收集反比例函数与三角形四边形的面积等

反比例函数求面积公式大全《反比例函数求面积公式大全》引言：反比例函数是数学中的一种特殊函数，其特点是当自变量x增加时，因变量y会以相反的趋势减小。

在数学和实际应用中，使用反比例函数可以描述许多重要的关系，尤其是与面积相关的问题。

本文将为读者提供一份反比例函数求面积的公式大全，帮助读者更好地理解和应用反比例函数。

一、长方形1. 长方形的面积与其长度（l）和宽度（w）成反比例关系，即S = k/(l×w)，其中k为常数。

二、正方形1. 正方形的面积与其边长（s）的平方成反比例关系，即S = k/s²，其中k为常数。

三、圆1. 圆的面积与其半径（r）的平方成反比例关系，即S = πr²，其中π为圆周率，约等于3.14159。

四、椭圆1. 椭圆的面积与其长轴（2a）和短轴（2b）的乘积成反比例关系，即S = πab，其中a和b分别为长轴和短轴的半长。

五、三角形1. 三角形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = (1/2)bh。

六、平行四边形1. 平行四边形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = bh。

七、等腰梯形1. 等腰梯形的面积与其上底（a）、下底（b）和高（h）的关系为S = (a + b)h/2。

八、圆环1. 圆环的面积与其外半径（R）、内半径（r）和π的关系为S = π(R² - r²)。

结论：通过反比例函数求面积的公式大全，读者可以更加方便地计算各种几何形状的面积。

这些公式对于数学学习、几何推导以及实际生活中的建模和计算都具有重要意义。

希望读者能够掌握这些公式，并在实际中运用自如，提高数学应用的能力和解决问题的水平。

摘要：初中阶段共学习了三种函数，而其中反比例函数是初中函数部分的重要教学内容,反比例函数题目里很多题型就是有关面积问题的:有已知,求面积;有面积,求未知;探索型面积问题等.这种题型难度相对较大,需要综合运用知识,并且主要以中高档题型出现，所以在课堂教学中,教师要注重方法的传授,提高学生解答有关面积问题题目的能力.关键词：反比例函数、面积、转化、初中数学中考试卷中的反比例函数问题，许多都是与三角形、四边形等图形的面积联系在一起的，其中常见的有已知反比例函数的解析式，求其图象围成的某一图形的面积；或已知某一图形的面积，求符合条件的反比例函数的解析式等题型。

下面笔者就有关反比例函数与图形面积的题型略加以说明。

结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|一. 反比例函数与矩形面积例1. （01年山东荷泽）如图（1），P是反比例函数ykxk=≠()0的图象上一点，过P点分别向x轴、y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的解析式为（）图1解：设点P的坐标为（x，y）P评析：如图（2），若A AB垂直于x轴，垂足为B，AC的垂直于y轴，垂足为C图2例2. （01年福建福州）如图（3），已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B P（m，n）P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S。

（1）求B点坐标和k的值；（2P的坐标；（3）略图3解：（1点的坐标为（3，3）P在第一象限（2①②P的坐标为（66）（此种情况的求法与上述方法一样，在此不再详解）二. 反比例函数与三角形面积1. 反比例函数与直角三角形面积例3. （04年辽宁锦州）如图（4），点A AB垂直于x_____________。

反比函数图像上的四种三角形的面积函数是解决实际生活问题的重要模型，在近几年各省市的考题中，对于函数的考查比例占有相当重的份量，绝大部分是考查考生对其基本概念、图象性质的理解和应用，甚至成为中考压轴题的大类。

反比例函数的图像经常与三角形的面积联系在一起，下面就举例说明。

结论1、过反比例函数图像上一点，向x 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。

设P （a ，b ）是反比例函数y=xk（k ≠0）图像上的一点，过点P 作PA ⊥x轴，垂足为A ，三角形PAO 的面积是S ，则S k 2=结论2、过反比例函数图像上一点，向y 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。

设P （a ，b ）是反比例函数y=x k（k ≠0）图像上的一点，过点P 作PB ⊥y 轴，垂足为B ，三角形PBO 的面积是S ，则S k 2=。

结论3、正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y=xk（k ＞0）的图像交于A 、kx 襄樊市第四十七中学 熊沙 图（1）2）B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，垂足是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。

