旅行商问题数学建模

数学建模遗传算法例题数学建模中，遗传算法是一种基于进化思想的优化算法，可以应用于复杂的优化问题中。

本文将介绍一些遗传算法的例题，帮助读者更好地理解遗传算法的应用。

例题一：背包问题有一个体积为V的背包和n个物品，第i个物品的体积为vi，价值为wi。

求这个背包最多能装多少价值的物品。

遗传算法的解决步骤：1. 初始化种群：随机生成一定数量的个体作为初始种群。

2. 适应度函数：将每个个体代入适应度函数，计算其适应度值。

3. 选择：根据每个个体的适应度值，选择一定数量的个体进入下一代。

4. 交叉：对被选中的个体进行交叉操作，生成新的个体。

5. 变异：对新的个体进行变异操作，引入新的基因。

6. 重复以上步骤，直到符合终止条件。

在背包问题中，适应度函数可以定义为：背包中物品的总价值。

交叉操作可以选择单点交叉或多点交叉，变异操作可以选择随机变异或非随机变异。

例题二：旅行商问题有n个城市，旅行商需要依次经过这些城市，每个城市之间的距离已知。

求旅行商经过所有城市的最短路径。

遗传算法的解决步骤：1. 初始化种群：随机生成一定数量的个体作为初始种群，每个个体代表一种旅行路线。

2. 适应度函数：将每个个体代入适应度函数，计算其适应度值。

3. 选择：根据每个个体的适应度值，选择一定数量的个体进入下一代。

4. 交叉：对被选中的个体进行交叉操作，生成新的个体。

5. 变异：对新的个体进行变异操作，引入新的基因。

6. 重复以上步骤，直到符合终止条件。

在旅行商问题中，适应度函数可以定义为：旅行商经过所有城市的总距离。

交叉操作可以选择顺序交叉或部分映射交叉，变异操作可以选择交换或反转基因序列。

总结：遗传算法是一种强大的优化算法，可以应用于多种复杂的优化问题中。

在数学建模中，遗传算法的应用也越来越广泛。

本文介绍了背包问题和旅行商问题的遗传算法解决步骤，希望对读者有所帮助。

关于旅行商问题的数学模型旅行商问题（TravelingSalesmanProblem，TSP）是著名的组合优化问题，它的目标是找到一条路径，使得一个旅行商可以经过所有给定的城市，路径总长度最短。

这个问题在实际生活中有着广泛的应用，例如物流配送、电路板布线、DNA序列比对等领域。

本文将介绍旅行商问题的数学模型和解法。

1. 问题描述假设有n个城市，它们的位置分别为(xi,yi)，i=1,2,...,n。

旅行商要从一个城市出发，经过所有城市恰好一次，最后回到出发城市。

城市之间的距离可以用欧几里得距离表示：d(i,j) = sqrt((xi-xj)^2 + (yi-yj)^2)旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。

2. 数学模型2.1 定义变量我们定义变量xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择，如果被选择则xij=1，否则xij=0。

例如，x12表示从城市1到城市2的路径是否被选择。

2.2 目标函数旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。

因此，我们可以定义目标函数为：minimize ∑i∑j d(i,j)xij其中，i,j表示城市的编号，d(i,j)表示城市i和城市j之间的距离，xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择。

2.3 约束条件旅行商需要经过所有城市恰好一次，因此我们需要添加以下约束条件：1. 每个城市只能被经过一次：∑j xij = 1, i=1,2,...,n2. 每个城市离开后只能到达一个城市：∑i xij = 1, j=1,2,...,n3. 不能出现子回路：∑i∈S ∑j∈S xij ≤ |S|-1, S{1,2,...,n}, |S|≥2其中，第一个约束条件表示每个城市只能被经过一次，第二个约束条件表示每个城市离开后只能到达一个城市，第三个约束条件表示不能出现子回路。

