数列中的存在性问题 经典

数列存在性问题的分析与解答教案1.问题呈现题目：已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(2)4n n n a a S +=*()n ∈N . （1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅-<L 一切*n ∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.2.分析与解答分析：第（1）问根据数列通项()12n n n a S S n -=-≥很容易求出；关键是第（2）问中根据第（1）问的结论2n a n =，可得11cos cos(1)(1)2n n a n ππ++=+=-，则可考虑分离参数λ，令n b =n b 的单调性以确定n b 的最值.最后，需要考虑n 为奇数和偶数进行分类讨论. 解（1）由(2)4n n n a a S +=. 当1n =时，1111(2)4a a a S +==，解得12a =或10a =（舍去）． 当2n ≥时， 由111(2)(2)44n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-22112()n n n n a a a a --⇒-=+， ∵0n a >，∴10n n a a -+≠，则12n n a a --=， ∴{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，故2n a n =．（2）由2n a n =，得11cos cos(1)(1)2n n a n ππ++=+=-，设n b =1(1)n n b λ+-<. 1n n b b +===1=>，∵0n b >，∴1n n b b +>，数列{}n b 单调递增.假设存在这样的实数λ，使得不等式1(1)n n b λ+-<对一切*n ∈N 都成立，则① 当n 为奇数时，得min 1()n b b λ<==；② 当n 为偶数时，得min 2()n b b λ-<==λ>.综上，(λ∈，由λ是非零整数，知存在1λ=±满足条件． 3.题后反思 针对这类数列的存在性问题，往往需要进行分类参数并构造数列，判断数列的单调性可用比商法或作差法，题目中出现三角函数往往要考虑其周期性，涉及()1n -往往需要对n 为奇数和偶数进行分类讨论.。

专题：数列中的存在性问题一、单存在性变量解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n ）的方程，然后n 的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。

例1、已知数列{na }的前n 项和为n S =235n n +，在数列{n b }中，1b =8，164n nb b +-=0，问是否存在常数c 使得对任意n ，log n c na b +恒为常数M ，若存在求出常数c 和M ,若不存在说明理由.解析：假设存在常数c 使得对任意n ，log n c na b +恒为常数M ，∵n S =235n n+，∴当n =1时，则1a =1S =8，当n ≥2时，n a =1n n S S --=2235[3(1)5(1)]n n n n +--+-=62n +，当n =1适合， ∴n a =62n +，又∵164n n b b +-=0， ∴1n n b b +=164，∴数列{n b}是首项为8，公比为164的等比数列， ∴nb =118()64n -=962n -，则log n c n a b +=9662log 2n c n -++=62(96)log 2a n n ++-=6(1log 2)29log 2a a n -++，又∵对任意n ，log n c na b +恒为常数M ，∴6(1log 2)a -=0，解得c =2，∴M =29log 2a +=11，∴存在常数c =2使得对任意n ，log n c na b +恒为常数M =11.二、双存在型变量解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。

如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进行检验。

微专题51 数列中的存在性问题例题：已知a n＝2n，是否存在正整数p，q，r(p<q<r)，使得a p，a q，a r成等差数列？并说明理由．变式1已知a n＝2n，是否存在三个互不相等正整数p，q，r，且p，q，r成等差数列，使得a p－1，a q－1，a r－1成等比数列？并说明理由．变式2已知a n＝n＋2，是否存在正整数p，q，r(p<q<r)，使得a p，a q，a r成等比数列？并说明理由．串讲1已知数列是各项均不为0的等差数列，S n为其前n项和，且满足a n2＝S2n－1，令b n＝1a n·a n＋1，数列{b n}的前n项和{b n}为T n.(1)求数列{a n}的通项公式及数列{b n}的前n项和T n；(2)是否存在正整数m，n(1<m<n)，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值，若不存在，请说明理由．串讲2已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立．(1)若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ； (2)若a 1＝2，b n＝2n ，是否存在两个互不相等的整数s ，t (1<s <t )，使A 1B 1，A s B s ，A t B t成等差数列？若存在，求出s ，t 的值；若不存在，请说明理由．(2018·无锡期末)已知数列{a n }满足⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ＝1a n，n ∈N *，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列，求正整数p ，q 的值； (3)是否存在k ∈N *，使得a k a k ＋1＋16为数列{a n }中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．(2018·扬州期末)已知各项都是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n 2＋a n ，数列{b n }满足b 1＝12，2b n ＋1＝b n ＋b n a n.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝b n ＋2S n，求和c 1＋c 2＋…＋c n ；(3)是否存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使得b p ，b q ，b r 成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p ，q ，r ，若不存在，请说明理由．答案：(1)a n ＝n ，b n ＝n2n ；(2)12－1（n ＋1）2n ＋1；(3)存在，p ＝1，q ＝3，r ＝4.或p ＝2m ＋1－m －1，q ＝2m ＋1－m ，r ＝2m ＋1.解析：(1)2S n ＝a n 2＋a n ①，2S n ＋1＝a n ＋12＋a n ＋1②，②－①得2a n ＋1＝a n ＋12－a n 2＋a n ＋1－a n ，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0.1分 因为{a n }是正数数列，所以a n ＋1－a n －1＝0，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是等差数列，其中公差为1，2分在2S n ＝a n2＋an 中，令n ＝1，得a 1＝1，所以a n ＝n ，由2b n ＋1＝b n ＋b n a n 得b n ＋1n ＋1＝12·b n n，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n是等比数列，其中首项为12，公比为12，所以b n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，即b n ＝n2n .(注：也可累乘求{b n }的通项．)3分(2)c n ＝b n ＋2S n＝n ＋2（n 2＋n ）2n ＋1，裂项得c n ＝1n ·2n －1（n ＋1）2n ＋1，所以c 1＋c 2＋…＋c n ＝12－1（n ＋1）2n ＋1.3分(3)假设存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使得b p ，b q ，b r 成等差数列，则b p ＋b r ＝2b q ，即p2p ＋r 2r ＝2q 2q， 因为b n ＋1－b n ＝n ＋12n ＋1－n2n ＝1－n 2n ＋1，所以数列{b n }从第二项起单调递减，当p ＝1时，12＋r 2r ＝2q2q ， 若q ＝2，则r2r ＝12，此时无解；7分若q ＝3，则r2r ＝14，因为{b n }从第二项起递减，故r ＝4，所以p ＝1，q ＝3，r ＝4符合要求，若q ≥4，则b 1b q ≥b 1b 4≥2，即b 1≥2b q ，不符合要求，此时无解；9分当p ≥2时，一定有q －p ＝1，否则若q －p ≥2，则b pb q ≥b pb p ＋2＝4p p ＋2＝41＋2p≥2，即b p≥2b q ，矛盾，11分所以q －p ＝1，此时r 2r ＝12p ，令r －p ＝m ＋1，则r ＝2m ＋1，所以p ＝2m ＋1－m －1，q＝2m ＋1－m ，13分综上得，存在p ＝1，q ＝3，r ＝4或p ＝2m ＋1－m －1，q ＝2m ＋1－m ，r ＝2m ＋1满足要求.14分。

专题：数列中的存在性问题学大苏分教研中心 周坤一、单存在性变量解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n ）的方程，然后n 的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。

例1、已知数列{na }的前n 项和为n S =235n n +，在数列{n b }中，1b =8，164n n b b+-=0，问是否存在常数c 使得对任意n ，log n c na b +恒为常数M ，若存在求出常数c 和M ,若不存在说明理由.解析：假设存在常数c 使得对任意n ，log n c na b +恒为常数M ，∵nS =235n n +，∴当n =1时，则1a =1S =8，当n ≥2时，n a =1n n S S --=2235[3(1)5(1)]n n n n +--+-=62n +，当n =1适合， ∴na =62n +，又∵164n nb b +-=0， ∴1n n b b +=164，∴数列{n b}是首项为8，公比为164的等比数列， ∴nb =118()64n -=962n -，则log n c na b +=9662log 2n c n -++=62(96)log 2a n n ++-=6(1log 2)29log 2a a n -++，又∵对任意n ，log n c na b +恒为常数M ，∴6(1log 2)a -=0，解得c =2，∴M =29log 2a +=11，∴存在常数c =2使得对任意n ，log n c na b +恒为常数M =11.二、双存在型变量解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。

如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进行检验。

