黎曼ζ函数(黎曼猜想)

黎曼猜想是数学中最重要的未解决问题之一，由德国数学家伯恩哈德·黎曼在1859年提出，它是关于黎曼ζ函数的一个基本性质的猜测。

黎曼ζ函数（Riemann Zeta Function）是一个极其重要的复变函数，其定义域涵盖了所有的复数，并且在实数部分大于1的部分与素数分布有着深刻的联系。

通俗地说，黎曼猜想可以这样表述：
在复平面内，所有使得黎曼ζ函数等于零的点（这些点被称为非平凡零点），它们的实部都严格等于1/2。

换句话说，黎曼猜想是说，那些对数学分析和数论至关重要的特殊点（即黎曼ζ函数的零点），如果它们不是所谓的“平凡零点”（即负偶数实部的点，这些点已经被证明存在），那么它们都在一条特定的直线上——就是横坐标为1/2的直线上。

这个猜想之所以重要，是因为它若被证明，将会极大地推动数论的发展，尤其是对于理解素数的分布规律具有决定性的意义。

至今为止，尽管数学家们已经验证了大量黎曼ζ函数的零点满足该猜想，但尚未找到一个严格的证明来覆盖所有的非平凡零点。

解决黎曼猜想不仅会带来数学理论上的突破，还会直接影响到许多其他数学分支领域的问题。

集合论证明黎曼猜想黎曼猜想是数学界最著名且最具挑战性的问题之一。

它提出了一个非常简单的问题：对于所有大于1的正整数n，是否存在一个复数s，使得ζ(s)=0成立，其中ζ(s)是黎曼Zeta函数，它定义为ζ(s)=1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + …。

虽然这个问题听起来非常简单，但是它的解决却牵涉到一些最深奥的数学原理。

这篇文章将介绍集合论如何能够证明黎曼猜想，以及它在这个领域的应用。

首先，让我们回顾一下集合论的基础知识。

在集合论中，我们将元素放在一起形成一个集合。

例如，我们可以有一个集合{1, 2, 3, 4, 5}，其中这些数字是元素。

集合可以用到数学的许多方面，包括数论、代数和拓扑学等。

下面我们将看到它如何应用在黎曼猜想中。

在1960年代，一位名叫André Weil的数学家提出了一个猜想，声称如果我们可以证明一些特殊的集合的某些性质，那么黎曼猜想就是成立的。

这些集合被称为自守L-函数的Selberg类，它们是由黎曼Zeta函数推广而来的一类函数。

在研究这个问题时，Weil发现，如果我们可以证明这些自守L-函数的Selberg类的某些性质，那么我们就能推断黎曼猜想的正确性。

具体来说，证明需要利用我们对自守L-函数的Selberg类的了解，在该类中，每个函数具有以下两个性质：（1）函数在复平面上的非平凡零点都位于竖线s=1/2上。

（2）函数在s=1处不存在极点。

这些性质表明，如果我们知道了一个函数的所有零点，那么我们就能确定函数的整个形状。

因此，证明黎曼猜想等价于证明这些自守L-函数的Selberg类的所有零点都在竖线s=1/2上。

Weil发现，在这些Selberg类函数中存在一个简单的序列，它们具有良好的算术性质。

这个序列就是Dirichlet L-函数，它们是由Dirichlet级数（例如1 + 1/3^s +1/5^s + …）的Euler积分得到的。

Weil发现，如果我们可以证明这些Dirichlet L-函数的所有零点都在竖线s=1/2上，那么我们就能推导出自守L-函数的Selberg类的所有零点也都在竖线s=1/2上，因此黎曼猜想就是成立的。

黎曼猜想内容有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。

这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。

在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。

著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。

这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。

证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。

他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。

但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。

而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。

在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。

若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。

进展:Riemann 猜想究竟是一个什么样的猜想呢？在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数：Riemann ζ函数。

这个函数虽然挂着Riemann 的大名，其实并不是Riemann 首先提出的。

但Riemann 虽然不是这一函数的提出者，他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解，为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。

后人为了纪念Riemann 的卓越贡献，就用他的名字命名了这一函数。

那么究竟什么是Riemann ζ函数呢？Riemann ζ函数ζ(s) 是级数表达式(n 为正整数)ζ(s) = ∑n n-s (Re(s) > 1)在复平面上的解析延拓。

之所以要对这一表达式进行解析延拓，是因为- 如我们已经注明的- 这一表达式只适用于复平面上s 的实部Re(s) > 1 的区域(否则级数不收敛)。

Riemann 找到了这一表达式的解析延拓(当然Riemann 没有使用“解析延拓”这样的现代复变函数论术语)。

黎曼猜想内容黎曼猜想（或称黎曼假设）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。

德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中便包括黎曼假设。

现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼假设。

虽然在知名度上，黎曼猜想不及费尔马猜想和哥德巴赫猜想，但它在数学上的重要性要远远超过后两者，是当今数学界最重要的数学难题，当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。

2018年9月，迈克尔·阿蒂亚声明证明黎曼猜想，于9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲。

9月24日，迈克尔·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假设（猜想）的预印本。

已经知道，黎曼猜想是一个二阶逻辑问题，属于无法一次性证明的工作。

黎曼猜想的主项是一个集合概念的命题，所以只能一个个地验证。

黎曼猜想与费马大定理已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。

作为数学中最著名的未决问题，黎曼假设有若干种等价的表达形式，其中一种涉及素数定理给出的估计的精度。

高尔斯在《数学》（牛津通识读本）里介绍说，素数定理告诉我们在某数附近素数的近似密度。

素数是大于1且不能被其他整数——1和自身显然除外——整除的整数。

自从古希腊时期以来，素数就一直困扰着数学家们，因为它们表面上多多少少是随机分布的，但又并非全然随机。

从没有人找出一种简单的规则，能够告诉我们第 n个素数是多少。

和小素数比起来，大素数的出现越来越稀疏。

但它们稀少到何种具体程度？如果你在 1 000 001和 1 010 000之间随机取一数，那么这个数有多大的机会是素数？换言之,1 000 000附近的素数“密度”是多大？它是极其小还是仅仅比较小？有许多关于素数的著名问题。