证明：I因为，正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y=x k（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，所以，x k xk1=，所以，x=±111k kk k k =， 当x=11k kk 时，y= k 1x=1kk ，所以，点A 的坐标是（11k kk ，1kk ），当x =-11k kk 时，y= k 1x =-1kk ，所以，点B 的坐标是（-11k kk ，-1kk ），所以，OC 的长度是11k kk ，三角形ABC 的面积=三角形AOC 的面积+三角形BOC 的面积=21×OC ×AC+21×OC ×BD =21×11k kk ×1kk +21×11k kk ×|-1kk | =21k+21k=k 。

反比函数图像上四种三角形的面积反比例函数的图像经常与三角形的面积联系在一起，下面就举例说明。

一、三角形面积的四个结论结论1、过反比例函数图像上一点，向x 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。

如图1所示，设P （a ，b ）是反比例函数y=xk（k ≠0）图像上的一点，过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A ， 三角形PAO 的面积是S ，则|k|=2S 。

结论2、过反比例函数图像上一点，向y 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。

如图2所示，设P （a ，b ）是反比例函数y=xk（k ≠0）图像上的一点，过点P 作PB ⊥y 轴，垂足为B ， 三角形PBO 的面积是S ，则|k|=2S 。

结论3、正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y=xk（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，垂足是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。

如图3所示。

证明1：因为，正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y=xk（k ＞0）的图像交于A 、B 两点， 所以，x k xk1=，所以，x=±111k kk k k =， 当x=11k kk 时，y= k 1x=1kk ，所以，点A 的坐标是（11k kk ，1kk ），当x=-11k kk 时，y= k 1x=-1kk ，所以，点B 的坐标是（-11k kk ，-1kk ），所以，OC 的长度是11k kk ，三角形ABC 的面积=三角形AOC 的面积+三角形BOC 的面积 =21×OC ×AC+21×OC ×BD =21×11k kk ×1kk +21×11k kk ×|-1kk | =21k+21k=k 。

反比例函数求三角形面积
三角形是广泛存在于自然界中的一种几何形状，也是许多数学问题研究中的一个重要元素。

本文通过反比例函数求解三角形的面积。

首先需要知道的是，反比例函数是一种特殊的比例函数，其关系式可以表示为y = k/x，其中k为常量，x为变量。

该函数表示的是y与x呈反比例关系，当x变大时，y会变小，当x变小时，y会变大。

三角形的面积是根据三角形的三条边长度表示的，用一般式子表示如下：
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))
其中，S表示三角形的面积，p为三角形的半周长，a,b,c分别表示三角形的三条边长。

由此可以看出，三角形的面积S与半周长p成正比，S与三角形的三条边长成反比例，其关系式可以表示为：
S= k/(a*b*c)
由此可以得出，三角形的面积S与三角形的三条边长成反比例，可以使用反比例函数来求解三角形面积S。

