关于旅行商问题的数学模型

胡不归问题模型一胡不归例题胡不归问题（也被称为旅行商问题）是一个经典的组合优化问题，它要求在给定一系列城市和它们之间的距离的情况下，找到一条最短路径，使得旅行商能够经过每个城市一次，并最终回到出发城市。

这是一个NP困难问题，意味着目前没有已知的多项式时间算法能够在所有情况下得到最优解。

在本文中，我们将探讨一个具体的胡不归问题例题，并给出一种解决方案。

例题描述：假设有五个城市 A、B、C、D、E，它们之间的距离分别为：AB = 12，AC = 10，AD = 8，AE = 15，BC = 11，BD = 14，BE = 5，CD = 13，CE = 7，DE = 9。

旅行商从城市 A 出发，求出一条最短路径，经过每个城市一次，并回到城市 A。

解决方案：为了解决胡不归问题，可以使用启发式算法来逼近最优解。

一种常见的启发式算法是贪婪算法，它每次选择当前最优的路径，直到找到整个路程的最优解。

首先，我们假设旅行商从城市 A 出发。

根据题目描述，我们可以列出城市 A 到其他城市之间的距离表：A->B: 12A->C: 10A->D: 8A->E: 15我们可以根据距离排序，从最短的路径开始选择。

首先，我们选择距离最短的路径A->D（距离为8）。

然后，我们将旅行商移到城市D，并将其从路径表中删除。

现在，路径表变为：D->A: 8D->B: 14D->E: 9接下来，我们选择距离最短的路径 D->A（距离为 8）。

因为这是最后一个城市，旅行商已经经过了所有城市，所以我们不需要再继续选择路径。

此时，路径表为空。

根据选择的路径，我们可以得到最短路径为 A->D->A，总距离为 16。

虽然贪婪算法无法保证找到全局最优解，但它通常能够得到较好的近似解。

在这个例子中，贪婪算法给出的解 A->D->A 的总距离为 16，这可能不是最优解，但已经很接近最优解了。

旅行商问题(traveling saleman problem,简称tsp)：已知n 个城市之间的相互距离，现有一个推销员必须遍访这n 个城市，并且每个城市只能访问一次，最后又必须返回出发城市。

如何安排他对这些城市的访问次序，可使其旅行路线的总长度最短？用图论的术语来说，假设有一个图g=(v,e)，其中v 是顶点集，e 是边集，设d=(dij)是由顶点i 和顶点j 之间的距离所组成的距离矩阵，旅行商问题就是求出一条通过所有顶点且每个顶点只通过一次的具有最短距离的回路。

这个问题可分为对称旅行商问题(dij=dji,,任意i,j=1,2,3，…,n)和非对称旅行商问题(dij ≠dji,,任意i,j=1,2,3，…,n)。

若对于城市v={v1,v2,v3,…,vn}的一个访问顺序为t=(t1,t2,t3,…,ti,…,tn),其中ti∈v(i=1,2,3,…,n)，且记tn+1= t1，则旅行商问题的数学模型为：min l=σ d(t(i),t(i+1)) （i=1,…,n）旅行商问题是一个典型的组合优化问题，并且是一个np 难问题，其可能的路径数目与城市数目n 是成指数型增长的，所以一般很难精确地求出其最优解，本文采用遗传算法求其近似解。

遗传算法：初始化过程：用v1,v2,v3,…,vn 代表所选n 个城市。

定义整数pop-size 作为染色体的个数，并且随机产生pop-size 个初始染色体，每个染色体为1 到18 的整数组成的随机序列。

适应度f 的计算：对种群中的每个染色体vi，计算其适应度，f=σ d(t(i),t(i+1)). 评价函数eval(vi)：用来对种群中的每个染色体vi 设定一个概率，以使该染色体被选中的可能性与其种群中其它染色体的适应性成比例，既通过轮盘赌，适应性强的染色体被选择产生后台的机会要大，设alpha ∈(0,1) ，本文定义基于序的评价函数为eval(vi)=alpha*(1-alpha).^(i-1) 。

关于旅行商问题的数学模型旅行商问题（TravelingSalesmanProblem，TSP）是著名的组合优化问题，它的目标是找到一条路径，使得一个旅行商可以经过所有给定的城市，路径总长度最短。

