4.1 带电粒子在磁场中运动之直线磁场边界问题

带电粒子在匀强磁场中运动之边界磁场杨巧及(宁波市鄞州中学ꎬ浙江宁波３１５１０４)摘㊀要:带电粒子在匀强磁场中运动的问题是高中物理的重点和难点ꎬ其中边界磁场问题是较为重要的教学内容之一.磁场边界类型主要包括平面边界㊁圆形边界㊁环形边界等ꎬ带电粒子垂直磁场方向进入磁场ꎬ在磁场中做匀速圆周运动ꎬ由于入射方向的不同ꎬ造成带电粒子的运动轨迹不同ꎬ对应的临界条件㊁几何关系也不同.本文按不同形状的边界磁场进行分类ꎬ每一种磁场考虑入射方向一定和入射方向不定两种情况进行分析ꎬ适合高三复习.关键词:带电粒子ꎻ匀强磁场ꎻ边界磁场ꎻ初速度中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３１－００９５－０３收稿日期:２０２３－０８－０５作者简介:杨巧及(１９８９－)ꎬ女ꎬ浙江省宁波人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀带电粒子在匀强磁场中运动的问题在高中物理教学中ꎬ往往需要多个课时来分类讲解边界磁场㊁复合场㊁轨迹分析㊁实例应用等.对于边界磁场这一内容笔者进行了如下设计.１平面边界磁场平面边界匀强磁场是带电粒子在磁场中运动问题中最基本也是最重要的.这类问题学生需掌握一些边界磁场的基本运动规律ꎬ如出射方向与入射方向关系ꎬ运动时间与圆心角的关系等.１.１单平面边界如图１所示ꎬ带正电粒子以与边界夹角为α的初速度ｖ垂直射入匀强磁场Ｂꎬ磁场方向垂直纸面向里ꎬ经过一段圆弧轨迹后从同一边界射出.根据圆周运动的规律我们可以知道:(１)粒子出磁场时速度方向与边界夹角依旧为αꎬ即出射方向与入射方向夹角为２α(２)轨迹圆弧对应的圆心角θ为２α或(２π－２α)㊀(３)粒子在磁场中运动的时间为θ２πＴ(４)粒子出射时相对入射位置的侧移量为轨迹圆弧所对应的弦长ｄ＝２Ｒｓｉｎα图１㊀单平面边界磁场１.２双平面平行边界平行边界磁场由于存在双边界ꎬ根据带电粒子初速度大小的不同就有可能从不同侧射出.如图２所示ꎬ磁场宽度为ｄꎬ带电粒子从左侧边界Ｐ点垂直磁场方向射入磁场ꎬ初速度ｖ方向与左侧边界垂直ꎬ５９由ｑｖＢ＝ｍｖ２Ｒ知Ｒ＝ｍｖｑＢ.(１)当带电粒子初速度ｖ较小时ꎬ半径Ｒ较小ꎬ则粒子从左侧边界射出ꎬ运动规律与单平面边界磁场相同.(２)当带电粒子初速度ｖ较大时ꎬ半径Ｒ较大(Ｒ>ｄ)ꎬ则粒子从右侧边界射出ꎬ此时我们首先找到的几何关系为ｓｉｎθ＝ｄＲꎬ即圆弧对应的圆心角θ＝ａｒｃｓｉｎｄＲꎬ由此可知ꎬ①粒子射出磁场时速度偏转角为θꎬ与右侧边界夹角为(π２－θ)ꎻ②粒子在磁场中运动的时间为θ２πＴꎻ③粒子出射时偏离入射方向的侧移量Δｘ＝Ｒ(１－ｃｏｓθ).图２㊀双平面边界磁场而实际问题中往往会出现 带电粒子以速度ｖ沿各个方向射入磁场 的条件ꎬ即动态圆与边界磁场结合的问题ꎬ以下题为例:例１㊀带电粒子的质量ｍ＝１.７ˑ１０－２７ｋｇꎬ电荷量ｑ＝＋１.６ˑ１０－１９Ｃꎬ以速度ｖ＝３.２ˑ１０６ｍ/ｓ沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中ꎬ磁场的磁感应强度为Ｂ＝０.