本文介绍了如何使用反比例函数求解三角形面积。

当我们需要求解三角形的面积时，可以利用该函数来计算。

因为它的工作原理是要将边长的反比例关系转换成面积与边长的正比关系，这样就可以自动计算出三角形的面积。

特别要指出的是，在求解三角形面积问题时，我们除了使用反比
例函数外，还可以使用比例函数、勾股定理等方式来求解。

然而，使用这些方法求解时需要掌握更多的公式，且求解过程较为复杂，而使用反比例函数却可以节省许多求解时间。

本文介绍了利用反比例函数求解三角形面积的方法，可以有效提高求解三角形面积问题的效率。

同时，本文也为其他求解几何图形面积问题提供了一定参考，希望能帮助读者更好地理解反比例函数的概念，从而有效提高求解几何图形问题的效率。

反比例函数常见的面积类型
反比例函数是数学中的一种基本函数类型。

在实际应用中，反比例函数常常涉及到面积问题。

下面列举一些常见的反比例函数面积类型。

1. 长方形面积
如果一个长方形的宽是固定的，而长度是随着宽的增加而减小的，那么它的面积就可以用反比例函数来表示。

设长方形宽为x，长度为y，则长方形面积为S=xy，即S与x成反比例关系，S=k/x。

其中，k 为比例常数。

2. 圆形面积
圆的半径和面积之间也存在反比例关系。

设圆的半径为r，圆的面积为S，则圆的面积可以表示为S=k/r^2。

其中，k为比例常数。

3. 梯形面积
如果一个梯形的高是固定的，而底边长度是随着高的增加而减小的，那么它的面积也可以用反比例函数来表示。

设梯形的高为h，上底为a，下底为b，则梯形面积为S=(a+b)h/2，即S与h成反比例关系，S=k/h。

其中，k为比例常数。

4. 等腰三角形面积
如果一个等腰三角形的底边长度是固定的，而高是随着底边长度增加而减小的，那么它的面积也可以用反比例函数来表示。

设等腰三角形的底边长度为b，高为h，则等腰三角形面积为S=bh/2，即S与b成反比例关系，S=k/b。

其中，k为比例常数。

综上所述，反比例函数在实际应用中常常涉及到面积问题，这些常见的反比例函数面积类型包括长方形面积、圆形面积、梯形面积和等腰三角形面积。

回归教材重难点08 反比例函数与一次函数综合问题反比例函数与一次函数综合问题是初中《反比例函数》章节的重点内容，考查的相对比较综合，把反比例函数与一次函数结合起来，以不等式、方程组等为核心。