例如，哥德巴赫猜想断言，任意大于4的偶数都可以表示为两个奇素数之和。

这个猜想看起来比维诺格拉多夫所解答的三素数猜想要难得多。

黎曼ζ函数ζ(s)的定义如下：设一复数s，其实数部份 > 1 而且：在区间 {s: Re(s) > 1}上，此无穷级数收敛并为一全纯函数。

（上式中Re 表示复数的实部。

）波恩哈德·黎曼认识到：ζ 函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域(s, s≠ 1)上的全纯函数ζ(s)。

这也是黎曼猜想所研究的函数。

此函数和素数的关系已由欧拉所揭示：这是一个延展到所有的质数p的无穷乘积。

这是几何级数的公式和算术基本定理的一个结果。

ζ(s)的零点很重要，因为特定的涉及到函数ln(1/ζ(s))的路径积分可以用来估算质数个数函数π(x)。

这些路径积分用留数定理计算，所以必须知道被积式的奇异点。

ζ函数满足如下函数方程：对于所有C\{0,1}中的s成立。

这里，Γ 表示Γ函数。

这个公式原来用来构造解析连续性。

在s = 1，ζ函数有一个简单极点其留数为1。

欧拉也能计算ζ(2k)，对于偶整数2k，他使用公式其中B2k是伯努力数。

从这个，我们可以看到ζ(2)= π2/6, ζ(4) = π4/90, ζ(6) = π6/945 等等。

(序列 A046988/A002432 列在OEIS)。

这些给出了著名的π的无穷级数。

奇整数的情况没有这么简单。

拉马努金在这上面做了很多了不起的工作。

我们可以用莫比乌斯函数μ(n)表达ζ函数的倒数如下对于所有实部>1的复数s。

这和上面ζ(2)的表达式一起可以用来证明两个随机整数互质的概率是6/π2。

虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关，它也出现在应用统计学中（参看齐夫定律 (Zipf's Law) 和齐夫-曼德尔布罗特定律(Zipf-Mandelbrot Law) ），还有物理，以及调音的数学理论中。

用最简单的方式解释黎曼猜想（三），黎曼ζ函数的解析延拓与零点我们已经开始接近黎曼猜想，回顾一下前两篇的内容：用最简单的方式解释黎曼猜想（一），理解素数定理用最简单的方式解释黎曼猜想（二），黎曼ζ函数，素数之门的金钥匙我们已经知道，如果s是某个大于1的数，那么zeta函数如下：或者用求和符号表示：我已经展示了，通过应用一个过程（非常像埃拉托色尼的筛选法），它是如何等价于：整理得：因此有：•欧拉乘积公式到目前为止，一切都很顺利。

但什么是非平凡零点？函数的零点是什么？zeta函数的零点是什么？它们什么时候是“非平凡”的？我们继续！先忘记黎曼zeta函数，考虑下面的函数：这个函数收敛吗？为了对这个函数有个直观的感受，我们先看一个例子。

拿一个标有四分之一、八分之一、十六分之一……的普通尺子。

用铅笔尖指着尺子上的第一个标记，零。

把铅笔向右移1（单位）。

铅笔尖在“1”的标记上，总共移动了1个单位，如下图1：•图1现在，把笔尖向右移动0.5个单位，如图2：•图2继续把笔尖向右移动1/4，1/8，1/16，1/32，1/64。

现在，你的笔尖在图3的位置：•图3笔尖移动的距离是：容易算出的结果是：显然，如果能像这样继续下去，每次减半距离，会越来越接近2，但永远也到不了2（可以无限接近）。

我们可以把这个事实表示成：假设笔尖先向右移动一个单位，再向左移动0.5个单位，再向右移动1/4个单位，再向左移动1/8个单位……，如图4：•图4因为从数学的角度来看向左移动等于向右负移动，这就等于：结果是43/64。

如果继续加、减无穷项，就会得到：如果是1/3呢？如果你自己动手去移动，不难发现，移动总距离不超过3/2，也就是：同理可以知道：回到函数S（x），计算S（x）函数值如下：画出函数图如下：在-1的左边和1的右边，函数没有值，也就是这个函数的定义域是[-1,1]。

但我可以换个方式表达函数，如下：看出什么了吗？右边括号里的内容不就是S（x）吗？也就是说：把最右边的一项移到等号左边：也就是：因此：也就是：对吗？某种程度上是。

黎曼猜想证明过程（原创版）目录1.黎曼猜想的背景和意义2.迈克尔·阿蒂亚对黎曼猜想的证明过程3.黎曼猜想的证明对数学界的影响4.我国对黎曼猜想的研究和发展正文一、黎曼猜想的背景和意义黎曼猜想是数学领域中一个著名的未解问题，由德国数学家格奥尔格·弗里德里希·伯纳德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）于 1859 年提出。

黎曼猜想关注的是黎曼ζ函数的零点分布问题，其具体表述为：黎曼ζ函数在复平面上的非平凡零点的实部均为 1/2。

黎曼猜想对数学领域具有重要意义，它不仅与质数分布、素数定理等数论问题密切相关，还涉及到复分析、解析数论等多个数学分支。

黎曼猜想一直是数学家们关注的焦点，他们不断尝试证明这一猜想，但至今仍未找到确凿证据。

二、迈克尔·阿蒂亚对黎曼猜想的证明过程2018 年，英国数学家迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）公开了他证明黎曼猜想的论文预印本。