这个问题在实际生活中有着广泛的应用，例如物流配送、电路板布线、DNA序列比对等领域。

本文将介绍旅行商问题的数学模型和解法。

1. 问题描述假设有n个城市，它们的位置分别为(xi,yi)，i=1,2,...,n。

旅行商要从一个城市出发，经过所有城市恰好一次，最后回到出发城市。

城市之间的距离可以用欧几里得距离表示：d(i,j) = sqrt((xi-xj)^2 + (yi-yj)^2)旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。

2. 数学模型2.1 定义变量我们定义变量xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择，如果被选择则xij=1，否则xij=0。

例如，x12表示从城市1到城市2的路径是否被选择。

2.2 目标函数旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。

因此，我们可以定义目标函数为：minimize ∑i∑j d(i,j)xij其中，i,j表示城市的编号，d(i,j)表示城市i和城市j之间的距离，xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择。

2.3 约束条件旅行商需要经过所有城市恰好一次，因此我们需要添加以下约束条件：1. 每个城市只能被经过一次：∑j xij = 1, i=1,2,...,n2. 每个城市离开后只能到达一个城市：∑i xij = 1, j=1,2,...,n3. 不能出现子回路：∑i∈S ∑j∈S xij ≤ |S|-1, S{1,2,...,n}, |S|≥2其中，第一个约束条件表示每个城市只能被经过一次，第二个约束条件表示每个城市离开后只能到达一个城市，第三个约束条件表示不能出现子回路。

3. 解法旅行商问题是一个NP难问题，没有多项式时间算法可以求解。

因此，我们需要使用一些启发式算法来求解这个问题。

《物流软件》实验报告实验编号：实验2学号：序号：姓名：班级：2015年10月一、旅行商问题（1）数学模型设di是两点i与j之间的距离，Xij=0或1（1表示连接，0表示不连接）则有Min∑∈VjXij dij*s.t. ∑∈VjXij=1 ，（每个点只有一条边出去），i∈V∑∈VjXji=1，（每个点只有一条边进入），i∈V(除起点与重点外，个边不构成圈)（2）L INGO程序MODEL:SETS:CENTERS/1..8/:LEVEL;LINK(CENTERS,CENTERS):DISTANCE,X;ENDSETSDATA:DISTANCE = 0 3 2 3 4 3 5 63 0 2 3 2 3 1 42 2 0 1 43 2 53 3 1 0 1 14 3 44 2 4 1 0 2 2 33 3 3 14 2 0 8 45 1 2 3 2 8 0 36 4 5 4 3 4 3 0;ENDDATAN=@SIZE(CENTERS);MIN=@SUM(LINK(I,J)|i #ne# j :distance(i,j)*x(i,j));@for(centers(i):@sum(centers(j)|j #ne# i:x(j,i))=1;@SUM(CENTERS(J)|J #NE# I:X(I,J)) = 1;@FOR(CENTERS(j)|J #GT# 1 #AND# J #NE# I :LEVEL(J)>=LEVEL(I)+X(I,J)-(N-2)*(1-X(i,J))+(N-3)*X(J,I););); @FOR(LINK:@BIN(X));@FOR(CENTERS(I)|I #GT# 1:LEVEL(I)<=N-1-(N-2)*X(1,I);LEVEL(I)>=1+(N-2)*X(I,1););ENDCENTERS/1..8/是基本集合名字，元素为1到8。

LEVEL 为其元素。

基于动态规划的旅行商问题优化模型旅行商问题是一个经典的组合优化问题，目的是找到一条最短的路径，使得旅行商能够恰好访问每个城市一次后回到起始城市。

这个问题的算法复杂度随着城市数量的增加而指数级增长，在实际应用中往往需要找到一种高效的解决方法。

为了优化旅行商问题，可以采用动态规划的方法来求解。

动态规划是一种将问题拆分成子问题并存储中间结果，以避免重复计算的算法思想。

在旅行商问题中，动态规划可以用来计算城市间的最短路径以及最优解。

首先，我们需要定义一个状态转移方程来描述问题的最优解。

设dp[i][j]表示从起始城市出发，经过城市集合i后到达城市j的最短路径长度。

我们可以利用子问题的最优解来计算整体问题的最优解。

状态转移方程如下：dp[i][j] = min{dp[i\j][k] + dist(k, j)}，其中i\j表示从i中去掉城市j后的城市集合，dist(k, j)表示从城市k到城市j的距离。