１７Ｔꎬ磁场的宽度ｌ＝１０ｃｍꎬ如图３所示ꎬ试求:图３㊀例１示意图(１)带电粒子离开磁场时的速度大小和速度偏转角.(２)带电粒子在磁场中运动的时间以及出磁场时偏离入射方向的距离.答案:(１)３.２ˑ１０６ｍ/ｓꎬ３０ʎ.(２)２５２４πˑ１０－８ｓꎬ２－３１０ｍ拓展提问㊀若使该种带电粒子从同一处ꎬ以相同速度沿纸面各个方向同时射入该匀强磁场ꎬ求带电粒子分别从左右边界射出的区域宽度?所有带电粒子从磁场射出所需要的时间?答案:从左侧边界射出ꎬ宽度为３５ｍ从右侧边界射出宽度为３５ｍ运动时间为０－π２４ˑ１０－６ｓ２圆形边界磁场带电粒子射入圆形磁场时最常见的是沿半径方向射入ꎬ如图４所示ꎬ一个电子从Ａ处沿ＡＯ方向射入半径为ｒ的圆形磁场ꎬ根据几何关系可知该粒子一定会沿另一半径方向射出磁场ꎬ即速度反向延长线必过圆形磁场的圆心.连接两个圆心ꎬ可知轨迹圆弧对应的圆心角θ满足ｔａｎθ２＝ｒＲ.㊀图４㊀圆形磁场例２㊀一质量为ｍ＝９.１ˑ１０－３１ｋｇ的电子以速率ｖ＝５ˑ１０９ｍ/ｓ从左侧沿ＡＯ方向垂直射入磁感应强度为Ｂ＝２.８４Ｔꎬ半径为ｒ＝３３ˑ１０－２ｍ的圆形磁场ꎬ穿出磁场后打在荧光屏上之Ｐ点ꎬ荧光屏与磁６９场最右侧距离为Ｌ＝３３ˑ１０－２ｍꎬＯᶄ与Ａ㊁Ｏ在同一直线上ꎬ如图５所示ꎬ求ＯᶄＰ的长度和电子通过磁场所用的时间.图５㊀例２示意图答案:ＯᶄＰ＝２ˑ１０－２ｍｔ＝２３πˑ１０－１２ｓ例３㊀一带电粒子以速度ｖ从Ｏ点沿ｙ轴的正方向射入磁感应强度为Ｂ的一圆形匀强磁场区域ꎬ磁场方向垂直于纸面ꎬ粒子飞出磁场区域后ꎬ从Ｐ处穿过ｘ轴ꎬ速度方向与ｘ轴正向夹角为３０ʎꎬＯＰ距离为３Ｌꎬ如图６所示ꎬ粒子重力不计ꎬ试求:图６㊀例３示意图(１)圆形磁场区域的最小面积.(２)粒子从Ｏ点进入磁场区域到达Ｐ点所经历的时间.解析㊀(１)３４πＬ２ꎻ(２)２π＋３３()Ｌ３ｖ拓展提问㊀是否存在这样的磁场ꎬ使该种粒子从Ｏ点以相同速度ｖ沿不同方向射入磁场ꎬ射出磁场时速度方向与ｘ轴正方向夹角都为３０ʎ?若存在ꎬ试求该磁场的半径和圆心坐标.答案:Ｌꎻ(１２Ｌꎬ３２Ｌ).３圆环形边界磁场例４㊀如图７所示ꎬ两个同心圆ꎬ半径分别为ｒ和２ｒꎬ在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场ꎬ磁感应强度为Ｂ.圆心Ｏ处有一放射源ꎬ放出粒子的质量为ｍꎬ带电荷量为－ｑꎬ假设粒子速度方向都和纸面平行[１].图７㊀例４示意图(１)图中箭头表示某一粒子初速度的方向ꎬＯＡ与初速度方向夹角为６０ʎꎬ要想使该粒子经过环形区域磁场后第一次通过Ａ点ꎬ则初速度的大小为多少?(２)要使粒子不穿出环形区域ꎬ则粒子的初速度不能超过多少?答案:(１)３Ｂｑｒ３ｍꎻ(２)３Ｂｑｒ４ｍ.拓展提问㊀若粒子初速度方向不受限制ꎬ如图８所示ꎬ则所有粒子都能穿出磁场的最小速度为多大?图８㊀拓展提问示意图答案:３Ｂｑｒ２ｍ参考文献:[１]王朝银.步步高大一轮复习讲义物理(人教版)[Ｍ].杭州:浙江大学出版社ꎬ２０２２:１９２－１９４.[责任编辑:李㊀璟]７９。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。

粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等。

如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。

一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。

2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。

②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。

3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。

4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。

a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。

②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。

考点4.1 直线磁场边界问题(1)直线边界(2)对称性：粒子从同一直线边界进出磁场时，入射方向与出射方向与边界的夹角相等。

(3) 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动解题“三步法”①画轨迹：即确定圆心，画出运动轨迹．②找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度的联系，偏转角度与圆心角、运动时间的联系，在磁场中的运动时间与周期的联系．③用规律：即牛顿运动定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式．1.（多选）如图所示，两个带电粒子M和N，以相同的速度经小孔S垂直进入同一匀强磁场，运行的半圆轨迹如图两种虚线所示，下列表述正确的是( AB )A.M带负电，N带正电B.M的运行时间不可能等于N的运行时间C.M的带电量小于N的带电量D.M的质量大于N的质量2.（多选）日本福岛核电站的核泄漏事故，使碘的同位素131被更多的人所了解。

利用质谱仪可分析碘的各种同位素，如图所示，电荷量均为＋q的碘131和碘127质量分别为m1和m2，它们从容器A下方的小孔S1进入电压为U的加速电场(入场速度忽略不计)，经电场加速后从S2小孔射出，垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上。

下列说法正确的是(BD)A.磁场的方向垂直于纸面向里B.碘131进入磁场时的速率为2qU m1C. 碘131与碘127在磁场中运动的时间差值为2π（m1－m2）qBD. 打到照相底片上的碘131与碘127之间的距离为2B(2m1Uq－2m2Uq) 3. (2016·全国卷Ⅰ，15)现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定。

质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。

若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。

此离子和质子的质量比约为( D ) A ．11 B ．12 C ．121D ．1444. 如图所示，在边界上方存在着垂直纸面向里的匀强磁场，有两个电荷量、质量均相同的正、负粒子(不计重力)，从边界上的O 点以相同速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则关于正、负粒子在磁场中的运动情况，下列说法错误的是（ B ） A. 运动轨迹的半径相同 B. 重新回到边界所用时间相同 C. 重新回到边界时速度大小和方向相同 D. 重新回到边界时与O 点的距离相等5. 一个带电粒子以初速度v 0垂直于电场方向向右射入匀强电场区域，穿出电场后接着又进入匀强磁场区域．设电场和磁场区域有明确的分界线，且分界线与电场强度方向平行，如图中的虚线所示．在图所示的几种情况中，可能出现的是( AD)6. 如图所示，在x 轴上方存在磁感应强度为B 的匀强磁场，一个电子(质量为m ，电荷量为q )从x 轴上的O 点以速度v 斜向上射入磁场中，速度方向与x 轴的夹角为45°并与磁场方向垂直。

