关于旅行商问题的数学模型

胡不归问题模型一胡不归例题胡不归问题（也被称为旅行商问题）是一个经典的组合优化问题，它要求在给定一系列城市和它们之间的距离的情况下，找到一条最短路径，使得旅行商能够经过每个城市一次，并最终回到出发城市。

这是一个NP困难问题，意味着目前没有已知的多项式时间算法能够在所有情况下得到最优解。

在本文中，我们将探讨一个具体的胡不归问题例题，并给出一种解决方案。

例题描述：假设有五个城市 A、B、C、D、E，它们之间的距离分别为：AB = 12，AC = 10，AD = 8，AE = 15，BC = 11，BD = 14，BE = 5，CD = 13，CE = 7，DE = 9。

旅行商从城市 A 出发，求出一条最短路径，经过每个城市一次，并回到城市 A。

解决方案：为了解决胡不归问题，可以使用启发式算法来逼近最优解。

一种常见的启发式算法是贪婪算法，它每次选择当前最优的路径，直到找到整个路程的最优解。

首先，我们假设旅行商从城市 A 出发。

根据题目描述，我们可以列出城市 A 到其他城市之间的距离表：A->B: 12A->C: 10A->D: 8A->E: 15我们可以根据距离排序，从最短的路径开始选择。

首先，我们选择距离最短的路径A->D（距离为8）。

然后，我们将旅行商移到城市D，并将其从路径表中删除。

现在，路径表变为：D->A: 8D->B: 14D->E: 9接下来，我们选择距离最短的路径 D->A（距离为 8）。

因为这是最后一个城市，旅行商已经经过了所有城市，所以我们不需要再继续选择路径。

此时，路径表为空。

根据选择的路径，我们可以得到最短路径为 A->D->A，总距离为 16。

虽然贪婪算法无法保证找到全局最优解，但它通常能够得到较好的近似解。

在这个例子中，贪婪算法给出的解 A->D->A 的总距离为 16，这可能不是最优解，但已经很接近最优解了。

旅行商问题(traveling saleman problem,简称tsp)：已知n 个城市之间的相互距离，现有一个推销员必须遍访这n 个城市，并且每个城市只能访问一次，最后又必须返回出发城市。

如何安排他对这些城市的访问次序，可使其旅行路线的总长度最短？用图论的术语来说，假设有一个图g=(v,e)，其中v 是顶点集，e 是边集，设d=(dij)是由顶点i 和顶点j 之间的距离所组成的距离矩阵，旅行商问题就是求出一条通过所有顶点且每个顶点只通过一次的具有最短距离的回路。

这个问题可分为对称旅行商问题(dij=dji,,任意i,j=1,2,3，…,n)和非对称旅行商问题(dij ≠dji,,任意i,j=1,2,3，…,n)。

若对于城市v={v1,v2,v3,…,vn}的一个访问顺序为t=(t1,t2,t3,…,ti,…,tn),其中ti∈v(i=1,2,3,…,n)，且记tn+1= t1，则旅行商问题的数学模型为：min l=σ d(t(i),t(i+1)) （i=1,…,n）旅行商问题是一个典型的组合优化问题，并且是一个np 难问题，其可能的路径数目与城市数目n 是成指数型增长的，所以一般很难精确地求出其最优解，本文采用遗传算法求其近似解。

遗传算法：初始化过程：用v1,v2,v3,…,vn 代表所选n 个城市。

定义整数pop-size 作为染色体的个数，并且随机产生pop-size 个初始染色体，每个染色体为1 到18 的整数组成的随机序列。

适应度f 的计算：对种群中的每个染色体vi，计算其适应度，f=σ d(t(i),t(i+1)). 评价函数eval(vi)：用来对种群中的每个染色体vi 设定一个概率，以使该染色体被选中的可能性与其种群中其它染色体的适应性成比例，既通过轮盘赌，适应性强的染色体被选择产生后台的机会要大，设alpha ∈(0,1) ，本文定义基于序的评价函数为eval(vi)=alpha*(1-alpha).^(i-1) 。

关于旅行商问题的数学模型旅行商问题（TravelingSalesmanProblem，TSP）是著名的组合优化问题，它的目标是找到一条路径，使得一个旅行商可以经过所有给定的城市，路径总长度最短。

这个问题在实际生活中有着广泛的应用，例如物流配送、电路板布线、DNA序列比对等领域。

本文将介绍旅行商问题的数学模型和解法。

1. 问题描述假设有n个城市，它们的位置分别为(xi,yi)，i=1,2,...,n。

旅行商要从一个城市出发，经过所有城市恰好一次，最后回到出发城市。

城市之间的距离可以用欧几里得距离表示：d(i,j) = sqrt((xi-xj)^2 + (yi-yj)^2)旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。

2. 数学模型2.1 定义变量我们定义变量xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择，如果被选择则xij=1，否则xij=0。