基于此状态转移方程，我们可以采用动态规划的方法求解旅行商问题。

具体步骤如下：1. 初始化二维数组dp，并将初始状态设置为无穷大。

2. 对于每个子问题(i, j)，遍历城市k，找到dp[i\j][k] + dist(k, j)的最小值。

3. 更新dp[i][j]的值为上一步骤中求得的最小值。

4. 重复步骤2和步骤3，直到遍历完所有的子问题。

5. 最后，dp[0][0]即为最优解，表示从起始城市出发经过所有城市一次后回到起始城市的最短路径长度。

除了动态规划方法外，还可以使用其他的优化策略来解决旅行商问题。

例如，遗传算法、模拟退火算法等启发式算法。

这些算法通常通过随机搜索的方式来找到较优解，虽然不能保证找到全局最优解，但在实际问题中具有较高的效率。

除了以上提到的求解方法，我们对于旅行商问题还可以做一些限定条件的优化。

例如，通过对城市进行聚类，可以先将城市分为若干组，再分别求解每个组内的最优路径。

这样可以减少计算量，提高求解效率。

TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP,即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。

其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij ）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。

旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji , ni j=1 , 2, 3, ?, n）;2）非对称旅行商问题（dij dji, ? i, j=1 , 2, 3, ?, n）。

非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。

若对于城市V={V1, V2, V3, ?, V n}的一个访问顺序为T={t l, t2, t3, ?, t i, ?, t n}，其JT中t& V （i=1 , 2, 3, ?, n）,且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL= TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。

因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。

二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。

但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略2.1模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略一一路径编码。

2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）;②逆序操作（INV ）;③插入操作（INS）。

组合优化中的旅行商问题求解在组合优化领域中，旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一类具有重要实际应用价值和理论研究意义的问题。

该问题要求在给定一系列城市和各城市之间的距离情况下，找到一条最短路径，使得旅行商能够恰好访问每个城市一次，并最终回到出发城市。

TSP在计算机科学、运筹学和数学等多个领域都得到了广泛的关注和研究。

1. TSP的数学建模旅行商问题可以用图论中的图来描述和解决。

首先，我们将每个城市表示为图中的一个节点，城市之间的距离表示为节点之间的边。

若每对节点之间的边都有权重，表示相应城市之间的距离，旅行商问题就可以转化为求解图的最短哈密顿回路（Hamiltonian cycle）的问题。

2. 求解TSP的经典算法2.1 蛮力算法蛮力算法是最简单直观的求解TSP的方法，它遍历所有可能的路径，并计算出总的路径长度，然后选择最短路径作为解。

然而，蛮力算法的时间复杂度为O(n!)，当城市数量增加时，计算时间将呈指数级增长，因此适用于城市数量较少的情况。

2.2 最邻近插入算法最邻近插入算法从一个起始城市开始，每次选择离当前城市最近的未访问城市作为下一个访问城市，直到访问完所有城市，并回到起始城市。

该算法的时间复杂度为O(n^2)，但它可能会得到次优解，因为贪心策略在选择下一个城市时只考虑了当前状态，没有考虑到整体最优解。

2.3 分支限界法分支限界法是一种基于回溯的求解TSP的优化方法，其思想是通过剪枝操作，去掉一些分支，从而减少搜索空间。

该算法首先选择一个起始城市，然后逐步扩展路径，每次选择一个未访问的城市，并通过计算路径长度来更新当前最优路径。

同时，在搜索过程中，根据当前路径长度和已知的最短路径长度，进行剪枝操作，以减少无效的计算。

分支限界法可以得到较优的解，但其时间复杂度仍然较高，因此在处理大规模问题时可能会面临困难。

3. 近似算法及元启发式算法为了求解大规模问题或提高求解效率，研究者们提出了许多近似算法和元启发式算法。

走遍全中国方案的研究摘要本文通过对走遍中国各省会城市、直辖市和港澳台的最优路径选择问题进行分析，发现这是一个十分典型的旅行商问题（Traveling Salseman Problem ），即寻找一条遍历n 个城市（在本文中为34个城市）的最短路径。

我们搜索了这34个城市的经纬度和部分列车、航班时刻表等各方面信息，综合省钱、省时、方便等因素，进一步深入并细化，从而得到判断各订票方案的准则。

针对问题一，我们利用欧几里得平面知识，由公式0002901800290A B x R A y R ππ+⎧=⋅⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩将该34个城市的经纬度转化为平面直角坐标，从而将其简化成二维平面问题。