专题73 带电粒子在磁场中运动(二)直线磁场边界1.(多选)如图所示，ab是匀强磁场的边界，质量(11 H)和α粒子(42He)先后从c点射入磁场，初速度方向与ab边界夹角均为45°，并都到达d点．不计空气阻力和粒子间的作用．关于两粒子在磁场中的运动，下列说法正确的是( )α粒子运动轨迹相同α粒子运动动能相同α粒子运动速率相同α粒子运动时间相同2.如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场．一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出．下列说法正确的是( )b点速率大于在a点速率C.若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出D.若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短3.[2021·贵阳市模拟](多选)如图所示，MN为两个方向相同且垂直于纸面的匀强磁场的分界面，两磁场的磁感应强度大小关系为B1＝2B2，一比荷值为k的带电粒子(不计重力)，以一定速率从O点垂直MN进入磁感应强度大小为B1的磁场，则粒子下一次到达O点经历的时间为( )A.3πkB 1 B ．4πkB 1 C ．2πkB 2 D ．3π2kB 24．如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为12B 和B 、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场．一质量为m 、电荷量为q (q >0)的粒子垂直于x 轴射入第二象限，随后垂直于y 轴进入第一象限，最后经过x 轴离开第一象限．粒子在磁场中运动的时间为( )A.5πm 6qB B ．7πm 6qB C ．11πm 6qB D ．13πm6qB5.[2021·绵阳市模拟]如图所示，长方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，同一带电粒子，以速率v 1沿ab 射入磁场区域，垂直于dc 边离开磁场区域，运动时间为t 1；以速率v 2沿ab 射入磁场区域，从bc 边离开磁场区域时与bc 边夹角为150°，运动时间为t 2.不计粒子重力．则t 1∶t 2是( )A.2∶3B ．3∶2C．3∶2D．2∶3 6.[2021·石家庄质检](多选)如图所示，等腰直角三角形abc 区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，直角边bc 的长度为L .三个相同的带正电粒子从b 点沿bc 方向分别以速率v 1、v 2、v 3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为t 1、t 2、t 3，且t 1∶t 2∶t 3＝3∶3∶2.不计粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是( )v 1＝v 2＜v 3v 2＜v 1＜v 3 q m ＝πBt 2 q m ＝3v 32BL7.如图，边长为l 的正方形abcd 内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面(abcd 所在平面)向外．ab 边中点有一电子发射源O ，可向磁场内沿垂直于ab 边的方向发射电子．已知电子的比荷为k .则从a 、d 两点射出的电子的速度大小分别为( )A.14kBl ，54kBl B ．14kBl ，54kBl C.12kBl ，54kBl D ．12kBl ，54kBl 8．[2021·河北卷]如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，极板与可调电源相连．正极板上O 点处的粒子源垂直极板向上发射速度为v 0、带正电的粒子束，单个粒子的质量为m 、电荷量为q .一足够长的挡板OM 与正极板成37°倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子．C 、P 是负极板上的两点，C 点位于O 点的正上方，P 点处放置一粒子靶(忽略靶的大小)，用于接收从上方打入的粒子，CP 长度为L 0.忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力，sin37°＝35.(1)若粒子经电场一次加速后正好打在P 点处的粒子靶上，求可调电源电压U 0的大小； (2)调整电压的大小，使粒子不能打在挡板OM 上，求电压的最小值U min ；(3)若粒子靶在负极板上的位置P 点左右可调，则负极板上存在H 、S 两点(CH ≤CP <CS ，H 、S 两点未在图中标出)，对于粒子靶在HS 区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到n (n ≥2)种能量的粒子，求CH 和CS 的长度(假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定).专题73 带电粒子在磁场中运动(二)直线磁场边界1．AB 带电粒子在磁场中的偏转角度都为90°，对应的弦长都为cd ，故质子和α粒子运动轨迹相同，A 正确；带电粒子在磁场中的运动周期T ＝2πm qB ，在磁场中的运动时间t ＝14T ，质子(11 H)和α粒子(42 He)比荷不同，质子和α粒子运动时间不同，D 错误；根据R ＝mvqB＝2mE kqB知，质子和α粒子半径相同，比荷不同，则运动速率不同，又因mq相同，故质子和α粒子运动动能相同，B 项正确，C 错误．2．C 3.BC 4.B5．C 由T ＝2πm qB ，和离子在磁场中运动的时间为t ＝θ2π·T ，可知同一离子在同一磁场中运动周期相同，运行时间与速度偏角成正比，所以t 1∶t 2＝90°∶60°＝3∶2，C 正确．6．BD三个粒子在磁场中的运动轨迹可能如图所示，由图及题意可知时间相等的粒子一定从ab 边射出，另一粒子一定从ac 边射出，由r ＝mv qB可知v 1＜v 3，v 2＜v 3，v 1≠v 2，A 错误，B 正确；粒子1、2的轨迹圆弧所对应的圆心角均为π2，故有t 2＝14·2πm qB ，得q m ＝π2Bt 2，C 错误；粒子3的轨迹圆弧所对应的圆心角为π3，轨迹半径r ′sin π3＝L ，又r ′＝mv 3qB ，得q m ＝3v 32BL ，故D 正确．7．