3. 解法旅行商问题是一个NP难问题，没有多项式时间算法可以求解。

因此，我们需要使用一些启发式算法来求解这个问题。

《物流软件》实验报告实验编号：实验2学号：序号：姓名：班级：2015年10月一、旅行商问题（1）数学模型设di是两点i与j之间的距离，Xij=0或1（1表示连接，0表示不连接）则有Min∑∈VjXij dij*s.t. ∑∈VjXij=1 ，（每个点只有一条边出去），i∈V∑∈VjXji=1，（每个点只有一条边进入），i∈V(除起点与重点外，个边不构成圈)（2）L INGO程序MODEL:SETS:CENTERS/1..8/:LEVEL;LINK(CENTERS,CENTERS):DISTANCE,X;ENDSETSDATA:DISTANCE = 0 3 2 3 4 3 5 63 0 2 3 2 3 1 42 2 0 1 43 2 53 3 1 0 1 14 3 44 2 4 1 0 2 2 33 3 3 14 2 0 8 45 1 2 3 2 8 0 36 4 5 4 3 4 3 0;ENDDATAN=@SIZE(CENTERS);MIN=@SUM(LINK(I,J)|i #ne# j :distance(i,j)*x(i,j));@for(centers(i):@sum(centers(j)|j #ne# i:x(j,i))=1;@SUM(CENTERS(J)|J #NE# I:X(I,J)) = 1;@FOR(CENTERS(j)|J #GT# 1 #AND# J #NE# I :LEVEL(J)>=LEVEL(I)+X(I,J)-(N-2)*(1-X(i,J))+(N-3)*X(J,I););); @FOR(LINK:@BIN(X));@FOR(CENTERS(I)|I #GT# 1:LEVEL(I)<=N-1-(N-2)*X(1,I);LEVEL(I)>=1+(N-2)*X(I,1););ENDCENTERS/1..8/是基本集合名字，元素为1到8。

LEVEL 为其元素。

图算法--旅⾏商问题旅⾏商问题的描述试想⼀下，⼀个业务员因⼯作需要必须访问多个城市。

他的⽬标是每个城市只访问⼀次，并且尽可能地缩短旅⾏的距离，最终返回到他开始旅⾏的地点，这就是旅⾏商问题的主要思想。

在⼀幅图中，访问每个顶点⼀次，并最终返回起始顶点，这个访问的轨迹称为哈密顿圈。

要解决旅⾏商问题，需要⽤图G=（V，E）作为模型，寻找图中最短的哈密顿圈。

G是⼀个完整的、⽆⽅向的带权图，其中V代表将要访问的顶点的集合，E为连接这些顶点的边的集合。

E中每条边的权值由顶点之间的距离决定。

由于G中⼀个完整的、⽆⽅向的图，因此E包含V（V-1）/2条边。

事实上，旅⾏商问题是⼀种特殊的⾮多项式时间问题，称为NP完全问题。

NP完全问题是指那些多项式时间算法未知，倘没有证据证明没有解决的可能性的问题。

考虑到这种思想，通常⽤⼀种近似算法来解决旅⾏商问题。

最近邻点法的应⽤⼀种近似的计算旅⾏商路线的⽅法就是使⽤最近邻点法。

其运算过程如下：从⼀条仅包含起始顶点的路线开始，将此顶点涂⿊。

其他顶点为⽩⾊，在将其他顶点加⼊此路线中后，再将相应顶点涂⿊。

接着，对于每个不在路线中的顶点v，要为最后加⼊路线的顶点u与v之间的边计算权值。

在旅⾏商问题中，u与v之间边的权值就是u到v 之间的距离。

这个距离可以⽤每个顶点的坐标计算得到。

两个点（x1，y1）与（x2，y2）之间距离的计算公式如下：r = √（x2 - x1）2 + （y2 - y1）2 （注意是求和的平⽅根）利⽤这个公式，选择最接近u的顶点，将其涂⿊，同时将其加⼊路线中。

接着重复这个过程，直到所有的顶点都涂成⿊⾊。

此时再将起始顶点加⼊路线中，从⽽形成⼀个完整的回路。

下图展⽰了使⽤最近邻点法来解决旅⾏商问题的⽅法。

通常，在为旅⾏商问题构造⼀个图时，每个顶点之间相连的边不会显⽰表⽰出来，因为这种表⽰会让图不清晰了，也没有必要。

在图中，每个顶点旁边都显⽰其坐标值，虚线表⽰在此阶段需要⽐较距离的边。

理工学院数学建模大型作业2011—2012 学年第1学期目录一．摘要二．旅行问题1.问题描述2.符号说明3.模型设计4.建模求解5.模型分析三．建模过程及心得体会四．参考文件一．摘要本文是一个围绕旅行商问题和背包问题这两个经典问题的论文。

问题一,是一个依赖与每个城市去一次且仅去一次的路线确定问题,问题二类似于问题一。

问题三是一个依赖于可背重量限制的背包问题。

关键词：HAMILTON回路LINGO 最优旅行路线0-1模型二．旅行问题问题描述某人要在假期从城市A出发,乘火车或飞机到城市B,C,D,E,F旅游购物。

他计划走遍这些城市各一次且仅一次,最后返回城市A。

已知城市间的路费数据见附表1,请你设计一条旅行路线使得他的总路费最少。

如果临行他因故只能去4个城市,该怎样修订旅行路线？ 在城市间旅游时他计划购买照相机,衣服,书籍,摄像机,渔具,白酒,食品,而受航空行重量的限制以及个人体力所限,所买物品的总重量不能超过15kg,各种物品的价格见附表2.请你为他决策买哪些物品,使所买物品价值最大。