阿蒂亚的证明过程基于一个名为“阿蒂亚 - 辛格指标定理”的数学理论，该理论涉及到椭圆曲线和模形式等数学概念。

阿蒂亚在论文中展示了如何将黎曼猜想与阿蒂亚 - 辛格指标定理联系起来，并利用这一定理证明了黎曼猜想的正确性。

然而，阿蒂亚的证明过程并没有得到广泛认可，一些数学家认为他的证明方法存在缺陷，尚不能确定黎曼猜想是否成立。

三、黎曼猜想的证明对数学界的影响如果黎曼猜想得到证明，其对数学界的影响将是深远的。

首先，证明黎曼猜想将解决一个重要的未解问题，使数学家们在这一领域的研究取得突破性进展。

此外，黎曼猜想的证明还将推动其他数学领域的发展，如复分析、代数几何等。

同时，证明黎曼猜想也将对数学家的声誉和地位产生影响。

克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute）设立了一项百万美元的奖金，用于奖励成功证明黎曼猜想的数学家。

因此，证明黎曼猜想将成为数学家们追求的至高荣誉。

、什么是黎曼猜想黎曼猜想——最重要的数学猜想早在1737年，大数学家欧拉就发现了质数分布问题与Zeta函数的联系，给出并证明了欧拉乘积公式，使得Zeta函数成为研究质数问题的经典方法。

np欧拉乘积公式，其中p为质数，n为自然数黎曼猜想(RiemannHypothesis)由大数学家黎曼在1859年首次提出，讨论黎曼Zeta函数的非平凡解问题。

黎曼猜想是众多尚未解决的最重要的数学问题之一，被克雷数学研究所列为待解决的七大千禧问题，悬赏百万美金证明或者证伪。

一百年前希尔伯特就曾被问过一个问题“假定你能死而复生，你会做什么？”，他的回答是，“我会问黎曼猜想是否已经解决”。

可见黎曼猜想多么吸引人黎曼猜想是关于黎曼Zeta函数的零点分布的猜想。

黎曼Zeta函数长这个样子：黎曼Zeta函数有两种零点，一种是位于实数轴线上的零点，被称为平凡零点，另一种是位于其他复平面区域上的零点，被称为非平凡零点，目前数学家已经证明这些非平凡零点全部位于实部区间为0到1的复平面内，而黎曼则大胆猜想，这些非平凡零点全部位于实部为1/2的一条直线上。

“所有非平凡零点都位于实部为1/2的直线上”是一个尚未得到严格证明的猜想，但数学家们至今找到的上万亿个非平凡零点的确都位于这条直线上，无一例外。

黎曼猜想还跟幂律分布有关。

我们都知道幂律分布是指其中x如果只能取123,...,n的整数，c为归一化常数，满足:p(l)+p(2)+...+p(n)=c^i~a=1而这里面的就是Zeta函数，黎曼猜想就是关于这个函数的，但是a可以取复数值。

黎曼猜想真的会被证明吗？质数分布没有简单规律，但质数出现的频率跟黎曼Zeta函数紧密相关。

有数学家甚至认为黎曼猜想与强条件下的质数定理是等价的。

目前已经验证了前1,500,000,000个质数对这个定理都成立，但至今没有完全证明。

黎曼猜想得证，对质数研究、数论研究意义重大。

黎曼猜想对许多数学领域都意义重大，质数分布只是其中一个。

数学中的黎曼猜想黎曼猜想是一个引人入胜的研究领域，它的核心问题在于判断自然数序列的素数分布规律。

这个问题被认为是数学中尚未解决的难题之一，因为它涉及到深奥的数学知识和复杂的算法。

尽管经过多年来的研究，许多学者已经提供了数个假设和证明，但是黎曼猜想的正确性仍然没有得到严格证明。

接下来，我们将从黎曼猜想的历史、数学表达、应用价值等方面进行探讨。

一、黎曼猜想的历史黎曼猜想最初是由19世纪德国数学家Bernhard Riemann所提出的。

在其研究热力学中的问题时，他引入了复变函数理论，从而创立了复变函数的初步理论。

随后，他开始探索素数的规律性，并提出了著名的黎曼假设：所有非零的复数的黎曼zeta函数的零点必然在直线Re z=1/2上。

这个假设的提出，引起了数学界的热烈讨论和激烈争议，从而推动了数学研究的深入。

在随后的几十年里，许多学者都致力于研究和验证黎曼猜想。

其中，最具代表性的是英国数学家Harold Cramer和Norwegian数学家Atle Selberg的工作。

Cramer证明了黎曼猜想在某些情况下是正确的，并推导出了素数分布的渐近函数；Selberg也通过不断精巧的数学技巧，有所突破，并发展出了判别黎曼假设的新方法。

然而，总体而言，黎曼猜想仍然难以被证明。

这个问题的复杂性在于，黎曼猜想的证明需要涉及大量的数学理论和计算机模拟。

尽管数学家们取得了一系列成果，但是黎曼猜想的开放性仍然困扰着人们，并成为了数学中一个长期困难的难题。

二、黎曼猜想的数学表达黎曼猜想是用复变函数的形式定义的，这个函数被称为黎曼Zeta函数。

该函数的表达式为：Zeta(s)=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+...+1/N^s+…其中，s是一个复数，N是一个正整数。

Zeta(s)的性质与自然数序列中的素数分布有关，因为Zeta(s)中的每一项都是由自然数的倒数组成的。

根据数学定理，当Re(s)>1时，Zeta(s)是无限的；当s取值为2时，数列的总和为一个特殊的无限值pi^2/6，其中pi为圆周率。

黎曼猜想黎曼猜想（Riemann Hypothesis）是数学中一个备受关注的未解决问题，属于数论领域，具体涉及到黎曼ζ函数的复数根的分布规律。

以下是对黎曼猜想的详细介绍：1. 猜想的提出者：黎曼猜想是由德国数学家伯纳德·黎曼（Bernhard Riemann）于1859年在他的论文《论ζ函数的奇点》中首次提出的。