数列中的存在性问题数列中的存在性问题一般转化为求不定方程正整数解的问题，往往涉及数论、函数、例题：已知a n＝2n，是否存在正整数p，q，r(p<q<r)，使得a p，a q，a r成等差数列？并说明理由．变式1已知a n＝2n，是否存在三个互不相等正整数p，q，r，且p，q，r成等差数列，使得a p－1，a q－1，a r－1成等比数列？并说明理由．变式2已知a n＝n＋2，是否存在正整数p，q，r(p<q<r)，使得a p，a q，a r成等比数列？并说明理由．串讲1已知数列是各项均不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a n 2＝S 2n －1，令b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和{b n }为T n .(1)求数列{a n }的通项公式及数列{b n }的前n 项和T n ；(2)是否存在正整数m ，n(1<m<n)，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值，若不存在，请说明理由．串讲2已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n＋1－b n )恒成立．(1)若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ；(2)若a 1＝2，b n ＝2n ，是否存在两个互不相等的整数s ，t (1<s <t )，使A 1B 1，A s B s ，A tB t成等差数列？若存在，求出s ，t 的值；若不存在，请说明理由．(2018·无锡期末)已知数列{a n }满足⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2…⎝⎛⎭⎫1－1a n ＝1a n，n ∈N *，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列，求正整数p ，q 的值；(3)是否存在k ∈N *，使得a k a k ＋1＋16为数列{a n }中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．(2018·扬州期末)已知各项都是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n 2＋a n ，数列{b n }满足b 1＝12，2b n ＋1＝b n ＋b na n.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝b n ＋2S n，求和c 1＋c 2＋…＋c n ；(3)是否存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使得b p ，b q ，b r 成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p ，q ，r ，若不存在，请说明理由．答案：(1)a n ＝n ，b n ＝n 2n ；(2)12－1（n ＋1）2n ＋1；(3)存在，p ＝1，q ＝3，r ＝4.或p ＝2m ＋1－m －1，q ＝2m ＋1－m ，r ＝2m ＋1.解析：(1)2S n ＝a n 2＋a n ①，2S n ＋1＝a n ＋12＋a n ＋1②，②－①得2a n ＋1＝a n ＋12－a n 2＋a n ＋1－a n ，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0.1分因为{a n }是正数数列，所以a n ＋1－a n －1＝0，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是等差数列，其中公差为1，2分在2S n ＝a n 2＋a n 中，令n ＝1，得a 1＝1，所以a n ＝n ，由2b n ＋1＝b n ＋b n a n 得b n ＋1n ＋1＝12·b nn，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n是等比数列，其中首项为12，公比为12，所以b n n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，即b n ＝n2n .(注：也可累乘求{b n }的通项．)3分(2)c n ＝b n ＋2S n ＝n ＋2（n 2＋n ）2n ＋1，裂项得c n ＝1n ·2n －1（n ＋1）2n ＋1，所以c 1＋c 2＋…＋c n ＝12－1（n ＋1）2n ＋1.3分(3)假设存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使得b p ，b q ，b r 成等差数列，则b p ＋b r ＝2b q ，即p2p＋r 2r ＝2q 2q ， 因为b n ＋1－b n ＝n ＋12n ＋1－n 2n ＝1－n 2n ＋1，所以数列{b n }从第二项起单调递减，当p ＝1时，12＋r2r＝2q2q ， 若q ＝2，则r 2r ＝12，此时无解；7分若q ＝3，则r 2r ＝14，因为{b n }从第二项起递减，故r ＝4，所以p ＝1，q ＝3，r ＝4符合要求，若q ≥4，则b 1b q ≥b 1b 4≥2，即b 1≥2b q ，不符合要求，此时无解；9分 当p ≥2时，一定有q －p ＝1，否则若q －p ≥2，则b p b q ≥b p b p ＋2＝4p p ＋2＝41＋2p ≥2，即b p ≥2b q ，矛盾，11分所以q －p ＝1，此时r 2r ＝12p ，令r －p ＝m ＋1，则r ＝2m ＋1，所以p ＝2m ＋1－m －1，q ＝2m＋1－m ，13分综上得，存在p ＝1，q ＝3，r ＝4或p ＝2m ＋1－m －1，q ＝2m ＋1－m ，r ＝2m ＋1满足要求.14分例题答案：略．解法1假设存在正整数p ，q ，r(p<q<r)，a p ，a q ，a r 成等差数列，那么2·2q ＝2p ＋2r，在等式两边同除以2p ，得2q ＋1－p ＝1＋2r －p，因为p ，q ，r 是正整数，且p<q<r ，所以q ＋1－p ，r －p 都是正整数，所以2q ＋1－p ，2r －p 都是偶数，所以2r －p ＋1是奇数，所以2q ＋1－p＝1＋2r －p不可能成立，所以不存在正整数p ，q ，r(p<q<r)，a p ，a q ，a r 成等差数列．解法2假设存在正整数p ，q ，r(p<q<r)，a p ，a q ，a r 成等差数列，那么2·2q ＝2p ＋2r，在等式两边同除以2q，得2＝2p －q＋2r －q＝12q －p＋2r －q，所以2－2r －q＝12q －p，因为p ，q ，r 是正整数，且p<q<r ，所以2q －p，2r －q都是正整数，所以12q －p 是真分数，所以2－2r －q＝12q －p 不可能成立，所以不存在正整数p ，q ，r(p<q<r)，a p ，a q ，a r 成等差数列．解法3假设存在正整数p ，q ，r(p<q<r)，a p ，a q ，a r 成等差数列，那么2·2q ＝2p ＋2r，在等式两边同除以2q得2＝2p －q＋2r －q＝12q －p ＋2r －q ，所以2－2r －q＝12q －p ，因为p ，q ，r 是正整数，且p<q<r ，所以r －q≥1，q －p>0，所以2－2r －q≤0，12q －p>0.所以2－2r －q＝12q －p 不可能成立，所以不存在正整数p ，q ，r(p<q<r)，a p ，a q ，a r 成等差数列．变式联想变式1答案：不存在．解析：∵p，q ，r 成等差数列，∴p ＋r ＝2q.假设a p －1，a q －1，a r －1成等比数列，则(a p －1)(a r －1)＝(a q －1)2，即(2p －1)(2r －1)＝(2q －1)2，化简得2p ＋2r ＝2×2q.(*)又因为p ，q ，r 成等差数列，因为p≠r，所以2p＋2r>22p×2r＝2×2q，这与(*)式矛盾，故假设不成立．所以a p －1，a q －1，a r －1不是等比数列．变式2答案：不存在． 解析：假设存在正整数p ，q ，r(p<q<r)，a p ，a q ，a r 成等比数列，所以(q ＋2)2＝(p＋2)(r ＋2)．所以(q 2－pr)＋(2q －p －r)2＝0.因为p ，q ，r 都是正整数．所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，消去q 化简可得p ＝r ，这与p<q<r 矛盾．所以不存在正整数p ，q ，r(p<q<r)，使得a p ，a q ，a r 成等比数列．说明：在处理多元方程整数解时，主要考虑因素是等式两边的“范围”是否一致，比如：正数与负数，有理数与无理数，整数与分数，奇数与偶数，等得到矛盾，进而判断方程无解；也根据等式一侧范围来限定另一侧范围，进而得到整数方程的解．串讲激活串讲1答案：(1)a n ＝2n －1；T n ＝n2n ＋1； (2)m ＝2，n ＝12.解析：(1)因为{a n }是等差数列，由a n 2＝S 2n －1＝（a 1＋a 2n －1）（2n －1）2＝(2n －1)a n .又因为a n ≠0，所以a n ＝2n －1.由b n ＝1a n a n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12(12n －1－12n ＋1)，所以T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n2n ＋1. (2)由(1)知，T n ＝n 2n ＋1.所以T 1＝13，T m ＝m 2m ＋1，T n ＝n 2n ＋1.若T 1，T m ，T n 成等比数列，则(m 2m ＋1)2＝ 13(n 2n ＋1)，即m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3. 解法1：由m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3，可得3n＝－2m 2＋4m ＋1m 2，所以－2m 2＋4m ＋1>0，从而1－62<m<1＋62，又m∈N *，且m >1，所以m ＝2.此时n ＝12.故当且仅当m ＝2，n ＝12，数列{T n }中的T 1，T m ，T n 成等比数列．解法2：因为n 6n ＋3＝16＋3n<16，故m 24m 2＋4m ＋1<16，即2m 2－4m －1<0，从而1－62<m <1＋62，(以下同解法一)．串讲2答案：(1)B n ＝12n 2＋32n ；(2)不存在．解析：(1)因为A n ＝n 2，所以当n ＝1时，a 1＝1，当n≥2时，a n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又a 1符合a n ，所以a n ＝2n －1，故b n ＋1－b n ＝12(a n ＋1－a n )＝1，所以数列{b n }是以2为首项，1为公差的等差数列，所以B n ＝n·2＋12·n·(n－1)·1＝12n 2＋32n.(2)由a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )得a n ＋1－a n ＝2n ＋1，所以，当n≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋23＋22＋2＝2n ＋1－2，当n ＝1时，上式也成立，所以A n ＝2n ＋2－4－2n ，又B n ＝2n ＋1－2，所以A n B n ＝2n ＋2－4－2n 2n ＋1－2＝2－n2n－1，假设存在两个互不相等的整数s ，t(1<s<t)，使A 1B 1，A s B s ，A t B t 成等差数列，等价于121－1，s 2s －1，t2t －1成等差数列，即2s 2s －1＝121－1＋t 2t－1，即2s 2s －1＝1＋t 2t －1，因为1＋t 2t －1>1，所以2s 2s －1>1，即2s <2s ＋1，令h(s)＝2s－2s －1(s≥2，s ∈N *)，则h (s ＋1)－h (s )＝2s －2>0，所以h (s )递增，若s ≥3，则h (s )≥h (3)＝1>0，不满足2s<2s ＋1，所以s ＝2，代入2s 2s －1＝121－1＋t 2t －1得2t－3t －1＝0(t ≥3)，当t ＝3时，显然不符合要求；当t ≥4时，令φ(t )＝2t－3t －1(t ≥3，t ∈N *)，则同理可证φ(t )递增，所以φ(t )≥φ(4)＝3>0，所以不符合要求．