模型设计首先给出一个定义：设v1,v2,......,vn 是图G 中的n 个顶点,若有一条从某一顶点v1出发,经过各节点一次且仅一次,最后返回出发点v1的回路,则称此回路为HAMILTON 回路。

问题1.分析：这个优化问题的目标是使旅行的总费用最少,要做的决策是如何设定旅行路线,决策受的约束条件：每个城市都必须去,但仅能去一次。

按题目所给,将决定变量,目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来,就可得一下模型。

模型建立：对于6个城市的旅行问题设A,B,C,D,E,F 六个城市分别对应v1,v2,v3,v4,v5,v6。

假设ij d 表示从城市i 到城市j 的费用。

定义0-1整数型变量ij x =1表示从城市i 旅行到城市j,否则ij x =0。

则旅行问题的数学模型可表示为一个整数规划问题。

min z=661ij ij i j dx =∑∑ <i ≠j>s.t.61ij i x=∑=1 〔i ≠j ；j=1,2,……,6 61ij j x=∑=1 <i ≠j ；i=1,2, (6)1i j ij u u nx n -+≤- <i ≠j;i=2,3,……,6;j=2,3,……6>其中辅助变量i u 〔i=2,3,……,6可以是连续变化的,虽然这些变量在最优解中取普通的整数值〔从而在约束条件中,可以限定这些变量为整数。

走遍全中国方案的研究摘要本文通过对走遍中国各省会城市、直辖市和港澳台的最优路径选择问题进行分析，发现这是一个十分典型的旅行商问题（Traveling Salseman Problem ），即寻找一条遍历n 个城市（在本文中为34个城市）的最短路径。

我们搜索了这34个城市的经纬度和部分列车、航班时刻表等各方面信息，综合省钱、省时、方便等因素，进一步深入并细化，从而得到判断各订票方案的准则。

针对问题一，我们利用欧几里得平面知识，由公式0002901800290A B x R A y R ππ+⎧=⋅⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩将该34个城市的经纬度转化为平面直角坐标，从而将其简化成二维平面问题。

目前，解旅行商问题（tsp 问题）的方法有许多种，本文采用了较为先进的遗传算法。

遗传算法是目前解决组合优化问题最有效的工具之一，本文介绍了遗传算法的基本原理，讨论了遗传算法中的有关遗传算子设计等方面的技术。

由于该算法在搜索空间中同时考虑了许多点，这样就减少了收敛于局部极小的可能，也增加了处理的并行性。

同时，我们利用MATLAB 软件编辑了相关程序，计算出了遍历该34个城市的最短路径，其路径长度为14661km 。

对于问题二，在只考虑旅行路线最经济的前提下，结合第一问得出的最优路径，我们收集了这34个城市的列车和航班时刻表等信息，从而找出最经济的订票方案，并得其花费为11426元。

针对问题三，在综合考虑省时、省钱、方便等诸多因素的前提下制定订票方案的评价准则，我们运用了层次分析法对其进行研究。

根据对旅行过程中省时，省钱及方便的偏重程度，我们相应地给出了判断矩阵111571513731⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，然后对其进行一致性检验，发现其不一致程度在容许范围内。

因此我们利用其最大特征根max λ对应的特征向量w 作为比较因素的权向量，并得到以下评价表达式：12120.0740.2830.643*(0.8330.167)C x x x x =+++。

多旅行商问题研究综述一、问题定义与数学模型多旅行商问题（Multiple Traveling Salesman Problem，MTSP）是旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）的扩展，是组合优化领域中的经典问题之一。