目前，解旅行商问题（tsp 问题）的方法有许多种，本文采用了较为先进的遗传算法。

遗传算法是目前解决组合优化问题最有效的工具之一，本文介绍了遗传算法的基本原理，讨论了遗传算法中的有关遗传算子设计等方面的技术。

由于该算法在搜索空间中同时考虑了许多点，这样就减少了收敛于局部极小的可能，也增加了处理的并行性。

同时，我们利用MATLAB 软件编辑了相关程序，计算出了遍历该34个城市的最短路径，其路径长度为14661km 。

对于问题二，在只考虑旅行路线最经济的前提下，结合第一问得出的最优路径，我们收集了这34个城市的列车和航班时刻表等信息，从而找出最经济的订票方案，并得其花费为11426元。

针对问题三，在综合考虑省时、省钱、方便等诸多因素的前提下制定订票方案的评价准则，我们运用了层次分析法对其进行研究。

根据对旅行过程中省时，省钱及方便的偏重程度，我们相应地给出了判断矩阵111571513731⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，然后对其进行一致性检验，发现其不一致程度在容许范围内。

因此我们利用其最大特征根max λ对应的特征向量w 作为比较因素的权向量，并得到以下评价表达式：12120.0740.2830.643*(0.8330.167)C x x x x =+++。

行程问题的九个公式行程问题（TravellingSalesmanProblem，简称TSP）在理解和解决许多实际问题（例如路由规划、车辆调度与最优路径搜索）方面都发挥着重要作用。

其主要研究内容是：在一定网络结构中，以某一源点为起点，按指定的顺序依次访问该网络中的其他结点，并且最终到达源点，构成一个闭环路径，该闭环路径的路径权值最小。

TSP的数学模型被称为旅行商问题，它的解表示最优路线以及最小距离，是人们研究图论一大难题。

研究行程问题需要使用一些特定的公式，下文将介绍求解TSP过程中使用到的九个公式。

第一个公式是显示型，即给定一个旅行商路径，可以算出它的路径权值：d(Pi, Pj)= d(i,j)+d(j,k)+... d(pk-1,pk)。

其中，d(i,j)表示从结点i到结点j的距离，Pk-1和Pk分别表示结点k-1和结点k的路径顺序。

第二个公式是移动型，即某一结点被插入到一条路径中时，其权值的增加量：d(i, j)+d(j, k)-d(i, k) 。

其中，d(i,j)表示从结点i到结点j的距离，d(i,k)表示从结点i到结点k的距离。

第三个公式是换位型，即某一结点在路径上两个相邻位置之间“移动”时，其权值变化：d(i, j)+d(k, l)-d(i, k)-d(j, l) 。

其中，d(i,j)和d(k,l)分别表示权值变化前的两条路径的长度，d(i,k)和d(j,l)表示权值变化后的两条路径的长度。

第四个公式是回头路检查型，即确定某结点是否能被加入某个方案的路径时：D(i,j)= d(i,j)+d(j, k)+... d(pk-1,pk)+d(pk,i)。

其中，d(i,j)表示从结点i到结点j的距离，Pk-1和Pk分别表示结点k-1和结点k的路径顺序，d(pk,i)表示最后一次访问结点k 时从k回到i的距离。

第五个公式是分支限界型，即确定当前搜索节点的最小路径权值时：D(i,j)= C(i,j)+f(i,j) 。

3 旅行商问题3.1 旅行商问题概述3.1.1 旅行商问题的定义和数学模型① 定义旅行商问题(Traveling Salesman Problem ，简记TSP)是组合数学中一个古老而又困难的问题，它易于描述但至今尚未彻底解决，现己归入所谓的NP 完全问题类，经典提法为：有一货物推销员要去若干个城市推销货物，从城市1出发，经其余各城市一次，然后回到城市1，问选择怎样的行走路线，才能使总行程最短（各城市间距离为己知）。

该问题在图论的意义下就是所谓的最小Hamilton 圈问题，由于在许多领域中都有着广泛的应用，因而寻找其实际而有效的算法就显得颇为重要了。

遗憾的是，计算复杂性理论给予我们的结论却是，这种可能性尚属未知。

若设城市数目为n 时，那么组合路径数则为(n-1)!。

很显然，当城市数目不多时要找到最短距离的路线并不难，但随着城市数目的不断增大，组合路线数将呈指数级数规律急剧增长，以至达到无法计算的地步，这就是所谓的“组合爆炸问题”。