在中考数学中，主要是以解答题形式出现。

通过熟练运用的方程、不等式与函数三者之间的关系，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。

本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大，甚至有些地方将其作为选填题的压轴题。

1.反比例函数中的有关面积问题如图，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则根据k 的几何意义可得，OBF OAE S S ∆∆=，而OBF OAB OAE ABFE S S S S ∆∆∆+=+梯形，所以OAB ABFE S S ∆=梯形，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错2.待定系数法求反比例函数解析式反比例函数y =kx （k≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =kx （k≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．反比例函数y =kx （k≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =kx （k≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．1．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，点,2A a 在反比例函数4y x=的图象上，//AB x 轴，且交y 轴于点C ，交反比例函数ky x=于点B，已知2AC BC =． yx DC FEOB A（1）求直线OA 的解析式； （2）求反比例函数ky x=的解析式； （3）点D 为反比例函数ky x=上一动点，连接AD 交y 轴于点E ，当E 为AD 中点时，求OAD △的面积． 【答案】（1）y x =；（2）2y x=-；（3）3.【分析】（1）先求解A 的坐标，再把A 的坐标代入正比例函数y mx =，解方程即可得到答案； （2）利用2,AC BC = 先求解B 的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；（3）设2,,D n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 而()2,2,A E 为AD 的中点，利用中点坐标公式求解,D E 的坐标，再利用()12OAD ODE OAE A D S S S OE x x =+=+，计算即可得到答案.【详解】解：（1） 点,2A a 在反比例函数4y x=的图象上，24,2,a a ∴== 则()2,2,A 2,AC ∴= 设直线AO 为：,y mx = 22,m ∴= 则1,m = 所以直线AO 为：,y x =（2） //AB x 轴， 2=2AC BC =．1,BC ∴= ()1,2,B ∴- 122,k xy ∴==-⨯=-所以反比例函数为：2.y x=-（3）设2,,D n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 而()2,2,A E 为AD 的中点，()120,2E x n ∴=+=2,n ∴=-()32,1,0,,2D E ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭()12OADODE OAEA D SSSOE x x ∴=+=+ ()1322 3.22=⨯⨯+= 【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键.2．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数2k y x =的图象在第二象限交于C ，(6,2)D -两点，//DE OC 交x 轴于点E ，若13AD AC =． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）求四边形OCDE 的面积．【答案】（1）8y x +＝，12y x＝-；（2）643【分析】（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得C 点坐标，再利用待定系数法求函数关系式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A 点和E 点坐标，然后用AOC △的面积减去AED 的面积求解．【详解】解：（1）将(62)D -，代入2k y x=中，26212k ⨯＝-＝-， ∴反比例函数的解析式为12y x＝-； 过点D 作DM x ⊥轴，过点C 作CN x ⊥轴，//DE OC ，ADE ACO ∴∽，13AD AE DM AC AO CN ∴===，36CN DM ∴＝＝， 将6y ＝代入12y x＝-中，126x =-，解得：2x ＝-，∴C 点坐标为()2,6-，将()2,6C -，()6,2D -代入1y k x b +＝中，可得112662k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：118k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为8y x +＝； （2）设直线OC 的解析式为y mx ＝，将()2,6C -代入，得：26m -＝，解得：3m ＝-，∴直线OC 的解析式为3y x ＝-，由//DE OC ，设直线DE 的解析式为3y x n +＝-， 将()6,2D -代入可得：()362n ⨯+--＝，解得：16n ＝-，∴直线DE 的解析式为316y x -＝-，当0y ＝时，3160x --＝，解得：163x =-，∴E 点坐标为16,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，163OE ∴＝，在8y x +＝中，当0y ＝时，80x +＝，解得：8x ＝-，∴A 点坐标为()8,0-，8OA ∴＝，168833AE ∴-＝＝， AOCAEDOCDE S SS四边形＝﹣1122OA CN AE DM =⋅-⋅118862223=⨯⨯-⨯⨯8243=-643=．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质，掌握一次函数及反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．3．