2. 黎曼ζ函数：黎曼猜想的核心是黎曼ζ函数（Riemann Zeta Function），它是一个复数域上的函数，通常表示为ζ(s)。

它的定义如下：ζ(s) = 1^(-s) + 2^(-s) + 3^(-s) + 4^(-s) + ...其中，s是一个复数，ζ(s)在复平面上的解称为ζ函数的零点或ζ函数的根。

3. 猜想的内容：黎曼猜想的内容可以简要概括为：ζ函数的所有非平凡零点（即不在实轴上的零点）的实部都等于1/2。

这一猜想的形式化表述是：如果ζ(s) = 0，并且s不是实数，那么Re(s) = 1/2，其中Re(s)表示s的实部。

黎曼猜想的核心思想是关于ζ函数零点的分布规律，特别是它们是否都位于复平面的实部等于1/2的直线上。

4. 猜想的重要性：黎曼猜想对数论领域的重要性不言而喻。

如果猜想成立，将有助于更深入地理解素数的分布规律，因为ζ函数与素数密切相关。

黎曼猜想也与数论中的一些经典问题，如黄金分割率和勾股数三元组等问题有关。

5. 重要成果和未解问题：黎曼猜想自提出以来，已经有大量数学家致力于研究，但目前尚未找到完备的证明或反例。

黎曼猜想已经产生了大量重要的数学成果，如黎曼-默塞尔公式、素数定理等。

但要弄清楚黎曼猜想的真伪仍然是一个未解决的数学难题。

总的来说，黎曼猜想是数学领域的一个备受瞩目的问题，它关乎素数分布的深刻性质，尽管已经有很多数学家做出了重要的贡献，但要找到其完备的证明仍然是一个巨大的挑战。

该猜想在数学界仍然具有特殊的地位，引发了许多数学家的兴趣和研究。

2。

黎曼ζ函数历史奥里斯姆ζ函数最早出现于1350年左右，当时的尼克尔·奥里斯姆发现了调和级数发散，即奥里斯姆对调和级数发散的“证明”欧拉之后的一次进展来自莱昂哈德·欧拉，他给出了调和级数呈对数发散。

欧拉对调和级数发散速度的证明为了求出调和级数的部分和，使用欧拉-麦克劳林求和公式（当然，亦可使用阿贝尔求和公式）：注意到其中的是一个常数。

实际上，这就是欧拉-马斯刻若尼常数γ 再考虑剩下的一个积分，也就是由于被积项非负，又有，于是最终得到除此之外，他还在1735年给出了巴塞尔问题的解答，得到的结果。

欧拉最初的证明可以在巴塞尔问题中看到，然而那是他的第一个证明，因而广为人知。

事实上，那个证明虽有不严谨之处，但是欧拉仍然有自己的严格证明。

欧拉对的严格证明下面将写出欧拉对上式的证明中缺失的严格论证的部分，即对连乘积公式的证明部分，而不涉及最终的系数比较首先考虑当n为奇数时，将分解为连乘积形式。

事实上，容易发现上式的全部复根为由于n为奇数，所以可以将除了z=a外的其他根及其共轭一一配对，即将看做一对，则通过二次方程的韦达定理可以还原出每对根的最小多项式：按照韦达定理，有由于最小多项式首项系数为1，故，由此得到这对根最小多项式为注意到k的取值上限为，将每一对根的最小多项式相乘，还有z=a这个根的最小多项式，乘在一起，得到令，代入上式，有：此时，上述乘积中的仅和N有关，记作，上式变为而利用二项式定理，将等式左边展开：两式相减，考虑一次项，为这正是等式的左边的一次项而等式右边的一次项只能是连乘积中的全部1与连乘积外的C(n)x相乘，为使两边相等，必须有，于是上式变为另一方面，令，有于是，代入上式，得到令N→∞，则右端大O符号的诸项都变为无穷小。

另一方面，左端可写为：于是上式变为此时，只需比较左右两端展开式的三次项系数，即可得出结果。

欧拉在1737年还发现了欧拉乘积公式：这是ζ函数与素数的联系的朦胧征兆，其证明可以在证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式中看到。

黎曼定理的概述1. 引言黎曼定理（Riemann’s theorem）是数学领域中一项重要的数论结果，由德国数学家贝尔纳德·黎曼（Bernhard Riemann）于1859年提出。