所以，不存在正整数s ，t (1<s <t )，使A 1B 1，A s B s ，A tB t成等差数列．新题在线答案：(1)a n ＝n ＋1；(2)p ＝5，q ＝9；(3)3或14.解析：(1)因为(1－1a 1)(1－1a 2)…(1－1a n )＝1a n ，n ∈N *，所以当n ＝1时，1－1a 1＝1a 1，a 1＝2，当n ≥2时，由(1－1a 1)(1－1a 2)…(1－1a n )＝1a n 和(11－a 1)(1－1a 2)…(1－1a n －1)＝1a n －1，两式相除可得，1－1a n ＝a n －1a n ，即a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以，数列{a n }是首项为2，公差为1的等差数列．于是，a n ＝n ＋1.(2)因为a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a p ＋S q ＝60，a p S q ＝182，于是⎩⎪⎨⎪⎧a p ＝6，S q ＝54或⎩⎪⎨⎪⎧a p ＝54，S q ＝6.当⎩⎪⎨⎪⎧a p ＝6，S q ＝54时，⎩⎪⎨⎪⎧p ＋1＝6，（q ＋3）q2＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5，q ＝9，当⎩⎪⎨⎪⎧a p ＝54，S q ＝6时，⎩⎪⎨⎪⎧p ＋1＝54，（q ＋3）q 2＝6，无正整数解，所以p ＝5，q ＝9.(3)假设存在满足条件的正整数k ，使得a k a k ＋1＋16＝a m (m ∈N *)，则（k ＋1）（k ＋2）＋16＝m ＋1，平方并化简得，(2m ＋2)2－(2k ＋3)2＝63，则(2m＋2k ＋5)(2m －2k －1)＝63，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2k ＋5＝63，2m －2k －1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2k ＋5＝21，2m －2k －1＝3 或⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2k ＋5＝9，2m －2k －1＝7，解得m ＝15，k ＝14或m ＝5，k ＝3，m ＝3，k ＝－1(舍去)，综上所述，k ＝3或14.。

数列中的存在性问题高考中数列解答题都考察了数列中一类存在性问题，此类问题一般转化为求不定方程正整数解的问题，往往与数论、函数、方程、不等式等知识集于一体，蕴含了丰富的数学思想，在近年省内各市模拟卷中常有出现．例1设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13＝34，S 3＝9. (1) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式； (2) 设数列{b n }的通项公式为b n ＝a n a n ＋t，问：是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m ≥3，m∈N)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．例2已知数列{a n }中，a 2＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝n (a n －a 1)2.(1) 求a 1；(2) 证明：数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； (3) 设lg b n ＝a n ＋13n，试问：是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，请说明理由．例3已知数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 3＝a 4，a 5＝a 2＋a 3.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若a m a m ＋1＝a m ＋2，求正整数m 的值； (3) 是否存在正整数m ，使得S 2mS 2m －1恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，请说明理由．思维变式题组训练1. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＋1＝S n ＋λ(n ∈N *，λ为常数)，a 1＝2，a 2＝1.(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 求所有满足等式S n －m S n ＋1－m ＝1a m ＋1成立的正整数m ，n .2. 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝3，a n b n ＝2，b n ＋1＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫b n －21＋a n ，n ∈N *. (1) 求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2) 设数列{c n }满足c n ＝2a n －5，对于任意给定的正整数p ，是否存在正整数q ，r (p <q <r )，使得1c p ，1c q ，1c r成等差数列？若存在，试用p 表示q ，r ；若不存在，请说明理由．强化训练1. 已知数列{a n }满足a 1＋a 2λ＋a 3λ2＋…＋a nλn －1＝n 2＋2n (常数λ>0，n ∈N *)． (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 当λ＝4时，是否存在互不相同的正整数r ，s ，t ，使得a r ，a s ，a t 成等比数列？若存在，给出r ，s ，t 满足的条件；若不存在，请说明理由．2. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n2，n ∈N *.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．3. 已知数列{a n }的首项为1，前 n 项和是S n ，存在常数A ，B 使a n ＋S n ＝An ＋B 对任意正整数n 都成立．(1) 设A ＝0，求证：数列{a n }是等比数列；(2) 设数列{a n }是等差数列，若p ＜q ，且1S p ＋1S q ＝1S 11，求p ，q 的值．4. 已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＋3a n ＋4＝0，n ∈N *.(1) 求证：{a n ＋1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2) 数列{a n }中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，请说明理由．5. 设等比数列{a n }的公比为q (q >0，q ≠1)，前n 项和为S n ，且2a 1a 3＝a 4，数列{b n }的前n 项和T n 满足2T n ＝n (b n －1)，n ∈N *，b 2＝1. (1) 求数列 {a n }，{b n }的通项公式； (2) 是否存在常数t ，使得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋12t 为等比数列？请说明理由；(3) 设c n ＝1b n ＋4，对于任意给定的正整数k (k ≥2), 是否存在正整数l ，m (k <l <m ), 使得c k ，c l ，c m 成等差数列？若存在，求出 l ，m (用 k 表示)；若不存在，请说明理。

专题4 数列中的存在性与恒成立问题1．（2021·湖北·襄阳四中模拟预测）已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2*41,nna S n N +=∈.数列{}nb 满足2*1221,n n b b n n n N ++=++∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试问:数列{}n n b S -是否构成等比数列(注:n S 是数列{}n a 的前n 项和)?请说明理由；（3）若11,b =是否存在正整数n，使得211155(1)1111nnk k k k k kkk b b b ==+-≤≤++∑成立?若存在求所有的正整数n ；否则，请说明理由.【答案】（1）21n a n =-；（2）不构成，理由见解析；（3）存在，10n =. 【解析】 【分析】（1）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到{}n a 是等差数列，即可得解；（2）首先求出n S ，则2n n n b S b n -=-，即可得到11n n b S ++-，再由1n n b b ++，即可得到11()n n n n b S b S ++-=--，即可得证；（3）由（2）可得2k b k =，所求不等式即2424211155(1)11111nnkk k k kk k k k ==+-≤≤++++∑∑.设21()1f k k k =-+，利用裂项相消法可得到4211((1)(1))12nk k f f n k k ==-+++∑，同理，有24211((1)(1)),21,*12(1)11((1)(1)),2,*2nk k f f n n m m N k k k f f n n m m N =⎧++=-∈⎪+⎪-=⎨++⎪-+=∈⎪⎩∑，再由题意求出n 的值； 【详解】解：（1）由于2(1),4n n a S n N *+=∈，故2111(1)14a S a +=⇒=；2n ≥时22114(1),4(1)n n n n S a S a --=+=+；作差得，221114(1)(1)()(2)0n n n n n n n a a a a a a a ---=+-+⇔+--=.由于{}n a 是正项数列，故12n n a a --=，{}n a 是等差数列，21n a n =-；所以222(1)(211)44n n a n S n +-+=== （2）由于22111,(1)n n n n n n b S b n b S b n +++-=--=-+，2221221(1)n n b b n n n n ++=++=++，故11()n n n n b S b S ++-=--.由于1111b S b -=-，所以 当11b ≠时，111n n n nb S b S ++-=--，数列{}n n b S -构成等比数列；当11b =时，数列{}n n b S -不构成等比数列.（3）若11b =，由（2）知2k b k =，于是，所求不等式即2424211155(1)11111nnkk k k kk k k k ==+-≤≤++++∑∑.