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切比雪夫和切比雪夫多项式的故事述职报告切比雪夫是俄国现代数学的开创者之一，他是优秀的纯粹数学家，也是名副其实的应用数学家。
他创建的彼得堡学派具有鲜明的理论联系实际的特色。
著名的切比雪夫多项式就是从连杆设计中升华出来的理论精华。
19世纪前，俄国数学在欧洲一直处于落后地位，切比雪夫（Pafnuty Chebyshev，1821—1894）的出现从根本上改变了这种格局。
作为一流的数学家和力学家，切比雪夫在多个领域都有所建树，比如在数论方面推进了素数分布问题的研究，在概率论方面用初等方法证明了大数定律，在函数逼近论中建立了切比雪夫多项式，在积分方面证明了微分二项式可积性条件定理等。
他注重培养学生，团结有共同志趣的人士，创建了俄国最早的数学学派——彼得堡学派。
一个富末代的童年切比雪夫出生于俄国卡卢加省博罗夫斯克的奥卡多沃。
他的家庭是名副其实的贵族家庭，祖辈有很多人立过战功。
父亲列夫·切比雪夫（Lev Pavlovich Chebyshev）是沙皇时代的一名军官。
列夫和妻子一共育有9个孩子，切比雪夫排行第二。
切比雪夫身体残疾，从小就要借助一根拐棍行走，无法与其他的孩子一样自由自在地玩耍，大多时候自得其乐，偶尔会用小刀子制作心爱的玩具。
不过，这种身体的局限反而给了他心灵上更大的自由，他可以在独处中多一些畅想，对他以后走上独立的研究道路不无益处。
19世纪初的俄国还不太强大，当时的俄国人对欧洲其他国家既害怕又羡慕。
一些无知的人主张闭关锁国来抵御地域和文化侵略，而另一些受过良好教育的人了解欧洲的文化、文学和科学，主张俄国应该更加开放和西化。
幸运的是，切比雪夫的父母是后者，持开明的态度，使他从小受到了良好的教育，也有助于他开放思想与博大胸襟的养成。
他在家里启蒙，母亲和一位聪慧的表姐为他授课。
母亲教他读书写字，表姐教他法语、算术和唱歌，这为他以后了解法国乃至世界数学的研究进展创造了条件。
1832年，他们举家搬到俄国的科学和文化中心莫斯科。
方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：2cos 22cos 1αα=- ，(1)3cos34cos 3cos ααα=-． (2)它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3)53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4)观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．猜想2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N +∈∈) (5)(5)式可改写为：n/312112cos (2cos )(1)(2cos )ent n mm n m n m m n n C mααα----==+-∑ ，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式．12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数． 因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arccos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arccos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为于是cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到：第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如：1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=) 2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈．这表明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数．3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤．4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈．5．函数列{}()n T x 的生成函数为（分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系（分析：由三角恒等式cos(1)cos(1)2cos cos n n n θθθθ++-=）最小偏差切比雪夫在1857年提出这样一个问题：在最高项系数为1的n 次多项式中，寻求在区间[]1,1-上与零的偏差最小的多项式．