它是关于素数分布的一个重要猜想，对于理解素数的分布规律具有深远的影响。

在本文中，我们将介绍黎曼定理的基本概念、历史背景以及相关证明和应用。

同时，我们还会探讨黎曼定理在数论研究中的重要性和意义。

2. 黎曼函数与黎曼猜想为了理解黎曼定理，我们首先需要介绍黎曼函数和黎曼猜想。

2.1 黎曼函数黎曼函数（Riemann zeta function）是一个复变函数，定义为：ζ(s)=∑1 n s∞n=1其中s是一个复数。

当实部Re(s)>1时，该级数收敛；否则发散。

黎曼函数在复平面上具有许多有趣的性质和特征。

2.2 黎曼猜想黎曼猜想（Riemann hypothesis）是黎曼关于黎曼函数的一个猜想，它表明所有非平凡的黎曼函数的复数根的实部都等于1/2。

换句话说，如果s是一个非平凡的黎曼函数的复数根，则有Re(s)=12。

这个猜想虽然在数论领域中被广泛接受，但至今尚未得到证明。

如果该猜想成立，将会对数论和素数分布问题产生重大影响。

3. 黎曼定理3.1 定义黎曼定理是由黎曼在1859年提出的一个关于素数分布的定理。

它建立了素数分布与黎曼函数之间的联系。

具体来说，黎曼定理表明：对于所有实部大于1的复数s，我们可以将黎曼函数ζ(s)写成下面形式的无穷乘积：ζ(s)=∏(1−1p s)−1p其中p是素数。

这个等式将素数和复变函数联系在一起，为研究素数分布提供了重要的工具和方法。

3.2 证明与应用黎曼定理的证明非常复杂，需要运用复分析和数论的深入知识。

目前，尽管数学家们已经在这个问题上取得了一些进展，但该定理仍然没有完全得到证明。

然而，黎曼定理的重要性不言而喻。

它为研究素数分布提供了一种新的视角和方法，对于解决一些数论难题具有重要意义。

浅显易懂地科普黎曼猜想是什么其实我的公众号有很多内容想写，但是最近没什么时间，写一篇文章要花不少时间。

所以一直没动笔，今年年底应该会多更新一些。

一般我是懒得追踪热点来写文章的，这次破例，追一下热点。

这篇文章尽量浅显易懂，但是猜想还是会有很多人觉得烧脑。

但是如果太简略又没啥意思了。

大家如果不想看细节，可以略过一些具体描述。

这几天传来消息：著名数学家迈克尔，阿蒂亚爵士生成自己证明了黎曼猜想，要在9月24日公开宣讲证明过程。

我猜想如果黎曼猜想真的被证明，黎曼猜想这个名词将会像前几年的引力波被发现事件一样会被朋友圈刷屏。

那么黎曼猜想到底是什么东西呢。

下面跟大家科普一下。

黎曼猜想被誉为数学猜想的皇冠。

著名数学家黎曼在1859年提出了这个猜想，1900年这个猜想被列为希尔伯特的23道世纪数学难题，2000年被列为千禧年7大数学难题。

这个数学猜想非常重要，因为有几百甚至上千个数学命题都是以假设黎曼猜想为正确的基础上做出的。

如果黎曼猜想被证明为真，那么几百上千个数学命题都将荣升为数学定理。

如果黎曼猜想被证伪，那么这些命题也将被证伪。

那么到底黎曼猜想说的是什么呢？一黎曼提出了一个著名的黎曼zeta函数。

（如图）记住这个函数，整篇文章将会围绕这个函数来展开。

（图1）这个函数不难理解，其实跟我们中学学的函数方程y= f（x）只是换了字母代码。

等式左边那块可以看作是函数值y，s可以看成是x，比如当s 取1 的时候，就变成1+1/2+1/3+1/4 按这个规律一直无限加下去。

Zeta函数中，s是可以取复数的。

也就是a+bi的形式。

i是复数单位，i的平方等于-1.这个大家高中肯定学过。

一个数的复数次方需要用到复分析知识，一个数的i次方，大家大概可以想象成在一个复数坐标系里旋转一定角度。

不理解也不重要。

这个函数本来的定义域是s的实数部分要大于1的。

S大于1时，任何一个s值都可以对应一个zeta 函数值。

二．当s 取小于等于1 的值时，zeta函数本来是无解的，比如s 取-1 时，自然数的-1次方就是倒数。

数学十大猜想在数学领域中，存在着许多未被证明的问题，这些问题被称为数学猜想。

猜想往往激发人们的探索欲望，追求真理的数学家们一直致力于寻找解答。

本文将介绍数学领域中备受瞩目的十大猜想。

1. 费马大定理费马大定理是数学历史上最著名的猜想之一。

该猜想最早由法国数学家费马于17世纪提出，直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯发表证明，这一猜想才得到了解决。

费马大定理指出：对于大于2的任何整数n，方程 x^n+y^n=z^n没有正整数解。

这一定理在数论和代数几何领域有着广泛的应用。

2. 黎曼猜想黎曼猜想是数论领域中的一个重大问题，由德国数学家黎曼于1859年提出。

该猜想是关于黎曼ζ函数的零点分布的性质。

黎曼猜想表明：黎曼ζ函数的非平凡零点都位于直线Re(s)=1/2上。

目前，数学界对于黎曼猜想的证明还没有达成一致意见。

3. p=NP问题p=NP问题是理论计算机科学中一个重要的猜想。

该猜想提出了一个关于问题复杂度的等式。

简单来说，p问题是指可以在多项式时间内解决的问题，而NP问题是指可以在多项式时间内验证是否存在解。

p=NP问题询问的是：是否存在一种高效算法可以解决NP问题？至今，这个问题还没有得到确凿的答案。

4. 质数对猜想质数对猜想是由巴甫洛夫兄弟于1846年提出的猜想。

该猜想认为无穷多个距离为2的质数对存在。

也就是说，存在无穷多个形如（p，p+2）的质数对。

虽然至今无人能够证明这个猜想，但已经发现了大量的质数对。

5. 庞加莱猜想庞加莱猜想是拓扑学领域中一个重要的猜想，由法国数学家庞加莱于1904年提出。

该猜想是关于三维空间中的球面的问题。

庞加莱猜想指出：任何一个具有一定性质的三维空间都可以通过球面的贴合和分解而得到。

这个问题在20世纪初引起了广泛的关注，直到2003年，俄罗斯数学家佩雷尔曼发表了证明，解决了这一猜想。

6. 点燃问题点燃问题是一个涉及到组合数学和概率论的猜想。

该问题由英国数学家拉姆齐于1935年提出。

俄罗斯七大数学题
1、黎曼猜想：黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ（s）的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德-黎曼于1859年提出。

虽然在知名度上，黎曼猜想不及费尔马猜想和哥德巴赫猜想，但它在数学上的重要性要远远超过后两者，是当今数学界最重要的数学难题。

2、霍奇猜想：霍奇猜想可以说难道几乎所有的数学家，猜想表达能够将特定的对象形状，在不断增加维数的时候粘合形成一起，看似非常的巧妙，但在实际的操作过程中必须要加上没有几何解释的部件。