B 本题考查了电子在磁场中运动的问题，有利于综合分析能力、应用数学知识处理物理问题能力的培养，突出了核心素养中的模型建构、科学推理、科学论证要素．从a 点射出的电子运动轨迹的半径R 1＝l4，由Bqv 1＝m v 21 l 4得v 1＝Bql 4m ＝14kBl ；从d 点射出的电子运动轨迹的半径R 2满足关系⎝⎛⎭⎪⎫R 2－l 22＋l 2＝R 22 ，得R 2＝54l ，由Bqv 2＝m v 22 54l得v 2＝5Bql 4m ＝54kBl ，故正确选项为B.8．(1)qB 2L 20 8m －mv 20 2q (2)7mv 218q(3)见解析解析：(1)根据动能定理得qU 0＝12mv 2－12mv 20 ，带电粒子进入磁场，由洛伦兹力提供向心力得qvB ＝m v 2r，又有r ＝L 02，联立解得U 0＝qB 2L 20 8m －mv 22q.(2)使粒子不能打在挡板OM 上，则加速电压最小时，粒子的运动轨迹恰好与挡板OM 相切，如图甲所示，设此时粒子加速后的速度大小为v 1，在上方磁场中运动的轨迹半径为r 1，在下方磁场中运动的轨迹半径为r 2，由几何关系得2r 1＝r 2＋r 2sin37°，解得r 1＝43r 2，由题意知，粒子在下方磁场中运动的速度为v 0，由洛伦兹力提供向心力得qv 1B ＝m v 21r 1，qv 0B ＝mv 20 r 2，由动能定理得qU min ＝12mv 21 －12mv 20 ，解得U min ＝7mv 218q.(3)画出粒子的运动轨迹，由几何关系可知P 点的位置满足k (2r P －2r 2)＋2r P ＝x CP (k ＝1，2，3…).当k ＝1时，轨迹如图乙所示；当k ＝5时，轨迹如图丙所示．由题意可知，每个粒子的整个运动过程中电压恒定，粒子在下面的磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力，有qv 0B ＝m v 20 r 2，解得r 2＝mv 0qB ，为定值，由第(2)问可知，r P ≥43r 2，所以当k 取1，r P ＝43r 2时，x CP取最小值，即CH ＝x CP min ＝103·mv 0qB，CS →无穷远．。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题“带电粒子在磁场中的运动”是历年高考中的一个重要考点，而“带电粒子在有界磁场中的运动” 则是此考点中的一个难点．其难点在于带电粒子进入设定的有界磁场后只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，它要求考生根据带电粒子运动的几何图形去寻找几何关系，然后应用数学工具和相应物理规律分析解决问题．下面举例谈谈带电粒子在不同形状有界磁场中运动的一些临界问题．一、 带电粒子在“圆形磁场区域”中的运动例1、如图1，半径为cm r 10=的匀强磁场区域边界跟y 轴相切于坐标原点O ，磁感强度T B 332.0=，方向垂直纸面向里．在O 处有一放射源S ，可向纸面各个方向射出速度为s m v /102.36⨯=的粒子．已知α粒子质量kg m 271064.6-⨯=，电量C q 19102.3-⨯=，试画出α粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出α粒子通过磁场空间的最大偏角．解析：设粒子在洛仑兹力作用下的轨道半径为R ，由Rv m Bq v 2= 得cm m m Bq mv R 2020.0102.3332.0102.31064.619627==⨯⨯⨯⨯⨯==-- 虽然α粒子进入磁场的速度方向不确定，但粒子进场点是确定的，因此α粒子作圆周运动的圆心必落在以O 为圆心，半径cm R 20=的圆周上，如图２中虚线．由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角．在半径R 一定的条件下，为使α粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长．该弦是偏转轨道圆的弦，同时也是圆形磁场的弦．显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径．即α粒子应从磁场圆直径的A 端射出．如图２，作出磁偏转角ϕ及对应轨道圆心O '，据几何关系得212sin==R r ϕ，得060=ϕ，即α粒子穿过磁场空间的最大偏转角为060．二、带电粒子在“长方形磁场区域”中的运动例2、如图3，长为L 间距为d 的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B ，两板不带电，现有质量为m ，电量为q 的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率v 水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率v 应满足什么条件．解析：如图４，设粒子以速率1v 运动时，粒子正好打在左极板边缘（图４中轨迹１），则其圆轨迹半径为41d R =，又由1211R v m Bqv =得m Bqdv 41=，则粒子入射速率小于1v 时可不打在板上．设粒子以速率2v 运动时，粒子正好打在右极板边缘（图４中轨迹２），由图可得22222)2(d R L R -+=，则其圆轨迹半径为d d L R 44222+=，又由2222R v m Bqv =得md d L Bq v 4)4(222+=，则粒子入射速率大于2v 时可不打在板上．综上，要粒子不打在板上，其入射速率应满足：mBqdv 4<或md d L Bq v 4)4(22+>．三、带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动例3、在边长为a 2的ABC ∆内存在垂直纸面向里的磁感强度为B 的匀强磁场，有一带正电q ，质量为m 的粒子从距Ａ点a 3的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图５所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，图３⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯→∙d Lv 图４v2v 图5DB求粒子速率应满足什么条件及粒子从ＡＣ间什么范围内射出．解析：如图６所示，设粒子速率为1v 时，其圆轨迹正好与ＡＣ边相切于Ｅ点． 由图知，在E AO 1∆中，11R E O =，113R a A O -=，由AO E O 11030cos =得11323R a R -=，解得a R )32(31-=，则a R a AO AE )332(23211-=-==． 