例如，x12表示从城市1到城市2的路径是否被选择。

2.2 目标函数旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。

因此，我们可以定义目标函数为：minimize ∑i∑j d(i,j)xij其中，i,j表示城市的编号，d(i,j)表示城市i和城市j之间的距离，xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择。

2.3 约束条件旅行商需要经过所有城市恰好一次，因此我们需要添加以下约束条件：1. 每个城市只能被经过一次：∑j xij = 1, i=1,2,...,n2. 每个城市离开后只能到达一个城市：∑i xij = 1, j=1,2,...,n3. 不能出现子回路：∑i∈S ∑j∈S xij ≤ |S|-1, S{1,2,...,n}, |S|≥2其中，第一个约束条件表示每个城市只能被经过一次，第二个约束条件表示每个城市离开后只能到达一个城市，第三个约束条件表示不能出现子回路。

3. 解法旅行商问题是一个NP难问题，没有多项式时间算法可以求解。

因此，我们需要使用一些启发式算法来求解这个问题。

《物流软件》实验报告实验编号：实验2学号：序号：姓名：班级：2015年10月一、旅行商问题（1）数学模型设di是两点i与j之间的距离，Xij=0或1（1表示连接，0表示不连接）则有Min∑∈VjXij dij*s.t. ∑∈VjXij=1 ，（每个点只有一条边出去），i∈V∑∈VjXji=1，（每个点只有一条边进入），i∈V(除起点与重点外，个边不构成圈)（2）L INGO程序MODEL:SETS:CENTERS/1..8/:LEVEL;LINK(CENTERS,CENTERS):DISTANCE,X;ENDSETSDATA:DISTANCE = 0 3 2 3 4 3 5 63 0 2 3 2 3 1 42 2 0 1 43 2 53 3 1 0 1 14 3 44 2 4 1 0 2 2 33 3 3 14 2 0 8 45 1 2 3 2 8 0 36 4 5 4 3 4 3 0;ENDDATAN=@SIZE(CENTERS);MIN=@SUM(LINK(I,J)|i #ne# j :distance(i,j)*x(i,j));@for(centers(i):@sum(centers(j)|j #ne# i:x(j,i))=1;@SUM(CENTERS(J)|J #NE# I:X(I,J)) = 1;@FOR(CENTERS(j)|J #GT# 1 #AND# J #NE# I :LEVEL(J)>=LEVEL(I)+X(I,J)-(N-2)*(1-X(i,J))+(N-3)*X(J,I););); @FOR(LINK:@BIN(X));@FOR(CENTERS(I)|I #GT# 1:LEVEL(I)<=N-1-(N-2)*X(1,I);LEVEL(I)>=1+(N-2)*X(I,1););ENDCENTERS/1..8/是基本集合名字，元素为1到8。

LEVEL 为其元素。

基于动态规划的旅行商问题优化模型旅行商问题是一个经典的组合优化问题，目的是找到一条最短的路径，使得旅行商能够恰好访问每个城市一次后回到起始城市。

这个问题的算法复杂度随着城市数量的增加而指数级增长，在实际应用中往往需要找到一种高效的解决方法。

为了优化旅行商问题，可以采用动态规划的方法来求解。

动态规划是一种将问题拆分成子问题并存储中间结果，以避免重复计算的算法思想。

在旅行商问题中，动态规划可以用来计算城市间的最短路径以及最优解。

首先，我们需要定义一个状态转移方程来描述问题的最优解。

设dp[i][j]表示从起始城市出发，经过城市集合i后到达城市j的最短路径长度。

我们可以利用子问题的最优解来计算整体问题的最优解。

状态转移方程如下：dp[i][j] = min{dp[i\j][k] + dist(k, j)}，其中i\j表示从i中去掉城市j后的城市集合，dist(k, j)表示从城市k到城市j的距离。

基于此状态转移方程，我们可以采用动态规划的方法求解旅行商问题。

具体步骤如下：1. 初始化二维数组dp，并将初始状态设置为无穷大。

2. 对于每个子问题(i, j)，遍历城市k，找到dp[i\j][k] + dist(k, j)的最小值。

3. 更新dp[i][j]的值为上一步骤中求得的最小值。

4. 重复步骤2和步骤3，直到遍历完所有的子问题。

5. 最后，dp[0][0]即为最优解，表示从起始城市出发经过所有城市一次后回到起始城市的最短路径长度。

除了动态规划方法外，还可以使用其他的优化策略来解决旅行商问题。

例如，遗传算法、模拟退火算法等启发式算法。

这些算法通常通过随机搜索的方式来找到较优解，虽然不能保证找到全局最优解，但在实际问题中具有较高的效率。

除了以上提到的求解方法，我们对于旅行商问题还可以做一些限定条件的优化。

例如，通过对城市进行聚类，可以先将城市分为若干组，再分别求解每个组内的最优路径。

这样可以减少计算量，提高求解效率。

TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP,即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。