设21()1f k k k =-+，则21(1).1f k k k +=++ 故224222222111121(1)(1)12(1)2(1)(1)nn n k k k k k k k k k k k k k k k k k ===++--+==+++-++-+∑∑∑()11()(1)2nk f k f k ==-+∑ 1((1)(1))2f f n =-+ 同理，有22242221111(1)(1)(1)(1)12(1)(1)nnkkk k k k k k k k k k k k k ==++++-+-=-++++-+∑∑ ()11((1)(1)),21,*12(1)()(1)12((1)(1)),2,*2k k nf f n n m m N f k f k f f n n m m N =⎧++=-∈⎪⎪=∑-++=⎨⎪-+=∈⎪⎩由于11155((1)(1))(1)222111f f n f ++>=>，故而只能有2,*n m m N =∈.于是，2424211155(1)11111nnkk k k kk k k k ==+-≤≤++++∑∑ 1551((1)(1))((1)(1)),(2,*)21112f f n f f n n m m N ⇔-+≤≤-+=∈ 155((1)(1)),(2,*)2111f f n n m m N ⇔-+==∈ 21111,(2,*)10n n n m m N n ⇔++==∈⇔=综上所述，所有符合条件的正整数n 只有10n = 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．2．（2021·全国·模拟预测）从①()()126n n n a a S ++=，且12a <；①11a =，()1122n n n a a a n -++=≥，且存在2m ≥，*m ∈N 使得5m S =，()()11111311m m m S m S m -+++-=-；①若1n n a a d --=(常数)，且()*162+⋅=+∈N n n n n a S a ，12a <，这三个条件中任选一个，补充在下面题目的横线中，并解答．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，______． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设12nn n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)条件选择见解析，32n a n =-；(2)118(34)2n n T n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）选①：根据n S 与n a 的关系式可求出数列{}n a 的通项公式；选①：根据题意可得出数列{}n a 是等差数列，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1a ，公差为2d 的等差数列，从而可求出数列{}n a 的通项公式；选①：令1n =，可求出1a ；然后根据n S 与n a 的关系式可求出数列{}n a 的公差，从而可求出数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）中求出的数列{}n a 的通项公式，然后利用错位相减法可求出数列{}n b 的前n 项和n T ． (1)选①：当n ＝1时，()()111126a a a ++=，因为12a <，所以解得11a =； 当2n ≥时，因为()()126n n n a a S ++=，所以()()111126n n n a a S ---++=，两式相减，得2211336n n n n n a a a a a ---+-=，即()()1130n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以13n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列， 故()13132n a n n =+-=-．选①：由()1122n n n a a a n -++=≥，知数列{}n a 是等差数列， 因为()111122nn n na dS n a dnn -+-==+， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1a ，公差为2d 的等差数列，所以11211m m m S S S m m m -++=-+，即111011m m S S m m m-++=-+， 所以21311110m m m-=-，又因为2m ≥，*m ∈N ，所以解得m ＝2； 设等差数列{}n a 的公差为d ，则2125S a d =+=，因为11a =，所以解得d ＝3，所以()13132n a n n =+-=-． 选①：因为1n n a a d --=，所以数列{}n a 是等差数列， 因为162+⋅=+n n n a a S ，所以()11622n n n S a n a --⋅=+≥，两式相减，得()116n n n n a a a a +-=-，即()622n n a a n d ⋅≥=，又0n a >，所以d ＝3．当n ＝1时，11262⋅=+S a a ，即()111623a a a ⋅+=+，因为12a <，所以解得11a =， 故()13132n a n n =+-=-，即32n a n =-． (2)由（1）得()1113222n n n n a b n --⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭，所以()01211111147322222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()123111111473222222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减，得()2111111133222222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11112213112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⋅--()()113243422n n n n ⎛⎫⎛⎫-⋅=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则118(34)2n n T n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭．3．（2021·上海静安·一模）对于数列{}n a ：若存在正整数0n ，使得当0n n ≥时，n a 恒为常数，则称数列{}n a 是准常数数列．现已知数列{}n a 的首项1a a =，且11,n n a a n *+=-∈N ．(1)若32a =，试判断数列{}n a 是否是准常数数列； (2)当a 与0n 满足什么条件时，数列{}n a 是准常数数列？写出符合条件的a 与0n 的关系；(3)若()(,1)*∈+∈N a k k k ，求{}n a 的前3k 项的和3k S （结果用k 、a 表示）．【答案】(1)取02n =时，n a 恒等于12，数列{}n a 是准常数数列；(2)答案见解析； (3)2322k k a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】 （1）将32a =代入已知条件，即可求出()122n a n =≥； （2）根据已知条件，对a 进行分类讨论，分别写出答案即可；（3）由()(,1)*∈+∈N a k k k 和11n n a a +=-分别求出2a ，3a ，…，k a ，1k a +，2k a +，…，31k a -，3k a 的值，将前k 项放在一起，后2k 项中，从1k +项起,每相邻两项的和为定值，这样即可求解3k S .(1)由132a =得，231122a =-=，当2n ≥时，n a 恒等于12，数列{}n a 是准常数数列，取02n =即可；(2)①11,11=1,1n n n n nn a a a a a a +-≥⎧=-⎨-+<⎩，①1n a ≥时，1+≠n n a a ,而当1n a <时，若存在0n ，当0n n ≥时，1n n a a +=，则必有12n a =， 若01a <<时，则211a a =-，3211a a a a =-==，此时只需2111a a a =-=，112a =， 故存在12a =，12n a =，取01n =（取大于等于1的正整数也可以），数列{}n a 是准常数数列. 若11a a =≥，不妨设[),1a m m ∈+，m *∈N ，则[)10,1m a a m +=-∈， 2111m m a a a m ++=-=-+，若21m m a a ++=，则1a m a m -+=-，所以221m a =-或12a m =+，取01n m =+，当0n n ≥时，12n a =（0221a n =-，取大于等于12a +的0n 皆可）若10a a =<，不妨设(],1a l l ∈-+，l *∈N ，则(]1,a l l -∈-，所以(]21,1a a l l =-+∈+，321a a a =-=-，41a a =--，…，()(]210,1l a a l +=---∈，所以()32111l l a a a l ++=-=----⎡⎤⎣⎦,若32l l a a ++=，则221a l =-+或12a l =-+， 取02n l =+，当0n n ≥，12n a =（ 0232n a -+=，取大于等于32a -+的0n 皆可以） 存在a 和0n ：112a =，12n a =，01n ≥；112a m =+，01n m ≥+；112a m =-+， 02n m ≥+（其中m N *∈,n *∈N ），（a 为某个整数m 加上12时，数列{}n a 是准常数数列）.(3)①()(,1)*∈+∈N a k k k ,且11n n a a +=-，①21a a =-，32a a =-，…，()1k a a k =--，()10,1k a a k +=-∈，2111k k a a k a ++=-=+-，321k k a a a k ++=-=-， 4311k k a a k a ++=-=+-，…，31k a a k -=-，31k a k a =+-.所以312312313k k k k k k S a a a a a a a a ++-=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()()()1231234313k k k k k k k a a a a a a a a a a ++++-=+++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++ ()()()121a a a a k k =+-+-+⋅⋅⋅+--+()1112k ka k k +-=+--2322k k a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.4．（2021·四川自贡·一模（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，14a b =，________，28b =，1334b b -=．在以下三个条件中任选一个①530S =，①425S a =，①3523a a b -=，补充在上面横线上，并作答．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)是否存在正整数k ．使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和34k T >？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)条件选择见解析，2n a n =，11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭(2)存在，且k 的最小值为4 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得等差数列{}n a 的首项和公差，求得等比数列{}n b 的首项和公比，从而求得数列{}n a ，{}n b 的通项公式.