<2π,求β的值.[解] ∵错误!＜α-β<π,cos(α－β）＝－错误!，∴sin(α－β)＝35．∵错误!<α＋β<２π，si ｎ(α＋β)=-错误!，∴cos （α＋β）＝45，∴c ｏs 2β=co ｓ[(α+β）-（α-β）]＝cos(α＋β)ｃｏs(α－β)＋ｓin(α＋β)ｓin （α-β) ＝4５×错误!＋错误!×错误!=-1.∵π2<α-β<π,错误!<α＋β<２π,∴π2<2β<错误!，２β＝π,∴β＝错误!．[冲A 挑战练］1.已知ｃos错误!＝－错误!,则cos x +cos 错误!=（ )【导学号:84３52305】A.-错误! ﻩB.±错误!C.-1ﻩＤ．±1 Ｃ [ｃos x +cos错误!=co ｓ ｘ+错误!co ｓ x ＋错误!sin x ＝32co ｓ ｘ+错误!ｓin x＝＼r(3)错误!＝3cos错误!=错误!×错误!＝－１.]2.＼f(２cos 10°-si ｎ 2０°,si ｎ 70°)的值是( ) Ａ.1２ﻩＢ.错误!C.错误! ﻩＤ.错误!C [原式=2ｃo ｓ3０°-2０°-sin ２0°s ｉn 70°＝2co ｓ 30°·ｃos ２0°＋2ｓin ３0°·sin ２0°-sin 20°sin 70°＝＼f(3co ｓ ２０°,sin ７0°)=错误!＝错误!.]３.若c ｏs αco ｓ β－sin αｓin β＝错误!,cos （α-β)＝错误!，则tａn α·ｔan β＝____＿＿__.12[∵ｃo ｓ αcos β+sin αｓin β＝ｃos(α－β）=错误!,c ｏs αcos β－ｓin αｓin β＝错误!,解得ｃo ｓ αcos β＝＼f(2，5),ｓｉn αs ｉｎ β＝＼f(１,５)， ∴tan αt ａn β=s ｉn αｓin βc ｏs αcos β＝错误!＝错误!.]4．若cos(α－β)=＼f(5，5)，cos ２α＝＼r(10)１０，并且α，β均为锐角且α<β,则α+β的值为__＿_____.【导学号:8435２306】3π4 [sin(α－β)=－255错误!，si ｎ 2α=错误!，∴coｓ(α＋β)＝cos[2α－（α-β)]=cｏs 2αcｏｓ(α-β)＋sin 2αｓｉn（α-β）=错误!×错误!＋错误!×错误!=-错误!,∵α＋β∈(０,π),∴α＋β＝＼ｆ(3π,4)．］５.已知向量a＝（cos α,sin α)，b=(ｃｏs β，sin β），|ａ－b|＝错误!，求cｏs(α－β）的值.［解]因为a＝(ｃｏs α，sin α),ｂ＝(cｏs β,ｓin β）,所以a-ｂ＝(cos α－cos β,sin α-ｓiｎβ)，所以|ａ-b|＝＼r(ｃｏｓα－cｏs β２+sin α－siｎβ2)＝错误!＝2－2cｏsα-β＝错误!，所以2－2ｃos(α-β)＝＼f(4,５）,所以cｏs(α-β)=＼f(３,5).。

第1课时两角差的余弦公式5．5 三角恒等变换5．5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时 两角差的余弦公式必备知识基础练1．解析：cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24. 答案：D2．解析：cos 54°cos 9°＋sin 54°cos 81°＝cos 54°cos 9°＋sin 54°sin 9°＝cos(54°－9°)＝cos 45°＝22.答案：C3．解析：原式＝cos(α＋30°－α)＝cos 30°＝32.答案：B4．解析：∵cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝45，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝cos θ·cos π6＋sin θ·sin π6＝35×32＋45×12＝33＋410.故选B.答案：B5．解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－45， ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－45×22＋35×22＝－210. 答案：A6．解析：因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，所以cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A. 答案：A7．解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)．∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. ∵0<β<π2，∴β＝π3.答案：π38．解析：因为sin(π－α)＝437，所以sin α＝437.因为0<α<π2，所以cos α＝1－sin 2α＝17.因为cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，所以0<α－β<π2，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314. 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. 因为0<β<π2，所以β＝π3.答案：β＝π39．解析：因为0<α<π2，－π2<β<0，且sin α＝55，cos β＝31010， 故cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255， sin β＝－1－cos 2β＝－1－910＝－1010， 故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×31010＋55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 由0<α<π2，－π2<β<0得，0<α－β<π，又cos(α－β)>0，所以α－β为锐角，所以α－β＝π4.关键能力综合练1．解析：原式＝－cos 115°cos 20°＋sin 115°sin 20°＝cos 65°cos 20°＋sin65°sin 20°＝cos(65°－20°)＝cos 45°＝22.答案：A2．解析：由已知得cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝32，代入检验，得B 正确，故选B.答案：B3．解析：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，所以cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋cos x cos π3＋sin x sin π3＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－1.故选C.答案：C4．解析：∵0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0,0<2α<π.由cos(α－β)＝55，得sin(α－β)＝－255. 由cos 2α＝1010，得sin 2α＝31010.∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－22. 又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.答案：C5．解析：因为sin α－sin β＝1－32，所以sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β＝74－3.①又因为cos α－cos β＝12，所以cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝14.②所以①＋②得2cos(α－β)＝3，所以cos(α－β)＝32，故选B.答案：B6．解析：∵α，β都是锐角，且cos α＝55<12，∴π3<α<π2，又sin(α＋β)＝35>12，∴π2<α＋β<π，∴cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－45，sin α＝1－cos 2α＝255，则cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.故选A. 答案：A7．解析：由条件得sin α＝55，sin β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1010×255＋55×31010＝22， 又α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α－β＝±π4，又因为cos α＞cos β，所以α＜β，则α－β＝－π4.答案：－π48．解析：在△ABC 中，因为cos B ＝－23<0，所以B 为钝角，则sin B ＝53，所以A ＋B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 由sin(A ＋B )＝45，得cos(A ＋B )＝－35，所以cos A ＝cos [(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋45×53＝6＋4515.答案：53 6＋45159．解析：因为0<α<π4，π2<β<3π4，所以－3π2<α－2β<－3π4，－3π4<2α－β<0，所以由sin(α－2β)＝－23，得cos(α－2β)＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝－53，由cos(2α－β)＝14，得sin(2α－β)＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－154，则cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－154×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝215－512. 答案：215－51210．解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，sin x ＝45， 所以cos x ＝－35.所以2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23π＋2cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x cos 23π＋sin x sin 23π＋2cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x ＋32sin x ＋2cos x＝3sin x ＋cos x ＝435－35＝43－35.学科素养升级练1．解析：对于A ：解法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24，A 错误．解法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24，A 错误．对于B ：原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B 正确；对于C ：原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12，C 正确；对于D ：原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12，D 正确．故选BCD.答案：BCD2．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ，①cos α＋cos β＝－cos γ，②①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－12.答案：－123．解析：(1)由于函数f (x )的最小正周期为10π，所以10π＝2πω，所以ω＝15.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6因为f ⎝⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65， 所以2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－65， 所以sin α＝35，又因为f ⎝⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617， 所以2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝2cos β＝1617， 所以cos β＝817，因为α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝45，sin β＝1517，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×817＋35×1517＝7785.。