3、BSD猜想：BSD猜想，全称贝赫和斯维纳通-戴尔猜想，它描述了阿贝尔簇的算术性质与解析性质之间的联系。

4、欧几里得第五公设：欧几里得第五公设：同一平面内的两条直线与第三条直线相交，若其中一侧的两个内角之和小于二直角，则该两直线必在这一侧相交。

因它与平行公理是等价的，所以又称为欧几里得平行公设，简称平行公设。

5、NP完全问题：NP完全问题可以说是一个听着就很复杂的数学问题，简单的讲所有的完全多项式在非确定性的问题，都可以被转化为名为满足性的逻辑运算问题，数学家们猜想的是到底有没有一个确定性的算大。

6、庞加莱猜想：庞加莱猜想提出来很长时间了，猜想中提到如果不断的去扯一个橡皮筋，然后让它慢慢于移动伸缩为一个点，最终能否证明三维球面或者是四维空间中的和原点有距离的全部问题，简
直就是很困难了。

7、纳维-斯托克斯方程：这个数学问题本是数学家们用来研究无论是在微风还是在湍流等情况下，都能用纳卫尔-斯托可的方程式做出相应的数据解答，但是到目前能完全理解纳卫尔-斯托可方程式的人少之又少，而且有些理论的实质进展很微妙。