又由1211R vm Bqv =得m aqB m BqR v )32(311-==，则要粒子能从ＡＣ间离开磁场，其速率应大于1v ．如图７所示，设粒子速率为2v 时，其圆轨迹正好与ＢＣ边相切于Ｆ点，与ＡＣ相交于Ｇ点．易知Ａ点即为粒子轨迹的圆心，则a AG AD R 32===．又由2222R v m Bqv =得m aqBv 32=，则要粒子能从ＡＣ间离开磁场，其速率应小于等于2v ．综上，要粒子能从ＡＣ间离开磁场，粒子速率应满足maqBv m aqB3)32(3≤<-． 粒子从距Ａ点a a 3~)332(-的EG 间射出．四、带电粒子在“圆环形磁场区域”中的运动例4、据有关资料介绍，受控核聚变装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束带电粒子运动使之束缚在某个区域内．现按下面的简化条件来讨论这个问题：如图8所示的是一个截面为内径m R 6.01=、外径mR 2.12=图8图6D1oA的环状区域，区域内有垂直于截面向里的匀强磁场．已知氦核的荷质比kg c mq/108.47⨯=，磁场的磁感应强度T B 4.0=，不计带电粒子重力．（1）实践证明，氦核在磁场区域内沿垂直于磁场方向运动速度v 的大小与它在磁场中运动的轨道半径r 有关，试导出v 与r 的关系式．（2）若氦核沿磁场区域的半径方向平行于截面从A 点射人磁场，画出氦核在磁场中运动而不穿出外边界的最大圆轨道示意图．（3）若氦核在平行于截面从A 点沿各个方向射人磁场都不能穿出磁场外边界，求氦核的最大速度．解析：（１）设氦核质量为m ，电量为q ，以速率v 在磁感强度为B 的匀强磁场中做半径为r 的匀速圆周运动，由洛仑兹力公式和牛顿定律得R v m Bqv 2=，则mBqr v =．（２）所求轨迹示意图如图９所示（要与外圆相切）（３）当氦核以m v 的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以m v 速度沿各方向射入磁场区的氦核都不能穿出磁场外边界，如图１０所示．由图知m R R r 3.0212=-='，又由r v m Bqv 2=得Bq mv r =，在速度为m v 时不穿出磁场外界应满足的条件是r Bqmv m'<， 则s m mr Bq v m /1076.53.0108.44.067⨯=⨯⨯⨯='≤． 五、带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区域”中的运动例5、如图11所示，A 、B 为水平放置的足够长的平行板，板间距离为m d 2100.1-⨯=，A 板中央有一电子源P ，在纸面内能向各个方向发射速度在s m /102.3~07⨯范围内的电子，Ｑ为P 点正上方B 板上的一点，若垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度T B 3101.9-⨯=，图9图10已知电子的质量kg m 31101.9-⨯=，电子电量C e 19106.1-⨯=，不计电子的重力和电子间相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地．求：（1）沿P Ｑ方向射出的电子击中A 、B 两板上的范围．（２）若从Ｐ点发出的粒子能恰好击中Ｑ点，则电子的发射方向（用图中θ角表示）与电子速度的大小v 之间应满足的关系及各自相应的取值范围．解析：如图１２所示，沿ＰＱ方向射出的电子最大轨迹半径由r v m Bev 2=可得Bemv r m m =，代入数据解得d m r m 21022=⨯=-． 该电子运动轨迹圆心在Ａ板上Ｈ处，恰能击中Ｂ板Ｍ处．随着电子速度的减少，电子轨迹半径也逐渐减小．击中Ｂ板的电子与Ｑ点最远处相切于Ｎ点，此时电子的轨迹半径为d ，并恰能落在Ａ板上Ｈ处．所以电子能击中Ｂ板ＭＮ区域和Ａ板ＰＨ区域．在∆ＭＦＨ中，有d d d MF HM FH 3)2(2222-=-=，s m d PF QM /1068.2)32(3-⨯=-==， m d QN 2101-⨯==，m d PH 21022-⨯==．电子能击中Ｂ板Ｑ点右侧与Ｑ点相距m m 23101~1068.2--⨯⨯的范围．电子能击中Ａ板Ｐ点右侧与Ｐ点相距m 2102~0-⨯的范围．（２）如图１３所示，要使Ｐ点发出的电子能击中Ｑ点，则有Be mv r =，2sin d r =θ． 解得6108sin ⨯=θv ．v 取最大速度s m /102.37⨯时，有41sin =θ，41arcsin min =θ；v 取最小速度时有2max πθ=，s m v /1086min ⨯=．图13P所以电子速度与θ之间应满足6108sin ⨯=θv ，且]2,41[a r c s i n πθ∈，]/102.3,/108[76s m s m v ⨯⨯∈．六、带电粒子在“单边磁场区域”中的运动例6、如图14所示，在真空中坐标xoy 平面的0>x 区域内，有磁感强度T B 2100.1-⨯=的匀强磁场，方向与xoy 平面垂直，在x 轴上的)0,10(p 点，有一放射源，在xoy 平面内向各个方向发射速率s m v /100.14⨯=的带正电的粒子，粒子的质量为kg m 25106.1-⨯=，电量为C q 18106.1-⨯=，求带电粒子能打到y 轴上的范围．解析：带电粒子在磁场中运动时有R v mBqv 2=，则cm m Bq mv R 101.0106.1100.1100.1106.1182425==⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---．如图１５所示，当带电粒子打到y 轴上方的A 点与P 连线正好为其圆轨迹的直径时，A 点既为粒子能打到y 轴上方的最高点．因cm R Op 10==，cm R AP 202==，则cm OP AP OA 31022=-=． 当带电粒子的圆轨迹正好与y 轴下方相切于Ｂ点时，Ｂ点既为粒子能打到y 轴下方的最低点，易得cm R OB 10==．综上，带电粒子能打到y 轴上的范围为：cm y cm 31010≤≤-．cm/图14o cm x /cmy /p ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯∙Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解．1．临界条件的挖掘(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