在MTSP中，有多个旅行商需要遍历各自的销售区域，并在有限的时间内完成各自的旅程。

每个旅行商的旅程起点和终点固定，且每个旅行商的路径不能交叉，也不能重复。

MTSP的目标是在满足约束条件下，最小化所有旅行商行走的总距离。

数学模型通常采用整数规划或图论表示。

对于一个具有n个顶点的完全图，每个顶点代表一个城市或客户，边代表城市之间的道路。

MTSP可以转化为在图中寻找n个哈密尔顿回路（Hamiltonian Cycle）的问题。

由于图论表示方法具有一定的局限性，近年来研究者们提出了更复杂的数学模型，如超图、混合图等。

二、求解方法与算法设计MTSP是一个NP-hard问题，求解非常困难。

因此，研究者们提出了许多近似算法和启发式方法。

这些方法大致可以分为两类：基于贪婪策略的方法和基于元启发式的方法。

1. 基于贪婪策略的方法：这类方法通常采用局部搜索策略，从当前解出发，通过不断地进行局部搜索和改进来寻找最优解。

代表性的方法包括：最小生成树法、分支定界法、回溯法等。

2. 基于元启发式的方法：这类方法采用一些启发式策略来指导搜索过程，如遗传算法、模拟退火、粒子群优化等。

这些方法能够在较短的时间内找到可接受的解，但并不能保证找到全局最优解。

此外，近年来还出现了一些新的求解方法，如深度学习、强化学习等人工智能算法也被应用于MTSP的求解。

这些方法通常需要大量的数据和计算资源，但可以处理更大规模和更复杂的MTSP问题。

三、特定场景下的多旅行商问题随着应用领域的不断扩展，MTSP已经应用于许多特定场景中，如供应链管理、物流配送、城市规划等。

在这些场景中，MTSP需要考虑更多的实际因素和约束条件，如车辆路径限制、时间窗限制等。

数学建模经典问题
数学建模是一种将现实问题转化为数学问题，并通过数学方法求解的过程。

经典的数学建模问题有很多，以下列举几个典型的例子。

1. 集装箱装载问题：如何在给定的集装箱内，最大化货物的装
载量？这个问题可以转化为一个优化问题，通过线性规划等方法求解。

2. 旅行商问题：如何在给定的一组城市中，找到一条遍历所有
城市且总路程最短的路径？这个问题可以通过遗传算法等方法求解。

3. 贪心算法：贪心算法是一种基于贪心策略的算法，它通常用
于优化问题。

比如，假设有一组活动，每个活动都有一个开始时间和结束时间，如何在不发生冲突的情况下，安排尽可能多的活动？这个问题可以通过贪心算法求解。

4. 马踏棋盘问题：如何让一匹马在棋盘上走遍所有格子，且每
个格子只走一次？这个问题可以通过回溯算法求解。

5. 神经网络：神经网络是一种模仿人脑神经元结构和功能的计
算模型。

它可以用于分类、回归、聚类等问题。

这些经典的数学建模问题都有着广泛的应用价值，它们不仅给我们提供了解决实际问题的方法，也为我们深入理解数学方法的应用提供了宝贵的经验和启示。

- 1 -。

以点0表示旅行商的出发城市，称为源点，点1,2,,l 表示m 个旅行商需访问的城市。

MTSP 问题的数学模型可以表示为： 令10ij x ⎧=⎨⎩弧(i,j)在线路上 弧(i,j)不在线路上模型表示如下：0000min 10,1,,10,1,,()01,0,1,,R R ij iji j R ij i R ij j ij ij z d x x j R x i R X x Sx i j R====⎧=⎪⎪⎪==⎪⎪⎨⎪==⎪⎪=∈⎪⎪==⎩∑∑∑∑或 式中：1;ij R m l d =+-为增广费用。

若用(,1,,)ij c i j l =表示旅行商经过对应弧度(,)i j 所花的费用，如时间、距离、花费等，那么给ij c 增加(1)m -行和(1)m -列，每一新的行或列是ij c 的最后一行或列的复制，增广矩阵的其他元素为无穷大，由此构成了增广费用ij d 。

一般MTSP 中，旅行商访问l 个城市必须满足以下2个条件。

条件1：从指定城市出发，对其他所有城市严格访问一次后返回原出发城市。

条件2：一条有效路径严格由m 条非平凡子路径(Nontrivial Subtours)组成。

所谓非平凡子路径是指该路径中除出发城市外，至少访问一个其他城市。

用遗传算法求解MTSP ，可通过附加虚拟城市的方法把MTSP 转化为TSP 。

将另外(1)m -个旅行商理解为(1)m -个虚拟城市，这(1)m -个虚拟城市标号分别为1,2,,1,l l l m +++-，它们与城市0具有相同的坐标(即相同位置)。

在旅行商访问路径中出现的每一个虚拟城市均表示旅行商返回出发城市，从而组成一个回路。

每个回路表示MTSP 中一个旅行商的旅行路径。

需注意的是，为了避免出现平凡子路径，必须假设(1)m -个虚拟城市到原点的距离为00(,0,1,,1),ij c M i j l l m M ==++-为一无穷大的正数（即永远不能达到），到其他各点距离与原点一致，这样遗传算法就不会出现0-0-0的途径。