数贝拾海严格上讲，黎曼猜想与哥德巴赫猜想并没有特别明显的联系（至少现在应该没有什么定理可表明二者是等价的），不过在对哥德巴赫猜想的研究过程中黎曼猜想确实扮演了类似“敲门砖”的角色.一、黎曼ζ函数所谓的黎曼ζ函数，是无穷级数ζ(s )=∑n 1n8(Re(s )>1)在Re(s )<1这大半个复平面上的函数（在Re(s )≤1时上述级数是不收敛的）.德国数学家伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann ）在1859年发表的论文《论小于给定数值的素数个数》中首先给出如下的函数ζ(s )=Γ(1-s )2πi∫C (-z )s e z -1d zz ，并证明在上述函数中除了在s =1处有一个简单的极点外，在整个复平面上是处处解析的.根据上述表达式可以证明，黎曼ζ函数满足函数：ζ(s )=2Γ(1-s )(2π)s -1sin æèöøπs 2ζ(1-s ).首先可以从上述表达式中看出黎曼ζ函数在s =-2n （n 是正整数）处的值为0，该点被黎曼称为平凡零点.黎曼发现ζ函数除了有上述平凡零点外，还有无穷多个非平凡零点，这些零点的性质远比平凡零点复杂.经过研究后，黎曼提出了影响数学界的猜想——黎曼猜想：黎曼ζ函数所有非平凡零点均位都于复平面Re(s )=12的直线上.黎曼称这条直线为临界线.从上面的函数中可以看出来黎曼ζ函数确实关于临界线有某种对称性，因此黎曼凭借他的直觉猜测：很有可能ζ函数的所有非平凡零点都在临界线上.为了对ζ函数进行进一步研究，黎曼引入了辅助函数ζ(1)=Γæèöøs 2(s -1)π-s2ζ(s )，于是很容易发现ζ函数的零点恰好是ζ函数的非平凡零点，也就是说ζ函数像一个细密的筛子将ζ函数的所有非平凡零点从其零点中筛了出来.黎曼利用复变函数的知识证明了ζ(s )=ζ(1-s )ζ.这样ζ函数的对称性就变得尤为明显了.若记ρ为ζ函数的零点，则有ζ(s )=ζ(0)∏p æèçöø÷1-s p ，这里ρ与1-ρ总是配对出现的.需要注意的一点是，上述连乘积展开式对于有限多项式虽是成立的，但对这种无穷乘积却不总是成立的.直到1893年阿达马（Hadamard)对以ζ(s )为代表的整函数进行了系统研究之后，才完完全全证明了黎曼的这个表达式.黎曼利用ζ函数研究了零点分布的情况并且提出以下3个猜想.猜想一：在0<lm(s )<T 的区域内，ζ(s )的零点数目约为T 2πln T 2π-T2π；猜想二：在0<lm(s )<T 的区域内，ζ(s )在临界线上的零点数目也约为T 2πln T 2π-T2π；猜想三：ζ(s )的所有零点均在临界线上.最后一个便是大名鼎鼎的黎曼猜想.需要指出的是，黎曼承认自己证不出猜想三，且认为猜想一、二都是比较简单的，但他并没有给出完整证明过程.猜想一直到黎曼的论文发表46年后才被证明；猜想二直到现在也没被证明.黎曼二、黎曼ζ函数与素数分布熟悉初等数论的人都知道，欧拉（L.Euler ）在1737年发表的论文中提到过一个著名公式ζ(s )=∑n 1ns=∏p 11-p -s ，其中ρ为素数.利用这个乘积关系式可以很简单地证明素数有无限个，由这个公式，我们便能将黎曼ζ函数与素数紧密地结合在一起.利用欧拉的这个公式做引子，黎曼证明了如下结果：ln ζ(s )=∫0∞x -s d J (x )，这里J (x )=∑nπ(x 1n)n ，其中π(s )为不大于x 的素数个数.通过求其积分，黎曼得到ln ζ(s )=s ∫0∞J (x )-s -1d x .该式的左边是ζ函数，右边是与素数分布直接相关的J (x )，那么接下来要做的便是解出J (x )=12πi∫a -∞a ∞ln ζ(z )z x z d z .61数贝拾海利用莫比乌斯反演可以得到π(x )=∑nμ(n )n J æèçöø÷x 1n ，这样素数分布函数π(x )与黎曼ζ函数就有了直接的联系.三、素数定理素数的规律一直是数论领域的核心问题.对于π(x )，高斯（Gauss ）有如下猜想：π(x )≈∫2∞d t ln t =Li(x ).勒让德（Legendre ）也有如下猜测：π(x )≈x ln x -1.08366.容易看出，这两者是等价的，共同被称为素数理.1896年，阿达马（de la Valee ）与普桑（Poussin ）分别独立证明了黎曼ζ函数在Re =1上没有零点，进而证明了素数定理.这当然是一个辉煌的成就，素数定理被证明之后，人们普遍希望能得到一个有精密误差项的估计，可以证明高斯的公式比勒让德的公式要精密得多.在假设黎曼猜想成立的情况下，人们证明了π(x )=Li(x )O (x ln x )，反之，从这个公式也可以推出黎曼假设是对的，也就是说两者是等价的.值得说明的是，黎曼假设还有一个等价命题：对所有的n ≥1，∑d |nd ≤H n exp(H n )ln H n ，其中H n =∑k =1n1k.四、广义黎曼假设（GRH ）广义黎曼猜想：黎曼ζ函数ζ(x )=∑n 1ns (Re(s )>1)的非平凡零点都在Re(s)=1/2的直线上.不过其研究对象由黎曼ζ函数变成了更具广泛性的狄利克雷（Dirchlet ）L 函数.所谓狄利克雷L 函数是指级数L (s ,x )=∑n =1∞x (n )ns (Re(s )>1)在Re(s )<1上的函数，其中x (n )mod p 是狄利克雷特征，此函数被称为模ρ的狄利克雷L 函数.数学家们由这个猜想证明：所有的非平凡零点都位于L (s ,x )临界线上.显然，这个比黎曼猜想难证多了.现代数论研究中，多在GRH 成立的情况下进行讨论，与黎曼假设类似由，GRH 可以推出：当(l ,k )=1，令算术序列lkn (n =1,2,3⋯)中不超过x 的素数个数为π(x ,k ,l )，则有π(x ,k ,l )=1φ(k )Li(x )O (x ln x ).同样的，这个公式反过来也能推出GRH.五、哥德巴赫猜想（Goldbach Problem)在1742年给欧拉的一封信中，哥德巴赫提出了两个猜想，欧拉用稍微简练的语言修改后表述如下，（1）哥德巴赫猜想：每一个偶数n (n ≥6)都能用两奇素数之和，即n =p 1p 2数n (n ≥9)都能用三个奇素数之和，即n =p 1p 2p 3表示.哥德巴赫很明显，哥德巴赫猜想可以推出弱哥德巴赫猜想.在1900年的第二届国际数学家大会上，大卫·希尔伯特（D.Hilbert ）向全世界的数学家们提出23个问题，其中哥德巴赫猜想便是第8个问题的一部分.12年后，在第五届国际数学家大会上，兰道（Landau ）又将其作为素数论中未解决的4个难题加以推荐.从这个意义上来讲，哥德巴赫猜想可谓是素数论中的核心问题.六、弱哥德巴赫猜想与GRH19世纪20年代，哈代(Hardy ）和李特尔伍德（Lit⁃tlewood ）在其“算术分拆”的系列文章中创立并发展了“圆法”，即把方程n =p 1p 2p 3的解用积分表示，并将积分区间[0,1)分为两段:一段“优弧”对应的区间和一段“劣弧”对应的区间.然而此积分的上下界估计均需要根据广义黎曼假设（GRH ）来得到.在GRH 成立的前提下，哈代和李特尔伍德证明了：每个充分大的奇数都是3个奇素数之和，以及几乎所有的偶数都是2个素数之和，即令E (x )为不超过x 的不能表示成两素数之和的偶数的个数，则有lim x →∞E (x )x=0.这一方面表明在GRH 成立的情况下，哥德巴赫猜想基本成立；另一方面暗示广义黎曼假设与公理体系中的很多定理是相容的，这就增强了GRH 的可信度.在哈代和李特尔伍德的证明中用到了GRH 导出的有关π(x ,k ,l )的估计式：对任意的ε>0，|π(x ,k ,l )-1φ(k )∫2x d t ln t|≤C εx 12ε.这明显是GRH 的算术形式，用素数定理的方法来处理优弧上的积分当然也可以，但是不足以推出弱哥德巴赫猜想.直到1936年，事情出现了转机，帕奇（A.Page ）与62数贝拾海西格尔（C.L.Siegel ）分别先后独立证明有π(x ,k ,l )的估计式，他们的结果已经比当时已取得的结果要强不少，也足以导出优弧上的积分估计.数学家们意识到哈代和李特尔伍德证明中的GRH 是有可能被取消的，之后维诺格拉多夫（Vinogradov ）和埃斯特曼（Sterman ）证明了：每一个充分大的奇数n 皆可以表示成2个素数乘积n =p 1p 2p 3p 4，以及每一个充分大的整数n 都是2个素数与1个数的平方之积n =p 1p 2m 2.大多数人认为在不依赖于GRH 的传统圆法证明中，这已经是很好的结果了，很难被超越了.1937年，维诺格拉多夫改造了传统圆法，将劣弧上的积分化为估计三角和S (a )=∑p ≤xe (px )，其中e (x )=e 2πix ，他给出了S (a )的一个非同寻常的估计，并证明了：每个充分大的奇数n 都是3个奇素数之和.但是这个“充分大”到底要多大才行呢？维诺格拉多夫的学生波罗斯特金（Borozdin ）计算出来3315，这个数已经足够大了，但这个下界太大，难以用计算机验证.紧接着波罗斯特金又将下界改进成了e e 16.035，但是依然太大……直到2002年，香港大学的廖明哲和王天泽将下限降到了e 3100，但这还是不够！2012年，加州大学洛杉矶分校的陶哲轩（T.Tao ）首次不借助用GRH 证明了：奇数都可以表示成最多5个素数之和.2012、2013年，巴黎的哈洛德·贺欧夫各特（Harold Hofgate ）连发两篇论文将下界降到了史无前例的1030，其同事大卫·帕拉特（D.Platt ）利用计算机验证了小于该下界的所有奇数均符合要求，从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明.七、哥德巴赫猜想与GRH对哥德巴赫猜想的研究主要是围绕圆法进行的，以华罗庚为代表的中国解析数论学派在其中发挥着举足轻重的作用.筛法源于公元前250年的埃拉托色尼（Eralosthenes ）筛法，埃拉托色尼用该方法制作出了世上第一张素数表.1919年，布伦（Brenda ）对传统筛法进行了大幅度的改进，并首先将其应用于哥德巴赫猜想的研究，他证明了：每一个充分大的偶数都是两个素因子个数不超过9的整数之和，简记为“9+9”.我们可以类似定义ab ，布伦的这个结果开辟了一条证明哥德巴赫猜想的新思路，即不断降低a ,b 的值，直到降到11，也就证明了哥德巴赫猜想.有了布伦的方法作为基础，有关哥德巴赫猜想的结果成井喷式增长：1924年，拉代马海（H.Rademacher ）证明了“7+7”；1932年，埃斯特曼证明了“6+6”；1937年，里奇（Ricci ）证明了“5+7”“4+9”“3+15”“2+366”；1938年，布赫施塔布（Buchstab ）改进布伦筛法，证明了“5+5”；1940年，布赫施塔布证明了“4+4”.随后，塞尔伯格（A.Selberg ）发表了著名的Λ2-方法.起初Λ2-方法是被塞尔伯格用于研究孪生素数问题，华罗庚首开先河将其应用于哥德巴赫猜想的研究，其想法便是利用Λ2-方法改进布伦筛法的上界估计，同时利用布赫施塔布筛法得到更好的下界估计，在华罗庚的帮助下王元于1955年证明了“3+4”，这标志着中国解析数论学派开始在该问题的研究领域占据领导地位.几乎同时维诺格拉多夫证明了“3+3”.王元发现维诺格拉多夫的结果可以直接由Λ2-方法得到，他指出维诺格拉多夫证明中的不足，并加入了一些新的想法，维诺格拉多夫对他的“3+3”证明作了更正.同年，孔恩（P.Kuhn ）发表了关于x 21序列中素数问题的几篇文章，里面包含了不少的新想法.结合孔恩的方法，王元证明了“3+3”和ab (ab ≤5).在王元之前，其同事潘承洞证明了“1+5”和“1+4”.1957年春天，王元在假定GRH 成立的情况下证明了“1+3”，在此之前的最好结果是埃斯特曼的在假定GRH 成立的情况下“1+6”和王元、维诺格拉多夫在假定GRH 成立的情况下的“1+4”.后来，陈景润发表了论文《大偶数可表示为一个素数及一个不超过2个素数之和》，该成果远超此前取得的所有结果.在陈景润证明“1+2”后，人们普遍认为：由于筛法自身的局限性，很有可能“1+2”便是最好的结果，因此如果想在陈氏定理的基础上更进一步证明甚至证明哥德巴赫猜想，就需要引进更加新颖而且强有力的“工具”.笔者觉得，哥德巴赫猜想是无法与黎曼猜想匹敌的.因为哥德巴赫猜想只是一个数论问题，而且从目前来看它也并未对除堆垒数论以外的数论分支产生过重大影响.而黎曼猜想则不同，其证明不但对数论领域有深远的影响，而且可以对复变函数论的发展起积极的推动作用.迄今为止，数学家对哥德巴赫猜想的证明中并未用到黎曼猜想，用的是广义黎曼猜想.另外，单从证明上讲，很有可能黎曼猜想就要比哥德巴赫猜想难得多，更别提广义黎曼猜想.哥德巴赫猜想跟孪生素数猜想有着极为深刻的联系，哥德巴赫猜想的相关结果一般而言是可以转换成孪生素数猜想的相关结果的，比如陈景润也曾证明过这样一个定理：存在无穷对素数p 1和殆素数p 1p 2，使得其为相邻的奇数.这跟他的“1+2”很像，也跟孪生素数猜想很接近.63。