(2)当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大(前提条件是劣弧)，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

(3)当速率v变化时，轨迹圆心角越大，运动时间越长。

(4)当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，则以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的偏转角最大。

2．不同边界磁场中临界条件的分析(1)平行边界：常见的临界情景和几何关系如图所示。

(2)矩形边界：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。

(3)三角形边界：如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的粒子临界轨迹示意图。

粒子能从AB间射出的临界轨迹如图甲所示，粒子能从AC间射出的临界轨迹如图乙所示。

3. 审题技巧许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示．审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件．【典例1】如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。

一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。

现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是( )A ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是53t 0，则它一定从cd 边射出磁场B ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是23t 0，则它一定从ad 边射出磁场C ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是54t 0，则它一定从bc 边射出磁场D ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t 0，则它一定从ab 边射出磁场 【答案】 AC 【解析】 如图所示，【典例2】放置在坐标原点O 的粒子源，可以向第二象限内放射出质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，带电粒子的速率均为v ，方向均在纸面内，如图8－2－14所示．若在某区域内存在垂直于xOy 平面的匀强磁场(垂直纸面向外)，磁感应强度大小为B ，则这些粒子都能在穿过磁场区后垂直射到垂直于x 轴放置的挡板PQ 上，求：(1)挡板PQ 的最小长度； (2)磁场区域的最小面积． 【答案】 (1)mv Bq (2)⎝⎛⎭⎫π2＋1m 2v 2q 2B2【解析】 (1)设粒子在磁场中运动的半径为R ，由牛顿第二定律得qvB ＝mv 2R ，即R ＝mvBq【跟踪短训】1. 在xOy 平面上以O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面．一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，从原点O 以初速度v 沿y 轴正方向开始运动，经时间t 后经过x 轴上的P 点，此时速度与x 轴正方向成θ角，如图8－2－24所示．不计重力的影响，则下列关系一定成立的是( )．A ．若r <2mv qB ，则0°<θ<90° B ．若r ≥2mv qB ，则t ≥πmqBC ．若t ＝πm qB ，则r ＝2mv qBD ．若r ＝2mv qB ，则t ＝πmqB【答案】 AD【解析】 带电粒子在磁场中从O 点沿y 轴正方向开始运动，圆心一定在垂直于速度的方向上，即在x 轴上，轨道半径R ＝mv qB .当r ≥2mvqB 时，P 点在磁场内，粒子不能射出磁场区，所以垂直于x 轴过P 点，θ最大且为90°，运动时间为半个周期，即t ＝πm qB ；当r <2mvqB 时，粒子在到达P 点之前射出圆形磁场区，速度偏转角φ在大于0°、小于180°范围内，如图所示，能过x 轴的粒子的速度偏转角φ>90°，所以过x 轴时0°<θ<90°，A 对、B 错；同理，若t ＝πmqB ，则r ≥2mv qB ，若r ＝2mv qB ，则t 等于πm qB，C 错、D 对． 2. 如图所示，磁感应强度大小为B ＝0.15 T 、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径为R ＝0.10 m 的圆形区域内，圆的左端跟y 轴相切于直角坐标系原点O ，右端跟很大的荧光屏MN 相切于x 轴上的A 点。