其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij ）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。

旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji , ni j=1 , 2, 3, ?, n）;2）非对称旅行商问题（dij dji, ? i, j=1 , 2, 3, ?, n）。

非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。

若对于城市V={V1, V2, V3, ?, V n}的一个访问顺序为T={t l, t2, t3, ?, t i, ?, t n}，其JT中t& V （i=1 , 2, 3, ?, n）,且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL= TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。

因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。

二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。

但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略2.1模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略一一路径编码。

2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）;②逆序操作（INV ）;③插入操作（INS）。

组合优化中的旅行商问题求解在组合优化领域中，旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一类具有重要实际应用价值和理论研究意义的问题。

该问题要求在给定一系列城市和各城市之间的距离情况下，找到一条最短路径，使得旅行商能够恰好访问每个城市一次，并最终回到出发城市。

TSP在计算机科学、运筹学和数学等多个领域都得到了广泛的关注和研究。

1. TSP的数学建模旅行商问题可以用图论中的图来描述和解决。

首先，我们将每个城市表示为图中的一个节点，城市之间的距离表示为节点之间的边。

若每对节点之间的边都有权重，表示相应城市之间的距离，旅行商问题就可以转化为求解图的最短哈密顿回路（Hamiltonian cycle）的问题。

2. 求解TSP的经典算法2.1 蛮力算法蛮力算法是最简单直观的求解TSP的方法，它遍历所有可能的路径，并计算出总的路径长度，然后选择最短路径作为解。

然而，蛮力算法的时间复杂度为O(n!)，当城市数量增加时，计算时间将呈指数级增长，因此适用于城市数量较少的情况。

2.2 最邻近插入算法最邻近插入算法从一个起始城市开始，每次选择离当前城市最近的未访问城市作为下一个访问城市，直到访问完所有城市，并回到起始城市。

该算法的时间复杂度为O(n^2)，但它可能会得到次优解，因为贪心策略在选择下一个城市时只考虑了当前状态，没有考虑到整体最优解。

2.3 分支限界法分支限界法是一种基于回溯的求解TSP的优化方法，其思想是通过剪枝操作，去掉一些分支，从而减少搜索空间。

该算法首先选择一个起始城市，然后逐步扩展路径，每次选择一个未访问的城市，并通过计算路径长度来更新当前最优路径。

同时，在搜索过程中，根据当前路径长度和已知的最短路径长度，进行剪枝操作，以减少无效的计算。

分支限界法可以得到较优的解，但其时间复杂度仍然较高，因此在处理大规模问题时可能会面临困难。

3. 近似算法及元启发式算法为了求解大规模问题或提高求解效率，研究者们提出了许多近似算法和元启发式算法。

走遍全中国方案的研究摘要本文通过对走遍中国各省会城市、直辖市和港澳台的最优路径选择问题进行分析，发现这是一个十分典型的旅行商问题（Traveling Salseman Problem ），即寻找一条遍历n 个城市（在本文中为34个城市）的最短路径。

我们搜索了这34个城市的经纬度和部分列车、航班时刻表等各方面信息，综合省钱、省时、方便等因素，进一步深入并细化，从而得到判断各订票方案的准则。

针对问题一，我们利用欧几里得平面知识，由公式0002901800290A B x R A y R ππ+⎧=⋅⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩将该34个城市的经纬度转化为平面直角坐标，从而将其简化成二维平面问题。

目前，解旅行商问题（tsp 问题）的方法有许多种，本文采用了较为先进的遗传算法。

遗传算法是目前解决组合优化问题最有效的工具之一，本文介绍了遗传算法的基本原理，讨论了遗传算法中的有关遗传算子设计等方面的技术。

由于该算法在搜索空间中同时考虑了许多点，这样就减少了收敛于局部极小的可能，也增加了处理的并行性。

同时，我们利用MATLAB 软件编辑了相关程序，计算出了遍历该34个城市的最短路径，其路径长度为14661km 。

对于问题二，在只考虑旅行路线最经济的前提下，结合第一问得出的最优路径，我们收集了这34个城市的列车和航班时刻表等信息，从而找出最经济的订票方案，并得其花费为11426元。

针对问题三，在综合考虑省时、省钱、方便等诸多因素的前提下制定订票方案的评价准则，我们运用了层次分析法对其进行研究。

根据对旅行过程中省时，省钱及方便的偏重程度，我们相应地给出了判断矩阵111571513731⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，然后对其进行一致性检验，发现其不一致程度在容许范围内。

因此我们利用其最大特征根max λ对应的特征向量w 作为比较因素的权向量，并得到以下评价表达式：12120.0740.2830.643*(0.8330.167)C x x x x =+++。