（2）先求得,n k S T ，由34k T >求得k 的最小值. (1)设等比数列{}n b 的公比为q ，0q >，则1211834b q b b q =⎧⎨-=⎩解得11216q b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭. 31411622a b ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，设等差数列{}n a 的公差为d ，若选①，则()1510101030,2,2122n a d d d a n n +=+===+-⨯=.若选①，则()()()11465,8652,2,2122n a d a d d d d a n n +=++=+==+-⨯=. 若选①，则()()()1113248,228,2,2122n a d a d a d d a n n +-+=+===+-⨯=. (2)由于12,2n a a n ==，所以()2212n nS n n n +=⋅=+， 1111n S n n =-+， 所以111111311223114k T k k k =-+-++-=->++，11,14,341k k k >+>>+，所以正整数k 的最小值为4. 5．（2022·天津·南开中学二模）已知数列{an }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an }前n 项和为Sn ，且满足S 3=a 4，a 3+a 5=2+a 4 (1)求数列{an }的通项公式； (2)求数列{an }前2k 项和S 2k ；(3)在数列{an }中，是否存在连续的三项am ，am +1，am +2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m 的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)*12,21,.23,2n n n n k a k N n k -=-⎧⎪=∈⎨⎪⋅=⎩ (2)213k k -+ (3)存在，1 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，由已知条件列方程组求得,d q 后可得通项公式； （2）按奇数项与偶数项分组求和；（3）按m 分奇偶讨论，利用122m m m a a a ++=+，寻找k 的解． (1)设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则a 1=1，a 2=2，a 3=1+d ，a 4=2q ，a 5=1+2d ． ①S 3=a 4，①1+2+(1+d )=2q ，即4+d =2q ，又a 3+a 5=2+a 4，①1+d +1+2d =2+2q ，即3d =2q ，解得d =2，q =3． ①对于k ①N *，有a 2k -1=1+(k -1)•2=2k -1，故*12,21,.23,2n n n n k a k N n k -=-⎧⎪=∈⎨⎪⋅=⎩ (2)S 2k =(a 1+a 3+…+a 2k -1)+(a 2+a 4+…+a 2k )=[1+3+…+(2k －1)]+2(1+3+32+…+3k -1)=()2213(121)13213kk k k k -+-+=-+-．(3)在数列{an }中，仅存在连续的三项a 1，a 2，a 3，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m 的值为1，下面说明理由若am =a 2k ，则由am +am +2=2am +1，得2×3k -1+2×3k =2(2k +1)． 化简得4•3k -1=2k +1，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立． 若21m k a a -=，则由am +am +2=2am +1，得(2k －1)+(2k +1)=2×2×3k -1 化简得k =3k -1，令()*13k k k T k N -=∈，则111120333k k k k k k k kT T +-+--=-=<． 因此，1=T 1＞T 2＞T 3＞…，故只有T 1=1，此时k =1，m =2×1－1=1．综上，在数列{an }中，仅存在连续的三项a 1，a 2，a 3，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m 的值为1． 6．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a >，315S =，公差1d >，且___________.从①21a -为11a -与31a +等比中项，①等比数列{}n b 的公比为3q =，1124,b a b a ==这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：16n T <.【答案】(1)选择条件见解析，21n a n =+ (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据选择条件求解（2）数列求和后证明，使用裂项相消法 (1)若选①，21a -为11a -与31a +的等比中项，则()()()2132111a a a -+=-，由{}n a 为等差数列，315S =，得2315a =，①25a =，把25a =代入上式，可得()()4616d d -+=，解得2d =或4d =-（舍） ①13a =，21n a n =+；若选①，3q =为等比数列{}n b 的公比，且1124,b a b a ==， 可得213b b =，即413a a =，即有113)3a d a +=（，即123a d =； 又315S =，可得11332152a d +⨯⨯=，即15a d +=，解得12,3d a ==， 此时21n a n =+； (2) ①()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， ①11111111112355721232323n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭； ①16n T <，得证 7．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列；数列{}n b 的前n 项和是n S ，且21n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)设1n n n c +m ，使得()22221232313n m n n a c c c c x b +-++++>对任意*n ∈N 恒成立？若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)n a n =，12n n b -=；(2)存在，5﹒ 【解析】 【分析】(1)设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，根据1a ，2a ，4a 成等比数列求出d 即可求其通项公式；根据n S 与n b 关系即可求{}n b 的通项公式通项公式； (2)利用裂项相消法求{2nc }前m 项和，设()2313n n n a d b +-=，根据1n n d d +-正负判断{n d }单调性，求出其最大项，{2nc }前m 项和大于该最大值即可求出m 的范围和最小值. (1)设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，①1a ，2a ，4a 成等比数列，①2214a a a =． ①()2113d d +=+，解得1d =，①()11n a a n d n =+-=．当1n =时，11121b S b ==-，①11b =．当2n ≥时，1122n n n n n b S S b b --=-=-，①12n n b b -=．①{}n b 是以1为首项，以2为公比的等比数判，①12n n b -=．(2)由题意得n c =()()22222211111n n c n n n n +==-++． ①22212m c c c +++()()2222222211111111122311m m m m =-+-++-+--+()2111m =-+．设()()123133132n n n n a n d b ++--==，则()()()1212312313314222n n n n n n n n d d ++++----=-=，①当1n =，2，3时，1n n d d +>；当4n =时，45d d =；当5n ≥时，1n n d d +<， ①数列{}n d 的最大项为453132d d ==， ①()21311321m ->+，整理得()2132m +>，①存在正整数m ，且m 的最小值是5．8．（2022·辽宁辽阳·二模）①{}2nn a 为等差数列，且358a =；①21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等比数列，且234a =.从①①两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 在数列{}n a 中，112a =，________. (1)求{}n a 的通项公式；(2)已知{}n a 的前n 项和为n S ，试问是否存在正整数p ，q ，r ，使得n n r S p qa +=-？若存在，求p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)212n nn a -=； (2)存在，3p =，4q =，2r =﹒ 【解析】 【分析】(1)若选①，则可根据等差数列性质求出{}2nn a 的公差d ，根据等差数列通项公式可求2n n a ，从而求得n a ；若选①，则可证明等比数列概念求出21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的公比，根据等比数列通项公式可求21n a n -，从而求得n a ； (2)根据n a 通项公式的特征，采用错位相减法即可求其前n 项和，将其化为n n r S p qa +=-形式即可得p 、q 、r 的值． (1) 若选①：设等差数列{}2nn a 的公差为d ，则33122512312a a d --===-，①()1222121nn a a n n =+-=-，即212n nn a -=． 若选①：设等比数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的公比为q ，则2112212211a q a⨯-==⨯-， ①11112121122n nn a a n -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪-⨯-⎝⎭⎝⎭， 即212n nn a -=； (2) 21321222n nn S -=+++，231113212222n n n S +-=+++， 则两式相减得，23111111212222222n nn n S +-⎛⎫=+⨯+++- ⎪⎝⎭ 12n S =111121214212212n n n ++⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+--12n S =132322n n ++=-，①2332n nn S +=-． ①()22221233343422n n n n n n S a +++-+=-=-⨯=-， ①存在正整数p ，q ，r ，使得n n r S p qa +=-，且3p =，4q =，2r =．9．