考点4.2 平行磁场边界问题1. 平行磁场边界：常见的定圆心有两情情形：(1)已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图3甲所示，P为入射点，M为出射点)．(2)已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)．2. 平行边界(存在临界条件，如图所示)1.质量为m，电荷量为q的带负电粒子自静止开始，经M、N板间的电场加速后，从A点垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，该粒子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离为L，如图所示．已知M、N两板间的电压为U，粒子的重力不计．求匀强磁场的磁感应强度B.【答案】2LL2＋d22mU q2.如图所示，一束电荷量为e的电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ=60°，求电子的质量和穿越磁场的时间．【答案】（1（23.（多选）在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P＋和P3＋，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图所示．已知离子P＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出．在电场和磁场中运动时，离子P＋和P3＋(BCD)A.在电场中的加速度之比为1∶1B.在磁场中运动的半径之比为3∶1C.在磁场中转过的角度之比为1∶2D.离开电场区域时的动能之比为1∶34. 如图所示，匀强磁场的边界CD 和EF 相互平行，宽度为d ，磁感应强度为B ，一带负电粒子垂直磁场方向射入，入射方向与CD 边界夹角为θ=3π，已知粒子的质量为m ，电荷量为q ，不计粒子重力．（1） 若粒子垂直边界EF 射出磁场，求粒子运动的速率和在磁场中运动的时间；（2） 若粒子运动轨迹恰好与边界EF 相切，则粒子的速率为多大？【答案】（1）2qBd m 6m qB π（2）23qBd m5. 如图所示，ab 、cd 、ef 是同一竖直平面的三条水平直线，它们之间的距离均为d =0.3m ，ab 与cd 之间的区域内有水平向右的匀强电场，在cd 与ef 之间的区域内有方向垂直竖直面向里的匀强磁场．一个不计重力、比荷q m=3×108c/kg 的带正电粒子以初速度v 0=3×106 m/s 垂直ab 射入电场，粒子经过电场后，速度方向与cd 成30°角进入磁场，最后垂直于ef 离开磁场．求：（1） 匀强电场的场强E 的大小；（2） 匀强磁场的磁感应强度B 的大小；（3） 粒子从ef 离开磁场时出射点与从ab 进入电场时的入射点间的水平距离．【答案】（1510 V/m （2T （36. 如图所示，M 、N 、P 为很长的平行边界面，M 、N 与M 、P 间距分别为l 1、l 2，其间分别有磁感应强度为B 1和B 2的匀强磁场区，Ⅰ和Ⅱ磁场方向垂直纸面向里，B 1≠B 2，有一带正电粒子的电量为q ，质量为m ，以某一初速度垂直边界N 及磁场方向射入MN 间的磁场区域．不计粒子的重力．求：（1） 要使粒子能穿过Ⅰ磁场进入Ⅱ磁场，粒子的初速度v 0至少应为多少？（2） 若粒子进入磁场的初速度v 1=112qB l m，则粒子第一次穿过Ⅰ磁场的时间t 1是多少？（3） 粒子初速度v 为多少时，才可恰好穿过两个磁场区域．【答案】（1）10Bql v m =（2）16m B q π（3）1122qB l qB l m +7. 如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。