世界未解之谜数学题世界未解之谜中的数学题通常指的是那些著名的、尚未被证明或解决的数学问题。

这些问题往往具有悠久的历史，挑战性强，对数学家们的智慧和技巧提出了极高的要求。

以下是一些著名的未解数学问题。

1.黎曼猜想（Riemann Hypothesis）：这是数学中最著名的问题之一，由德国数学家格奥尔格·费迪南德·伯恩哈德·黎曼在1859年提出。

黎曼猜想涉及复平面上的黎曼ζ函数的非平凡零点，这些零点的分布与素数的分布有着深刻的联系。

黎曼猜想的证明或证伪将深刻影响数论、复分析和其他数学领域。

2.素数定理的逆问题：素数定理描述了素数在自然数中的分布规律。

逆问题则是询问是否存在无穷多对素数，它们的差为2（孪生素数猜想）或者它们的和为偶数（歌德巴赫猜想）。

这些问题已经经受了数学家们的广泛检验，但至今未得到证明。

3.四色定理（Four Color Theorem）：这是图论中的一个定理，表明任何在平面上的地图都可以用四种颜色来着色，使得相邻的区域不会有相同的颜色。

虽然这个定理已经被证明，但是证明过程中使用了一个非构造性的方法，即计算机验证了大量的情况，而没有提供一个简单的数学证明。

因此，四色定理的证明仍然是数学界的一个讨论点。

4.费马大定理（Fermat's Last Theorem）：这是由1 7世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的，直到1994年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。

费马大定理声明，对于任何大于2的自然数n，方程a^n + b^n = c^n 没有正整数解。

5.纳维尔-斯托克斯方程的存在性和光滑性：这是流体力学中的基本方程，描述了流体的运动。

虽然这些方程在工程和物理学中得到了广泛应用，但它们在数学上的严格证明仍然是一个挑战。

这些未解数学问题激发了无数数学家的研究热情，也推动了数学领域的发展。

解决这些问题需要深刻的洞察力、创新的方法和艰苦的努力。