换句话说，就是寻求[]1,1n x C ∈-在1n H -中的最佳一致逼近多项式1()n P x *-，这里定理 在区间[]1,1-上所有最高项系数为1的多项式中，与零的偏差最小，其偏差为112n -． ()n U x 称为第n 个第二类切比雪夫多项式，前7个第二类切比雪夫多项式为： 第二类切比雪夫多项式也有许多良好的性质，例如：1．()(1)(),,n n n U x U x x C n N -=-∈∈．即当以为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 2．21(0)0m U +=，2(0)(1)m m U =-，(1)1n U n =+,(1)(1)(1)n n U n -=-+，m N ∈．3．函数列{}()n U x 的生成函数为4．()1,,1n U x n x R x ≤+∈≤．5．函数列{}()n U x 满足2阶递推关系两类切比雪夫多项式的关系定理1设()n T x 和()n U x 分别为第一类和第二类切比雪夫多项式，0n ≥为整数，则证明 由两类切比雪夫多项式的定义得而则比较式在子两边n t 项的系数，即有4切比雪夫多项式的应用4.1切比雪夫多项式插值切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用．这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值．相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近． 切比雪夫多项式插值法：定理：设01,,x x …,n x 为区间[],a b 上1n +个互不相同的点，[]1(),n f x C a b +∈，则对任何[],x a b ∈,存在[]01,,,x n x x x ξ∈，使得拉格朗日插值余()()()n R x f x L x =-，满足其中插值多项式的余项极小化：要使拉格朗日插值多项式()n L x 尽量逼近()f x ，就要使余项()n R x 尽量小．在 ()n R x 中，()f x 是固定的，而 x ξ又是未知数，所以要减小()n R x ，只有恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值．为了应用切比雪夫多项式，首先应将插值区间[],a b ,通过简单变换归一化到区间[−1,1],做变换()12k k z b a x b a =-++⎡⎤⎣⎦ 所以插值节点应取为()121cos 222k k z b a b a n π+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦. 其中0,1,2,,1k n =-，所以下面我们只需要讨论区间[−1,1]上的函数的切比雪夫插值法： 当取定第一类切比雪夫点21cos ,0,1,2,,22k k x k n n π+==+后，令()1111max n n x M f x ++-≤≤=，则有()()11max 1max (1)!2(1)!n n n n x R x M M n n ++=≤++∏，故切比雪夫插值法可以使得余项的最大值极小化，得到较佳逼近多项式.。
切比雪夫和切比雪夫多项式的故事打开文本图片集19世纪前，俄国数学在欧洲一直处于落后地位，切比雪夫（PafnutyChebyhev，1821—1894）的出现从根本上改变了这种格局。
作为一流的数学家和力学家，切比雪夫在多个领域都有所建树，比如在数论方面推进了素数分布问题的研究，在概率论方面用初等方法证明了大数定律，在函数逼近论中建立了切比雪夫多项式，在积分方面证明了微分二项式可积性条件定理等。
他注重培养学生，团结有共同志趣的人士，创建了俄国最早的数学学派，彼得堡学派。
一个富末代的童年切比雪夫出生于俄国卡卢加省博罗夫斯克的奥卡多沃。
他的家庭是名副其实的贵族家庭，祖辈有很多人立过战功。
父亲列夫·切比雪夫（LevPavlovichChebyhev）是沙皇时代的一名军官。
列夫和妻子一共育有9个孩子，切比雪夫排行第二。
切比雪夫身体残疾，从小就要借助一根拐棍行走，无法与其他的孩子一样自由自在地玩耍，大多时候自得其乐，偶尔会用小刀子制作心爱的玩具。
不过，这种身体的局限反而给了他心灵上更大的自由，他可以在独处中多一些畅想，对他以后走上独立的研究道路不无益处。
19世纪初的俄国还不太强大，当时的俄国人对欧洲其他国家既害怕又羡慕。
一些无知的人主张闭关锁国来抵御地域和文化侵略，而另一些受过良好教育的人了解欧洲的文化、文学和科学，主张俄国应该更加开放和西化。
幸运的是，切比雪夫的父母是后者，持开明的态度，使他从小受到了良好的教育，也有助于他开放思想与博大胸襟的养成。
他在家里启蒙，母亲和一位聪慧的表姐为他授课。
母亲教他读书写字，表姐教他法语、算术和唱歌，这为他以后了解法国乃至世界数学的研究进展创造了条件。
1832年，他们举家搬到俄国的科学和文化中心莫斯科。
他的父母继续让他在家里接受教育，所不同的是，给他聘请了当时莫斯科最好的家庭老师波戈列利斯基（P。
N。
Pogorelki）。
这位老师文理兼修，写作、数学和物理都很棒，写过几本畅销的初等数学教科书，他为小切比雪夫打下了坚实的数学和人文基础。