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线11y k x b =+与双曲线22k y x=相交于()()2,3,,2A B m --两点．（1）求12,y y 对应的函数表达式；（2）过点B 作//BP x 轴交y 轴于点P ，求ABP △的面积； （3）根据函数图象，直接写出关于x 的不等式21k k x b x+<的解集． 【答案】（1）11y x =-+，26y x=-；（2）152ABPS=；（3）20x -<<或3x > 【分析】（1）由题意先求出2y ，然后得到点B 的坐标，进而问题可求解；（2）由（1）可得ABP △以PB 为底，点A 到PB 的距离为高，即为点A 、B 之间的纵坐标之差的绝对值，进而问题可求解；（3）根据函数图象可直接进行求解．【详解】（1）把点()2,3A -代入反比例函数解析式得：6k =-，∴26y x=-，∴点B 在反比例函数图象上，∴26m -=-，解得：3m =，∴()3,2B -，把点A 、B 作代入直线解析式得：112332k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：111k b =-⎧⎨=⎩，∴11y x =-+；（2）由（1）可得：()2,3A -，()3,2B -，∴//BP x 轴，∴3BP =，∴点A 到PB 的距离为()325--=，∴1153522ABPS =⨯⨯=； （3）由（1）及图象可得：当21k k x b x+<时，x 的取值范围为20x -<<或3x >． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．4．（2021·山东济宁·中考真题）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点()2,0C ，点()0,4B ，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A ．（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线OA 向上平移m 个单位后经过反比例函数，图象上的点()1,n ，求m ，n 的值． 【答案】（1）12y x =；（2）12n =，353m =【分析】（1）作AD x ⊥轴，可知BOC CDA △≌△，得出A 点坐标，待定系数法求出解析式即可， （2）将点()1,n 代入（1）中解析式和直线OA 的解析式中，分别求出m ，n 的值即可． 【详解】（1）如图，作AD x ⊥轴，则90ADC ∠=︒90ACB ∠=︒，AC BC =，90BCO ACD ∴∠+∠=︒90BCO CBO ∠+∠=︒ACD CBO ∴∠=∠∴()BOC CDA AAS △≌△点()2,0C ，点()0,4B 2,4OC OB ∴==4,2CD OB AD OC ∴====，∴OD =OC +CD =6，(6,2)A ∴ 代入k y x=中，2612k =⨯=12y x ∴=．（2）()1,n 在12y x=上，12n ∴= (6,2)(0,0)A O ，设直线OA 解析式为1y k x =12=6k ∴，113k =13y x ∴=直线OA 向上平移m 个单位后的解析式为：13y x m =+ 图象经过（1，12），11213m ∴=⨯+，解得：353m =，12n ∴=，353m =．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正比例函数解析式，函数图像的平移，三角形全等的性质与判定，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想． 5．（2021·山东泰安·中考真题）如图，点P 为函数112y x =+与函数(0)m y x x=>图象的交点，点P 的纵坐标为4，PB x ⊥轴，垂足为点B ．（1）求m 的值； （2）点M 是函数(0)m y x x =>图象上一动点，过点M 作MD BP ⊥于点D ，若1tan 2PMD ∠=，求点M 的坐标．【答案】（1）24；（2）M 点的坐标为(8,3)【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P 的横坐标，利用k =xy 计算m 即可； （2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可. 【详解】（1）∴点P 纵坐标为4，∴1412x =+，解得6x =，(6,4)P ∴∴4=6m ，∴24m =．（2）∴1tan 2PMD ∠=，∴12PD PM =， 设(0)PD t t =>，则2DM t =，当M 点在P 点右侧，∴M 点的坐标为(62,4)t t +-，∴（6+2t ）（4-t ）=24，解得：11t =，20t =（舍去），当11t =时，(8,3)M ，∴M 点的坐标为(8,3)，当M 点在P 点的左侧，∴M 点的坐标为(62,4)t t -+，∴（6-2t ）（4+t ）=24， 解得：10t =，21t =-，均舍去． 综上，M 点的坐标为(8,3)．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．6．（2022·重庆·模拟预测）如图，一次函数1y k x b =+的图像与反比例函数ky x=的图像相交于点A （3，1），B （﹣1，n ）两点．(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像，直接写出满足1+≥kk x b x的x 的取值范围； (3)连接BO 并延长交双曲线于点C ，连接AC ，求ABC ∆的面积．【答案】(1)反比例函数的解析式是3y x=，一次函数的解析式是2y x =-；(2)10x -≤<或3x ≥；(3)8 【分析】（1）把点A 的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，再把点B 的坐标代入反比例函数的解析式可求出B 的坐标，把点A 、B 的坐标代入一次函数1y k x b =+即可求出函数的解析式； （2）根据函数的图像和A 、B 的坐标即可得出答案；（3）过C 点作CD y ∥轴，交直线AB 于D ，求出D 的坐标，即可求得CD ，然后根据ABC ACD BCD S S S =+△△△即可求出答案．