（2021·河北衡水中学三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足13a =，()122n n a xa n n -=+-≥，其中x ∈R .（1）若1x =，求出n a ；（2）是否存在实数x ，y 使{}n a yn +为等比数列？若存在，求出n S ，若不存在，说明理由.【答案】（1）2382n n n a -+=；（2）存在，()21242n n n n S ++=--.【解析】 【分析】（1）将1x =代入，由递推关系求出通项公式，并检验当1n =时是否满足，即可得到结果；（2）先假设存在实数x ，y 满足题意，结合已知条件求出满足数列{}n a yn +是等比数列的实数x ，y 的值，运用分组求和法求出n S 的值. 【详解】（1）由题可知：当1x =时有：12n n a a n --=-，当2n ≥时，()()()()()()121321213012232n n n n n a a a a a a a a n ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=++++⋅⋅⋅+-=+，又13a =满足上式，故()()22138322nn n n n a ---+=+=. （2）假设存在实数x ，y 满足题意，则当2n ≥时，由题可得：()()111n n n n a yn x a y n a xa xy y n xy --+=+-⇔=+--⎡⎤⎣⎦， 和题设12n n a xa n -=+-对比系数可得：1xy y -=，22xy x -=-⇔=，1y =.此时121n n a na n -+=+-，114a +=， 故存在2x =，1y =使得{}n a yn +是首项为4，公比为2的等比数列. 从而()()1112121224122nn n n n n n n n a n a n S a a a ++-++=⇒=-⇒=++⋅⋅⋅+=--. 所以()21242n n n n S ++=--. 【点睛】方法点睛：数列求和方法：（1）等差等比公式法（2）错位相减法（3）分组求和法（4）倒序相加法（5）裂项相消法.10．（2022·浙江·模拟预测）已知递增的等差数列{}n a 满足：11a =，且5813,,a a a 成等比数列．数列{}n b 满足：()32n n S b n *=+∈N ，其中n S 为{}n b 的前n 项和．(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式； (2)设n n c T =为数列{}n c 的前n 项和，是否存在实数λ，使得不等式n n T S λ≤≤对一切n *∈N 恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)21n a n =-，()112n n b n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N(2)存在，12λ= 【解析】 【分析】（1）设{}n a 的公差为(0)d d >，根据5813,,a a a 成等比数列，由2(17)(14)(112)d d d +=++求解，由()32n n S b n *=+∈N ，利用数列的通项与前n 项和的关系求解；得()1132*--=+∈n n S b n N ，（2）由（1）23n n b S +=，得到()min 12n S =，nc 12=，利用裂项相消法求得n T ，再由不等式n n T S λ≤≤对一切n *∈N 恒成立求解. (1)解：设{}n a 的公差为(0)d d >， 则2(17)(14)(112)d d d +=++， 所以2,21n d a n ==-． 当1n =时，11b =；当2n ≥时，由()32n n S b n *=+∈N ，得()1132*--=+∈n n S b n N ，两式相减得：12n n b b -=-， 所以{}n b 是以1为首项，以12-为公比的等比数列，所以()112n n b n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N(2)23n n b S +=，显然()2min 12n b b ==-， 所以()min 12n S =， 由21n a n =-得==n c1122==，故1112222n T ⎛=+++ ⎝， 112⎛= ⎝． 显然12n T <恒成立，且当n →∞时，12n T →，所以存在唯一实数12λ=．11．（2022·江西·二模（理））已知等差数列{}n a 中，12a =，公差0d >，其前四项中去掉某一项后（按原来的顺序）恰好构成一个等比数列． (1)求d 的值． (2)令11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若212n S λλ<--对n +∀∈N 恒成立，求λ取值范围． 【答案】(1)2； (2)12λ≤-或32λ≥.【解析】 【分析】（1）根据给定条件，写出等差数列{}n a 前4项，按去掉的项讨论求解作答.（2）由（1）求出等差数列{}n a 的通项，再利用裂项相消法求出n S 并讨论其单调性，列式计算作答. (1)等差数列{}n a 的前四项为2,2,22,23d d d +++，若去掉第一项，则有2(22)(2)(23)d d d +=++，解得0d =，不符合题意， 若去掉第二项，则有2(22)2(23)d d +=+，解得0d =，或12d =-，不符合题意，若去掉第三项，则有2(2)2(23)d d +=+，解得0d =（舍去），或2d =， 若去掉第四项，则有2(2)2(22)d d +=+，解得0d =，不符合题意， 所以2d =. (2)由（1）知22(1)2na n n =+-=，11(2(22411))1n n b n n n ==+-+，于是得1111111111[(1)()()()](1)422334141n S n n n =-+-+-++-=-++，显然数列{}n S 是递增数列，恒有14n S <，因212n S λλ<--对n +∀∈N 恒成立，于是有21124λλ--≥，解得12λ≤-或32λ≥，所以λ取值范围是12λ≤-或32λ≥．12．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，35a =，2a 是1a 与5a 的等比中项，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足()*41n n S b n =-∈N .(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设n n n c a b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若118n T λ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭对任意的*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)21n a n =-，13nn b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)2485λ-≤≤ 【解析】 【分析】（1）对于等差数列{}n a 直接列方程322155a a a a =⎧⎨=⋅⎩求解，数列{}n b 根据11,1,2n n n S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解；（2）利用错位相减法可得1411883nn n T +⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据题意讨论得：当n 是奇数时，min8341n n λ⎛⎫⋅-≤ ⎪+⎝⎭；当n 是偶数时，min 8341n n λ⎛⎫⋅≤ ⎪+⎝⎭，再通过定义证明数列8341n n ⎧⎫⋅⎨⎬+⎩⎭的单调性，进入确定相应情况的最值． (1)①322155a a a a =⎧⎨=⋅⎩ 则()()12111254a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=⋅+⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或150a d =⎧⎨=⎩（舍去）①()12121n a n n =+-=-. 又①41n n S b =-，当1n =时，1141b b =-，则113b =-，当2n ≥时，1141n n S b --=-，则14n n n b b b -=-，即113n n b b -=-， 则数列{}n b 是以首项113b =-，公比为13-的等比数列，①1111333n nn b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)()1213nn c n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()123111111135232133333n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()23411111111352321333333nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得：()231411111221333333n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+---- ⎪ ⎪⎡⎤⎢⎥⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎣⎦()111111111112123633623n n n n n -++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-----=--+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=①1411883nn n T +⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭①118n T λ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭对任意的*n ∈N 恒成立，即411183n n λ+⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭对任意的*n ∈N 恒成立 ①当n 是奇数时，411183n n λ+-⋅≤任意的*n ∈N '恒成立 ①8341nn λ⋅-≤+对任意的*n ∈N 恒成立①当n 是偶数时，411183n n λ+⋅≤对任意的*n ∈N 恒成立 ①8341nn λ⋅≤+对任意的*n ∈N 恒成立令8341nn c n ⋅=+，()()()11164138383045414541n n n n n n c c n n n n ++-⋅⋅-=-=>++++对任意的*n ∈N 恒成立 ①{}n c 为递增数列 ①当n 是奇数时，则245λ-≤，即245λ≥-①当n 是偶数时，则8λ≤ ①2485λ-≤≤. 13．（2022·浙江省临安中学模拟预测）各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，21122n n n S a a =+，数列{}n b 为等比数列，且1224,==b a b a . (1)求数列{}n a ､{}n b 的通项公式；(2)记()232,3,nn n n n n b n a a c n b +⎧-⋅⎪⋅⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，n T 为数列{}n c 的前n 项和，对任意的n *∈N .2λ≥n T 恒成立，求2n T 及实数的λ取值范围.