假设现在城市的数目增为20个，组合路径数则为(20-1)! ，如此庞大的组合数目，若计算机以每秒检索1000万条路线的速度计算，也需要花上386年的时间。

尽管现在计算机的计算速度大大提高，而且已有一些指数级的算法可精确地求解旅行商问题，但随着它们在大规模问题上的组合爆炸，人们退而求其次，转向寻找近似算法或启发式算法，经过几十年的努力，取得了一定的进展。

② 数学模型设(,)G V E =为赋权图，{1,2,}V n ="为顶点集，E 为边集，各顶点间距离为ij c ，已知(0,,,)ij ij c c i j V >=+∞∈，并设则旅行商问题的数学模型可写成如下的线性规划形式：ij ij i jMinZ c x ≠=∑1,(,)0,ij i j x ⎧=⎨⎩边在最优路线上其它,1,1,.1,{0,1},ij j i ij i jij i j S ij x i V x j V s t x K K V x i j V ≠≠∈⎧=∈⎪⎪=∈⎪⎨⎪≤−⊂⎪⎪∈∈⎩∑∑∑这里，K 为V 的所有非空子集，K 为集合K 中所含图G 的顶点个数。

多旅行商问题研究综述一、问题定义与数学模型多旅行商问题（Multiple Traveling Salesman Problem，MTSP）是旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）的扩展，是组合优化领域中的经典问题之一。

在MTSP中，有多个旅行商需要遍历各自的销售区域，并在有限的时间内完成各自的旅程。

每个旅行商的旅程起点和终点固定，且每个旅行商的路径不能交叉，也不能重复。

MTSP的目标是在满足约束条件下，最小化所有旅行商行走的总距离。

数学模型通常采用整数规划或图论表示。

对于一个具有n个顶点的完全图，每个顶点代表一个城市或客户，边代表城市之间的道路。

MTSP可以转化为在图中寻找n个哈密尔顿回路（Hamiltonian Cycle）的问题。

由于图论表示方法具有一定的局限性，近年来研究者们提出了更复杂的数学模型，如超图、混合图等。

二、求解方法与算法设计MTSP是一个NP-hard问题，求解非常困难。

因此，研究者们提出了许多近似算法和启发式方法。

这些方法大致可以分为两类：基于贪婪策略的方法和基于元启发式的方法。

1. 基于贪婪策略的方法：这类方法通常采用局部搜索策略，从当前解出发，通过不断地进行局部搜索和改进来寻找最优解。

代表性的方法包括：最小生成树法、分支定界法、回溯法等。

2. 基于元启发式的方法：这类方法采用一些启发式策略来指导搜索过程，如遗传算法、模拟退火、粒子群优化等。

这些方法能够在较短的时间内找到可接受的解，但并不能保证找到全局最优解。

此外，近年来还出现了一些新的求解方法，如深度学习、强化学习等人工智能算法也被应用于MTSP的求解。

这些方法通常需要大量的数据和计算资源，但可以处理更大规模和更复杂的MTSP问题。

三、特定场景下的多旅行商问题随着应用领域的不断扩展，MTSP已经应用于许多特定场景中，如供应链管理、物流配送、城市规划等。

在这些场景中，MTSP需要考虑更多的实际因素和约束条件，如车辆路径限制、时间窗限制等。

基于遗传算法的旅行商问题求解模型研究旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一个经典的组合优化问题，也是计算机科学中一个重要的问题。