【详解】(1)解：∴点A （3，1），B （﹣1，n ）两点在反比例函数图像上 ∴把A （3，1）代入k y x=得：313k =⨯=，∴反比例函数的解析式是3y x =，又∴B （﹣1，n ）代入反比例函数3y x=得：3n =-，∴B 的坐标是（﹣1，﹣3），把A 、B 的坐标代入一次函数1y k x b =+得：11313k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：11k =，2b =-，∴一次函数的解析式是2y x =-． (2)解：从图像可知：1+≥kk x b x的x 的取值范围是当10x -≤<或3x ≥． (3)解：过C 点作CD y ∥轴，交直线AB 于D ，∴B （﹣1，﹣3），B 、C 关于原点对称，∴C （1，3）， 把1x =代入2y x =-得，1y =-，∴D （1，﹣1），∴4CD =，∴()142282△△△=+=⨯⨯+=ABC ACD BCD S S S ．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．数形结合思想的运用是解题的关键． 7．（2021·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数在图象与反比例函数y kx=（k ＜0）的图象在第二象限交于点A （﹣3，m ），B（n ，2）两点．(1)当m ＝1时，求一次函数的解析式．(2)若点E 在x 轴上，满足∴AEB ＝90°，且AE ＝2﹣m ，分别连接OA ，OB ，求∴OAB 的面积． 【答案】(1)y 23=x +3；(2)289108【分析】（1）将点A 坐标代入反比例函数解析式中求出k ，进而得出点B 坐标，最后用待定系数法求出直线AB 的解析式；（2）先判断出BF ＝AE ，进而得出∴AEG ∴Rt∴BFG （AAS ），得出AG ＝BG ，EG ＝FG ，即BE ＝BG +EG ＝AG +FG ＝AF ，再求出m 23=-n ，进而得出BF ＝223+n ，MN ＝n +3，即BE ＝AF ＝n +3，再判断出∴AME ∴∴ENB ，根据相似三角形的性质得出ME 23=BN ，最后用勾股定理求出m ，根据梯形的面积公式即可得出结论． 【详解】(1)解：当m ＝1时，点A （﹣3，1）， ∴点A 在反比例函数y kx=的图象上，∴k ＝﹣3×1＝﹣3， ∴反比例函数的解析式为y 3x=-； ∴点B （n ，2）在反比例函数y 3x=-图象上，∴2n ＝﹣3，∴n 32=-，设直线AB 的解析式为y ＝ax +b ，则31322b a b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，∴233a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为y 23=x +3； (2)如图，过点A 作AM ∴x 轴于M ，过点B 作BN ∴x 轴于N ，过点A 作AF ∴BN 于F ，交BE 于G ， 则四边形AMNF 是矩形，∴FN ＝AM ，AF ＝MN ， ∴A （﹣3，m ），B （n ，2），∴BF ＝2﹣m ， ∴AE ＝2﹣m ，∴BF ＝AE ，在∴AEG 和∴BFG 中，90AGE BGFAEG BFG AE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴∴AEG ∴∴BFG （AAS ），∴AG ＝BG ，EG ＝FG ，∴BE ＝BG +EG ＝AG +FG ＝AF ，∴点A （﹣3，m ），B （n ，2）在反比例函数y kx=的图象上，∴k ＝﹣3m ＝2n ，∴m 23=-n ，∴BF ＝BN ﹣FN ＝BN ﹣AM ＝2﹣m ＝223+n ，MN ＝n ﹣（﹣3）＝n +3，∴BE ＝AF ＝n +3，∴∴AEM +∴MAE ＝90°，∴AEM +∴BEN ＝90°，∴∴MAE ＝∴NEB ，∴∴AME ＝∴ENB ＝90°，∴∴AME ∴∴ENB ，∴22223333nME AE m BN BE n n +-====++，∴ME 23=BN 43=，在Rt∴AME 中，AM ＝m ，AE ＝2﹣m ，根据勾股定理得，AM 2+ME 2＝AE 2，∴m 2+（43）2＝（2﹣m ）2， ∴m 59=，∴k ＝﹣3m 53=-，∴2n 53=-，∴n 56=-，∴A （﹣3，59），B （56-，2），∴AM 59=，OM ＝3，BN ＝2，ON 56=，∴MN 136=， ∴∴OAB 的面积＝S 四边形AMNB +S △BNO ﹣S △AOM ＝S 四边形AMNB 12=（AM +BN ）•MN 12=⨯（59+2）132896108⨯=．【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的综合应用,解决问题的关键是利用好交点的坐标．8．（2022·江西南昌·一模）如图，反比例函数y 1＝kx（x ＞0）与直线y 2＝ax +b 的图象相交于A ，B 两点，其中点B （3，3），且AB ＝2BC ．(1)求反比例函数解析式．(2)求直线AB 解析式．(3)请根据图象，直接写出当y 1＜y 2时，x 的取值范围． 【答案】(1)19y x=；(2)2312y x =-+；(3)13x << 【分析】（1）将B 点坐标代入反比例函数解析式，求出k 的值即可；（2）过点A 、D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为D ，E ．由此即易证ADC BEC △△，得出BE BCAD AB=．再根据2AB BC =，即得出13BE AD =．结合B 点坐标，即可求出A 点纵坐标，将A 点纵坐标代入反比例函数解析式，即求出A 点横坐标．最后结合A 、B 两点坐标利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式； （3）根据当12y y <时，反比例函数图象在一次函数图象下方，结合图象即可写出x 的取值范围． 【详解】(1)将B 点坐标代入反比例函数解析式得：33k=，解得：9k =． 故反比例函数解析式为：19y x=；(2)如图，过点A 、D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为D ，E ．根据作图易证ADC BEC △△，∴BE BC AD AB =． ∴2AB BC =，∴13BC AC =，即13BE AD =． ∴3B BE y ==，∴39A y AD BE ===，将9A y =代入19y x=，即得出99x =，解得：1x =，即A (1，9)． 将A (1，9)和B (3，3)代入2y ax b =+，得：933a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得：312a b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为2312y x =-+； (3)当12y y <时，即反比例函数图象在一次函数图象下方即可，由图象可知当13x <<时反比例函数图象在一次函数图象下方，∴当13x <<时，12y y <．