【答案】(1)n a n =，2nn b =(2)212211214n n n T n +=--+，1712λ≤【解析】 【分析】（1）先求出1a ，再当2n ≥时，由21122n n n S a a =+，得21111122n n n S a a ---=+，两式相减化简可得11n n a a --=，从而可得数列{}n a 是公差为1，首项为1的等差数列，则可求出n a ，从而可求出12,b b ，进而可求出n b ， （2）当n 为奇数时，利用裂项相消求和法可求出1321n c c c -++⋯+，当n 为偶数时，利用等比数列的求和公式求出242n c c c ++⋯+，从而可求出2n T ，进而可求出实数的λ取值范围 (1)①21122n nn S a a =+①， ①21111122a a a =+，①10a ≠，①11a = 当2n ≥时，21111122n n n S a a ---=+①， 由①-①得221111112222n n n n n a a a a a --+-=- ①2211n n n n a a a a --+=-，又0n a >，①11n n a a --=，①数列{}n a 是公差为1，首项为1的等差数列. ①n a n =①122b a ==，244==b a ，数列{}n b 为等比数列， ①2,2n n q b ==(2)n 为奇数时，212121(65)222(21)(21)2121-+--⋅==-+-+-+k k k k k c k k k k①131321272(65)21335(21)(21)-⨯-⋅++⋯+=++⋯+⨯⨯-+nn n c c c n n 133521211212122222222221335212112121-+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++⋯+-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n n n n 为偶数时，223324==k k kc ①2421231133314411444414⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭++⋯+=++⋯+==--n n n n c c c①()()2121213212422121211214214++-=++⋯++++⋯+=-+-=--++n n n n n n n T c c c c c c n n①0n c >，①{}2n T 单调递增， ①221712≥=n T T ，①1712λ≤ 14．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知正项等差数列{}n a 满足：()33n n a a n *=∈N ，且1382,1,a a a +成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()1121212n n n a n a a c ++=++，n R 是数列{}n c 的前n 项和，若对任意n *∈N 均有n R λ<恒成立，求λ的最小值． 【答案】(1)n a n = (2)最小值为23【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d ，由33n n a a =及等差数列的通项公式得到1a d =，则n a nd =，再根据等比中项的性质得到方程，求出d ，即可得解；（2）由（1）可得11121212n n n c +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求和得到n R ，即可得到23n R <，从而求出λ的取值范围，即可得解； (1)解：设等差数列的公差为d ，由33n n a a =得[]11(31)3(1)a n d a n d +-=+-，则1a d =， 所以1(1)n a a n d nd =+-=．因为12a 、31a +、8a 成等比数列，所以()231812a a a +=⋅，即2(31)28d d d +=⋅，所以27610d d --=，解得1d =或17d =-，因为{}n a 为正项数列，所以0d >，所以1d =，所以n a n =．(2)由（1）可得()()()()1111122112121212121212n n n a n n n n a a n n c +++++⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭，所以1223111111111122121212121212312n n n n R ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为对任意n *∈N 均有23n R <，所以23λ≥，所以实数λ的最小值为2315．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知{}n a 和{}n b 均为等差数列，111a b ==，312a a a =+，542b b a =+，记{11max n c b na =-，22b na -，…，}n n b na -（n=1，2，3，…），其中{1max x ， 2x ，⋯，}s x 表示1x ，2x ，⋯，sx 这s 个数中最大的数．(1)计算1c ，2c ，3c ，猜想数列{}n c 的通项公式并证明；(2)设数列()()132n n c c ⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，若24n S m m <-+对任意n *∈N 恒成立，求偶数m 的值．【答案】(1)10c =，21c =-，32c =-，1n c n =-，证明见解析 (2)2m = 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a ，{}n b 的公差分别为1d ，2d ，利用111a b ==，312a a a =+，542b b a =+，利用通项公式可得11122d d +=+，211d d =+，可得n a ，n b ．根据10c =，21c =-，32c =-．猜想数列{}n c 的通项公式1n c n =-，证明数列{}k k b na -为单调递减数列，即可得出结论．（2）1111(3)(2)(1)(2)12n nc c n n n n ==---++++，利用裂项求和方法即可得出n S ，根据24n S m m <-+对任意*n N ∈恒成立即可得出m 的取值范围．(1)解：设等差数列{}n a 和{}n b 的公差为1d 、2d ， 那么()()()11221121114131d d d d d ⎧+=++⎪⎨+=+++⎪⎩，解得1212d d =⎧⎨=⎩，①n a n =，21n b n =-，那么，111110c b a =-=-=，{}{}21122max 2,2max 121,3221c b a b a =--=-⨯-⨯=-，{}{}3112233max 3,3,3max 131,332,5332c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-，猜想{}n c 的通项公式为1n c n =-，当3n ≥时，()()()()111120k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<，所以数列{}k k b na -关于*N k ∈单调递减， 所以{}112211max ,,,1n n n c b na b na b na b na n =---=-=-；(2) 解：()()()()()()111113221123121n n c c n n n n n n ===---++++----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以1111111123341222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭n S nn n ， 因为24n S m m <-+对任意n *∈N 恒成立，所有2142m m -+≥，解得4422m +≤≤，所以2m =． 16．（2022·天津·耀华中学一模）设数列{}()*n a n ∈N 是公差不为零的等差数列，满足369a a a +=，25796a a a +=.数列{}()*n b n ∈N 的前n 项和为n S ，且满足423n n S b +=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1b ，11x ，2b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数21x ，22x ，使2b ，21x ，22x ，3b 成等差数列；……；在n b 和1n b +之间插入n 个数1n x ，2n x ，…，nn x ，使n b ，1n x ，2n x ，…，nn x ，1n b +成等差数列.（i ）求()()()11212231323312n n n nn T x x x x x x x x x =++++++++++；（ii ）是否存在正整数m ，n ，使12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(),m n ；若不存在，请说明理由.【答案】(1)n a n =；11123n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.(2)（i ）n T 123343n n +⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（ii ）存在；(9,2)和(3,3).【解析】 【分析】（1）设}n a ｛的公差为d ，根据题意列式求出1a 和d 即可求出n a ；根据11n n n b S S ++=-可求出n b ； （2）（i ）根据等差中项的性质得到()123411357(21)2n n n T b b b b n b nb +=+++++-+，再根据错位相减法可求出n T ；（ii ）根据n T 和{}n a 的通项公式得到23213n n m +=-，推出211,13m ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，令233n nn c +=，推出{}n c 的单调性，根据单调性可知，只有2c 和31,13c ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，由此可求出结果.(1)设}n a ｛的公差为d ，0d ≠，则()111211125846648a d a d a d a d a d a d +++=+⎧⎪⎨+++=+⎪⎩，解得11a d ==， 所以1(1)11n a a n d n n =+-=+-=. 由423n n S b +=得11423b b +=，得112b =， 11423n n S b +++=，所以114()2()330n n n n S S b b ++-+-=-=，所以11422n n n b b b +++=，即113n n b b +=，所以11123n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.综上所述：n a n =；11123n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.