安徽工程大学数学建模课程设计论文C 最佳旅游路线设计姓名：李阳班级：数学112学号：3110801221指导老师：周金明成绩：完成日期：2013年7月3日q摘要旅行商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一。

假设有一个旅行商人要拜访N个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。

路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。

其实际问题的约束条件复杂，目标函数多样，问题的特殊性使其甚至不具有最优算法。

本文则运用多种方法多角度对这一问题进行了建模及求解。

第一问从传统的图论解法开始，通过无向图的Hamilton回路建模，使用Dijkstra的改进算法将问题转化为单目标的非线性规划函数并得出了单一旅行商的问题。

第二、三问仍从图论入手，基于最小生成树用两种方法共同建立出模型。

第四问的求解跳出传统的算法框架，借用经济学中消费者效用的概念从旅行者的角度出发，先运用模糊数学的层次分析法（AHP）将复杂的满意度的主观评价问题定量分析，得出比较分散的景点选择域。

考虑到游客在消费博弈中的自组织行为和政府规划的管制效应，建立局部反馈的RBF神经网络模型通过迭代对景点选区进行优化。

最后运用Huffman 二叉树对景点进行路性组织，得到适合于不同品味人群的五条路线，同时还分散了游客对环境和资源的压力。

模型的建立过程中从浅入深，虽然还存在很大改进余度，但已逐步摒弃了传统TSP问题中对游客刚性的、理性的、线性的行为假设，还原了社会生活中柔性的、非线性，非理想的行为人模式，具有很强的现实价值和拓展前景。

关键词：TSP问题多目标动态优化最短路径 Hamilton回路最小生成树主观评价层次分析法 RBF神经网络最优二叉树非线性一.问题的重述王先生夫妇是华东某高校的年轻教师，打算暑假中到新疆旅游。

受文学作品的影响，天池、达坂城、吐鲁番、楼兰古城、伊犁都是他们十分向往的地方，新疆的其他地方对他们也有很大的吸引力。

四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。

1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。

1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。

如何将尽可能多的物品装入背包。

多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。

如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。

多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。

该问题属于NP 难问题。

● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。

工人i 完成工作j 的时间为ij d 。

如何安排使总工作时间最小。

二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。

二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

●旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n个城市，城市i与j之间的距离为d，找一条经过n个城ij市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。

●车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。

TSP问题是VRP问题的特例。

●车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j个工作和m台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。

令x ij 弧(i,j)在线路上弧(i,j) 不在线路上以点0表示旅行商的出发城市，称为源点，点1,2丄，1表示m个旅行商需访问的城市。

MTSP问题的数学模型可以表示为:模型表示如下:RRmin z d ij x iji0j0Rx ij 1 j 0,1,L ,Ri0Rx ij 1 i 0,1,L ,R j0X (x ij ) Sx ij 0或1 i, j 0,1,L ,R式中：R m l 1;d ij为增广费用。

若用C ij (i,j 1,L ,1)表示旅行商经过对应弧度(i, j)所花的费用，如时间、距离、花费等，那么给q增加(m 1)行和(m 1)列，每一新的行或列是c ij 的最后一行或列的复制，增广矩阵的其他元素为无穷大，由此构成了增广费用d ij 。

一般MTSP中，旅行商访问I个城市必须满足以下2个条件。

条件 1：从指定城市出发，对其他所有城市严格访问一次后返回原出发城市。

条件2：一条有效路径严格由m条非平凡子路径(Nontrivial Subtours)组成。

所谓非平凡子路径是指该路径中除出发城市外，至少访问一个其他城市。

用遗传算法求解MTSP，可通过附加虚拟城市的方法把 MTSP转化为TSP。

将另外(m 1)个旅行商理解为(m 1)个虚拟城市，这(m 1)个虚拟城市标号分别为l 1,l 2,L ,l m 1,，它们与城市0具有相同的坐标(即相同位置)。

在旅行商访问路径中出现的每一个虚拟城市均表示旅行商返回出发城市，从而组成一个回路。

每个回路表示MTSP中一个旅行商的旅行路径。

需注意的是，为了避免出现平凡子路径，必须假设(m 1)个虚拟城市到原点的距离为c ij M0(i, j 0,l 1,L ,l m 1 ) , M 0为一无穷大的正数(即永远不能达到) ，到其他各点距离与原点一致，这样遗传算法就不会出现 0-0-0 的途径。

将源点 0 复制(m 1)个，m个源点编号为0,1 1,L l m 1,每一个同源点0 —样与其他MTSP 线路就分解成m 个分 点相连，而m 个源点互相不连接，这样在结点集 0,1丄，1,1 1丄，1 m 1上, 可得到TSP 线路，然后各源点合并成一个点。