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合，利用待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质．掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键．9．（2021·山东青岛·一模）如图，直线y 1＝k 1x +b 与双曲线y 2＝2k x在第一象限内交于A 、B 两点，已知A （1，m ），B （2，1）．(1)分别求出直线和双曲线的解析式；(2)设点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作PD ∴x 轴于点D ，E 是y 轴上一点，当∴PED 的面积最大时，请直接写出此时P 点的坐标为 ． 【答案】(1)y 1＝﹣x +3，22y x =；(2)33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到m 和2k 的值，再根据待定系数法即可得出直线AB 的解析式；（2）设点P (x ，﹣x+3），用含x 的代数式表示出△PED 的面积，即可求解．【详解】(1)解：∴点B (2，1)在双曲线上，∴2k ＝2×1＝2，∴双曲线的解析式为22y x=， ∴A （1，m ）在双曲线22y x =，∴m ＝2，∴A (1，2）． ∴直线AB ：y 1＝k 1x +b 过A （1，2）、B （2，1）两点，则11221k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得113k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +3；(2)解：设点P (x ，﹣x +3），且1≤x ≤2，∴PED 的面积＝12PD •OD ＝12x (﹣x +3)＝﹣12(x ﹣32)2+98， 当x ＝32时，∴PED 的面积取得最大值，此时点P 的坐标为(32，32）， 故答案为：(32，32）． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，二次函数的最值以及三角形的面积公式，求出直线AB 的解析式是解题的关键.10．（2021·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数y ＝k x（k ＞0，x ＞0）的图象上，CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知CD ＝2．(1)点A 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；(2)若该反比例函数图象与DE 交于点Q ，求点Q 的横坐标．【答案】(1)点A 在反比例函数图象上，理由见解析；(2)Q 317+【分析】（1）过点P 作x 轴垂线PG ，连接BP ，可得BP ＝2，G 是CD 的中点，所以P （23； （2）易求D （3，0），E （43，待定系数法求出DE 的解析式为y 3﹣3次函数即可求点Q ．【详解】(1)解：点A 在该反比例函数的图象上，理由如下：过点P 作x 轴垂线PG ，连接BP ，∴P 是正六边形ABCDEF 的对称中心，CD ＝2，∴BP ＝2，G 是CD 的中点，∴PG=BO=BC 3sin 602︒=3∴P （23， ∴P 在反比例函数y ＝k x （k ＞0，x ＞0）的图象上，∴k ＝3∴y 23 由正六边形的性质，A （1，3，∴点A 在反比例函数图象上；(2)解：由（1）得D （3，0），E （43，设DE 的解析式为y ＝mx +b ，∴3043m b m b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴333m b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，∴y 3﹣3 由方程23333y y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得x 317+，∴Q 317+ ．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键．11．（2021·广东清远·二模）如图，一次函数y 1＝k 1x +4与反比例函数22k y x =的图象交于点A (2,m )和B (-6,-2)，与y 轴交于点C ．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)过点A 作AD ∴x 轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP 与线段AD 交于点E ，当S 四边形ODAC :S △ODE ＝4:1时，求点P 的坐标；(3)点M 是y 轴上的一个动点，当∴MBC 为直角三角形时，直接写出点M 的坐标．【答案】(1)y =x +4，12y x =；(2)41515⎝；(3)(0,−2)或(0,−8) 【分析】(1)根据点B 的坐标，利用待定系数法即可求出k 1、k 2的值；(2)根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A 、C 的坐标，根据梯形的面积公式求出S 四边形ODAC 的值，进而即可得出S △ODE 的值，结合三角形的面积公式即可得出点E 的坐标，利用待定系数法即可求出直线OP 的解析式，再联立直线OP 与双曲线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P 的坐标；(3)分∴CMB =90°或∴CBM =90°两种情况考虑，当∴CMB =90°时，根据点B 的坐标即可找出点M 的坐标；当∴CBM =90°时，由直线AB 的解析式可得出∴BCM 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质结合点A 、B 的坐标即可得出点M 的坐标，综上即可得出结论．【详解】(1)解：将点B (−6,−2)代入y 1=k 1x +4，−2=−6k 1+4，解得：k 1=1，故一次函数的解析式为；y =x +4 将点B (−6,−2)代入22k y x =①，226k -=-，解得：k 2=12， 故反比例函数的解析式为12y x=； (2)解：依照题意，画出图形，如图2所示．