(2)（i ）依题意得12112b b x +=，2321222()2b b x x ++=，343132333()2b b x x x +++=， 45414243444()2b b x x x x ++++=，，123n n n nn x x x x ++++1()2n n n b b ++=， 所以()()()11212231323312n n n nn T x x x x x x x x x =++++++++++2334451122()3()4()()22222n n b b b b b b n b b b b ++++++=+++++()123411357(21)2n n b b b b n b nb +=+++++-+012311111111111111()3()5()7()(21)()()2232323232323n n n n -⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅⨯+⋅⨯ ⎪⎝⎭012311111111()3()5()7()(21)()()4333333n n n n -⎛⎫=+⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ⎪⎝⎭令0123111111()3()5()7()(21)()33333n n R n -=+⨯+⨯+⨯++-⋅，则1234111111()3()5()7()(21)()333333n n R n =+⨯+⨯+⨯++-⋅，所以13n n R R -=12311111112()()()()(21)()33333n n n -⎛⎫+++++--⋅ ⎪⎝⎭， 所以1111()213312(21)()13313n n n R n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯--⋅-， 所以113(1)()3n n R n -=-+⋅，所以11()43n n n T R n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭1113433n n n n -+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭123343n n +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（ii ）假设存在正整数m ，n ，使12m n m a T a +=，即12313432n n m m ++⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即23213n n m+=-成立， 因为210m->，所以2m >，所以3m ≥，所以211,13m ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，令233n nn c +=，则1125253233(23)3n n n nn c n n c n ++++==++2512544n n n +=<+++， 所以数列{}n c 单调递减，1513c =>，279c =，313c =，当4n ≥时，4111813n c c ≤=<，所以由27219c m ==-，得9m =；由31213c m==-，得3m =， 所以存在正整数m ，n ，使12m n ma T a +=，且所有的正整数对(,)m n 为：(9,2)和(3,3). 17．（2022·天津河北·一模）设数列{}n a 的前n 项和14n n S -=， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令19(3)(3)nn n n a b a a +=++，记数列{}n b 前n 项和为n T ，求n T ；（3）利用第二问结果，设λ是整数，问是否存在正整数n ，使等式13758n n T a λ++=成立？若存在，求出λ和相应的n 值；若不存在，说明理由．【答案】（1）21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩;（2）171841n --+（3）当4λ=时，存在正整数2n =，使等式13758n n T a λ++=成立，当4,λ≠时，不存在正整数n 使等式13758n n T a λ++=成立. 【解析】 【分析】（1）直接由n a 与n S 的关系求解；（2）将（1）中求得的结果代入n b ，化简后利用裂项相消法求和； （3）将λ表示为含n 的等式，利用λ是整数，找出符合条件的n 即可. 【详解】（1）令n ＝1得，111a S ==；当n 2≥时，2134n n n n a S S --=-=⨯，所以21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩ （2）当2n ≥时，234n n a -=⨯,此时22119934(3)(3)(343)(343)n n n n n n n a b a a ---+⨯⨯==++⨯+⨯+ 21114141n n --=-++，又111293(3)(3)8a b a a ==++①213,1811,24141n n n n b n --⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥⎪++⎩.故1138T b ==，当2n ≥时，2221323131111()()841414141n T ----=+-+-+++++ 32211111()()41414141n n n n ----+-+-++++171841n -=-+.（3）若1n =， 则等式13758n n T a λ++=为37858λ+=，52λ=不是整数，不符合题意； 若2n ≥，则等式13758n n T a λ++=为11717841548n n λ---+=+⨯，11154554141n n n λ---⨯==-++ ①λ是整数, ①141n -+必是5的因数, ①2n ≥时1415n -+≥ ①当且仅当2n =时，1541n -+是整数，从而4λ=是整数符合题意.综上可知，当4λ=时，存在正整数2n =，使等式13758n n T a λ++=成立， 当4,λ≠时，不存在正整数n 使等式13758n n T a λ++=成立 【点睛】本题考查了数列的通项与前n 项和的关系，考查了裂项求和法，考查了分析问题解决问题的能力及逻辑思维能力，属于难题.18．（2022·四川达州·二模（理））已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=+，n S 为{}n a 的前n 项和. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设()1nn n b S =-，数列{}n b 的前n 项和n T 满足20n T mn ->对一切正奇数n 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)21n a n =-； (2)1m <-. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义可得数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，即求； （2）由题可得当 n 为奇数时，()12n n n T +=-，进而可得21122n n n T m <=--对一切正奇数n 恒成立，即得. (1)①11a =，12n n a a +=+， ①12n n a a +-=，①数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， ①()12121n a n n =+-=-； (2)由题可得()21212n n n S n +-==，①()()211nnn n b S n =-=-，①()221121n n b b n n n ++=-++=+，n 为奇数， ①当 n 为奇数，且3n ≥时，()22222123451nn T n =-+-+-++-()()()221212372322n n n n n n n -⋅+=+++--=-=-， 当1n =时，11T =-也适合， 故当 n 为奇数时，()12n n n T +=-， 又20n T mn ->对一切正奇数n 恒成立，①2111222n T m n n n n+<=-=--对一切正奇数n 恒成立， 又11122n--≥-， ①1m <-.19．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足()*N n n a S n -=∈321.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记()()n n n n n b n n a ⎧⎪-+⎪=⎨⎪⎪⎩12123，为奇数，为偶数，数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，若不等式()nnn n nT n λ⎛⎫-<+⋅- ⎪+⎝⎭2241132941对一切*N n ∈恒成立,求λ的取值范围. 【答案】(1)13-=n n a (2)⎛⎫- ⎪⎝⎭3546，. 【解析】【分析】（1）利用n a 与n S 的关系即可求解；（2）根据裂项相消法和错位相减法求出数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，再将不等式的恒成立问题转化为求最值问题即可求解.(1)由题意,当1n = 时，1113211a a a -=⇒=, 当2n ≥ 时， 11321n n a S ---=，所以()n n n n a a S S -----=113320， 即 13n n a a -=， ∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，11133n n n a --∴=⨯=故数列{}n a 的通项公式为13-=n n a . (2)()()12123n n n n n b n n a ⎧⎪-+⎪=⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数，由 (1)，得当n 为偶数时，13n n n n nb a -==， 当n 为奇数时， 11142123n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，设数列{}n b 的前2n 项中奇数项的和为n A ，所以n nA n n n ⎛⎫=-+-+⋯+-=⎪-++⎝⎭11111114559434141， 设数列{}n b 的前2n 项中偶数项的和为n B ， n n B n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1321111242333①n n B n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭352111112429333②，由-①②两，得()n n n n n n B n ++-⎛⨯⎫⎛⎫=⨯+⋯-⎛⎫=-⨯ ⎪++-⎪⎝⎭⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-21211321111139281111229332331319， 整理得()nn n B +⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭38927132329，故，()nn n n n n T A B n +⎛⎫=+=+-⋅ ⎪+⎝⎭23892714132329，n nn n n T n ⎛⎫⎛⎫∴+⋅-=-⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭2241272713294132329.∴ 不等式()nnn n n T n λ⎛⎫-<+⋅-⎪+⎝⎭2241132941对一切*N n ∈恒成立, 即不等式()nnλ⎛⎫-<-⋅ ⎪⎝⎭27271132329对一切*N n ∈恒成立,()xf x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭2727132329在R 上是单调增。