该问题涉及寻找最短路径，即从一个城市出发，经过其他所有城市，最后回到起始城市，使得所经过的路径总长度最短。

由于TSP 的复杂性，解决这个问题可以采用多种方法。

本文将研究一种基于遗传算法的旅行商问题求解模型。

一、问题描述我们假设有一个旅行家要拜访n个城市，按照某个次序将其列为C={C1、C2、...、Cn}。

城市之间的距离由一个距离矩阵D=[dij]n×n表示，其中dij表示城市Ci到城市Cj的距离。

问题的求解即是要找到一个最优的排列，使得这个旅行家经过所有城市一次后回到起点，并且旅行的总距离最短。

二、遗传算法遗传算法是一种基于自然选择和遗传机制的优化算法。

它通过模拟生物的进化过程，利用优胜劣汰的机制搜索最优解。

1. 初始化种群首先，需要随机生成一组初始解，这些解称为个体，组成一个初始的种群。

每个个体就是一个城市的访问顺序。

2. 适应度函数计算每个个体的适应度，即该个体对应的路径总长度。

在这里，适应度函数就是路径总长度。

3. 选择操作利用选择算子，按照个体的适应度大小，对种群进行选择操作。

适应度高的个体有更高的概率被选中。

4. 交叉操作通过交叉操作，生成新的个体。

选择两个个体进行交叉，从而产生新的个体。

交叉的方式可以是交换部分路径片段。

5. 变异操作对新生成的个体进行变异操作，以增加种群的多样性。

变异可以是通过交换两个城市的位置。

6. 更新种群将新生成的个体添加到种群中，并删除适应度低的个体，使得种群规模保持不变。

7. 终止条件重复以上步骤，直到满足终止条件，如达到最大迭代次数或适应度达到某个阈值。

三、模型研究遗传算法的关键是如何设计适合TSP问题的编码方式、适应度函数和遗传操作。

1. 编码方式在TSP问题中，一个个体可用一个数组表示，数组的元素是城市的访问顺序。

TSP的⼏种求解⽅法及其优缺点TSP的⼏种求解⽅法及其优缺点⼀、什么是TSP问题旅⾏商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定⼀条经过各城市当且仅当⼀次的最短路线。

其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A 为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定⼀条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当⼀次的最短距离。

旅⾏商问题可分为如下两类：1）对称旅⾏商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，?，n）；2）⾮对称旅⾏商问题（dij≠dji，?i，j=1，2，3，?，n）。

⾮对称旅⾏商问题较难求解，我们⼀般是探讨对称旅⾏商问题的求解。

若对于城市V={v1，v2，v3，?，v n}的⼀个访问顺序为T={t1，t2，t3，?，t i，?，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，?，n），且记t n+1=t1，则旅⾏商问题的数学模型为：minL=。

TSP是⼀个典型的组合优化问题，并且是⼀个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接⽐较标准。

因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极⾼的实际应⽤价值。

⼆、主要求解⽅法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插⼊、最远插⼊、最近添加、贪婪插⼊等。

但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为⽌已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退⽕算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经⽹络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略2.1 模拟退⽕算法⽅法1）编码选择：采⽤描述TSP解的最常⽤的⼀种策略——路径编码。

2）SA状态产⽣函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产⽣函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）；②逆序操作（INV）；③插⼊操作（INS）。

以点0表示旅行商的出发城市，称为源点，点1,2,,l 表示m 个旅行商需访问的城市。

MTSP 问题的数学模型可以表示为： 令10ij x ⎧=⎨⎩弧(i,j)在线路上 弧(i,j)不在线路上模型表示如下：0000min 10,1,,10,1,,()01,0,1,,R R ij iji j R ij i R ij j ij ij z d x x j R x i R X x Sx i j R====⎧=⎪⎪⎪==⎪⎪⎨⎪==⎪⎪=∈⎪⎪==⎩∑∑∑∑或 式中：1;ij R m l d =+-为增广费用。

若用(,1,,)ij c i j l =表示旅行商经过对应弧度(,)i j 所花的费用，如时间、距离、花费等，那么给ij c 增加(1)m -行和(1)m -列，每一新的行或列是ij c 的最后一行或列的复制，增广矩阵的其他元素为无穷大，由此构成了增广费用ij d 。

一般MTSP 中，旅行商访问l 个城市必须满足以下2个条件。

条件1：从指定城市出发，对其他所有城市严格访问一次后返回原出发城市。

条件2：一条有效路径严格由m 条非平凡子路径(Nontrivial Subtours)组成。

所谓非平凡子路径是指该路径中除出发城市外，至少访问一个其他城市。

用遗传算法求解MTSP ，可通过附加虚拟城市的方法把MTSP 转化为TSP 。

将另外(1)m -个旅行商理解为(1)m -个虚拟城市，这(1)m -个虚拟城市标号分别为1,2,,1,l l l m +++-，它们与城市0具有相同的坐标(即相同位置)。

在旅行商访问路径中出现的每一个虚拟城市均表示旅行商返回出发城市，从而组成一个回路。

每个回路表示MTSP 中一个旅行商的旅行路径。

需注意的是，为了避免出现平凡子路径，必须假设(1)m -个虚拟城市到原点的距离为00(,0,1,,1),ij c M i j l l m M ==++-为一无穷大的正数（即永远不能达到），到其他各点距离与原点一致，这样遗传算法就不会出现0-0-0的途径。