当x =2时，m =2+4=6，∴点A 的坐标为(2,6)；当x =0时，y 1=x +4=4，∴点C 的坐标为(0,4)，∴()114621022()ODAC S OC AD OD =+⋅=⨯+⨯=四边形，S 四边形ODAC :S △ODE ＝4:1， ∴111210224ODE S OD DE DE =⋅=⨯=⨯，∴DE =2.5，即点EE 的坐标为(2,2.5)， 设直线OP 的解析式为y =kx ，将点E (2,2.5)代入y =kx ，得2.5=2k ，解得：54k =，∴直线OP 的解析式为54y x =， 1254y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：1141515x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩2241515x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴点P 在第一象限，∴点P 的坐标为41515⎝； (3)解：依照题意画出图形，如图3所示．当∴CMB =90°时，BM x ∥轴，∴点M 的坐标为(0,−2)；当90CBM ∠'=︒时，∴B (-6,-2)，C (0,4)，6BM CM ∴==，∴∴BCM =45°，∴∴BCM 为等腰直角三角形，BC=BM ，∴=6M M CM '=，∴点M 的坐标为(0,−8)，综上所述：当∴MBC 为直角三角形时，点M 的坐标为(0,−2)或(0,−8)．【点睛】本题考查了待定系数法求出一次及反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、梯形(三角形)的面积公式，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线． 12．（2021·四川眉山·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）与反比例函数y m x=（m ≠0）的图象相交于A ，B 两点，过点A 作AD ∴x 轴于点D ，AO ＝5，OD ：AD ＝3：4，B 点的坐标为（﹣6，n ）(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求∴AOB的面积；(3)P是y轴上一点，且∴AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．【答案】(1)y23=x+2，y12x=；；(2)∴AOB的面积S9=；(3)P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，258）【分析】（1）设OD=3a，AD=4a，则AO=5a=5，解得：a=1，故点A（3，4），故反比例函数的表达式为：y=12x，故B（-6，2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可求解；（2）∴AOB的面积S=12×OM×（xA-xB）=12×2×（3+6）=9；（3）分AP=AO、AO=PO、AP=PO三种情况，分别求解即可．【详解】(1) AO＝5，OD：AD＝3：4，设：OD＝3a，AD＝4a，则AD＝5a＝5，解得：a＝1，故点A（3，4），则m＝3×4＝12，故反比例函数的表达式为：y12x=，故B（﹣6，﹣2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：4326k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：232kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，故一次函数的表达式为：y23=x+2；(2)解：设一次函数y23=x+2交y轴于点M（0，2），∴点A （3，4），B （﹣6，﹣2），∴∴AOB 的面积S 12=⨯OM ×（xA ﹣xB ）12=⨯2×（3+6）＝9； (3)解：设点P （0，m ），而点A 、O 的坐标分别为：（3，4）、（0，0），AP 2＝9+（m ﹣4）2，AO 2＝25，PO 2＝m 2，当AP ＝AO 时，9+（m ﹣4）2＝25，解得：m ＝8或0（舍去0）；当AO ＝PO 时，同理可得：m ＝±5；当AP ＝PO 时，同理可得：m 258=； 综上，P 点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，258）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．13．（2021·广东云浮·一模）如图，反比例函数k y x=图像和一次函数y ax b =+经过()1,6M 和()2,N a ．(1)求一次函数解析式：(2)一次函数y ax b =+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，求证：AM BN =．【答案】(1)39y x =-+；(2)见解析【分析】(1)把两点的坐标分别代入两解析式，即可求得a 的值，再利用待定系数法确定一次函数的关系式即可；(2)求出A 、B 两点坐标，再根据坐标特征可证得APM NQB ≌，即可证得结论．【详解】(1)解：∴(1,6)和(2,a )经过反比例函数k y x =，∴6=2k k a ⎧⎪⎨=⎪⎩，解得63k a =⎧⎨=⎩ ，∴N (2,3)， 又∴一次函数y ax b =+经过M (1,6)和N (2,3)，∴623a b a b +=⎧⎨+=⎩ 得到39a b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为39y x =-+； (2)解：如图：过M 作MC ∴y 轴，垂足为点C ；过点N 作ND ∴x 轴，垂足为点D ；∴90ACM NDB ∠=∠=︒在一次函数解析式39y x =-+中，令x =0，得y =9；令y =0，得x =3，即A (0,9)，B (3,0),∴AO =9，BO =3, ∴M (1,6)和N (2,3)，∴CO =6，MC =1,DO =2,ND =3,∴AC =AO -CO =9-6=3，BD =BO -DO =3-2=1,∴AC =ND =3，MC =BD =1,在∴APM 和∴NQB 中，90AP NQ APM NQB PM QB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴()APM NQB SAS ≌，∴AMNB =． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数关系式，全等三角形的判定与性质，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法，将坐标转化为线段的长是解决问题的关键．。